Inecuaciones. Sistemas de

inecuaciones.

ÍNDICE.

1. Inecuaciones

2. Inecuaciones de primer grado con una incógnita

3. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita

4. Inecuaciones con una incógnita en forma de cociente

5. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas

6. Sistema de inecuaciones

7. Inecuaciones en valor absoluto

Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones.

Desigualdades algebraicas

• Una DESIGUALDAD ALGEBRAICA está formada por expresiones

algebraicas y un símbolo de desigualdad (< , > , ≤ , ≥ ).

• En el caso particular de que las expresiones algebraicas sean números,

decimos que es una DESIGUALDAD NUMÉRICA.

• Si la desigualdad algebraica, se cumple para todos los valores de las

variables, decimos que se trata de una DESIGUALDAD

ABSOLUTA, y en otro caso denominamos INECUACIÓN.

• Ejemplos:2

2

( 2) 0 es una DESIGUALDAD ABSOLUTA

( 2) 8 es una INECUACIÓN

x

x

Compatibilidad. Inecuaciones equivalentes• Una INECUACIÓN ALGEBRAICA es COMPATIBLE si tiene

solución, e INCOMPATIBLE si no la tiene.

• Ejemplo:

2

2 0 es una INECUACIÓN COMPATIBLE.

Pues se cumple para cualquier x 2

( 2) 0 es una INECUACIÓN INCOMPATIBLE

Pues se no se cumple para ningún valor real de x

x

x

• Dos INECUACIONES son EQUIVALENTES, si tiene las misma

solución.

• Ejemplo: 2 0 y 2 4

son INECUACIONES EQUIVALENTES,

pues ambas se cumplen para todo x > 2

x x

• Para resolver INECUACIONES algebraicas, utilizamos INECUACIONES

EQUIVALENTES lo mas sencillas posibles.

Reglas de transformación de inecuaciones• Para simplificar una desigualdad algebraica:

Ejemplo: 2(x - y) – 1 < 2 x + 2

quitamos paréntesis y denominadores si los hubiese

Ejemplo: 2x - 2y – 1 < 2 x + 2

y utilizamos las siguientes reglas:

1.- Si sumamos o restamos a ambos miembros de la desigualdad una

expresión algebraica, obtenemos una desigualdad algebraica equivalente:

Ejemplo (sumando - 2x + 1): - 2y < 3

2.- Si multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por un número

positivo, obtenemos una desigualdad algebraica equivalente.

3.- Si multiplicamos ambos miembros de la desigualdad por un número

negativo, invirtiendo la desigualdad de sentido obtenemos una

desigualdad algebraica equivalente :

Ejemplo (multiplicando por (- ½ ) ) : y > - 3/2

Inecuaciones de primer grado con una incógnita.• Una INECUACIÓN es lineal (o de primer grado) con una incógnita,

cuando podemos obtener una equivalente a una de estas cuatro :

a . x + b < 0; a . x + b > 0; a . x + b ≤ 0; a . x + b ≥ 0; a

0.

Si a > 0, estas inecuaciones tienen por solución

x < - b / a ; x > - b / a ; x ≤ - b / a ; x ≥ - b / a ;

Si a < 0, estas inecuaciones tienen por solución

x > - b / a ; x < - b / a ; x ≥ - b / a ; x ≤ - b / a ;• Ejemplo:

2 23 2 1; es equivalente a 3 0

3Cuya solución es: 1. ( 1, )

3

x x x x

x x

Representación de la solución en la recta real1

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.

• Una INECUACIÓN con una incógnita es cuadrática, cuando podemos

obtener una equivalente a alguna de las siguientes:

Si la ecuación

1º) no tiene raíces reales, la solución será ℝ ó

2º) tiene solamente una raíz doble r, la solución será ℝ ó ℝ - {r} ó {r} ó .

3º) tiene raíces r y s (suponemos r < s), la solución estará en algunos de los

intervalos

(-∞,r > ó < r,s > ó < s,+∞)

Donde < corresponde a ( ó [ y > corresponde a ) ó ], depende del signo de la desigualdad

2 2

2 2

0; 0;

0; 0; 0

ax bx c o ax bx c o

ax bx c o ax bx c a

2 0ax bx c

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.• Ejemplos:1.- Resolver x 2 + x – 6 < 0.

Como las raíces de la ecuación P(x) = x 2 + x – 6 = 0 son -3 y 2, Habrá que estudiar el signo de la expresión algebraica en cada uno de los intervalos

( - ∞ , -3 ) ó ( -3 , 2 ) ó ( 2 , + ∞ )probando con algún valor intermedio por ejemplo x=-4 , x=0 y x=3, se obtiene que

P(-4) > 0, P(0) < 0 y P(3) >0. Se obtiene como solución el intervalo (-3,2)

- 3 22.- Resolver 2 x 2 5 x - 3.

