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  • Christina Birkenhake

    Algebraische Geometrie - Ein Einblick

    Die algebraische Geometrie ist eine faszinierende mathematische Disziplin. Da sie auf zahlreiche, erst im Hauptstudium gelehrte mathematische Gebiete aufbaut, gilt sie als äußerst schwierige und allenfalls nur für wenige Experten zugängliche mathematische Disziplin. In diesem Artikel soll ein Versuch gemacht werden, einen kleinen möglichst anschaulichen Einblick in diese Materie zu vermitteln. Der Artikel erhebt keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit. Für ein weiteres Studium der Inhalte sowie für die exakten Voraussetzungen der vorgestellten Sätze verweise ich auf die weitergehende Literatur, einige Standardwerke findet man in den Literaturhinweisen.

    Der Name algebraische Geometrie besagt, dass mit algebraischen Methoden Geometrie gemacht wird. Wir müssen also erst einmal grob klären, was Algebra und Geometrie bedeuten. Beide Begriffe sind aus der Schulmathematik bekannt. Die Algebra lässt sich recht einfach charakterisieren: Hier werden algebraische Gleichungen (also Po- lynomgleichungen) untersucht. Die Grundaufgabe der Algebra lautet: Lösen dieser algebraischen Glei- chungen. Nun, das lernt man ja schon in der Schule: Die Lösungen von linearen bzw. quadratischen Gleichungen sind gerade die Nullstellen der entsprechenden linearen bzw. quadratischen Funktionen. In Spezialfällen findet man mit der Schulmathematik auch die Lösungen (Nullstellen) von Gleichungen höheren Grades. In der algebraischen Geometrie werden dagegen algebraische Gleichungen als algebraische Räume, also als Kurven, Flächen etc., betrachtet. Damit kommen wir zu dem zweiten Begriff, der Geometrie. Wir alle haben eine Vorstellung von Geometrie, da Geometrie ja zum Schulstoff gehört. In der Schule wird euklidische Geometrie gelehrt. Hier untersucht man verschiedenste geometrische Figuren und lernt, deren Flächen bzw. Volumina zu berechnen. Aber auch das xy-Koordinatensystem, in dem Graphen von Funktionen dargestellt werden, ist ein Modell der euklidischen Geometrie. Die euklidische Geometrie wird in der Schule als Modell des uns umgebenden Raumes dargestellt. Der Alltag lehrt uns aber, dass die euklidische Geometrie nicht ausreicht, unsere Welt zu beschreiben. Nur ein Beispiel: Längen- und Breitengrade sind jedem Schüler z. B. aus dem Erdkundeunterricht oder vom Blick auf das GPS im Auto der Eltern bekannt. Hierbei handelt es sich um ein Koordinatensystem der zweidimensionalen sphärischen Geometrie. Dass es auf einer Kugeloberfläche Zweiecke, Dreiecke etc. gibt, und dass es die sphärische Trigonometrie gibt, um diese zu berechnen, ist leider ”kein Bestandteil heutiger mathematischer Schul- und Allgemeinbildung mehr” (vgl. [SS] p.253). Dies soll nur ein kleiner Hinweis darauf sein, dass es außer der euklidischen Geometrie noch viele weitere Geometrien gibt. Für die algebraische Geometrie stellt die projektive Geometrie den zweckmäßigen Rahmen dar. Man könnte sie sozusagen die Mutterdisziplin aller klassischen Geometrien nennen (vgl. [SS] p.445). Der vorliegende Artikel versucht, anhand von ebenen algebraischen Kurven, insbesondere der ellipti- schen Kurven, einige Methoden der algebraischen Geometrie anschaulich zu erklären. Dazu werden in Abschnitt 1 der reelle projektive Raum, Kegelschnitte und ebene Quadriken erklärt. Dieses sollte für interessierte Schüler der Sekundarstufe II verständlich sein. Abschnitt 2 diskutiert den komplexen pro- jektiven Raum und verschiedene Aspekte der elliptischen Kurven auf anschaulichem Niveau. Der dritte Abschnitt schließlich stellt einige klassische Sätze der Geometrie algebraischer Kurven und abelsche Varietäten für den tiefer interessierten Leser vor. Ab Abschnitt 2.5 werden vermehrt Begriffe aus der komplexen Analysis und der algebraischen Geometrie verwendet, die nicht alle an dieser Stelle erklärt werden sollen oder können. Die Definition oder Erklärung vieler dieser Begriffe ist aber für ein Verständnis des gesamten Textes nicht immer nötig. Begriffe oder Abschnitte, die in diesem Sinne einfach überlesen werden können, werden mit (zwVnn) ( = zum weiteren Verständnis nicht nötig) gekennzeichnet.

