au predavanje11 bez animacija

Automatsko upravljanje 2010/2011

Prof.dr.sc. Nedjeljko Peric, Prof.dr.sc. Zoran VukicDoc.dr.sc. Mato Baotic, dr.sc. Mario Vašak

Zavod za automatiku i racunalno inženjerstvoFakultet elektrotehnike i racunarstva

Predavanje 11 – Strukture sustava automatskog upravljanja - SAU

Automatsko upravljanje :: Predavanje 11 – Strukture sustava automatskog upravljanja - SAU c© 2010 Peric,Vukic,Baotic&Vašak 1 / 39

Uvod

Sažetak Predavanja 10

• Izbor mjesta polova u s-ravnini (odred_enih parametrima ζ i ωn)

odred_uje dinamicke pokazatelje kvalitete sustava u vremenskom

podrucju (neposredni pokazatelji kvalitete)

• Dobivene su relacije za odred_ivanje neposrednih pokazatelja

kvalitete sustava drugog reda bez nula:

tr =1.8ωn

tm = π

ωn

√1−ζ2

t1% = 4.6ζωn

σm = e−πζ√1−ζ2

• Te su relacije valjane i za sustave višeg reda od dva, ako je jedanpar polova sustava dominantan, a ostali polovi relativno daleko odjω-osi (nedominatni polovi)

• Nule sustava znacajno utjecu na vremenski odziv, ovisno o njihovupoložaju u odnosu na polove sustava

• Nule sustava iz desne poluravnine s-ravnine uzrokuju pojavu"inverznog odziva" zbog cega je ove sustave teško upravljati


Uvod

Cilj

• Nauciti osnovne strukture SAU, te njihove prednosti i nedostatke

• Spoznati dobre i loše strane SAU bez povratne veze

• Spoznati dobre i loše strane SAU s povratnom vezom

• Razumjeti razloge za primjenu SAU s više povratnih veza

• Razumjeti nacela rada adaptivnih SAU

• Razumjeti nacela rada SAU s unutarnjim modelom


Uvod

Osnovne strukture SAU

• SAU bez povratne veze – u otvorenom krugu (engl. Open Loop, OL)

• SAU s povratnom vezom – u zatvorenom krugu (engl. Closed Loop,CL)


Struktura SAU bez povratne veze

Opca struktura SAU bez povratne veze

Regulator(Upravljački

ureñaj)

Vodeća(postavna)

veličinaUpravljačka

veličinaAktuator

Izvršnaveličina

Objekt

Izlazna(regulirana)

veličina

Poremećaji

Slika 11.1: Blokovski prikaz SAU bez povratne veze



Primjer 11.1: Upravljanje temperaturom prostorije bezpovratne veze (1)

• Mjeri se vanjska temperatura ϑA, mjerni se signal dovodi naupravljacki ured

_aj

• Upravljacki ured_aj djeluje po unaprijed odabranom programu na

motor M ventila V kojim se upravlja protokom Q (toplinskomenergijom) kroz radijator

z'1 (Prozor otvoren)

M

Osjetilo vanjske temperature

ϑAz'2 yϑP

Upravljački ureñaj

QV

ϑA

u

Slika 11.2: Upravljanje temperaturom prostorije u otvorenom krugu




• Program pokojem radiupravljackiured

_aj

definiran jeovisnošcu:

Q = f (ϑA) (11-1)20 200

1

2

3

Q

ϑA

Slika 11.3: Program po kojem radiupravljacki ured

_aj

1 - programjakogzagrijavanja2 - programsrednjegzagrijavanja3 - programslabogzagrijavanja

• Kod promatranog primjera imamo 2 poremecaja (smetnje) (engl.disturbance) na sustav:

• z′

1 – temperaturni poremecaj uvjetovan otvaranjem prozora (uovakvom upravljanju ne može se kompenzirati)

• z′

2 – vanjska temperatura (koja se mjeri)Automatsko upravljanje :: Predavanje 11 – Strukture sustava automatskog upravljanja - SAU c© 2010 Peric,Vukic,Baotic&Vašak 7 / 39



• Blokovski prikaz sustava upravljanja prema slici 11.2• Blokovima 1, 2 i 3 predstavljena je dinamika toplinskog ponašanja

prostorije

1

2

3

+ + +

-

y

Upravljačkiureñaj

u

z'1

z'2

Kompenzacijautjecaja

poremećaja z'2Prostorija

Slika 11.4: Blokovski prikaz sustava upravljanja prema slici 11.2



Kada se može koristiti SAU bez povratne veze?

