clasa ix coliniaritate,concurenta
DESCRIPTION
Clasa IX Coliniaritate,ConcurentaTRANSCRIPT
![Page 1: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/1.jpg)
Ciocotişan Radu
ii vectoriale de coliniaritateii vectoriale de coliniaritateŃŃ3.1 Condi3.1 Condiia 1.ia 1.ŃŃPropoziPropozi
Punctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă există numărul real α astfel încât ACAB α=
ieieŃŃemonstraemonstraDD
1) Dacă A,B,C sunt coliniare atunci vectorii AB şi AC sunt coliniari deci există numărul real α şi ACAB α=2) Dacă ACAB α= atunci vectorii AB şi AC sunt coliniari,deci dreptele AB şi AC coincid,adică punctele A,B,C sunt coliniare
n cazurileîi şia este adevărată Ń: propoziieŃObserva ABACBCACACAB γβα === ,,
Punctele A,B,C sunt coliniare ⇔ există numărul real α ,astfel încât ACAB α=
![Page 2: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/2.jpg)
Ciocotişan Radu
ia 2.ia 2.ŃŃPropoziPropoziPunctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă există numerele reale x,y,cu x+y=1, astfel încât pentru orice punct O din plan avem
OByOAxOC +=
Punctele A,B,C sunt coliniare ⇔ . astfel astfel îîncât pentru orice punctncât pentru orice punct O din plan avem1,, =+∈∃ yxRyx OByOAxOC +=
a) b)ieieŃŃemonstraemonstraDD
a)→b)A
B
C
O
Fie ( ) OByOAxOBOAOBOAOCCB
CA+=
−−
+−
=−−
=⇒=λλ
λλ
λλ
11
1
1
1
x y
b)→a) avem ( ) ( ) ( )
CBx
yCACByCAx
CByCAxOCCByCAxOCyxCBOCyCAOCxOByOAxOC
−=⇒=+⇒
++=+++=+++=+=
0 iar din Prop.1 A,B,C sunt coliniare
ă ă ŃŃConsecinConsecin Cum x+y=1 avem y=1-x şi atunci
OBxOAxOC )1( −+= *Rx∈Punctele A,B,C sunt coliniare ⇔
![Page 3: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/3.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 1Problema 1
Într-un trapez mijloacele bazelor,punctul de intersecŃie al diagonalelor şi punctul de intersecŃie al laturilor neparalelesunt 4 puncte coliniare
AB
CD
O
E
F
I
RezolvareRezolvare
,O,F sunt coliniareArătăm că E1)
,2
,2
OBOAOF
OCODOE
+=
+=E,F mijloace
Notămk
OD
OB
OC
OA==
OEkOBOC
kOBkOCkOBOA
OF
OCkOA
−=+
−=−−
=+
=
−=⇒
222
,
ceea ce exprimă că O,E,F sunt coliniare( Prop.1)
,F,I sunt coliniareArătăm că punctele E2)
2,
2
IBIAIF
ICIDIE
+=
+=E,F mijloace
( ) IFk
IBIAk
IEkIB
IC
kIA
ID
kOA
OC
AB
DCOABODC
AB
DC
IB
IC
IA
IDIABIDC
2
1
2
11,
1
1
=+=⇒==⇒
==⇒∆≈∆
==⇒∆≈∆
ceea ce exprimă că I,E,F sunt coliniare( Prop.1)
![Page 4: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/4.jpg)
Ciocotişan Radu
22Problema Problema
În triunghiul ABC ,fie D,E mijloacele laturilor AB,AC. Fie C’ situat pe AB şi B’ situat pe AC astfel ca
λ==AB
AB
AC
BC
'
'
'
' ArătaŃi că punctele D,E şi I ,mijlocul lui B’C’ sunt coliniare.
