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MOVIMIENTO VIBRATORIO AMORTIGUADO

k

sm

Objetivo: Discutir el movimiento resultante de una masa sujeta a un resorte con amortiguamiento cuando es desplazada de su posición de equilibrio

x


Situación dinámica

2

2d xF ma mdt

2

2dx d xF k s x mg b mdt dt

Balance de fuerzas:

x

k

sm Fuerza de

gravedadFuerza restaura-dora del resorte

Fuerza ResultanteFuerza

amortiguadora


Situación dinámica

2

2dx d xF k s x mg b mdt dt

Balance de fuerzas:

2

2dx d xk x b mdt dt

2

2 0d x dxm b k xdtdt

k

sm

2

20

dx d xF kx ks mg b mdt dt

x


x

2

2 0d x dxm B k xdtdt

MODELO MATEMÁTICO

k

sm


Ecuación auxiliar

2 0b kr rm m

2

1

4

2 2

b km mbr

m

2

2 0d x b dx k xm dt mdt

Resolviendo…..

0

0

00

x x

v v

2

2

4

2 2

b km mbr

m


Puede ocurrir:2

4 2b k b k;m m m m

2

4 2b k b k;m m m m

2

4 2b k b k;m m m m

Caso IRaíces reales y distintas

Caso IIRaíces reales repetidas

Caso IIIRaíces complejas conjugadas


Caso I: sobreamortiguado

r t r tx t c e c e 1 21 2

1 2y r r reales y distintas


Caso II: críticamente amortiguado

1 2r tx t e c c t

1 2r r r reales y repetidas


Caso III: subamortiguado

1 2tx t e c cos t c sen t

1 2y r r Complejas conjugadas

VIBRACIONES FORZADAS.Las vibraciones que tienen lugar en presencia de fuerzas variables con el tiempo, reciben el nombre de VIBRACIONES FORZADAS o Cuando un cuerpo que está vibrando se pone en contacto con otro, el segundo cuerpo se ve forzado a vibrar con la misma frecuencia que el original. Se le conoce como vibración de estado estable ya que es la única vibración que permanece.

TIPOS DE VIBRACIONES FORZADAS:

Vibraciones forzadas sin amortiguamiento:Uno de los movimientos más importantes en el trabajo ingenieril son las vibraciones forzadas sin amortiguamiento. Los principios que describen este movimiento pueden aplicarse al estudio de las fuerzas que originan la vibración en varios tipos de máquinas y estructuras.

Fuerza periódica o armónica de excitación: El sistema mostrado en a figura, proporciona un modelo de un sistema masa resorte sometido a una fuerza de carácter armónico dada por F = F0sen ( t), donde Fω 0 es la amplitud de la vibración armónica y es a frecuencia de la vibración ωarmónica.

Aplicando las ecuaciones de movimiento según el eje x, resulta:

La solución general será: una solución complementaria y una solución particular así:

De la ecuación se observa que la oscilación total está compuesta por dos tipos de movimiento. Una vibración libre de frecuencia ωn figura 2.11a, y una vibración forzada causada por la fuerza exterior figura 2.11b. De esto se observa que la vibración libre se extingue quedando la vibración permanente o particular como lo muestra la figura 2.11c.

FACTOR DE AMPLIFICACIÓN :Se define como factor de amplificación al cociente entre la amplitud de la vibración estable y la deflexión estática.

Desplazamiento Periódica del soporte o desplazamiento excitador periódico:

Las vibraciones forzadas también pueden surgir a partir de la excitación periódica de la cimentación de un sistema. El modelo indicado en la figura 2.12, representa la vibración periódica de un bloque que es originada por el movimiento armónico

= δ δ0sen t.ω

Aplicando la ecuación de movimiento según la dirección horizontal se tiene :

Para hallar la solución de esta ecuación seguimos el mismo procedimiento que en la ecuación anterior obteniendo primero una solución complementaria y luego una solución particular

VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO:Para determinar las ecuaciones que la gobiernan a este movimiento consideremos un sistema masa, resorte y amortiguador sometido a una fuerza periódica externa P =P0sen , tal como seΩmuestra en la figura.

