TUGASFISIKA DASAR I

MOMENTUM SUDUTDAN

BENDA TEGAR

Dosen Pembimbing:Drs. M. Arifuddin Jamal, M.Pd

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKAJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

1

Pusat massa

Pusat massa

UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT2011/2012

1. BENDA TEGAR (RIGID BODIES)

Satu hal khusus adalah sistem partikel banyak yang disebut

benda tegar. Dalam benda tegar jarak antara dua partikel

sembarang dalam sistem adalah tetap. Setiap partikel dalam

sistem bergerak sendiri sendiri akan tetapi jarak antara dua

partikel di dalam sistem harus konstan.

v⃑1

m2

m1 v⃑2

v⃑2 v⃑1

M m2 m1

m3 m3

v⃑3 v⃑3

(a) (b)

Sistem tiga partikel

(a) Sistem tiga partikel bebas

(b) Sistem tiga partikel membentuk sebuah benda tegar; m1,

m2 dan m3 dihubungkan dengan batang-batang kaku

Jika suatu benda tegar berotasi dengan kecepatan sudut ω,

maka laju gerak dari bagian benda tegar yang terletak pada

jarak r dari sumbu putar adalah

2

dt

v=dsdt

= ddt (rθ)=r dθdt

=rω

Arah kecepatan v ini adalah tangensial, yaitu arah garis

singgung pada lintasan di titik dimana benda berada pada suatu

saat.

Besaran-besaran vektor dalam kinematika rotasi

Dalam membahas gerak rotasi yang lebih umum, kita

seringkali harus memandang pergeseran sudut Δθ⃑, kecepatansudut ω⃑ akan sejajar

(a) (b)

a) arah vektor dθ⃑ adalah tegak lurus bidang

b) arah vektor ω⃑ adalah sejajar dengan sumbu putar padaarah perpindahan sekrup kanan jika diputar sesuai dengan

gerak rotasi

dengan arah dθ⃑ yaitu pada arah sumbu seperti ditunjukkan padaGb. 5-15b.

vektor percepatan sudut didefinisikan dari

α⃑=limΔt→0

∆ ω⃑∆t

=dω⃑dt

ω⃑(t+∆t) ∝́=∆ ω⃑∆t akan sejajar dengan ∆ ω⃑

3

∆ ω⃑=(∝́∆t) Vektor percepatan sudut sesaat α⃑diperoleh jika

ω⃑(t) ∆t dibuat mendekati nol.Vektor kecepatan gerak dari benda

yang berge-

rak lingkar dengan kecepatan sudut

ω⃑ dan bera-da pada posisi r⃑, dimana r adalah

jejari lingkar

gasing gerak, mempunyai arah

tangensial, dan besarnya

sama dengan v =ωr.

ω⃑ ω⃑v⃑

v⃑

0 r⃑ r⃑

(a) sebuah benda terletak pada posisi r⃑, bergerak

lingkaran dengan jejari r, dengan kecepatan sudut w⃑, vektorkecepatan benda dinyatakan oleh v⃑ = ω⃑xr⃑(b) jika pusat koordinat tidak terletak pada pusat

lingkaran tetap berlaku v⃑=ω⃑x r⃑

Dalam notasi vektor, kecepatan benda v⃑ dapat ditulis sebagaiv⃑=ω⃑x r⃑Persamaan tersebut menunjukkan bahwa v⃑ adalah tegak lurus

ω⃑danr⃑, dan ppada arah sejajar dengan perpindahan sekrup jika

4

diputar dari arah ω⃑ ke arah r. Hubungan di atas juga berlakuuntuk hal yang lebih umum, yaitu jika titik asal 0 dari sumbu

koordinat tidak terletak pada pusat lingkaran gerak. Dalam hal

ini maka arah v⃑ adalah tegak lurus arah ω⃑ dan r, akan tetapibesar v diberikan oleh

v = ωr sin θdimana θ adalah sudut antara ω⃑ dan r⃑.

2. MOMENTUM SUDUT BENDA TEGAR

Sampai saat ini pembahasan kita adalah benda ttik atau

partikel. Hal ini berarti bahwa ukuran dan betuk benda

diabaikan jika dibandingkan dengan lintasan benda. Satu hal

khusus adalah sistem partikel banyak yang disebut benda tegar,

dimana jarak antara dua partikel sembarang dalam sistem tetap.

Setiap partikel dalam sistem bergerak sendiri-sendiri akan

tetapi jarak antara dua partikel di dalam sistem lurus tetap.