RezolvareRezolvare A
B C
D E
I
B’
C’
( )12
'' ACABAI
+=
Avem ( )( )2,
1
1'
'''''
ABAC
ACABBCABACACBC
λ
λλ
−=⇒
⇒−−=−=⇒=
Avem ( )3,1
''' ACABCBABλλ
λ−−
=⇒=
Înlocuind 2 şi 3 în 1 avemAEADAI
λλ
λ −−
+−
=11
1
x y
şi x+y=1 deci D,E,I coliniare( Prop.2)
![Page 5: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/5.jpg)
Ciocotişan Radu
33Problema Problema
Fie triunghiul ABC şi G centrul său de greutate.O dreaptă d care trece prin G,intersectează AC în P şi BC în Q. ArătaŃi că 1=+
QC
BQ
PC
AP
RezolvareRezolvare
Notăm nQC
BQm
PC
AP== ,
C
BA
G
P
Q
atunciCA
mCP
mCA
CP
1
1
1
1
+=⇒
+= analog CB
nCQ
1
1
+=
De asemenea avem ( )CBCACCCG +⋅==2
1
3
2'
3
2
Cum punctele P,Q,G sunt coliniare,există numărul real nenul t,astfel încât CQtCPtCG )1( −+= consecinŃă
( ) CBn
tCA
m
tCBCACG
1
1
13
1
+−
++
=+=Atunci
Cum vectorii CA şi CB sunt necoliniari avem
cctdnmnmn
tm
t
n
t
m
t
,13
11
3
1
3
11 şi
3
11
1
3
1 şi
13
1
=+⇒+
−=+
⇒+
−=+
=⇒
+−
=+
=
![Page 6: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/6.jpg)
Ciocotişan Radu
SYLVESTERSYLVESTERia luiia luiŃŃRelaRela
În orice triunghi ABC avem
( notăm O-centrul cercului circumscris,G-centrul de greutate,H-ortocentrul)
OHOCOBOA =++
ieieŃŃDemonstraDemonstra
triunghi dreptunghic1.Cazul A
B C
O
H=A OHOA = OHOCOBOA =++ evident
triunghi oarecare.Cazul2
A
B
C
O
D
H
P
BHCDABCHABDB
DCBHACDCACBH
//,
//,
⇒⊥⊥
⇒⊥⊥
deci BHCD este paralelogram
Fie P mijlocul lui BC
În ∆AHD, OP este linie mijlocie OPAH 2=⇒
De asemenea în ∆OBC,OP este mediană OCOBOP +=⇒ 2AHOCOB =+⇒
În ∆AOH avem OAOHAH −=
OHOCOBOA =++
![Page 7: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/7.jpg)
Ciocotişan Radu
))Dreapta lui EULERDreapta lui EULER((TeoremăTeoremă
i avem şi H sunt coliniarei H sunt coliniareşşO,G O,G n orice triunghi ABC,punctele Î OGOH 3=ieieŃŃDemonstraDemonstra
Folosim relaŃia lui LEIBNIZ PCPBPAPG ++=3 cu P=O OCOBOAOG ++=⇒ 3
OHOCOBOA =++dar
OGOH 3=
ceea ce exprimă că O,G,H sunt coliniare(Prop.1)
ia lui LEIBNIZŃrela
G
A
B C
B’
P
( )
3
2
'2, '
1
1
PCPBPAPG
PCPAPB'dar
GB
GBPBPBPG
++=⇒
+=
=−=−−
= λλλ
ieŃObserva
![Page 8: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/8.jpg)
Ciocotişan Radu
MENELAUSMENELAUSTeorema lui Teorema lui
Fie un triunghi ABC şi punctele A’,B’,C’ distincte de vârfurile triunghiului.
Punctele A’,B’,C’ sunt coliniare ⇔1
'
'
'
'
'
'=⋅⋅
BC
AC
AB
CB
CA
BA
A
B C
A’
B’C’
Notăm
CA
BA
'
'= m
AB
CB
'
'= n
BC
AC
'
'= p
(←)ieieŃŃDemonstraDemonstra
Presupunem mnp = 1. Din ( )BAnBCn
BBABnCB −−
=⇒=1
1'''
Avem
'1
1''1
'''' BAm
BABAm
BACABACABC
−=−=+=−=
( ) '1'''' BCpBCpBCACBCBA −=+=+=
(*)
'1
)1('
)1(
1' BC
n
pnBA
nm
mBB
−−
−−−
=
x y
Se verifică că x+y = 1
Deci A’,B’,C’ sunt coliniare(Prop.2)(→) Presupunem prin absurd că A’,B’,C’ sunt coliniare şi mnp≠1Notăm 1mnqpq ,
1=⇒≠=
mnq
Construim unicul punct Q astfel ca qQB
QA= Cum mnq= 1 avem A’,B’,Q coliniare
Atunci dreptele A’B’ şi AB au în comun 2 puncte distincte C’ şi Q,deci ele coincid.
