ANALYTICKÁ GEOMETRIA

Vychádzame z definície orientovanej úsečky . Def : Usporiadaná dvojica bodov[A,B] je dvojica, v ktorej záleží na poradí. Bod A je začiatočný bod, bod B je koncový bod úsečky. Takúto úsečku nazývame orientovaná úsečka. A, B patria úsečke ) Zápis AB alebo .

Nulová orientovaná úsečka AA má začiatočný aj koncový bod v bode A.

Veľkosť orientovanej úsečky AB nazývame veľkosť úsečky AB. (|AB|=|AB| ) Veľkosť nulovej orientovanej úsečky je 0.

O nenulových orientovaných úsečkách AB,CD hovoríme, že majú ten istý smer , keď pol-priamky AB, CD majú ten istý smer .

Všetky orientované úsečky, ktoré majú ten istý smer a tú istú veľkosť znázorňujú (vyjadrujú ) ten istý vektor. Nulové orientované úsečky znázorňujú nulový vektor.

AB

Označenie vektora : v alebo .

Každá orientovaná úsečka AB, ktorá znázorňuje vektor v sa nazýva umiestnením vektora v.

Zápis :AB= B–A . Na základe tohoto môžeme definovať vektor.

Vektor je posunutie.

Na obrázku je kocka so štyrmi orientovanými úsečkami (AE,BF,CG,DH). Všetky predstavujú jeden a ten istý vektor .

Súčet vektorov : u + v je vektor , ktorý vznikne zložením posunutí u a v. Jeho umiestnením je uhlopriečka rovnobežníka, ktorého strany sú umiestnením vektorov u a v.

Rozdiel vektorov: v-u je vektor v+(-u)

Reálny násobok vektora: k .u je vektor ,ktorého veľkosť je |k|-násobok veľkosti vektora u . Pre k>0 má směr súhlasne rovnobežný s u , pre k<0 má směr nesúhlasne rovnobežný s u.

Sústava súradníc v priestoreDané sú vektory i, j, k ktoré majú umiestnenia OI, OJ, OK na troch rôznych priamkach, ktoré neležia v jednej rovine. Potom každému vektoru m = OM v priestore môžeme priradiť práve jednu usporiadanú trojicu [x, y, z] R3

tak, že m = xi + yj +zk . Ak sú OI, OJ, OK zhodné a navzájom kolmé, nazývame sústavu ortonormálna. Bod O je začiatok sústavy, os x = OI ,

os y = OJ , os z = OK . Zápis m = [x, y, z] Nech vektor v = AB = B – A, A [a1, a2, a3], B [b1, b2, b3 ] potom vektor v má súradnice b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3 .

Nech u = [u1, u2, u3], v = [v1, v2, v3], k R . Potom platí: 1.u = v u1 = v1 , u2 = v2, u3 = v3

2.u + v = [u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3 ]

3. –u = [–u1 , –u2, –u3 ]

4. k . u = [ku1 , ku2 , ku3 ]

Vektor –u je opačný vektor k vektoru u. Vektory u a v sú lineárne závislé ∃ k R k ≠ 0: u = k. v

Body A, B, C ležia na jednej priamke ∃ k R , k ≠ 0: u = k .v v = B – A

u = C – AVektor v je lineárnou kombináciou vektorov v1, v2......... vn ak platí:

v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn , kde a1 , a2 , ... an sú reálne čísla .

Pre operácie s vektormi platí :Pre každé tri vektori v , u , w a pre každé dve k, m z R platí :

u + v =v + u u + 0 =0 + u = u

u +(-v) = 0 u + (v +w) =(u + v) + w

-(u + v)= -u –v -(-u) = u

-(u -v) = -u +v 1.u = u

0.u =0 (k +m) . u =ku +mu

Veľkosť vektora u = [u1,u2,u3] v ortonormálnej sústave súradníc je nezáporné číslo 2

322

21 uuuu

Uhol vektorov : ak majú dva nenulové vektory u,v umiestnenia AB, AC, potom uhol BAC nazývame uhlom vektorov u,v.

Uhol nedefinujeme, ak aspoň jeden z vektorov je nulový .

Pre veľkosť uhla φ nenulových vektorov u,v platí :

1. φ <0°,180°>

2. vu

vu

.

.cos

Skalárny súčin vektorov .

Def. Ak sú u ,v dva nenulové vektory , ktorých uhol ma veľkosť , nazývame číslo u.v.cos skalárny súčin vektorov u, v a zapisujeme ho v tvare u.v .

