planimetrÍa - poligonales

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Topografía Minera “Minería Sostenible” Ing. Henry Luna FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA Sección de Ingeniería de Minas TOPOGRAFÍA MINERA Ing. Henry Luna Córdova CICLO 2014 - II

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Descripción de poligonales en topografía.

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  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERA

    Seccin de Ingeniera de Minas

    TOPOGRAFA MINERA

    Ing. Henry Luna Crdova

    CICLO 2014 - II

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    En la presente sesin del curso de Topografa Minera Se explican conceptos bsicos de alineamientos, azimut, rumbo, proyecciones horizontales y verticales.

    Asimismo, se desarrollan algunos modelos de clculo aplicados para un levantamiento superficial o subterrneo utilizando el mtodo de poligonacin.

    Finalmente, se explica el procedimiento para realizar el ajuste de una poligonal.

    Presentacin

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Tienen como objeto determinar la posicin de

    los puntos del terreno, para posteriormente

    representarlos en el plano mediante la

    consiguiente reduccin de escala, teniendo

    en cuenta que las coordenadas se

    encuentren dentro de la tolerancia requerida

    en funcin de dicha escala.

    LEVANTAMIENTOS

    TOPOGRFICOS

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Una vez realizada la toma de datos de campo,

    hay que calcular el error de cierre. Si est dentro

    de los limites de la tolerancia del trabajo, se

    proceder a realizar la compensacin.

    Los mtodos topogrficos se dividen en:

    1. Planimtricos (clculo de coordenadas X,Y)

    2. Altimtricos (clculo de la coordenada Z

    LEVANTAMIENTOS

    TOPOGRFICOS

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Levantamiento Planimtrico y Altimtrico

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Para las mediciones planimtricas se usa frecuentemente

    un teodolito o trnsito, acompaado de una estada,

    cintas y marcas. Opcionalmente se puede usar la brjula.

    El teodolito se usa para medir y trazar ngulos

    horizontales y direcciones, ngulos verticales y

    diferencias en elevacin; para la prolongacin de lneas y

    determinacin de distancias.

    La brjula se emplea para levantamientos secundarios y

    no es recomendable su uso en zonas donde hay

    atracciones locales.

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

    Usando Teodolito o Brjula

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    El mtodo mas comn para medir

    la distancia entre dos puntos

    topogrficos es por medio de la

    cinta, tambin conocida como

    encadenamiento. Para su

    ejecucin se requiere de tres a

    cuatro personas (cadeneros,

    alineador y anotador).

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

    Usando Cinta

    https://www.youtube.com/watch?v=xHb3pARMSME

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    1

    2

    A

    h1

    h2 H

    d1 d2

    DH = d1 + d2

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

    Medicin Lineal con Wincha en terreno inclinado

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    En la medida de distancia por tramos es necesario tener en cuenta la perfecta alineacin de los puntos intermedios.

    En el caso de que no estemos seguros de la

    horizontalidad de la cinta, con u error no mayor al 5%,

    as como la verticalidad de los jalones , debemos medir

    distancias geomtricas y calcular la distancia reducida por

    los procedimientos conocidos.

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

    Medicin Lineal con Wincha en terreno inclinado

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Teodolito Brjula

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

    Criterios tcnicos para la ejecucin y

    clculo de una poligonal

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    A

    B

    C

    A

    B

    C

    Plano Horizontal

    ngulos Horizontales

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Los trnsitos y teodolitos clsicos usados para la medicin de ngulos horizontales y verticales en la actualidad estn siendo remplazados por estaciones totales electrnicas.

    El proceso de medicin de longitudes y direcciones de los lados de una poligonal se conoce como levantamiento de poligonales y tiene como finalidad encontrar las posiciones de puntos desconocidos.

    Mediciones de ngulos y direcciones con

    trnsito, teodolitos y estaciones totales

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    EL TRANSITO:

    Instrumento topogrfico de origen

    norteamericano para medir ngulos

    verticales y horizontales, con una

    precisin de 1 minuto (1 ) o 20

    segundos (20 ), los crculos de metal se leen con lupa, los modelos viejos tienen

    cuatro tornillos para nivelacin,

    actualmente se siguen fabricando pero

    con solo tres tornillos nivelantes.

    Para diferencia un trnsito de un minuto

    y uno de 20 segundos, en los nonios los

    de 1 minuto tienen en el extremo el

    nmero 30 y los de 20 segundos traen el

    nmero 20.

