cuarto examen sorpresa, primer semestre 2015. lineal... · cuarto examen sorpresa, primer semestre...
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Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Determine si las siguientes transformaciones son lineales o no
1. T : P 2(x) → R3 T (a0 + a1 x + a2 x2) = (a0 + a1, a1 + a2, a2 + a0)
2. T : P 2(x) → M2×2 T (a0 + a1 x + a2 x2) =
[
0 a1
a0 a2 a2
]
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Determine si las siguientes transformaciones son lineales o no
1. T : P 2(x) → R3 T (a0 + a1 x + a2 x2) = (a0 + a1, a1 + a2, a2 + a0)
2. T : P 2(x) → M2×2 T (a0 + a1 x + a2 x2) =
[
0 a1
a0 a2 a2
]
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Determine si las siguientes transformaciones son lineales o no
1. T : P 2(x) → R3 T (a0 + a1 x + a2 x2) = (a0 + a1, a1 + a2, a2 + a0)
2. T : P 2(x) → M2×2 T (a0 + a1 x + a2 x2) =
[
0 a1
a0 a2 a2
]
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Determine si las siguientes transformaciones son lineales o no
1. T : P 2(x) → R3 T (a0 + a1 x + a2 x2) = (a0 + a1, a1 + a2, a2 + a0)
2. T : P 2(x) → M2×2 T (a0 + a1 x + a2 x2) =
[
0 a1
a0 a2 a2
]
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Determine si las siguientes transformaciones son lineales o no
1. T : P 2(x) → R3 T (a0 + a1 x + a2 x2) = (a0 + a1, a1 + a2, a2 + a0)
2. T : P 2(x) → M2×2 T (a0 + a1 x + a2 x2) =
[
0 a1
a0 a2 a2
]
Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Problema. Determine si las siguientes transformaciones son lineales o no
1. T : P 2(x) → R3 T (a0 + a1 x + a2 x2) = (a0 + a1, a1 + a2, a2 + a0)
2. T : P 2(x) → M2×2 T (a0 + a1 x + a2 x2) =
[
0 a1
a0 a2 a2
]
Solucion Cuarto Examen Sorpresa, Primer Semestre 2015.
Para verificar que se trata de una transformacion lineal, es necesario probar que la transformacion es aditiva yhomogenea. Sean
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 q(x) = b0 + b1 x + b2 x2
elementos arbitrarios de P2(x) y λ ∈ R arbitrario. Entonces
p(x) + q(x) =(
a0 + a1 x + a2 x2)
+(
b0 + b1 x + b2 x2)
= (a0 + b0) + (a1 + b1) x + (a2 + b2) x2
yλ p(x) = λ
(
a0 + a1 x + a2 x2)
= (λa0) + (λa1) x + (λa2) x2
Ahora si, es posible analizar la linealidad de las transformaciones.
1. Primera transformacion.
T (p(x) + q(x)) = T[
(a0 + b0) + (a1 + b1) x + (a2 + b2) x2]
= (a0 + b0 + a1 + b1, a1 + b1 + a2 + b2, a2 + b2 + a0 + b0)
= (a0 + a1, a1 + a2, a2 + a0) + (b0 + b1, b1 + b2, b2 + b0) = T (p(x)) + T (q(x))
y la transformacion es aditiva.
T (λ p(x)) = T[
(λa0) + (λa1) x + (λa2) x2]
= [(λa0) + (λa1) , (λa1) + (λa2) , (λa2) + (λa0)]
= λ(a0 + a1, a1 + a2, a2 + a0) = λT (p(x))
y la transformacion es homogenea y por lo tanto es lineal.
2. Segunda transformacion. Es facil probar que la transformacion no es lineal. Considere los polinomios
p(x) = 1 q(x) = x2 Por lo tanto p(x) + q(x) = 1 + x2
Por lo tanto
T (p(x) + q(x)) = T(
1 + x2)
=
[
0 01 1
]
Mientras que
T (p(x)) + T (q(x)) =
[
0 00 0
]
+
[
0 00 1
]
=
[
0 00 1
]
6=
[
0 01 1
]
= T (p(x) + q(x))