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Universidad de Costa RicaEscuela de Matematica
Geometrıa
Randall Blanco B
Temas de pre-calculo
Curso Propedeutico de Calculo I ciclo 2007
Geometrıa 1
Indice
1. Polıgonos y regiones poligonales 3
1.1. Triangulos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Triangulos rectangulos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Razones trigonometricas de un angulo agudo en un triangulorectangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Paralelogramos y no paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Polıgono de n lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Algunos teoremas sobre polıgonos . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Formulas de area de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Cırculo y circunferencia 23
2.1. Definiciones y teoremas basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Angulos en el cırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Regiones circulares: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. Solidos 39
3.1. Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Cilindros circulares rectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Conos circulares rectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. La esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4. Ejercicios 47
4.1. Nivel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Nivel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3. Nivel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Geometrıa 2
Introduccion
El presente material consta de un resumen de algunos de los resultados degeometrıa estudiados en secundaria que son utiles para enfrentarse a nuevosconceptos y a ejercicios de los primeros cursos de Matematica de la educacionsuperior.
No se presenta aquı un desarrollo riguroso de cada resultado, mas bien, unlistado de definiciones y teoremas (sin demostraciones) seguido de una seriede ejercicios resueltos que puedan ser utiles para resolver, posteriormente, losejercicios tıpicos de un curso de calculo I.
Geometrıa 3
1. Polıgonos y regiones poligonales
1.1. Triangulos semejantes
Intuitivamente se puede decir que dos triangulos son semejantes si tienenla misma forma (aunque no necesariamente el mismo tamano). Se dice que dostriangulos son semejantes si las medidas de los tres pares de lados homologosson proporcionales y los angulos homologos son congruentes, es decir:
4ABC ∼ 4 DEF ⇐⇒
AB
DE=
BC
EF=
AC
DF
∠ABC ∼= ∠DEF
∠CAB ∼= ∠FDE
∠BCA ∼= ∠EFD
Cuando se determina una semejanza entre dos triangulos, a cada ladode uno de ellos se le hace corresponder un lado del otro triangulo. De igualmanera, a cada angulo se le hace corresponder un angulo del otro triangulo.A estos pares de lados o pares de angulos que se corresponden de acuerdocon la forma, se les llama homologos o correspondientes. Por ejemplo, en lafigura anterior, decimos que A es el angulo homologo al angulo D (el ∠B al∠E y el ∠C al ∠F ) y el lado AB es el homologo al lado DE( AC al DF yCB al FE )
Sin embargo, para poder concluir que un par de triangulos son semejantesno es necesario verificar que se cumplen todas estas condiciones, sino que essuficiente con algunas de ellas:
Geometrıa 4
Postulado Lado - Angulo - Lado
Si dos pares de lados homologos de dos triangulos son proporcionales yel par de angulos determinados por esos lados son congruentes entonces lostriangulos son semejantes:
4ABC ∼ 4 DEF ⇐⇒
AB
DE=
BC
EF
∠ABC ∼= ∠DEF
Teorema Lado - Lado - Lado
Si los tres pares de lados homologos de dos triangulos son proporcionalesentonces los triangulos son semejantes:
4ABC ∼ 4 DEF ⇐⇒{
AB
DE=
BC
EF=
AC
DF
Teorema Angulo - Angulo
Si dos pares de angulos homologos de dos triangulos son congruentes en-tonces los triangulos son semejantes:
4ABC ∼ 4 DEF ⇐⇒{
∠ABC ∼= ∠DEF
∠CAB ∼= ∠FDE
1.2. Triangulos rectangulos especiales
Entre algunos de los resultados que se estudiaron en secundaria se tienenlos siguientes teoremas, pertenecientes a la geometrıa euclidea:
• La suma de las medidas, en grados, de los angulos internos de un trianguloes 180.
• En un triangulo rectangulo, un angulo es recto y los otros dos agudos.
Geometrıa 5
Algunos aspectos importantes que se deben tener presentes sobre lostriangulos rectangulos son los siguientes:
Triangulo Rectangulo Isosceles
Si �ABCD es un cuadrado, al trazar la diagonal AC se obtienen dostriangulos 4ABC y 4ADC, los cuales son rectangulos isosceles. Los angulosinternos de estos triangulos miden 90◦, 45◦ y 45◦ . Si llamamos x a la medidadel lado del cuadrado y d a la medida de la diagonal, entonces por el teoremade Pitagoras se tiene que
x2 + x2 = d2 ⇒ 2x2 = d2 ⇒√
2x2 =√
d2 ⇒ |x|√
2 = |d|
pero como x y d son numeros positivos entonces d = x√
2.
Se puede afirmar entonces que:
En un triangulo rectangulo isosceles la medida de la hipotenusa es igualal producto de la medida de un cateto por
√2.
Triangulo Rectangulo 30◦, 60◦, 90◦
Sea4ABC un triangulo equilatero, donde x representa la medida de cadalado. Sabemos que cada uno de sus angulos internos mide 60◦ y que si M esel punto medio del lado AB entonces CM ⊥AB y que 4CAM y 4CBM sontriangulos rectangulos cuyos angulos internos agudos miden 30◦ y 60◦.
Geometrıa 6
Si llamamos h a la medida del segmento CM entonces por el teorema dePitagoras se cumple que:
h2 +(x
2
)2
= x2 ⇒ h2 = x2 − x2
4⇒ h2 =
3 x2
4⇒√
h2 =
√3 x2
4⇒
|h| = |x|√
3
2
Como x y h son numeros positivos entonces h =x√
3
2. Se puede afirmar
entonces que:
En un triangulo rectangulo en el cual los angulos internos miden 30◦, 60◦
y 90◦ se cumple que la medida del cateto menor (el opuesto al angulode 30◦) es igual a la mitad de la medida de la hipotenusa y la medidadel cateto mayor (el opuesto al angulo de 60◦) es igual al producto de lamitad de la medida de la hipotenusa por
√3.
1.3. Razones trigonometricas de un angulo agudo enun triangulo rectangulo
Considere dos triangulos rectangulos 4ABC y 4DEF en los cuales secumple que ∠B y ∠E son rectos y m∠A = m∠D = α.
Geometrıa 7
Por el postulado angulo - angulo, estos dos triangulos son semejantes, por
lo tanto se cumple queAB
DE=
BC
EF=
AC
DF.
• De la igualdadAB
DE=
BC
EFse puede concluir que
BC
AB=
EF
DE, es decir,
la razon entre el cateto opuesto al angulo α y el cateto adyacente a eseangulo es igual en los dos triangulos. A esta razon le llamamos tangentede α.
• De la igualdadAB
DE=
AC
DFse puede concluir que
AB
AC=
DE
DF, es decir,
la razon entre la medida del cateto adyacente al angulo α y la medidade la hipotenusa es igual en los dos triangulos. A esta razon le llamamoscoseno de α.
• De la igualdadBC
EF=
AC
DFse puede concluir que
BC
AC=
EF
DF, es decir,
la razon entre la medida del cateto opuesto al angulo α y la medida dela hipotenusa es igual en los dos triangulos. A esta razon le llamamosseno de α .
Observe que el valor de estas razones es el misma para cualquier triangu-lo rectangulo en el cual uno de sus angulos agudos mida α, o sea, dependesolamente de la medida del angulo. Lo anterior porque todos los triangulosrectangulos con un angulo agudo congruente son semejantes entre sı.