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    TEODOLITO PTICO:

    Instrumento de origen europeo, es la

    evolucin del trnsito mecnico. La

    lectura del ngulo vertical y horizontal la

    precisin va desde 1 minuto hasta una

    dcima de segundo.

    TEODOLITO ELECTRNICO:

    Es la versin del teodolito ptico, con la

    incorporacin de electrnica para hacer

    las lecturas del circulo vertical y

    horizontal, desplegando los ngulos en

    una pantalla eliminando errores de

    apreciacin y es ms simple en su uso.

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    DISTANCIOMETRO:

    Dispositivo electrnico para medicin de

    distancias, funciona emitiendo un haz luminoso ya

    sea infrarrojo o lser, este rebota en un prisma o

    directamente sobre la superficie, y dependiendo

    del tiempo que tarda el haz en recorrer la distancia

    es como determina esta.

    En esencia un distanciometro solo puede medir la

    distancia inclinada, para medir la distancia

    horizontal y desnivel, algunos tienen un teclado

    para introducir el ngulo vertical y por senos y

    cosenos calcular las otras distancias, esto se

    puede realizar con una simple calculadora

    cientfica de igual manera, algunos distaciometros,

    poseen un puerto para recibir la informacin

    directamente de un teodolito electrnico para

    obtener el ngulo vertical.

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    ESTACIN TOTAL Y TIPOS:

    Integra tres equipos: teodolito electrnico,

    distanciometro y computadora.

    Con clculo de coordenadas: Al contar

    con valores de ngulos y distancias e

    integrar algunos circuitos ms, la estacin

    puede calcular coordenadas.

    Con memoria: Almacena coordenadas en

    la memoria del aparato o existe un equipo

    accesorio llamado libreta electrnica, que

    permite integrarle estas funciones a

    equipos que convencionalmente no tienen

    memoria de clculo de coordenadas.

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    ESTACIN TOTAL Y TIPOS:

    Motorizadas: Agregando dos servomotores, podemos

    hacer que la estacin apunte directamente al prisma, sin

    ningn operador, esto en teora representa la ventaja que

    un levantamiento lo puede hacer una sola persona.

    Sin prisma: Integran tecnologa de medicin lser, que

    permite hacer mediciones sin necesidad de un prisma, es

    decir, pueden medir directamente sobre casi cualquier

    superficie, su alcance est limitado hasta 300 metros,

    pero su alcance con prisma puede llegar a los 5,000

    metros, es muy til para lugares de difcil acceso o para

    mediciones precisas como alineacin de mquinas o

    control de deformaciones etc.

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Mtodos de Levantamiento de Poligonales

    En el sistema clsico los levantamientos de poligonales cerradas y abiertas se realizaban mediante la medicin de distancias con cinta y la determinacin de direcciones mediante: ngulos de deflexin, ngulos a la derecha, ngulos interiores o azimutes. Las mediciones de ngulos por regla se determinan dos o ms veces.

    La tecnologa electrnica usa como mtodo topogrfico el mtodo de radiacin.

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Una poligonal se define como una serie de lneas rectas sucesivas que estn conectadas entre s,

    pudiendo ser: Cerrada o abierta.

    Los ngulos de una poligonal pueden ser ngulos interiores (contenidos dentro de una poligonal

    cerrada) o exteriores (no se encuentran contenidos

    por los lados de una poligonal cerrada).

    ngulos en Poligonales

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    NGULOS INTERIORES

    NGULO EXTERIOR

    NGULO EXTERIOR

    ngulos en Poligonales

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    NGULO A LA DERECHA

    A

    D B

    C

    ngulo a la Derecha: Es el ngulo que se mide en el

    sentido de las manecillas del reloj, comprendido entre la

    lnea precedente y la lnea que sigue en una poligonal

    ngulos en Poligonales

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    NGULOS DE DEFLEXIN

    A

    B

    C

    ngulo de Deflexin: ngulo comprendido entre la

    extensin de la lnea anterior y la presente. Se indica el

    sentido derecho (D) o Izquierdo (I)

    A

    B

    C 2010 D 9220 I

    ngulos en Poligonales

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Ejercicio: Se conoce el rumbo de la lnea AB y los

    ngulos interiores en B y C. Calcule los azimuts con

    respecto al norte y los rumbos de los lados BC y CD

    Clculo de Azimut y Rumbo del lado BC

    C

    B

    A E

    D

    7644 9618

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Clculo de Azimut y Rumbo del lado BC

