CAPÍTULO 9

ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES Y CIRCULARES

INTRODUCCIÓN

Nos apremia, en esta parte, el medir regiones poligonales y circulares, de modo que la

correspondiente medida de la región corresponda al concepto intuitivo de cubrir o agotar

todos sus puntos; esa medida será el área de la región. Recordemos, brevemente, que el

medir un segmento consiste en utilizar otro segmento , llamado segmento unidad, y en

hallar un número real positivo a tal que = a , siendo a la medida de . Esta

metodología puede extenderse, de manera natural, a las regiones poligonales. Después,

usando las propiedades de las regiones poligonales y del límite, abordaremos el área de

algunas regiones circulares.

Consideremos, por ejemplo, una región rectangular . Esta puede cubrirse usando otra

región poligonal. Quizás la más simple, desde el punto de vista de los cálculos, sea una

región cuadrada apropiada, aunque podríamos emplear regiones triangulares, pentagonales,

hexagonales o de otro tipo. Sea una región cuadrada, usada como unidad de medida de

la región , ver Fig. 9.1.

Fig. 9.1

A manera de ejemplo, consideremos que mide 1 cm de lado y que mide 5cm de largo

por 3cm de ancho. Así, se puede descomponer en 5 × 3 = 15 subregiones cuadradas

congruentes entre sí, ver Fig. 9.2 De manera intuitiva, escribimos, en este caso, que =

15 × y, por tanto, decimos que el área de es 15 cm2, si convenimos en asignarle a la

181

unidad área 1 cm2; es decir, 1cm

2 es la unidad de área equivalente al área de una región

cuadrada de lado 1cm. De manera análoga, se habla de 1 m2, 1dm

2, 1mm

2, etc.

= (53). = 15

Fig. 9.2

Por consiguiente, desde el ámbito intuitivo, el medir una región poligonal, o lo que es lo

mismo el hallar su área, se reduce en escoger una región cuadrada y con ella cubrir o

agotar la primera región. Si = r , se dice que el área de es r, donde r es un número

real positivo. Las ideas que preceden las axiomatizamos como sigue:

9.1 ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES

A.23. AXIOMA DEL ÁREA Si Ω es la colección, en un plano α, de las regiones poligonales y sus uniones finitas, existe

una función a: Ω +, llamada área, que satisface:

1. Para toda Ω , a( ) > 0 1

2. Si 1, 2 son regiones poligonales cuya intersección es una línea poligonal o un número

finito de puntos o vacía, entonces a ( 1 2) = a ( 1) + a ( 2).

3. El área de una región rectangular de largo b y ancho h, es a ( b.h.

El axioma A.23 le asigna a cada región poligonal o a cada unión finita de éstas un número

real positivo, el cual es el área de dicha región. En la Fig. 9.3 se dan algunas

interpretaciones del axioma anterior.

1 a ( ) se lee área de .

182

Fig.9.3

Para regiones poligonales 1 y 2, si 1 2, se tiene que = ( ); lo que

permite definir, bajo estas hipótesis, a ( ) = a ( ) – a ( ). En lo que sigue, por

brevedad, hablaremos de área de un polígono para referirnos al área de la región poligonal

correspondiente. Así, por ejemplo, al decir área del hexágono queremos significar área de

la región hexagonal correspondiente. Del axioma A.23 se deduce que dos polígonos

congruentes tienen la misma área, pues del mismo axioma, aplicando las partes 2 y 3, se

concluye que dos regiones triangulares congruentes tienen la misma área, y se sabe que sus

regiones poligonales se descomponen en respectivas regiones triangulares congruentes.

También, del numeral 3, se deriva que el área de un cuadrado de lado p es p2.

TEOREMA 9.1

1. El área de un triángulo es la mitad del producto de uno de sus lados por su

correspondiente altura.

2. El área de un paralelogramo es igual al producto de uno de sus lados por su

correspondiente altura2

3. El área de un trapecio de bases B, b y altura h es ½ (B + b) h.

4. El área de un polígono regular de perímetro p y apotema a es ½ pa.

Para la demostración de 1, nos apoyamos en el numeral 3 del axioma A.23, considerando

los tres casos: el triángulo es rectángulo, el triángulo es acutángulo, el triángulo es

2 Una altura de un paralelogramo es el segmento perpendicular que une dos lados opuestos o la

longitud de éste.

a ( ) = a ( ) + a ( )

a ( ) a ( ) + a ( )

b

h

a ( ) = bh

183

obtusángulo. Para la demostración de 2, 3 y 4, hacemos uso de 1. La demostración se deja

como ejercicio.