En resumen, si α es la medida de un angulo agudo de un triangulorectangulo, las razones trigonometricas para α se definen de la siguiente ma-nera:
SENO sen α =medida del cateto opuesto a α
medida de la hipotenusa
COSENO cos α =medida del adyacente opuesto a α
medida de la hipotenusa
TANGENTE tan α =medida del cateto opuesto a α
medida del cateto adyacente a α
COSECANTE csc α =medida de la hipotenusa
medida del cateto opuesto a α
SECANTE sec α =medida de la hipotenusa
medida del adyacente a α
COTANGENTE cot α =medida del cateto adyacenteaα
medida del cateto opuesto a α
Geometrıa 8
En particular, para el caso de los triangulos rectangulos especiales, se tie-nen los siguientes valores:
α sen α cos α tan α sec α csc α cot α
45◦√
2
2
√2
21
√2
√2 1
30◦1
2
√3
2
√3
32
2√
3
3
√3
60◦√
3
2
1
2
√3
2√
3
32
√3
3
Los valores de las razones trigonometricas para angulos agudos de otrasmedidas se pueden determinar con ayuda de una calculadora cientıfica o unatabla de valores confeccionada para este fin.
1.4. Paralelogramos y no paralelogramos
Paralelogramos
Un cuadrilatero convexo se llama paralelogramo si los dos pares de ladosopuestos del cuadrilatero son paralelos. En todo paralelogramo se cumplenlas siguientes propiedades:
• Los lados opuestos son congruentes.
• Los angulos opuestos son congruentes.
• Los angulos consecutivos son suplementarios.
• Las diagonales se bisecan.
Geometrıa 9
Si el paralelogramo tiene los cuatro lados congruentes se le llama romboy si tiene los cuatro angulos internos rectos se le llama rectangulo. Ademasde las caracterısticas citadas anteriormente para todo paralelogramo, en losrectangulos las diagonales son congruentes y en un rombo las diagonales sonperpendiculares:
Cuando un paralelogramo tiene los cuatro lados congruentes y los cuatroangulos congruentes se llama cuadrado. Entonces en un cuadrado se cumplentanto las propiedades de los rombos como las de los rectangulos.
Trapecio
Se llama trapecio al cuadrilatero que tiene un par de lados paralelos lla-mados bases. Un trapecio que tiene un par de angulos internos rectos recibeel nombre de trapecio rectangulo. Si los lados no paralelos del trapecio soncongruentes se dice que es un trapecio isosceles.
Al segmento cuyos extremos son los puntos medios de los lados no para-lelos del trapecio se le llama paralela media.
Geometrıa 10
1.5. Polıgono de n lados
Clasificacion:
1. De acuerdo con las medidas de los lados o de los angulos:
• Polıgono equiangulo: Un polıgono se dice equiangulo si susangulos internos son todos congruentes entre sı.
• Polıgono equilatero: Un polıgono se dice equilatero si sus ladosson todos congruentes entre sı.
• Polıgonos regulares: Son aquellos polıgonos convexos equilate-ros y equiangulos.
• Polıgonos irregulares: Son aquellos polıgonos que no son equilate-ros o no son equiangulos.
2. De acuerdo con la cantidad de lados los polıgonos se clasifican en
No. de lados Nombre No. de lados Nombre3 triangulo 9 nonagono4 cuadrilatero 10 decagono5 pentagono 11 endecagono6 hexagono 12 dodecagono7 heptagono 15 pentadecagono8 octagono
Polıgonos inscritos y polıgonos circunscritos en una circunferencia
• Se dice que un polıgono esta inscritoen una circunferencia si todos loslados del polıgono son cuerdas de lacircunferencia.
Geometrıa 11
• Se dice que un polıgono es circunscritoa una circunferencia si todos los ladosdel polıgono intersecan a la circunfe-rencia en un unico punto.
1.6. Algunos teoremas sobre polıgonos
1. En un polıgono convexo de n lados las medidas de los angulos internossuman S = (n − 2) . 180◦
2. La suma de las medidas, en grados, de los angulos externos de unpolıgono convexo es 360◦.
∠BCD es un angulo exterior del pentagono ABCDE∠BCF es un angulo exterior del pentagono ABCDE
m ∠GAE + m ∠IED + m ∠JDC + m ∠FCB + m ∠HBA = 360◦
m ∠BAE + m ∠AED + m ∠EDC + m ∠DCB + m ∠CBA = 180◦ · 3 = 540◦
3. Todo polıgono regular se puede inscribir en una circunferencia. Todoslos vertices de un polıgono regular estan a igual distancia del centro dela circunferencia circunscrita.
Al centro de la circunferencia circunscrita se le llama tambien centrodel polıgono y a los segmentos cuyos extremos son un vertice y el centrodel polıgono se les llama radios del polıgono.
Geometrıa 12
4. En todo polıgono regular se puede inscribir una circunferencia.
Al segmento cuyos extremos son el centro de la circunferencia inscrita yel punto medio de un lado del polıgono se le llama apotema del polıgono.
5. El centro de la circunferencia inscrita a un polıgono es igual al centrode la circunferencia circunscrita al polıgono.
6. Todo radio de un polıgono regular esta incluido en la bisectriz del angu-lo interno del vertice que contiene.
7. En un polıgono regular las medidas de los angulos centrales suman
360◦ y cada uno mide
(360
n
)◦
donde n es la cantidad de lados del
polıgono. Cada angulo externo mide
(360
n
)◦
y cada angulo interno
mide
(180− 360
n
)◦
.
A es el centro de las circunferencias inscrita (de radio AG) yy circunscrita (de radio AD) al pentagono regular BCDEF
Geometrıa 13
8. La medida de la paralela media de un trapecio es igual a la semisuma
de las medidas de las bases: PM =B + b
2
DF es la paralela media del trapecio ABEC
1.7. Formulas de area de figuras planas
Durante la primaria y secundaria se trabajo con el concepto de area yperımetro de una region poligonal y de un cırculo. Algunas de las formulasutilizadas se presentan a continuacion. Recuerde que para cualquier polıgono,el perımetro es la suma de las medidas de los lados y el semiperımetro es lamitad del perımetro.
En el caso de un triangulo, recordaremos tres de las formulas usuales.Dependiendo de los datos que se posean, sera mas util aplicar una u otra.Con cualquiera de ellas se obtendra el mismo resultado: el area del triangulo.
Triangulo A =b . h
2b:baseh:altura
Triangulo A =1
2b . c . sen α
b, c: ladosα: angulo opuestoal tercer lado
Geometrıa 14
Triangulo A =√
s(s− a)(s− b)(s− c)a,b,c: medidade los lados.s: semiperımetro
Paralelogramo A = b . hb:baseh:altura
Trapecio A =b + B
2. h
b: base menorB: base mayorh: altura
polıgonoregular
A = s . as: semiperımetroa: apotema
1.8. Ejemplos
1. Una escalera de 9 m de longitud se apoya en la pared vertical de unedificio. La base de la escalera se desliza alejandose de la pared a razon
de 2m
s¿Que altura alcanza la parte superior de la escalera cuando la
base de ella se encuentra a 4 m de la pared? ¿Y un segundo despues?
