Dispense Marini

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<ul><li><p>Lezioni di Geometria e Algebra Lineare</p><p>Facolta` di Ingegneria - Modulo da 6 crediti - a.a. 2010/2011</p><p>(Giambattista Marini)</p><p>Questo testo e` rivolto agli studenti iscritti alla Facolta` di Ingegneria, vengono trattati gliargomenti che si svolgono nel corso di geometria.</p><p>Indice</p><p>Introduzione 3</p><p>I. Algebra Lineare 4</p><p>1 Introduzione ai sistemi lineari 42 Leliminazione di Gauss 93 Matrici 144 Matrici quadrate e sistemi lineari 195 Determinante 226 Matrici invertibili e inversa di una matrice 297 Teorema di Cramer 328 Spazi vettoriali 359 Rango di una matrice 4410 Sottospazi di uno spazio vettoriale 4711 Spazi affini 5412 Applicazioni lineari 5913 Trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale: autovalori e autovettori 6714 Matrice rappresentativa di una applicazione lineare 7215 Problema della diagonalizzazione 73</p></li><li><p>216 Approfondimenti 82</p><p>II. Geometria Euclidea 92</p><p>1 Geometria Euclidea del piano 922 Rette nel piano 983 Geometria Euclidea del piano: applicazioni ed esercizi 1034 Geometria Euclidea dello spazio 1065 Rette e piani nello spazio 1116 Geometria Euclidea dello spazio: applicazioni ed esercizi 1147 Geometria Euclidea di Rn 121</p><p>Appendice: I Numeri Complessi 133</p><p>III. Esercizi di riepilogo e Testi dEsame 139</p><p>1 Matrici 1392 . . . . . . . . . . . . . . (testi desame) 1413 Sistemi Lineari 1434 . . . . . . . . . . . . . . (testi desame) 1455 Spazi Vettoriali 1476 . . . . . . . . . . . . . . (testi desame) 1507 Applicazioni Lineari 1548 . . . . . . . . . . . . . . (testi desame) 1579 Diagonalizzazione 15910 . . . . . . . . . . . . . . (testi desame) 16111 Geometria Euclidea 16512 . . . . . . . . . . . . . . (testi desame) 166</p><p>IV. Soluzione degli Esercizi 169</p><p>1 Soluzioni degli esercizi del Capitolo I 1692 Soluzioni degli esercizi del Capitolo II 1723 Soluzioni degli esercizi del Capitolo III 175</p><p>Altro materiale didattico si trova nella sezione</p><p>Area Esami</p><p>della mia pagina web</p><p>www.mat.uniroma2.it/ marini</p></li><li><p>3INTRODUZIONE</p><p>I prerequisiti sono minimi. Si assume che lo studente abbia un minimo di dimestichezzacon linsiemistica e lalgebra elementare che si studiano nella scuola secondaria.</p><p>La trattazione viene mantenuta ad un livello molto elementare, solo passando al para-grafo dedicato agli approfondimenti di algebra lineare inevitabilmente ce` un piccolo saltodi qualita`; a quel punto della trattazione e` giusto assumere che lo studente sia matematica-mente un po piu` maturo, quindi in grado di recepire insegnamenti a un livello piu` avanzato.</p><p>Si da` particolare enfasi alle definizioni. La matematica e` fatta al 90% di definizioni!Ritengo che questo sia lapproccio giusto, innanzi tutto chiarire di cosa si sta parlando. Chesia chiaro che la matematica e` unopinione! ...poi magari si cerca anche di spiegare perche sie` scelto di dare una certa definizione, e naturalmente si cerca di far precedere la definizione,come pure il teorema, con qualche esempio che illustri dove si vuole andare a parare.</p><p>Gli esercizi che si incontrano nel testo sono parte integrante della teoria, possono esserefunzionali a scopi diversi, come quello di fissare le nozioni viste o quello di acquisire quellasensibilita` utile, se non indispensabile, per poter andare avanti. In ogni caso, non devonoessere saltati ma svolti immediatamente dallo studente. Nella quasi totalita` dei casi si trattadi esercizi che sono applicazioni dirette delle definizioni o dei teoremi visti, lo studente chenon riuscisse a risolverli e` invitato a rileggere il paragrafo che sta studiando, solo come ultimaspiaggia puo` andare a vedere le soluzioni!