    A

    B

    C

    E

    3110

    9618

    ngulo de Deflexin

    Se dibuja croquis del punto B Se dibujan las orientaciones NS y EO Se extiende la lnea AB a partir de B. Se determina el ngulo de deflexin en B ngulo de Deflexin con vrtice en B = 180 - 9618= 8342 D) Azimut de BC = 3110 + 8342 = 114 52 Rumbo de BC = S 65 08 E

    N

    S

    O

    Rumbo BC

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Clculo de Azimut y Rumbo del lado CD

    D

    C

    B

    E

    10316D

    ngulo de Deflexin con vrtice en C = 180 - 7644= 10316 D) Azimut de CD = 11452 + 10316 = 218 08 Rumbo de CD = S 38 08 E

    N

    7644

    S

    11452

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Las poligonales se clasifican en:

    1. Poligonales cerradas: En las cules el

    punto de inicio es el mismo punto de cierre,

    en consecuencia, permite determinar el

    control de cierre angular y lineal.

    Clasificacin de las Poligonales

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    2. Poligonal abierta o de enlace con control

    de cierre:

    En la que se conocen las coordenadas de

    los puntos inicial y final, asimismo, la

    orientacin de las alineaciones inicial y final,

    permite determinar el control de cierre

    angular y lineal.

    Clasificacin de las Poligonales

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    3. Poligonales abiertas sin control:

    No es posible establecer controles de cierre

    ya que no se conocen las coordenadas del

    punto inicial y/o final, o no se conoce la

    orientacin de la alineacin inicial y/o final

    Clasificacin de las Poligonales

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Tipos de Poligonales

    POLIGONAL ABIERTA CON CONTROL

    O ENLACE BILATERAL POLIGONAL ABIERTA SIN CONTROL

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna Ing. Henry Luna Crdova

    CLCULOS TOPOGRFICOS

    Criterios a tener en cuenta para el

    levantamiento y clculo de una poligonal

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    La solucin de una poligonal consiste en el

    clculo de las coordenadas rectangulares de

    cada uno de los vrtices o estaciones.

    En poligonales cerradas y poligonales abiertas

    de enlace con control, se realizan las siguientes

    operaciones:

    1. Clculo y compensacin de cierre angular

    Clculo y Compensacin de una Poligonal

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    2. Clculo de acimutes o rumbos entre

    alineaciones (ley de propagacin de los

    acimutes)

    3. Clculo de las proyecciones de los lados

    4. Clculo de error de cierre lineal

    5. Compensacin del error lineal

    6. Clculo de las coordenadas de los vrtices

    Clculo y Compensacin de una Poligonal

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    En el caso de poligonales abiertas sin

    control, solamente se realizan los pasos 2, 3

    y 6 ya que no existe control angular ni lineal.

    Clculo y Compensacin de Poligonales

    LEVANTAMIENTO TOPOGRFICO

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    La Poligonal Cerrada es el mtodo topogrfico clsico recomendado para trabajos topogrficos usando tecnologa electrnica (teodolito con distancimetro o estacin total que integra ambos equipos). Consiste en un conjunto de lneas consecutivas, donde el punto de partida coincide con el de llegada.

    La ventaja de una poligonal cerrada es que permite verificar la precisin del trabajo porque es posible la comprobacin y posterior correccin y ajuste de los ngulos y longitudes medidas.

    Clculo de una Poligonal Cerrada

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Cierre Angular de una poligonal cerrada:

    El cierre angular es la diferencia que existe entre la suma terica de ngulos de una poligonal y su similar correspondiente a los ngulos obtenidos en el campo.

