Area de Regiones Poligonales

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REA El rea es una medida de la extensin de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficial. Para superficies planas el concepto es ms intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su rea como suma de las reas de dichos tringulos. Ocasionalmente se usa el trmino rea como sinnimo de superficie, cuando no existe confusin entre el concepto geomtrico en s mismo (superficie) y la magnitud mtrica asociada al concepto geomtrico (rea). Sin embargo, para calcular el rea de superficies curvas se requiere introducir mtodos de geometra diferencial. Para poder definir el rea de una superficie en general que es un concepto mtrico, se tiene que haber definido un tensor mtrico sobre la superficie en cuestin: cuando la superficie est dentro de un espacio elucdelo, la superficie hereda una estructura mtrica natural inducida por la mtrica Euclides. AREA DE REGIONES POLIGONALES rea de un tringulo El rea de un tringulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:

Donde b es la base del tringulo y h es la altura correspondiente a la base. (Se puede considerar cualquier lado como base) Si el tringulo es rectngulo la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el rea es igual al semiproducto de los catetos:

Donde a y b son los catetos. Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la frmula de Hern.

Donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = (a + b + c) es el semiperimetro del tringulo. Si el tringulo es equiltero, el rea es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raz cuadrada de 3:

Donde a es un lado del tringulo. rea de un cuadriltero El rea del trapezoide o de cualquier cuadriltero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del ngulo que forman.

El rea tambin se puede obtener mediante triangulacin:

Siendo: El ngulo comprendido entre los lados El ngulo comprendido entre los lados y y . .

El rectngulo es un paralelogramo cuyos ngulos son todos de 90, y el rea es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:4

El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su rea dada por el semiproducto de sus dos diagonales:

El cuadrado es el polgono regular de cuatro lados; es a la vez un rectngulo y un rombo, por lo que su rea puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la frmula:4

El romboide tiene su rea dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:4

El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre s y dos lados no paralelos, tiene un rea que viene dada por la media aritmtica de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):4

rea de un polgono regular Se le llama polgono regular a un polgono cuyos lados y ngulos interiores son congruentes entre s. Los polgonos regulares de tres y cuatro lados se llaman tringulo equiltero y cuadrado, respectivamente; para polgonos de ms lados, se aade el trmino regular (pentgono regular, hexgono regular). Solo algunos polgonos regulares pueden ser construidos con regla y comps.

Existen diversas frmulas para calcular el rea de un polgono regular, dependiendo de los elementos conocidos. rea en funcin del permetro y la apotema: El rea de un polgono regular, conociendo el permetro y la apotema es:

rea en funcin del nmero de lados y la apotema: Sabiendo que:

Adems

, ya que es la mitad de un ngulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que Sustituyendo el lado:

Finalmente:

Con esta frmula se puede averiguar el rea con el nmero de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al permetro. rea en funcin del nmero de lados y el radio: Un polgono queda perfectamente definido por su nmero de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cul es su rea, a la vista de la figura, tenemos que:

Donde el ngulo central es:

Sabiendo que el rea de un polgono es:

Y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

Ordenando tenemos:

Sabiendo que:

Resulta:

O lo que es lo mismo:

Con esta expresin podemos calcular el rea del polgono, conociendo solamente el nmero de lados y su radio, lo que resulta til en muchos casos. rea de un polgono en funcin del lado: Y si queremos expresar el rea en funcin del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:

Sea

el ngulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

El valor de la apotema en funcin del lado ser, por la definicin de la tangente:

Despejando la apotema tenemos:

Sustituimos la apotema por su valor:

Con lo que conociendo el nmero de lados del polgono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie. AREA DE REGIONES CIRCULARES Son regiones del plano contenidas entre un arco de una circunferencia y radios, cuerdas o dimetros, o bien con otra circunferencia. Por ejemplo, una regin limitada por un arco y dos radios no alienados, una regin limitada por un arco y una cuerda, etc. rea del crculo Existen numerosas frmulas para calcular el rea de un crculo. Un crculo de radio , tendr un rea: ; En funcin del radio (r). o

; En funcin del dimetro (d), pues

O

; En funcin de la longitud de la circunferencia mxima (C), Pues la longitud de dicha circunferencia es: rea de un sector El rea de un sector circular depende de dos parmetros, el segmento-radio y el ngulo central, y est dada por la siguiente frmula:

Donde

es el radio de la circunferencia y

el ngulo que subtiende el arco de

circunferencia, expresado en radianes. O tambin:

Donde

corresponde al ngulo en grados sexagesimales.

