planimetrÍa - poligonales

Topografía Minera “Minería Sostenible” Ing. Henry Luna

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA

Sección de Ingeniería de Minas

TOPOGRAFÍA MINERA

Ing. Henry Luna Córdova

CICLO 2014 - II


• En la presente sesión del curso de “Topografía Minera” Se explican conceptos básicos de alineamientos, azimut, rumbo, proyecciones horizontales y verticales.

• Asimismo, se desarrollan algunos modelos de cálculo aplicados para un levantamiento superficial o subterráneo utilizando el método de poligonación.

• Finalmente, se explica el procedimiento para realizar el ajuste de una poligonal.

Presentación


Tienen como objeto determinar la posición de

los puntos del terreno, para posteriormente

representarlos en el plano mediante la

consiguiente reducción de escala, teniendo

en cuenta que las coordenadas se

encuentren dentro de la tolerancia requerida

en función de dicha escala.

LEVANTAMIENTOS

TOPOGRÁFICOS


Una vez realizada la toma de datos de campo,

hay que calcular el error de cierre. Si está dentro

de los limites de la tolerancia del trabajo, se

procederá a realizar la compensación.

Los métodos topográficos se dividen en:

1. Planimétricos (cálculo de coordenadas X,Y)

2. Altimétricos (cálculo de la coordenada Z

LEVANTAMIENTOS

TOPOGRÁFICOS


Levantamiento Planimétrico y Altimétrico


Para las mediciones planimétricas se usa frecuentemente

un teodolito o tránsito, acompañado de una estadía,

cintas y marcas. Opcionalmente se puede usar la brújula.

El teodolito se usa para medir y trazar ángulos

horizontales y direcciones, ángulos verticales y

diferencias en elevación; para la prolongación de líneas y

determinación de distancias.

La brújula se emplea para levantamientos secundarios y

no es recomendable su uso en zonas donde hay

atracciones locales.

LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO

Usando Teodolito o Brújula


El método mas común para medir

la distancia entre dos puntos

topográficos es por medio de la

cinta, también conocida como

encadenamiento. Para su

ejecución se requiere de tres a

cuatro personas (cadeneros,

alineador y anotador).


Usando Cinta

https://www.youtube.com/watch?v=xHb3pARMSME

https://www.youtube.com/watch?v=xHb3pARMSME


1

2

A

h1

h2 H

d1 d2

DH = d1 + d2


Medición Lineal con Wincha en terreno inclinado


En la medida de distancia por tramos es necesario tener en cuenta la perfecta alineación de los puntos intermedios.

En el caso de que no estemos seguros de la

horizontalidad de la cinta, con u error no mayor al 5%,

así como la verticalidad de los jalones , debemos medir

distancias geométricas y calcular la distancia reducida por

los procedimientos conocidos.


Medición Lineal con Wincha en terreno inclinado


Teodolito Brújula


Criterios técnicos para la ejecución y

cálculo de una poligonal


A

B

C

A

B

C

Plano Horizontal

Ángulos Horizontales


Los tránsitos y teodolitos clásicos usados para la medición de ángulos horizontales y verticales en la actualidad están siendo remplazados por estaciones totales electrónicas.

El proceso de medición de longitudes y direcciones de los lados de una poligonal se conoce como levantamiento de poligonales y tiene como finalidad encontrar las posiciones de puntos desconocidos.

Mediciones de ángulos y direcciones con

tránsito, teodolitos y estaciones totales



EL TRANSITO:

Instrumento topográfico de origen

norteamericano para medir ángulos

verticales y horizontales, con una

precisión de 1 minuto (1´ ) o 20

segundos (20″ ), los círculos de metal se

leen con lupa, los modelos viejos tienen

cuatro tornillos para nivelación,

actualmente se siguen fabricando pero

con solo tres tornillos nivelantes.

Para diferencia un tránsito de un minuto

y uno de 20 segundos, en los nonios los

de 1 minuto tienen en el extremo el

número 30 y los de 20 segundos traen el

número 20.


TEODOLITO ÓPTICO:

Instrumento de origen europeo, es la

evolución del tránsito mecánico. La

lectura del ángulo vertical y horizontal la

precisión va desde 1 minuto hasta una

décima de segundo.