Geometrıa 15
Solucion
Si h representa la altura que alcanza la es-calera y x la distancia de la base de la es-calera a la pared, entonces, por el Teoremade Pitagoras, se cumple que x2 +h2 = 81,y como h es un numero positivo entoncesh =
√81− x2.
a) Cuando x = 4 m entonces se tiene que
h =√
81− 16 =√
65 m ≈ 8, 06 m.
b) Un segundo despues la base de la escalera se ha desplazado 2 mmas, es decir, x = 6 m, por lo tanto, en ese instante se tiene queh =
√81− 36 =
√45 m ≈ 6, 71 m.
2. Un automovil viaja hacia el este a una velocidad constante de 60Km
h
y otro viaja hacia el sur a una velocidad constante de 80Km
h. Si ambos
parten del mismo lugar y al mismo tiempo, ¿cual es la distancia quehay entre ellos despues de 30 min de iniciado el recorrido?
Solucion
Si x es la distancia, en kilometros, recorri-da por el automovil que viaja hacia el este,y la distancia, en kilometros, recorrida porel otro automovil, d la distancia entre losdos automoviles y t el tiempo transcurri-do desde que inicio el recorrido, en horas,entonces se tiene que:
• x = 60 t
• y = 80 t
• d =√
x2 + y2, porque d > 0.
Cuando ha transcurrido 30 min se tiene que t = 0, 5 y por lo tanto:x = 30, y = 40 y d =
√900 + 1600 = 50 m.
Geometrıa 16
3. Un reflector se ubica sobre el piso a una distancia de 10 m de la tra-yectoria rectilınea que sigue un hombre que camina a una velocidad
de 1, 25m
s. La luz se mantiene en direccion al caminante. ¿Cual es la
medida del angulo que forma el rayo de luz con la perpendicular traza-da desde el reflector a la trayectoria cuando el hombre se encuentra a5 m del punto de la trayectoria mas cercano al reflector? ¿Y 4 segundosdespues?
Solucion
Sean P el punto del camino mascercano al reflector, C el puntodonde se ubica el caminante y Rdonde se ubica el reflector.Si x = PC y α = m ∠ PRC en-
tonces tan α =x
10.
a) Cuando x = 5 m entonces tan α =5
10= 0, 5 y por lo tanto
α ≈ 27◦.
b) Cuatro segundos despues el caminante ha recorrido 5 m, por lotanto x = 10 m y el triangulo 4PCR serıa rectangulo isosceles,entonces α = 45◦.
4. Un avion vuela horizontalmente a una altura de 1500 m y a una veloci-
dad de 600Km
h. En su recorrido pasa exactamente sobre una estacion
de radar. ¿Cual es la distancia entre el radar y el avion 10 minutosdespues de que pasa por encima de el?
Solucion
Geometrıa 17
Sean A el punto donde se ubicael avion y P el punto a 1500 mde altura sobre el punto R dondese ubica el radar.
La distancia AR entre el ra-dar y el avion esta dada porRA =
√15002 + PA2
Cuando han transcurrido 10 mi-nutos desde que el avion pasa porP se tiene que PA = 100 Km, porlo tanto, en ese instante:
RA =√
15002 + 1002 =√
2260000 = 100√
226 ≈ 1503, 33 Km.
5. Un cometa que se encuentra a una altura de 70 m sobre el nivel del marse mueve horizontalmente. ¿Cual es la medida del angulo determinadopor la cuerda y la horizontal, cuando se han soltado 140 m de cuerda?¿Y cuando se han soltado 150 m?
Solucion
Sea x la longitud de la cuerda y αla medida del angulo determina-do por la cuerda y la horizontal.
Se tiene que sen α =70
x.
a. Cuando se han soltado140 m de cuerda x = 140 ypor lo tanto en ese instante
sen α =70
140= 0, 5 y
entonces α = 30◦.
b. Cuando se han soltado 150 m de cuerda x = 150 y por lo tanto en
ese instante sen α =70
150=
7
15y entonces α ≈ 28◦.
6. Una ventana tiene la forma de un cuadrado rematado por un semicırcu-lo. Si el perımetro de la ventana es 40 cm calcule la medida r del radiodel semicırculo.
Geometrıa 18
Solucion
El perımetro P de la ventana es lasuma de las medidas de tres ladosdel cuadrado mas la longitud de lasemicircunferencia.Si el radio mide r cm entonces la lon-gitud de la semicircunferencia esSc = π.r cm.Cada lado del cuadrado es con-gruente a un diametro de lasemicircunferencia, es decir, cadauno mide 2 r.
Entonces P = 6r + π r, por lo tanto,
40 = (6 + π) r ⇒ r =40
6 + π≈ 4, 38 cm.
7. Un granjero dispone de 1800 metros de material para cercar un terrenorectangular. En uno de los lados no se necesita poner cerca ya que elterreno limita con un rıo. Si se sabe que x es la medida de cada unode los lados perpendiculares al rıo, exprese en terminos de x el area delterreno que puede cercar.
Solucion
Sea y la medida del lado paralelo al rıo.
Como el granjero dispone de 1800 m en-tonces se debe cumplir que 2 x + y =1800 de donde se tiene que y = 1800−2 x.
El area del terreno es A = x y, lo cual se puede expresar en terminosde x de la siguiente manera:A = x (1800− 2 x) = 1800 x− 2 x2.
8. En un triangulo 4DBC rectangulo en D, cuyos catetos miden DB =9 cm y DC = 12 cm, se inscribe un rectangulo de tal modo que uno desus vertices es D y el opuesto a el pertenece a la hipotenusa. Expreseel area A del rectangulo en funcion de la medida x del ancho.
Geometrıa 19
Solucion
Si el ancho del rectangulo es x yel largo es y entonces el area esA = x y.Sea P el vertice que pertenece ala hipotenusa y F y E los otrosdos vertices del rectangulo comose muestra en la figura.Observe que los triangulosrectangulos 4BDC, 4BFP y4PEC son semejantes por elteorema Angulo - Angulo.
Entonces se tiene que
BF
PE=
PF
EC⇒ 9− x
x=
y
12− y⇒ (9− x)(12− y) = x y.
Si se despeja y de esta igualdad se tiene:
(9− x)(12− y) = x y ⇒ 108− 9 y − 12 x + x y = x y ⇒
108− 12 x = 9 y ⇒ y =108− 12x
9⇒ y = 12− 4
3x.
El area del rectangulo es entonces
A = x y = x
(12− 4
3x
)= 12 x− 4
3x2.
9. En una circunferencia de 6 cm de radio se inscriben un triangulo equilate-ro, un cuadrado, un hexagono y un octagono. Calcule la diferencia entreel area de cada una de las regiones poligonales con respecto al area delcırculo.
Solucion
Si el radio de la circunferencia mide 6 cm entonces el area del cırculoes A0 = 36 π cm2
Geometrıa 20
a. Triangulo equilatero
Como el radio de la circunferenciacircunscrita mide 6 cm entonces laapotema del triangulo mide 3 cm ypor lo tanto su altura mide 9 cm.
Si l es la medida del lado entoncesl√
3
2= 9 ⇒ l =
18√3
= 6√
3.