Aplicando al DCL la segunda ley de Newton, se obtiene:

La resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración coincide con el periodo de vibración característico de dicho cuerpo. En el cual una fuerza relativamente pequeña aplicada en forma repetida, hace que una amplitud de un sistema oscilante se haga muy grande.

En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza.

EL FENÓMENO DE LA RESONANCIA

Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Por la misma razón, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden entrar en resonancia y derrumbarse.

Ojo: La resonancia no se produce porque la fuerza externa sea muy grande sino porque coinciden las frecuencias.

Una masa m ligada a un resorte de constante elástica K

Para describir la dinámica de una masa acoplada a un resorte se parte de la 2ª Ley de Newton.

Posición en función del tiempo - movimiento armónico simple

Al sustituir (2) en (1): Donde la frecuencia angular es:

LA RESONANCIA EN UN SISTEMA SENCILLO

Analicemos ahora el caso de un oscilador forzado, para ello se aplica sobre la masa otra fuerza más la cual tendrá un carácter periódico con una amplitud F, frecuencia angular ω y actuando en la dirección del eje del resorte, tal como se observa en la figura.

Si la fuerza externa periódica tiene la forma F = F cosωt, entonces la fuerza total que actúa sobre la masa m es:

Ahora la segunda ley de Newton toma la forma:

Si al igual que el caso anterior y(t) = Acosωt , con ω la frecuencia angular de la fuerza externa.

A: valor de la amplitud de la oscilación

Pero de acuerdo a (3)

Se observa que cuando ω tiende a ω0, el valor absoluto de la amplitud A tiende a infinito. En esta situación en que el sistema

elástico tiende a oscilar con una máxima amplitud se dice que el sistema entra en un estado de Resonancia.

Si nos aproximamos a la frecuencia natural con valores mayores que ω0 El valor de la amplitud tendrá valores negativos; para evitar este comportamiento anómalo se introduce en la solución propuesta un ángulo de fase α

Tal que α será igual a 0 para valores de ω menores que ω0, y π para valores mayores.

Para que este comportamiento sea un modelo más realista se tiene que tomar en cuenta la fricción. Si se supone que la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad de la masa, la segunda ley de Newton ahora es:

Con b una constante de proporcionalidad, la amplitud resultante resulta:

Donde γ=b/m. Aunque ahora la amplitud máxima ya no ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa es exactamente la frecuencia natural ω0, para muchos problemas de interés la diferencia no es considerable.

LA PRESENCIA DE LAS FUERZAS OSCILANTES, LAS FRECUENCIAS NATURALES Y LA RESONANCIA EN LA VIDA REAL

FUERZAS OSCILANTES:Pese a la apariencia de quietud del suelo que pisamos, de los edificios, de los puentes y de muchas otras estructuras arquitectónicas que nos rodean, en realidad están en continuo cambio y movimiento, y un tipo especial del movimiento es el debido a las fuerzas mecánicas oscilantes.

- Los diversos sonidos ambientales son vibraciones de tipo mecánico, ya que son las variaciones periódicas de la presión del aire o de las cosas que nos rodean las que generan los sonidos.

- Las vibraciones que parten del motor de los automóviles someten a todas las partes de un auto y a sus ocupantes a continuas oscilaciones mecánicas.

-El suelo mismo en que nos movemos experimenta movimientos oscilatorios todos los días, simplemente que son de tan pequeña magnitud que en general no los alcanzamos a percibir.

-Las mismas fuerzas gravitatorias oscilan, tal como lo muestra el fenómeno de las mareas en que el nivel del mar sube y baja acompasado con el movimiento periódico de la Luna.

-El mundo laboral está lleno de máquinas de diferentes tamaños que van desde los taladros de mano hasta máquinas más potentes que producen toda una variedad de vibraciones mecánicas.

