Indicegeneral1. Conjuntosnumericos 131.1. Teora de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2. Conjuntos de n umeros . . . . . . . . . . . . . . . 211.3. Operaciones aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . 341.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502. Expresionesalgebraicas 532.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2. Expresiones algebraicas enteras . . . . . . . . . . 562.3. Polinomios en una variable . . . . . . . . . . . . 632.4. Expresiones algebraicas fraccionarias . . . . . . . 852.5. Expresiones algebraicas irracionales . . . . . . . . 913. Ecuacioneseinecuaciones 973.1. Ecuacion en una variable . . . . . . . . . . . . . 983.2. Inecuacion en una variable . . . . . . . . . . . . . 1063.3. Relacion entre variables . . . . . . . . . . . . . . 1153.4. Ecuacion lineal en dos variables. . . . . . . . . . 1213.5. Sistema de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . 1293.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347PresentacionEl hombreutilizapalabras, sonidos, smbolos, imagenesygestos, entre otros, para dar a conocer sus ideas. La matematicaayuda a entender el mundo y sus relaciones, pero expresandoloen un lenguaje simbolico complejo. El mismo constituye unlenguaje universal utilizado en cualquier parte del mundo, locual ha hecho que sea el lenguaje de las ciencias y la tecnologa.Sin embargo, se necesita cierto entrenamiento para traducir dellenguajequeseutilizahabitualmenteal sistemadeescrituramatematica.Lasasignaturasuniversitariassuponenunmanejodellen-guajematematico, tomandolocomobaseapartirdelacualse presentan los nuevos conceptos. Si bien la educacion mediabrindaciertaformacionenesteaspecto, larealidadmuestraque, enmuchos casos, los conocimientos adquiridos resultaninsucientes. Seevidenciangrandesdicultadesenlasprime-ras asignaturas universitarias, debido, principalmente, al escasomanejo del lenguaje propio de la disciplina.El objetivodeestetrabajoes brindar alos alumnos unmaterial de apoyo para recuperar y reforzar los conocimientosbasicosdeladisciplinay, enciertoscasos, incorporarnuevasherramientas a n de lograr un manejo adecuado del lenguajepropio de las matematicas. Esto les permitira estar en mejorescondiciones para comenzar estudios universitarios.910 Tatiana GibelliContenidoEste material constituye un repaso sintetico de las herra-mientasbasicasdeladisciplina.Losresultadosypropiedadessepresentansindemostracion, ydejandodeladociertafor-malidadmatematica, aunquesindescuidarlautilizaciondellenguajepropiodeestaciencia. Sepresentan, ademas, ejem-plosparaquelosalumnosobservenyrecuerdenlaaplicacionde dichos resultados. Con esto no se pretende dar recetas quedeban ser aprendidas de memoria, sinorepasar ysintetizarconocimientosmatematicos, haciendohincapieensuaplica-cion.Los contenidos se desarrollan en tres captulos:Captulo1:ConjuntosnumericosSepresentanlosconjuntosnumericosylasoperacionesaritmeticas con sus respectivas propiedades. Previamentese introducen conceptos basicos de la teora de conjuntospara reconocer la simbologa propia.Captulo2:ExpresionesalgebraicasSe introducen los conceptos de variable y expresiones al-gebraicas. Se hace una revision detallada de las distintasclasesdeexpresionesalgebraicas, ylasoperacionesquese realizan habitualmente con ellas. Se da especial impor-tanciaalospolinomiosenunavariableporsuutilidadyaplicaciones.Estecaptulopresentaconceptosquere-sultanimprescindiblesparaestudiantesdecarrerasqueincluyan matematica en sus planes de estudio.Captulo3:EcuacioneseinecuacionesSe estudian relaciones de igualdad (ecuaciones) y de desi-gualdad(inecuaciones)entreexpresionesalgebraicas.Seanalizan detalladamente las ecuaciones e inecuaciones enIntroduccion al lenguaje de las matematicas 11una variable. Se introduce el concepto de funcion a partirde relaciones entre variables. Se consideran las ecuacioneslineales en dos variables (rectas) y los sistemas formadospor dos ecuaciones de este tipo.Sugerenciasparaelusodeestematerial1. Lectura comprensiva de la revision teorica.Leer intentando comprender (no memorizar) el concep-to que se esta presentando. Tener en cuenta que la com-prension de ciertos conceptos matematicos requiere tiem-poyesfuerzo. Dichoesfuerzodebeapuntarmasalacomprension, que a la memorizacion de metodos o tecni-cas.2. Trabajo con la ejercitacion propuesta.Para esta tarea es importante interpretar correctamentelas consignas, dedicar tiempo y atencion, ser ordenado yprolijoyvericarlosresultados(siemprequeseaposi-ble). Debe tenderse a una autonoma en el aprendizaje.Cuando se tienen dudas ante la realizacion de alg un ejer-cicio, se sugiere volver a revisar los conceptos teoricos yejemplos correspondientes.Si bien todo estudiante universitario debe tener conocimien-tos matematicos basicos, existe unadiferenciaencuantoalalcanceyutilizaciondelosmismos, deacuerdoalacarreraelegida. Para alumnos de carreras universitarias sociales o hu-mansticas, sesugiereel trabajoconCaptulo1yCaptulo3(exceptosecciones3.1.5, 3.1.6, 3.2.5y3.2.6, puesinvolucranconceptospresentadosenel Captulo2). Paraestascarrerasse recomienda hacer enfasis en los ejercicios de aplicacion, paracomprender la utilidad de los conceptos tratados, en situacionesconcretas.Captulo1ConjuntosnumericosUn concepto basico y elemental del lenguaje matematico esel de n umero. Para poder trabajar en matematica, es impres-cindiblecomprenderlanocionden umero, suspropiedadesytransformaciones. La aritmetica es la rama de las matematicasque estudia la operaciones de los n umeros y sus propiedades ele-mentales. Proviene del griego arithmosy techneque signicann umeros y habilidad, respectivamente.Se comienza con una presentacion de nociones basicas de lateora de conjuntos: pertenencia, inclusion, union, etc. La sim-bologapropiapermitemejorarlaprecisiondel lenguajema-tematico.Sepresentanlosdistintosconjuntosnumericossinentrarendetalles formales, comolajusticacionaxiomaticadelosmismos, haciendo hincapie en la utilizacion practica de los mis-mos. Deigual maneraseintroducenlas operaciones basicasysuspropiedades, utilizandolosconceptosintuitivosquelosalumnos tienen incorporados.1314 Tatiana Gibelli1.1. Teoradeconjuntos1.1.1. IntroduccionhistoricaHastael sigloXIXlosmatematicossereferanaloscon-juntosdeobjetossinnecesidaddereexionarsobreellos.Fueel matematico Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor quienlesdiounprimertratamientoformal, en1870. Suteoradeconjuntosfuedesarrolladaparaproporcionarunmetodoparatrabajos relacionados al innito y fue expuesta en una serie deartculos y libros, entre los cuales pueden destacarse Beitragezur Begr undung der transniten Mengenlehre.Sinembargo, el sistemadeCantordiolugararesultadoscontradictorios. Posteriormente, GottlobFregeideounsiste-ma mas preciso, intentando fundamentar adecuadamente lateoradeconjuntos; pero, parasudesaliento, BertrandRus-sell descubrio una paradoja en su teora (hoy llamada paradojadeRussell).AprincipiosdelsigloXX,elmatematicoalemanErnst Zermelo puso la teora de conjuntos sobre una base acep-table, reduciendolaaunsistemaaxiomaticomasrestringido,quenopermitalaobtenciondelaParadojadeRussell. LasideasdeZermelofueronposteriormenteprecisadaspor Tho-ralf SkolemyAbrahamFraenkel, resultandode ellolapri-mera teora axiomatica de conjuntos, conocida como teora deZermelo-Fraenkel, aunqueseramasadecuadollamarlateorade Zermelo-Fraenkel-Skolem. Otra teora de conjuntos que evitalas paradojas de la teora cantoriana fue desarrollada despues,principalmente, por John von Neumann, Paul Bernays y KurtGodel. Esta ultima es hoy llamada, teora de conjuntos de vonNeumann-Bernays-Godel.Introduccion al lenguaje de las matematicas 151.1.2. ConceptosbasicosUnconjuntoes unacoleccionde objetos, yestabiendenido si se sabe si un determinado elemento pertenece o noael. Usualmente, losconjuntosserepresentanconunaletramay uscula:A,B, etc.Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que for-man parte de un conjunto. Usualmente se representan con unaletra min uscula:a,b, etc.Para indicar que un elementoxpertenece a un conjuntoA, escribimosx A (se lee x pertenece a A o bien x es unelemento de A). La negacion dex A se escribex/ A (y selee x no pertenece aA).Dos conjuntos especiales son:El conjunto universal, que representaremos con la letraU, es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemostratando.El conjuntovaco, que se denota , es el conjunto queno tiene elementos.1.1.3. RepresentacionesExisten dos formas de denir o notar un conjunto:Por extension: cuandoseenumeranexhaustivamentetodos los elementos del conjunto, entre llaves y separadospor comas.Por comprension: cuando se especican las caractersti-cas que poseen todos sus elementos. Es decir, si todos loselementos de un conjuntoA satisfacen alguna propiedadque pueda ser expresada como una proposicion P, el con-juntoA puede notarse:A = {x U: x verica la propiedad P}16 Tatiana Gibelli(seleeAesel conjuntodeelementosxquesatisfacenla propiedad P). El smbolo : se lee que cumplen lapropiedad o tales que (puede ser reemplazado por |).Para representar gracamente a los conjuntos suelen uti-lizarse los llamados diagramas de Venn, que son guras pla-nascerradas(engeneral elipsesocircunferencias), dentrodelas cuales se escriben los elementos del conjunto.Ejemplo: Consideremoscomoconjuntouniversal Utodaslasletras del abecedario.Por comprension:A = {x U: x es una letra vocal}.Por extension:A = {a, e, i, o, u }.Diagrama de Venn:1.1.4. RelacionesDados dos conjuntosA yBcontenidos en el conjunto uni-versalU, pueden darse distintas relaciones entre ellos:1. A yB son iguales si tienen exactamente los mismos ele-mentos. Se nota:A = B.2. AyBsondisjuntossi notienenning unelementoencom un.3. A es un subconjunto deB (oA esta contenido enB)si cada elemento de A es tambien elemento de B, es decir,Introduccion al lenguaje de las matematicas 17cuando se verique: six A, entoncesx B. Se nota:A B.Observacion:Esta denicion no excluye la posibilidad deque los conjuntos sean iguales. Es decir, siA B, puededarseel casodequeA=B. EnparticularA=Bsi ysolo siA ByB A.4. A es un subconjunto propio de B (o A esta contenidoestrictamente enB) si todo elemento deA es elementodeB, pero, Btiene, porlomenos, unelementoquenopertenece al conjuntoA. Se nota:A B.5. A no es subconjunto de B (o A no esta contenido enB) si A tiene, por lo menos, un elemento que no perteneceal conjuntoB. Se nota:A/B.Diagramas de Venn que representan las relaciones tratadas:Iguales DisjuntosA = BContenido No contenidoA B A/ByB/A18 Tatiana Gibelli1.1.5. OperacionesSean A y B dos conjuntos contenidos en el conjunto univer-sal U. Lasprincipalesoperacionesquepuedendenirseentreellos son:1. Union:Es el conjunto que contiene a todos los elementos deA ydeB, y lo notamosA B. Simbolicamente:A B = {x U: (x A) (x B)}El smbolorepresentaunoincluyente, es decir,laexpresion(x A) (x B)seleexpertenecealconjuntoA ox pertenece al conjuntoB.2. Interseccion:Es el conjunto que contiene a todos los elementos comunesalosconjuntosAyB,ylonotamosA B.Simbolica-mente:A B = {x U: (x A) (x B)}El smbolo representa un y, es decir, la expresion(x A) (x B) se lee x pertenece al conjuntoA yxpertenece al conjuntoB.Observacion: Si A y B son conjuntos disjuntos (no