El area del triangulo es
A =b h
2=
6√
3. 9
2= 27
√3 cm2
La diferencia entre el area delcırculo y el area del triangulo esd1 = 36 π − 27
√3 ≈ 66, 33 cm2.
b. Cuadrado
Como el radio de la circunferenciacircunscrita mide 6 cm entoncesla diagonal del cuadrado mide12 cm y por lo tanto su area es
Ac =d2
2=
122
2= 72 cm2.
La diferencia entre el area delcırculo y el area del cuadrado esd2 = 36 π − 72 ≈ 41, 09 cm2.
c. Hexagono
Como el radio de la circunferencia circunscrita mide 6 cm entonces ellado del hexagono mide 6 cm y su apotema mide 3
√3 cm, por lo tanto
su area es Ah = s . a = 18 . 3√
3 = 54√
3 cm2.
La diferencia entre el area del cırculo y el area del hexagono es
d3 = 36 π − 54√
3 ≈ 19, 57 cm2.
Geometrıa 21
d. Octagono
El angulo central de un octagono regular mide
(360
8
)◦
= 45◦.
El area del hexagono es igual a ocho veces el area de un trianguloisosceles cuyos lados congruentes miden igual que el radio del octagonoy el angulo comprendido entre ellos mide 45◦.
Entonces Aoct = 8 .1
2a . b . sen α = 4 . 6. 6. sen(45◦) .
Aoct = 144 .
√2
2= 72
√2 cm2.
La diferencia entre el area del cırculo y el area del octagono es
d4 = 36 π − 72√
2 ≈ 11, 27 cm2.
En resumen:
Polıgonoregular
Area Diferencia area del cırculomenos el area del polıgono
triangulo 27√
3 cm2 d1 = 36 π − 27√
3≈ 66, 33 cm2
cuadrado 72 cm2 d2 = 36 π − 72 ≈ 41, 09 cm2
Hexagono 54√
3 cm2 d3 = 36 π − 54√
3≈ 19, 57 cm2
Octagono 72√
2 cm2 d4 = 36 π − 72√
2≈ 11, 27 cm2
¿Que sucede con la diferencia entre las areas del cırculo y el polıgonosi se considera un polıgono regular de mas lados?
10. La distancia entre las orillas paralelas de un rıo es 100 m. Un hombreque se encuentra en una de las orillas desea llegar a un arbol que seencuentra en la orilla opuesta, a 250 m del punto que se localiza exac-
tamente en la parte opuesta a el. Si nada a 2m
sy corre a 5
m
s, calcule
el tiempo que tarda si:
a) Nada directamente hasta el arbol.
b) Nada al punto que esta exactamente en la parte opuesta a el yluego corre hasta el arbol.
Geometrıa 22
c) Nada hasta un punto en la orilla opuesta ubicado a 150 m delarbol y luego corre hasta el arbol.
Solucion
a. La distancia del puntoP donde se ubica el hom-bre al arbol esta dada porPA =
√1002 + 2502 =
50√
29 ≈ 269, 26 m.
Como el hombre nada a 2m
sentonces el tiempo que tar-da en el recorrido es apro-ximadamente 134, 63 s, o sea2 min 15 s aproximadamente.
b. Si nada 100 m entonces tarda 50 s. Si corre 250 m tarda 50 s. En esterecorrido tardarıa 100 s, es decir, 1 min 40 s.
c. Si nada hasta un punto C a 150 m del arbol entonces nada una dis-tancia de y = 100
√2 m. Nadando tarda aproximadamente 70, 71 s y
corriendo tardarıa 30 s, por lo tanto haciendo este recorrido tarda entotal 101 s aproximadamente, es decir 1 min 41 s.
¿Cual sera la forma mas rapida de hacer el recorrido? (Esto lo podra deter-minar aplicando herramientas del calculo diferencial)
Geometrıa 23
2. Cırculo y circunferencia
2.1. Definiciones y teoremas basicos
1.Circunferencia
Conjunto de puntos de unmismo plano que estan auna misma distancia de unpunto fijo llamado centro dela circunferencia.
B es un punto dela circunferencia de
centro A
2.Radio
Segmento cuyos extremosson el centro de la circunfe-rencia y un punto de la cir-cunferencia. Tambien se lellama radio a la medida decualquiera de esos segmen-tos, es decir, a la distanciadel centro a cualquier puntode la circunferencia.
El segmento AB esun radio de lacircunferencia.
Tambien se diceque el radio de la
circunferencia es elnumero AB.
3.Cuerda
Segmento cuyos extremosson dos puntos de la circun-ferencia.
CB es una cuerdade la
circunferencia.
Geometrıa 24
4.Diametro
Cuerda que contiene al cen-tro de la circunferencia.Tambien se llama diame-tro de la circunferencia alnumero que es el doble delradio.
CB es un diametrode la
circunferencia.CB = 2 AB
5.Interior de lacircunferencia
Conjunto de puntos copla-nares a la circunferencia,que estan a una distanciadel centro menor que el ra-dio.
D es un punto enel interior de la
circunferencia decentro A y radio
AB, entoncesAD < AB
6.Exterior de lacircunferencia
Conjunto de puntos copla-nares a la circunferencia,que estan a una distanciadel centro mayor que el ra-dio.
D es un punto en elexterior de la
circunferencia decentro A y radio
AB, entoncesAD > AB
Geometrıa 25
7.Cırculo
Union de la circunferencia yel interior de la circunferen-cia, es decir, el conjunto depuntos coplanares que estana una distancia del centrode la circunferencia menor oigual que el radio. Cırculo de centro
A y radio AB
8.Angulo Central
Angulo cuyo vertice es elcentro de la circunferencia ysus lados intersecan a la cir-cunferencia.
Cırculo de centroA y radio AB
9. Arco: Considere una circunferencia de centro A y dos puntos E y B enella tales que EB no sea un diametro. Entonces:
• El conjunto formado por E, B y todoslos puntos de la circunferencia que per-tenecen al interior del angulo ∠ EAB sellama arco menor de extremos E y B.
F es un punto del arcomenor EB
• El conjunto formado por E, B y todoslos puntos de la circunferencia que per-tenecen al exterior del angulo ∠ EAB sellama arco mayor de extremos E y B.
F es un punto del arcomayor EB
Para referirse a un arco cuyos extremos son A y B se usa la notacion AB.
Geometrıa 26
Cuando con esta notacion pudiera haber ambiguedad, se acostumbra utilizar
la notacion AMB donde M es otro punto cualquiera del arco distinto de Ay de B.
10.SemiCircunferencia
Si A y B son los extremosde un diametro entonces alconjunto formado por A, By todos los puntos de la cir-cunferencia que quedan deun mismo lado de la rectaque contiene a los puntos Ay BAB se llama semicircun-ferencia. Semicircunferencia
de centro O
11.Recta Secante auna circunferen-cia
Recta que contiene a dospuntos de la circunferencia.
La recta BC essecante a la
circunferencia decentro O y radio
OB
12.Recta tangente auna circunferen-cia
Recta que pertenece al mis-mo plano de la circunferen-cia y contiene exactamenteun punto de la circunferen-cia. A este punto de inter-seccion de la recta y y la cir-cunferencia se le llama pun-to de tangencia. Se dice quela recta y la circunferenciason tangentes.
La recta FC y lacircunferencia decentro O y radioOC son tangentes
en C.C es el punto de
tangencia.