Como equivale 2x2 - 5x + 3 0 y las raíces de la ecuación P(x) = 2x2 - 5x + 3 = 0

son 1 y 3/2, Habrá que estudiar el signo de la expresión algebraica en

( - ∞ , 1 ) ó ( 1 , 3/2 ) ó ( 3/2 , + ∞ )que probando con algún valor intermedio por ejemplo x=0 , x=2 y x=4, se obtiene

que P(0) > 0, P(2) < 0 y P(4) >0. Se obtiene como solución (-∞,1] [3/2 ,+∞)

1 3/2

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.• Para resolver una INECUACIÓN cuadrática, de la forma:

Si r, y s son las raíces de la ecuación

Resolver la inecuación cuadrática, es equivalente a resolver la inecuación:

Que se puede resolver mediante un sistema de dos inecuaciones lineales con una incógnita, que se explica en Sistema de inecuaciones

2 2

2 2

0; 0;

0; 0; 0

ax bx c o ax bx c o

ax bx c o ax bx c a

2 0ax bx c

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0; 0;

0; 0;

a x r x s o a x r x s o

a x r x s o a x r x s

< >

£ ³

g g g g

g g g g

• Ejemplo:

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2 2 0, es equivalente a resolver la inecuación:

1 2 0

Y por tanto equivalente a resolver los sistemas de inecuaciones:

1 0 1 0

2 0 2 0

x x

x x

x xy

x x

+ £

+ £

ì ì£ ³ï ïï ïï ïí íï ï+ ³ + £ï ïï ïî î

g

Inecuaciones con una incógnita en forma de cociente.

(1) (2) (3) (4)

0 0 0 0' ' ' ' ' ' ' '

ax b ax b ax b ax bo o o

a x b a x b a x b a x b

• Para resolver un una INECUACIONES con una incógnita en forma de cociente de la forma:

Debemos resolver dos sistemas de dos ecuaciones de la forma

Que se puede resolver mediante un sistema de dos inecuaciones lineales con una incógnita, que se explica en Sistema de inecuaciones

• Ejemplo:

1 0 1 010, es equivalente a resolver los sistemas

2 2 0 2 0

x xxy

x x x

(1) (2) (3) (4)

0 0 0 0

' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0

0 0 0 0

' ' 0 ' ' 0 ' ' 0 ' ' 0

ax b ax b ax b ax b

a x b a x b a x b a x bo o o

ax b ax b ax b ax b

a x b a x b a x b a x b

Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.• Una INECUACIÓN LINEAL con dos incógnitas x e y, es aquella que se puede

reducir a otra de la forma:

a x + b y < c; a x + b y > c; a x + b y ≤ c; a x + b y ≥ c; a, b, c

Para representar gráficamente en el plano la inecuación, representamos en el

plano la recta: a x + b y = c• Y su representación gráfica en el plano es la región superior (si es > o ≥) o

inferior (si es < o ≤) limitada por dicha recta, que dependiendo de la

DESIGUALDAD, puede o no incluir a dicha recta.

• Ejemplo: Representar la inecuación x + y > 2.

Los valores de la región que están por debajo de

la recta x + y – 2 = 0, no cumplirán la ecuación,

pero si lo cumplirán los valores (x, y) por

encima de dicha recta

2

2

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita.

• Para resolver un SISTEMA de INECUACIONES lineal con una incógnita, resolvemos cada una de las ecuaciones lineales, y la solución, será aquella que se cumpla para todas las ecuaciones:

• Ejemplo:

2 1 3; tiene por solución , 4

5 2 ; tiene por solución , 5

Luego la solución del sistema es , 4

x x x

x x x

• Resolver una inecuación de un producto o un cociente de polinomios de 1º grado, equivale a resolver dos inecuaciones poniendo los símbolos de desigualdad adecuados para que se cumpla el producto o el cociente:

• Ejemplo:

10, es equivalente a resolver los sistemas:

2

1 0 1 0

2 0 2 0

x

x

x xy

x x

Sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.• Para resolver un SISTEMA de INECUACIONES lineal con dos incógnitas,

resolvemos cada una de las ecuaciones lineales, y la solución, será aquella que se cumpla para todas las ecuaciones:

• Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones

x – y 22 x + y 4

Teniendo en cuenta que la solución de la primera inecuación son aquellos valores de la región del plano que están por encima de la recta x-y-2 = 0, y la solución de la segunda inecuación son aquellos valores de la región del plano que están por encima de la recta 2 x +y – 4 = 0, la solución gráfica será

2

- 2

4

Inecuaciones de valores absolutos.

• Para resolver un una INECUACIONES con valores absolutos, resolvemos las ecuaciones sin valor absoluto necesarias para que se cumpla la desigualdad

• Ejemplo: Para resolver la inecuación| x + 2 | 1

como es equivalente a resolver la siguiente expresión- 1 x + 2 1

Tendremos que resolver el sistema de inecuaciones x + 2 - 1x + 2 1

Cuya solución es el intervalo [ -3 , - 1 ]

- 3 -1

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Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

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