• Kada je proces (objekt) kojim se upravlja stabilan (stabilnost SAU bitce obrad

_ena u narednim predavanjima)

• Kada nije moguce mjeriti izlaznu (reguliranu) velicinu

• Kada nema izraženijih djelovanja nekompenziranih poremecaja naproces (objekt) kojim se upravlja

• Kada nema promjene dinamickog vladanja upravljanog procesa(objekta), tj. kada se radi o vremenski invarijantnom sustavu



Svojstva SAU bez povratne veze

• Sustav se može prikazati kao slijed u seriju spojenih blokova koji radipo principu uzrocno posljednickog djelovanja; rad sustava odvijase po tocno odred

_enom vremenskom slijedu

• Sustav radi po unaprijed definiranom i "ugrad_enom programu" (u

praksi cešce susretano pod nazivom "programska regulacija")

• Za svaki režim rada sustava zadaje se postavna velicina; primjerice,sustav upravljanja temperaturom prostorije, ili sustav upravljanjastrojem za pranje rublja

• Sustav je potrebno povremeno kalibrirati (zbog vremenskepromjene njegovih karakteristika) kako bi se osigurala traženatocnost sustava



Poboljšanje rada SAU bez povratne veze korekcijomvodece velicine (1)

• Poboljšanje dinamickog vladanja SAU bez povratne veze može sepostici pomocu korekcije vodece velicine

Selektorreference

Vodećaveličina

Referentnisignal Upravljački

ureñaj

Poremećaji

Aktuator+

Objekt

Reguliranaveličina

Korektorvodeće veličine

+

+

Slika 11.5: Korekcija vodece velicine



Poboljšanje rada SAU bez povratne veze korekcijomvodece velicine (2)

• Korektor ima ulogu da pri "pokretanju sustava" doda odred_eni iznos

signala (koji vremenom išcezne) kako bi na ulazu u upravljackiured

_aj u pocetnim trenutcima došao povecani referentni signal

• U tom slucaju upravljacki ured_aj brže reagira ("forsira" sustav) i

usmjerava objekt (proces) prema željenom stanju (radnoj tocki)prije nego bi se to dogodilo bez ove korekcije

• Korektor osigurava predupravljanje po vodecoj velicini i predstavljapolaznu ideju za primjenu pretkompenzatora vodece vrijednosti(engl. feedforward compensator) naširoko primjenjivanog uslijednoj regulaciji



Poboljšanje rada SAU bez povratne veze kompenzacijomporemecaja (1)

• Ako na objekt (proces) djeluje poremecaj koji je mjerljiv, ili koji semože estimirati (odrediti na temelju matematickog modelaprocesa), tada je strukturu SAU bez povratne veze mogucenadograditi unaprijednom petljom (engl. feedforward loop)

Selektorreference

Vodećaveličina

Referentnisignal Upravljački

ureñaj

Mjerljiviporemećaj

Aktuator+

Objekt

Reguliranaveličina

Kompenzatorporemećaja

++

Mjerni članporemećaja

Nemjerljiviporemećaj

Unaprijedna petlja

Slika 11.6: Kompenzacija poremecaja



Poboljšanje rada SAU bez povratne veze kompenzacijomporemecaja (2)

• Ovdje se radi o konceptu unaprijednog predupravljanja poporemecaju (engl. feedforward concept), kojim se postiže da seinformacija o poremecaju dovede na regulator "unaprijed" teregulator poduzima djelovanje na objekt (proces) prije nego sedjelovanje poremecaja manifestira na izlaznu (reguliranu) velicinu

• Ovaj koncept u suštini nalikuje konceptu prediktivnog upravljanja

• Koncept predupravljanja je proaktivan za razliku od konceptapovratne veze (engl. feedback concept) koji je reaktivan jer sezasniva na reakciji sustava, tj. na kompenzaciji regulacijskogodstupanja (e = r − y) nastalog uslijed djelovanja poremecaja nareguliranu velicinu

• Kompenzator poremecaja (predupravljacki ured_aj) zasniva se na

matematickom modelu procesa (na inverznom matematickommodelu procesa)