En general, para hallar el área de un polígono irregular de más de tres lados se opta por

subdividir su región en regiones triangulares, para luego aplicar el teorema 9.1, parte 1, ver

Fig. 9.4.

Fig. 9.4

Una fórmula, útil en agrimensura y topografía, es la dada por el siguiente teorema:

TEOREMA 9.2 (Fórmula de Herón)

El área de un triángulo T de lados a, b, c y semiperímetro p es

a T p p a p b p c( ) ( )( )( )

Demostración. Ver Fig. 9.5.

a(ABC) =1

2chc

En ACD, h b nc

2 2 2

En BCD, h a c nc

2 2 2 ( )

Luego, a c n b n2 2 2 2 ( )

De lo cual, nb c a

c

2 2 2

2

Por tanto, h bb c a

cc

2 2

2 2 2 2

24

( )

hc

bc b c a bc b c ac

2

2

2 2 2 2 2 21

42 2 ( ) ( )

184

hc

a b c b c ac

2

2

2 2 2 21

4 ( ) ( )

Fig. 9.5

hc

a c b a b c b c a a b cc

2

2

1

4 ( )( )( )( )

Pero a + b + c = 2p y

a + b + c 2a = 2p 2a = 2(p a)

o sea, b + c a = 2(p a)

a + b + c 2b = 2p 2b = 2(p b)

o sea, a + c b = 2(p b)

a + b + c 2c = 2p 2c = 2(p c)

o sea, a + b c = 2(p c)

De ahí resulta: hc

p p a p b p c 2

( )( )( )

En consecuencia, a ABC p p a p b p c( ) ( )( )( ) .

Resolver ejercicios 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.6, 9.7.

9.2 ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES

DEFINICIÓN 9.1 El área de un círculo es el límite de la sucesión An de las áreas de

los polígonos regulares de n lados inscritos en él.

La definición anterior está basada en el siguiente hecho intuitivo: a medida que

incrementamos el número de lados, el polígono regular inscrito de n lados correspondiente

tiende a confundirse con la circunferencia circunscrita y, por tanto, las regiones poligonales

inscritas se aproximan a la región circular que las contiene.

185

TEOREMA 9.3

El área de un círculo de radio r es r2.

Demostración. Sean En la región poligonal del polígono regular inscrito de n lados en un

círculo P de radio r, perímetro pn y apotema an. Por la definición 9.1 y por el teorema

9.1, numeral 4, se tiene:

a P lim p an n n( )

1

2

Pero, del cap. 8, lim pn n

(longitud de la circunferencia) y lim a rn n

. Por tanto,

a P lim p a r r rn n n( )

1

2

1

22 2 .

DEFINICIÓN 9.2 (Sector circular)

1) Un sector circular es el conjunto de puntos de un círculo que están en la región angular

cerrada de uno de sus ángulos centrales. Ver Fig.9.6.

2) El área de un sector circular de ángulo de medida un grado es la 360 - ava parte del

área del círculo correspondiente.

Un sector circular está caracterizado por un centro, un radio, un ángulo y un arco. El

centro y el radio son los del círculo que lo incluye, el ángulo y el arco son el ángulo central

y el arco de círculo que lo definen. La medida del ángulo se llama amplitud del sector

circular. Ver Fig.9.6.

Fig. 9.6

186

TEOREMA 9.4

1. El área de un sector circular K de amplitud n y radio r es a (K) =

.

2. El área de un sector circular K de radio r y longitud de arco s es a (K) =

3. El área de un sector circular K de radio r y amplitud radianes es a (K) =

La demostración de 1, se deduce de la definición 9.2; la de 2, se deriva de 1 y de que la

longitud de un arco de amplitud un grado es la 360 - ava parte de la longitud de la

circunferencia; finalmente, la de 3, se concluye de la definición de radián, dada en cap. 8.

PROBLEMA 9.1 En Fig. 9.7, ¿dónde debe colocarse el punto E para que a (ABE) sea

igual a la mitad del área de los tres cuadrado? Calcular, además, GF.

Fig. 9.7

SOLUCIÓN Tomando como unidad el área de uno de los cuadrados, se tiene:

a(ABE) = 32

o 2

23

2BE

BE 32 , lo que da la ubicación de E.

De otro lado, AGF ABE. De esto podemos escribir:

GF

BE

1

2

GF3

2

1

2

GF 34.

PROBLEMA 9.2 Una columna tiene como sección una región octogonal regular hueca.