    En una poligonal cerrada en funcin al nmero de lados (n) se presentan los siguientes casos:

    1.Sumatoria de ngulos Internos (I)

    2.Sumatoria de ngulos Externos (E)

    1. Clculo y Compensacin de Cierre Angular

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Cierre angular de una poligonal cerrada

    1. Sumatoria de ngulos internos :

    I = 180 (n-2)

    2. Sumatoria de ngulos externos:

    E = 180 (n+2)

    Compensacin de errores de cierre

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    NGULOS INTERIORES

    NGULO EXTERIOR

    NGULO EXTERIOR

    ngulos en Poligonales

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Poligonal Cerrada:

    En una poligonal cerrada, la suma de los ngulos internos

    debe ser:

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Poligonal Cerrada:

    De acuerdo a la teora de errores la medicin de los

    ngulos de una poligonal es afectada por errores

    instrumentales y humanos, por lo tanto, el error angular

    ser la diferencia entre el valor medido y el valor terico:

    Error Angular = Ea =

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Poligonal Cerrada:

    La Tolerancia angular (Ta) se determina de la siguiente

    manera:

    En poligonales principales Ta= an

    En poligonales secundarias Ta= an + a

    Donde

    Ta = Tolerancia angular

    a = Apreciacin del instrumento

    Compensacin de errores de cierre

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Poligonal abierta con control o enlace bilateral:

    Error angular sera la diferencia entre el azimut final

    (calculado a partir del acimut inicial conocido y de los

    ngulos medidos en los vrtices) y el acimut final conocido.

    Ea = c -

    En donde:

    Ea = Error angular

    c = Acimut final calculado = Acimut final conocido

    Compensacin de errores de cierre

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Poligonal abierta con control o enlace bilateral:

    Al igual que en las poligonales cerradas , se compara el

    error con la tolerancia angular. De verificarse la condicin,

    se procede a la correccin angular, repartiendo el error en

    partes iguales entre los ngulos medidos.

    La correccin tambin se puede aplicar sobre los acimutes,

    aplicando una correccin acumulativa (mltiplo de la

    correccin angular), a partir del primer ngulo medido. En

    otras palabras, el primer acimut se corrige con Ca, el

    segundo con 2Ca y as sucesivamente, hasta el ltimo

    acimut que se corrige con nCa.

    Compensacin de errores de cierre

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    La direccin de los alineamientos en topografa es

    una funcin del ngulo formado con el meridiano de

    referencia, pudiendo ser: acimut o rumbo.

    Acimut : Es el ngulo horizontal medido en el

    sentido de las manecillas del reloj a partir del

    extremo superior de un meridiano, conocido

    comnmente como NORTE, hasta el alineamiento

    respectivo. Su valor puede estar entre 0 y 360 en el sistema sexagesimal o entre 0 y 400 gones en el

    sistema centesimal.

    Acimut y Rumbo

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Rumbo : Es el ngulo horizontal que el

    alineamiento dado forma con respecto al

    meridiano de referencia, medido con la

    lnea de los extremos norte sur, segn la

    orientacin que tenga dicho alineamiento.

    Se expresa como un ngulo de 0 a 90, indicando el cuadrante en el cual se

    encuentra situado.

    Acimut y Rumbo

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Acimut y Rumbo

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Acimut y Rumbo

    N

    S

    E W

    A

    B

    C

    D

    ACIMUTES

    N

    S

    E W

    A

    B

    C

    D

    RUMBOS

    30

    150

    240

    315

    30

    30 60

    45

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Poligonal abierta con control o enlace bilateral:

    Los acimutes de los lados de una poligonal se pueden

    calcular a partir de un acimut conocido y de los ngulos

    medidos, aplicando la ley de propagacin de acimutes.

    En una poligonal cuyos datos conocidos son el acimut AB y los ngulos en los vrtices, para calcular los acimutes de

    las alineaciones restantes se procede de la siguiente

    manera:

    Ley de Propagacin de Acimutes

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Poligonal abierta con control o enlace bilateral:

    Ley de Propagacin de Acimutes

    A

    B

    N

    AB

    AB

    B1

    B

    El acimut B1 ser:

    B1 = AB - B

    Siendo

    B = 180 -

    Se obtiene

    B1 = AB + - 180

    N

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Poligonal abierta con control o enlace bilateral:

    Ley de Propagacin de Acimutes

    1

    B

    N

    B1

    1

    El acimut 12 ser:

    12 = B1 - 1

    Siendo

    B = 1 - 180

    Se obtiene

    12 = B1 + 1 - 180

    N

    2

    B1 12 1

    Este procedimiento

    se aplica para los

    dems vrtices:

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Poligonal abierta con control o enlace bilateral:

    Ley de Propagacin de Acimutes

    El procedimiento se puede generalizar mediante la

    siguiente ecuacin:

    En donde:

    i = acimut del lado

    i-1 = acimut anterior

    i = i-1 + vrtice 180

    Si (i-1 + vrtice ) < 180 se suma 180

    Si (i-1 + vrtice ) 180 se resta 180

    Si (i-1 + vrtice ) 540 se suma 540 (ningn azimut puede ser mayor que 360)

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    N

    A

    B

    C

    D

    E

    AB = 1253012

    1001830

    1204032

    2102530

    Ejercicio: Conocido el acimut AB y los ngulos de los vrtices B,C y D, calcule los acimutes de las alineaciones

    restantes.