TEODOLITO ELECTRÓNICO:

Es la versión del teodolito óptico, con la

incorporación de electrónica para hacer

las lecturas del circulo vertical y

horizontal, desplegando los ángulos en

una pantalla eliminando errores de

apreciación y es más simple en su uso.


DISTANCIOMETRO:

Dispositivo electrónico para medición de

distancias, funciona emitiendo un haz luminoso ya

sea infrarrojo o láser, este rebota en un prisma o

directamente sobre la superficie, y dependiendo

del tiempo que tarda el haz en recorrer la distancia

es como determina esta.

En esencia un distanciometro solo puede medir la

distancia inclinada, para medir la distancia

horizontal y desnivel, algunos tienen un teclado

para introducir el ángulo vertical y por senos y

cosenos calcular las otras distancias, esto se

puede realizar con una simple calculadora

científica de igual manera, algunos distaciometros,

poseen un puerto para recibir la información

directamente de un teodolito electrónico para

obtener el ángulo vertical.


ESTACIÓN TOTAL Y TIPOS:

Integra tres equipos: teodolito electrónico,

distanciometro y computadora.

Con cálculo de coordenadas: Al contar

con valores de ángulos y distancias e

integrar algunos circuitos más, la estación

puede calcular coordenadas.

Con memoria: Almacena coordenadas en

la memoria del aparato o existe un equipo

accesorio llamado libreta electrónica, que

permite integrarle estas funciones a

equipos que convencionalmente no tienen

memoria de cálculo de coordenadas.


ESTACIÓN TOTAL Y TIPOS:

Motorizadas: Agregando dos servomotores, podemos

hacer que la estación apunte directamente al prisma, sin

ningún operador, esto en teoría representa la ventaja que

un levantamiento lo puede hacer una sola persona.

Sin prisma: Integran tecnología de medición láser, que

permite hacer mediciones sin necesidad de un prisma, es

decir, pueden medir directamente sobre casi cualquier

superficie, su alcance está limitado hasta 300 metros,

pero su alcance con prisma puede llegar a los 5,000

metros, es muy útil para lugares de difícil acceso o para

mediciones precisas como alineación de máquinas o

control de deformaciones etc.


Métodos de Levantamiento de Poligonales

En el sistema clásico los levantamientos de poligonales cerradas y abiertas se realizaban mediante la medición de distancias con cinta y la determinación de direcciones mediante: ángulos de deflexión, ángulos a la derecha, ángulos interiores o azimutes. Las mediciones de ángulos por regla se determinan dos o más veces.

La tecnología electrónica usa como método topográfico el método de radiación.



• Una poligonal se define como una serie de líneas

rectas sucesivas que están conectadas entre sí,

pudiendo ser: Cerrada o abierta.

• Los ángulos de una poligonal pueden ser ángulos

interiores (contenidos dentro de una poligonal

cerrada) o exteriores (no se encuentran contenidos

por los lados de una poligonal cerrada).

Ángulos en Poligonales



ÁNGULOS INTERIORES

ÁNGULO EXTERIOR

ÁNGULO EXTERIOR




ÁNGULO A LA DERECHA

A

D B

C

Ángulo a la Derecha: Es el ángulo que se mide en el

sentido de las manecillas del reloj, comprendido entre la

línea precedente y la línea que sigue en una poligonal



ÁNGULOS DE DEFLEXIÓN

A

B

C

Ángulo de Deflexión: Ángulo comprendido entre la

extensión de la línea anterior y la presente. Se indica el

sentido derecho (D) o Izquierdo (I)

A

B

C 20º10´ D 92º20´ I



Ejercicio: Se conoce el rumbo de la línea AB y los

ángulos interiores en B y C. Calcule los azimuts con

respecto al norte y los rumbos de los lados BC y CD

Cálculo de Azimut y Rumbo del lado BC

C

B

A E

D

76º44´ 96º18´


Cálculo de Azimut y Rumbo del lado BC

A

B

C

E

31º10´

96º18´

Ángulo de Deflexión

Se dibuja croquis del punto B Se dibujan las orientaciones NS y EO Se extiende la línea AB a partir de B. Se determina el ángulo de deflexión en B Ángulo de Deflexión con vértice en B = 180º - 96º18´= 83º42´ D) Azimut de BC = 31º10´ + 83º42´ = 114º 52´ Rumbo de BC = S 65º 08´ E