3.23.2
A’B’C’ se numeşteTRANSVERSALĂ
![Page 9: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/9.jpg)
Ciocotişan Radu
VAN AUBELVAN AUBELia lui ŃRelaFie triunghiul ABC şi punctele A’,B’,C’ ,diferite de vârfurile triunghiului,astfel încât AA’,BB’,CC’ sunt concurente în P.Atunci avem relaŃia:
BC
AC
CB
AB
PA
PA
'
'
'
'
'+=
A
B C
P
A’
B’C’ sau
A
B C A’
C’
PB’
ieieŃŃDemonstraDemonstra
Aplicăm T.Menelaus în ∆ABA’ cu transversala C’PC
BC
CA
PA
PA
CB
CA
PA
PA
BC
AC
PA
PA
CA
CB
BC
AC '
'
'
''
'1
'
''
'⋅=⋅=⇒=⋅⋅
Aplicăm T.Menelaus în ∆ACA’ cu transversala B’PB
BC
BA
PA
PA
CB
AB
PA
PA
BA
BC
CB
AB '
''
'1
'
''
'⋅=⇒=⋅⋅
+
''
''
''
'
'
'
PA
PA
BC
BC
PA
PA
BC
BA
BC
CA
PA
PA
BC
AC
CB
AB=⋅=
+=+
![Page 10: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/10.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 4Problema 4Fie triunghiul ABC şi punctul D, situat pe segmentul BC ,astfel încât BC = 3DC.Fie C’ şi E mijloacele segmentelor AB şi CC’.ArătaŃi că punctele A,E şi D sunt coliniare.
RezolvareRezolvare))MenelausMenelaus.(T .(T Metoda 1Metoda 1
A
B CD
C’E
∆BCC’ şi ‘’transversala’’ A,E,D 11
21
2
1
'
'=⋅⋅=⋅⋅
DC
DB
EC
EC
AB
AC
Metoda 2.Metoda 2.
Arătăm că există numărul real α cu DEAE α=
22
1
2
' ACABACAC
AE+
=+
=
) )
+−=
−−=
−+=
−=
++=+=+=
22
1
6
1
12
2
12
3
12
3
432
'
3
34 ACABACABACACBACABCCBCABCCCBC
CEDCDE
Atunci DEAE 3−= A,D,E coliniare (Prop.1)
![Page 11: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/11.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 5Problema 5
Fie ∆ABC echilateral şi punctele D,E astfel încât avem CAAEBCCD == , Notăm DE∩AB= {F}. ArătaŃi că ABAF3
1=
A
B C D
E
F
))MenelausMenelaus.(T .(T Metoda 1Metoda 1
∆BFD cu transversala EACED
EF
AB
AF
CD
CB
EF
ED
AB
AF=⇔=⋅⋅ 1
∆ECD cu transversala BAF
3
1
2
11 =⇒=⇒=⋅⋅
ED
FE
FD
FE
AE
AC
BC
BD
FD
FE
Metoda 2.Metoda 2.
Notăm 0>= xAB
AFatunci A împarte în raportul -xFB ( )EBxEF
xEA +
+=⇒1
1
Punctul E împarte în raportul AC ⇒−=
−−
=⇒ BCBABCBABE 22
1
2
11
1
2
1
ABBCEB 2+=
(1)
(2)
Cum vectorii EDEF şi sunt coliniari,există )2()(, BCACkCDECkEDkEFRk +=+==∈ (3)Avem
BCABACEA +== (4) Înlocuind 2,3,4 în 1 obŃinem( ) ( )[ ]BCxkABxk
xBCAB +++
+=+ 3221
1
Cum vectorii AB şi BC sunt necoliniari avem simultan
3
1
11
3
11
22
==⇒
=++
=++
xk
x
xkx
xk
Metoda 3.Metoda 3.
Ducem CM // AB
M
T.Thales în ∆ACM AFCMEFFMEF
FM
EA
AC2=⇒=⇒= (1)
Analog se arată că FM=MD,deci în ∆BDF BF=2CM (2)
Din 1 şi 2 avem AB+AF=2(2AF),deci AB=3AF
![Page 12: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/12.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 6Problema 6Fie triunghiul ABC,A’mijlocul laturii BC şi N situat pe (AA’).Notăm BN∩AC={E},CN∩AB={D}.ArătaŃi că DE // BC.