</p><p>Gli esercizi di riepilogo come pure i testi desame, sebbene anche funzionali agli stessi scopidegli esercizi proposti insieme alla teoria, servono soprattutto come strumento di verifica diquanto appreso. Lo studente che non riuscisse a svolgerli non deve imparare a svolgerlima deve tornare indietro allo studio della teoria. Imparare come si fa una certa cosa nonserve a nulla se non si comprende quello che si sta facendo. Sapete qual e` la differenza trauno studente che ha capito la teoria e uno che non lha capita? ...quello che lha capita diceche i testi desame sono tutti uguali, laltro dice che sono tutti diversi!</p><p>Termino ricordando alcuni simboli e abbreviazioni:</p><p> = esiste; ! = esiste un unico; = per ogni; | = tale che; = appartiene; = e` incluso; = infinito; = insieme vuoto;= = implica; = se e solo se;c.l. = combinazione lineare.</p><p>E.G. = algoritmo di eliminazione di Gauss.</p><p>N, Z, Q, R denotano ripettivamente linsieme dei numeri naturali, interi, razionali, reali.Gli insiemi vengono descritti tra parentesi graffe: ad esempio, {x R | senx 0 } e`linsieme dei numeri reali x tali che senx 0.</p></li><li><p>4I</p><p>ALGEBRA LINEARE</p><p>1. Introduzione ai sistemi lineari.</p><p>Cominicamo con alcuni esempi. Una definizione formale di sistema lineare la daremo allafine del paragrafo, per ora lo studente puo` tranquillamente pensare al concetto di equazione,ovvero sistema di equazioni visto al liceo.</p><p>Lesempio piu` elementare di sistema lineare e` il sistema di una equazione in una incognita</p><p>a x = b , a , b R .</p><p>In questo caso la discussione delle soluzioni e` molto semplice: ci sono tre possibilita`</p><p>i) se a 6= 0 esiste una unica soluzione: x = ba ;ii) se a = b = 0 ogni valore di x e` una soluzione del sistema;</p><p>iii) se a = 0 e b 6= 0 il sistema non ha soluzioni.</p><p>Esempio. Discutiamo le soluzioni del sistema lineare di una equazione in due incognite</p><p>(1.1) a x + b y = c , a , b , c R .</p><p>Anche in questo caso lesistenza di soluzioni dipende dai valori dei coefficienti a, b, c .Assumendo a 6= 0 (lasciamo allo studente il problema di discutere gli altri casi possibili),dividendo per a si ottiene</p><p>x =(c by )/a .</p><p>Pertanto, se a 6= 0 linsieme delle soluzioni del sistema lineare (1.1) e`</p><p>(1.2){x, y</p><p> x = (c by)/a} .La notazione usata e` la seguente: { ... } significa linsieme ... e la barra verticale |significa tale che. In definitiva, la (1.2) si legge dicendo linsieme degli x, y tali chex = (cby)/a. Si osservi che y puo` assumere qualsiasi valore. Per questo motivo, diciamoche y e` un parametro libero (relativamente alla descrizione data dello spazio delle soluzionidel sistema (1.1)).</p><p>Esempio. Studiamo il sistema lineare di due equazioni in due incognite</p><p>(1.3)</p><p>{a x + b y = c x + d y = , a , b , c , d , , R .</p><p>Se moltiplichiamo la seconda equazione per a e vi sostituiamo ax = by (ottenutadalla prima equazione del sistema) troviamo</p><p>(1.4) (ad bc) y = a c .</p></li><li><p>5Si potrebbe obiettare che potremmo aver moltiplicato per zero (se a = 0). Vero, comunqueluguaglianza scritta resta valida.1 Un calcolo simile mostra che</p><p>(1.5) (ad bc) x = d b .Dalle formule (1.4) e (1.5) deduciamo quanto segue.</p><p>Proposizione. Se ad bc 6= 0 , esiste una unica soluzione del sistema lineare (1.3),si ha</p><p>(1.6) x =d bad bc , y =</p><p>a cad bc</p><p>Dimostrazione. Dividendo sia la (1.4) che la (1.5) per ad bc troviamo le espressioni dix ed y che abbiamo scritto. Questo dimostra che ce` al piu` una soluzione, quella indicata.Lesistenza e` un facile conto: basta sostituire le espressioni trovate nel sistema (1.3).</p><p>Resta da studiare il caso ad bc = 0 (poniamo := ad bc). A tal fine osserviamoche se = 0 , cioe` ad = bc , le due funzioni</p><p>f(x, y) := ax + by e g(x, y) := cx + dy</p><p>sono proporzionali: una delle due funzioni e` un multiplo dellaltra. Infatti, se assumiamoab 6= 0 (lasciamo allo studente lesercizio di studiare i rimanenti casi possibili), dividendola relazione ad = bc per ab troviamo db =</p><p>ca . Posto k :=</p><p>db , abbiamo</p><p>cx + dy = k (ax + by) .Ne segue che ci sono due possibilita`:</p><p>i) = k , in questo caso le due equazioni di (1.3) si riducono ad una ed abbiamoinfinite soluzioni;</p><p>ii) 6= k , in questo caso e` evidente che il sistema (1.3) non ammette soluzioni.Anche nel caso che abbiamo lasciato per esercizio ab = 0 si presenta lo stesso fenomeno:il sistema (1.3) non ammette soluzioni oppure ne ammette infinite. In definitiva vale laproposizione che segue.