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回路システム学第二（9）
2019.6.17
担当教官 山尾 泰
禁無断複製
回路システム学第二 2019@ yyamao
先週の学習項目
1
１．2ポート回路の入出力インピーダンス
２．伝送減衰量（dB）
３．回路網関数・２ポート回路の応用
- フィルタ
回路システム学第二 2019@ yyamao
回路網関数の性質
2
回路システム学第二 2019@ yyamao
回路網の入力インピーダンス
入力インピーダンス＝駆動点インピーダンス Z
)(
)()(
sI
sVsZ = i(t)
v(t)1
1'
Z(s)
１ポート回路
２ポート回路
2121111 IZIZV +=
2221212 IZIZV +=
V1 と Ｉ１の比はポート２に接続される素子に依存
?
Z行列
ポート1 ポート2
2221
1211
ZZ
ZZI1
V1
I2
V2
3
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回路網の入力インピーダンスの一般化
4
I１ I２ I３
11 12 1 1 1
21 22 2
1
0
0
0
n
n nn n
Z Z Z I E
Z Z I
Z Z I
=
E1
a
b
端子a, bから右側を見たインピーダンス Z は
111 1I E
=
jkZ
閉路解析法（基礎電気回路）
インピーダンス行列（正方行列）
1
1 11
EZ
I
= =
∴
Δ11：インピーダンス行列の第１行と第１列を除いた小行列式の値
Δ：インピーダンス行列の行列式の値
（クラーメルの解法）
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RLC回路網関数の基本的性質
5
jkZ
2
1
1 1
jk jk jk
jk
jk jk
jk
Z sL RsC
L s R ss C
= + +
= + +
RLC回路
( )2
0 1 2
1 n
nna a s a s
s = + + +
( )2 2
11 1 2 2 11
1 n
nnb b s b s
s
−
−− = + + +
最高次数： n
最高次数： n-1
行列式の値
22 2
2
22
11
2
2
12 1
21
11
1 11
n
n nn
n
n
n nn
n
Z Z
Z Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
EZ
I
Z
= = =
Zn2
Zn2
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RLC回路網関数の満たす性質
6
( )2
0 1 2
2 2 1
11 1 2 2 1
n
n
n
n
a a s a sZ s
b s b s b s −
−
+ + += = + + +
, ,jk jk jkL R C は全て正の実数とすると
0 1 2, , , na a a は全て正の実数分子のS関数の係数
1 2 2 1, , , nb b b − も全て正の実数分母のS関数の係数
( )Z s の分母分子の次数は（１）分子が一次高い（２）等しい の何れかである。（３）分子が一次低い
js +=
の実部は常に正( )Z s
σ = 0 のとき
σ > 0 のとき
( )Z j の実部は常に零または正( )Z s は正実関数
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正実関数の判定
7
の実部は常に正( )Z s
σ = 0 のとき
σ > 0 のとき
( )Z j の実部は常に零または正
1
1
s
s
−
+（１） 正実関数でない
2s（２） s j= 2 1s = −のとき 正実関数でない
2s +（３） 正実関数
1
2s +（４） 正実関数
( )( )2 1 1 1 1
1 3 2 1 2 3
s
s s s s
+= +
+ + + +（５） 正実関数
22)2(
)2(
2
1
2
1
++
−+=
++=
++
j
jj
0.5s = のとき 333.015.0
15.0)( −=
+
−=sZ
( )Re 0s なら 0)2Re( +s
js +=
𝑠 = 𝑗𝜔
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回路網関数の零点と極
8
( )2
0 1 2
2 2 1
11 1 2 2 1
n
n
n
n
a a s a sZ s
b s b s b s −
−
+ + += = + + +
( ) 0Z s = となる s の値：零点
( )Z s = となる s の値：極
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3 4
0 1 2 3 4
2 3
1 2 3
12 4 2 2 2 2
0 2 4 2 1 3 2 1
1 12 4 2 2 2 2 2
2 4 2 2 1 3 2 1
0 1
0 1
1 1
1 1
n nn n
n n
n nn n
n n
a j a a j a aZ j
j b b j b
a a a a j a a a
b b b j b b b
A jA
B jB
− −
−
− −− −
− −
+ − − +=
− − +
− + + − + − + + −=− + − + − + − + + −
+=
+( ) ( ) ( )Z j R jX = +
零であれば零点
零であれば極
この有理関数が既約分数の時
𝐴0 𝜔 + 𝑗𝐴1 𝜔
𝐵0 𝜔 + 𝑗𝐵1 𝜔
正弦波入力時の定常応答（交流解析）では
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リアクタンス回路の周波数特性
9
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リアクタンス回路の駆動点インピーダンス
10
jkZ
RLC回路 リアクタンス（LC）回路
jkZ
jkZ
リアクタンス回路網関数の分母，分子の sの多項式は偶数次数のみ，または奇数次数のみのいずれかで構成される
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リアクタンス回路の周波数特性（1）
（１） インダクタ L のみ
X L=
（２） キャパシタ C のみ
1 1Z j
j C C
= = −
1X
C= −
X
0
0
X
（３） L と C の直列回路
1 1Z j L j L