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Solucin:

    Conocemos la siguiente ecuacin:

    Reemplazando valores determinamos AB :

    AB = (1253012 ) + 1001830 ) 180

    Como:

    1253012 + 1001830 = 2254842 > 180 AB = 2254842 - 180 = 454842 AB = 454842

    i = i-1 + vrtice 180

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Solucin:

    Conocemos la siguiente ecuacin:

    Acimut de la alineacin BC:

    BC = (454842 + 1204032 ) 180

    Como:

    454842 + 1204032 = 1662914 < 180 BC = 1662914 + 180 = 3462914 BC = 3462914

    i = i-1 + vrtice 180

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Solucin:

    Conocemos la siguiente ecuacin:

    Acimut de la alineacin CD:

    CD = (3462914 + 2102530 ) 180

    Como:

    3462914 + 2102530 = 5565444 > 540 CD = 5565444 - 540 = 165444 CD = 165444

    i = i-1 + vrtice 180

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Conocido el Z de un lado; para calcular el Z del siguiente lado; al Z conocido se le suma el ngulo entre ambos lados y si el resultado es mayor que 180, se le resta 180 y si es menor se le suma 180, el resultado final obtenido es el Z buscado.

    Relacin entre el ngulo acimutal y el acimut (Z) de

    los lados que la componen

    A

    B

    C

    ZBC

    ngulo en B

    ZAB

    N

    N

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Despus de compensar los ngulos de una poligonal, tambin se puede ejecutar la siguiente regla para determinar los acimut (Z) de cada lado de la poligonal:

    > 180

    ZBC = ZAB + ngulo B 180

    < 180

    ZBC = ZAB + ngulo B + 180

    Relacin entre el ngulo acimutal y el

    acimut de los lados que la componen

    Para la aplicacin de esta regla tiene que usarse el mtodo de ngulos a la derecha

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Al calcular una

    poligonal en funcin a

    ngulos, azimut y

    distancias siempre

    hay discrepancias en

    el cierre ( x, y). Estas discrepancias

    se denominan errores

    de cierre, los mismos

    que tienen que

    compensarse.

    Clculo de Proyecciones de los Lados (X,Y)

    E X

    E Y

    A

    A

    E cierre

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Clculo de Proyecciones de los Lados (X,Y)

    A

    B

    N

    C

    D

    N

    Meridiano de Referencia

    Paralelo de Referencia

    Proyeccin YAB

    Proyeccin XAB

    ngulo de Rumbo

    Proyeccin XCD

    Proyeccin YCD

    ngulo de Rumbo

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    El cierre de una poligonal se comprueba calculando las proyecciones ortogonales de cada lnea (o lado) de un polgono aplicando Pitgoras y la ley de senos y cosenos.

    Donde:

    R: Rumbo de la Lnea

    D: Distancia de cada alineacin

    Clculo de Coordenadas Parciales

    CUADRANTE PROYECCIN Y

    Latitud

    PROYECCIN X

    Longitud

    NE Y = d*Cos (R) X = d*Sen R

    SE -Y = d*Cos (R) X = d*Sen R

    SW -Y = d*Cos (R) -X = d*Sen R

    NW Y = d*Cos (R) -X = d*Sen R

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Se procede a descomponer cada lado de la poligonal, tanto en el eje x (este) como en el eje y (norte).

    Clculo de Coordenadas Parciales

    X

    Y

    A

    B

    Norte

    Este

    d z

    Donde:

    X = d*Sen Z Y = d*Cos Z

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Clculo del Error de Cierre Lineal (EL):

    Cuando se realiza la compensacin de una poligonal por coordenadas el error lineal es igual:

    Ex = x

    Ey = y

    EL = (Ex)2 + (Ey)2

    Donde:

    Ex = Error de cierre en X

    Ey = Error de cierre en y

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Precisin: En las poligonales o cadenas cerradas, se llama precisin a la relacin entre el error total y el permetro medido ET/PERIMETRO, por lo general la precisin se expresa como una fraccin con la unidad como numerador; por ejemplo:

    1/5000, 1/350, 1/1000, 1/250, etc.

