INECUACIONES

Es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas, o tal vez nunca se verifica.

Inecuaciónysenyy

x2x

dDesigualdae

3

Conjunto Solución (C.S.) Ejemplos: 1) 2x + 1 > 7

x > 3 C.S. = 3 ; +

2) x2 + (x + 1)

2 + (x + 2)

2 + … + (x + 100)

2 + 3 > 0 C.S. = R

1

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1.Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una

misma cantidad el sentido de la desigualdad no varía.

Si a>b=> a c > b c

2.Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide

por una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no

varía.

Si a > b y c > 0

3. Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide

por una misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se

invierte.

4. Si a > b y c < 0cbca

bcac

//

2

5. Si de tres cantidades, la primera es mayor que la segunda y la

segunda mayor que la tercera, entonces la primera es mayor que la

tercera.

Si a > b y b > c a > b > c a > c

6. Si se suman miembro a miembro dos o varias desigualdades del

mismo sentido, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo

sentido.

Si a > b y c < d a – c > b + d

7 .Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido

contrario, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo

sentido que la desigualdad minuendo.

Si a>b y c < d a-c > b-d

8. Si se multiplica miembro a miembro dos o varias desigualdades del

mismo sentido cuyos miembros son positivos, como resultado se

obtiene una desigualdad, del mismo sentido.

Si a > b siendo b > 0 y c > d siendo d > 0 ac > bd

En consecuencia: Si a > b siendo b > O => an > bn3

9. Si se dividen miembro a miembro dos desigualdades de sentido

contrario, cuyos miembros son positivos, como resultados se obtiene

una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividiendo.

Si a > b siendo b > 0 y c < d siendo c > 0

10.Si los dos miembros de una desigualdad se eleva a una misma

potencia de grado impar, el sentido de la desigualdad no varía.

Si a > b ^ a2n+1>b2n+l

11.Si se eleva a una misma potencia par los dos miembros de una

desigualdad en la cual sus dos miembros son negativos, se obtiene

una desigualdad de sentido contrario.

Si a > b siendo

12.Si se eleva a una misma potencia par los miembros de una

desigualdad en la cual uno de sus miembros es positivo y uno

negativo, no se puede predecir el sentido de la desigualdad.

Si a > b siendo

13.Si a los dos miembros de una desigualdad se le extrae una misma

raíz de grado impar, el sentido de la desigualdad no varía.

Si a > b1212 nn ba

d

b

c

a

4

Punto Crítico

En la inecuación:

0Pó0Pó0Pó0P )x()x()x()x(

P(x) : Polinomios Los puntos críticos son las raíces de P(x), es decir:

0Pcríticopuntoes"" )x(

Ejemplo: P(x) = (x + 3)(x + 4)(x – 2) < 0 Puntos Críticos: -3 ; -4 ; 2 5

MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS

En la inecuación polinomial a(x – x1)(x – x2) …… (x – xn) > 0 1) Garantizar que coeficiente principal = a > 0; en caso contrario, multiplicar por -1. 2) Hallamos los puntos críticos y los ubicamos ordenados en la recta.

+ +

x n x 3 x 2 x 1......

)(POSITIVA

ZONA.S.C

0P

ó

0P:Si

)x(

)x(

)(NEGATIVA

ZONA.S.C

0P

ó

0P:Si

)x(

)x(

6

Ejemplos: Resolver las Sgtes. inecuaciones 1) x

2 – 5x + 6 0

(x – 2)(x – 3) 0 Puntos críticos: 2 ; 3

+ +

3 2 C.S. = 2; 3

2) (2 – x)(x + 5) < 0 Multiplicamos por (-1): (x – 2)(x + 5) > 0

+ +

2 -5

C.S. = - ; -5 2 ; +

7

INECUACIONES POLINOMIALES 1) INECUACION LINEAL

0a;0bax

RESOLUCIÓN

bax

)b(0)b(bax

0bax

b0

a

bx0aSi*

a

bx0aSi*

8

Ejemplo: a

2x + b < b

2x +a

Si: 0< a < b a – b < 0 Solución:

ba

1x

1x)ba(

)ba(x)ba)(ba(

)()(

INECUACIÓN CUADRATICA

0a;0cbxaxP 2)x(

Resolución:

1) PERFECTOCUADRADOTRINOMIO0

Donde: : discriminante = b

2 – 4ac

9

Ejemplos: 1. –4x

2 – 4x + 1 < 0

= 0 (2x – 1)

2 < 0 C.S. =

2. (2x – 3)2 > 0 C.S. = R

2

3

3. (-2x + 4)

2 0 C.S. = R

4. (-5x + 20)

2 0 C.S. = {4}

10

+ +

4 9

2) CRITICOSPUNTOSLOSDEMETODO0

Ejemplos: 1) x

2 – 13x + 36 < 0 (x – 4)(x – 9) < 0 C.S. = 4 ; 9

x -9 x -4

2) x2 – 2x – 2 0

= 12 > 0. Hallamos los puntos críticos: x2 – 2x – 2 = 0

31

2

122x

C.S. = - ; 1 3 1 + 3 ; +

+ +

3131

11

Resolución:

1)

Admisiblesv aloresdeConjunto

A.V.C : Q(x) 0

2) 2)x(

)x(

)x(Q

Q

P 0.Q

2(X)

0QP )x()x(

INECUACION FRACCIONARIA

0Q

P

)x(

)x(

12

Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones:

1) 03x

2x

. C.V.A. : x -3

. 22 )3x(0)3x(3x

2x

(x – 2)(x + 3) 0 C.S.* = -3 ; 2 . C.S. = C.V.A C.S.* C.S. = -3 ; 2

2) 0)3x(

)2x)(1x(

. x -3

+ +

-3 -1 2C.S. = -3 ; -1 2 , +

13

3. Encontrar el intervalo al que pertenece “x”

14

4. Encontrar el intervalo al que pertenece

“x”

15

5. Encontrar el intervalo al que pertenece “x”

16

INECUACION IRRACIONAL

Forma General: 0I )x(

Expresión algebraica irracional Ejemplo:

1x53x2;1x1x

RESOLUCIÓN: 1) Hallamos su C.V.A.

Ejm:

2xRx

Nn;22x1x n21n2

C.V.A. = 2 ; - >

17

6. Resolver: 1x5x4x2

Solución:

5/1x

01x5

0)4x(x

0x4x2

x - ; 4 0 ;

C.V.A = ;5

1

Operamos: 22

2 )1x5(x4x

24x2 – 14x + 1 > 0

(12x – 1) (2x – 1) > 0

;2

1

12

1;x ……….. ( )

C.S. = C.V.A. ( ) = ;2

1

18

7. Se desea contar cierto lote de vacunas, al hacerlo se conto de 4 en 4,

no pudiendo completar 23 grupos, cuando se hizo de9 en 9 se

completaron 10 grupos y quedo un sobrante ¿Cuántas vacunas tiene

el lote?

SOLUCIÓN

X = N de vacunas

En el intervalo X solo puede tomar un

valor en el conjunto de los números

enteros 19

8. Rubí dispone de S/.32.00 nuevos soles para asistir al cine con sus

primas, si compra entradas de S/.5.00 le falta dinero y si compra

entradas de S/.4.00 le sobra dinero. ¿Cuál es número de primas que

invito Rubí?

SOLUCIÓN:

Supongamos que el N de personas que asisten al cine son “x”

Si compra entradas de S/.5.00 le falta dinero

Si compra entradas de S/.4.00 le sobra dinero

De lo anterior se observa que “x” pertenece al intervalo

El único número entero en el intervalo es:

Por tanto se afirma que:

RESPUESTA: Rubí invito 6 primas

20

Tercer Año

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01) Sean:

A = {x R / x -2 v x 3}

B = {x R / -2 x 3} Hallar A U B

02) Del problema anterior, hallar A B

03) Si a + 3 0. calcular el mínimo valor de (a + 5) 04) Resolver le inecuación: x +8 < 3x + 4

05) Hallar el mayor valor de “x” verifica: 4x – 56 16 – 2x

21