Misalkan kita mempunyai suatu sistem tiga partikel yang

membentuk suatu benda tegar seperi berikut ini

m1 Jika benda tegar tersebut

melakukan gerak

V1 rotasi dengan kecepatan sudut (ω),maa v1=ω.r1

V3 Akibatnya momentum sudut partikel

m1 terha-

r1 dap titik pusat 0 dapat

di tulis sebagai.

m3 r3 L1 = r1 x p1 = m1v1 x

r1 atau

5

r2 L2 = m1r1 x (ω1 x r1)

(1)

m2 Dari kalkulus diperoleh

bahwa persamaan (1)

V2 dapat dituliskan

r1 x (ω x r1) = ω1(r1.r1) – r1(r1.ω1)

Jika pusat dari r terletak pada bidang gerak lingkar, maka r1

ω, sehinggar1 . ω = r1ω cos 90 = 0 maka diperolehr1 x (ω1 x r1 = r1

2ω

Akibatnya momentum sudut partikel m1 dapat ditulis

L1 = m1 r12 ω

Dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa momentum

sudut partike m2 dan m3 masing-masing adalah

L2 = m2 r22 ω dan L3 = m3 r3

2 ω

Dengan deimikian momentum total dari sistem adalah

Ltotal = L1 + L2 + L3 atau

L = (m1 r12 + m2

2 + m3 r32) ω

L = I ω (2)

Dengan I = m1 r12 + m2 r2

2 + m3 r32 atau

I=∑i=1

3m1r1

2(3)

6

Persamaan (2) menunjukkan hubungan antara momentum sudut

(L), momen inersia (I) dan kecepatan sudut (ω¿. Besaran I

disebut momen inersia benda tegar.

Untuk suatu benda tegar dengan distribusi massa yang

kontinu kita gunakan elemen massa ∆ m1 yang terjadi pada jarak

r1 dari sumbu putar, sehingga momen inersia benda menjadi

I=∑i=1

nr12∆m1(4)

Jika ∆ m1 sangat kecil, maka indeksi I menjadi kontinu dan

penjumlahannya menjadi integral

I=∫r2dxatauI=ρ∫x2dv

(5)

Untuk menentukan inersia benda terhadap sumbu sembarang

yang sejajar dengan sumbu sejajar dengan sumbu putar melalui

pusat massa (perhatikan gambar berikut ini).

l⃑ pm

S p⃑r⃑ dm

Gambar tersebut sumbu melalui pusat massa sejajar dengan sumbu

yang kita pilih sebelumnya.

Momen inersia melalui S dapat ditentukan dari persamaan (5)

yaitu

7

I=∫r2dm

Sehingga diperoleh

I=∫I2dm+∫p2dm+∫2Ixpxdm+∫2Iypydm

Inetegral pertama ∫I2dm=I2m, integral kedua ∫p2dm=Ipm,

integral ketiga dan keempat hasilnya nol, karena Ix yaitu

panjang proyeksi I terhadap sumbu x adalah tetap dan ∫px dan

adalah posisi pusat massa dihitung dari pusat massa dan

mempunyai nilai nol.

Akhirnya kita peroleh momen inersia adalah

I = M I2 + Ipm

(6)

Persamaan (6) yang kemudian oleh Stainer disebut sebagai dalil

sumbu sejajar.

Contoh soal (dibalas dalam tatap muka di kelas)

Sebuah pimpinan yang berputar pada sumbu tegak lurus

piringan melalui pusat massa dengan rapat massa yang konstan

(p). jika jejari piringan R dan M adalah massa piringan.

Tentukanlah.

a) Momen inersia piringan pada pusat massa

b) Momen inersia pada sisi piringan

3. MOMEN INERSIA UNTUK BEBERAPA BENTUK BENDA TEGAR

Batang. Sebuah batang dengan panjang L dan massa M berputar

pada suatu sumbu di tengah-tengah batang. Distribusi massa

8

pada batang kontinu dan kita anggap serba sama, jadi massa per

satuan panjang p, adalah konstan.

Menurut persamaan IV

I=∫x2dm(7)

kemudiankitaharusmenentukanhubunganantaramdanx1yaitudaridm=ρdx

dimana ρ adalah massa persatuan panjang. Jika distribusi massaadalah homogen, maka ρ adalah konstan, tidak berubah dengan x.persamaan (7) dapat ditulis sebagai

I= ∫x=−L/2

x=+L /2

x2ρdx=ρ ∫x=−L/2

x=+L /2

x2dx

¿13x

3ρ ∫x=−L/2

x=+L/2

ρ 13 [(L2 )3

−(12 )3]

¿112

L3ρ=112

(ρL)L2=112

ML2

Piringan. Sebagai contoh

kedua, marilah kita tentukan

momen inersia I dari sebuah

piringan yang berputar pada

sum tegal lurus piring

melalui pusat lingkaran.