N

S

O

Rumbo BC


Cálculo de Azimut y Rumbo del lado CD

D

C

B

E

103º16´D

Ángulo de Deflexión con vértice en C = 180º - 76º44´= 103º16´ D) Azimut de CD = 114º52´ + 103º16´ = 218º 08´ Rumbo de CD = S 38º 08´ E

N

76º44´

S

114º52´


Las poligonales se clasifican en:

1. Poligonales cerradas: En las cuáles el

punto de inicio es el mismo punto de cierre,

en consecuencia, permite determinar el

control de cierre angular y lineal.

Clasificación de las Poligonales



2. Poligonal abierta o de enlace con control

de cierre:

En la que se conocen las coordenadas de

los puntos inicial y final, asimismo, la

orientación de las alineaciones inicial y final,

permite determinar el control de cierre

angular y lineal.




3. Poligonales abiertas sin control:

No es posible establecer controles de cierre

ya que no se conocen las coordenadas del

punto inicial y/o final, o no se conoce la

orientación de la alineación inicial y/o final




Tipos de Poligonales

POLIGONAL ABIERTA CON CONTROL

O ENLACE BILATERAL POLIGONAL ABIERTA SIN CONTROL

Topografía Minera “Minería Sostenible” Ing. Henry Luna Ing. Henry Luna Córdova

CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS

Criterios a tener en cuenta para el

levantamiento y cálculo de una poligonal


La solución de una poligonal consiste en el

cálculo de las coordenadas rectangulares de

cada uno de los vértices o estaciones.

En poligonales cerradas y poligonales abiertas

de enlace con control, se realizan las siguientes

operaciones:

1. Cálculo y compensación de cierre angular

Cálculo y Compensación de una Poligonal



2. Cálculo de acimutes o rumbos entre

alineaciones (ley de propagación de los

acimutes)

3. Cálculo de las proyecciones de los lados

4. Cálculo de error de cierre lineal

5. Compensación del error lineal

6. Cálculo de las coordenadas de los vértices

Cálculo y Compensación de una Poligonal



En el caso de poligonales abiertas sin

control, solamente se realizan los pasos 2, 3

y 6 ya que no existe control angular ni lineal.

Cálculo y Compensación de Poligonales



La Poligonal Cerrada es el método topográfico clásico recomendado para trabajos topográficos usando tecnología electrónica (teodolito con distanciómetro o estación total que integra ambos equipos). Consiste en un conjunto de líneas consecutivas, donde el punto de partida coincide con el de llegada.

La ventaja de una poligonal cerrada es que permite verificar la precisión del trabajo porque es posible la comprobación y posterior corrección y ajuste de los ángulos y longitudes medidas.

Cálculo de una Poligonal Cerrada


Cierre Angular de una poligonal cerrada:

El cierre angular es la diferencia que existe entre la suma teórica de ángulos de una poligonal y su similar correspondiente a los ángulos obtenidos en el campo.

En una poligonal cerrada en función al número de lados (n) se presentan los siguientes casos:

1.Sumatoria de ángulos Internos (I)

2.Sumatoria de ángulos Externos (E)

1. Cálculo y Compensación de Cierre Angular


Cierre angular de una poligonal cerrada

1. Sumatoria de ángulos internos :

I = 180º (n-2)

2. Sumatoria de ángulos externos:

E = 180º (n+2)

Compensación de errores de cierre


ÁNGULOS INTERIORES

ÁNGULO EXTERIOR

ÁNGULO EXTERIOR



Poligonal Cerrada:

En una poligonal cerrada, la suma de los ángulos internos

debe ser:

Ʃ <i = 180° (n-2)

En donde

N = Número de lados



Poligonal Cerrada:

De acuerdo a la teoría de errores la medición de los

ángulos de una poligonal es afectada por errores

instrumentales y humanos, por lo tanto, el error angular

será la diferencia entre el valor medido y el valor teórico:

Error Angular = Ea = Ʃ <i - 180° (n-2)

Nota: El error angular debe ser menor que la tolerancia

angular (obtenida en normas y especificaciones técnicas

internacionales y/o nacionales), dependiendo del trabajo a

realizar y la apreciación del instrumento a utilizar.