Si la distancia entre los lados paralelos del octógono correspondiente es 30cm y el diámetro

del hueco es 25cm, ¿qué carga total puede soportar la columna hueca sometida a una

presión de 3Kgr/mm2 de sección?

187

SOLUCIÓN Ver Fig. 9.8. Sean K la región octogonal, K’ la región circular y L la región

rayada, entonces:

a(L) = a(K) a(K’).

a(K) =

a8.

a(K’) = ( cm2 = 15.625 mm

2.

.

Fig. 9.8

Sea r el radio del octógono. El lado y la apotema de éste vienen dados por

ℓ8 = r √ √ , ver cap.8.

a8 =

r √ √ ,

Pero a8 = 15. Así, r =

√ √ = 15 √ √

Es decir, ℓ8 = √ √ √ √ = 30(√ - 1), y p8 = 8 ℓ8 = 240 (√ - 1).

O sea, a (K) = 180.000 (√ - 1) mm 2.

Luego, a L mm( ) [ . ( ) . ] , 180 000 2 1 15625 2

En consecuencia, la carga total que puede soportar la columna es de

Q Kgr 3 180 000 2 1 15625[ . ( ) . ] ,

188

que aproximadamente son 76,41 Toneladas.

PROBLEMA 9.3 En un sector circular se inscribe un círculo. Calcular el área de éste, en

función del radio y de la cuerda de aquél.

SOLUCIÓN Ver Fig. 9.9. En ésta AB es la cuerda del sector circular, R es su radio y r es

el radio del círculo inscrito.

Fig. 9.9

Sean K el círculo de radio r y AB = a. Pero A(K) = y OEP AOD . La semejanza

implica:

O sea,

Por tanto, r =

y, así, A(K) =

(

Resolver ejercicios 9.5, 9.8, 9.9, 9.10.

189

EJERCICIOS

9.1Demostrar teoremas 9.1 y 9.3.

9.2 a) Interpretar geométricamente, en términos de área, los productos de números reales

ab, ½ (a + b) c, ½ ab y el teorema de Pitágoras.

b) Demostrar geométricamente, aplicando la teoría de áreas, que (a + b)2 = a

2 + 2ab +

b2 y a. (b + c) = ab + ac.

9.3 Demostrar:

a) El área de un rombo es igual al semiproducto de sus diagonales.

b) En dos triángulos semejantes la razón de sus áreas es igual a la razón entre los cuadrados

de dos lados homólogos.

c) Si An es el área del polígono regular inscrito de n lados en una circunferencia de radio r,

entonces, A r3

23

43 , A r4

22 , Ar

6

23

23 , A r8

22 2 , A r12

23 .

9.4 Con base en la Fig. 9.10, aplicando la teoría de áreas, demuestre el teorema de

Pitágoras: c2 =a

2 + b

2.

Fig. 9.10

Fig. 9.11

190

9.5 En Fig. 9.11, calcular el área de las regiones sombreadas (los arcos que aparecen son

arcos de circunferencia).

9.6 Si sobre cada lado de un hexágono regular de radio r se construye un cuadrado exterior,

los vértices libres de dichos cuadrados definen un dodecágono regular de radio R.

Calcular el área del dodecágono en función de r.

9.7 Un terreno tiene la forma de un cuadrilátero de vértices consecutivos A, B, C y D. Si

AB = 6.30m, BC = 6.80m, CD = 9m, DA = 9.10m y BD = 12.10m, calcular su área.

9.8 En Fig. 9.12, demostrar que a (T) = a (L1) + a (L2).

Fig. 9.12

9.9 En Fig. 9.13, el cuadrado exterior es una hoja de papel de área A, cuyas puntas se han

doblado hasta formar el cuadrado interior. Calcular a y b si el área del cuadrado

interior es la enésima parte de A. (La respuesta debe darse en función de A y n.)

Fig. 9.13

9.10 En Fig. 9.14, demostrar que a (PQR) = 1

12a (ABC), si P y Q son puntos medios

de AC y AB , respectivamente.

191

Fig.9.14

192

LA CANCIÓN DE LA VIDA PROFUNDA

"El hombre es cosa vana, variable y ondeante.....". Montaigne

Hay días en que somos tan móviles, tan móviles, como las leves briznas al viento y al azar...

Tal vez bajo otro cielo la gloria nos sonría... La vida es clara, undívaga y abierta como un mar.

Y hay días en que somos tan fértiles, tan fértiles, como en Abril el campo, que tiembla de pasión:

bajo el influjo próvido de espirituales lluvias, el alma está brotando florestas de ilusión.