tienenelementos en com un) entonces:A B = .3. Diferencia:Esel conjuntodeelementosdel conjuntoAquenoseencuentran en el conjunto B, y lo notamos AB (o A\B).Simbolicamente:AB = {x U: (x A) (x/ B)}Introduccion al lenguaje de las matematicas 194. Complemento:Esel conjuntodeloselementosquepertenecenal con-junto universalUpero no pertenecen al conjuntoA y lonotamosA (oAc). Simbolicamente:A = {x U: x/ A}Observacion: Se vericaA = U A.DiagramasdeVennquerepresentanlasoperacionesmen-cionadas:Union InterseccionA B A BDiferencia ComplementoAB AEjemplo: Consideremos el conjunto universalU= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}ylosconjuntos: A= {0, 2, 4, 6, 8}, B= {1, 3, 5, 7, 9},C = {0, 1, 2, 3, 4} yD = {0, 4, 8}.20 Tatiana Gibelli1. Se verican las siguientes relaciones: A y B son disjuntos,D A,C /A yA/C.2. Algunas operaciones:A = {1, 3, 5, 7, 9} = B y B = {0, 2, 4, 6, 8} = A.A B = UyA B = (pues son disjuntos).A C = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8} yA C = {0, 2, 4}.AC = {6, 8} yC A = {1, 3}.1.1.6. Ejercitacion1. RepresentegracamentedosconjuntosAyBqueveri-quenA B. Considerandoestosconjuntosrepresentegracamente:A B,A ByAB.2. Considere como conjunto universal U el conjunto de todaslas letras del abecedario y los conjuntosA = {x : x es letra de la palabra camion}.B = {x : x es vocal}.C = {x : x es letra de la palabra almidon }.a) DenalosconjuntosA, ByCporextensionyre-presente en diagramas de Venn,b) Conteste verdadero o falso y justica:1) {m,o} A.2) camion A.3) {c,a,s} B A.4) i C.5) B.6) A.7) A A.8) B B.c) CalculeA B,B A, (A C) ByB(por com-prension).Introduccion al lenguaje de las matematicas 211.2. Conjuntosden umeros1.2.1. IntroduccionhistoricaLanocionden umeroycontarsurgio, fundamentalmente,delanecesidaddel hombredeadaptarseal medioambiente,proteger sus bienes y distinguir los ciclos de la naturaleza, en-treotras.Losn umerosmasantiguosquehansidoregistradosfueronsimplestrazosrectosparalosdgitos, conunaformaespecial parael diez. Esmuyprobablequelasmarcasverti-cales fueran representaciones de los dedos que se usaban paracontar(dedondesurgelapalabradgitoconqueseconoceaestos n umeros, y posiblemente haya sido el origen del sistemadecimal).Lanotacionnumericausadauniversalmenteenlaactuali-dadprocededesistemasdenumeracionhind uesyaexistenteshacia el siglo VI d. C. Este sistema fue adoptado por los arabesantes del siglo IX. En el siglo XIII, las traducciones al latn delas obras de los matematicos arabes hicieron posible que los eu-ropeos conocieran los principios del sistema numeral posicional.ElitalianoLeonardodePisaensuobraLiberabaci(1202)ofrecio una exposicion de las cifras hind ues, en la que se sit uael origen del sistema moderno de numeracion.Con respecto al sistema romano, el indo-arabigo proporcio-naindudablesventajasenel planopracticoyconceptual. Secrea a partir de una notacion sencilla, basada en el uso de diezdgitos, y usando el valor posicional de los numerales. Permitesimplicardeformamuynotablelasoperacionesaritmeticasdemultiplicacionydivision,sincomplicarlasdesumayres-ta. Por todo ello, el sistema indo-arabigo se ha impuesto pro-gresivamente,constituyendounlenguajeescritouniversalqueutiliza una misma grafa incluso en idiomas cuyos alfabetos sondiferentes.22 Tatiana Gibelli1.2.2. N umerosnaturalesEl conjunto de n umeros naturales, al que notamos conIN, es el que usamos usualmente para contar, es decir:IN = {1, 2, 3, 4, 5, .....}Propiedades:El conjuntoINesinnito, esordenado(tie-neprimerelementoperono ultimo)yesdiscreto(entredosn umeros naturales existe un n umero nito de n umeros natura-les).1.2.3. N umerosenterosEl conjuntoden umerosenteros, al quenotamosconZZ, es el conjunto de n umeros naturales, agregando el cero y losenteros negativos, es decir:ZZ = {......, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .....}Observacion: Se puede ver que IN ZZ.Propiedades: El conjunto ZZ es innito, es ordenado (no tie-ne primer ni ultimo elemento) y es discreto (entre dos n umerosenteros existe un n umero nito de n umeros enteros).1.2.4. N umerosracionalesEl conjunto de n umeros racionales, al que notamos conI Q, es el conjunto de todos los n umeros que pueden expresarsecomo una raz on (cociente o division) entre dos n umeros enteros(todoslosn umerosquepuedenexpresarsecomofraccion).Esdecir:I Q = {ab : a, b ZZ, b = 0}Observaciones:Introduccion al lenguaje de las matematicas 23Todon umeroenteroesunn umeroracional,puespuedeescribirsecomofracciondedenominador1, esdecir, sia ZZ entoncesa =a1 I Q. Por lo tanto:ZZ I Q.En general se considera siempre el denominador positivo,y el signo se vincula al numerador de la fraccion.Todo n umero fraccionario tiene una expresion decimal -nita o innita periodica, y recprocamente, toda expresiondecimal nita o innita periodica se puede expresar comoun n umero fraccionario.Propiedades: El conjuntoI Qes innito, es ordenado(notiene primer ni ultimo elemento) y es denso (entre dos n umerosracionales existe un n umero innito de n umeros racionales).1.2.5. N umerosirracionalesEl conjunto de n umerosirracionales, al que notamos II,es el conjunto de n umeros que no se pueden escribir como unarazon (cociente o division) entre dos n umeros enteros (todos losn umeros que no pueden expresarse como fraccion).Observaciones:1. De la denici on podemos concluir que el conjunto de losn umeros racionales (I Q) y el conjunto de los n umeros irra-cionales (II) son conjuntos disjuntos, es decir,I Q II = .2. Todo n umero fraccionario tiene una expresion decimal -nita o innita periodica, por lo tanto, todo n umero irra-cional tiene un n umero innito de dgitos no periodicos.24 Tatiana Gibelli3. Son n umeros irracionales los resultados de aplicar races(de ndiceparan umerosnaturalesode ndiceimparan umeros enteros) que no dan como resultado un n umeronatural o entero.Ejemplos:a)2 = 1, 41421..... b)32 = 1, 25992.....4. Existenotrosn umerosirracionalesquesonmuyusadosen matematicas.Ejemplos:a) = 3, 14159.... (en trigonometra).b) e = 2, 71828.... (en exponenciales y logaritmo).1.2.6. N umerosrealesEl conjuntoden umerosreales, al que notamos con IR,es el conjunto de todos los n umeros racionales e irracionales, esdecir:IR = I Q II1.2.7. N umeroscomplejosUn n umero complejo es de la formaa +bi, dondea IR(llamadapartereal), b IR(llamadaparteimaginaria)ei =1(llamadaunidadimaginaria).Porlotanto,elconjuntoden umeroscomplejos, que se nota I C, es:I C = {a + bi : a, b IR, i = 1}.Observaciones:Introduccion al lenguaje de las matematicas 251. Son n umeros complejos todas las races de ndice par den umeros negativos.Ejemplo: 9 = 91 = 3i.2. Todon umeroreal es unn umerocomplejo, es decir, sia IR entoncesa = a + 0i I C. Por lo tanto: IR I C.1.2.8. RelacionentrelosconjuntosnumericosDe acuerdo a las deniciones de los distintos conjuntos numeri-cos se verican la siguientes relaciones:IN ZZ I Q IR I CDiagrama de Venn:1.2.9. RepresentacionenlarectaEl conjuntoden umeros reales suelerepresentarseenunrecta horizontal, llamada recta numerica. A cada n umero realle corresponde un unico punto de la recta.Paralarepresentacion, segracaunarectahorizontal ysobre ella se marca un punto que corresponde al n umero 0. Seconsidera un segmento u que se tomara como unidad de medida.Luego se procede de la siguiente manera:26 Tatiana Gibelli1. Pararepresentarlosn umerosnaturales, setrasladaelsegmento unidad a derecha en forma consecutiva a partirdel 0, gracandosus puntos extremos. Acadaunodelospuntosas obtenidoseleasignaunn umeronaturalcomenzandopor el 1, enformaordenada, apartir delpunto correspondiente al n umero 0.2. Para representar los n umeros enteros negativos se proce-de de igual manera, pero trasladando el segmento unidada izquierda del 0.4 3 2 1 0 1 2 3 43. Pararepresentarn umerosfraccionarios, sedivideestesegmento unidad en tantas partes como indica el denomi-nadordelafraccion.Luegosetrasladaapartirdel0laporcion del segmento unidad obtenida tantas veces comoindica el numerador de la fraccion, a derecha si es positivoo a izquierda si es negativo.Ejemplo: Representacion de 52 :3 522 1 0Observacion: Los n umeros racionales pueden representarse con-siderandosuexpresiondecimal.Deigualmanerapuedeobte-nerse una representacion aproximada de los n umeros irracio-nalesconsiderandounaexpresiondecimal nitaaproximada(truncando o redondeando sus cifras decimales). Existe una re-presentacion mas precisa de n umeros irracionales utilizando larelacion de pitagoras en triangulos rectangulos.Introduccion al lenguaje de las matematicas 271.2.10. RelaciondeordenEn el conjunto de n umeros reales se dene la siguiente re-laciondeorden:En su representacion en la recta numerica, los n umerosestan en orden creciente de izquierda a derecha, es decir,dados dos n umeros cualesquiera, el que esta a la izquierda esmenor que el esta a su derecha.Para indicar una desigualdad se utilizan los signos:Desigualdades estrictas Desigualdades no estrictas< (menor) (menor o igual)> (mayor) (mayor o igual)Las principales propiedades de desigualdades, validas pa-ra n umeros reales cualesquieraa,b yc son :1. a b ob a (orden en los reales).2. Sia b yb c, entoncesa c (propiedad transitiva).1.2.11. IntervalosUn intervalo de n umeros reales es un subconjunto del con-junto de n umeros reales, determinado por una desigualdad.Clases de intervalos numericos:Intervaloabierto: (a, b) = {x IR : a < x < b}.(a)bIntervalocerrado: [a, b] = {x IR : a x b}.[a]b28 Tatiana GibelliIntervalossemi-abiertos:(a, b] = {x IR : a < x b}.(a]b[a, b) = {x IR : a x < b}.[a)bIntervalosinnitos:(a, +) = {x IR : a < x}.(a>>>>[a, +) = {x IR : a x}.[a>>>>(, b) = {x IR : x < b}. r x < r ox > r x (, r) (r, +)Ejemplos:1. |x| 3 es el conjunto de n umeros reales que se encuentranentre 3 y 3.Gracamente:[3]32. |x| > 2 es el conjunto de n umeros reales que menores que2 y los mayor que 2.Gracamente:>>>EntornosDados dos n umero reales c y r (r > 0), el entorno de centroen c y radio r es el conjunto de n umeros reales (x IR) tales quesu distancia al centro es menor al radio. Dicho entorno puedeescribirse:Utilizando valor absoluto: {x IR : |x c| < r}.Como intervalo numerico: (c r, c + r).Gracamente:(c r)c + r|c30 Tatiana GibelliObservacion: Un intervalo (a, b) puede escribirse como entor-noconnotaciondevalorabsoluto {x IR: |x c| r}(, a] [b, +) = {x IR : |x c| r}Ejemplo: Dado el intervalo (3, 5), podemos escribirlo como en-torno en notacion de valor absoluto hallandocentro:c = (3 + 5)/2 = 4.radio:r = (5 3)/2 = 1.Luego: (3, 5) = {x IR : |x 4| < 1}.1.2.13. Ejercitacion1. Seleccione entre los conjuntos numericos para completarlas siguientes proposiciones (de manera que resulten vali-das):a) ...... ZZ.b) ............= .c) II .......d) IR .......e) ............= IR.f ) I C .......Introduccion al lenguaje de las matematicas 312. Indiqueconunacruzacual ocuales delos conjuntosnumericos pertenecen los n umeros dados:IN ZZ I Q II IR I C100, 551/72, 5