Poligonal Cerrada:

La Tolerancia angular (Ta) se determina de la siguiente

manera:

En poligonales principales Ta= a√n

En poligonales secundarias Ta= a√n + a

Donde

Ta = Tolerancia angular

a = Apreciación del instrumento



Poligonal abierta con control o enlace bilateral:

Error angular sería la diferencia entre el azimut final

(calculado a partir del acimut inicial conocido y de los

ángulos medidos en los vértices) y el acimut final conocido.

Ea = ɸƒc - ɸƒ

En donde:

Ea = Error angular

ɸƒc = Acimut final calculado

ɸƒ = Acimut final conocido




Al igual que en las poligonales cerradas , se compara el

error con la tolerancia angular. De verificarse la condición,

se procede a la corrección angular, repartiendo el error en

partes iguales entre los ángulos medidos.

La corrección también se puede aplicar sobre los acimutes,

aplicando una corrección acumulativa (múltiplo de la

corrección angular), a partir del primer ángulo medido. En

otras palabras, el primer acimut se corrige con Ca, el

segundo con 2Ca y así sucesivamente, hasta el último

acimut que se corrige con nCa.



La dirección de los alineamientos en topografía es

una función del ángulo formado con el meridiano de

referencia, pudiendo ser: acimut o rumbo.

Acimut : Es el ángulo horizontal medido en el

sentido de las manecillas del reloj a partir del

extremo superior de un meridiano, conocido

comúnmente como NORTE, hasta el alineamiento

respectivo. Su valor puede estar entre 0 y 360° en

el sistema sexagesimal o entre 0 y 400 gones en el

sistema centesimal.

Acimut y Rumbo


Rumbo : Es el ángulo horizontal que el

alineamiento dado forma con respecto al

meridiano de referencia, medido con la

línea de los extremos norte ó sur, según la

orientación que tenga dicho alineamiento.

Se expresa como un ángulo de 0 a 90°,

indicando el cuadrante en el cual se

encuentra situado.

Acimut y Rumbo


Acimut y Rumbo


Acimut y Rumbo

N

S

E W

A

B

C

D

ACIMUTES

N

S

E W

A

B

C

D

RUMBOS

30°

150°

240°

315°

30°

30° 60°

45°



Los acimutes de los lados de una poligonal se pueden

calcular a partir de un acimut conocido y de los ángulos

medidos, aplicando la ley de propagación de acimutes.

En una poligonal cuyos datos conocidos son el acimut ⱷAB y

los ángulos en los vértices, para calcular los acimutes de

las alineaciones restantes se procede de la siguiente

manera:

Ley de Propagación de Acimutes




A

B

N

ⱷAB

ⱷAB

α

ⱷB1

ΔB

El acimut ⱷB1 será:

ⱷB1 = ⱷAB - ΔB

Siendo

ΔB = 180° - α

Se obtiene

ⱷB1 = ⱷAB + α - 180°

N




1

B

N

ⱷB1

Δ1

El acimut ⱷ12 será:

ⱷ12 = ⱷB1 - Δ1

Siendo

ΔB = 180 - 1ے°

Se obtiene

ⱷ12 = ⱷB1 + 180 - 1ے°

N

2

ⱷB1 ⱷ12 1 ے

Este procedimiento

se aplica para los

demás vértices:




El procedimiento se puede generalizar mediante la

siguiente ecuación:

En donde:

ⱷi = acimut del lado

ⱷi-1 = acimut anterior

ⱷi = ⱷi-1 + ےvértice ± 180°

Si (ⱷi-1 + ے vértice ) < 180° → se suma 180°

Si (ⱷi-1 + ے vértice ) ≥ 180° → se resta 180°

Si (ⱷi-1 + ے vértice ) ≥540° → se suma 540°

(ningún azimut puede ser mayor que 360°)


N

A

B

C

D

E

ⱷAB = 125°30´12”

100°18´30”

120°40´32”

210°25´30”

Ejercicio: Conocido el acimut ⱷAB y los ángulos de los

vértices B,C y D, calcule los acimutes de las alineaciones

restantes.