Dobre strane SAU bez povratne veze

• Jednostavan i prirodan koncept upravljanja

• Prikladan kada reguliranu velicinu nije moguce mjeriti (najednostavan nacin)

• Niska cijena izvedbe, ugradnje i održavanja

• Zajamcena stabilnost sustava uz pretpostavku stabilnog procesakojim se upravlja



Loše strane SAU bez povratne veze

• Poremecaji koji djeluju na proces i promjene parametara procesauzrokuju odstupanje regulirane velicine od željene vrijednosti

• Potrebna je povremena kalibracija sustava da bi se postiglaželjena kvaliteta upravljanja

• Kod vremenski promjenljivih sustava i nestabilnih sustava, SAU bezpovratne veze nije moguce primijeniti



Tipicne primjene SAU bez povratne veze

• Upuštanje postrojenja u rad i njegovo dovod_enje u automatski

režim rada

• Zaustavljanje postrojenja i njegovo dovod_enje u miran ili sigurnosan

režim rada

• U sustavima blokada i zaštita u postrojenjima

• Upravljanje elektrohidraulickim i elektropneumatskim ventilima

• Proizvodni pogoni – automatizirane proizvodne linije

• U ekonomskim sustavima temeljenim na planskoj ekonomiji

• ...


Struktura SAU s povratnom vezom

Opca nacela SAU s povratnom vezom

• Kod zatvorenih SAU regulator koristi informaciju o reguliranoj(izlaznoj) velicini preko petlje negativne povratne veze(e(t) = r(t)− y(t)), za razliku od SAU bez povratne veze

• Regulator, prema odred_enom algoritmu, odred

_uje upravljacku

(izvršnu) velicinu u(t) = f (e(t)) koja djeluje reaktivno preko izvršnogelementa (aktuatora) na upravljani proces

• Zahvaljujuci konceptu povratne veze postigla su se velikadostignuca u znanosti i tehnici u dvadesetom stoljecu (a i prije)

• Koncept povratne veze je univerzalan koncept!(Tržišna ekonomija funkcionira na principu povratne veze)



Opca struktura SAU s povratnom vezom

RegulatorIzvršni član

(organ)

Vladanje sobzirom na

vodećuvrijednost

Mjerni član

Vladanje sobzirom na

smetnju

proces

ue

z

++

+

z'

r +

_

y(uR) (yS)

Slika 11.7: Opca struktura SAU s povratnom vezom



Primjer 11.2: Upravljanje temperaturom prostorije spovratnom vezom (1)

Osjetilo temperature

prostorije

rR

U

z'1 (Prozor otvoren)

M

ϑy P

QV

Slika 11.8: Upravljanje temperaturom prostorije u zatvorenom kruguAutomatsko upravljanje :: Predavanje 11 – Strukture sustava automatskog upravljanja - SAU c© 2010 Peric,Vukic,Baotic&Vašak 20 / 39


Primjer 11.2: Upravljanje temperaturom prostorije spovratnom vezom (2)

1

2

3 +

++-

yUpravljačkiureñaj

u

z'1

z'2

Prostorija

er +

Slika 11.9: Blokovski prikaz sustava upravljanjaprema slici 11.8

• Ova strukturapredstavlja zatvorenitijek djelovanja(regulacijski krug,regulacijska petlja)

• Ovom se strukturommože kompenziratiutjecaj svih smetnji(zahvaljujucinegativnojpovratnoj vezi)

• Ova struktura možepostati nestabilna(regulirana velicinamože oscilirati)



Kada se može koristiti SAU s povratnom vezom?

• Kada je moguce mjeriti reguliranu velicinu

• Kada je proces kojim se upravlja nestabilan (koncept negativnepovratne veze stabilizira nestabilni proces)

• Kada na proces kojim se upravlja djeluju poremecaji (mjerljivi inemjerljivi)

• Kada je proces kojim se upravlja vremenski promjenljiv (u ovom seslucaju osnovna struktura SAU s povratnom vezom moženadograditi mehanizmom adaptacije)



SAU s više povratnih veza

• Osnova struktura SAU s povratnom vezom može se proširiti na SAU sviše povratnih veza

• Ovisno o broju povratnih veza (petlji) SAU se mogu podijeliti na:

• SAU s jednom petljom (jednopetljasti SAU)• SAU s više petlji (višepetljasti SAU)



Primjer 11.3: Upravljanje brodom po kursu i trajektoriji u 2Dprostoru (dvopetljasti SAU) (1)

δCRegulatortrajektorije

+ Regulatorkursa

Kormilarskiureñaj i brod

KinematikaΨv

-

Sustav upravljanja po kursu broda

x

y-

ry

Sustav upravljanja po trajektoriji broda

rΨ

Slika 11.10: Upravljanje brodom po kursu i trajektoriji

• Sustav vod_enja i upravljanja gibajucim objektima (brod, zrakoplov,

bespilotna ronilica, mobilni robot, i sl.) treba ostvariti:• položaj (posturu) i brzinu objekta (usmjerenost objekta na zadanom

kursu (Ψ) s odred_enom brzinom gibanja (v)) - rješava sustav

upravljanja po kursu (stabilizacijom po kursu)• poziciju objekta u prostoru (x ,y ,z) – rješava sustav upravljanja po

trajektoriji (slijed_enjem trajektorije)



Primjer 11.3: Upravljanje brodom po kursu i trajektoriji u 2Dprostoru (dvopetljasti SAU) (2)

• Kinematika – bavi se opisom geometrijskih karakteristika gibanjabez razmatranja sila i momenata koje uzrokuju gibanje (dajepoziciju objekta u odabranom koordinatnom sustavu)

• Kinetika (dinamika) – bavi se opisom sila i momenata koji uzrokujugibanje objekta primjenjujuci zakone fizike koji vrijede za razmatraniobjekt (daje mogucnost proracuna varijabli, na slici su to brzinabroda i kurs broda, pomocu kojih se može odrediti pozicija x i y)



Dobre strane SAU s povratnom vezom

• SAU s povratnom vezom mogu stabilizirati nestabilni proces

• SAU s povratnom vezom mogu osigurati savršenu tocnost sustava ustacionarnom stanju (e(t → ∞) = 0) prikladnim izborom regulatora

• SAU s povratnom vezom povecava robusnost sustava, tj. smanjujenjegovu osjetljivost na promjene parametara komponenatasustava

• SAU s povratnom vezom znacajno smanjuju utjecaj poremecajakoji djeluju na proces prikladnim izborom strukture i parametararegulatora

• SAU s povratnom vezom znacajno povecava brzinu odziva(propusnog opsega) u odnosu na brzinu odziva nereguliranogprocesa

Napomena: Teoretska podloga za razumijevanje svih navedenihsvojstava bit ce izložena u narednim predavanjima



Loše strane SAU s povratnom vezom

• SAU s povratnom vezom koji upravlja stabilnim procesom možepostati nestabilan ako nije usklad

_ena dinamika regulatora i

upravljanog procesa; zbog toga je iznimno važno dobropoznavanje dinamike upravljanog procesa i odabir strukture iparametara regulatora u skladu s dinamikom procesa

• SAU s povratnom vezom su složeniji i skuplji od SAU bez povratneveze; ova cinjenica ne smije predstavljati prepreku preferiranju SAUs povratnom vezom, imajuci u vidu sve dobre strane SAU spovratnom vezom

• Koncept povratne veze mocan je koncept, samo ako ga znamokoristiti na dobar nacin (znanjem iz automatskog upravljanja); uprotivnom, mogu se ocekivati havarije



Primjer 11.4: Slijedni sustav (1)

• Istosmjerni motor pogoni potenciometar (slijedni potenciometar)ciji kutni položaj ϕ2 treba slijediti kutni položaj vodecegpotenciometra ϕ1, a da pri tome odstupanje ϕ1 − ϕ2 bude cimmanje

• Oba potenciometra spojena su u mosni spoj s konstantnimnaponom napajanja Us

M Prigon

Us

Vodeći

potenciometar

= r = y

u

ud ua

Slijedni

potenciometar

u

KR (Diferencijalno pojačalo = Regulator)

1ϕ1ϕ

2ϕ

2ϕ

Slika 11.11: Slijedni sustav




• Dijagonala mosnog spoja ima napon:

ud = uϕ1 − uϕ2 (11-2)

