論理 回路 第 5 回
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論理 回路 第 5 回. http://www.fit.ac.jp /~matsuki/LCA.html. 今日の内容. 前回 の復習 ブール代数 公理 (P1 – P5) 定理 (T1 – T5) 定理 (T6 – T10). ブール代数. 公理： ２つの定数０と１に関する論理積，論理和，否定などの演算の基礎法則 定理： 公理をもとに導かれる法則（公理を使って証明する必要がある）. ブール代数（公理 P1 ～ P5 ）. P1 (a): もし A ≠ 0 ならば， A=1 (b): もし A ≠ 1 ならば， A=0 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
論理回路第 5 回
http://www.fit.ac.jp/~matsuki/LCA.html
今日の内容• 前回の復習• ブール代数– 公理 (P1 – P5)– 定理 (T1 – T5)– 定理 (T6 – T10)
ブール代数• 公理：
２つの定数０と１に関する論理積，論理和，否定などの演算の基礎法則
• 定理： 公理をもとに導かれる法則（公理を使って証明する必要がある）
ブール代数（公理 P1 ～ P5 ）• P1 (a): もし A≠0 ならば， A=1
(b): もし A≠1 ならば， A=0• P2 (a): 0 ・ 0=0
(b): 1+1=1• P3 (a): 1 ・ 1=1
(b): 0+0=0• P4 (a): 0 ・ 1=0 ・ 1=0
(b): 1+0=0+1=1• P5 (a): 1=0
(b): 0=1
(a) と (b) は双対の関係にある
ブール代数（定理 T1 ～ T5 ）• T1 (a): A ・ B = B ・ A
(b): A + B = B + A• T2 (a): (AB)C = A(BC)
(b): (A + B) + C = A + (B + C)• T3 (a): (A + B)(A + C) = A + BC
(b): AB + AC = A(B + C)• T4 (a): A ・ 0 = 0
(b): A + 1 = 1• T5 (a): A ・ 1 = A
(b): A + 0 = A
(a) と (b) は双対の関係にある
交換律
結合律
分配律
ブール代数（定理 T6 ～ T10 ）• T6 (a): A ・ A = 0
(b): A + A = 1• T7 (a): A ・ A = A
(b): A + A = A• T8 (a): A(A + B) = A
(b): A + AB = A• T9 : (A) = A• T10 (a): (A ・ B) = A + B
(b): (A + B) = A ・ B
補元律
べき等律
吸収律
二重否定
ド・モルガンの定理
ブール代数（定理 T10’ ）• T10’ (a): (A ・ B ・ C ・… ) = A + B + C + …
(b): (A + B + C + …) = A ・ B ・ C ・…多変数のド・モルガンの定理
練習問題【定理 T3 (a) の証明】問 ) 定理 T3(a) が成り立つことを真理値表を用い
て証明しなさい。解） 変数 A,B,C による真理値すべての組み合わせ
で、 T3(a) の左辺と右辺が同じであることを示せば良い。
A B CT3(a)の左辺 T3(a)の右辺
A + B A + C (A+B)(A+C) B ・ C A + BC
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0
… … … … … …1 1 1 1 1 1 1 1
練習問題【定理 T3 (a) の証明】A B C
T3(a)の左辺 T3(a)の右辺A + B A + C (A+B)(A+C) B ・ C A + BC
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 0 1
1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
上記表より、すべての A,B,C の組み合わせにおいて、 (A+B)(A+C) と A+BCが等しいことを確認した。よって、定理 T3(a) は成り立つ。
ド・モルガンの定理
( A ・ B ) = A + B
双対性• 練習問題：次の論理関数の否定を計算せ
よ
f( x, y, z ) = ( x + y )( x + z )
f( x, y, z ) = ( x + y )( x + z ) = ?
