inecuaciones intervalos

Intervalos

En el Capítulo 1, estudiamos algunos subconjuntos del Conjunto de los Números Reales, entre estos vimos: el Conjunto de los Números Naturales, el Conjunto de los Números Enteros, el Conjunto de los Números Racionales y el Conjunto de los Números Irracionales. Estudiaremos a continuación otros subconjuntos del Conjunto de los Números Reales, a los cuales llamaremos intervalos.

Para esto es conveniente recordar que es posible establecer una correspondencia biunívoca, entre los puntos de una recta (recta numérica), y el Conjunto de los Números Reales.Así, para cada número real corresponde un, y sólo un, punto de la recta numérica, e inversamente cada punto de la recta numérica representa un, y sólo un, número real.

Definición

Sean y números reales tales que es menor que .Se llama intervalo abierto de extremos y , al conjunto cuyos elementos son los números reales que cumplen la condición de que:

Notación:

i.) El intervalo abierto de extremos y lo denotaremos por

ii.) Si y escribimos , por ejemplo, la expresión ,

significa que y .

De esta manera se tiene que:

El intervalo abierto de extremos y lo representamos geométricamente de la manera siguiente:

Definición

Sean y números reales tales que . Se llama intervalo cerrado de extremos y , al conjunto cuyos elementos son los números reales que cumplen la condición de que:

Notación:

i.El intervalo cerrado de extremos y lo denotaremos por

ii.Si y escribimos , por ejemplo, la expresión , significa

que y .


El intervalo cerrado de extremos y lo representamos geométricamente de la manera siguiente:

Observación: Note que en el intervalo abierto de extremos y no se incluyen extremos, mientras que en el intervalo cerrado se incluyen los extremos.

Definición

Sean y números reales tales que .Se llama intervalo semi-abierto de extremos y , "abierto" en y "cerrado" en , al conjunto cuyos elementos son los números reales que cumplen la condición de que:

Este intervalo lo denotaremos por:

Notación:

Si y escribimos


Geométricamente el intervalo semi-abierto, de extremos y , "abierto" en y "cerrado" en , lo representamos de la manera siguiente:

En forma similar se define el intervalo "semi-abierto" de extremos y , "cerrado" en

y "abierto" en , y se denota de la manera siguiente:

Geométricamente este intervalo se representa de la manera siguiente:

Definición

Sea un número real. El conjunto cuyos elementos son los números reales

tales que lo denotaremos por y lo representamos geométricamente de la manera siguiente:

El símbolo se lee "más infinito" así:

En forma similar:

i. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que , lo denotaremos

por y lo representaremos geométricamente de la manera siguiente:

Así:

ii. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que , lo

denotaremos por y lo representaremos geométricamente de la manera siguiente:

Así:

El símbolo se lee "menos infinito"

iii. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que , lo

denotaremos por y lo representaremos geométricamente de la manera siguiente:

Así:

Inecuaciones lineales con una incógnita

Definición

Sean , y constantes reales con . Se llama inecuación lineal o inecuación de primer grado con una incógnita a toda inecuación que tenga

alguna de las formas siguientes: , ; o

Para resolver algunas inecuaciones lineales usaremos el concepto de inecuaciones equivalentes. Para esto transformaremos la inecuación dada en otras equivalentes a la

original, hasta obtener una inecuación de alguna de las formas: o

; donde x es la incógnita y c es una constante.

Algunas transformaciones que se pueden usar para obtener inecuaciones equivalentes entre sí.

1. Permutación de miembros Se pueden intercambiar los miembros de una inecuación de acuerdo con las propiedades siguientes.

Sean y

i.

ii.

iii.

iv.

Ejemplo

a.

b.

c.

d.

Sumar una constante k a ambos miembros de la inecuación

Se puede sumar una constante k a ambos miembros de una inecuación de acuerdo con las propiedades siguientes.

Sean y , constante

i.

ii.

iii.

iv.

Por ejemplo

a.

b.

c.

d.

Multiplicar por una constante k positiva ambos miembros de la inecuación

Se puede multiplicar cada miembro de la inecuación por una constante k positiva de acuerdo con las propiedades siguientes.

Sean y , una constante positiva

i.

ii.

iii.

iv.

Ejemplo

a.

b.

c.

d.

Multiplicar por una constante k negativa ambos miembros de la inecuación.

Se puede multiplicar cada miembro de la inecuación por una constante k negativa de acuerdo con las propiedades siguientes.

Sean y , una constante negativa

i.

ii.

iii.

iv.

