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Formulas da logica proposicional
• As variaveis proposicionais p, q, . . . sao formulas (VProp)
• ⊥ e formula (falso)
• α e β sao formulas, entao sao formulas (α → β), (α ∧ β), (α ∨ β)e (¬α)
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Semantica da logica proposicionalOs valores de verdade sao >e ⊥, onde >representa o valor logico verdadeiroe ⊥, falso.
Atribuicao de valores de verdade(ou valorizacao)v : VProp −→ {>,⊥} Umavalorizacao v pode ser estendida ao conjunto das formulas,e que se pode
resumir usando as seguintes tabelas:
α ¬ α⊥ >> ⊥
α β α ∧ β⊥ ⊥ ⊥⊥ > ⊥> ⊥ ⊥> > >
α β α ∨ β⊥ ⊥ ⊥⊥ > >> ⊥ >> > >
α β α→β⊥ ⊥ >⊥ > >> ⊥ ⊥> > >
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Satisfazibilidade e Validade
Uma formula α e
satisfazıvel se existe uma valorizacao v tal que v(α) = >, escreve-se |=v αe diz-se que v satisfaz α
tautologia se para todas as valorizacoes v, v(α) = >e escreve-se |= α Ex:|= p ∨ ¬p (Terceiro excluıdo)
contradicao se para todas as valorizacoes v, v(α) = ⊥e escreve-se 6|= α.Ex: 6|= p ∧ ¬p.
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Consequencia semantica
Seja Γ um conjunto de formulas.
Uma valorizacao v satisfaz Γ se e so se v satisfaz toda a formula β ∈ Γ.
Γ e satisfazıvel se existe uma valorizacao que o satisfaz
Uma formula α e uma consequencia semantica de Γ se para toda avalorizacao v que satisfaz Γ, se tem v(α) = >; e escreve-se Γ |= α
∅ |= α e equivalente a |= α
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Sistemas dedutivos
Conjuntos de regras a partir das quais e possivel obter (deduzir) umaformula (supondo ou nao um conjunto inicial Γ): ` α ou Γ ` α
Se ` α, α diz-se um teorema
Pretendem-se sistemas ıntegros e completos:
` α se e so se |= α
ou mais geralmente:
Γ ` α se e so se Γ |= α
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RegrasUma regra de inferencia e da forma:
α1, . . . , αn
β
αi (1 ≤ i ≤ k) sao as premissas, β conclusao
Deducao (derivacao ou prova) de α e uma arvore tal que:
• cada no e etiquetado por uma formula
• a formula de um no pai e uma formula inferior duma regra de inferencia,cujas formulas superiores sao as formulas dos nos filhos
• as formulas das folhas chamam-se iniciais
• a formula da raiz e a formula final α
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Sistemas de deducao natural
Sistema inventado por G. Gentzen (1935) e que cujas regras pretendemreflectir as formas de raciocınio usadas nas demonstracoes matematicas.Nao tem axiomas. So regras de inferencia. Para cada conectiva logicaexistem dois tipos de regras: de introducao e de eliminacao.
As formulas iniciais podem ser hipoteses (premissas) introduzidas para aaplicacao duma regra: iniciam um sub-deducao que quando termina cancelaas respectivas hipoteses
Por exemplo para deduzir: (p ∨ (q ∧ r)) → ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))
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1 (p ∨ (q ∧ r)
2 p
3 p ∨ q ∨I, 2
4 p ∨ r ∨I, 2
5 ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) ∧I, 3, 4
6 q ∧ r
7 q ∧E, 6
8 r ∧E, 6
9 p ∨ q ∨I, 6
10 p ∨ r ∨I, 6
11 ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) ∧I, 3, 4
12 ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) ∨E, 1, 2–5, 6–11
13 (p ∨ (q ∧ r)) → ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) ⇒I, 1–12
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Deducao natural, NK0
Introducao Eliminacao
∧
...α
...β
α ∧ β ∧ I
...α ∧ β
α ∧ E1
...α ∧ β
β ∧ E2
∨
...α
α ∨ β ∨ I1
...β
α ∨ β ∨ I2
...α ∨ β
[α] [β]... ...γ γ
γ ∨ E
→
[α]...β
α→β→I
...α
...α→β
β →E
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Exemplos
1. ` α → (β → α)
1 α
2 β
3 α R, 1
4 β → α ⇒I, 2–3
5 α → (β → α) ⇒I, 1–4
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2. ` (α → (β → θ)) → ((α → β) → (α → θ))
1 α → (β → θ)
2 (α → β)
3 α
4 β ⇒E, 2, 3
5 β → θ ⇒E, 1, 3
6 θ ⇒E, 4, 5
7 α → θ ⇒I, 3–6
8 (α → β) → (α → θ) ⇒I, 2–7
9 (α → (β → θ)) → (α → β) → (α → θ) ⇒I, 1–8
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Deducao natural, NK0 (cont.)