    Se escribe como denominador cifras enteras redondeadas; si llamamos P a la precisin que es igual a 1/X, tendremos:

    P=1/X=ET/PERIMETRO; X=PERIMETRO/ET y as

    P= 1/PERIMETRO

    Este dato permite conocer la calidad del trabajo, comparndolo con la tolerancia fijada para cada caso.

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    TOLERANCIA

    La tolerancia para trabajos de levantamientos topogrficos

    o replanteos topogrficos esta en funcin a la precisin

    buscada; de obtener un error relativo mayor que el

    permitido, ser necesario rehacer el trabajo de campo en

    cuanto a las medidas lineales se refiere.

    En el caso de usar estacin total generalmente no se

    aceptan en la actualidad redes de apoyo con error relativo

    mayor de 1/5000. Es comn la siguiente clasificacin:

    1/5000 : Levantamientos en zonas rurales

    1/7,500 : En zonas suburbanas

    1/10,000 o menor : En zonas urbanas

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    TOLERANCIA

    Algunas tolerancias admisibles son las siguientes :

    a. En longitud

    Para cierres de poligonal y distancias entre vrtices

    E = 0,25 K

    E en metros

    K distancia, en Kilmetros

    b. En Altitud

    Para cierres de poligonal y desnivel entre vrtices

    E = 0,10 K

    E en metros

    K longitud poligonal, en kilmetros

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    TOLERANCIA

    Algunas tolerancias admisibles son las siguientes :

    c. En azimut

    Para cierres de poligonal el valor mximo de correccin

    azimutal (e) expresado en segundos de arco

    sexagesimal estar definido por la expresin.

    E = 27 N Donde:

    N = N de lados que tiene la poligonal

    = segundos sexagesimales

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    NORMAS PARA LA CLASIFICACION DEL CONTROL GEODESICO Y USOS RECOMENDADOS

    CONTROL HORIZONTAL

    CONTROL VERTICAL

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Clculo de la Precisin o Error Relativo (Er): Permite evaluar la precisin o calidad de una poligonal.

    Precisin = Er = 1 / (Permetro/EL)

    Donde:

    Er = Error Relativo

    EL = Error de Cierre Lineal

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Despus de determinar que el error relativo es aceptable, se procede a compensar el error lineal mediante el clculo de las compensaciones: Cx y Cy.

    Mtodo de Bowdich: Este mtodo de compensacin se basa en suponer que existe una proporcionalidad entre el valor parcial de cada lado y el error de cierre total. Se basa en los siguientes supuestos:

    Los errores cometidos son accidentales y por tanto su valor es proporcional a la raz cuadrada de su longitud.

    El efecto de los errores angulares es igual a los errores lineales (teodolito y cinta de levantamiento)

    Compensacin de Error Lineal

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Las compensaciones obtenidas se suman a las coordenadas parciales respectivas; obteniendo as nuevos valores: x y y

    Las direcciones de los lados sufrirn cambios leves.

    Poligonal Cerrada

    Compensacin de Errores Lineales (Cx, Cy)

    Cx = - (Ex/P)*L

    Cy = - (Ey/P)*L

    Donde: L: Longitud de un lado de la poligonal P: Permetro Ex: Error de cierre lineal en el eje x Ey: Error de cierre lineal en el eje y

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Conociendo las coordenadas absolutas del primer punto de la poligonal A, se determinan las coordenadas de cualquier punto realizando la siguiente suma algebraica

    Poligonal Cerrada

    Clculo de Coordenadas Absolutas

    X = XA + XAB + XBC + ..

    Y = YA + YAB + YBC + ..

