syntetická geometrie ii - cuni.czzamboj/documents/sg2/...syntetická geometrie ii apollóniovy...

Syntetická geometrie IIApollóniovy úlohy

Michal Zamboj

Pedagogická fakulta

2021www2.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/

Michal Zamboj Syntetická geometrie II

www2.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/

Apollónios z Pergy

Apollónios z Pergy, cca 3.-2. st. p.n.l


Apolloniovy úlohy

Jsou dány 3 ruzné kruhové útvary - kružnice, prímka(nekonecný polomer), bod (nulový polomer)Úkolem je sestrojit kruhový útvar, který se dotýká všechzadaných útvaru.

Doplnující pravidla• Bod se prímky nebo kružnice „dotýká“, když na nich leží.• Body v nekonecnu nepovažujeme za rešení.• Rovnobežné prímky se „dotýkají“ v nekonecnu,

ruznobežky ne.Pozn. Pokud bod leží na prímce, nebo kružnici, tak se nekdyúlohy nazývají Pappovy úlohy.

dodatecné materiály:http://apolloniovyulohy.webz.cz/


http://apolloniovyulohy.webz.cz/

Metody rešení

MnB množina bodu dané vlastnostiS stejnolehlostM mocnost bodu ke kružniciKI kruhová inverze• nekdy taky posunutí, dilatace a pod.


1. BBB

a) A,B,C kolineární - 1 rešení (prímka)b) A,B,C nekolineární - 1 rešení (kružnice opsaná) - MnB


2. ppp

a) p,q, r konkurentní - 1 rešení (bod)b) p‖q‖r - 0 rešeníc) p‖q ∦ r - 2 rešení - MnB, posunutíd) p,q, r vzájemne ruznobežné, nekonkurentní - 4 rešení

(kružnice vepsaná, kružnice pripsané) - MnB


3. BBp

a) A,B ∈ p - 1 rešení (prímka p)b) (A ∈ p) ∧ (B /∈ p) - 1 rešení - MnB

c) (A,B /∈ p) ∧ (←→AB‖p) - 1 rešení - MnB

d) (A,B /∈ p) ∧ (←→AB ∦ p) ∧ (AB ∩ p = ∅) - 2 rešení - M, KI

e) (A,B /∈ p) ∧ (←→AB ∦ p) ∧ (AB ∩ p 6= ∅) - 0 rešení


4. BBk

a) A,B ∈ k - 1 rešení (kružnice k )b) A ∈ k ,B /∈ k - 1 rešení - MnBc) A a B vne/ uvnitr k - 2 rešení - M, KId) A vne, B uvnitr - 0 rešení


5. Bpp

a) (p‖q) ∧ (A ∈ p) ∧ (A /∈ q) - 1 rešení - MnBb) (p‖q) ∧ (A ∈ pásu p,q) - 2 rešení - MnB + posunutíc) (p‖q) ∧ (A /∈ pásu p,q) - 0 rešeníd) (p ∦ q) ∧ (A ∈ p.q) - 1 rešení (bod A)e) (p ∦ q) ∧ (A ∈ p) ∧ (A /∈ q) - 2 rešení - S, KIf) (p ∦ q) ∧ (A /∈ p,q) - 2 rešení - S, KI


6. ppk

• p‖q a dále podle polohy kružnic a prímek (8 možností) 0-4rešení - MnB• p ∦ q a dále podle polohy kružnic a prímek (5 možností) 4,

6, 8 rešení - S


7. Bpk

• A ∈ p ∩ k - podle polohy prímky a kružnice (2 možnosti) 1,nebo∞ rešení• A ∈ p ∧ A /∈ k - podle polohy prímky a kružnice (3

možnosti) 1, nebo 2 rešení - S• A ∈ k ∧ A /∈ p - podle polohy prímky a kružnice (3

možnosti) 1, nebo 2 rešení - S• A /∈ p, k - podle polohy prímky a kružnice, a podle polohy

bodu a kružnice (7 možnosti) 0 - 4 rešení - KI, dilatace


8. pkk

• Sk = Sl - podle polohy prímky a kružnic (2 možnosti) 0nebo 4 rešení - MnB• Sk 6= Sl - podle polohy kružnic a prímky (0-2 prusecíky s

každou z kružnic) - 0-8 nebo∞ rešení - KI, dilatace(prevod na Bpk, BBp)


9. kkk

• Sk = Sl = Sm - 0 rešení• Sk = Sl - 0-8 rešení - MnB• Sk 6= Sl 6= Sm 6= Sk - 0-8 rešení - KI (prevod na pkk, nebo

na soustredné kružnice), dilatace (prevod na Bkk, BBk,BBB)


10. Bkk

• Sk = Sl - podle polohy bodu (4 možnosti) 0, 2 nebo 4rešení - MnB• Sk 6= Sl podle polohy kružnic (5 možností) a dále podle

polohy bodu 0-4 rešení - KI


Apolloniova kružnice

Veta (Apolloniova kružnice)

Necht’ jsou v rovine dány dva ruzné body A,B a císlo0 < λ 6= 1.Množinou všech bodu X dané roviny, pro než platí|AX | : |BX | = λ, je kružnice k sestrojená nad prumerem CD,kde C a D jsou body prímky

←→AB, splnující vztah

|AC||BC|

=|AD||BD|

= λ.




Dukaz (⇒)

1. najdeme body C,D na prímce←→AB, splnující |AC|

|BC| =|AD||BD| = λ.




Dukaz (⇒)

2. necht’ pro X platí |AX ||BX | = λ. Dokážeme, že X leží na

Thalétove kružnici nad prumerem CD .




Dukaz (⇒)

Bodem B vedeme rovnobežku s AX →4XYZ.




Dukaz (⇒)

4ACX uu∼ 4BCY ⇒ AXBY = AC

BC = λ = AXBX ⇒ |BY | = |BX |




Dukaz (⇒)

4ADX uu∼ 4BDZ ⇒ AXBZ = AD

BD = λ = AXBX ⇒ |BZ | = |BX |




Dukaz (⇒)

2^(BXC) + 2^(BXD) = 180⇒ X leží na Thalétove kružnici.




Dukaz (⇐)

Necht’ X leží na kružnici nad prumerem CD.




Dukaz (⇐)

Ze stejných trojúhelníku jak v „⇒“ platí |BY | = |BZ | a tedy Xleží na Thalétove kružnici se stredem B a polomerem|BY | = |BZ | = |BX |.




Dukaz (⇐)

Konecne λ =|AX ||BY |

=|AX ||BX |

.


syntetická geometrie ii - cuni.czzamboj/documents/sg2/...syntetická geometrie ii apollóniovy...

Documents