4416425/53. Determineaqueconjuntonumericopertenececadaunode los n umeros dados, ordenelos de menor a mayor y re-presente en la recta numerica.53,125,63,2, 0,276, 114, 235,24. Halle, encadacaso, unn umeroracional xquecumplacon la condicion dada:a)3 < x 4}.d) {x IR : 0 < x < 2} _x IR : 1 < x 3}.9. Exprese los siguientes subconjuntos de n umeros reales uti-lizando notacion de valor absoluto:a) (2, 7).b)_52, 1_.c)_52,12_.d) (, 1) (5, +).10. Paraunofrecimientodeempleosesolicitaquelosaspi-rantes sean mayores de 21 a nos. Por otro lado, se planteaquedebenserjovenesdehasta35a nos. Determinelasposiblesedadesdelosaspirantesal empleo, expresandola solucion:a) En notacion de conjuntos, por comprension (usandodesigualdades).b) En notacion de conjuntos, por extension.11. Una persona recibe un sueldo superior a los $ 2000 men-suales. Sin embargo gana menos que dos tercios del sueldode su jefe, que gana $ 6500. Determine cuales son los po-sibles sueldos de dicha persona expresando la solucion:a) En notacion de conjuntos, por comprension (usandodesigualdades).b) Como intervalo numerico.34 Tatiana Gibelli1.3. Operacionesaritmeticas1.3.1. IntroduccionhistoricaCuando los pueblos comenzaron a utilizar los n umeros, soloconocanunaformadeoperarconellos: contar. El primitivoconcepto de cardinalidad dio comienzo a la aritmetica. Poco apoco, fueron descubriendo como sumar, restar, multiplicar. Enalgunospasesseinventaronmetodosespecialesparafacilitarel calculo, especialmente al trabajar con grandes n umeros. Losromanos emplearon una tabla de contar o abaco, en la cual lasunidades fueron representadas por bolitas que podan moversepor unas ranuras. Aestas bolitas las llamabanCalculi, queeselpluraldecalculus(guijarro).Esteeselorigendelverbocalcular.La aritmetica, como otras ramas de las matematicas, surgepor necesidades de la vida cotidiana y se convierte despues enun inmenso sistema formal. Giuseppe Peano (1858 - 1932) fueunmatematicoitalianoque, juntoconF. L. G. Frege(1848-1925), enel sigloIV, introdujoloslenguajesformalesenlamatematica. Uno de sus mejores libros fue Arithmetices prin-cipia, nova metodo exposita en el que formalizo, desde el puntode vista de la logica matematica, toda la aritmetica.1.3.2. AdicionysustraccionDenicionesLaadiciondedosn umerosreales,alosquesellamasu-mandos, da por resultado otro n umero real, al que se denominasuma de los n umeros dados.a + b suma sumandosIntroduccion al lenguaje de las matematicas 35Lasustraccion de dos n umeros reales, a los que se llamaminuendo y sustraendo, da por resultado otro n umero real,al que se denomina diferenciaoresta de los n umeros dados.ab resta o diferencia minuendo sustraendoLeydecierreLa operacion de adicion es cerrada en todos los conjuntosnumericos: IN,ZZ,I Q, IR y I C. Es decir, la adicion de dos n ume-rosdeunconjuntodaporresultadootron umerodel mismoconjunto.Laoperaciondesustraccionescerradaenlosconjuntosnumericos: ZZ, I Q, IRy I C. Nosevericalaleydecierreenelconjunto IN, pues la sustraccion de dos n umeros naturales pue-dedar por resultadounn umeronegativo(nonatural). Porejemplo: 3 IN y 5 IN pero 3 5 = 2/ IN.PropiedadesPara todo a, b, c IR se verican las siguientes propiedades:Asociativa:a + (b + c) = (a + b) + c.Conmutativa:a + b = b + a.Existe neutro: existe un unico n umero real, 0 IR, queverica quea + 0 = a.Existe inverso: para cada n umero real a IR, existe un unico n umero real, a IR, que verica que a+(a) = 0.Observaciones:36 Tatiana Gibelli1. La sustraccion se puede escribir como adicion:a b = a + (b)2. No se verican propiedades conmutativa y asociativa parala sustraccion.1.3.3. MultiplicacionydivisionDenicionesLamultiplicacionde dos n umeros reales, denominadosfactores, da por resultado otro n umero real llamado productode los n umeros dados.a b producto factoresLadivisiondedosn umerosrealesalosquesedenomi-nadividendoydivisor, daporresultadootron umerorealllamado cociente o razon entre los n umeros dados.ab cociente o razon dividendo divisorLeydecierreLa multiplicacion es cerrada en todos los conjuntos numeri-cos: IN, ZZ, I Q, IR yI C. Es decir, la multiplicacion de dos n umerosdeunconjuntodaporresultadootron umerodelmismocon-junto.La division es cerrada en los conjuntos numericos:I Q, IR yI C (exceptuando la division por 0, que no esta denida). No severica la ley de cierre en los conjuntos numericos IN y ZZ, puesladivisiondedosn umerosnaturalesoenterospuededarporresultadounn umeronoentero.Porejemplo:3 ZZy5 ZZpero 3 5 = 0,6/ ZZ.Introduccion al lenguaje de las matematicas 37PropiedadesPara todo a, b, c IR se verican las siguientes propiedades:Asociativa:a (b c) = (a b) c.Conmutativa:a b = b a.Existe neutro: existe un unico n umero real, 1 IR, queverica quea 1 = a.Existeinverso:paracadan umeroreal a IRtal quea = 0,existeun unicon umeroreal,1a IR,quevericaquea 1a = 1.Observaciones:1. La division se puede escribir como multiplicacion:a b = a 1b2. No se verican propiedades conmutativa y asociativa parala division.PropiedaddistributivaDe la multiplicacion respecto a la adicion y sustraccion:Propiedad EjemploDistributivaa izquierda:a (b c) = a b a c2 (3 + 1) = 2 3 + 2 12 4 = 6 + 28 = 8Distributivaa derecha:(b c) a = b a c a(4 1) 3 = 4 3 1 33 3 = 12 39 = 938 Tatiana GibelliDeladivisionrespectoalaadicionysustraccion:Propiedad EjemploSevericadistributiva a derecha:(a b) c = a c b c_a bc=ac bc_4 + 62=42 + 62102= 2 + 35 = 5NOsevericadistributiva a izquierda:a (b c) = a b a c_ab c =ab ac_186 + 3=186+ 183189= 3 + 62 = 91.3.4. PotenciacionDenicionDadosunn umeroreal a,llamadobase,yunn umerona-turaln, llamado exponente, la potencia se calcula como unproductorepetido de la siguiente manera:exponentean= a.a....a. .nvecespotenciabaseAdemas:Para todoa IR,a = 0:a0= 1.Para todon IN: 1n= 1 y 0n= 0.Introduccion al lenguaje de las matematicas 39Para todoa IR yn IN:an=_1a_n.Observacion:elsignodelresultadodependedelaparidaddelexponente y el signo de la base,Si el exponente n es impar: se preservan los signos,Sia > 0 (base positiva) entonces:an> 0 (resultadopositivo).Si a < 0 (base negativa) entonces: an< 0 (resultadonegativo).Por lo tanto, para todoa IR yn impar (a)n= an.Si el exponente n es par: resultado siempre positivo,Para todoa IR,a = 0:an> 0.Por lo tanto, para todoa IR yn par (a)n= an.Resumiendo:a > 0 (positivo) a < 0 (negativo)n impar an> 0 (positivo) an< 0 (negativo)n impar an> 0 (positivo) an< 0 (positivo)Ejemplos:1. 23= 2 2 2 = 8.2. (2)3= (2) (2) (2) = 8.3. 32= 3 3 = 9.4. (3)2= (3) (3) = 9.40 Tatiana GibelliPropiedadesParatodoa, b IRyn, m INsevericanlassiguientespropiedades:Propiedad EjemploMultiplicacion de potenciasde igual base:an am= an+m22 23= 22+34 8 = 2532 = 32Division de potenciasde igual base:anam = anm3432= 34281 9 = 329 = 9Potenciade una potencia:(an)m= anm(23)2= 23282= 2664 = 64Distributiva de potenciarespecto a multiplicacion:(a b)n= an bn(3 2)2= 32 2262= 9 436 = 36Distributiva de potenciarespecto a division:(a b)n= anbn(6 3)2= 623222= 36 94 = 4Observacion: No vale propiedad distributiva de la potencia res-pecto a la adicion (o sustraccion):(a + b)n= an+ bny (a b)n= anbn.Ejemplos:(2 + 3)2= 22+ 3252= 4 + 925 = 13(4 1)2= 421232= 16 19 = 15Introduccion al lenguaje de las matematicas 411.3.5. RadicacionDenicionDados un n umero real a, llamado radicando, y un n umeronatural n,llamado ndice,larazsecalculacomolainversade la potenciacion (en el exponente), de la siguiente manera:ndicena = x xn= a radicando razAdemas:Para todoa IR:1a = a.Para todon IN:n1 = 1 yn0 = 0.Observacion: en la denicion anterior vamos a diferenciar,Races de ndice impar: la denicion anterior es unvo-ca, es decir, dadounn umeroaIRexisteun unicon umerob IR tal quebn= a, y por lo tantona = b.En particular, se preservan los signos:Si a > 0 (base positiva) entonces:na > 0 (resultadopositivo).Si a < 0 (base negativa) entonces:na < 0 (resultadonegativo).Races de ndice par: la denicion anterior no es unvo-ca. En este caso se analiza el signo del radicando.42 Tatiana GibelliRadicandopositivo: existen dos resultados posi-bles, uno de signo positivo y otro de signo negativo.Por ejemplo, se puede observar que24 tiene dos po-sibles soluciones:24 =_2, pues 22= 42, pues (2)2= 4.Paratener unicidadenel casoderaces pares den umerospositivos, vamosaconsiderarcomoresul-tado solo el resultadodesignopositivo.Radicandonegativo: notienecomosolucionunn umero real, sino que el resultado es un n umero com-plejo.Esdecir,dadounn umeroa IRcona< 0,na/ IR, sin es n umero par.Resumiendo:a > 0 (positivo) a < 0 (negativo)n imparna > 0 (positivo)na < 0 (negativo)n parna > 0 (positivo)na/ IR (no es real)Ejemplos:1.3125 = 5 pues 53= 125.2.3125 = 5 pues (5)3= 125.3.81 = 9 pues 92= 81.4.81/ IR (es decir, no tiene solucion real).PropiedadesSia, b IR, yn, m IN se verican las siguientes propieda-des:Introduccion al lenguaje de las matematicas 43Propiedad EjemploSimplicacion:nan=_a sin es impar|a| sin es para)3_(2)3= 2b)4_(2)4= | 2| = 2Cambio de orden depotenciacion y radicacion:nam= (na)m(sina IR)382= (38)2364 = 224 = 4Raz de una raz:n_ma =nma_364 =23644 =6642 = 2Distributiva de razrespecto a multiplicacion:na b =na nb(sina IR ynb IR)4 25 =4 25100 = 2 510 = 10Distributiva de razrespecto a division:na b =na nb(sina IR ynb IR)36 9 =36 94 = 6 32 = 2Observaciones:1. Laspropiedadesanterioresvalensolocuandolasracesexisten en los reales, es decir, no valen para races paresde n umeros negativos.2. Para todoa IR, cona> 0 yr I Q (r =mnconn INym ZZ),sepuededenirlapotenciaconexponente44 Tatiana Gibelliracional cuando la base es un n umero real positivo:nam= amn .En estos casos es posible, luego de escribir la radicacioncomopotenciadeexponenteracional,utilizarlapropie-dades de la potenciacion.3. Novalepropiedaddistributivadelarazrespectoalaadicion (o sustraccion):na + b =na +nb yna b =na nbEjemplos:9 + 16 =9 +1625 = 3 + 45 = 7100 64 =100 6436 = 10 86 = 21.3.6. LogaritmoDenicionDadosdosn umerosrealespositivosayb IR+llamadosbaseyargumento, respectivamente, el logaritmoenbaseadeb, quesenotaloga(b), secalculacomolainversadelapotenciacion (en la base), de la siguiente manera:argumentologa(b) = x ax= b base logaritmoEjemplos:1. log2(8) = 3, pues 23= 8.2. log27(9) =23, pues 2723= 9.Introduccion al lenguaje de las matematicas 45Observaciones:1. Para todoa IR+: loga(1) = 0.2. Para todoa IR+: loga(a) = 1.3. Los logaritmos mas usados son:Logaritmo decimal: tiene base 10 y se nota log(b) (esdecir, sin indicar la base).Logaritmonatural (oneperiano): tiene base e =2, 718281.... y se nota ln(x) (es decir, ln(b) = loge(b)).PropiedadesParaa, b, c IR+se verican las siguientes propiedades:Propiedad EjemploSimplicacion:a)loga(ab) = bb)aloga(b)= ba)log5(52) = 2b) 3log3(7)= 7Logaritmo deuna multiplicacion:loga(b c) = loga(b)+loga(c)log3(3 9) = log3(3) + log3(9)log3(27) = 1 + 23 = 3Logaritmo deuna division:loga_bc_= loga(b) loga(c)log2_84_= log2(8) log2(4)log2(2) = 3 21 = 1Logaritmo deuna potencia:loga(bc) = c loga(b)log2(43) = 3 log2(4)log2(64) = 3 26 = 646 Tatiana GibelliObservacion: Cuandoquierencalcularselogaritmosconotrasbases puede hacerse un cambiodebase usando la identidad:loga(x) =logb(x)logb(a)Ejemplo:log2(5) =ln(5)ln(2) =1, 609...0, 693... = 2, 321....1.3.7. OperacionescombinadasSe resuelven respetando el siguiente orden:1. Se realizan primero las operaciones de potencia y raz.2. Luego las operaciones de multiplicacion y division.3. Finalmente, las operaciones de suma y resta.Ejemplo:3125 + 43(8) + 281 =5 + 64 (8) + 2 9 =5 8 + 18 =13 + 18 = 5Observacion: Enocasiones, seintroducenparentesis, corche-tes y llaves para indicar elorden en que deben resolverse lasoperaciones. Para las operaciones que se encuentran dentro