Geometrıa 27
13.Circunferenciassecantes
Dos circunferencias son se-cantes si son coplanares yse intersecan en exactamen-te dos puntos. La circunferencia
de centro O y radioOC es secante a lacircunferencia decentro G y radio
GH
14.Circunferenciastangentes
Dos circunferencias son tan-gentes si se intersecan enexactamente un punto.
Circunferenciastangentes
exteriores en C
Circunferenciastangentes
interiores en A
A continuacion se presentara una lista con los enunciados de algunos delos teoremas que se estudian en secundaria relacionados con las definicionespresentadas hasta ahora sobre cırculo y circunferencia. No se incluiran lasrespectivas demostraciones:
Geometrıa 28
Teoremas
1.
Toda recta tangente a una circun-ferencia es perpendicular al radioque contiene al punto de tangen-cia.
La recta AD es tangenteen A a la circunferenciade centro B y radio AB
entonces AD⊥AB
2.
En una circunferencia, toda rectaque contenga al centro y sea per-pendicular a una cuerda, biseca ala cuerda.
Si A es el centro de lacircunferencia y
GH⊥DB entoncesMD = MB
3.
En una circunferencia, una recta quecontenga al centro de la circunferenciay al punto medio de una cuerda, es per-pendicular a la cuerda.
Si A es el centro de lacircunferencia y MD =MB entonces GH⊥DB
Geometrıa 29
2.2. Angulos en el cırculo
Definiciones:
1. Medida de un arco: En una circunferencia de centro C, la medida en
grados del arco AXB se denota m AXB y se define de la siguiente manera:
• Si AXB es un arco menor entonces sumedida es la medida del angulo central∠ACB.
• Si AXB es una semicircunferencia en-tonces su medida es 180◦.
• Si AXB es un arco mayor y AWB esel arco menor correspondiente, entonces
m AXB = 360−m AWB.
2.Anguloinscrito
Un angulo esta inscrito enun arco si cada lado delangulo contiene a uno de losextremos del arco y ademasel vertice del angulo es unpunto del arco, diferente delos extremos.
El angulo ∠DCEes inscrito en elarco mayor de
extremos D y E.
Geometrıa 30
3.Arcointerceptadopor un angulo
Se dice que un angulo inter-cepta o subtiende un arco si:
• Los puntos extremosdel arco pertenecen alangulo
• cada lado del angulocontiene al menos unextremo del arco
• a excepcion de los ex-tremos, todos los pun-tos del arco estan en elinterior del angulo.
El angulo∠DCE
subtiende alarco menor de
extremos D y E.
4.Radianes
Se dice que un angulo cen-tral de una circunferenciamide un radian si subtien-de un arco cuya longitud esigual al radio de la circunfe-rencia.
Si la longitud delarco menor de
extremos A y B esr entonces la
medida del angulo∠ BCA es 1 rad.
5.Angulosemi-inscrito
Angulo cuyo vertice es unpunto de la circunferencia ysus lados son tales que unointerseca a la circunferen-cia en dos puntos y el otroesta contenido en una rectatangente a la circunferencia. El angulo ∠GCD
es semi inscrito
Geometrıa 31
Ahora recordemos algunos de los teoremas relacionados con los anguloscuyas definiciones acabamos de recordar:
Teoremas:
1.
La medida de un angulo inscrito es lamitad de la medida del arco que inter-cepta.
m ∠DCE =m DE
2
2.Un angulo inscrito en una semicircun-ferencia es recto.
BD es un diametroentonces
m ∠BCD = 90◦
3.
La medida de un angulo semi inscritoes la mitad de la medida del arco queintercepta.
m ∠DCG =m DC
2
Geometrıa 32
4.
Si F, G, C y D son puntos de una mis-ma circunferencia tales que FG‖CDentonces los arcos comprendidos entrelas rectas son congruentes.
Si FG‖CD entonces
m GC = m DF
5.
Considere una circunferencia de centroC y P un punto exterior a ella. Si My N los puntos de tangencia de las dosrectas tangentes a la circunferencia tra-zadas desde P entonces los segmentosMP y NP son congruentes y PC esbisectriz del angulo ∠ NPM.
2.3. Regiones circulares:
Definiciones:
1.Sectorcircular
Es una region limitada pordos radios de una misma cir-cunferencia y un arco deter-minado por ellos.
El sector circular sombrea-do esta limitado por los ra-dios MC y NC y el arcomenor MN .
Geometrıa 33
2.Segmentocircular
Es la region limitada poruna cuerda y el arco menorque subtiende.
El segmento circular som-breado esta limitado por lacuerda MN y el arco me-nor MN .
3.Coronacircular
Se llama corona o anillo cir-cular a la parte del plano li-mitada por dos circunferen-cias concentricas.
Recordaremos algunas de las formulas estudiadas en secundaria para cal-cular el area de las regiones circulares que se acaban de definir.
Algunas formulas:
1.La longitud C de la circunferencia deradio r es C = 2 π . r
C = 2 π .AB
2.Area A del cırculo de radio r esA = π r2
A = π .AB2
Geometrıa 34
3.
La longitud L de un arco de medida nrad en una circunferencia de radio r :L = n r
Recuerde que la circunferencia se puede considerar como un arco cuyamedida es 360◦ y que si la medida del radio es r entonces la longitud de lacircunferencia es C = 2 π r. Considere un arco AB cuya medida en grados esn.
• Para determinar la longitud l de este arco se puede hacer la siguienteproporcion:
2 π r
360=
1
n
De donde se obtiene2 π r n
360=
π r n
180
• Para determinar el area del sector circular determinado por este arco sepuede hacer la siguiente proporcion:
π r2
360=
A
n
De donde se obtiene A =π r2 n
360
4.
La longitud l de un arco de medida n◦
en una circunferencia de radio r es
l =C
360. n =
2 π r
360. n =
π r n
180
ldCB =π . AC .m ∠CAB
180
Geometrıa 35
5.
El Area del sector circular es el produc-to del area del cırculo por la medida del
arco dividido por 360. Asc =π r2 n
360
6.
El Area del sector circular es igual a lamitad del producto del radio r por lalongitud L del arco interceptado
A =r L
2
Asc =π r2 n
360=
π r n . r
180 . 2=
π r n
180r
2=
L . r
2
7.
Area del segmento circular es igual alarea del sector circular menos el area
del triangulo Asc =r L
2− CB . h
2
8.
Si las circunferencias que limitan la co-rona circular tienen radios R y r en-tonces el area de esa region es la di-ferencia entre las areas de los cırculosA = π R2 − π r2
A = π( R2 − r2)
2.4. Ejemplos
1. Si la recta MN es tangente en M a la circunferencia de centro O y ra-dio OM y ademas NO = 2 MO, determine la medida del angulo ∠ NOM.
Geometrıa 36
Solucion
Como MN es tangente en M a la circunferencia decentro O y radio OM entonces el angulo ∠ OMN esrecto y por lo tanto el triangulo4MNO es rectanguloen M.Si α es la medida en grados del angulo ∠ NOM en-
tonces cos α =MO
NO=
MO
2 . MO=
1
2y por lo tanto
α = 60◦.
2. Si D, N y B son puntos en la circunferencia de centro A tales que la rec-ta AN interseca perpendicularmente a la cuerda BD en un punto M yel angulo ∠ADB mide 30◦. Si AM = 10 cm determine la medida de BD.