</p><p>Proposizione 1.7. Se ad bc = 0 , possono verificarsi solo due possibilita`:i) esistono infinite soluzioni del sistema (1.3);</p><p>ii) il sistema (1.3) non ammette soluzioni.</p><p>A questo punto ci domandiamo, cosa accade con i sistemi di n equazioni in n incognite,e` possibile trovare delle formule che generalizzano le (1.6) e caratterizzare il caso in cui esisteuna unica soluzione? Inoltre, come si affronta lo studio dei sistemi lineari in cui il numerodelle equazioni e` diverso da quello delle incognite?</p><p>Risponderemo a queste domande nei prossimi paragrafi. Naturalmente, come promesso,prima di farlo definiamo in modo formale i concetti di sistema lineare e di soluzione diun sistema lineare.</p><p>Definizione 1.8. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite e` un sistema del tipo</p><p>(?)</p><p>a1,1x1 + ... + a1,nxn = b1</p><p>a2,1x1 + ... + a2,nxn = b2...</p><p>...</p><p>am,1x1 + ... + am,nxn = bm</p><p>1 Peraltro ce` un altro modo di ottenere la stessa equazione, quello di moltiplicare la prima equazione per ce di sostituirvi cx = dy . Osserviamo che se a = c = 0 , la (1.4) e` luguaglianza banale 0 = 0 .</p></li><li><p>6dove gli ai,j ed i bi sono numeri reali (detti coefficienti del sistema), mentre x1, ..., xnsono dei simboli detti incognite del sistema.</p><p>Definizione 1.9. Una soluzione del sistema e` una npla di numeri x1, ..., xn che,</p><p>sostituinti in (?) al posto delle incognite, soddisfano tutte le equazioni.</p><p>Definizione 1.10. Se i coefficienti b1, ..., bm (detti anche termini noti) sono tutti nullidiciamo che il sistema e` omogeneo.</p><p>Definizione 1.11. Il sistema omogeneo associato al sistema lineare (?) e` il sistema diequazioni </p><p>a1,1x1 + ... + a1,nxn = 0</p><p>......</p><p>am,1x1 + ... + am,nxn = 0</p><p>(ottenuto sostiutendo i termini noti con degli zeri).</p><p>Definizione 1.12. Un sistema lineare si dice compatibile se ammette soluzioni (una o piu`),se non ammette soluzioni si dice incompatibile.</p><p>Definizione 1.13. Due sistemi lineari si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.</p><p>Lequivalenza di sistemi lineari e` una relazione di equivalenza per linsieme di tutti isistemi lineari, in particolare e` definita la nozione di classe di equivalenza di sietemi lineari.Questo concetto lo si incontra studiando linsiemistica di base, per chi non lo avesse gia` vistodiamo la definizione che segue.</p><p>Definizione 1.14. La classe di equivalenza di un sistema lineare S e` linsieme di tutti isistemi lineari equivalenti ad S .</p><p>Per quel che ci riguarda e` solo una questione di linguaggio: dire che due sistemi linearisono equivalenti e dire che appartengono alla stessa classe di equivalenza e` dire la stessacosa; di fatto la definizione (1.14) ci serve solo per dare un nome allinsieme di tutti i sistemilineari equivalenti ad un sistema lineare dato (si veda, ad esempio, losservazione (1.18)).</p><p>Esempio 1.15. I sistemi lineari{3x + 2y = 7</p><p>2x + 5y = 12</p><p>{5x + 6y = 17</p><p>8x + 3y = 14</p><p>sono equivalenti. Infatti, hanno entrambi x = 1 , y = 2 come unica soluzione.</p><p>Esercizio. Risolvere i sistemi dellesempio precedente.</p><p>Esempio 1.16. I sistemi lineari</p><p>S1 :=</p><p>3x + 2y + 2z = 7</p><p>2x + 5y + 2z = 1</p><p>2x + 2y + 3z = 8</p><p>, S2 :=</p><p>3x + 2y + 2z = 7</p><p>2x + 5y + 2z = 1</p><p>9x + 14y + 9z = 17</p><p>sono equivalenti. Ma non e` necessario risolverli per rendersi conto che sono equivalenti: leequazioni di S2 le abbiamo ricavate da quelle di S1 (ricopiando le prime due equazionie sommando, alla terza equazione, la prima equazione piu` il doppio della seconda), quindise x, y, z e` una soluzione di S1 , soddisfa anche S2 ; viceversa, le soluzioni di S2 sonosoluzioni anche di S1 perche e` possibile ricavare le equazioni di S1 da quelle di S2 (bastaricopiare le prime due equazioni e sottrarre, alla terza equazione, la prima equazione piu` ildoppio della seconda).