deparentesis,corchetesyllaves,serespetaelordendejerarquamencionado anteriormente.Ejemplo:{[43(3 4)2]2(3)2} 10 25 ={[64 (1)2]29} 10 5 ={[8 1]29} 10 5 ={729} 10 5 ={49 9} 10 5 =40 10 5 =4 5 = 1Introduccion al lenguaje de las matematicas 471.3.8. Ejercitacion1. Indiqueconunacruzencual ocualesdelosconjuntosnumericos la operacion es cerrada (es decir, verica la leyde cierre):IN ZZ I Q IR I CAdicionSustraccionMultiplicacionDivisionPotencia de exponente naturalPotencia de exponente enteroRadicacion2. Traduzca del lenguaje coloquial al lenguaje simbolico lassiguientes operaciones y luego resuelva:a) La mitad de treinta.b) El cuadrado de cuatro.c) La raz c ubica de mil.d) El doble de la suma entre tres y cinco.e) El doble de tres, aumentado en cinco.f ) El siguiente del cuadrado de ocho.g) El cubo del opuesto de cinco.h) Diez veces la raz cuadrada de cuarenta y nueve.i ) Dos tercios de cuarenta y cinco.j ) La mitad de la cuarta parte de cien.k) La octava parte del triple de dieciseis.l ) La diferencia entre el quntuplo de dos tercios y dos.m) El cociente entre seis quintos y ocho tercios.48 Tatiana Gibelli3. Resuelva las siguientes operaciones combinadas:a) 50 +{8 + 3 3 [4 (16 8) 4] + 2} 5 =b)3125 + 43(8) 2 81 =c)62+ 10212 22+ (7 9)4=d) _(8 2 7) (12) 33+2 2 =e)3 27 (5 32)3+ 8 2 (5) =f )_32 + 3464__34_+ 15 =g)31 + 7834 + 1 =h)4__2 + 32_2_12_2=4. Resuelva usando propiedades de potenciacion:a) 21 23 24=b)___12_2_12_3___12_1=c)___14_2 4___14_2=d)___23_223_32_1_____23_1__2=e)___15_1 52 51__2=Introduccion al lenguaje de las matematicas 495. Resuelva usando propiedades de radicacion:a)5_37 15714=b)381 324 +39 324 =c)5_(320) 10 25 36 +80 31 =d) _(1) (3) _(2) (2 8) +3125 =6. Resuelvausandopropiedadesdelasoperacionesdepo-tenciacion y radicacion:a)_49_12_49_13_49_23=b)___ 27125_2350__32=c)_1 75100_12+_814_12_8125_13=d)___1634 +___12564_2330__32___1=7. Resuelva usando propiedades de logaritmo:a) log2(4 16)3=b) log2(25 4) =c) log2(8 2) =d) log23162 =e) log4__3142__=f ) log_10 _11000, 1__2=50 Tatiana Gibelli1.4. AplicacionesLosn umerosylasoperacionesquesepuedenrealizarconellos, tienen m ultiples aplicaciones a la vida cotidiana, en espe-cial para cuanticar (contar, medir, etc).Repasaremos brevementeunconceptodemuchautilidadcuando se trata de cuanticar: el porcentaje.1.4.1. PorcentajeRazonLa razon entre dos n umeros reales a y b (b = 0), denomina-dos antecedente y consecuente respectivamente, es el cociente:abLa razon es utilizada habitualmente para comparar dichas can-tidades.DeniciondeporcentajeEl porcentaje es una razon cuyo valor es comparado con100 como referencia; es decir, indica que porcionde100 re-presenta dicha razon. Es decir:x% indicax100, es decir,x de cada 100Ejemplo:Supongamosqueunestudiosobreunapoblaciondeconejosdicequeel23 %deellospadeceunadeterminadaen-fermedad. Esto quiere decir que si el total es 100 conejos, 23 deellos padecen la enfermedad.Introduccion al lenguaje de las matematicas 51PorcentajedeunacantidadCuando se habla de porcentaje de una cantidad, lo que seindica es cuanto representa dicha cantidad en 100. Es decir:x% dea es:x100 aEjemplo: En un curso se sabe que aprobo el 60 % de los alumnos.Si el n umero total de alumnos es 35, cuantos de ellos resultaronaprobados?.En este caso se quiere calcular el 54 % de 35:60 % de 35 =60100 35 = 21Por lo tanto resultaron aprobados 21 alumnos.PorcentajedeincrementooreduccionCuando se habla de porcentaje de incremento (o reduccion)de una cantidad,lo queseindica es cuanto mas(o menos)esesta respecto del valor original.La forma de calcular cada uno es:Porcentaje de incremento:x% de aumento dea es: a +x100 a = a _1 +x100_Porcentaje de reduccion:x% de reduccion dea es: a x100 a = a _1 x100_Ejemplo: Supongamosqueunartculoquecostaba$340fuerebajado un 15 % cual es el costo actual?.El costo actual del artculo, aplicado el 15 %de reduccion sera:340 x100 340 = 340 _1 15100_= 340 0, 85 = 289Luego del descuento, el artculo costara $ 289.52 Tatiana Gibelli1.4.2. Ejercitacion1. Una persona compro de contado un producto que costaba$ 350 (precio de lista). Por las caractersticas de la ope-racion (pago contado) le otorgaron un descuento del 7 %.Cuanto es lo que realmente pago?2. Jorgepidiouncreditopor$1500. Lodevolveraen18cuotasde$194. queporcentajedeinterespagaraalterminar de pagar las cuotas? Que monto representa?3. El 30 %delosalumnosingresantesaciertacarrera, nohancompletadoladocumentacioncorrespondienteasumatriculacion. Sabiendoquelosalumnosquehanregu-larizado el tramite de inscripcion/matriculacion son 350,determinar la cantidad total de alumnos ingresantes a lacarrera referida.4. El 15 %delosalumnosingresantesalaUniversidadyahan iniciado carreras universitarias en otras instituciones.Deellos,el25 %completoelprimera nodecursadasenlas mismas.a) Que porcentaje del total de los alumnos inscriptosrepresentan los que han completado un a no de estu-dios en otras instituciones?b) Sabiendo que los alumnos que comenzaron estudiosenotrasuniversidadesson24,determinarlacanti-dad de alumnos ingresantes.5. Un comerciante compra un objeto a $ 150. Lo pone a laventaincrementandoestevalorun30 %. Posteriormen-terebajaeste ultimovalorenun20 %. Porcuantolovendio nalmente? Que porcentaje de benecio obtuvo?Captulo2ExpresionesalgebraicasEn aritmetica, las cantidades se representan mediante n ume-ros con valores determinados, en cambio, en algebra, las canti-dades se representan mediante letras, que pueden tomar cual-quier valor que se les asigne.Sibienlaaritmeticasurgiodelanecesidadquetenanlospueblos primitivos demedir el tiempoycontar sus posesio-nes, el origendel algebraesmuyposterior. Lautilizaciondeletras dentro del ambiente matematico es muy antigua, ya quelos griegos y romanos las utilizaban para representar n umerosbiendeterminados. Sinembargo, el algebrasurgecuandolosmatematicos empiezan a interesarse por las operaciones que sepuedenhacerconcualquiern umero, masqueporlosmismosn umeros. El grandesarrolloexperimentadoporel algebrasedebio, sobre todo, a los matematicos arabes y, muy en particu-lar, a Al-Khowarizmi (Siglo IX d.C.). El libro Kitab al-jabr waal-muqabalahfue su obra mas importante y parte de su ttulodio nombre a esta rama de la matematica.En este captulo, se presentan los distintos tipos de expre-siones algebraicas con que se trabaja usualmente y como operarcon ellas.5354 Tatiana Gibelli2.1. Conceptosbasicos2.1.1. DenicionesUna expresion algebraica es una expresion en la que serelacionan letras con constantes (n umeros reales), vincu-ladas entre s por un n umero nito de operaciones de adi-cion, sustraccion, multiplicacion, division, potenciacion yradicacion.Ejemplos:x2+ 2xy; 2a + a2b3ynm2mn2+ 1.Sellamanvariablesalasletrasqueguranenlasex-presionesalgebraicas. Dichasletrasseutilizanparare-presentar n umeros reales en general, es decir, pueden serreemplazadas por cualquier n umero real.Si en una expresion algebraica se sustituyen las variablespor n umeros jos y se realizan las operaciones indicadasse obtiene un valor numerico de la expresion algebraicapara los valores de las variables dados.Ejemplo: El valor numerico de la expresion algebraica a22ax + 4 ena = 2 yx = 3 es 4 pues:222 2 3 + 4 = 4 12 + 4 = 42.1.2. ClasesExisten tres tipos de expresiones algebraicas:ExpresionAlgebraica Entera: cuandolas variablesestan afectadas solo por operaciones de suma, resta, mul-tiplicacion y potencia natural.Ejemplo:a2+ 3ab4+ b5.Introduccion al lenguaje de las matematicas 55ExpresionAlgebraicaFraccionaria: cuandoalgunavariable gura en el denominador de una fraccion o tienepotencia entera negativa.Ejemplo:x2+ xy22y2+ 1 3.Expresiones Algebraicas Irracionales: cuando las va-riables estan afectadas por operaciones de radicacion.Ejemplo: x + 2xy.2.1.3. Ejercitacion1. Escriba expresiones algebraicas con una variable, que re-presenten la situacion planteada:a) Tres n umeros enteros consecutivos.b) El producto de dos enteros pares consecutivos.c) Un n umero entero menos la mitad de dicho n umero.d) El dobledeunn umeromasel cuadradodedichon umero, menos un tercio de la suma anterior.e) Un quinto de un n umero entero, mas la mitad de sucuadrado disminuido en dos unidades.2. Encadaunadelassiguientesexpresiones, determineelvalor numerico correspondiente.a) 2x2+ ax b, six = 3;a = 2;b = 7.b) 3x3+axc+ 3, six = 1;a = 49;c = 7.c)35x3y2z, six = 12;y = 34;z =53.d)3xy2z, six = 8;y = 2;z =14.56 Tatiana Gibelli2.2. Expresionesalgebraicasenteras2.2.1. ClasesUna expresion algebraica entera puede clasicarse seg un eln umero de terminos que tenga:Un monomio es una expresion algebraica en que las uni-casoperacionesentrelasvariablessonel productoylapotencia de exponente natural. Se llama coeciente deunmonomioaln umeroqueaparecemultiplicandoalasvariables.Ejemplos: 3ax (con coeciente 3), 2xy2(con coeciente2) y 8ab3x (con coeciente 8).Un binomio es la suma o resta de dos monomios.Ejemplos: 3x2+ 2x;a35b.Un trinomio es la suma o resta de tres monomios.Ejemplos: 3x2+ 2x 5;a35b + ab.Unpolinomioeslasumaorestadecualquiern umerode monomios.Ejemplos: 3x2+ 2x;a35b + 3 ab + b5.2.2.2. OperacionesPara operar con expresiones algebraicas enteras, se utilizanlas propiedades vistas para las operaciones con n umeros reales.AdicionysustraccionSe efect ua la adicion o sustraccion de monomios semejantes(aquellos en los que aparecen las mismas variables con identicosIntroduccion al lenguaje de las matematicas 57exponentes) y el resultado es otro monomio semejante a ellos,quetieneporcoecientelasumaodiferencia, seg unel caso,deloscoecientesdelosmonomiosinvolucrados. Cuandolosmonomiosnosonsemejantes, laadicionosustraccionquedaindicada.Ejemplo: Calcule 2bx3x + bx3+ 3bx3+ 2x.Se agrupan los monomios semejantes y luego se suman los co-ecientes:2bx3x + bx3+ 3bx3+ 2x == (2bx3+ bx3+ 3bx3) + (x + 2x) == (2 + 1 + 3)bx3+ (1 + 2)x = 6bx3+ xMultiplicaciondemonomiosEl resultado es un monomio cuyo coeciente es el productode los coecientes de los monomios, y, los exponentes de cadavariable se obtienen sumando los exponentes correspondientes(aplicando propiedad:an am= an+m).Ejemplo: Calcule 4ax4y3 x2y 3ab2y3.4ax4y3 x2y 3ab2y3= (4 1 3)a(1+1)b2x(4+2)y(3+1+3)== 12a2b2x6y7MultiplicaciondepolinomiosSe aplica la propiedad distributiva de la multiplicacion res-pecto a la adicion (o sustraccion):a (b + c) = a b + a c y a (b c) = a b a c58 Tatiana GibelliEjemplo: Calcule (x2+ 2y2) (3x2y2+ 3).(x2+ 2y2) (3x2y2+ 3) == x2 (3x2y2+ 3) + 2y2 (3x2y2+ 3) == (3x4x2y2+ 3x2) + (6x2y22y4+ 6y2) == 3x4+ 3x2+ (6x2y2x2y2) 2y4+ 6y2== 3x4+ 3x2+ 5x2y22y4+ 6y2Observacion: existenalgunas multiplicaciones especiales queson las siguientes,Cuadradodeunbinomio:(a + b)2= a2+ 2ab + b2.(a b)2= a22ab + b2.Cubodeunbinomio:(a + b)3= a3+ 3a2b + 3b2a + b3.(a b)3= a33a2b + 3b2a b3.Multiplicaciondeexpresionesconjugadas:(a + b) (a b) = a2b2DivisiondemonomiosEl resultado es un monomio cuyo coeciente es el cocientede los coecientes de los monomios, y, los exponentes de cadavariableseobtienenrestandolosexponentescorrespondientes(aplicando propiedad:anam= anm).Ejemplo: Calcule 4ax4y32x2y.4ax4y32x2y = (4 2)ax(42)y(31)= 2ax2y2Introduccion al lenguaje de las matematicas 592.2.3. FactorizacionFactorizar una expresion es escribirla como producto de fac-tores. Los casos de factorizacion mas frecuentes son:Factorcom unConsiste en la aplicacion de la propiedad distributiva de lamultiplicacion con respecto a la adicion o sustraccion: a (b c) = a b a c. Es decir, el factor que se repite en los distintosterminos, se extrae multiplicando.Ejemplos: Factorizacion de la expresion dada:1. xy 2x2= x(y 2x).2. 