Ejemplo

a.

b.

c.

d.

Observación

Para resolver inecuaciones, además de las transformaciones enunciadas e ilustradas anteriormente, se pueden aplicar propiedades y algoritmos de la adición y de la multiplicación definidas en (conmutatividad, asociatividad, distributividad, etc.)

Veamos algunos ejemplos los cuales se resuelven usando algunas de las transformaciones anteriores.

Ejemplo Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones a.

b.

c.

d.

e.

f.

Solución

a.

Por lo que el conjunto solución de es

b.


c.


d.


e.


f.


Nota

En el proceso de resolución de inecuaciones no es necesario indicar todas las transformaciones que se realicen, en las inecuaciones que resolveremos en adelante, omitiremos escribir algunas transformaciones.


b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

Solución

a.


b.


c.


d.


e.


f.


g.


h.


i.


Ejercicios Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

En los ejemplos anteriores hemos resuelto inecuaciones en la cuales, después de haber realizado algunas transformaciones obtenemos una desigualdad de alguno de los tipos

, donde es la incógnita y es una constante real. Sin embargo al resolver inecuaciones, después de realizar ciertas transformaciones podemos

obtener una desigualdad numérica de alguno de los tipos , en estos casos el conjunto solución de estas inecuaciones se determina de acuerdo con las siguientes reglas.

Regla 1

Si en el proceso de resolución de una inecuación se obtiene una desigualdad numérica verdadera, entonces el conjunto solucón de de la inecuación original es el dominio de la incógnita.

Regla 2

Si en el proceso de resolución de una inecuación se obtiene una desigualdad numérica

falsa, entonces el conjunto solucón de de la inecuación original es el conjunto vacío .


b.

c.

d.

Solución

a.

Como esta desigualdad es verdadera entonces el conjunto solución de

en el dominio de la incógnita, en este caso

b.

Como esta desigualdad es verdadera entonces el conjunto solución de

en el dominio de la incógnita, en este caso

c.

Como esta desigualdad es falsa, entonces el conjunto solución de

es

d.

Como esta desigualdad es falsa, entonces el conjunto solución de

es

Ejercicios Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Inecuaciones en las que cada uno de sus miembros es o puede expresarse como un producto y el otro miembro es cero

Las inecuaciones de este tipo se resuelven aplicando la ley de signos de la multiplicación definida en el conjunto de los números reales, de acuerdo con las siguientes propiedades:

Sean ;

1. y o y

2. y o y

Ejemplo

Resuelva la siguiente inecuación:

Solución

Aplicando la propiedad 2 anterior se tiene que:

y o y

i.

Analicemos el caso y

En este caso se tiene que:

y

y

ii.

Analicemos el caso y

En este caso se tiene que:

y

y

La solución final será igual a la unión de las soluciones obtenidas en los casos (i) y (ii)o sea:

Nota:

El procedimiento usado anteriormente para resolver inecuaciones de este tipo es un poco largo y tedioso, por esta razón es que preferimos resolver este tipo de inecuaciones por medio de una "tabla de signos", en la cual usaremos dos resultados generales que se enunciaran posteriormente, pero antes resolveremos algunos ejemplos que son casos particulares de dichos resultados.

Ejemplo Para cada uno de los casos siguientes determine el intervalo en donde la expresión dada es positiva, y el intervalo en donde dicha expresión es negativa. a.

b.

c.

d.

Solución

a.

i.

es positiva si y sólo sí:

o sea:


ii.

es negativa si y sólo sí:

o sea:


En forma resumida se tiene:

b.

i.


o sea:


ii.


o sea:



c.

i.


o sea:


ii.


o sea:



d.

i.


o sea:


ii.


o sea:



Resultado 1

Si a y b son constantes reales tales que , y x es variable real, entonces se cumple que:

i.

ii.

En forma resumida podemos expresar este resultado en la "tabla" siguiente:

Resultado 2

Si y son constantes reales tales que , y es variable real, entonces se cumple que:

i.

ii.

En forma resumida podemos expresar este resultado en la"tabla" siguiente:

Ejemplo

Para cada uno de los casos siguientes, use los resultados anteriores para determinar el intervalo en donde la expresión dada es positiva, y el intervalo en donde es negativa.

a.

b.

c.

d.