Introducao Eliminacao
¬
[α]...⊥¬α ¬I
...α
...¬α
β ¬E
¬¬
...α
¬¬α¬¬I
...¬¬α
α ¬¬E
Regra da Repeticao ααR
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Exemplo` (¬β → ¬α) → ((¬β → α) → β)1 ¬β → ¬α
2 ¬β → α
3 ¬β
4 α ⇒E, 2, 3
5 ¬α ⇒E, 1, 2
6 ⊥ ¬E, 4, 5
7 ¬¬β ¬I, 3–6
8 β ¬¬E, 7
9 (¬β → α) → β ⇒I, 2–8
10 (¬β → ¬α) → (¬β → α) → β ⇒I, 1–9
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Algumas regras derivadas:
Modus Tollens
α → β ¬β
¬αMT
1 α → β
2 ¬β
3 α
4 β ⇒E, 1, 3
5 ⊥ ¬E, 2, 4
6 ¬α ¬I, 3–5
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Reducao ao absurdo[¬α]
...
⊥α
RA
Se tivermos uma deducao de ⊥ supondo ¬α podemos ter uma deducao de ¬α → ⊥.
Entao basta mostrar ¬α → ⊥ ` α:
1 ¬α → ⊥
2 ¬α
3 ⊥ ⇒E, 1, 2
4 ¬¬α ¬¬ I, 2–3
5 α ¬¬ E, 4
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Terceiro excluıdoα ∨ ¬α
TE
1 ¬(α ∨ ¬α)
2 α
3 α ∨ ¬α ∨I, 2
4 ⊥ ¬E, 1, 3
5 ¬α ¬I, 2–4
6 α ∨ ¬α ∨I, 5
7 ⊥ ¬E, 1, 5
8 α ∨ ¬α RA, 1–7
Mostrar que α ∨ ¬α ` ¬¬α → α (sem ¬¬E)
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Teorema 1.1. O sistema NK0 e ıntegro e completo para a logica propo-sicional (classica): se ` α sse |= α. E se Σ ` α sse Σ |= α
Teorema 1.2. E decidıvel determinar se uma formula φ e valida, mas eco-NP -completo.
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Sequents
Computacionalmente e conveniente saber, em cada passo de derivacao,quais sao as hipoteses que estao activas:
Numa deducao, podiamos substituir uma formula α que depende dashipoteses (activas) α1, . . . , αk pela formula: α1 ∧ . . . ∧ αk → α
Mas, por questoes estruturais, vamos definir, um novo conceito:
Sequents (sequencias)
α1, . . . , αn ⇒ β1, . . . , βm
Significado: α1 ∧ . . . ∧ αn → β1 ∨ . . . ∨ βm
Antecedente vazio: β1 ∨ . . . ∨ βm
Consequente vazio: ¬(α1 ∧ . . . ∧ αn)Ambos vazios: ⊥
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NK0 em sequentsSupondo que Γ (contexto) e um conjunto de formulas:
Γ,α ⇒ αAx
Introducao Eliminacao
∧ Γ ⇒ α Γ ⇒ βΓ ⇒ α ∧ β ∧ I
Γ ⇒ α ∧ βΓ ⇒ α ∧ E1
Γ ⇒ α ∧ βΓ ⇒ β ∧ E2
∨ Γ ⇒ αΓ ⇒ α ∨ β ∨ I1
Γ ⇒ βΓ ⇒ α ∨ β ∨ I2
Γ ⇒ α ∨ β Γ,α ⇒ γ Γ,β ⇒ γΓ ⇒ γ ∨ E
→ Γ,α ⇒ βΓ ⇒ α→β→I
Γ ⇒ α Γ ⇒ α→βΓ ⇒ β →E
¬ Γ,α ⇒⊥Γ ⇒ ¬α ¬I
Γ ⇒ α Γ ⇒ ¬αΓ ⇒ β ¬E
¬¬ Γ ⇒ αΓ ⇒ ¬¬α¬¬I
Γ ⇒ ¬¬αΓ ⇒ α ¬¬E
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Deducoes com sequents
Agora os nos das arvores de deducao sao sequents e ` Γ ⇒ α e o mesmoque Γ ` α
` ⇒ α → (β → α)
α,β ⇒ αα ⇒ β→α(→I)
⇒ α→(β→α)(→I)
Enfraquecimento
Se se deduz Γ ⇒ α, entao para todo Γ′ ⊇ Γ, Γ′ ⇒ α e deduzıvel.