25x2y2+ 10x315x5= 5x2(5y2+ 2x 3x3).Factorcom unengruposSe puede aplicar cuando la expresion tiene un n umero parde terminos, en los casos que es posible realizar una agrupa-cionconveniente. Seagrupanlosterminosquetienenalg unfactorcom un(engruposdeigual n umerodeterminos)yseaplica el caso anterior.Ejemplos: Factorizacion de la expresion dada:1. ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) == x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)2. 15mx + 6m + xy 2x 5x23my == (15mx + 6m3my) + (xy 2x 5x2) == 3m(5x + 2 y) x(y + 2 + 5x) == (5x + 2 y)(3mx)60 Tatiana GibelliFactorizacionporformulasnotablesParafactorizaralgunasexpresionesalgebraicasseutilizanciertas identidades, que denominaremos formulas notables. Ellasson:Diferenciadecuadrados:a2b2= (a b)(a + b).Trinomiocuadradoperfecto: a2+ 2ab + b2= (a + b)2. a22ab + b2= (a b)2.Cuatrinomiocuboperfecto: a3+ 3a2b + 3ab2+ b3= (a + b)3. a33a2b + 3ab2b3= (a b)3.Ejemplos: Factorizacion de la expresion dada:1. x416 = (x2)242= (x24)(x2+ 4) == (x222)(x2+ 4) = (x 2)(x + 2)(x2+ 4)2. 9m26m + 1 = 32m22 3m + 1 == (3m)22(3m)1 + 12= (3m1)23. m6+ 6m4n + 12m2n2+ 8n3== (m2)3+ 3 2(m2)2n + 3 22m2n2+ 23n3== (m2)3+ 3(m2)2(2n) + 3m2(2n)2+ (2n)3== (m2+ 2n)3Introduccion al lenguaje de las matematicas 612.2.4. Ejercitacion1. Realice las adiciones y sustracciones indicadas:a) 4a3a32+ a3b) 4xy35xy3+2xy3c)54ab 23ab + 15abd) 11x2y2+ x2y2+ 34x2y213x2y2e) 3xy2+ x2y 12xy2+ 22x2yf ) a3a2+ a 1 + a2a + 12. Realice las multiplicaciones indicadas:a) (3x2)(x3y)(a2x)b)_12x2y__35xy2__103 x3a_c) (2a)5(a2)(3a3)(4a)d) (am)(2ab)(3a2bn)3. Efect ue las siguientes divisiones:a) (6a4+ a315a2) 2a2b) (12x2y 3xy28x2y2) 3xyc) (3a4+ 4a3b 31a2b256ab3) 3a4. Realicelasoperacionesindicadasencadaunadelassi-guientes expresiones, reduciendo a terminos semejantes:a) 5a2+ 3c 5a(a c)62 Tatiana Gibellib)d2 + b + 23db 7d(3 + 2b)c) abc + 2ab27bc + a2b 2a(bc + b3)d) 15y3+ 3y 15y3+ y(y 3)e)125 xy +615x 145 x(x + y)f ) 3x(2x2xy) + x x(x + 5xy)5. Factorice las siguientes expresiones:a) 9a26ab + b2b) a24b2c) 2ax + 2bx ay + 5a by + 5bd) 4x10+ 12x5y2m + 9y4m2e) 8a3+ 36a2b + 54ab2+ 27b3f )19n2y4m6425a2b6g) a10a8a6+ a4h) m2+ 2mb + b2i ) x5x4+ x 1j ) 2xy 6y + xz 3zk) 8a312a2+ 6a 1l ) c44a4m) (m + n)26(m + n) + 9n) 16a224ab + 9b2 n) x2a2+ 2xy + y2+ 2ab b2o) 1 a2b4Introduccion al lenguaje de las matematicas 632.3. Polinomiosenunavariable2.3.1. IntroduccionAl plantear en terminos matematicos problemas de distintasareas (economa, fsica, ingeniera, biologa, etc.) suelen apare-cer expresiones algebraicas llamadas polinomios. Un polinomioes unaexpresionqueseconstruyepor unaomas variables,usando solamente las operaciones de adicion, sustraccion, mul-tiplicacion y exponentes numericos positivos. Una cuestion degraninteresestratardedeterminarlosceros(races)delospolinomios, es decir valores para los cuales se anulan. Muchasveces es posible traducir de alguna manera el problema originala hallar ceros de ciertos polinomios.Debido a su estructura simple, los polinomios tienen m ulti-plesusos.Enanalisisnumerico,paraanalizarotrasfuncionesreales mas complejas, se estudian polinomios que aproximanalafuncionoriginal (porejemplo, lamaquinadiferencial deCharles Babbage fue dise nada para crear valores de funcioneslogartmicas y diferenciales, evaluando aproximaciones polino-miales). Enalgebralineal el polinomiocaractersticodeunamatrizcuadradacodicamuchaspropiedadesimportantesdela matriz. En teora de los grafos el polinomio cromatico de ungrafo codica las distintas maneras de colorear los vertices delgrafo usando x colores.La determinacion de las races de los polinomios, esta entrelos problemas mas viejos de la matematica. Se conocen formulascerradas para el calculo de races de polinomios de hasta cuartogrado desde el siglo XVI (Gerolamo Cardano, Niccolo FontanaTartaglia). Pero las formulas para polinomios de quinto gradofueron esquivas para los investigadores durante un tiempo pro-longado. En1824, NielsHenrikAbel demostroquenopuedehaber formulas generales para los polinomios de grado 5 o ma-64 Tatiana Gibelliyores en terminos de sus coecientes (teorema de Abel-Runi).Este resultado marco el comienzo de la teora de Galois que seencarga de un estudio detallado de las relaciones entre las racesde los polinomios.Generalmente, paralasaplicacionessetratadeencontrarceros reales de los polinomios. Mas a un, debido a la estructurade los n umeros con los cuales trabajan las computadoras, los ce-ros que suelen buscarse son n umeros racionales que aproximansucientemente a una verdadera raz del polinomio.2.3.2. DenicionesUn polinomio en una variable con coecientes reales esuna expresion de la forma:p(x) = an.xn+ an1.xn1+ ... + a2.x2+ a1.x + a0,donde: an, an1, ..., a2, a1, a0sonn umeros reales llamadoscoecientes del polinomio. n es un n umero entero no negativo (puede ser cero)llamado grado del polinomio (sian = 0), y se notagr(p(x)) = n. x es la variable del polinomio.El coeciente an debe ser distinto de cero y se llama coe-ciente principal. Si el coeciente principal es 1 se diceque el polinomio es monico.El coecientea0 se llama terminoindependiente.Si el polinomioestaescritodeformaquegurantodosloscoecientes(inclusolosnulos)yconexponentesdeIntroduccion al lenguaje de las matematicas 65lavariableenordencreciente, sedicequeestaenfor-macompletacreciente. Analogamente, si guranto-dos los coecientes (incluso los nulos) y los exponentes dela variable estan en orden decreciente, se dice que esta enformacompletadecreciente.Ejemplo: Consideremos el polinomiop(x) = x2+ 7x5+ 4x.El grado del polinomio es:gr(p(x)) = 5.El coecienteprincipal es: 7.El terminoindependiente es: 0.La formacompletacreciente del polinomio es:p(x) = 0 + 4x + x2+ 0x3+ 0x4+ 7x5.La formacompletadecreciente del polinomio es:p(x) = 7x5+ 0x4+ 0x3+ x2+ 4x + 0.2.3.3. OperacionesConsideremos dos polinomios:p(x) = an.xn+ an1.xn1+ ... + a2.x2+ a1.x + a0q(x) = bm.xm+ bm1.xm1+ ... + b2.x2+ b1.x + b0.IgualdaddepolinomiosDos polinomios sonigualessi ysolosi tienenel mismogrado y sus coecientes coinciden. Es decir:p(x) = q(x) n = m yan = bn, ..., a1 = b1, a0 = b066 Tatiana GibelliEjemplo:Hallan umerosrealesa, byctalesqueelpolinomiop(x) = 3(x25) + 1 sea igual aq(x) = ax2+ (b 2)x + c.Luego p(x) = q(x) si y solo si 3x215+1 = ax2+(b2)x+c.Igualando los coecientes obtenemos:___Coef. dex2: 3 = aCoef. dex : 0 = b 2Termino indep. : 14 = cy resolviendo...___a = 3b = 2c = 14Luego, los polinomiosp(x) yq(x) son iguales sia = 3,b = 2 yc = 14.AdiciondepolinomiosLaadiciondedospolinomioserealizasumandoloscoe-cientesquecorrespondenalamismapotenciadelavariable.Es decir:p(x) + q(x) = (an + bn).xn+ ... + (a1 + b1).x + (a0 + b0)Observaciones:1. Se verica que gr(p(x)+q(x)) max(gr(p(x)), gr(q(x))).2. Lasustracciondepolinomiopuedeefectuarsecomounasuma, considerandop(x) q(x) = p(x) + (q(x)), dondeq(x) tiene los mismos coecientes que el polinomio q(x)pero con signo contrario.3. Para efectuar la adicion es conveniente escribir los polino-mios en forma completa y escribirlos uno debajo del otrocolocandoloscoecientesquecorrespondenalamismapotencia de la variable alineados.Ejemplo: Hallap(x) + q(x) yp(x) q(x) para los polinomios:p(x) = 2x2+ 3 yq(x) = x + 3x2+ 5.Introduccion al lenguaje de las matematicas 67Calculamos la suma:p(x) = 2x2+ 0x + 3+q(x) = 3x2+ x + 5p(x) + q(x) = 5x2+ x + 8Calculamos la diferencia:p(x) = 2x2+ 0x + 3q(x) = 3x2 x 5p(x) q(x) = x2 x 2MultiplicaciondeunaconstanteporunpolinomioLamultiplicaciondeunaconstantepor unpolinomioserealizaaplicandopropiedaddistributivadelamultiplicacionrespectoalaadicion(osustraccion), esdecir, multiplicandocada coeciente del polinomio por la constante. Es decir:c.p(x) = c.an.xn+ c.an1.xn1+ ... + c.a2.x2+ c.a1.x + c.a0Ejemplo: Calcula 3.p(x) parap(x) = 5x2+ 6x x3.Aplicando propiedad distributiva:3.p(x) = 3.(5x2+ 6x x3) = 15x2+ 18x 3x3MultiplicaciondedospolinomiosLamultiplicaciondedos polinomios serealizaaplicandopropiedad distributiva.Ejemplo: Hallap(x).q(x)parap(x)=3x3+ x + 5yq(x)=2x2+ 3.p(x) q(x) = (3x3+ x + 5) (2x2+ 3) == 3x3 2x2+ 3x3 3 + x 2x2+ x 3 + 5 2x2+ 5 3 =68 Tatiana Gibelli= 6x5+ 9x3+ 2x3+ 3x + 10x2+ 15 == 6x5+ 11x3+ 10x2+ 3x + 15Observaciones:1. Sip(x).q(x) = 0, entoncesgr(p(x).q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x)).2. Lapotenciadepolinomiossedenedelasiguientemanera:Sip(x) = 0 entonces:p(x)0= 1.Para todon IN:p(x)n= p(x).p(x)....p(x). .nveces.3. Tambien puede realizarse la multiplicacion escribiendo lospolinomiosenformacompleta,unodebajodelotro(re-sulta util colocar en primer lugar el polinomio que tienemayor potencia) y luego aplicar el algoritmo usado paramultiplicar n umeros.Ejemplo: Hallap(x)2sip(x) = x2x 2.Porladenicion, p(x)2=p(x).p(x). Efectuamosentonceslamultiplicacion:p(x) = x2 x 2p(x) = x2 x 2 2x2+ 2x + 4 x3+ x2+ 2xx4 x3 2x2p(x)2= x4 2x3 3x2+ 4x + 4Introduccion al lenguaje de las matematicas 69DivisiondepolinomiosDados dos polinomios p(x), llamado dividendo, y q(x), lla-mado divisor, tal que q(x) = 0 y gr(q(x)) gr(p(x)), entoncesexistendos unicospolinomiosc(x),llamadococienteyr(x),llamado resto tales que:p(x) = q(x).c(x) + r(x),y ademas,r(x) = 0 ogr(r(x)) < gr(q(x)).Observacion:Sielrestodedividirp(x)porq(x)esr(x)=0,sedicequeel polinomioq(x) divideap(x), oque p(x) esdivisiblepor q(x). Enestecasoel polinomiop(x)sepuedeexpresar comounproductode q(x) por el cociente c(x), esdecir,p(x) = q(x).c(x).Ejemplo: Hallael cocienteyel restodedividirel polinomiop(x) = 4x53x3+x+1 por el polinomio q(x) = 2x3+x2+3x.Efectuamos ladivisionaplicandoel algoritmodeladivisionusado para division de n umeros enteros:4x5+0x43x3+0x2+x +1| 2x3+ x2+ 3x 2x2x 44x5+2x4+6x3+0x2......0x52x49x3+0x2+x +12x4x33x2+0x...0x48x3+3x2+x +1 8x34x212x +00x3+7x2+12x +1El cociente de dividirp(x) porq(x) esc(x) = 2x2x 4 yel resto esr(x) = 7x2+ 12x + 1.70 Tatiana GibelliDivisionporunpolinomiodegrado1El cocientec(x) y el restor(x) de dividirp(x) por el poli-nomioq(x) = x a se puede calcular por la Regla de Runi.RegladeRuni:Seconstruyeunatabladetreslasyn+2 columnas (donde n es el grado del polinomio p(x)). En laprimer la, comenzando por la segunda columna, se colocan loscoecientes del polinomiop(x) en forma completa y decrecien-te. Enlasegundalayprimercolumnasecolocael n umeroa(inversodel terminoindependientedel polinomioq(x)). Elprimer coeciente del polinomio p(x) se escribe en la tercer laysegundacolumna. Luegosevancompletandolasegundaytercer la de la siguiente manera:Se multiplica el elemento que se coloco anteriormente enla ultima la por el n umeroa y se coloca el resultado enla siguiente columna de la segunda la.Sesumanlosn umerosdelaprimerysegundalaquecorresponden a la misma columna y se coloca el resultadoen la misma columna de la tercer la.Se reitera el proceso anterior hasta completar la tabla.anan1. . . a2a1a0a a.anan..cn1an1 + a.an. .cn2. . . . . . . . ...c0. . ...restoLuego:el cociente es:c(x) = cn1.xn1+ .... + c1.x + c0.el resto es:r(x) = k, dondek es el ultimo n umero obte-nido (tercer la, ultima columna).Introduccion