Solución

De acuerdo con los resultados anteriores se tiene:

a.

i.

o sea:

es positivo si y sólo sí

ii.

o sea:

es negativo si y sólo sí


b.

i.

o sea:


ii.

o sea:



c.

i.

o sea:


ii.

o sea:



d.

i.

o sea:


ii.

o sea:



Ejercicios

Para cada uno de los casos siguientes use los resultados anteriores para determinar el intervalo en donde la expresión dada es positiva, y el intervalo donde es negativa.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ejemplo

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

a ) ch )

b ) d )

c ) e )

Solución

a.)

Por los resultados anteriores podemos determinar los intervalos en los cuales

cada uno de los factores , son positivos o negativos, lo cual se puede expresar en forma resumida en una tabla como la siguiente:

Los signos correspondientes al producto , se obtienen usando los

signos de los factores y la ley de signos para la multiplicación definida de , así obtenemos:

De esta última tabla puede observarse que el producto es negativo

si y solo si y por lo tanto el conjnto de solución la inecuación

es:

b.)

En forma similar al caso anterior obtenemos la siguiente tabla:

Los signos correspondientes al producto , se obtienen usando los

signos de los factores y la ley de signos para la multiplicación definida de , así obtenemos:

De esta tabla puede observarse que el producto es positivo si y

solo si y por lo tanto el conjunto solución de la

inecuación es:

o sea:

S =

Nota:

En los ejemplos (a)y (b) anteriores se ha explicado la forma en que se han construido cada una de las tablas correspondientes y también la forma de

determinar el conjunto solución de cada inecuación. En los ejemplos siguientes omitiremos la explicación en cuanto a la determinación del conjunto solución. El estudiante deberásaber justificar la construcción de dichas tablas, así como también el conjunto solución que se da:

c.)

S = ch.)

S =

d.)

S =

e.)

En el ejemplo anterior hemos resuelto inecuaciones en las cuales se involucra

alguno de los signos " " o " ", en el ejemplo siguiente el objetivo es resolver

inecuaciones en las que se involucre alguno de los signos " " o " "

Ejemplo


a) ch)

b) d )

c) e)

Solución:

a.)

En forma similar a los ejercicios resueltos en el ejemplo anterior formamos la siguiente "tabla"

De aquí sabemos que:

1.

2.

Por lo tanto: El conjunto solución de es o sea S = b.)

Una forma similar a los ejercicios resueltos en el ejemplo anterior formamos la siguiente "tabla"

De aquí sabemos que:

1.

2. Por lo tanto:

El conjunto solución de es

Nota:

En las inecuaciones que resolveremos a continuación no especificaremos la forma en que se obtiene el conjunto solución para cada una de ellas, el estudiante deberá justificar estos resultados.

c.)

Observación:

En esta inecuación, es un factor de la expresión , es positivo y no depende del valor de la variable x.

ch.)

Observación:

En esta inecuación, es un factor de la expresión , es negativo y no depende del valor de la variable x.

d.)

e.)

Ejercicios


1.

3.

5.

7.

9.

11.

2.

4.

6.

8.

10.

12.

Inecuaciones cuadráticas

Definición

Sean a, b, c constantes reales tales que . Sea x una variable real. Llamaremos inecuación cuadrática a toda inecuación en la cual uno de sus

miembros es una expresión de la forma y el otro miembro es cero.

Son inecuaciones cuadráticas:

a.) c.)

b.) ch.)

Al resolver este tipo de inecuaciones se pueden presentar dos casos.

Caso 1:

Consideremos como caso , aquel en el cual la expresión es factorizable (

). Para resolver estas inecuaciones se debe factorizar la expresión , para posteriormente aplicar el procedimiento usado para resolver las inecuaciones de los ejemplos anteriores (por medio de una ``tabla de signos")

Recuerde que si la expresión es factorizable entonces se cumple que:

Ejemplo


a ) b )

c ) d )

e ) f )

g ) h )

Solución:

a.)

Para la expresión se tiene:

es factorizable y además:

así:

Resolviendo esta última inecuación se tiene:

Por lo tanto el conjunto solución de es:

, o sea :

b.)



así:

Resolviendo esta última inecación se tiene:

Por lo tanto el conjunto solución de es:

o sea:

c.)



así:


Por lo que el conjunto solución de es:

o sea:

d.)


es factorizable, además:

así:



o sea:

e.)

Factorizando por factor común se tiene:

Resolviendo esta inecuación:

Por lo que el conjunto solución de es o sea : S =

f.)

Factorizando por factor común se tiene:



; o sea :

S = g.)

Factorizando por formula notable se tiene:


Por lo que :

h.)