Vlastnosti skalárneho súčinu : u .v= v .u

u .v= u1v1 + u2v2 + u3v3 u .v=0 keď u =0 alebo v =0 ,alebo ak u a v sú rôzne od 0,

potom u je kolmé na v

Vektorový súčin

Vlastnosti vektorového súčinu :Pre každé dva nenulové vektory u, v trojrozmerného priestoru platí :

1. ak v= k .u, k R tak u × v = v × u = 0

2. u × v = - (v × u)

Súradnice vektora w vypočítame podľa vzorca :

w =[u2v3 –u3v2, u3v1-u1v3, u1v2 –u2v1]

Vektorovým súčinom vektorov u a v z ktorých aspoň jeden je nulový nazývame nulový vektor.

Vektorovým súčinom nenulových vektorov u a v (v danom poradí) nazývame vektor w , ktorý má tieto vlastnosti :

1. W je kolmý na u a w je kolmý na v

2. Smer vektora w určíme pravidlom pravej ruky

3. Veľkosť vektora w je daná :|w|=|u|.|v|.sinφ ,kde φ je uhol vektorov u a v

Zápis : w= u х v

Parametrická rovnica priamky Nech p je určená bodmi A, B. Vektor s = B-A nazývame smerový vektor priamky p.

Rovnicu X =A + k.s ,kde k R, s ≠ 0 , nazývame parametrická rovnica

priamky , bod X je ľubovoľný bod priamky . Rozpíšeme ju do súradníc :

V rovine : x = a1 + ks1 v priestore: x = a1 + ks1

y = a2 + ks2 y = a2 + ks2

k R z = a3 + ks3 k R

Polpriamka AB má parametrické rovnicu X =A + k.s , k≥0 .

Polpriamka opačná k AB má parametrické rovnicu X =A + k.s , k R0– .

Úsečka AB má parametrické rovnicu X =A + k.s , k 0,1 .

Všeobecná rovnica priamky v rovine

Rovnica tvaru ax +by +c =0 , kde aspoň jedno z čísel a, b je rôzne od nuly sa nazýva všeobecná rovnica priamky v rovine. Vektor n =[a,b] sa nazýva normálový vektor priamky. Je kolmý na priamku a teda aj na smerový vektor s.

Preto n.s = 0 s = [-b,a]. Každá priamka v rovine má nekonečne veľa všeobecných rovníc, ktoré sú nenulovými násobkami jednej z nich.

Smernicový tvar rovnice priamky Ak vo všeobecnej rovnici priamky ax + by +c = 0 je b ≠ 0, môžeme písať

y = –a/b. x – c/b. Nech k = – a/b a q = –c/b . Rovnicu priamky tvaru y = kx +q

nazývane smernicový tvar rovnice priamky, číslo k sa nazýva smernica priamky.

K = –a/b alebo k = tgα , α je uhol ktorý priamka zviera s kladnou poloosou x . Ak

α = 90° , tgα nie je definované, to znamená , že priamka rovnobežná s osou y

nemá smernicu .

Priamka daná bodom [x0,y0] a smernicou k má rovnicu: y – y0 = k . (x – x0)

Úsekový tvar rovnice priamky

Ak p ≠ 0 a q ≠ 0, rovnicu tvaru

X /p + y /q = 1 nazývame úsekový tvar rovnice priamky .Číslo p je úsek, ktorý vytína priamka na osi x a q na osi y.

Priamka v priestore je určená len parametrickou rovnicou .

Parametrická rovnica roviny

Body A,B,C určujú rovinu ak neležia na jednej priamke. Nech u = B – A ,

v = C – A . Ľubovoľné nezávislé vektory u, v roviny nazývame smerové vektory roviny. Rovnica X = A + t. u + k. v ; t, k R sa nazýva parametrická rovnica roviny , kde X je ľubovoľný bod roviny .

Všeobecná rovnica roviny

Všeobecná rovnica roviny je rovnica tvaru ax + by + cz +d = 0 , kde

[a,b,c] ≠ [0,0,0] .

Vektor n = [a,b,c] sa nazýva normálový vektor roviny a je kolmý na rovinu, teda aj na každé dva smerové vektory. Preto jedným normálovým vektorom roviny je vektorový súčin smerových vektorov u × v .

Každá rovina má nekonečne veľa všeobecných rovníc, ktoré sú nenulovými násobkami jednej z nich.