ESTRUCTURAS ELÁSTICAS Y FRECUENCIAS NATURALES

La elasticidad es la propiedad que tienen los cuerpos de deformarse bajo la acción de fuerzas externas y de recuperar su forma una vez que desaparecen estas fuerzas; dentro de ciertos rangos la deformación para todos los cuerpos es proporcional a la fuerza deformante aplicada. Por tanto, antes de alcanzar otra vez su estado de equilibrio, los cuerpos desarrollarán un cierto número de oscilaciones; y cada cuerpo, dependiendo de su forma, de su masa, del material de que esté hecho, así como de las restricciones a que esté sometido, oscilará con ciertas frecuencias propias a las que, como se ha indicado, se les denomina frecuencias naturales.

Un sistema resorte masa tiene una sola frecuencia natural de vibración; una cuerda tensa sujeta por sus dos extremos presenta una cantidad infinita de frecuencias naturales, todas ellas múltiplos de una frecuencia básica; las placas de metal o de vidrio o las membranas de cuero también presentan frecuencias naturales; si bien no todas ellas son múltiplos de una frecuencia básica; estructuras como los puentes también presentan frecuencias naturales.

CASOS DE RESONANCIA

Si estamos en un mundo sometido continuamente a fuerzas oscilantes, y si además estamos rodeados de estructuras elásticas tales como ventanas, puentes, edificios, etc., es factible que en muchos casos la frecuencia de las fuerzas oscilantes coincida con alguna de las frecuencias naturales de las estructuras elásticas provocando fenómenos de resonancia.

- Es una experiencia común que cuando se escucha música dentro de un cuarto, algunas veces al aparecer sonidos de frecuencia muy baja los vidrios de las ventanas empiezan a vibrar violentamente. Esto ocurre, naturalmente, porque hay un fenómeno de resonancia, ya que en tales casos la frecuencia de los sonidos graves coincide con alguna de las frecuencias naturales de oscilación de los vidrios de las ventanas.

Un ejemplo muy drástico de los efectos destructivos que pueden producirse en caso de resonancia, se presenta cuando una ciudad es afectada por un sismo; la ciudad está llena de estructuras elásticas de gran escala, tales como edificios y puentes; la frecuencia de los sismos, es decir, la frecuencia con que se mueve el suelo, está ante todo en el rango de los 0.5 -2 Hz, son frecuencias relativamente bajas, pero las grandes masas de los edificios de más de 5 pisos de altura por su propia inercia tienden a tener frecuencias bajas y propician por tanto la ocurrencia del fenómeno de resonancia. En este caso la amplitud de las oscilaciones mecánicas de los edificios tiende a crecer tanto en cada ciclo que pueden llegar al punto de ruptura, tal como sucedió con muchos edificios en el gran terremoto de la ciudad de México en 1985.

El puente original de Tacoma Narrows se extendía 1.810 m para salvar un pequeño canal cerca de Tacoma, en el estado de

Washington (Estados Unidos). El puente fue abierto al tráfico el 1 de julio de 1940. Cuatro meses después se vino abajo durante un temporal de viento con rachas que alcanzaron los 68 km/h. La catástrofe fue atribuida a la resonancia, un fenómeno físico

en el que una fuerza relativamente pequeña aplicada repetidamente aumenta la amplitud de un sistema oscilante.

Esta fuerza repetitiva hizo que el puente se elevara y balanceara, hasta que finalmente se rompió y se precipitó.

HUNDIMIENTO DEL PUENTE DE TACOMA NARROWS

EJERCICIO DE APLICACIÓN

GRAFICO

SOLUCIÒN

Realizamos nuestra ecuación del movimiento de la masa

Obtenemos nuestra ecuación diferencial; no sin antes dividiendo entre ¨m¨ la expresión anterior

Ahora como:

Entonces:

se deduce que estamos en un movimiento libre sub amortiguado

Seguidamente resolvemos la ecuación diferencial:

Mediante el cambio de variable convertimos nuestra ecuación diferencial en una ecuación algebraica

Quedando:

Donde las raíces de λ serán:

Ahora la solución general según el caso de un movimiento sub amortiguado será:

La derivada será:

Solución general del sistema

La fuerza que ejerce el resorte cuando su desplazamiento es máximo se da cuando

Resulta:

Donde t = 5.565 sEntonces

Por lo tanto la fuerza del resorte será:

RESPUESTA:

La fuerza del resorte cuando este alcance su máximo alargamiento será:

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