Factorizando por formula notable se tiene:


Por lo que :

Caso 2:

Consideremos como Caso 2, aquel en el cual la expresión no es factorizable

( ). Para resolver estas inecuaciones usaremos el siguiente teorema:

Teorema

Sean a, b, c, constantes reales y x una variable ral tales que y

, entonces se cumple que:

i. Si entonces

ii. Si entonces

Demostración:

Anteriormente se demostró que:

; con y además si entonces

y por lo tanto:

i.

Si entonces o sea que :

si entonces

ii.

Si entonces o sea que :

si entonces

Ejemplo

Usando el teorema anterior resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

a.) b.)

c.) ch.)

d.) e.)

Solución:

a.)

En este caso, para la expresión ; se tiene:

y

como

el conjunto solución de

o sea: S =

b.)


y

como


es o sea: S =

c.)

En este caso, para la expresión ; se tiene: y

como


es o sea: S =

ch.)


y

como el conjunto solución de

es o sea: S =

d.)


y

como


es o sea: S =

e.)


y

como


es o sea: S =

Ejercicio


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

Inecuaciones polimoniales de grado mayor que

Definición

Llamaremos inecuación polinomial de grado mayor que , a toda inecuaición en la cual uno de sus miembros es un polinomio de grado mayor que , y el otro miembro es cero.

Ejemplo

Son inecuaciones polinomiales de grado mayor que :

a. b.

c. ch.

Para resolver inecuaciones polinomiales de grado mayor que , frecuentemente es necesario factorizar el polinomio que es miembro de la ecuación. Una vez factorizado dicho polinomio se aplicará alguno de los métodos estudiados anteriormente para resolver inecuaciones.

Ejemplo


a. b.

c. ch.

Solución

a.

Debemos tratar de factorizar el polinomio . Por división sintética se tiene que:

.

Ahora, factorizando por fórmula general se tiene:

Por lo que:

Así tenemos que:

Resolviendo ésta última:


; o sea:

S =

b.

Factoricemos el polinomio ; por división sintética se tiene que:

.

Ahora para tenemos que:

Como entonces NO es factorizable, pero como y (coeficiente de )por el teorema anterior tenemos que:

O sea , es positivo. .

Así tenemos que:

y podemos resolver esta inecuación de acuerdo con la información anterior así:


o sea:

S =

c.

Debemos factorizar el polinomio aplicando división sintética se tiene que:

(*).

y su vez

(**)

y para , tenemos:

Como , entonces no es factorizable, pero por el teorema anterior.

es negativo, . Así por (*) y (**)

y por lo tanto:

y por la imformación anterior podemos resolver esta inecuación así:

De aquí

S =

ch.

Factorizamos el polinomio ; por factor común:

(*)

Factorizando ; por división sintética:

(**);

y factorizando , por fórmula notable:

.

Así de (**) se tiene que:

y por (*) se tiene que:

y por lo tanto:

De aquí:

S=

Ejercicio


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Además de inecuaciones cuadráticas y de inecuaciones polinomiales de grado mayor que , podemos resolver algunas otras inecuaciones que son reducibles a inecuaciones cuadràticas, o bien a inecuaciones polinomiales de grado mayor que , aplicando las transformaciones estudiadas en este capitulo, y también las propiedades y algoritmos de las operaciones definidas en .

Ejemplo:


a.) b.)

c.) ch.)

Solución:

a.)

De aquí:

S=

b.)

Para se tiene:

y

=

=

=

Como , entonces:

Observe que no es factorizable y además es positivo

Por lo tanto el conjunto de solución de la inecuación (*), y por lo tanto de la inecuación original, es:

S=

ch.)

(*)

Factorizando , por agrupación se tiene:

o sea:

volviendo a (*) obtenemos:

Por lo que

S=

Ejercicio


1.) 2.)

3.) 4.)

Inecuaciones en las que uno de sus miembros es un cociente y el otro miembro es cero

En general estudiaremos en las páginas siguientes los tipos ; ; ;

en donde son polinomios con .

Para resolver este tipo de inecuaciones nos basaremos en las siguientes propiedades.

Propiedades:

Sean , con

1.

2.

3.

4.

De estas propiedades se puede deducir que si son polinomios con

, entonces:

1. Resolver

2. Resolver

3. Resolver

4. Resolver

Por lo anterior es que al resolver inecuaciones en las cuales uno de sus miembros es un cociente y el otro miembro es cero, usaremos tablas de signos tal y como si hizo para resolver inecuaciones, en las cuales uno de sus miembros es un producto y el otro es cero.

Ejemplo


a.) b.)

c.) ch.)

d.) e.)