Misalkan jejari piringan

adalah R dan massa pinringan

adalah M. massa piringan kita anggap serba sama. Perhatikan

gambar disamping kita akan pergunakan lagi persamaan

I=∫r2dm

9

Integral momen inersia menjadi

I=∬r2ρ (rdθ ) (dr )

¿ρ∬r3drdθ¿ρ∫0

R

r3dr∫0

2π

dθ(8)

¿ρ¿

¿12

(ρπR2)R2=12MR2

4. DINAMIKA BENDA TEGAR

Dalam membahas dinamika pada rotasi benda tegar, kita

mempunyai hubungan-hubungan berikut:

L = Iω, bila diturunkan terhadap waktudldt

=Idωdt

=σ=Iα

Persamaan diatas menyebabkan benda berputar, maka kerja

yang dilakukan jika benda bergerak dari sudut θ1 ke sudut θ2

adalah:

W=∫θ2

θ1σdθ

Dari prinsip kerja energy diperoleh

W=∆F4=12mv2

2−12mv12, dimana v = R ω

¿ 12m(Rω2)2−

12m(Rω1)

2

W=12Iω2

2−12Iω1

2

10

Besaran ½ I ω2 disebut energy kinetic rotasi suatu benda dan

persamaan diatas disebut hukum kekekalan momentum sudut.

Dari definisi kerja juga dapat dinyatakan besaran daya pada

gerak rotasi yaitu

W=F.ds, dimana ds = R dθ, makaW=F.Rdθ, F.R = σdωdt

=σ dθdt

, dθdt

=ω⃑

P = σ⃑ .ω⃑

Contoh :

Marilah kita bahas suatu

persoalan agar pengertian-

pengertian diatas menjadi lebih

jelas. Perhatikan gambar

disamping.

Sebuah piringan bermassa M = 5 kg, mempunyai jejari R = 50 cm,

berputar tanpa gesekan pada sumbu melalui pusat piringan.

Seutas tali ringan dililitkan pada pinggir piringan dan

ditarik dengan gaya T yang konstan. Misalkan besar gaya T

adalah 100 newton. Marilah kita hitung percepatan sudut yang

dihasilkan. Pertama kita hitung momen gaya.

τ=TR=(100N ) (0,5m)=50N-m

Momen inersia piringan adalah

I = ½ MR2 = ½ (5 kg)(0,5)2m2 = 0,625 kg-m2

Percepatan sudut α yang dihasilkan dapat dihitung dari

11

Τ=Iαatau∝=τI

= 500,625

=80rad /det2

Percepatan tangensial pada pinggir piringan adalah

AT = αR = (80 rad/det)(0,5 m) = 40 m/det2

5. GERAK MENGGELINDING

Gerak menggelinding ini adalah suatu gerak yang sangat

penting, gerak roda dari alat transport yang bergerak adalah

gerak menggelinding. Pada gambar disamping dilukiskan sebuah

silinder yang bergerak menggelinding.

Setiap bagian dari silinder

melakukan dua gerakan

sekaligus. Satu gerak bersama

pusat massa, yaitu dengan

kecepatan v0, dan gerak lain

adalah gerak lingkar dengan

kecepatan sudut ω. Titik-titik P, O, dan Q pada gambardisamping, bukanlah titik yang dicatkan pada silinder, akan

tetapi menyatakan posisi pada silinder, jadi titik P

menyatakan titik singgung silinder dengan lantai, titik 0

adalah titik pusat massa, dan titik Q menyatakan bagian paling

atas dari silinder.

Jika silinder tidak menggelincir, atau tidak slip, maka

titik P haruslah mempunyai kecepatan nol terhadap tanah. Pada

titik P silinder bersinggungan dengan tanah dan pada saat itu

bagian silinder yang menyinggung tanah haruslah dalam keadaan

berhenti, karena tanah berada dalam keadaan berhenti. Hal ini12

terjadi kecuali jika ada slip, karena slip berarti

bersinggungan akan tetapi terjadi gerak relatif.