RezolvareRezolvare A
B CA’
NED
Aplicăm T.Menelaus în ∆AA’C cu transversala B,N,E
'2
11
'
' NA
NA
EC
EA
EC
EA
NA
NA
BA
BC=⇒=⋅⋅
Aplicăm T.Menelaus în ∆BAA’ cu transversala D,N,C
'2
11
'
' NA
NA
DB
DA
DB
DA
NA
NA
CA
CB=⇒=⋅⋅
Reciproca T.Thales DE // BC
![Page 13: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/13.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 7Problema 7
Fie ∆ABC şi un punct D situat pe dreapta AB astfel încât ( )BDA∈
Fie [AF, ( )CDF ∈ bisectoarea unghiului <CAD,E mijlocul lui [BC] şi AC∩BF={P}.Punctele D,P,E sunt coliniare dacă şi numai dacă AB=AC.
A
B C
D
E
F
P
RezolvareRezolvare
dacă AB=AC Punctele D,P,E sunt coliniare
Avem <FAC=< ACB AF // BC ABCF trapez Pr1 Punctele D,P,E sunt coliniare
Punctele D,P,E sunt coliniare dacă AB=AC
Aplic[m T.Menelaus în ∆ABC cu transversala D,P,E 1=⋅⋅EB
EC
PC
PA
DA
DB
De undePA
PC
DA
DB= (1)
T.Menelaus în ∆ ADC cu transversala BPFBD
BA
FC
FD
PC
PA
FD
FC
PC
PA
BA
BD⋅=⇒=⋅⋅ 1
T.bisectoarei în ∆CAD avem
AC
AD
FC
FD=
BD
BA
AC
AD
PC
PA⋅=⇒ (2)
Din 1 şi 2 avem AB=AC
![Page 14: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/14.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 8Problema 8Fie ABCD un patrulater convex şi O intersecŃia diagonalelor sale AC şi BD.O dreaptă mobilă care trece prin O taie dreptele AB,DC,în punctele M,N(diferite de vârfurile patrulaterului)ArătaŃi că produsul
kNC
ND
MB
MA=⋅
A
B C
D
M NORezolvareRezolvare
Aplicăm T.Menelaus în ∆ABD cu transversala L,M,O
L
OB
OD
LD
LA
MB
MA
MA
MB
OB
OD
LD
LA⋅=⇒=⋅⋅ 1
Aplicăm T.Menelaus în ∆ACD cu transversala L,N,O
OC
OA
LA
LD
ND
ND
NC
ND
OA
OC
LD
LA⋅=⇒=⋅⋅ 1
·
kOC
OA
OB
OD
NC
ND
MB
MA=⋅=⋅
![Page 15: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/15.jpg)
Ciocotişan Radu
CEVACEVA3.3 Teorema lui 3.3 Teorema lui
Fie untriunghi ABC şi A’,B’,C’ situate respectiv pe dreptele BC,CA şi AB ,diferite de vârfuri.Atunci AA’,BB’,CC’ sunt concurente sau paralele ⇔
1'
'
'
'
'
'−=⋅⋅
BC
AC
AB
CB
CA
BA
ieieŃŃDemonstraDemonstra
AA’,BB’,CC’ sunt concurente în M.
A
B CA’
B’C’
MAplicăm T.Menelausîn ∆ABA’ cu transversala C’,C,M
1'
''
'=⋅⋅
MA
MA
CA
CB
BC
AC
Aplicăm T.Menelausîn ∆ACA’ cu transversala B’,B,M
1'
''
'=⋅⋅
MA
MA
BA
BC
CB
AB1
'
'
'
'
'
'
''
'
''
'
−==⋅⋅⇒
⋅=⋅
CB
BC
AB
BA
CA
CB
BC
AC
BA
BC
CB
AB
CA
CB
BC
AC
AA’,BB’,CC’ sunt paralele.