Solución:

Conocemos la siguiente ecuación:

Reemplazando valores determinamos ⱷAB :

ⱷAB = (125°30´12” ) + 100°18´30” ) ± 180°

Como:

125°30´12” + 100°18´30” = 225°48´42” > 180° ⱷAB = 225°48´42” - 180° = 45°48´42” ⱷAB = 45°48´42”



Solución:


Acimut de la alineación BC:

ⱷBC = (45°48´42” + 120°40´32” ) ± 180°

Como:

45°48´42” + 120°40´32” = 166°29´14” < 180° ⱷBC = 166°29´14” + 180° = 346°29´14” ⱷBC = 346°29´14”



Solución:


Acimut de la alineación CD:

ⱷCD = (346°29´14” + 210°25´30” ) ± 180°

Como:

346°29´14” + 210°25´30” = 556°54´44” > 540° ⱷCD = 556°54´44” - 540° = 16°54´44” ⱷCD = 16°54´44”



Conocido el Z de un lado; para calcular el Z del siguiente lado; al Z conocido se le suma el ángulo entre ambos lados y si el resultado es mayor que 180°, se le resta 180° y si es menor se le suma 180°, el resultado final obtenido es el Z buscado.

Relación entre el ángulo acimutal y el acimut (Z) de

los lados que la componen

A

B

C

ZBC

Ángulo en B

ZAB

N

N


Después de compensar los ángulos de una poligonal, también se puede ejecutar la siguiente regla para determinar los acimut (Z) de cada lado de la poligonal:

> 180°

ZBC = ZAB + ángulo B – 180°

< 180°

ZBC = ZAB + ángulo B + 180°

Relación entre el ángulo acimutal y el

acimut de los lados que la componen

Para la aplicación de esta regla tiene que usarse el método de ángulos a la derecha


Al calcular una

poligonal en función a

ángulos, azimut y

distancias siempre

hay discrepancias en

el cierre ( ∆x, ∆y).

Estas discrepancias

se denominan errores

de cierre, los mismos

que tienen que

compensarse.

Cálculo de Proyecciones de los Lados (X,Y)

E X

E Y

A

A´

E cierre


Cálculo de Proyecciones de los Lados (X,Y)

A

B

N

C

D

N

Meridiano de Referencia

Paralelo de Referencia

Proyección YAB

Proyección XAB

Ángulo de Rumbo

Proyección XCD

Proyección YCD

Ángulo de Rumbo


El cierre de una poligonal se comprueba calculando las proyecciones ortogonales de cada línea (o lado) de un polígono aplicando Pitágoras y la ley de senos y cosenos.

Donde:

R: Rumbo de la Línea

D: Distancia de cada alineación

Cálculo de Coordenadas Parciales

CUADRANTE PROYECCIÓN Y

Latitud

PROYECCIÓN X

Longitud

NE ∆Y = d*Cos (R) ∆X = d*Sen R

SE -∆Y = d*Cos (R) ∆X = d*Sen R

SW -∆Y = d*Cos (R) -∆X = d*Sen R

NW ∆Y = d*Cos (R) -∆X = d*Sen R


Se procede a descomponer cada lado de la poligonal, tanto en el eje x (este) como en el eje y (norte).

Cálculo de Coordenadas Parciales

∆X

∆Y

A

B

Norte

Este

d z

Donde:

∆X = d*Sen Z ∆Y = d*Cos Z


Cálculo del Error de Cierre Lineal (EL):

Cuando se realiza la compensación de una poligonal por coordenadas el error lineal es igual:

Ex = Σ ∆x

Ey = Σ ∆y

EL = (Ex)2 + (Ey)2

Donde:

Ex = Error de cierre en X

Ey = Error de cierre en y


Precisión: En las poligonales o cadenas cerradas, se llama precisión a la relación entre el error total y el perímetro medido ET/PERIMETRO, por lo general la precisión se expresa como una fracción con la unidad como numerador; por ejemplo:

1/5000, 1/350, 1/1000, 1/250, etc.