al lenguaje de las matematicas 71Observacion: El resto r(x) de dividir p(x) por el polinomioq(x)=x atambienpuedeobtenerseutilizandoel Teoremadel resto.Teoremadel resto: El restor(x) de dividir un polinomiop(x) por otro de la formaq(x) = x a esr(x) = p(a).Ejemplos:1. Halla cociente y resto de dividirp(x) = x4+ 7x34x2porq(x) = x 3.Aplicando regla de Runi:1 7 4 0 03 3 12 24 721 4 8 24 72Luego, cociente esc(x) = x3+ 4x2+ 8x + 24 y el restoesr(x) = 72.Podemos vericar cual es el resto aplicando Teorema delresto:r(x) = p(3) = (3)4+7(3)34(3)2= 81+18936 = 722. Halla k IR tal que p(x) = x3+kx22x+6 sea divisibleporq(x) = x 3.Para que p(x) sea divisible por q(x) = x3 el resto de ladivision debe ser 0. Aplicando Teorema del resto:r(x) = p(3) = (3)3+ k(3)22 3 + 6 = 27 + 9kLuego, el restoesnulosi r(x)=27 + 9k=0yporlotantok = 3.72 Tatiana Gibelli2.3.4. RacesDenicionesUnn umeroresunarazdel polinomiop(x)si vericaquep(r) = 0.Observacion:PorTeoremadelResto, p(r)eselrestodedividir el polinomiop(x) porq(x) = x r. Por lo tantores raz si el resto de dividirp(x) porq(x) = x r es nulo(r(x) = p(r) = 0). Es decir, r es raz de p(x) si se vericaque q(x) = xr divide a p(x) (o equivalentemente, p(x)es divisible porq(x) = x r), y por lo tanto:p(x) = (x r).c(x),donde c(x) es el cociente de dividir p(x) por q(x) = xr.Por lo tanto, valen las siguientes equivalencias:r es raz dep(x) p(r) = 0 q(x) = x r divide ap(x) p(x) es divisible porq(x) = x r p(x) = (x r).c(x)Un n umeror es una raz con orden de multiplicidadk (k IN) del polinomiop(x) si se verican:1. (x r)kdivide ap(x), es decir:p(x) = (x r)kc(x).2. (x r)k+1no divide ap(x).N umeroderacesdeunpolinomioEl Teorema Fundamental delAlgebra se reere a la relacionentre el n umero de races y el grado del polinomio.Introduccion al lenguaje de las matematicas 73TeoremaFundamental delAlgebra: Un polinomio concoecientes reales de gradon tiene exactamenten races realesy/o complejas (contando cada raz tantas veces como su ordende multiplicidad).Observacion: Para hallar el orden de multiplicidad de una razse puede aplicar reiteradamente la Regla de Runi hasta queel resto sea no nulo.Ejemplo: Vericasi los n umeros a=2yb =1sonracesdep(x)=x5 4x3 8x2+ 32, yencasoarmativohallalamultiplicidad.Probamos sia = 2 es raz calculandop(a):p(a) = p(2) = 254 238 22+32 = 323232+32 = 0Por lo tanto a = 2 es raz de p(x). Calculamos el orden demultiplicidadaplicandoreiteradamenteRegladeRunihasta obtener resto no nulo:1 0 4 8 0 322 2 4 0 16 321 2 0 8 16 02 2 8 16 161 4 8 8 02 2 12 401 6 20 48Luego a = 2 es raz doble (ya que el resto al aplicar Reglade Runi la tercera vez es no nulo).Probamos sib = 1 es raz calculandop(1):p(b) = p(1) = 15413812+32 = 148+32 = 21 = 0Por lo tantob = 1 no es raz dep(x).74 Tatiana GibelliFactorizacionDado un polinomio p(x) de grado n con coeciente principalan, si se conocen todas sus races r1, r2,...., rn, se puede escribirel polinomio en forma factorizada de la siguiente manera:p(x) = an.(x r1).(x r2).....(x rn)Observacion: Si la raz r del polinomio p(x) tiene orden de mul-tiplicidadk, el factor correspondiente a dicha raz es (x r)k.Ejemplos:1. Dado el polinomiop(x) = 2x44x340x2+ 132x 90,halla la forma factorizada sabiendo que sus races son: 1(raz simple), 3 (raz doble) y 5 (raz simple).Comoseconocenlasracesyel coecienteprincipal, laforma factorizada es:p(x) = 2(x1)(x3)(x3)(x+5) = 2(x1)(x3)2(x+5)2. Dadoel polinomiop(x)=5.x.(x 2)3.(x + 1).(x 3)2halla las races y su orden de multiplicidad.En este caso el polinomio esta factorizado, por lo tanto,de cada factor podemos determinar las races y el ordende multiplicidad. Las races son:x = 0 con orden de multiplicidad 1.x = 2 con orden de multiplicidad 3.x = 1 con orden de multiplicidad 1.x = 3 con orden de multiplicidad 2.Introduccion al lenguaje de las matematicas 75CalculoderacesVeremos como obtener las races en algunas casos especiales:1. Polinomiodegrado1:p(x) = ax + b.La razr de este polinomio esr = ba,pues ese es el valor real en que se anula el polinomio.Ejemplo: Halla la raz dep(x) = 2x + 3.En este caso la raz es:r = 322. Polinomiodegrado2:p(x) = ax2+ bx + c.Las races se obtienen utilizando la formuladeresolu-cioncuadratica:r1,2 = b b24ac2a.El n umeroD =b2 4ac (que aparece en la formula co-moradicando)sellamadiscriminante. Deacuerdoalvalordeldiscriminantepodemosdeterminarlacantidadde races del polinomio cuadratico:SiD > 0, el polinomio tiene dosracesreales.SiD = 0, el polinomio tiene unarazrealdeor-dendos (raz doble).Si D < 0, el polinomio tiene dos races complejasconjugadas.Ejemplos:76 Tatiana Gibellia) Halla las races del polinomiop(x) = 3x2+ 3x 6.Resolviendo con la formula de resolucion cuadratica(a = 3,b = 3 yc = 6):r1,2 = 3 _324 3 (6)2 3=_3+816= 13816= 2.Porlotanto,lasracesdelpolinomiosonr1=1yr2 = 2.b) Halla las races del polinomiop(x) = x2+ 2x + 1.Resolviendo con la formula de resolucion cuadratica(a = 1,b = 2 yc = 1):r1,2 = 2 224 1 12 1= 2 02= 22= 1.Por lo tanto, la unica raz (doble) delpolinomio esr1 = 1.c) Halla las races del polinomiop(x) = x24x + 5.Resolviendo con la formula de resolucion cuadratica(a = 1,b = 4 yc = 5):r1,2 =4 _(4)24 1 52 1=4 42= 2 2i.Por lo tanto, las races del polinomio sonr1 = 2 + iyr2 = 2 i.3. Polinomiobicuadrado:p(x) = ax4+ bx2+ c.Las races se obtienen utilizando una sustitucion (o cam-biodevariable)parapoderexpresarel polinomiodadocomounpolinomiocuadratico(degrado2).Seprocedede la siguiente manera:a) Se usa la sustituciont = x2enp(x):p(x) = ax4+bx2+c = a(x2)2+bx2+c = at2+bt +cIntroduccion al lenguaje de las matematicas 77b) Se obtiene las races del polinomio p(t) = at2+bt +ccon la formula de resolucion cuadratica, obteniendolos valorest1 yt2.c) Se usa nuevamente la sustituciont = x2para hallarlas races:x2= t1 entonces:x = t1.x2= t2 entonces:x = t2.Porlotanto,lasracesdelpolinomiop(x)sonx =t1,x = t1,x = t2 yx = t2.Ejemplo: Halla las races del polinomio p(x) = 3x4+3x26.Usandolasustituciont =x2obtenemos el polinomio:p(t) = 3t2+ 3t 6.Enel ejemploanteriorvimosquelasracesdeestepo-linomiosont1=1yt2= 2. Usandonuevamentelasustituciont = x2se obtienen las races:x2= t1 = 1 entonces:x = 1 = 1.x2= t2 = 2 entonces:x = 2 = 2i.Luego el polinomio tiene dos races reales (r1 = 1 yr2 =1), y dos races complejas (r3 = 2i yr2 = 2i).4. Polinomiofactorizado:Las races del polinomio seran las races correspondientesacadaunodelosfactores. Si laexpresionnoestafac-torizada se puede factorizar previamente. Para esto debeobservarse:a) Si sepuedeaplicaralg uncasodefactoriza-cion: se factoriza el polinomio y luego se hallan lasraces de los factores.78 Tatiana GibelliEjemplo: Halla las races del polinomio p(x) = 2x35x26x + 15.Aplicando los caso de factorizacion de factor com unporgruposydiferenciadecuadrados,elpolinomiopuede expresarse:p(x) = 2x35x26x+15 = x2(2x5)3(2x5) == (x23)(2x 5) = (x 3)(x +3)(2x 5).Luego, las races de p(x) son las races de cada factor:r1 = 3,r2 = 3 yr3 = 5/2.b) Si el polinomiotieneterminoindependientenulo:puedefactorizarseextrayendolavariableco-mo factor com un, con la menor potenciak que apa-receenel polinomio: p(x) =xk.c(x). Unarazdeeste polinomio esr = 0, con orden de multiplicidadk.Ejemplo: Halla las races del polinomiop(x) = x56x4+ 9x3.Como el polinomio tiene termino independiente nulopuede extraerse x3como factor com un. Luego puedeaplicarse el caso de factorizacion trinomio cuadradoperfecto, porloqueel polinomiopuedeexpresarsefactorizado:p(x) = x3(x26x + 9) = x3(x 3)2.Luegolasracesdep(x)son: r1=0(raztriple)yr2 = 3 (raz doble).c) Si se conoce unaraz r del polinomio p(x):se halla el orden de multiplicidadkde la raz, y seexpresa al polinomio factorizado:p(x) = (x r)k.c(x)Introduccion al lenguaje de las matematicas 79Por lo tanto pueden hallarse otras races obteniendolas races del cocientec(x).Ejemplo: Halla todas las races del polinomio p(x) =3x416x3+29x220x +4, sabiendo que 2 es raz.Aplicamos Regla de Runi para hallar el orden demultiplicidad y obtener el cociente:3 16 29 20 42 6 20 18 43 10 9 2 02 6 8 23 4 1 02 6 43 2 5Por lo tanto,r = 2 es raz doble del polinomiop(x),que puede expresarse factorizado:p(x) = (x 2)2(3x24x + 1)Luego, las restantes races dep(x) son las races delcocientec(x)=3x2 4x + 1queseobtienenapli-cando la formula de resolucion cuadratica:r1,2 =4 424 3 12 3=4 46=4 26.Luego,r1 = 1 yr2 = 1/3.Porlotantolasracesdep(x)sonr=2(doble),r1=1(simple)yr2=1/3(simple). El polinomiopuede expresarse factorizado en forma completa:p(x) = 3(x 2)2(x 1)(x 1/3).80 Tatiana Gibellid) Si sesabequeel polinomiop(x) esdivisibleporotropolinomioq(x): se efect ua la division yse expresa el polinomio factorizado como el productodeq(x) por el cocientec(x), es decir,p(x) = q(x).c(x).Luego se hallan las races de los factores q(x) y c(x).Ejemplo: Halla todas las races del polinomio p(x) =x32x2x+2 sabiendo que es divisible por q(x) =x23x + 2.Si se efect ua la division:x32x2x +2| x23x +2 x +1 x33x2+2x0x3x23x +2 x23x +20x2+0x +0Se obtiene como cociente c(x) = x+1 (y resto nulo).Por lo tanto la factorizacion dep(x) es:p(x) = (x23x + 2)(x + 1).Luego las races de p(x) son las races de cada factor:q(x) = x23x + 2 y dec(x) = x 1.Las races deq(x) = x23x +2 sonr1 = 2 yr2 = 1(se obtienen por formula de resolucion cuadratica):r1,2 =3 _(3)24 1 22 1=_3+12= 2312= 1.La raz de dec(x) = x 1 esr = 1.Por lo tanto las races dep(x) sonr1= 2r2= 1 yr3 = 1 (todas races simples).Introduccion al lenguaje de las matematicas 812.3.5. Ejercitacion1. Indiquecualesdelassiguientesexpresionessonpolino-mios con coecientes reales (para ellos indique grado, co-eciente principal y termino independiente):a)15x2b) 3x25x91c) 5x1x + 2d) 2x33x2+ 1e) 7 1xf ) 3g) 2x+ 3x+1h) 3x 4x + x3i ) 5 2 + 332. Para cada uno de los polinomios indica grado, coecienteprincipal, termino independiente y escribe en forma com-pleta decreciente:a) p(x) = 3 + 5x5+ 6x3b) p(x) = 2 xc) p(x) = 0d) p(x) = x4+ 9e) p(x) = x2+ 1 + 4x2f ) p(x) = 3x43. Escribe un polinomio como ejemplo de lo pedido en cadacaso:a) binomio de primer grado.b) binomio de tercer grado.c) monomio de primer grado.d) trinomio de quinto grado.e) monomio de grado cero.f ) cuatrinomio de cuarto grado.4. Halleel valornumericodelossiguientespolinomios, enlos valores indicados:82 Tatiana Gibellia) p(x) = x3+ x2x + 1 six = 1.b) p(x) =12x4x2+ 2 six = 3.c) p(x) =2x28x 1 six = 2.d) p(x) =5x2x six = .5. Determine los valores reales a, b y c para que se veriquep(x) = q(x):a) p(x) = x3+ 5x21 yq(x) = (a + 1)x3+ bx2+ c.b) p(x) = x5+ 2x3 x yq(x) = (a + b)x5+ 2x3+bx4x + c.6. Considerando los polinomios p(x) = x53x2+2x y q(x) =2x4+ 5x2, efect ue las siguientes operaciones indicandoel grado del polinomio resultante:a) p(x) q(x).b) p(x) + 3q(x) + 5x2.c) p(x) q(x).d) q(x)2.7. Calcule, en cada caso, el cocientec(x) y el restor(x) dedividir el polinomiop(x) por q(x) (cuandoseaposibleaplique Regla de Runi). Utilizando estos resultados ex-prese los polinomios en la forma p(x) = q(x) c(x) +r(x):a) p(x) = x4+ 3x33x + 8 yq(x) = x3x2+ x 1.b) p(x) = 2x43x2yq(x) = 2x2+ 4x 1.c) p(x) = x4+ 2x33x24x + 1 yq(x) = x + 1.d) p(x) = x5yq(x) = x 1.8. Halleeldividendop(x)deuna division, sabiendo queelrestoesr(x)=3x2+ x, el cocienteesc(x)=x3yeldivisor esq(x) = x4.Introduccion al lenguaje de las matematicas 839. Al realizar la division entre (2x3+4x22x+a) y (x3) seobtuvo