Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

M. Telingerová

Lineární útvary v rovině a prostoru

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Lineární útvary v rovině a prostoru

• přímka

• rovina

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Analytické vyjádření přímky v rovině

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Parametrický tvar

Obecný tvar

Směrnicový tvar

x = a1+ tu1

y = a2+ tu2

A = [a1,a2] bod ležící na přímce

)2,1( uups směrový vektor přímky

ax + by + c = 0

A = [x,y] bod ležící na přímce

),( banp normálový vektor přímky

y = kx + q

k - směrnice přímky (k = tg - úhel, který svírá přímka s osou x)q - úsek, který vytíná přímka na ose y

0t

0t

10 t

polopřímka AB

polopřímka opačná k AB

úsečka AB

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Analytické vyjádření přímkyv prostoru

),,( 321 uuups

Parametrický tvar

x = a1+ tu1

y = a2+ tu2

z = a3 + tu3

A = [a1,a2] bod ležící na přímce

směrový vektor přímky

0t

0t

10 t

polopřímka AB

polopřímka opačná k AB

úsečka AB

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Analytické vyjádření rovinyv prostoru

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

),,( 321 uuuu ),,( 321 vvvv

Parametrický tvar

x = a1+ tu1 + sv1

y = a2+ tu2 + sv2

z = a3 + tu3 + sv3

A = [a1,a2, a3] bod ležící v rovině

směrové vektory roviny

Obecný tvar

ax + by + cz + d = 0

A = [x,y, z] bod ležící v rovině

cban ,, normálový vektor roviny

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Vzájemná poloha dvou přímek v rovině

• rovnoběžné (vektory jsou LZ, žádný společný bod)• různoběžné (vektory jsou LN, 1 společný bod)• totožné (vektory jsou LZ, ∞ mnoho společných bodů)

Přímky mohou být:

LZ = lineárně závisléLN = lineárně nezávislévektory – směrové nebo normálové vektory

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Vzájemná poloha dvou přímek v prostoru

• rovnoběžné (vektory jsou LZ, žádný společný bod)• různoběžné (vektory jsou LN, 1 společný bod)• totožné (vektory jsou LZ, ∞ mnoho společných bodů)• mimoběžné (vektory jsou LN, žádný společný bod)

Přímky mohou být:

LZ = lineárně závisléLN = lineárně nezávislévektory = směrové vektory

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Rovnoběžné přímky

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Totožné přímky

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Různoběžné přímky

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Mimoběžné přímky

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Vzájemná poloha přímky a roviny v prostoru

• přímka je rovnoběžná s rovinou (žádný společný bod)• přímka má s rovinou 1 společný bod (1 společný bod)• přímka leží v rovině(∞ mnoho společných bodů)

Vzájemná poloha může být:

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Přímka je rovnoběžná s rovinou

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Přímka leží v rovině

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Přímka má s rovinou jeden společný bod

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Vzájemná poloha dvou rovin v prostoru

• roviny jsou rovnoběžné (vektory LZ, žádný společný bod)• roviny jsou různoběžné(vektory jsou LN, přímka společných bodů)• roviny jsou totožné(vektory LZ, ∞ mnoho společných bodů)

Vzájemná poloha může být:

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Roviny jsou rovnoběžné

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Roviny jsou totožné

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Roviny jsou různoběžné

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Odchylka dvou přímek

vu

vu

cos

u, v – směrové nebo normálové vektory přímek

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Odchylka dvou rovin

vu

vu

cos

u, v – normálové vektory rovin

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Odchylka přímky a roviny

vu

vu

sin

u – směrový vektor přímkyv – normálový vektor roviny

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Vzdálenost bodu od přímky

22

11,

)(

..

ba

cbbaav pA

21,aaA

0: cbxaxp

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Vzdálenost bodu od roviny

222

111,

)()(

...

cba

dccbbaavA

0: dczbxax 321 ,, aaaA

Šance pro všechny CZ.1.07/1.2.06/02.0012

Zdroje:

Mikulčák, J., za kolektiv: Matematické, fyzikální a chemické tabulky, Prometheus, Praha, 1988.