j C C
= + = −
1
X LC
= −
10L
C
− =
0
1
LC =
０
X
零点
11極
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リアクタンス回路の周波数特性（2）
12
（４） L と C の並列回路
2
1 1
1 1
LZ j
Y LCj C
L
= = =
− −
０
B
0
1
LC =
1 1Y j C j C
j L L
= + = −
1B C
L
= −
2
1
1
LX
LC B
= = −
−
極
０
1X
B= −
×零点
零点
極
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リアクタンス回路の周波数特性（3）
13
（５）前ページ（１）と（４）の直列回路
０
X
×極
零点
0L
1L
1C
インピーダンスは（１）と（４）の和
（１）
（４）
X
LC並列回路の極に加えて、高い周波数に零点ができる
0
零点
０
X
極
×零点零点
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リアクタンス回路の周波数特性（４）
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（６）前ページ（２）と（４）の直列回路
０
X
×極
インピーダンスは（２）と（４）の和
（２）
（４）0C
1C
1L
０
X
極
×
零点
×
極
LC並列回路の極に加えて、低い周波数に零点ができる
零点
0
X
極
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σ > 0 のとき の実部は常に正なので、
s平面の右半平面（虚軸上を含まず）には零点は存在しない。
リアクタンス回路の零点と極の性質
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（１）リアクタンス回路のインピーダンス関数は正実関数
( )Z s
また有理関数が既約分数であれば、ある複素数が同時に零点と極に
なることはないので、s平面の右半平面には極も存在しない。
（２）零点と極は周波数軸上で交互に配置される
( )2
0 1 2
2 2 1
11 1 2 2 1
n
n
n
n
a a s a sZ s
b s b s b s −
−
+ + += = + + +
++
++=
))((
))((2
4
22
2
2
2
3
22
1
2
sss
ssH ただし H > 0
43210
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回路網関数の性質(2)
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リアクタンス回路網関数の周波数微分係数
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（Ⅰ） インダクタ L のみ
LX L=
（Ⅱ） キャパシタ C のみ1 1
Z jj C C
= = −
1
CXC
= −
（Ⅲ） L と C との直列接続の場合
1 1Z j L j L
j C C
= + = −
0LdXL
d=
2
10CdX
d C =
0CL dXdX dX
d d d = +
CLXXX CL
1−=+=
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リアクタンス回路網関数の周波数微分係数
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（Ⅳ） L と C との並列接続の場合
C L
C L
X XX
X X=
+
1L
1C
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
20
C L
C L
L C L C L C C L C LC L
C
C L
L
C L
L C
C L
dX dXdX dX dX
d dX d dX d
X X X X X X X X X XdX dX
d dX
dX dX
d d
X X X
X X
X X
= +
+ − + −= +
+ +
+
= +
LX L=
1CX
C= −
この回路の周波数微分係数も正
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任意のリアクタンス回路の周波数微分は常に正
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0dX
d
正正
正
正( )
0
s j
dZ sdX
d d
=
=
( )( )( ) ( )( )( ) ( )
2 2 2 2 2 22 4 21 3 2 10 2 4 2
3 5 2 1 2 2 2 2 2 211 1 3 5 2 1 2 4 2 2
nnn
n
n n
H s s sa a s a s a sZ s
b s b s b s b s s s s s
−
−
− −
+ + ++ + + += = = + + + + + +
（１） Z(s)はｓの正の実係数の有理関数
（２） Z(s)の極と零点は単純根（重根でない）で虚軸上に交互に存在
（３） は正の実数( )s j
dZ s ds=
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回路シミュレータによる計算例
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INDID=L1L=18.3 nH
CAPID=C1C=1 pF
CAPID=C2C=1.5 pF
INDID=L2L=2 nH
CAPID=C3C=2 pF
INDID=L3L=3 nH
INDID=L4L=4 nH
PORTP=1Z=50 Ohm
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回路シミュレータによる計算結果
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0 2 4 6
Frequency (GHz)
Reactance Network
-1000
-500
0
500
1000
Re
acta
nce
(
oh
ms)
Im(Z(1,1))Schematic 1
× × ×
×
零点
極
リアクタンス回路網では なので零点と極が交互に現れる0dX
d