ANALYTICKÁ GEOMETRIE

LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

Mgr. Zora Hauptová

ROVNICE PŘÍMKY

OPVK 1.5 – EU peníze středním školám

CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti

VY_32_INOVACE_MA_3_12

Název školy Střední odborné učiliště Svitavy Nádražní 1083, Svitavy

Název šablony III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Předmět Matematika

Tematický celek Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině

Téma Rovnice přímky

Klíčová slova Parametrické vyjádření přímky, směrový vektor, obecná rovnice přímky, normálový vektor, směrnicový tvar rovnice přímky

Druh učebního materiálu

Prezentace (Microsoft PowerPoint)

Metodický pokyn Prezentace je určena pro žáky SOU 4. ročníku maturitního oboru mechanik seřizovač a mechanik seřizovač – mechatronik

Datum vytvoření 30. 8. 2013

Každé dva různé body A, B určují přímku AB.

Vektor u = B – A se nazývá směrový vektor přímky AB.

Každý vektor X – A, kde X je bod přímky AB můžeme vyjádřit jako násobek vektoru u.

Platí X – A = t . (B – A) X - A = t . u, t ∈ R

Rovnice

X = A + tu, t ∈ R

se nazývá parametrická rovnice nebo také parametrické vyjádření přímky určené bodem A a vektorem u. Proměnná t se nazývá parametr.

Body X, A a vektor u můžeme v parametrické rovnici vyjádřit pomocí souřadnic.

Pro body A [𝑎1; 𝑎2], X [𝑥; 𝑦] a vektor u = (𝑢1; 𝑢2) potom dostaneme parametrické vyjádření přímky v souřadnicích

𝑥 = 𝑎1 + 𝑡𝑢1,

𝑦 = 𝑎2 + 𝑡𝑢2 , 𝑡 ∈ 𝑅

Každá přímka v rovině 𝑂𝑥𝑦 se dá vyjádřit rovnicí

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0,

kde aspoň jedno z čísel 𝑎, 𝑏 je nenulové.

Tuto rovnici nazýváme obecná rovnice přímky.

Vektor n = (𝑎; 𝑏) se nazývá normálový vektor přímky.

Normálový vektor n je vektor kolmý k přímce 𝑝

Má-li přímka zvláštní polohu k osám 𝑥, 𝑦, zjednodušuje se její rovnice:

Poloha přímky vzhledem k souřadnicovým osám

Podmínka Rovnice přímky

přímka prochází počátkem

𝑐 = 0 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0

přímka je rovnoběžná s osou 𝑥

𝑎 = 0 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

přímka je rovnoběžná s osou 𝑦

𝑏 = 0 𝑎𝑥 + 𝑐 = 0

přímka splývá s osou 𝑥 (rovnice osy 𝑥)

𝑎 = 0, 𝑐 = 0 𝑦 = 0

přímka splývá s osou 𝑦 (rovnice osy 𝑦)

𝑏 = 0, 𝑐 = 0 𝑥 = 0

Přímka je dána parametrickým vyjádřením

Při převodu na obecný tvar upravujeme jednotlivé rovnice tak, abychom vyloučili parametr 𝑡.

Převod parametrického vyjádření přímky na obecnou rovnici:

𝑥 = −7 + 6𝑡 𝑦 = 3 + 2𝑡

Abychom vyloučili parametr 𝑡, vynásobíme druhou rovnici číslem −3

𝑥 = −7 + 6𝑡 −3𝑦 = −9 − 6𝑡

Rovnice sečteme a upravíme

𝑥 − 3𝑦 + 16 = 0

Pokud přímka daná rovnicí 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 není rovnoběžná s osou 𝑦 (tj. 𝑏 ≠ 0), můžeme rovnici psát ve směrnicovém tvaru

𝑦 = − 𝑎

𝑏 𝑥 −

𝑐

𝑏 𝑦,

který obvykle zapisujeme

𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞, kde 𝑘 = − 𝑎

𝑏 , 𝑞 = −

𝑐

𝑏

Rovnice

𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞

se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo 𝑘 se nazývá směrnice přímky.

Směrnice přímky je rovna tg 𝜑, kde 𝜑 je odchylka přímky od kladné poloosy 𝑥

k = tg 𝜑

Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, jsou-li buď obě rovnoběžné s osou 𝑦, nebo jsou obě různoběžné s osou 𝑦 a mají stejnou směrnici.

Přímka kolmá k přímce o směrnici k ≠ 0 má směrnici

k’ = − 1

𝑘

Kolouchová, Jana; Řepová, Jana; Šobr, Václav. Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU, 5. část. Dotisk 1. vydání. Praha: SPN, 1987, ISBN 14-402-87.

Mikulčák, Jiří; Charvát, Jura. Matematické, fyzikální a chemické tabulky a vzorce pro střední školy. Dotisk 1. vydání. Praha: Prometheus, 2007, ISBN 978-80-7196-264-9.

Hudcová, Milada; Kubičíková, Libuše. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Dotisk 2. vydání. Praha: Prometheus, 2006, ISBN 80-7196-318-6.

Matematický software GeoGebra, 4.2.310.