Las dos frmulas anteriores son equivalentes. rea de un segmento El rea del segmento circular es igual al rea del sector circular menos el rea de la porcin triangular.

Demostracin alternativa

El rea del sector circular es:

Si se bisecciona el ngulo tringulos con rea total:

, y por tanto la porcin triangular, se obtienen dos

Dado que el rea del segmento es el rea del sector menos el rea de la porcin triangular, se obtienen

De

acuerdo

con

la

identidad

trigonomtrica

de

ngulo

doble

, por lo tanto:

con lo que resulta que el rea es:

rea de una corona Para determinar la superficie de una corona circular tenemos que encontrar la diferencia entre las reas de los dos crculos concntricos: el mayor con radio R y el menor con radio r.

Si dividimos esta corona en pequeas coronas Infinitesimales, equidistantes del centro, con latitud: , y rea: ( = circunferencia latitud) podramos

encontrar la superficie total por medio del clculo integral. Si determinamos la

integral

de

esta

funcin

entre

y

,

tendremos:

rea de un trapecio Es la regin que tiene en comn un anillo circular y un sector circular de la circunferencia de radio mayor,

Permetro. Est constituido por dos segmentos de igual longitud y dos arcos,

(Con

en radianes)

rea. Se puede calcular restando las reas de dos sectores circulares,

(Con

en radianes)

REAS COMBINADAS El objetivo es determinar las reas de regiones que resultan de la combinacin de otras figuras planas conocidas como: tringulos, rectngulos, trapecios y crculos. Hallar el rea del trapecio ABCD; si el rea del tringulo ABH es 8 m2, adems CD x AH = 24 m2.

VOLUMEN Es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una funcin derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones. En matemticas el volumen es una medida que se define como los dems conceptos mtricos a partir de una distancia o tensor mtrico. Unidades de volumen slido: Miden al volumen de un cuerpo utilizando unidades de longitud elevadas a la tercera potencia. Se le dice volumen slido porque en geometra se utiliza para medir el espacio que ocupan los cuerpos tridimensionales, y se da por hecho que el interior de esos cuerpos no es hueco sino que es slido.

Unidades de volumen lquido: Estas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan los lquidos dentro de un recipiente. Unidades de volumen de ridos: tambin llamadas tradicionalmente unidades de capacidad. Estas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan las cosechas (legumbres, tubrculos, forrajes y frutas) almacenadas en graneros y silos. POLIEDROS Un poliedro es un cuerpo geomtrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. Clasificacin: Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos segn la familia de donde provienen o de las caractersticas que los diferencian; segn sus caractersticas, se distinguen: Convexos, como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos del espacio que estn dentro del cuerpo los une un segmento de recta tambin interno. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice que son poliedros cncavos, como es el caso del toroide facetado y los slidos de karim. Poliedro de caras regulares, cuando todas las caras del poliedro son polgonos regulares. Poliedro de caras uniformes, cuando todas las caras son iguales. Se dice poliedro de aristas uniformes, cuando los pares de caras que se renen en cada arista son iguales.[cita requerida] Se dice poliedro de vrtices uniformes, cuando en todos los vrtices del poliedro convergen el mismo nmero de caras y en el mismo orden.

Se dice poliedro regular o regular y uniforme, como el tetraedro o el icosaedro, cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vrtices uniformes y de aristas uniformes.

Estos grupos no son excluyentes entre s; es decir, un poliedro puede estar incluido en ms de uno de ellos. reas y volmenes rea del tringulo equiltero

rea y volumen del tetraedro

rea y volumen del octaedro

rea del icosaedro

rea del pentgono regular

rea del dodecaedro

rea y volumen del cubo

rea y volumen del ortoedro

rea y volumen del prisma

rea y volumen de la pirmide