A
B C
B’C’
A’Aplicăm T.Thales
''
'
AC
AB
CA
BA=∆BCC’
BA
BC
AB
CB '
'
'=∆BAB’cu CC’
·
BA
AB
AC
BC
AB
CB
CA
BA
BA
BC
AC
AB
AB
CB
CA
BA⋅=⋅⇒⋅=⋅'
'
'
'
'
'
'
'
''
'
'
'
-1Reciproca se demonstrează prin reducere la absurd.
1'
'
'
'
'
'=⋅⋅
BC
AC
AB
CB
CA
BAsau
![Page 16: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/16.jpg)
Ciocotişan Radu
GergonneGergonnePunctul lui Punctul lui
Dacă în ∆ABC notăm M,N,P punctele de contact ale cercului înscris cu laturile BC,CA,AB,))GergonneGergonneun punct (-ntrîatunci dreptele AM,BN,CP sunt concurente
A
B CM
NP1=⋅⋅
PB
PA
NA
NC
MC
MB
ieieŃŃDemonstraDemonstra
Avem AM,BN,CP concurente( nu pot fi paralele)
![Page 17: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/17.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 9Problema 9
Fie ∆ABC şi M mijlocul lui BC.Considerăm [MP bisectoarea unghiului <AMC,undeAtunci dreptele AM,BN şi CP sunt concurente.
[ ] [ ]ACNABP ∈∈ ,
RezolvareRezolvare
A
B CM
P N
Aplicăm T.bisectoareiMC
MA
NC
NA
MB
MA
PB
PA== şi
Verificăm T.Ceva
11 =⋅⋅=⋅⋅MC
MA
MA
MC
PB
PA
NA
NC
MC
MB
AM,BN şi CP sunt concurente
![Page 18: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/18.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 10Problema 10
Fie ∆ABC şi înălŃimea CD,mediana AM şi bisectoarea BE.Dacă 1=+
BA
BD
BC
BDatunci dreptele CD,AM şi BE sunt concurente.
A
B C
D
M
E
RezolvareRezolvare
Este suficient să verificăm T.Ceva 1=⋅⋅DB
DA
EA
EC
MC
MB(1)
a
bc
a
c
DB
DA
DB
DA
c
a
DB
DA
c
a
a
a
DB
DA
EA
EC
MC
MB
=
⇔=⋅=⋅⋅=⋅⋅ 12/
2/
(2)
sau
darca
acBD
caBDBA
BD
BC
BD
+=⇔+=⇔=+
1111
Atunci ca
cBDcAD
+==−=
2
... Şi avem a
c
ac
ca
ca
c
DB
DA=
+⋅
+=
2
![Page 19: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/19.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 11Problema 11
Fie ∆ABC şi punctele A’,B’şi C’ situate respectiv pe segmentele (BC),(AC) şi (AB) astfel încât cevienele AA’,BB’,CC’sunt concurente în M. Atunci
6'''
)
'''2
''')
≥++
⋅⋅=+++
MC
MC
MB
MB
MA
MAb
MC
MC
MB
MB
MA
MA
MC
MC
MB
MB
MA
MAa
(cu ‘’= ‘’ M este centrul de greutate)
RezolvareRezolvare
A
B CA’
B’C’M
Notăm pBC
ACn
AB
CBm
CA
BA===
'
',
'
',
'
'atunci mnp=1
Aplicăm relaŃia lui Van Aubel
mn
AB
CB
BA
CA
MC
MA
pm
AC
BC
CA
BA
MB
MB
np
CB
AB
BC
AC
MA
MA
1
'
'
'
'
'
1
'
'
'
'
'
1
'
'
'
'
'
+=+=
+=+=
+=+=
a)
cctdm
np
mn
p
mn
pm
np
MC
MC
MB
MB
MA
MA
=
++
++
++
==
+
+
+=⋅⋅
1112
...111
'''
b) cum 21≥+
xx avem cctd.
( )1
...01
021
21
21
6111
2
===⇒
=−⇒
=−++−++−+
⇒=
++
++
+
pnm
p
nn
mm
pp
mn
pm
np
adică AA’,BB’,CC’ sunt mediane
![Page 20: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/20.jpg)
Ciocotişan Radu
Probleme propuse pag192/193Probleme propuse pag192/193
Problema 1/192Problema 1/192
Fie 2 drepte secante şi d∩d’=O.Considerăm punctele B,C situate pe d şi punctele A,D situate pe d’ astfel încât AB // CD.Fie I,J mijloacele segmentelor AB şi CD.ArătaŃi că punctele I,J şi O sunt coliniare.