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna Ing. Henry Luna Crdova

    CLCULOS TOPOGRFICOS

    Caso prctico para el clculo de una

    poligonal cerrada

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Caso Prctico

    Clculo de una Poligonal Cerrada

    Teodolito Brjula

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    A

    B C

    D

    E

    F

    Datos de Campo

    ngulos Internos

    A= 0832610

    B= 100 4827

    C= 167 1332

    D= 0971026

    E= 0755335

    F= 1952709

    AZAB = 83 5840

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Lados (Mts.) ngulos Ledos

    AB = 86.00 B = 100 4827

    BC = 82.08 C = 167 1332

    CD = 117.50 D = 0971026

    DE = 102.10 E = 0755335

    EF = 106.50 F = 1952709

    EF = 102.10 A = 0832610

    Suma de ngulos internos = 7195919

    Clculo del Error de Cierre Angular

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Suma de ngulos interiores:

    I = 180 (n-2) (1)

    Suma de ngulos exteriores:

    E = 180 (n+2) (2)

    Remplazando valores en (1):

    I = 180 (6-2) = 7200000

    Sumatoria de ngulos internos:

    ngulos Internos = 7195919

    Error Angular (f):

    f = 7195919 7200000

    f = - 000041 (por defecto)

    Compensacin de ngulos (Cf):

    Cf = f/n = 41 / 6 = 7 (restar 1 a

    cualquier ngulo)

    Clculo del Error de Cierre Angular

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    ngulo Ledo Correccin ngulos Compensados

    B = 100 4827 +7 100 4834

    C = 167 1332 +7 167 1339

    D = 0971026 +7 0971033

    E = 0755335 +(7 1) 0755341

    F = 1952709 +7 1952716

    A = 0832610 +7 0832617

    7195919 41 7200000

    Compensacin del Error Obtenido

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Despus de haber compensado los ngulos internos se procede a aplicar la siguiente regla:

    > 180

    ABC = ZAB + ngulo B 180

    < 180

    ABC = ZAB + ngulo B + 180

    Para la aplicacin de esta regla tiene que usarse el mtodo de ngulos a la derecha

    Clculo de Azimut y Rumbos

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    AZIMUT

    AZAB = 83 5840 +

    B = 1004834

    1800000

    3644714 -

    3600000

    AZBC = 44714 +

    C = 1671339

    1800000

    RUMBO

    RAB = N 83 5840 E

    RBC = N 4 4714 E

    Clculo de Azimut y Rumbo

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    AZIMUT

    AZCD = 352 0053 +

    D = 0971033

    1800000

    6291126 _

    3600000

    AZDE = 2691126 +

    E = 0755341

    1800000

    5250507

    3600000

    RUMBO

    RCD = N 07 5907 W

    RDE = S 89 1126 W

    Clculo de Azimut y Rumbo

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    AZIMUT

    AZEF = 165 0507 +

    F = 1952716

    1800000

    5403223 _

    3600000

    AZFA = 1803223 +

    A = 0832617

    1800000

    4435840

    3600000

    AZAB = 0835840

    RUMBO

    REF = S 14 5453 E

    RFA = S 00 3223 W

    RAB = N 83 5840 E

    Clculo de Azimut y Rumbo

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    AZIMUT

    AZAB = 0835840

    AZBC = 0044714

    AZCD = 3520053

    AZDE = 2691126

    AZEF = 1650507

    AZFA = 1803223

    RUMBO

    RAB = N 0835840 E

    RBC = N 0044714 E

    RCD = N 0075907 W

    RDE = S 0891126 W

    REF = S 0145453 E

    RFA = S 0003223 W

    Clculo de Azimut y Rumbo

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    S 8

    9 1

    1`2

    6W

    10

    2.1

    0

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    Azimut y Rumbos

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    N

    y

    x

    A

    Clculo de Coordenadas Parciales (X, Y)

    El clculo de las coordenadas se

    realiza de acuerdo a las siguientes

    frmulas fundamentales:

    X=dsenZ Y=dcosZ

    En base a los ngulos corregidos

    para el azimut Z y los lados d, No se

    llegar al punto de partida, A

    (poligonal cerrada) sino al punto A.

    La discrepancia en la suma de

    coordenadas parciales X,Y se

    corregir de acuerdo a un lmite de

    tolerancia

    A

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    LADOS AZIMUT RUMBO DISTANCIA SENO COSENO

    Mts. (Rumbo) (Rumbo) N (+) S (-) E (+) W (-)