Y hay días en que somos tan sórdidos, tan sórdidos, como la entraña oscura de oscuro pedernal:

la noche nos sorprende, con sus profusas lámparas, en rútilas monedas tasando el Bien y el Mal.

Y hay días en que somos tan plácidos, tan plácidos... -¡Niñez en el crepúsculo! ¡Laguna de zafir!-

que un verso, un trino, un monte, un pájaro que cruza, ¡y hasta las propias penas!, nos hacen sonreír...

Y hay días en que somos tan lúbricos, tan lúbricos, que nos depara en vano su carne la mujer: tras de ceñir un talle y acariciar un seno,

la redondez de un fruto nos vuelve a estremecer.

Y hay días que somos tan lúgubres, tan lúgubres, como en las noches lúgubres el llanto del pinar. El alma gime entonces bajo el dolor del mundo,

y acaso ni Dios mismo nos puede consolar.

Mas hay también ¡oh Tierra! un día... un día... un día... en que levamos anclas para jamás volver;

un día en que discurren vientos ineluctables... ¡Un día en que ya nadie nos puede retener!

Porfirio Barba Jacob Poeta colombiano

193

ROMANCE DE LA NIÑA AUSENTE

Fue en esta tierra valluna, cantar de sol y payhuaro,

que desgrané mis romances al pie del Ande nevado,

cuando surgió en mi camino, sobre los surcos preñados, aquella Niña de ensueños, ¡aurora y flor de mi pago!, que deslumbró mis pupilas y puso miel en mis labios,

embelleciendo mi vida como un paisaje serrano.

Por ella me hice poeta,

y amé en sus ojos sombreados, la lumbre de las auroras

y el vuelo azul de los astros, que cantan al Ser Supremo,

bajo el fanal del espacio.

Fue nuestro amor un idilio de tierra ardiente y riacho, que floreció en el arrullo

de los huiliches montanos, cuando mis manos sedientas de eternidad, destrenzaron

el oro de los trigales, sobre sus hombros de nardo.

Sentí en su cuerpo de mies calor de predio sembrado,

piar de nido en su boca, amor de madre, en sus brazos,

y acariciando en las lunas el fruto recién logrado, canté a mi valle nativo

con voz de gleba y charango.

Canté la agreste belleza de los paisajes serranos,

la espuma de los torrentes, la sierra parda y el llano; la nieve de las montañas

194

y el latigazo del rayo que incendia los horizontes

en fulgurar de topacios.

Canté las fiestas aldeanas y las faenas del agro,

donde los rudos labriegos encallecieron sus manos,

agavillando en las eras la mies cuajada de granos,

que salpicó en las quebradas el trino de los chihuacos.

Canté a las mozas de Colpa

y a los varones de Ciaco, que medran en los breñales como las plantas de cacto,

sorbiendo el cielo en sus ojos y la poesía en sus labios.

Canté la vida del ayllu,

¡himnos de sol y trabajo! que arracimó las estrellas en el clarín de los gallos.

Y hundí mis pies en los surcos

como las raíces de un taco, para absorber en su médula el alma del pueblo indiano,

que floreció en el ramaje de las cantutas del Lago.

En fin, canté los crepúsculos,

el cielo azul, el regato, la lumbre de la encañada

y el canto en flor de los pájaros; porque en mis venas bullía la sangre de mi terrazgo, y el madrigal de ternura

que me brindaron los labios de aquella Niña de ensueños,

¡aurora y flor de mi pago!

Pero no quiso el destino que continuase cantando,

195

y vi quebrarse su imagen en el cristal del remanso.

La vida se me hizo triste,

sentí el vacío en mis brazos, dolor de ausencia en mis ojos,

sabor de hiel en mis labios.

Y anonadado y doliente quedó mi ser meditando

en las miserias del hombre, ¡polvo de luz y de átomo!

que hizo inmortal el espíritu, en el dolor del arcano.

La larva del pensamiento

rasgó el capullo en mi cráneo y abrió sus alas de angustia

sobre el idílico tálamo, donde ya nunca la amada

me estrecharía en sus brazos, acariciando mi frente

donde los sueños anidaron.

¡Ay!, qué recuerdos evoca la vieja casa del rancho,

donde mi vida fue un sueño desvanecido en sus manos, y el canto de las alondras

segó su nombre en mis labios.

Y desde entonces, sin rumbo, sin fe, ni amor, por los campos,

huyendo voy de mí mismo como una sombra sin llanto.

Javier del Granado

Poeta boliviano