Se escribe como denominador cifras enteras redondeadas; si llamamos P a la precisión que es igual a 1/X, tendremos:

P=1/X=ET/PERIMETRO; X=PERIMETRO/ET y así

P= 1/PERIMETRO

Este dato permite conocer la calidad del trabajo, comparándolo con la tolerancia fijada para cada caso.


TOLERANCIA

La tolerancia para trabajos de levantamientos topográficos

o replanteos topográficos esta en función a la precisión

buscada; de obtener un error relativo mayor que el

permitido, será necesario rehacer el trabajo de campo en

cuanto a las medidas lineales se refiere.

En el caso de usar estación total generalmente no se

aceptan en la actualidad redes de apoyo con error relativo

mayor de 1/5000. Es común la siguiente clasificación:

1/5000 : Levantamientos en zonas rurales

1/7,500 : En zonas suburbanas

1/10,000 o menor : En zonas urbanas


TOLERANCIA

Algunas tolerancias admisibles son las siguientes :

a. En longitud

Para cierres de poligonal y distancias entre vértices

E = 0,25 K

E en metros

K distancia, en Kilómetros

b. En Altitud

Para cierres de poligonal y desnivel entre vértices

E = 0,10 K

E en metros

K longitud poligonal, en kilómetros


TOLERANCIA

Algunas tolerancias admisibles son las siguientes :

c. En azimut

Para cierres de poligonal el valor máximo de corrección

azimutal (e) expresado en segundos de arco

sexagesimal estará definido por la expresión.

E = ± 27” N

Donde:

N = Nº de lados que tiene la poligonal

“ = segundos sexagesimales


NORMAS PARA LA CLASIFICACION DEL CONTROL GEODESICO Y USOS RECOMENDADOS

CONTROL HORIZONTAL

CONTROL VERTICAL


Cálculo de la Precisión o Error Relativo (Er): Permite evaluar la precisión o calidad de una poligonal.

Precisión = Er = 1 / (Perímetro/EL)

Donde:

Er = Error Relativo

EL = Error de Cierre Lineal


Después de determinar que el error relativo es aceptable, se procede a compensar el error lineal mediante el cálculo de las compensaciones: Cx y Cy.

Método de Bowdich: Este método de compensación se basa en suponer que existe una proporcionalidad entre el valor parcial de cada lado y el error de cierre total. Se basa en los siguientes supuestos:

• Los errores cometidos son accidentales y por tanto su valor es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.

• El efecto de los errores angulares es igual a los errores lineales (teodolito y cinta de levantamiento)

Compensación de Error Lineal


Las compensaciones obtenidas se suman a las coordenadas parciales respectivas; obteniendo así nuevos valores: ∆x y ∆y

Las direcciones de los lados sufrirán cambios leves.

Poligonal Cerrada

Compensación de Errores Lineales (Cx, Cy)

Cx = - (Ex/P)*L

Cy = - (Ey/P)*L

Donde: L: Longitud de un lado de la poligonal P: Perímetro Ex: Error de cierre lineal en el eje x Ey: Error de cierre lineal en el eje y


Conociendo las coordenadas absolutas del primer punto de la poligonal “A”, se determinan las coordenadas de cualquier punto realizando la siguiente suma algebraica

Poligonal Cerrada

Cálculo de Coordenadas Absolutas

X = XA + ∆XAB + ∆XBC + …..

Y = YA + ∆YAB + ∆YBC + …..

Topografía Minera “Minería Sostenible” Ing. Henry Luna Ing. Henry Luna Córdova

CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS

Caso práctico para el cálculo de una

poligonal cerrada


Caso Práctico

Cálculo de una Poligonal Cerrada

Teodolito Brújula


A

B C

D

E

F

Datos de Campo

Ángulos Internos

A= 083º26´10”

B= 100º 48´27”

C= 167º 13´32”

D= 097º10´26”

E= 075º53´35”

F= 195º27´09”

AZAB = 83º 58´40”


Lados (Mts.) Ángulos Leídos

AB = 86.00 B = 100º 48´27”

BC = 82.08 C = 167º 13´32”