Solución:

a.)

En este caso debe cumplirse que sea diferente de cero; pero

.

Por lo anterior, es diferente de cero sí y sólo si es diferente de , o sea

no pertenece al dominio de la incógnita.

La "tabla de signos "correspondiente a esta inecuación se obtiene así:

De aquí se tiene que el cociente es mayor o igual que cero si y sólo sí

.

Por lo que el conjunto solución de es S, donde

S=

Nota:

1. La doble linea vertical en , se utilizó para indicar que no pertenece al dominio de la incógnita.

2. no se incluye en el conjunto solución, por no pertenecer al dominio de la incógnita.

b.)

En este caso debe cumplirse que sea diferente de cero; pero

.

Por lo que es diferente de cero sí y sólo si es diferente de -1, o sea -1 no pertenece al dominio de la incógnita y por lo tanto tampoco pertenece al conjunto solución de la inecuación. La "tabla de signos "correspondiente a esta inecuación se obtiene así:

De aquí se tiene que el cociente es menor que cero si y sólo sí

.

Por lo que el conjunto solución de es S, donde

S=

Nota: 1. La doble linea vertical en -1, se utilizó para indicar que -1 no pertenece al dominio de la incógnita.

Las inecuaciones siguientes serán resueltas en una forma más resumida, omitiremos la explicación correspondiente a cada uno de los pasos involucrados, el estudiante debe saber justificar cada uno de dichos pasos.

c.)

Debe cumplirse que ,o sea , por lo que 4 no pertenece al dominio de la incógnita.

De aquí se tiene que:

S =

ch.)

Debe cumplirse que , o sea , por lo que y no pertenecen al dominio de la incóginita.


S=

d.)

Debe cumplirse que , o sea , por lo que y no pertenecen al dominio de la incógnita.


S=

e.)

Debe cumplirse que , o sea , por lo que y

no pertenecen al dominio de la incógnita.


S=

Ejercicio


1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5.

Ejemplo


a. b.

c. ch.

d. e.

Solución:

a.

En este caso 4 no pertenece al dominio de la incógita ; además debemos factorizar (si es posible)el numerador.

Aplicando fórmula general se tiene que;

Por lo que:


Por lo que el conjunto solución de: es S, donde:

S=

b.

En este caso 1 y 2 no pertenece al dominio de la incógita ; además debemos factorizar el numerador (si es posible). Por fórmula notable se tiene que;

Por lo que:



S=

c.

En este caso debemos factorizar el denominador si es posible. Por factor común se tiene que: el numerador.

Aplicando fórmula general se tiene que: y de aquí, como el denominador debe ser diferente de cero entonces debe cumplirse que:

Así se tiene:



S=

ch.

En este caso debemos factorizar el denominador, si es posible pero para

, se tiene:

y

Como , entonces no es factorizable en , además como

entonces , es positivo , por lo tanto, la tabla de signos correspondiente a:

es:


S=

d.

En este caso -4 no pertenece al dominio de la incógnita,además debemos factorizar el numerador, si es posible. Por factor común se tiene:

(*)

Aplicando fórmula general a se tiene:

Volviendo a (*) se tenemos:

Así:

Resolviendo esta inecuación se tiene:


S=

e.

En este caso -1 no pertenece al dominio de la incógnita, además debemos factorizar el numerador, si es posible.

Por factor común se tiene:

(*)

Aplicando formula general a , se tiene:

y

Como y , entonces es positivo y además no es

factorizable por lo que la factorización completa de es la indicada en (*)

Así:

Resolviendo este inecuación se tiene:

Por lo que

S=

Ejercicio


1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Aplicando las transformaciones estudiadas en este capitulo, y además los algoritmos estudiados para realizar operaciones con fracciones racionales (capítulo III), podemos resolver inecuaciones que se pueden reducir a una inecuación, en la cual uno de sus miembros es un cociente y el otro miembro es cero, como se ilustra en los ejemplos anteriores.

Ejemplo


a.) b.)

c.) ch.)

d.) e.)

f.) g.)

Solución:

Nota: En la solución de estas inecuaciones omitiremos la justificación de cada paso, dicha justificación debe ser brindada por el estudiante.

a.)


S =

b.)


S =

c.)


Inecuaciones en las que uno de sus miembros es un cociente y el otro miembro es cero (continuación).

d.


S =

e.


S =

f.


S =


Observe que es importante la restricción a pesar de que el factor correspondiente fue simplificado.

h.


Ejercicios

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

inecuaciones intervalos

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