predavanje11 elearning.rcub.bg.ac.rs

8/19/2019 Predavanje11 Elearning.rcub.Bg.ac.Rs

1/42

Фрактална геометрија и фрактали у архитектури

златни пресек и Фибоначиеви бројеви


2/42

Подела дужи на два

дела а и b таква да је

b

a

a

b a

позната је подназивом

’’златни пресек’’.

Фрактална геометријаи фрактали у архитектури

златни пресек


3/42

1 1

b

a

a

b a

b

a

a

b 1

1 1

0 1 2

61803398 .1 2

5 1

b

a




4/42

Однос

61803398 .1 b

a

је необичан број.

1 61803398 .0 1




5/42

1 1

1

1


златни правоугаоник

:1

1


6/42


златни правоугаоник

Правоугаоник чије су странице у односу : 1

назива се златним правоугаоником.

Визуелно пријатне пропорције!

1

1

1

1


7/42


златни правоугаоник и златни квадрат

Највећи квадрат који се може исећи иззлатног правоугаоника назива се златним

квадратом.

1

1

1

1


8/42

Преостали део је златни правоугаоник; његовестранице су опет у односу . Сличан јепочетном правоугаонику и представља његовускалирану копију са фактором скалирања .

1

1

: 1

1



1

1

1

1

1


9/42

1

111

1

2

1

3

1



2

1

1

111

1 1


10/42

1 1

Понављајући поступак добија се низ златнихправоугаоника и низ златних квадрата. Сваки следећи

у низу је скалирана копија претходног са факторомскалирања . Сваки од низова је самосличан низ.

1




11/42


златни правоугаоници

Самослични златниправоугаоници -

фактор скалирања .

1

1 1

1

1

1

1

2

1

2

1

1

111

1 1

1

11

3

1


12/42


златни квадрати

Самослични златни квадрати – фактор скалирања1

1

2

1

1

3

1

4

1


13/42

Самослични златни квадрати сачетвртинама кругова.




14/42

Логаритамска (златна) спирала




15/42


16/42

abab 22Ptolemy's theorem

a

b

a

b

1

2

2

51

a

b


златни пресек - петоугао


17/42

2

0725

22

036

5




18/42

036

5

072 072

b

a

a

b

2

12

2sin

b

a

10sin21

2

1arcsin2

5

5cos2


златни пресек - троугао


19/42


златни троугао

12

1


20/42

11



1


21/42


златни пресек - пентаграм


22/42

a R

a R




23/42

1

2

3

32:::1




24/42

1

2

3

1

21

3

1

...:1

:1

:1

:1

:1432




25/42

:1


златни пресек - икосаедар


26/42

2:1


златни пресек - додекаедар


27/42


Фибоначиеви бројеви

F 1 =1, F 2 =1,

2 n 1 n n F F F

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

34, 55, 89, 144, 233,

377, 610, 987, 1597,

2584, …


28/42



Златни пресек

Фибоначиевибројеви


29/42

.n kad ,F

F

1 n

n

F 1 =1, F 2 =1,

2 n 1 n n F F F

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

34, 55, 89, 144, 233,

377, 610, 987, 1597,

2584, …

61803398.12

51

61805556.1144

233 61802575.1

233

377

61803714.1377

610 61803328.1

610

987

61803445.1987

1597 61803381.1

1597

2584




30/42

11 x

...1

1

1

11

11

1

11

n

n

x x

1

111 1

11

nn

n

n

nn

n

n

n

x F

F

F

F F

F

F x

n

n

n

n

n F

F x

1

limlim




31/42

11

2

nn aa

nn alim

...1111

11 a


Златни пресек и Фибоначиеви бројеви


32/42

21 nnn

1 nnn

F F


Златни пресек и Фибоначиеви бројеви


33/42


златни пресек у природи


34/42


Фибоначиеви бројеви у природи


35/42




36/42

1

2

3

5

8

13

21




37/42


38/42




39/42




40/42




41/42

The Parthenon




42/42

Le Courbusier building Paris / France

predavanje11 elearning.rcub.bg.ac.rs

Documents