CD = 117.50 D = 097º10´26”

DE = 102.10 E = 075º53´35”

EF = 106.50 F = 195º27´09”

EF = 102.10 A = 083º26´10”

Suma de ángulos internos = 719º59´19”

Cálculo del Error de Cierre Angular


Suma de ángulos interiores:

I = 180º (n-2) (1)

Suma de ángulos exteriores:

E = 180º (n+2) (2)

Remplazando valores en (1):

I = 180º (6-2) = 720º00´00”

Sumatoria de ángulos internos:

Σ Ángulos Internos = 719º59´19”

Error Angular (f):

f = 719º59´19” – 720º00´00”

f = - 00º00´41” (por defecto)

Compensación de ángulos (Cf):

Cf = f/n = 41” / 6 = 7” (restar 1” a

cualquier ángulo)

Cálculo del Error de Cierre Angular


Ángulo Leído Corrección Ángulos Compensados

B = 100º 48´27” +7 100º 48´34”

C = 167º 13´32” +7 167º 13´39”

D = 097º10´26” +7 097º10´33”

E = 075º53´35” +(7 –1) 075º53´41”

F = 195º27´09” +7 195º27´16”

A = 083º26´10” +7 083º26´17”

719º59´19” 41” 720º00´00”

Compensación del Error Obtenido


Después de haber compensado los ángulos internos se procede a aplicar la siguiente regla:

> 180°

ABC = ZAB + ángulo B – 180°

< 180°

ABC = ZAB + ángulo B + 180°

Para la aplicación de esta regla tiene que usarse el método de ángulos a la derecha

Cálculo de Azimut y Rumbos


AZIMUT

AZAB = 83º 58´40” +

B = 100º48´34”

180º00´00”

364º47´14” -

360º00´00”

AZBC = 4º47´14” +

C = 167º13´39”

180º00´00”

RUMBO

RAB = N 83º 58´40” E

RBC = N 4º 47´14” E

Cálculo de Azimut y Rumbo


AZIMUT

AZCD = 352º 00´53” +

D = 097º10´33”

180º00´00”

629º11´26” _

360º00´00”

AZDE = 269º11´26” +

E = 075º53´41”

180º00´00”

525º05´07” –

360º00´00”

RUMBO

RCD = N 07º 59´07” W

RDE = S 89º 11´26” W



AZIMUT

AZEF = 165º 05´07” +

F = 195º27´16”

180º00´00”

540º32´23” _

360º00´00”

AZFA = 180º32´23” +

A = 083º26´17”

180º00´00”

443º58´40” –

360º00´00”

AZAB = 083º58´40”

RUMBO

REF = S 14º 54´53” E

RFA = S 00º 32´23” W

RAB = N 83º 58´40” E



AZIMUT

AZAB = 083º58´40”

AZBC = 004º47´14”

AZCD = 352º00´53”

AZDE = 269º11´26”

AZEF = 165º05´07”

AZFA = 180º32´23”

RUMBO

RAB = N 083º58´40” E

RBC = N 004º47´14” E

RCD = N 007º59´07” W

RDE = S 089º11´26” W

REF = S 014º54´53” E

RFA = S 000º32´23” W



S 8

9º 1

1`2

6”W

10

2.1

0

A

B

C

D

E

F

Azimut y Rumbos


N

∆y

∆x

A

Cálculo de Coordenadas Parciales (X, Y)

El cálculo de las coordenadas se

realiza de acuerdo a las siguientes

fórmulas fundamentales:

X=dsenZ Y=dcosZ

En base a los ángulos corregidos

para el azimut Z y los lados d, No se

llegará al punto de partida, A

(poligonal cerrada) sino al punto A´.