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Calculos de sequents de GentzenSistemas dedutivos introduzidos por Gentzen (1935) que lhe permitiramobter formas normais para as deducoes: se uma formula e um teoremaentao admite uma deducao em forma normal. Isto permite obter algoritmospara a validade/satisfazibilidade sem ter de usar a semantica.Por exemplo, na regra Modus ponens:
α α → β
β
dado β, α pode ser qualquer formula...
Embora o mesmo resultado possa ser obtido para NK0, estes sistemastambem sao importantes porque revelam a estrutura das deducoes... e estaona base dos sistemas dedutivos computacionais: tableaux e resolucao...
Tem regras de introducao de conectivas: mas para o antecedente (L) epara consequente dum sequent (R).
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Calculo de sequents LK0
Γ,α ⇒ ∆,αAx
Γ ⇒ ∆,α Γ′,α ⇒ ∆′Γ,Γ′ ⇒ ∆,∆′ Corte
Γ,α,β ⇒ ∆Γ,α ∧ β ⇒ ∆ ∧ L
Γ ⇒ ∆,α Γ ⇒ ∆,βΓ ⇒ ∆,α ∧ β ∧ R
Γ,α ⇒ ∆ Γ,β ⇒ ∆Γ,α ∨ β ⇒ ∆ ∨ L
Γ ⇒ ∆,α,βΓ ⇒ ∆,α ∨ β ∨ R
Γ ⇒ α,∆ Γ,β ⇒ ∆Γ,α→β ⇒ ∆ →L
Γ,α ⇒ ∆,βΓ ⇒ ∆,α→β→R
Γ ⇒ ∆,αΓ,¬α ⇒ ∆¬L
Γ,α ⇒ ∆Γ ⇒ ∆,¬α¬R
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` ⇒ ((p → q) → p) → p
p ⇒ p,q⇒ p,(p→q)
(→R) p ⇒ p
(p→q)→p) ⇒ p (→L)
⇒ ((p→q)→p)→p(→R)
` ⇒ (p → (p → q)) → (p → q)
p ⇒ pp ⇒ p p,q ⇒ q(p→q),p ⇒ q
(→L)
p→(p→q),p ⇒ q(→L)
(p→(p→q) ⇒ (p→q) (→R)
⇒ (p→(p→q))→(p→q)(→R)
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NK0 versus LK0
RegrasNK0 (em sequents) LK0
Axioma AxiomaIntroducao (◦I) Introducao no consequente (◦R)Eliminacao (◦E) Introducao no antecedente (◦L)
O facto das formulas nao serem eliminadas, excepto na regra do corte, levaa seguinte propriedade:
Propriedade da subformula
Numa deducao de Γ ⇒ ∆, sem utilizar a lei do corte, todas os sequentessao compostos apenas por subformulas das formulas de Γ e ∆Entao e possıvel algoritmo que procure uma deducao a partir da raız.
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Eliminacao da regra do corteΓ ⇒ ∆, α Γ′, α ⇒ ∆′
Γ, Γ′ ⇒ ∆, ∆′ Corte
α formula de corte
Teorema 1.3. (Hauptsatz) O sistema dedutivo LK0, sem a regra docorte, e ıntegro e completo. E existe um algoritmo que transforma cadadeducao em LK0, numa deducao do mesmo sequent, sem a regra do corte.
Para que entao essa regra:
• permite deducoes mais curtas
• torna mais facil obter resultados teoricos sobre o sistemas dedutivo...
• existem sistemas que recuperam parte da sua funcionali-dade...preservando a forma normal (Tableaux KE)
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Ideia da demonstracao...
Γ,α ⇒ β
Γ ⇒ α→β (→R)
...Γ ⇒ α
...Γ,β ⇒ γ
Γ,α→β ⇒ γ (→L)
Γ ⇒ γCorte
Transformar para: ...Γ ⇒ α
...Γ,α ⇒ β
Γ ⇒ β Corte
...Γ,β ⇒ γ
Γ ⇒ γCorte
• Transformar aplicacoes da regra noutras com formulas de corte maissimples
• Passar a aplicacao da regra para nos superiores da arvore de derivacao
E necessaria uma dupla inducao: na profundidade da aplicacao das regrase na complexidade das formulas de corte
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