Solucion
Como recta AN interseca perpendicularmente a lacuerda BD en M, entonces MB = MD.
Como m ∠ADB = 30◦ entonces tan (30◦) =AM
DM=
1√3
por lo que DM = AM .√
3 = 10√
3.
Por lo tanto BD = 2 . BM =20√
3 cm.
3. El radio de un primer cırculo mide 5 cm menos que el radio de otrocırculo. ¿Cuanto mayor es el area del segundo? ¿Y si un radio es eldoble del otro, cual es la razon entre las areas?
Solucion
Sea r la medida, en cm, del radio del cırculo menor entonces su area esA = π r2.
a. Si el radio del segundo cırculo es 5 cm mayor entonces es r1 = r+5,y el area de este cırculo es A1 = π(r + 5)2 = π(r2 + 10 r + 25) =π r2 + π(10r + 25) = A + π(10r + 25)
Por lo tanto si el radio es 5 cm mayor entonces el area es π(10r +25)cm2 mayor.
b. Si el radio del segundo cırculo mide el doble entonces r1 = 2 r yel area del cırculo es A1 = π(2 r)2 = π(4 r2) = 4 π r2 = 4 A.
Por lo tanto si el radio de un cırculo mide el doble del radio del otroentonces el area del primero es cuatro veces el area del segundo.
Geometrıa 37
4. En una circunferencia de 10 cm de radio, un arco tiene una longitudde 4 πcm. Determine la medida del angulo central que subtiende dichoarco.
Solucion
Se sabe que la longitud del radio es r = 10 y que la longitud del arco esl = 4 π . Si n es la medida en radianes del angulo central que subtiende
dicho arco, entonces l = n . r ⇒ 4 π = 10 n ⇒ n =4 π
10⇒ n =
2 π
5rad.
Por lo tanto la medida del angulo central es2 π
5rad, o bien,
2 π
5rad =
(2 . 180
5
)◦
= 72◦.
5. Un sector circular tiene un area de 9 π cm2 en un cırculo de 12 cm dediametro. Determine la longitud del arco que limita dicho sector.
Solucion
Si la medida del diametro es d = 12 cm entonces la medida del radioes r = 6 cm. Si el area del sector circular es A = 9 π cm2 entonces lalongitud del arco l determinado por este sector es
A =l . r
2⇒ 9 π =
l . 6
2⇒ 9 π = 3 l ⇒ l = 3 π.
Por lo tanto la longitud del arco es 3 π cm.
6. Dos circunferencias concentricas son tales que sus radios estan en larazon 5 : 7. Si el area de la corona circular que determinan es 216 π cm2,determine la longitud de la circunferencia menor.
Solucion
Si las medidas de los radios estan en la razon 5 : 7 entonces se puedendenotar como r = 5 x y R = 7 x. Por lo tanto, el area de la coronacircular que determinan las circunferencias es
A = π(R2 − r2) = π[(7 x)2 − (5 x)2] = π[49 x2 − 25 x2] = 24 π x2.
Se tiene entonces que 24 π x2 = 216 π ⇒ x2 =216 π
24 π⇒ x2 = 9 y como
x es un numero positivo, x = 3.
Las medidas de los radios son entonces:
r = 5 x = 15 cm y R = 7 x = 21 cm.
Geometrıa 38
7. Si A, B y C son puntos de una circunferencia de centro O tales queel 4AOC es equilatero. Determine la medida del ∠ABC y exprese, enterminos del radio r, el area del segmento circular determinado por lacuerda AC.
Solucion
a. Si 4AOC es equilatero entoncesm ∠AOC = 60◦ y por lo tanto el arcomenor de extremos A y C mide 60◦ . Elangulo ∠ABC mide 30◦ por ser inscrito ysubtender ese mismo arco.
b. El area del segmento circular es igual a la diferencia entre el areadel sector circular determinado por los puntos A, O y C y el area deltriangulo 4AOC: Asegmento = Asector − A4. Como la medida del ladodel triangulo es igual al radio entonces:
Asegmento =π r2 n
360− l2
√3
4=
π r2 60
360− r2
√3
4=
π r2
6− r2
√3
4=
2 π r2 − 3 r2√
3
12=
(2 π − 3√
3) r2
12
Geometrıa 39
3. Solidos
3.1. Prismas
Un prisma es un solido cuyas bases son regiones poligonales congruentesque pertenecen a planos paralelos y las caras laterales son paralelogramos. Acada lado de las bases se le llama arista de la base y a los lados de las caraslaterales que no son lados de la base se les llama aristas laterales.
Si las caras laterales son perpendiculares a la base se dice que el prismaes recto, en este caso las caras laterales son rectangulos y la altura del prismacoincide con las aristas laterales.
En general, el volumen V de un prisma es igual al producto del areade la base Ab y su altura h, o sea V = Ab h.
El area de las caras del prisma corresponde a la suma de las areas decada region poligonal que lo limita. Si el prisma es recto y la base es regularentonces las caras laterales tienen igual area.
El paralelepıpedo
Un paralelepıpedo es un solido cuyas bases son dos regiones limitadas porparalelogramos congruentes y sus caras laterales son rectangulares.
El volumen V de un paralelepıpedo rectangular cuyas dimensionesson a (ancho), l (largo) y h (altura) es V = l a h.
Sin embargo, la base de un paralelepıpedo no tiene que ser necesariamen-te un rectangulo, sino que puede ser cualquier paralelogramo.
Geometrıa 40
Para calcular el volumen de un solido de este tipo se procede de modosimilar:
En general, el volumen V de un paralelepıpedo es igual al productodel area de la base Ab y su altura h, o sea V = Ab h.
El cubo
Un cubo es un poliedro (solido limitado por polıgonos) cuyas caras sonseis regiones cuadrangulares congruentes.
El volumen V de un cubo cuyas aristas miden a unidades lineales esV = a . a . a , o bien, V = a3
Dado que las seis caras de un cubo son cuadrangulares y congruentes delado a entonces el area de sus caras es igual a A = 6 a2.
3.2. Cilindros circulares rectos
Considere un solido en el cual sus bases son dos cırculos congruentes quepertenecen a planos paralelos. Si los centros de las bases son P y Q entoncesel segmento PQ es perpendicular a ambas bases. A este solido se le llamacilindro circular recto.
Mas precisamente, el cilindro es el conjunto de segmentos MN donde Mes un punto de una de las bases y N un punto de la otra y ademas MN y PQson segmentos paralelos. El cilindro esta limitado por dos caras circulares(bases) y una superficie alabeada.
Es importante recalcar el hecho de que el cilindro, al igual que los prismas,no esta formado solo por sus caras, sino que tambien por todos los puntos
Geometrıa 41
interiores, o sea que no se trata del “cascaron” unicamente, sino de este mastodo su interior.
El volumen de un cilindro tambien se calcula de forma similar que el deun prisma, o sea:
El volumen V de un cilindro recto es igual al producto del area dela base Ab y su altura h, o sea V = Ab h
.
En particular,
El volumen V de un cilindro circular recto es igual al producto delarea de la base Ab y su altura h, o sea V = Ab h = π r2 h
.