como resto 10. Cual es el termino independientedel dividendo?10. Determine si el polinomio p(x) = 4x55x4+1 es divisiblepor el polinomioq(x) = (x 1)2.11. Determine, sin efectuar la division, si p(x) es divisible porq(x) (utilize teorema del resto):a) p(x) = 2x7+ 3x6+ 18x3+ 29x + 10 yq(x) = x + 1.b) p(x) = x32x2+ x 2 yq(x) = x + 2.c) p(x) = x38 yq(x) = x 2.d) p(x) = x2+ 5x + 6 yq(x) = x 3.12. Determine cuales de los n umeros indicados son races delpolinomio dado:a) p(x) = 3x2+ 5x 2 y los valoresx = 2,x = 1 yx =13.b) p(x) = 2x3+x2x1 y los valores x = 2, x = 1yx = 12.13. Indiqueunpolinomiodegradomnimo,concoecientesreales tal que:a) tieneraces x1=0,x2=34, x3=23yx4=1(doble).b) tieneracesax1=2, x2= 3yesdivisibleporx2+ 4.84 Tatiana Gibellic) su coeciente principal es 3 y sus races son x1 = 0,x2 =24,x3 = 2 yx4 = 2.14. Hallelasrestantesracesdelospolinomiosdados, indi-cando en cada caso el orden de multiplicidad:a) p(x) = 2x5+ x4+ x2siendox = 1 raz dep(x).b) p(x) = 8x44x310x2+ 9x 2 siendox =12razdep(x).c) p(x)=3x4 9x3+ 9x2 3xsiendox=1razdep(x).15. Para los polinomios que se indica, halle todas sus racesy expreselos factorizados enI Q, IR y I C.a) p(x) = x3+ 2x2.b) p(x) = x6x2.c) p(x) = 3x312x.d) p(x) = x2x +14.e) p(x) = x52x3x2+ 2.f ) p(x) = x4+ 2x3+ x2.g) p(x) = x3+ 6x2+ 12x + 8.h) p(x) = x44.i ) p(x) = 5x310x2+ 5x 10.j ) p(x) = 2x2+ 162.k) p(x) = x4+ 15x2+ 36.l ) p(x) = 2x7+ 3x65x5.Introduccion al lenguaje de las matematicas 852.4. Expresiones algebraicas fraccionarias2.4.1. DominioUnaexpresionalgebraicafraccionariaesunaexpresionenla forma:ABdondeAyBsonexpresionesalgebraicasenteras.Unaexpre-sionalgebraicafraccionariaestadenidaparatodosaquellosvalores de las variables donde la expresion del denominador nose anula, es decir,B = 0. A estos valores se les llama dominiode la expresion algebraica.Ejemplo: Halla el dominio de la expresion:3aba b.Esta expresion esta denida para todos los n umeros realesa yb tales que el denominadora b sea no nulo, es decir:Dominio_3aba b_= {a, b IR : a b = 0}2.4.2. ExpresionesequivalentesDosexpresionesalgebraicassonequivalentessitienenelmismo valor numerico para iguales valores de las variables. Perodebeobservarseenel casodeexpresionesalgebraicasfraccio-narias que las variables no pueden tomar valores que anulan eldenominador, es decir, que solo pueden tomarse valores numeri-cos para las variables pertenecientes al dominio de la expresion.Por lo tanto, dos expresiones algebraicas equivalentes son igua-les solo para los valores del dominio de ambas expresiones.En forma analoga que para fracciones de n umeros enteros,si al numerador ydenominador deunaexpresionalgebraica86 Tatiana Gibellifraccionaria se lo multiplica (o divide) por el mismo polinomio,se obtiene una expresion algebraica fraccionaria equivalente.2.4.3. SimplicacionSimplicarunaexpresionalgebraicafraccionaria eshallar la expresion algebraica equivalente donde el numeradory el denominador no tengan factores comunes. Para simplicaruna fraccion de n umeros enteros, se dividen el numerador y eldenominadorporel maximocom undivisordeambos. Porlotanto, para simplicar fracciones algebraicas se debe:1. Factorizar numerador y denominador.2. Simplicar los factores iguales del numerador y denomi-nador.Observacion: No se pueden simplicar terminos (que estan su-mando o restando) en numerador o denominador. Solo se puedesimplicar si se trata de factores iguales (que estan multipli-cando) en el numerador y el denominador.Ejemplo: Simplica:2ab + 2a + 3b + 3b21(considerandob = 1).2ab + 2a + 3b + 3b21=2a(b + 1) + 3(b + 1)(b + 1)(b 1)==(2a + 3)(b + 1)(b + 1)(b 1)=2a + 3b 12.4.4. OperacionesLas operaciones conexpresiones algebraicas fraccionariassonequivalentesalasoperacionesconfraccionesden umerosenteros.Introduccion al lenguaje de las matematicas 87AdicionysustraccionSi las expresiones algebraicas fraccionarias de igualde-nominador, lafraccionresultantetieneel mismode-nominadorqueambas expresiones yel numerador seobtienesumando(orestando)losnumeradoresdelasexpresiones dadas. Es decir:AB CB =ACBSi las expresiones algebraicas fraccionarias tienen distin-to denominador para efectuar la adicion (o sustraccion)sedebenexpresarlasfraccionesdadascomootrasequi-valentes de igual denominador. Es decir:AB CD =(M B) A(M D) CM,donde Mes el denominador com un (m ultiplo com un me-nor deByD)que se obtiene:Factorizando ambos denominadores.Multiplicando todos los factores comunes y no comu-nes, elegidos con el mayor exponente con que guranen los denominadores de las expresiones dadas.Ejemplo: Calcula7x 22x 4x24x + 4.7x 22x 4x24x + 4 =7x 22x 4(x 2)2 ==7(x 2) (2x 4)(x 2)2=7x 14 2x + 4(x 2)2==5x 10(x 2)2 =5(x 2)(x 2)2 =5x 288 Tatiana GibelliMultiplicacionSiAB yCD son expresiones algebraicas fraccionarias entonces:AB CD =A CB DEjemplo: Calculax 14 x2 x + 2x21.x 14 x2x + 2x21 =(x 1)(x + 2)(4 x2)(x21) ==(x 1)(x + 2)(2 x)(2 + x)(x 1)(x + 1) =1(2 x)(x + 1)DivisionSiAB yCD son expresiones algebraicas fraccionarias entonces:AB CD =A DB CEjemplo: Calculamy + 2my 2m21y2+ 4y + 4m + 1.my + 2my 2m21y2+ 4y + 4m + 1=m(y + 2) (y + 2)(m + 1)(m1)(y + 2)2m + 1==(y + 2)(m1)(m + 1)(m1)(y + 2)2m + 1=(y + 2)(m + 1)(m + 1)(y + 2)2 =1(y + 2)Introduccion al lenguaje de las matematicas 892.4.5. Ejercitacion1. Simplicalassiguientesexpresionesalgebraicasfraccio-narias (usando propiedades de la potenciacion):a)72x4y348x2y5 =b)12a2b360a3b5x6 =c)147(a3)2b4c263a5b8c2=d)x4yz2x3y2z=2. Simplicalassiguientesexpresionesalgebraicasfraccio-narias(factorizandopreviamentenumeradorydenomi-nador):a)27(a22a)36a=b)2ax 4bx3ay 6by =c)16 a48 + 4a + 2a2+ a3 =d)45a230ab + 5b29a2b2=e)(a + 5)225a410a=3. Realice las adiciones y sustracciones indicadas:a)9x + 5x7x =b)2x 32x + 15 +7x + 82x + 15 =c)x + 68x2x + 512x=d)5m8n3m2n + 7m + 9n2n 3m5m15n2n 3m=e)a + 2a 2a 2a + 2 =90 Tatiana Gibellif )d + 1d 3 +dd + 36(d + 1)d29=4. Realice las multiplicaciones indicadas:a)2xy43a3b 5x3y7ab4=b)3(a b)2x16(a b)9x3=c)3 2a2 a a 22a 3 =d)8aa21a22a + 18a + 2a2=5. Efect ue las siguientes divisiones:a)35a318b3 14ab29b3=b)a3+ aa2aa3a2a22a + 1 =c)x4y4x2+ 2xy + y2x2+ y2x2+ 2xy + y2 =d)8a 20a24a + 410 4a4 a2=6. Realice las siguientes operaciones combinadas con expre-siones algebraicas y exprese en la forma mas simplicada:a)zz + z1 z1z3=b) y_x1+ x2x1y2_=c)3a2a 2b+6b22b a=d)_73a2 a3ba5_ 3a5=e)a + 3a 3 +a 3a + 31a 3 +1a + 3=Introduccion al lenguaje de las matematicas 912.5. Expresionesalgebraicasirracionales2.5.1. DominioUna expresion algebraica es irracional cuando las variablesestan afectadas por la radicacion. El dominio de estas expre-siones, son los valores de las variables para los cuales se puedeobtener un valor numerico real de la expresion algebraica. Parahallar el dominio de una expresion algebraica con radicales debetenerse en cuenta que las races de ndicepar tienen solucionreal cuando el radicandoespositivo. Es decir:na conn par, tiene solucion real sia 0Ejemplo: Halla el dominio de la expresion: 7ab +34a + 5b.Esta expresion esta denida para todos los n umeros realesa yb tales que el radicando de la raz de ndice par es positivo, esdecir:Dominio_7ab +34a + 5b_= {a, b IR : ab 0}2.5.2. OperacionesOperarconexpresionesalgebraicasirracionalesesequiva-lente a operar con expresiones de n umeros reales con radicales.Es decir, deben respetarse las propiedades de la potenciacion yradicacion.ExtracciondefactoresfueradelsignoradicalCuando las potencias de los factores del radicando son ma-yores al ndice de la raz, se pueden extraer factores fuera delsigno radical (es conveniente factorizar previamente el radican-do).92 Tatiana GibelliConsideremos un factor que tiene potencia con exponente my esta afectado por una raz de ndicen, conm > n. Entoncessepuederealizarladivisionenteradempor nyobtenerelcocientec y el restor, tal quem = n c + r. Luego, aplicandolapropiedaddesimplicacion,seobtieneelfactorquequedafuera del signo radical y el que queda dentro:nam=nanc+r=n_(ac)n ar=n_(ac)nnar==_acnarsin es impar|a|cnarsin es parEjemplo: Extrae factores fuera del signo radical en3648x7t5.Factorizamos el n umero 648 y obtenemos: 648 = 23 34. Luego:3648x7t5=32334x7t5= 2 3 x2 t 33xt2= 6x2t33xt2AdicionysustraccionSe puede calcular la adicion o sustraccion de terminos quetienen como factor la misma expresion radical. Para identicarsi la expresion radical coincide es necesario extraer previamentefactores fuera del signo radical.El resultadodelaadicionosustracciondedos terminosquetienencomofactorlamismaexpresionradicalseobtieneextrayendo factor com un.Cuando los terminos no tienen como factor la misma expre-sion radical la adicion o sustraccion queda indicada.Ejemplo: Calcula5a 25a6+ 3525a.5a25a6+3525a =5a2a5a+325a =5a2a5a+65a == (1 + 6 2a)5a = (7 2a)5aIntroduccion al lenguaje de las matematicas 93MultiplicacionPodemos considerar dos casos:Si las expresiones radicales tienen raz con igual ndice: lamultiplicacion se realiza utilizando la propiedad:na nb =na b.Recordemos que dicha propiedad es valida solo sina IRynb IR.Si las expresiones radicales no tienen raz con igual ndice:se deben trasformar las mismas en expresiones equivalen-tes que tengan races de igual ndice. Para esto se aplicala propiedad de amplicacion:nap=nmapm.Estapropiedadesvalidasi a> 0osinap IRymesimpar.En los casos en que se puede aplicar dicha propiedad, lamultiplicacionexpresionesradicalesconracescondife-rente ndice, se obtiene de la siguiente manera:na mb =rarnrbrm=rarn brm.donder es el m ultiplo com un menor den ym.Ejemplo: Calcula3a 4a.Observemos que la operacion es valida sia > 0 (pues debe ser4a IR). Entonces, si a > 0, se busca el m ultiplo com un menorentre 3 y 4 (que es 12) y se aplican propiedades:3a 4a =34a443a3=12a412a3=12a4 a3=12a794 Tatiana Gibelli2.5.3. RacionalizaciondeldenominadorDadaunaexpresionalgebraicacuyodenominadorinvolu-cra radicales, se llama racionalizacion del denominador dedichaexpresional procesoporel cual sehallaotraexpresionalgebraica equivalente que no involucra radicales en el denomi-nador.Observacion: En algunas expresiones algebraicas que involucranradicales se puede racionalizar tambien el numerador, seg un seael casoyel objetivoquesedeseaalcanzar. El conceptoylosprocedimientos que se usan para racionalizar el numerador y eldenominador de expresiones algebraicas son analogos.Razn-esimaeneldenominadorPara eliminar la expresion radical con ndice de razn deldenominador se obtiene una fraccion equivalente a la dada mul-tiplicandonumeradorydenominadorporlaexpresionradicalque gura en el denominador agregando al radicando una po-tencia exponenten 1. Luego se aplica la propiedad:nan=_a sin es impar|a| sin es par,y se elimina la raz en el denominador.Ejemplos: Racionalizacion del denominador de cada expresion:1.12z =1 z2z z =z2z2=z2|z| =z2z, siz> 0.2.a3a =a 3a23a 3a2=a 3a23a3=a 3a2a=3a2Introduccion al lenguaje de las matematicas 95Adicionosustraccionderacescuadradasenel deno-minadorPara eliminar la raz del denominador se obtiene una frac-cion equivalente a la dada multiplicando numerador y denomi-nadorporlaexpresiondeldenominadorperocambiandoadi-cion por sustraccion o viceversa. Luego se aplica la propiedad:(a b).