• Ako je ud = 0, onda je ϕ1 = ϕ2

• Ako se u stanju ϕ1 = ϕ2 (ud = 0) zakrene vodeci potenciometar,mosni spoj postaje neuravnotežen (ud 6= 0), pa ce se prekodiferencijalnog pojacala pojaviti napon na armaturi motora:

ua = KR · ud , (11-3)

gdje je KR podesivo pojacanje regulatora

• Taj ce napon izazvati zakretanje motora koje ce se prenijeti prekoprigona na zakretanje slijednog potenciometra

• Proces zakretanja (slijed_enja) slijednog potenciometra traje sve

dotle dok se ne postigne ud = 0, tj. sve dotle dok zakret slijednogpotenciometra ne postane jednak zakretu vodecegpotenciometra




• Vladanje sustava uz promjenljivo pojacanje regulatora KR

• S porastom pojacanja povecava se oscilatornost, s tendencijomda sustav postane nestabilan

ϕ1

0 t

KR4

KR3

KR2

KR1

KR1 KR2 KR3 KR4< <<

y ɵ= ϕ2

1ˆr = ϕ

Slika 11.12: Vladanje slijednog sustava uz promjenljivo pojacanje regulatora


Druge strukture SAU

Druge strukture SAU

• Pored navedenih temeljnih struktura SAU (bez povratne veze i spovratnom vezom), za praksu su važne i mnoge druge strukture,med

_u njima posebno su znacajne:

• Adaptivna struktura sa samougad_anjem (samopodešavanjem)

parametara regulatora (engl. Self Tuning Regulator, STR struktura)• Adaptivna struktura s referentnim modelom (engl. Model Reference

Adaptive System, MRAS struktura)• Struktura SAU zasnovana na unutarnjem modelu (engl. Internal Model

Control, IMC struktura)


Druge strukture SAU STR struktura

STR struktura• Adaptivne strukture prirodna su

proširenja osnovne strukture SAU spovratnom vezom

• STR struktura primjenjuje se uslucajevima kada se parametriprocesa vremenski mijenjaju(vremenski promjenljivi sustavi)uslijed promjene režima procesa ikada se zahtijeva visoka kvalitetasustava upravljanja

r Procesy

Sintezaregulatora

+

-

Estimacijaparametara

Petljaadaptacije

e RegulatorOsnovni

regulacijskikrug

Adaptivni STR

u

Slika 11.13: STR struktura

• Parametri regulatora moraju se usklad_ivati na promjene

parametara upravljanog procesa (dinamika regulatora trebapratiti dinamiku procesa)

• Stoga je potrebno pratiti promjene parametara procesa ustvarnom vremenu što je zadaca identifikacije procesa (estimacijaparametara procesa)

• Na temelju estimiranih parametara procesa odred_uju se u

postupku sinteze parametri regulatora


Druge strukture SAU MRAS struktura

MRAS struktura

• MRAS struktura može biti izvedena u inacici parametarske ilisignalne adaptacije (na slici 11.14 prikazan je MRAS sparametarskom adaptacijom)

Referentnimodel

Osnovniregulacijski krug

Promjene parametaraprocesa

-

+

Ureñaj zaadaptaciju

Parametri regulatora

ym

Referentnavrijednost

z

e*

y

ΘΘΘΘ

ξξξξ

Slika 11.14: MRAS strukturaAutomatsko upravljanje :: Predavanje 11 – Strukture sustava automatskog upravljanja - SAU c© 2010 Peric,Vukic,Baotic&Vašak 33 / 39

Druge strukture SAU IMC struktura

IMC struktura

• IMC regulatorzasniva se namatematickommodelu upravljanogprocesa; zbog togaje iznimno važnoimati vjerodostojanmatematicki modelprocesa

r Proces y+-

Modelprocesa

e Regulator

IMC regulator

- +

u

ym

Slika 11.15: IMC struktura

• Ako matematicki model tocno modelira dinamiku upravljanogprocesa, signal povratne veze (odstupanje izmed

_u procesa i

modela) imat ce vrijednost jednaku nuli pa se IMC strukturapretvara u SAU bez povratne veze

• IMC struktura, kao i sve strukture zasnovane na matematickommodelu procesa, osjetljiva je s obzirom na promjene parametaraprocesa; pitanje robusnosti sustava upravljanja postaje kljucnopitanje


Druge strukture SAU IMC struktura

IMC struktura – Primjena za upravljanje procesima sizraženim transportnim kašnjenjem