El area total de un cilindro se calcula sumando el area de cada una de lasbases ( π r2 ) mas el area de la superficie alabeada, la cual se puede asociaral area de una region rectangular donde el ancho coincide con la altura delcilindro y el largo con la longitud de la circunferencia de la base ( 2 π r ):
C = 2 π r
El area lateral del cilindro es AL = 2 π r h y el area total esta dado porAT = 2 π r h + 2 π r2.
Geometrıa 42
3.3. Conos circulares rectos
Si D es un cırculo de centro P y V un punto que no esta en el mismoplano que D, llamamos cono de base D y vertice V al conjunto de segmentosVQ donde Q es un punto cualquiera de la base. Si el segmento VP es per-pendicular a la base entonces decimos que el cono es recto. Por lo tanto, elcono esta limitado por una cara circular (base) y una superficie alabeada.
Si Q es un punto de la circunferencia de la base del cono, al segmento QVse le llama generatriz del cono. Cuando el cono es circular recto, se cumpleque g2 = r2 +h2, donde g, r y h son las medidas respectivas de la generatriz,el radio y la atura del cono.
Si un cono y un cilindro tienen bases congruentes y la misma altura elvolumen del cono es una tercera parte del volumen del cilindro, por lo tanto
El volumen V de un cono circular recto es igual a un tercio delproducto del area de la base Ab y su altura h, o sea
V =1
3. Ab . h =
1
3π r2 h
.
El area total de un cono circular recto se calcula sumando el area de labase ( π r2 ) mas el area de la superficie alabeada, la cual se puede asociar alarea de un sector circular donde el radio coincide con la generatriz del cono
Geometrıa 43
y la longitud del arco con la longitud de la circunferencia de la base del cono( 2 π r ):
El area lateral de un cono circular recto de radio r y generatriz g esAL = π r g y entonces el area total es AT = π r g + π r2 .
3.4. La esfera
Una esfera es el conjunto de puntos del espacio que equidistan de un pun-to fijo llamado centro de la esfera. La distancia del centro a cualquier puntode la esfera se llama radio.
Se llama cırculo mayor de la esfera a cualquier cırculo cuyo centro y radiocoinciden con el centro y el radio de la esfera.
El volumen V de una esfera es igual a cuatro tercios del producto de
π por el cubo del radio. V =4
3π r3 y el area de la superficie de la esfera
es igual a cuatro veces el area de un cırculo mayor de la esfera, es decir:A = 4 π r2
.
3.5. Ejemplos
1. A un globo esferico se le bombea aire de modo que su volumen aumen-
ta a razon de 25cm3
s. Se en un momento determinado el volumen es
150 π cm3, ¿cual sera su radio 2 segundos despues?
Solucion
Si el volumen del globo es 150 π cm3 entonces 2 segundos despues elvolumen sera 200 π cm3. Para determinar la medida r del radio observe
que 200 π =4
3π r3 ⇒ 600 π
4 π= r3 ⇒ r =
3√
150 ≈ 5, 31 cm
2. Un tanque de agua tiene forma de cono circular recto cuya base tieneun radio de 3 m y tiene una altura de 4 m. Si se bombea agua dentro
Geometrıa 44
del tanque a razon de 3m3
minencuentre la altura que alcanza el agua
almacenada despues de 9 min.
Solucion
Si se bombea agua a razon de 3m3
minentonces,
9 minutos despues se ha almacenado un totalde 27 m3 de agua.
Si h es la altura y r el radio del cono que deter-mina el agua almacenada entonces se tiene que1
3π r2 h = 27 ⇒ r2 h =
81
π.
Observe que, por el teorema Angulo - Angulo de semejanza (triangulos
rectangulos con un angulo comun), se tiene queh
r=
4
3⇒ h =
4
3r y
por lo tanto:
r2 h =81
π⇒ r2 .
4
3r =
81
π⇒ r3 =
243
4 π⇒ r =
3
√243
4 π≈ 3
√19, 33 ≈
2, 68
Si el radio mide 2, 68 aproximadamente entonces la altura que alcanza
el agua en el tanque es de h =4
3r ≈ 4
3. 2, 68 ≈ 3, 58 m.
3. Una bola de nieve esferica se derrite de manera que su diametro dismi-
nuye a razon de 2cm
min. Si en este momento el radio mide 10 cm, ¿cual
sera el volumen 3 minutos despues?
Solucion
Si el diametro disminuye a razon de 2cm
minentonces el radio disminuye
a razon de 1cm
min. Si en este momento el radio mide 10 cm, entonces en
3 minutos medira 7 cm y por lo tanto el volumen de la bola de nieve
sera de V =4
3π . 73 =
1372 π
3cm3 ≈ 1436, 76 cm3.
Geometrıa 45
4. Al medir la arista de un cubo se sabe que se cometio un error demedicion de 2 mm. ¿Cual es el error generado al calcular el volumendel cubo?
Solucion
Sea a la medida exacta, en milımetros, de la arista del cubo. El volumenreal es V = a3.
Si se cometio un error de 2 mm al medir la arista entonces se tuvo unvalor de a1 = a ± 2 y el volumen calculado fue de V1 = (a ± 2)3 =a3 ± 6 a2 + 12 a ± 8 por lo tanto, el error al calcular el volumen es de(6 a2 + 12 a + 8) mm3, o bien, | − 6 a2 + 12 a− 8| = 6 a2− 12 a + 8 mm3.
5. Se desea fabricar un envase cilındrico para almacenar un litro de de-terminado producto. Si la altura del envase debe ser 20 cm, ¿cual debeser el radio de la base?
Solucion
Si la capacidad del envase es un litro entonces el volumen del cilindroes 1 dm3 , o sea, 1000 cm3.
Entonces 1000 = π r2 . 20 ⇒ r2 =1000
20 π⇒ r =
√50
π≈ 3, 99 cm.
6. Si se dispone de 1000 cm2 de carton para construir una caja con formade paralelepıpedo rectangular sin tapa en la parte superior, de modoque en la base el largo mida el doble que el ancho y que dos de las caraslaterales sean cuadrados ¿Cuales deben ser las dimensiones de la caja?
Solucion
Sea x la medida del ancho de la base entonces el largo mide 2 x, por lotanto, el area de la base es Ab = 2 x2.
Si dos de las caras laterales son cuadrados se pueden tener dos casos:
I. Si la altura es x: el area lateral es
AL = 2 . x . x + 2 . 2 x . x = 6 x2.
Geometrıa 46
En este caso el area total es 8 x2 y entonces 8 x2 = 1000 ⇒ x2 = 125 ⇒x = 5
√5.
Ancho: 5√
5 cm, alto: 5√
5 cm, largo: 10√
5 cm
II. Si la altura es 2 x: el area lateral es
AL = 2 . x . 2 x + 2 . 2 x . 2 x = 12 x2.
En este caso el area total es 14 x2 y entonces 14 x2 = 1000 ⇒ x2 =
500
7⇒ x = 10
√5
7=
10
7
√35.
Ancho:10
7
√35 cm, alto:
20
7
√35 cm, largo:
20
7
√35 cm.
Geometrıa 47
4. Ejercicios
4.1. Nivel 1
1. Suponga que 4ABC ≈ 4DEF , AC = 20, DF = 15 cm, m∠C = 25◦
y ∠E es recto.Determine el perımetro de cada triangulo.R/ 46. 57 cm, 34. 93 cm, aprox.