O
d
d’
A D
BC
IJ
ie:ie:ŃŃindicaindica
2;
2
OCODOJ
OBOAOI
+=
+=
Din asemănare avem OCkOBODkOAkOC
OB
OD
OA⋅=⋅=⇒== ,
Atunci
OJkOCOD
kOBOA
OI ⋅=+
=+
=22
ceea ce exprimă că punctele O,I,J sunt coliniare
![Page 21: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/21.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 2/192Problema 2/192Fie un triunghi ABC şi punctele ( ) ( )ACFABE ∈∈ , astfel încât EF // BC.
Considerăm punctele ( ) ( ) 0cu , >==∈∈ λNC
NB
MF
MEBCNEFM
ArătaŃi că punctele M,N şi A sunt coliniare.
A
B C
E F
M
N
ie:ie:ŃŃindicaindica
Din T.Thales avem ACkAFABkAEkAC
AF
AB
AE⋅=⋅=⇒== ;
Dar
NCNB
MFME
⋅−=
⋅−=
λ
λ de unde exprimând vectorii de poziŃie cu originea A avem:
( )ACABAN λλ
++
=1
1
şi
( ) ( ) ANkACABk
AFAEAM ⋅=++
=++
= λλ
λλ 11
1
Ceea ce exprimă că punctele A,M,N sunt coliniare.
![Page 22: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/22.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 3/193Problema 3/193Fie un paralelogram ABCD.Notăm cu I mijlocul laturii AB şi considerăm punctul E situat pe [ID] astfel încât IDIE
3
1=
ArătaŃi că punctele A,E,C sunt coliniare.
A B
CD
I
E
ie:ie:ŃŃindicaindica
Deoarece IE este o treime din ID avem
( ) ( ) ACABADAIADAE
EIED
3
1
3
12
21
1
2
=+=++
=
⇒−=
adică punctele A,E,C sunt coliniare
![Page 23: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/23.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 4/193Problema 4/193
Fie paralelogramul AMNO şi punctele B,C astfel încât avem .2*,1
11≥∈
+== nN ; nOM
nOC ; ON
nOB
ArătaŃi că A,E şi C sunt puncte coliniare.
ie:ie:ŃŃindicaindica
A M
NOB
C
( ) ( )AB
n
n
OAOBn
nOAON
nn
nONOA
nOAOM
nOAOCAC
OCAOAC
1
1)
1(
11
1
1
1
+=
=−+
=−+
=++
=−+
=−=
⇒+=
adică punctele A,C,B sunt coliniare
![Page 24: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/24.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 5/193Problema 5/193Fie două triunghiuri ABC şi A’B’C’.Considerăm punctele ',',' CCCBBNAAM ∈∈∈
astfel încât ',',' PCPCNBNBMAMA λλλ ===ArătaŃi că centrele de greutate ale triunghiurilor ABC,A’B’C’ şi MNP sunt puncte coliniare.
ie:ie:ŃŃindicaindicaNotăm centrele de greutate respectiv cu G,G’ şi Q.
Exprimând vectorii de poziŃie (LEIBNIZ) avem:
( )( )( )OPONOMOQ
OCOBOAOG
OCOBOAOG
++=
++=
++=
3
1
'''3
1'
3
1Din ipoteză avem : ( )
( )( )'
1
1
'1
1
'1
1
OCOCOP
OBOBON
OAOAOM
λλ
λλ
λλ
−−
=
−−
=
−−
=
Fie O ,punct oarecare din plan.
Atunci : ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )'1
1'''
33
1
1
1
'1
1'
1
1'
1
1
3
1
OGOGOCOBOAOCOBOA
OCOCOBOBOAOAOQ
λλ
λλ
λλ
λλ
λλ
−−
=
++−++−
=
=
−−
+−−
+−−
=
Alegem O = Q şi avem'QGQG λ= adică G,G’ şi Q sunt coliniare.