Jadi titik P berada dalam keadaan diam, sedangkan kecepatan vp

adalah resultan dari kecepatan pusat massa v0 dan kecepatan

tangensial vτ = ωR dengan arah berlawanan terhadap v0,

sehinggap vp = vo – ωR = 0. Jadi kita dapatkan bahwa kecepatan

pusat massa.

Vo = ωR,

atau kecepatan gerak pusat massa adalah sama dengan kecepatan

tangensial pinggir silinder jika hanya ada gerak rotasi saja.

Kecepatan titik Q haruslah sama dengan

vQ = v0 + ωR =v0 + vo = 2 v0

= 2 ωR

Jika kita perhatikan, titik P

mempunyai keepatan sama dengan

nol, tiitk 0 mempunyai

kecepatan vo = ωR, dan titik Q

mempunyai kecepatan vQ = 2 ωR,

gerak silinder dapat dianggap

sebagai gerak rotasi murni terhadap titik P, dengan kecepatan

sudut ω/

Titik singgung P disebut sumbu sesaat dari gerak menggelinding.

Jika gerak menggelinding dipandang dari segi kombinasi

gerak pusat massa dan gerak rotasi terhadap pusat massa, maka

energy kinetik gerak menggelinding adalah

Ko = ½ M v02 + ½ Ioω2

Akan tetapi jika gerak ini kita pandang sebagai gerak rotasi

murni terhadap sumbu sesaat P maka energi kinetic

13

Kp = ½ Ipω2

Dari dalil sumbu sejajar, momen inersia terhadap sumbu pusat P

dapat ditulis sebagai

Ip = M l 2 + Io

Akan tetapi l, yaitu jarak pusat massa ke sumbu sesaat melalui

P, adalah sama dengan R. jadi

Ip = MR2 + Io,

Sehingga energy kinetic rotasi terhadap sumbu sesaat adalah

Kp = ½ Ip ω2

= ½ (MR2 + Io) ω2

= ½ MR2ω2 + ½ Io ω2

= ½ Mvo2 + ½ Io ω2,

Yaitu jumlah dari energy kinetik pusat massa dan energy

kinetik rotasi terhadap pusat massa.

6. KEKEKALAN MOMENTUM PADA BENDA TEGAR

Didepan sudah disebutkan bahwa jika resultan momen gaya

yang bekerja pada sistem partikel sama dengan nol, maka

momentum sudut total dari partikel

L⃑=∑jL⃑i

adalah tetap, baik besar maupun arahnya.

Untuk suatu benda tegar, momentum sudut total dapat ditulis

sebagai L⃑=Iω⃑ = konstan juga.Harga I dapat berubah waktu bergerak; jika ini terhadi harga ω⃑akan berubah demikian sehingga Iω⃑=konstan.

7. STATISTIKA BENDA TEGAR

14

Keseimbangan Mekanik

Gerak suatu partikel adalah suatu gerak translasi. Jika

sebuah partikel berada dalam keadaan diam atau bergerak dengan

kecepatan konstan, percepatannya sama dengan nol. Resultan

gaya-gaya yang bekerja pada partikel tersebut adalah sama

dengan nol, dan partikel tersebut dikatakan ada dalam keadaan

setimbang. Keadaan setimbang ini dikatakan bersifat static jika

partikel berada pada keadaan diam. Sabang mekanika yang

berhubungan dengan kesetimbangan static suatu partikel disebut

statika partikel.

Gerak suatu benda tegar adalah gerak rotasi dan translasi.

Jika sebuah benda tegar berada dalam keadaan diam atau

bergerak demikian rupa sehingga keecpatan linier dan kecepatan

sudutnya adalah konstan, maka percepatan linier dan percepatan

sudutnya sama dengan nol. Resultan dari semua gaya dan

resultan dari semua momen-momen gaya yang bekerja pada benda

tersebut adalah sama dengan nol, dan benda tegar tersebut

berada dalam keadaan setimbang mekanik. Kesetimbangan ini

dikatakan bersifat statik jika benda berada dalam keadaan

diam. Cabang mekanika yang berbuhungan dengan kesetimbangan

statik suatu benda tegar disebut statika benda tegar.

Statika adalah suatu hal yang sangat penting dalam teknik.

Prinsip-prinsipnya dipergunaka dalam konstruksi jembatan dan

bangunan-bangunan lain. Disini kita hanya memandang syarat-

syarat umum kesetimbangan mekanik dan secara singkat membahas

pemakaiannya untuk hal khusus pada benda tegar yang berada

dalam keadaan diam.