</p></li><li><p>7Passiamo dallesempio al caso generale.</p><p>Definizione 1.17. Una combinazione lineare delle equazioni f1(...) = 1 , ..., fk(...) = ke` unequazione del tipo 1f1(...) + ... + kfk(...) = 11 + ... + kk . I numeri 1, ..., ksi chiamano coefficienti della combinazione lineare.</p><p>Esempio. La combinazione lineare di coefficienti 2 e 3 delle equazioni</p><p>4x + 3y + 5z = 7</p><p>2x + 4y + 2z = 3</p><p>e` lequazione</p><p>14x + 18y + 16z = 23 ,</p><p>ottenuta sommando il doppio della prima equazione al triplo della seconda equazione.</p><p>Generalizzando quanto visto nellesempio (1.16), se modifichiamo un sistema lineare som-mando ad una sua equazione una combinazione lineare delle altre, otteniamo un sistemalineare equivalente a quello da cui siamo partiti. Naturalmente, anche loperazione di molti-plicare unequazione per una costante non nulla non cambia la classe di equivalenza di unsistema lineare. In definitiva, abbiamo losservazione fondamentale sulla quale si basano imetodi per risolvere un sistema lineare:</p><p>Osservazione 1.18. La classe di equivalenza di un sistema lineare non cambia se</p><p>i) si moltiplica unequazione per una costante non nulla;</p><p>ii) ad unequazione si somma una combinazione lineare delle altre;</p><p>iii) si scambiano due equazioni tra loro .</p><p>Tornando al sistema (?) (def. 1.8) osserviamo che le informazioni che lo identificanosono racchiuse nei numeri ai,j e bi , numeri che raccoglieremo in delle tabelle ponendo</p><p>A :=(ai,j</p><p>):=</p><p>a1,1 ... a1,n</p><p>. . .</p><p>. . .</p><p>. . .</p><p>am,1 ... am,n</p><p> , A :=</p><p>a1,1 ... a1,n b1</p><p>. . . .</p><p>. . . .</p><p>. . . .</p><p>am,1 ... am,n bm</p><p> .</p><p>Tabelle di questo tipo si chiamano matrici (cfr. def. 1.21).</p><p>Definizione 1.19 Le matrici A ed A si chiamano rispettivamente matrice incompleta ematrice completa associata al sistema lineare (?) .</p><p>Esercizio 1.20. Indicare quali dei seguenti sistemi di equazioni sono sistemi lineari e, diquelli lineari, indicarne le matrici incompleta e completa:</p><p>a) il sistema, nelle incognite x, y, di equazioni</p><p>{x+ y = 1</p><p>x y = 3 ;</p><p>b) il sistema, nelle incognite x, y, z, di equazioni</p><p>{ax+ 2y = 3</p><p>x sent y = 3 ;</p><p>c) il sistema di equazioni</p><p>{x y = zx|t|+1 = z y ;</p></li><li><p>8Useremo le matrici in maniera sistematica, e non solo come oggetti associati ai sistemilineari. E` bene iniziare a familiarizzare fin dora con alcune notazioni di uso frequenteconcernenti le matrici.</p><p>Definizione 1.21. Una matrice m n e` una tabella di numeri costituita da m righe edn colonne. Linsieme delle matrici m n lo indichiamo con Mm,n(R) . Data una matriceA Mm,n(R) , useremo la notazione A = (ai, j) per indicare che il numero ai, j e`lelemento che si trova sulla riga i e colonna j (detto anche di posto i, j ).</p><p>Definizione 1.22. Se A Mn, n diciamo che e` una matrice quadrata. In questo casola sequenza degli elementi a1, 1, a2, 2, ..., an, n si chiama diagonale principale:</p><p>A =(ai,j</p><p>)=</p><p>a1,1 a1,2 a1,na2,1 a2,2 </p><p>an,1 an,2 an,n</p><p> .</p><p>Definizione 1.23. Sia A Mn, n una matrice quadrata. Se risulta ai, j = 0 per ognii &gt; j diciamo che A e` una matrice triangolare superiore (la definizione ci dice che unamatrice triangolare superiore e` una matrice dove gli elementi che si trovano sotto la diagonaleprincipale sono tutti nulli).</p><p>Definizione 1.24. Sia A Mn, n una matrice quadrata. Se risulta ai, j = 0 per ognii 6= j diciamo che A e` una matrice diagonale.Definizione 1.25. La matrice diagonale A Mn, n soddisfacente ai, i = 1 per ogni i sichiama matrice identica e si indica con In.</p><p>Es...</p></li></ul>