    AB 083 58 40 083 58 40 NE 86,00 0.9944812791 0,104914182 9,02 85,53

    BC 004 47 14 004 47 14 NE 82,08 0,083455609 0,996511496 81,79 6,85

    CD 352 00 53 007 59 07 NW 117,5 0,138918646 0,990303797 116,36 16,32

    DE 269 11 26 089 11 26 SW 102,1 0,999900209 0,014127001 1,44 102,09

    EF 165 05 07 014 54 53 SE 106,5 0,257381096 0,966309977 102,91 27,41

    FA 180 32 23 000 32 23 SW 103,1 0,009419791 0,999955633 103,09 0,97

    597,28 207,17 207,44 119,79 119,38

    E cierre : Ey 2 + Ex 2 = (0.27) 2 + (0.41) 2

    E cierre : 0,494

    Precisin: E cierre / Permetro = 0.494/597.28 = 1/1216 = 1/1200

    X Y

    CALCULO DE PROYECCIONES X e Y

    PERIMETRO DE LA POLIGONAL :

    Ey = - 0,27 Ex = 0,41

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    LADOS DISTANCIA

    Mts. N (+) S (-) E (+) W (-) N (+) S (-) E (+) W (-)

    AB 86,00 9,02 85,53 0,03 0,06

    9,05 85,47

    BC 82,08 81,79 6,85 0,03 0,06

    81,82 6,79

    CD 117,5 116,36 16,32 0,05 0,08

    116,41 16,4

    DE 102,1 1,44 102,09 0,04 0,07

    1,4 102,16

    EF 106,5 102,91 27,41 0,04 0,08

    102,87 27,33

    FA 103,1 103,09 0,97 0,04 0,07

    103,05 1,04

    207,17 207,44 119,79 119,38 207,3 207,3 119,6 119,6

    Correccin en proyeccin Y (X) del lado L1 - L2 = Lado L1 - L2 = Lado L1 - L2

    Ey (Ex) Proyeccin Y (Proyeccin X) Permetro

    Correccin en proyeccin Y (X) del lado L1 - L2 = Ey * Lado L1 - L2 = Ex * Lado L1 - L2

    Permetro Permetro

    Correccin en proyeccin Y del lado L1 - L2 = 0,0004 * Lado L1 - L2

    Correccin en proyeccin X del lado L1 - L2 = 0,0007 * Lado L1 - L2

    AJUSTE O COMPENSACIN DE PROYECCIONES X e Y

    Y

    Ey = - 0,27 Ex = 0,41 Ey = 0 Ex = 0

    X X Y

    597.28

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    N

    y C

    x C

    B

    A

    C

    E

    Clculo de Coordenadas Absolutas

    Las Coordenadas

    Absolutas evitan el

    inconveniente de

    que las coordenadas

    sean negativas.

    El origen (0,0) se le

    da valores mayores

    como (1000,1000) a

    fin de que las

    coordenadas (x,y)

    resulten positivas.

    x B

    y B

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Clculo de Coordenadas Absolutas

    N (+) S (-) E (+) W (-) N (+) S (-) E (+) W (-)

    A 1000 1000AB 9,05 85,47 9,05 85,47

    B 1009,05 1085,47BC 81,82 6,79 81,82 6,79

    C 1090,87 1092,26CD 116,42 16,4 116,42 16,4

    D 1207,29 1075,86DE 1,39 102,16 1,39 102,16

    E 1205,9 973,7EF 102,86 27,34 102,86 27,34

    F 1103,04 1001,04FA 103,04 1,04 103,04 1,04

    A 1000 1000

    207,29 207,29 119,6 119,6

    LADOS

    COORDENADAS PARCIALES COORDENADAS ABSOLUTAS

    Y X Y X

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    A

    B C

    D

    E

    F

    Reticulado de Coordenadas Planas

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    Topografa Minera

    Topografa, Jack Mc Cormac, Clemson University, Limusa Wiley, 2004.

    Metodologa para la Elaboracin de un Catastro Minero, Ing. Henry

    Luna, 1991.

    Topografa Prctica, principios Bsicos, Jorge Mendoza Dueas,

    universidad Nacional de Ingeniera Facultad de Ingeniera Civil, 2006.

    Topografa Plana, Universidad de Los Andes, Facultad de Ingeniera,

    Departamento de Vas, Leonardo Casanova Matera, Mrida 2002

    Topografa en Obras de Arquitectura

    Manuales de Topografa General.

    Bibliografa

  • Topografa Minera Minera Sostenible Ing. Henry Luna

    FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERA

    Seccin de Ingeniera de Minas

    TOPOGRAFA MINERA

    Ing. Henry Luna Crdova

    CICLO 2014 - II