Vzájomná poloha dvoch priamok Vzájomná poloha dvoch priamok : p ( A, u ), q ( B, v ) , kde u, v sú smerové vektory priamok ( alebo normálové v rovine ) :

v = ku a pq = Ø ............rovnobežné rôzne

v = ku a pq ≠ Ø ............rovnobežné totožné

v ≠ ku a pq = {P}...........rôznobežné (prienik je práve jeden bod )

v ≠ ku a pq = Ø.............mimobežné (neležia v jednej rovine)

Vzájomná poloha dvoch rovín Nech rovina α: ax + by + cz + d = 0, β: ex + fy + gz + d = 0 , n [a,b,c], m [e,f,g] sú normálové vektory rovín α a β.

k R , k ≠ 0: n = km a d = kh ..................roviny sú totožné

k R , k ≠ 0: n = km a d ≠ kh ..................roviny sú rovnobežné a rôzne

∀ k R , k ≠ 0: n ≠ km .................................roviny sú rôznobežné

Vzájomná poloha priamky a roviny Priamka p (A, s) a rovina α: ax + by + cz + d = 0, n [a,b,c] je normálový vektor roviny a s je smerový vektor priamky.

s.n = 0 a pα ≠ Ø .....................priamka leží v rovine (p ⊂ α)

s.n = 0 a pα = Ø .....................priamka je rovnobežná s rovinou

s.n ≠ 0 .....................priamka je rôznobežná s rovinou (pα = {P})

Uhol dvoch priamok

vu

vu

.

.cos

Priamky p, q vytvoria dvojicu vedľajších uhlov. Uhlom priamok nazveme ten z oboch veľkostí, ktorá patrí do intervalu ⟨ 0°, 90°⟩ , označíme ho α . Veľkosť uhla dvoch priamok v rovine ale aj v priestore , počítame pomocou ich smerových vektorov. Nech smerový vektor priamky p je vektor u , smerový vektor priamky q je vektor v.

Ich uhol môže byť α alebo 180° – α. Platí cos α = cos(180° – α), preto uhol dvoch priamok vypočítame zo vzťahu :

V rovine môžeme použiť namiesto smerových vektorov vektory normálové.

Pre každé dve roviny a platí, že ich uhol α a sa rovná uhlu dvoch priamok, z ktorých jedna je kolmá na rovinu a druhá na rovinu . Priamka kolmá na rovinu má smerový vektor rovný normálovému vektoru roviny. Preto môžeme vypočítať uhol dvoch rovín pomocou ich normálových vektorov:

Uhol dvoch rovín

nn

nn

.

.cos

sn

sn

.

.sin

Môžeme ho určiť aj pomocou kolmice na rovinu. Priamky p a k (k je kolmá na rovinu) zvierajú uhol β, priamka p a rovina zvierajú uhol α. Platí α = 90°– β, sin α = sin(90°– β) = cos β. Uhol dvoch priamok už vieme vypočítať pomocou ich smerových vektorov. Smerový vektor kolmice je normálový vektor roviny. Preto uhol priamky a roviny vypočítame : kde n je normálový vektor roviny a s je smerový vektor

priamky.

Uhol priamky a roviny

Vzdialenosť bodu od priamky

22

21,ba

cbaaapA

Zápis: |A,p| je vzdialenosť bodu od päty kolmice vedenej daným bodom na danú priamku.

V rovine : Vzdialenosť bodu A [a1,a2] od priamky p:ax + by + c = 0 vypočítame:

V priestore: 1. spôsob: smerový vektor priamky je kolmý na AP kde P je päta kolmice vedenej bodom A na danú priamku s . AP = 0 a veľkosť vektora AP je vzdialenosť bodu A od priamky p .

2. spôsob: Bodom A položíme rovinu α p , nájdeme p α = {P}, vzdialenosť bodov A a P je hľadaná vzdialenosť |A,p|.(Veľkosť vektora u=P–A).

Vzdialenosť bodu od roviny

222

321,cba

dcabaaapA

Zápis: |A,p| je vzdialenosť bodu od päty kolmice vedenej daným bodom na danú rovinu. Nech A [a1,a2,a3] a rovina p:ax +by +cz +d = 0, potom vzdialenosť bodu od roviny vypočítame :

Počítať môžeme aj vzdialenosť dvoch rovnobežných priamok – úlohu prevedieme na vzdialenosť bodu od priamky.

Vzdialenosti dvoch rovnobežných rovín – úlohu prevedieme na výpočet vzdialenosti bodu od roviny.

Vzdialenosť priamky rovnobežnej s rovinou – počítame ako vzdialenosť bodu od roviny.