La discrepancia en la suma de

coordenadas parciales X,Y se

corregirá de acuerdo a un límite de

tolerancia

A´


LADOS AZIMUT RUMBO DISTANCIA SENO COSENO

º ´ ´´ º ´ ´´ Mts. (Rumbo) (Rumbo) N (+) S (-) E (+) W (-)

AB 083 58 40 083 58 40 NE 86,00 0.9944812791 0,104914182 9,02 85,53

BC 004 47 14 004 47 14 NE 82,08 0,083455609 0,996511496 81,79 6,85

CD 352 00 53 007 59 07 NW 117,5 0,138918646 0,990303797 116,36 16,32

DE 269 11 26 089 11 26 SW 102,1 0,999900209 0,014127001 1,44 102,09

EF 165 05 07 014 54 53 SE 106,5 0,257381096 0,966309977 102,91 27,41

FA 180 32 23 000 32 23 SW 103,1 0,009419791 0,999955633 103,09 0,97

597,28 207,17 207,44 119,79 119,38

E cierre : Ey 2 + Ex 2 = (0.27) 2 + (0.41) 2

E cierre : 0,494

Precisión: E cierre / Perímetro = 0.494/597.28 = 1/1216 = 1/1200

X Y

CALCULO DE PROYECCIONES X e Y

PERIMETRO DE LA POLIGONAL :

Ey = - 0,27 Ex = 0,41


LADOS DISTANCIA

Mts. N (+) S (-) E (+) W (-) N (+) S (-) E (+) W (-)

AB 86,00 9,02 85,53 0,03 0,06

9,05 85,47

BC 82,08 81,79 6,85 0,03 0,06

81,82 6,79

CD 117,5 116,36 16,32 0,05 0,08

116,41 16,4

DE 102,1 1,44 102,09 0,04 0,07

1,4 102,16

EF 106,5 102,91 27,41 0,04 0,08

102,87 27,33

FA 103,1 103,09 0,97 0,04 0,07

103,05 1,04

207,17 207,44 119,79 119,38 207,3 207,3 119,6 119,6

Corrección en proyección Y (X) del lado L1 - L2 = Lado L1 - L2 = Lado L1 - L2

Ey (Ex) Proyección Y (Proyección X) Perímetro

Corrección en proyección Y (X) del lado L1 - L2 = Ey * Lado L1 - L2 = Ex * Lado L1 - L2

Perímetro Perímetro

Corrección en proyección Y del lado L1 - L2 = 0,0004 * Lado L1 - L2

Corrección en proyección X del lado L1 - L2 = 0,0007 * Lado L1 - L2

AJUSTE O COMPENSACIÓN DE PROYECCIONES X e Y

Y

Ey = - 0,27 Ex = 0,41 Ey = 0 Ex = 0

X X Y

597.28


N

∆y C

∆x C

B

A

C

E


Las Coordenadas

Absolutas evitan el

inconveniente de

que las coordenadas

sean negativas.

El origen (0,0) se le

da valores mayores

como (1000,1000) a

fin de que las

coordenadas (x,y)

resulten positivas.

∆x B

∆y B



N (+) S (-) E (+) W (-) N (+) S (-) E (+) W (-)

A 1000 1000AB 9,05 85,47 9,05 85,47

B 1009,05 1085,47BC 81,82 6,79 81,82 6,79

C 1090,87 1092,26CD 116,42 16,4 116,42 16,4

D 1207,29 1075,86DE 1,39 102,16 1,39 102,16

E 1205,9 973,7EF 102,86 27,34 102,86 27,34

F 1103,04 1001,04FA 103,04 1,04 103,04 1,04

A 1000 1000

207,29 207,29 119,6 119,6

LADOS

COORDENADAS PARCIALES COORDENADAS ABSOLUTAS

Y X Y X


A

B C

D

E

F

Reticulado de Coordenadas Planas


Topografía Minera

Topografía, Jack Mc Cormac, Clemson University, Limusa Wiley, 2004.

Metodología para la Elaboración de un Catastro Minero, Ing. Henry

Luna, 1991.

Topografía Práctica, principios Básicos, Jorge Mendoza Dueñas,

universidad Nacional de Ingeniería – Facultad de Ingeniería Civil,

2006.

Topografía Plana, Universidad de Los Andes, Facultad de Ingeniería,

Departamento de Vías, Leonardo Casanova Matera, Mérida 2002

Topografía en Obras de Arquitectura

Manuales de Topografía General.

Bibliografía


FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA

Sección de Ingeniería de Minas

TOPOGRAFÍA MINERA

Ing. Henry Luna Córdova

CICLO 2014 - II

planimetrÍa - poligonales

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