2. Si los catetos de un triangulo rectangulo miden 12 cm y 5 cm, determinela medida de la hipotenusa y de cada angulo interno.R/ 13 cm, 67◦, 23◦ aprox.
3. Un arbol de 3 m de altura proyecta una sombra de 2 m. ¿Cual es laestatura de una persona que, en ese mismo instante, proyecta una som-bra de 1. 2 m?R/ 1. 8 m.
4. En un triangulo, los lados miden 10 cm, 15 cm y 20 cm. Determine elperımetro de otro triangulo en el cual el lado menor mide 8 cm y losangulos internos miden igual que en el primer triangulo.R/ 36 cm.
5. Si en un hexagono regular el perımetro es 60 cm, calcule el area.R/ 150
√3 cm2.
6. Si la diagonal de un cuadrado mide 10 cm, calcule el perımetro.R/ 20
√2 cm.
7. En un triangulo equilatero el radio mide 10 cm. Calcule el area.R/ 75
√3 cm2.
8. Determine la longitud de la circunferencia circunscrita a un trianguloequilatero de 6 cm de lado.R/ 4 π
√3 cm.
9. Determine el perımetro de un hexagono regular circunscrito en unacircunferencia de 24 π cm de longitud.R/ 48
√3 cm.
10. Determine el area y perımetro de una corona circular determinada pordos circunferencias concentricas de 10 cm y 12 cm de radio.R/ 44 π cm2, 44 π cm.
Geometrıa 48
11. Determine el area de un sector circular determinado por un angulo
central deπ
5rad en una circunferencia de 10 cm de radio.
R/ 10 π cm2.
12. En un paralelepıpedo rectangular, las dimensiones de la base son 4√
2 cm,2√
3 cm y la altura es√
6 cm. Determine: la medida de la diagonal dela base, la medida de la diagonal, el area total y el volumen del prisma.R/ 2
√11 cm, 5
√2 cm, (12
√2 + 16
√3 + 16
√6) cm2, 48 cm3.
13. Determine el area lateral de un cono en el cual la altura mide 12 cm yel area de la base es 25 π cm2.R/ 65 π cm2.
14. Determine el volumen de una esfera en la cual cada cırculo mayor tiene12 π cm de circunferencia.R/ 288 π cm3.
15. En un cilindro la altura mide 10 cm y el radio de la base mide 6 cm.Calcule el area lateral y el volumen.R/ 120 π cm2, 360 π cm3.
16. En una piramide recta de base cuadrada, las aristas de la base miden6 cm y las aristas laterales miden 10 cm. Calcule la altura de la pirami-de.R/
√82 cm.
17. En un prisma de base hexagonal regular todas las aristas miden 6 cm.Calcule el area total y el volumen.R/ (108
√3 + 216) cm2, 324
√3 cm3.
18. El volumen de un cubo es 5√
64. Calcule el area de la base.R/ 5
√16 cm2.
4.2. Nivel 2
1. Si las medidas de los catetos de un triangulo rectangulo estan dadaspor 3 x y 4 x exprese, en terminos de x, la medida de la hipotenusa, elperımetro y el area del triangulo.R/ 5 x, 12 x, 6 x2.
Geometrıa 49
2. Suponga que se tienen dos cuadrados. En uno de ellos el lado mideigual que la diagonal del otro. Determine la razon entre las areas deambos cuadrilateros.
R/ 2 o12.
3. Los lados de un hexagono regular y un triangulo equilatero son con-gruentes. Determine la razon entre las areas y la razon entre los perıme-tros de ambos polıgonos.
R/ 6 o16, 2 o
12.
4. Determine el area y perımetro de la figura adjunta. Suponga que �ABCD
es un rectangulo, donde AB = 6 cm y BC = 10 cm y que el arco AFDes una semicircunferencia.
R/
(252
π + 60)
cm2 , (22 + 5 π) cm.
5. Calcule el area de la region sombreada en la cual G es el centro de lacircunferencia de radio 12 cm y el arco IJ mide 2. 4 π cm.
R/ 14. 4 π − 72 sen(π
5
)≈ 2. 91 cm2.
6. Dibuje en un sistema de coordenadas cartesianas la circunferencia decentro en el origen y radio 3. Seleccione un punto P (x , y) cualquierade la circunferencia y verifique que satisface la ecuacion x2 + y2 = 9.
Geometrıa 50
7. Si en un cilindro la altura mide el triple del radio r de la base. Expreseen terminos de r el area lateral y el volumen del cilindro.R/ 6 π r2 , 3 π r3.
8. En la figura adjunta se presenta un recipiente con forma de cono circu-
lar recto en el cual el radio mide2
3de la altura. Si el contenido alcanza
una profundidad de 30 cm, determine el volumen de este lıquido.
R/ 4000 π cm3.
9. Dos automoviles parten de la interseccion de dos carreteras perpendi-culares. Uno hacia el norte a 60 Km
hy el otro hacia el este a 75 Km
h.
Despues de 20 minutos de iniciado el recorrido, el segundo automovilse detiene en un punto B. Diez minutos mas tarde, el primer vehıculose detiene en un punto A. ¿Cual es la distancia de A a B?R/ 25
√61 Km ≈ 195. 26 Km.
10. Se dispone de una lamina rectangular de metal cuyo largo mide 40 cmy el ancho 30 cm. Cortando cuadrados de 5 cm de lado en las cuatro es-quinas y doblando la lamina se va a construir una caja sin tapa. ¿Cuales el volumen de esa caja?
R/ 3000 cm3.
Geometrıa 51
4.3. Nivel 3
1. Se esta inflando un globo esferico. En un determinado momento el ra-dio es 6 cm. Despues de un instante, el radio ha aumentado en ∆ r cmy el volumen ha aumentado en ∆ V cm3. Determine:
a) ∆ V si ∆ r = 2 cm R/1184
3π.
b) ∆ r si ∆ V = 684 π cm3 R/ 3.
2. En la figura adjunta L es el centro de la circunferencia y N es el pun-to medio del lado KLdel triangulo. Si KM = 10 cm, LM = 8 cm ym∠LMK = 23◦, determine el area aproximada de la region sombreada.
R/ 9. 46 cm2. Sugerencia: Use ley de senos y ley de cosenos.
3. Considere la circunferencia de centro en el origen del sistema de coor-denadas cartesianas y de 5 cm de radio. El punto P de coordenadas(3, 4) pertenece a esta circunferencia. Determine la ecuacion de la rectatangente en P a la circunferencia.R/ 4 y + 3 x = 25
4. Suponga que en la figura adjunta cada uno de los cuadrados pequenostiene un area de 16 cm2. A un estudiante se le pide que calcule el areade la region A y el decide calcular el area del triangulo B y dividirloentre 2 para obtener una aproximacion. Determine el error en la res-puesta dada por ese estudiante.
Geometrıa 52
R/ 0. 57 cm2. aproximadamente.
5. Sean P y Q dos puntos en el plano cartesiano, cuyas coordenadas sonP (a, b) y Q(m,n). Trace las rectas perpendiculares a cada uno de losejes coordenadas desde P y desde Q, y el segmento PQ. Usando el Teo-rema de Pitagoras verifique que PQ =
√(a−m)2 + (b− n)2. Usando
congruencia de triangulos verifique que las coordenadas del punto me-
dio M del segmento PQ es M
(a + m
2,b + n
2
).
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