15

Syarat-syarat kesetimbangan mekanik pada benda tegar

Jika suatu benda tegar berada dalam keadaan setimbanga

translasi, maka percepatan linier dari pusat massa haruslah sama

dengan nol. Akan tetapi percepatan linier pusat massa

Apm = Fext/M

dengan M adalah massa benda tegar, dan Fext adalah resultan

dari semua gaya-gaya luar yang bekerja pada benda tersebut.

Jadi syarat pertama kesetimbangan adalah: jumlah vektor semua

gaya yang bekerja pada benda yang berada dalam keadaan setimbang adalah

sama dengan nol.

Syarat kesetimbangan ini dapat ditulis

F⃑=F⃑1+F⃑2+…=0

Persamaan vektor ini dapat ditulis sebagai tiga persamaan

skalar

Fx = F1x + F2x + … = 0

Fy = F1y + F2y + … = 0

Fz = F1z + F2z +… = 0

yang menyatakan bahwa jumlah dari komponen-komponen gaya pada

setiap sumbu x, y, z, adalah sama dengan nol.

Agar suatu benda tegar berada dalam keadaan setimbang rotasi,

percepatan sudutnya haruslah sama dengan nol. telah kita lihat

bahwa

τ⃑ext=Iα⃑,

sehingga syarat kedua dari kesetimbangan adalah : jumlah vektor

semua momen gaya yang bekerja pada sebuah benda dalam keadaan setimbang

adalah sama dengan nol.

syarat kedua dapat ditulis.

16

Syarat kedua dapat ditulis

τ⃑=τ⃑1x+τ⃑2+….=0

atau dalam bentuk scalar kita mempunyai tiga persamaan

τx = τ1x + τ2x + … = 0

τy = τ1y + τ2y + … = 0

τz = τ1z + τ2z + … = 0

Jika sebuah benda berada dalam keadaan setimbang, benda ini

tidak boleh mempunyai percepatan sudut tehadap setiap sumbu.

Dari semua sumbu yang dapat dibuat melalui sebuah benda, kita

cukup membahas tiga buah sumbu yang saling tegak lurus.

Akibatnya kita mempunyai enam buah syarat untuk gaya-gaya yang

bekerja agar berada dalam keadaan setimbang. Seringkali

persoalan kita terbatas pada gaya-gaya dalam suatu bidang

datar. Maka kita hanya mempunyai tiga syarat untuk gaya-gaya

pada benda. Dalam buku ini kita hanya membalas statika dalam

dua dimensi untuk mempermudah persoalan.

Titik Berat

Satu dari gaya-gaya yang dijumpai pada gerak benda tegar

adalah gaya gravitasi. Sebetulnya gaya ini bukanlah tediri

dari satu gaya,akan tetapi adalah suatu resultan dari gaya-

gaya yang banyak.

Setiap partikel dalam benda mendapatkan gaya gravitasi.

17

Marilah kita pandang suatu benda tegar yang tediri dari tiga

partikel, seperti ditunjukkan pada.

Jika medan gravitasi dapat dianggap konstan, yaitu g⃑, makagaya berat pada masing-masing adalah sejajar, yaitu arah

vertikal ke bawah. Akibatnya momen gaya resultan terhadap

suatu tiitk asal 0 dapat ditulis sebagai

τ⃑ = r⃑1 x m1g⃑ + r⃑2 x m2 g⃑ + r⃑3 x m3g⃑ = (r⃑1m1 + r⃑2m2 + r⃑3m3) x g⃑Akan tetapi vektor posisi pusat massa adalah

r⃑pm=m1r⃑1+m2r⃑2+m3 r⃑3

M ,

Sehingga persamaan diatas dapat ditulis sebagai

τ⃑ = r⃑pm x M g⃑Jadi resultan momen gaya berat dari benda tegar terhadap suatu

titik adalah sama dengan momen gaya yang terjadi jika berat

benda terkumpul pada titik pusat massa.

Hal yang sama berlaku untuk suatu benda tegar dengan

distribusi massa yang kontinu.

Jadi kita dapat menggantikan gaya-gaya gravitasi yang

bekerja pada partikel-partikel bermassa dalam benda tegar

dengan dengan suatu gaya tunggal M g⃑ sama dengan berat totaldari benda, dan bekerja pada pusat massa. Titik tangkap gaya

resultan gravitasi disebut titik berat.

18

Dalam hal medan gravitasi dapat dianggap konstan, maka

titik berat akan berhimpit dengan titik pusat massa.

19