![Page 25: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/25.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 6/193Problema 6/193
Fie un triunghi ABC şi punctele M,N astfel încât avem RrNCrNBACABAM ∈=+= , ; 2
DeterminaŃi r astfel încât punctele A,M,şi N să fie coliniare.
ie:ie:ŃŃindicaindica
Exprimăm vectorul de poziŃie al lui N în raport cu originea A )(1
1ACrAB
rAN −
−=
A,M,şi N să fie coliniare AMAN αα =∃⇒ ,
( )ACABACrABr
+=−−
2)(1
1α
2
1
1
21
1
−=⇒
=−
−
=− r
r
rr
α
α
![Page 26: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/26.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 7/193Problema 7/193
Fie un paralelogram ABCD.Considerăm punctele E,F astfel încât ADAFABBE 3 , 2
1==
ArătaŃi că punctele E,F şi C sunt coliniare.
ie:ie:ŃŃindicaindica
AB E
CD
F
Arătăm că: CFEC =2 care exprimă coliniaritatea E,F şi C.
BCABADABADAFCDDFCDCF
BCABBCEBEC
22
2
1
+=+=−+=+=
+=+=
cctd
![Page 27: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/27.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 8/193Problema 8/193
Fie un triunghi ABC unde notăm centrul cercului circumscris cu O şi ortocentrul cu H. ArătaŃi că : HOHCHBHA 2=++ie:ie:ŃŃindicaindica
Scriem relaŃia lui Sylvester OHOCOBOA =++A
B CO
H
Avem :
HCOHOC
HBOHOB
HAOHOA
+=
+=
+=
+
HOOHHCHBHAHCHBHAOHOH 223 =−=++⇒+++=
![Page 28: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/28.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 9/193Problema 9/193
Fie un triunghi ABC.Considerăm punctele ( ) ( )3
1cu ',
2
1
'
'cu ' =∈=∈
SA
SA'AAS
BA
CABCA şi notăm CS∩AB={M}
ArătaŃi că M este mijlocul laturii [AB].
ie:ie:ŃŃindicaindica A
B C
M
A’
S
Aplicăm T.Menelaus în ∆ABA’ cu M,S,C.
MBMACA
CA
MB
MA
CA
CB
SA
SA
MB
MA=⇒=⋅=⋅=⇒=⋅⋅ 1
3
13
'31
'
'
3
1
![Page 29: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/29.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 10/193Problema 10/193Fie ABC un triunghi. Notăm cu M mijlocul lui [BC],notăm cu N mijlocul lui [AM] şi CN ∩ AB = {P}.ArătaŃi că a) BP = 2AP şi b) PC = 4PN.
ie:ie:ŃŃindicaindica A
BC
M
NP
a) T.Menelaus în ∆ABM cu P,N,C. PBPACM
CB
NA
NM
PB
PA21 =⇒=⋅⋅
1 2
b) T.Menelaus în ∆BPC cu A,N,M.
411 =⇒=
+⇒=⇒=⋅⋅
PC
PN
PC
PN
APAB
AP
CN
NP
AB
AP
MC
MB
NP
NC
AB
AP
1
![Page 30: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/30.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 11/193Problema 11/193
Fie triunghiul ABC dreptunghic în A şi C=30°.Considerăm bisectoarea BT,T situat pe segmentul AC şi înălŃimea AE,E situat pe segmentul BC.Paralela prin C la BT taie AB în F.ArătaŃi că punctele F,E şi T sunt coliniare.
ie:ie:ŃŃindicaindica
E
AB
F
T
C
30 30
3030 3030
c
ab
2
acAB == 3
4
3,
4=⇒==
EB
ECaEC
aEB
T.bisectoarei
2
12 ==a
a
TC
TA
3
2
2
3, =⇒==
FA
FBaFAaFB
Atunci:1
3
2
1
3
2
1=⋅⋅=⋅⋅
FA
FB
EB
EC
TC
TA R.T.Men.F,E şi T sunt coliniare
![Page 31: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/31.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 12/193Problema 12/193
Fie T un punct în interiorul triunghiului ABC.Dreptele AT ,BT şi CT intersectează [BC],[CA],[AB] respectiv în punctele M,N, P.Dacă T este centrul de greutate al triunghiului MNP,arătaŃi că T este centrul de greutate al triunghiului ABC.