双対性• 練習問題：次の論理関数の否定を計算せ
よ
f( x, y, z ) = ( x + y )( x + z )
f( x, y, z ) = ( x + y )( x + z ) = ( x + y ) + ( x + z ) = x ・ y + x ・ z = x ・ y + x ・ z
ド・モルガンの定理
ド・モルガンの定理
関数 f を否定すること ＝ 各変数 x, y, x, z を否定し， 論理積と論理和を入れ替え
る
双対性• T11 定数０，１を含む論理関数の恒等式
は，０と１，＋と・を同時に入れ替えても成立する
０ ⇔ １１ ⇔ ０＋ ⇔ ・
・ ⇔ ＋
双対性• 練習：次の恒等式に双対な恒等式を求め
よ．
（１） ( x + y ) y = x y
（２） x + y + x y = 1
標準形以下の真理値表による論理関数 f を求める
A B C f ( A, B, C )
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 10 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
f ( A, B, C ) = ??
標準形（主加法標準形）最小項（ minimal term ）：
すべての変数が真または偽の形で含まれている論理積項（論理的な最小区分を表す）
①
②
③
⑤ ⑥
④⑦⑧
A C
B
①ABC
②ABC
③ABC
④ABC
⑤ ABC
⑥ ABC
⑦ ABC
⑧ ABC
標準形（主加法標準形）1. f が１の行に着目2. 入力変数が 0 ならば否定， 1 ならばその
ままにして最小項を取る3. すべての最小項の論理和を求める⇒ｆと
なる A B C f ( A, B, C ) 最小項0 0 0 1 A B C
0 0 1 0
0 1 0 1 A B C0 1 1 1 A B C
1 0 0 0
1 0 1 1 A B C
1 1 0 0
1 1 1 0
標準形（主加法標準形）1. f が１の行に着目2. 入力変数が 0 ならば否定， 1 ならばそのま
まにして最小項を取る3. すべての最小項の論理和を求める⇒ｆとなる
A B C f ( A, B, C ) 最小項0 0 0 1 A B C
0 0 1 0
0 1 0 1 A B C0 1 1 1 A B C
1 0 0 0
1 0 1 1 A B C
1 1 0 0
1 1 1 0
A = 0, B = 1, C = 1 の時
ABC = 0 ・ 1 ・ 1 = 1
標準形（主加法標準形）A B C f ( A, B, C ) 最小項0 0 0 1 A B C
0 0 1 0
0 1 0 1 A B C0 1 1 1 A B C
1 0 0 0
1 0 1 1 A B C
1 1 0 0
1 1 1 0
f( A, B, C ) = ABC + ABC + ABC + ABC
標準形（主乗法標準形）最大項（ maximal term ）：
すべての変数が真または偽の形で含まれている論理和項（論理的な最大区分を表す）
A C
B
①A+B+C
②A+B+C
③A+B+C
④A+B+C
⑤ A+B+C
⑥ A+B+C
⑦ A+B+C
⑧ A+B+C
標準形（主乗法標準形）1. f が 0 の行に着目2. 入力変数が 0 ならば否定， 1 ならばその
ままにして最大項を取る3. すべての最大項の論理積を求める⇒ｆと
なる A B C f ( A, B, C ) 最大項0 0 0 1
0 0 1 0 A+B+C
0 1 0 10 1 1 1
1 0 0 0 A+B+C
1 0 1 1
1 1 0 0 A+B+C
1 1 1 0 A+B+C
A B C f ( A, B, C ) 最大項0 0 0 1
0 0 1 0 A+B+C
0 1 0 10 1 1 1
1 0 0 0 A+B+C
1 0 1 1
1 1 0 0 A+B+C
1 1 1 0 A+B+C
標準形（主乗法標準形）1. f が 0 の行に着目2. 入力変数が 0 ならばそのまま， 1 ならば否
定にして最小項を取る3. すべての最大項の論理積を求める⇒ｆとなる
A=0, B=0, C=1 の時A+B+C = 0+0+1 = 0
標準形（主乗法標準形）
f( A, B, C ) = ( A+B+C )( A+B+C )( A+B+C )( A+B+C )
A B C f ( A, B, C ) 最大項0 0 0 1
0 0 1 0 A+B+C
0 1 0 10 1 1 1
1 0 0 0 A+B+C
1 0 1 1
1 1 0 0 A+B+C
1 1 1 0 A+B+C
注意事項• 講義に関する質問・課題提出など：
• メールについて件名は，学籍番号＋半角スペース＋氏名
（例） S09F2099 松木裕二
本文にも短いカバーレター（説明）をつける課題は Word などで作り，添付ファイルとして送る