• Postojanje transportnog kašnjenja (mrtvog vremena) svojstveno jeonim procesima u kojima se obavlja transport mase (materijala),energije ili informacije

• Algoritam upravljanja (regulator) treba uzeti u obzir transportnokašnjenje upravljanog procesa; u protivnom, dobilo bi se loševladanje sustava upravljanja

• U praksi se naširoko koristi za upravljane takvim procesima regulatorsa Smithovim prediktorom

• Radi se o regulatoru zasnovanom na matematickom modeluprocesa i koji strukturno uzima u obzir transportno kašnjenje


Druge strukture SAU Smithov prediktor

IMC struktura – Smithov prediktor (1)

• Stvarnom procesu uparalelu je dodannjegov matematickimodel koji uzima u obzirtransportno kašnjenje(G′

P(s)e−Tt s)

R

+

Predikcija

Stvarni

proces

P

P

-Tts

+ -

+R(s) + E(s)

z

-

Y(s)

Ym(s)

Y(s)

GR(s)

U(s)

Slika 11.16: Regulator sa Smithovim prediktorom

GR'(s)+ Stvarniproces

GP'(s) GP'(s)e-Tts

- -

+R(s)

z

-

Y(s) Ym(s)

Y(s)GR(s)

U(s) + Y(s)-Ym(s)

Slika 11.17: Regulator sa Smithovim prediktorom


Druge strukture SAU Smithov prediktor

IMC struktura – Smithov prediktor (2)

• Ako bi odstupanje izmed_u matematickog modela i procesa

(Y (s)− Ym(s)) bilo jednako nuli, tada bi struktura sa slike 11.17poprimila oblik:

GR'(s)+ Stvarniproces

GP'(s)

- -

+R(s)

z

Y(s)

Y(s)GR(s)

U(s)

Slika 11.18: Modificirana strukturaupravljanja prikazana na Slici 11.17

• Ovo je struktura SAU bezpovratne veze

• Interno je samomregulatoru G′

R(s) upovratnoj vezi dodanmatematicki modelprocesa bez transportnogkašnjenja (G′

P(s))

• Važno je uociti:• Velicina Y (s) predstavlja predikciju izlaznog signala stvarnog procesa

Y (s)

• Predikcijski signal Y (s) sadrži informaciju o stanju na izlazu stvarnogprocesa koja ce se tek dogoditi (zbog toga i nazivi prediktivniregulator i prediktivno upravljanje)


Zakljucak

Zakljucak (1)

• SAU nalaze široku primjenu u raznim proizvodnim i radnimpostrojenjima i procesima

• Izbor strukture SAU ovisi o postavljenim zahtjevima na sustavupravljanja

• SAU bez povratne veze u pravilu se koriste za upravljanjeprocesima (objektima) kada zahtjevi na sustav upravljanja nisustrogi i gdje je moguce primijeniti ovaj koncept upravljanja

• SAU s povratnom vezom u pravilu se koriste za upravljanjeprocesima (objektima) kada su zahtjevi na sustav upravljanja strožijii u slucajevima kada je nužno koristiti koncept povratne veze

• Kombinacijom SAU bez i s povratnom vezom i unaprijednogupravljanja s obzirom na poremecaj koji djeluje na proces može sepostici znacajno poboljšanje kvalitete sustava upravljanja

• Naprednije strukture SAU predstavljaju prirodno proširenje osnovnihstruktura SAU (s i bez povratne veze)


Zakljucak

Zakljucak (2)

• Adaptivne strukture upravljanja složene su strukture i primjenjuju seu upravljanju procesima ciji se parametri mijenjaju ovisno o radnimrežimima procesa

• Adaptacija parametara regulatora u adaptivnoj strukturi zasnivase na identifikaciji parametara sustava

• IMC strukture primjer su struktura ciji je regulator zasnovan namatematickom modelu upravljanog procesa

• Specificni oblik IMC strukture – IMC struktura sa Smithovimprediktorom koristi se za upravljanje procesima s izraženimtransportnim kašnjenjem

• IMC strukture zahtijevaju tocan matematicki model procesa kojivjerno opisuje njegovo dinamicko vladanje

• Pitanje robusnosti SAU zasnovanih na matematickom modeluprocesa kljucan je problem


au predavanje11 bez animacija

Documents