ie:ie:ŃŃindicaindica A
B CM
NP
C’
A’
B’T
T.Menelaus în ∆PMC cu B,B’;T )1(1'
'
TC
TP
BC
BM
TP
TC
MB
PB
BC
BM=⇒=⋅⋅
T.Menelaus în ∆PNC cu A,A’;T )2(1'
'
TC
TP
AC
AN
TP
TC
NA
PA
AC
AN=⇒=⋅⋅
ABMNAC
AN
BC
BM//⇒=
=1
=1
C’ mijloc P mijlocul ABanalog M,N
![Page 32: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/32.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 13/193Problema 13/193
Fie ABC un triunghi şi punctele coliniare .,, ABPCANBCM ∈∈∈Notăm M’,N’,P’ simetricele acestor puncte în raport cu mijlocul laturii pe care se află fiecare.ArătaŃi că punctele M’,N’,P’ sunt coliniare.
ie:ie:ŃŃindicaindica
B
P’
P
M M’ C
N’N
Q
Avem '
'
'
'
BM
CM
BQQM
QMQC
QCMQ
MQBQ
MC
MB=
+−
=+−
=
analog
AP
BP
PB
PA
CN
AN
NA
NC
'
''
'
=
=
T.Menelaus în ∆ABC cu P,M,N.
1=⋅⋅NA
NC
MC
MB
PB
PAînlocuim 1
'
'
'
'
'
'=⋅⋅
CN
AN
BM
CM
AP
BP
M’,N’,P’ sunt coliniare
![Page 33: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/33.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 14/193Problema 14/193
Fie un triunghi ABC şi punctele ( ) ( ) ( )ABCACBBCA ∈∈∈ ',',' astfel încât cevienele AA’,BB’ şi CC’ sunt concurente în M.
ArătaŃi că ,8'''≥⋅⋅
MC
MC
MB
MB
MA
MAcu egalitate ⇔ M este centrul de greutate al triunghiului ABC.
ie:ie:ŃŃindicaindica A
B C
A’
B’C’
M
Notăm pBC
ACn
AB
CBm
CA
BA===
'
';
'
';
'
'
Aplicăm relaŃia lui Van Aubel:
mn
AB
CB
BA
CA
MC
MC
pm
AC
BC
CA
BA
MB
MB
np
CB
AB
BC
AC
MA
MA
1
'
'
'
'
'
1
'
'
'
'
'
1
'
'
'
'
'
+=+=
+=+=
+=+=
82222111
2...111
1'''
=+++≥
++
++
++==
+
+
+=⋅⋅p
pm
mn
nm
np
mn
pMC
MC
MB
MB
MA
MA
dacă
1....021
21
21
8111
2 ===⇒=
−++
−++
−+⇒=
++
++
++ pnmp
pm
mn
np
pm
mn
n
adică A’,B’.C’ mijloace
![Page 34: Clasa IX Coliniaritate,Concurenta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081716/552a33ec4a7959286e8b457c/html5/thumbnails/34.jpg)
Ciocotişan Radu
Problema 15/193Problema 15/193
În triunghiul ABC bisectoarele AA’,BB’ şi CC’ se intersectează în punctul I. ArătaŃi că sunt echivalente afirmaŃiile:
8'''
)
6'''
)
)
=⋅⋅
=++
−∆
IC
IC
IB
IB
IA
IAc
IC
IC
IB
IB
IA
IAb
lechilateraABCa
ie:ie:ŃŃindicaindica A
B C
I
A’
B’C’
(a→b) Dacă a=b=c avem 2
'=
+=
a
aa
IA
IA
c
ba
IC
IC
b
ca
IB
IB
a
cb
IA
IA +=
+=
+=
';
';
'
Ştim că:
b)
(a→c) analog
(b→a) cbac
a
a
c
c
b
b
c
b
a
a
b
c
a
c
b
b
c
b
a
a
c
a
b==⇒=
−++
−++
−+⇒=+++++ ...02226
(b→c)
82222...111'''
=+++==++++++++=
+
+
+=⋅⋅a
c
a
b
c
b
b
c
b
a
c
a
b
c
c
b
a
c
c
a
b
a
a
b
IC
IC
IB
IB
IA
IA
(c→a)
cbac
b
b
c
a
c
c
a
a
b
b
a
a
c
a
b
c
b
b
c
b
a
c
a==⇒⇒=
−++
−++
−+⇒=+++++++ ...0222811