(a + b) = a2b2,y se simplica la raz del denominador.Ejemplo: Racionalizacion del denominador de la expresion:12 y =1 (2 +y)(2 y) (2 +y) =2 +y22(y)2 =2 +y4 y2.5.4. Ejercitacion1. Simplicalassiguientesexpresionesalgebraicasirracio-nales (usando propiedades de la potenciacion y/o radica-cion):a)_512x13_6=b)_z34z54_18=c)a14a12_a a12_13=d)by 4_b2yb36_by5=2. Extrae del radical todos los factores posibles:a)316a3m6=b)a3b5c6=c)5_32m15y7=d)27a5b7=96 Tatiana Gibellie)4_b3c10y9= f )3108a3b4=3. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones:a)46 + 246 346 =b) 28 + 318 550 =c) 53 + 448 312 + 427 =d)80 +45 68000 =e) 29n 54n + 4n =f )5a 125a6+ 35a =g)12z3+3z327z3=h)38z4+327z43381z4=4. Realice las multiplicaciones indicadas:a)2 48 =b) (47 1) (47 + 1) =c) (1+23) (143) =d) (1 +x 1)2=e) (x + 1 +x 1)2=5. Racionaliza el denominador de las siguientes expresiones:a)yx =b)a3b=c)2z333z2=d)x 33x 3 =e)x 3x 3 =f )x xx +x =g)x + xyx +xy =h)a3a2 + a=Captulo3EcuacioneseinecuacionesUnaecuacionesunarelaciondeigualdadentreexpresio-nes algebraicas, es decir, que involucra cantidades desconocidas(incognitas), que en general se designan por letras min usculasdelapartenal del alfabeto: x, y, zycantidadesconocidas(coecientes), que pueden designarse por letras min usculas ini-ciales del alfabeto:a,b,c. Esta notacion fue introducida por elmatematico Rene Descartes en 1637.En algunas situaciones se relacionan expresiones algebraicaspor medio de una desigualdad. Para dichas situaciones surge elconcepto de inecuacion.En este captulo se presentan las propiedades que se puedenutilizar en la resolucion de ecuaciones e inecuaciones en una va-riable y los principales casos que pueden presentarse, con ejem-plos de cada tipo y aplicaciones a la resolucion de problemas.Ademas se introduce la nocion de funcion a traves del conceptode relacion entre variables. Finalmente se estudian ecuacioneslineales con dos variables y sistemas con dichas ecuaciones.9798 Tatiana Gibelli3.1. Ecuacionenunavariable3.1.1. IntroduccionhistoricaCon respecto al desarrollo de metodos de resolucion de ecua-ciones, los primeros fueron los egipcios y los babilonicos (segun-do milenio antes de Cristo), cuyos trabajos evidencian que, engeneral, los resultados se obtienen por procedimientos empri-cos, lassolucionessonaproximadas, losproblemassurgendesituaciones concretas de ndole practica y no abundan las gene-ralizaciones. La civilizacion griega (500 a 200 a.C.) utilizo pro-cedimientos geometricos para resolver muchos problemas, entreellos la resolucion de ecuaciones de primer y segundo grado. Es-to se debera a la falta de practicidad del sistema de numeraciongriega. Los matematicos hind ues en sus trabajos de algebra secaracterizaron por la utilizacion de un lenguaje poetico y me-taforico. Entrelosaportesdeloshind uessese nalael usodecierto simbolismo, la introduccion del sistema posicional deci-mal, lautilizaciondel cerocomooperadorylaresoluciondealgunasecuacionesysistemasdeecuaciones.Losarabesesta-blecen lazos entre las diversas culturas usando algunas veces elmetodogeometricoheredadodelosgriegosoel metodoalge-braico de los hind ues para resolver problemas similares. Entrelas aportaciones de la cultura arabe fueron de gran importan-cia las del matematico Al-Khwarizmi (800 d.C.), cuya obra tuvouna inuencia muy signicativa en las matematicas occidenta-les3.1.2. DenicionesUna ecuacion es una expresion de igualdad (=) con unavariableoincognita. Cadaladodelaigualdadesunmiembrodelaecuacion, llamadosprimermiembroysegundomiembro.Introduccion al lenguaje de las matematicas 99Unasoluciondelaecuacionesunvalornumericojopara la variable, que satisface la igualdad. Notaremos conSal conjunto de soluciones de una ecuacion.Ejemplo:incognita o variable 3x + 6. .primermiembro= x + 10. .segundomiembroigualdadEl valor de la incognita x = 2 es una solucion de la ecuacion3x + 6 = x + 10 pues:3x + 6 = x + 103 2 + 6 = 2 + 106 + 6 = 1212 = 12Observacion: La denicion de solucion proporciona una formadevericarsi alg unvalorobtenidoesefectivamentelasolu-cion de la ecuacion. Por lo tanto, es recomendable, vericar lasolucion obtenida (por la aplicacion de cualquier metodo), re-emplazandoel valorobtenidoenlaecuacionycomprobandoque se verique la igualdad.3.1.3. PropiedadesLas siguientes propiedades se pueden utilizar para transfor-mar la ecuacion dada en otra equivalente (que tiene la mismasolucion):1. Propiedadcancelativa:a) Sia + c = b + c, entoncesa = b.b) Sic = 0 ya c = b c entoncesa = b.100 Tatiana Gibelli2. Propiedaduniforme:a) Sia = b, entoncesa + c = b + c.(si se suma el mismo n umero en ambos miembros dela igualdad, la igualdad se mantiene)b) Sia = b entoncesa c = b c.(si semultiplicanambosmiembrosdelaigualdadpor el mismo n umero, la igualdad se mantiene)Observacion: Recordar que la sustraccion (a b) se puede con-siderar como una adicion (a + (b)) y la division (a b) comouna multiplicacion (a 1b). Por lo tanto las propiedades anterio-res tambien pueden utilizarse en caso de sustraccion o division(en este caso el divisor debe ser no nulo).3.1.4. EcuacionlinealEl caso mas simple es la ecuacion lineal, que es de la formaax + b = cx + dParahallarlasolucionsetransformalaigualdadenotraequivalente, hastaobtener lasolucion(operandoalgebraica-mentemediantelaaplicaciondelaspropiedades).Elobjetivoes despejar (dejar sola en un miembro de la igualdad) la in-cognita.Ejemplo: Resolucion de1 x2+x3 =x + 26.1 x2+x3 =x + 2612 12x + 13x =16x + 2612x + 13x 16x =13 12Introduccion al lenguaje de las matematicas 10113x = 16x =_16__13_=12Solucion:x =12, es decir,S =_12_.3.1.5. EcuacionpolinomicaUn ecuacion polinomica es de la forma:p(x) = 0dondep(x) es un polinomio en la variablex.Lassolucionesdeunaecuacionpolinomicasonlasracesdel polinomio (ver calculo de races en 2.3.4).Ejemplo: Resolucion dex66x5+ 9x4= 0.Las soluciones de la ecuacion son las races del polinomio p(x) =x6 6x5+ 9x4. Factorizando dicho polinomio (primero extra-yendo factor com un y luego aplicando formula de trinomio cua-drado perfecto) se obtiene:p(x) = x66x5+ 9x4= x4 (x26x + 9) = x4 (x 3)2Luego, lasracesdel polinomiop(x)sonx=0yx=3. Porlo tanto, las soluciones de la ecuacionx6 6x5+ 9x4= 0 sonx = 0 yx = 3, es decir,S = {0, 3}.Observaciones:En algunos casos la ecuacion no esta dada en forma po-linomica (p(x) = 0), pero operando algebraicamente (apli-cando propiedades) se puede obtener un polinomio en un102 Tatiana Gibellimiembro de la igualdad y el otro miembro nulo.Ejemplo: Resolucion dex2= x + 2.Operando algebraicamente se obtiene la ecuacion polinomi-ca:x2x 2 = 0.Utilizando la formula de resolucion cuadratica, se obtie-nen los valores que anulan la expresion, que son: x1 = 1yx2 = 2.Soluciones:x = 1 yx = 2, es decir,S = {1, 2}.Si la expresion polinomica esta factorizada, al igualque para el caso de polinomios, los valores que anulan to-da la ecuacion, seran los valores que anulan cada factor.Por lo tanto, la solucion se obtiene resolviendo las ecua-ciones que surgen al igualar a cero cada factor.Ejemplo: Resolucion de 3.(x 2).(x + 5) = 0.3.(x 2).(x + 5) = 0 _x 2 = 0x = 2x + 5 = 0x = 5Soluciones:x = 2 yx = 5, es decir,S = {5, 2}.3.1.6. EcuacionracionalUn ecuacion con expresion racional es de la forma:p(x)q(x) = 0dondep(x) yq(x) son expresiones en la variablex.La solucion son valores del dominio de la ecuacion que ve-ricanlaigualdad. Porlotanto, lasolucionseobtienedelasiguiente manera:Introduccion al lenguaje de las matematicas 1031. Se obtiene el dominio de la ecuacion (descartando los va-lores que anulan el denominador).2. Se opera algebraicamente (usando propiedades) hasta ob-tener una ecuacion equivalente sin expresion fraccionaria.3. Se consideran como solucion solo los valores del dominiode la ecuacion.Ejemplo: Resolucion de5x 34 x2 =5 + x2 + x +x 32 xDominio de la ecuacion:x = 2 yx = 2.Resolviendo la suma de fracciones en segundo miembro:5x 34 x2=5 + x2 + x +x 32 x5x 3(2 x).(2 + x)=(5 + x).(2 x) + (x 3).(2 + x)(2 x).(2 + x)5x 3(2 x).(2 + x)=10 5x + 2x x2+ 2x + x26 3x(2 x).(2 + x)5x 3(2 x).(2 + x)=4x + 4(2 x).(2 + x)Aplicando propiedad cancelativa (six = 2 yx = 2):5x 3 = 4x + 45x + 4x = 4 + 39x = 7x =79Solucion:x =79, es decir,S =_79_.104 Tatiana Gibelli3.1.7. CasosespecialesCuando al resolver se obtiene una igualdad donde no gurala variable. En estos casos, debe analizarse la igualdad obtenida:Si es una igualdad valida: la solucion esx IR.Si es una igualdad novalida: no tiene solucion en IR.Ejemplos:1. Resolucion de 3x21 = 3.(x 1).(x + 1) + 2.3x21 = 3.(x21) + 23x21 = 3x23 + 23x23x2= 3 + 2 + 10 = 0Como se obtiene una igualdad valida (0 = 0) entonces lasolucion esx IR, es decir,S = IR2. Resolucion de 3.(2x + 1) 6.(x + 4) = 0.6x + 3 6x 24 = 021 = 0Como se obtiene una igualdad no valida (21 = 0),en-tonces la ecuacion no tiene solucion en IR, es decir, S = .3.1.8. Ejercitacion1. Indicar si los valoresx que se indican son solucion de laecuacion dada:a) 5x 8 = 2 + 10x; x1 = 1, x2 = 2.Introduccion al lenguaje de las matematicas 105b) x76x4x3+ 6 = 0; x1 = 1, x2 = 1.2. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 2x2x 3 = 0.b) x3+ 4x2+ 3x = 0.c) 5 4.(x 3) = x 2.(x 1).d)3x 72x + 1 =1415.e)x 13+ 4x + 357x8= 1 +x2 + 3x 910.f ) (x 1)2(x21) = 2.(1 x).g) (x + 2).(x 1) = 0.h) (3x + 4).(5 2x).x = 0.i )(8x2+ 4x).(2x 1)_x 12_.(x + 3)= 0.j )4xx 2 +6x + 2 = 4.k) 3 + 5 4x4x+ 12 = 0.l )2x22x3+ 8x2+ 2x = 2.m)x + 1x21 +2(x 1)2 =3x 1.n)12x 7 +13x 1 =5x 8(2x 7).(3x 1).106 Tatiana Gibelli3.2. Inecuacionenunavariable3.2.1. DenicionesUna inecuacion es una expresion de desigualdad (o ) conunavariableoincognita. Cadaladodela desigualdad es un miembro de la inecuacion, llamadosprimermiembro y segundomiembro.Una solucion de la inecuacion es un valor numerico jopara la variable, que satisface la desigualdad. NotaremosconSal conjunto de soluciones de una inecuacion.Ejemplo:incognita o variable 5x 8. .primermiembro> 2x + 1. .segundomiembrodesigualdadObservacion: En general existen muchos valores reales que veri-can la desigualdad. Es decir, la solucion de una inecuacion es,en general, un subconjunto del conjunto de n umeros reales paralos cuales se satisface la desigualdad (y se expresa usualmentecomo intervalo numerico).3.2.2. AnalisisdesignosConsideremos una expresion algebraicaP(x). Si la inecua-cion es de forma:P(x) >0: lasolucionsonlosvaloresparaloscualeslaexpresionP(x) es positiva.P(x) 0 entoncesa c b c.(si se multiplican ambos miembros de la desigualdadpor un n umero positivo, la desigualdad se mantiene)108 Tatiana GibelliSic < 0 entoncesa c b c.(si se multiplican ambos miembros de la desigualdadpor un n umero negativo, la desigualdad se invierte)Observaciones:Recordarquelasustraccion(a b)sepuedeconsiderarcomo una adicion (a+(b)) y la division (ab) como unamultiplicacion (a 1b). Por lo tanto las propiedades ante-riores tambien pueden utilizarse en caso de sustraccion odivision.Observemos que cuando se multiplica (o divide) en ambosambos miembros de la inecuacion debe tenerse en cuentael signodedichon umero(yaquesi espositivoladesi-gualdadsemantiene, perosi esnegativoladesigualdadse invierte). Por lo tanto no pueden multiplicarse am-bosmiembrosporunaexpresionquecontengaalavariableyaqueenesecasonoestadeterminadoelsigno de dicha expresion.3.2.4. InecuacionlinealUna inecuacion lineal es de la forma: ax+b < cx+d (u otradesigualdad: ,>, ).La solucion se obtiene despejando la incognita, respetan-do las propiedades anteriore