  • 4

    1. Kegelschnitte

    1.1 Der reelle projektive Raum

    Aus der Schule sind der ein-, zwei- und dreidimensionale euklidische Raum bekannt: die reelle Zahlenge- rade, auch mit R bezeichnet, die xy-Koordinatenebene R2 und das dreidimensionale xyz-Koordinatensystem als Modell für R3:

    x x

    y

    z

    x

    y

    R R2 R3

    Die Elemente dieser Räume sind im eindimensionalen Fall Zahlen x ∈ R, Zahlenpaare oder Punkte (x|y) ∈ R2 bzw. Zahlentripel oder Punkte (x|y|z) ∈ R3. Im Folgenden werden wir statt (x|y) bzw. (x|y|z) die Notation (x, y) bzw. (x, y, z) verwenden. Die Idee des projektiven Raumes ist eng verbunden mit der Idee der Perspektive und Zentralprojek- tion. Die Perspektive wurde erst in der Renaissance entwickelt - erstaunlich spät, wenn man bedenkt, dass unsere optische Wahrnehmung vielmehr der Zentralperspektive als der Euklidischen Geometrie entspricht. Jeder Punkt, den wir sehen, entspricht einem Sehstrahl. Da wir nicht nach hinten schauen können, repräsentiert dieser Sehstrahl (bzw. Punkt) eine Gerade durch unser Auge. Um dieses mathematisch zu beschreiben, stellen wir uns ein xyz- Koordinatensystem, dessen Ursprung in unserem Auge liegt, vor. Nun sind die Punkte dieses neuen Raumes die Geraden durch den Ursprung (Auge). Bekanntlich sieht man mit einem Auge nur zweidimensional. Der oben beschriebene Raum ist dementsprechend ebenfalls zweidimensional: der zweidimensionale projektive Raum, auch projektive Ebene genannt. Sie wird mit P2 abgekürzt, das Mengen-P steht für projektiv und der Exponent gibt die Di- mension an. Es gilt also:

    z

    x

    y

    P2 = {

    Geraden durch 0 in R3 } .

    Projektive Räume gibt es in jeder Dimension, allgemein definiert man den n-dimensionalen projektiven Raum als:

    Pn = {

    Geraden durch 0 in Rn+1 } .

    Die Elemente eines projektiven Raumes sind Geraden durch den Nullpunkt, kurz Ursprungsgeraden. Das ist natürlich gewöhnungsbedürftig. Wir sind es gewohnt, dass Elemente von geometrischen Räumen Punkte sind. Deswegen spricht man auch bei Elementen projektiver Räume von Punkten (obwohl sie ja eigentlich Geraden sind). Um dieses besser zu verstehen, betrachten wir zunächst den eindimensionalen projektiven Raum, auch projektive Gerade genannt. P1 ist nach Definition die Menge aller Ursprungsgera- den der euklidischen Ebene R2. Was lehrt die Schulmathematik über Geraden durch (0, 0) in R2? Jede solche Gerade (ausge- nommen der y-Achse) hat eine Gleichung der Form y = mxmit der Steigung m = y2−y1x2−x1 =

    ∆y ∆x . Umgekehrt, jede Zahl m ∈ R

    legt eine Ursprungsgerade, nämlich die Gerade y = mx, fest. Aus der Zahl m ∈ R wird somit ein Punkt (genauer die Ge- rade y = mx) auf der projektiven Gerade P1. Auf diese Weise kann man sich die reelle Zahlengerade R als Teilmenge der projektiven Gerade P1 vorstellen.

    (x ,y ) 1 1

    (x ,y ) 2 2

    x

    y

    Δ

    Δ

    x

    y

  • 5

    Mathematiker sagen dazu, die Zuordnung R 3 m nach {y = mx} ∈ P1 definiert eine Einbettung

    R ↪→ P1, m = ∆y∆x 7→ Gerade y = mx. (1)

    Bemerkung 1. Eine Einbettung ist eine injektive Abbildung, d. h. zu jedem Wert gehört genau ein Urbild. Einbettungen werden durch den Zuordnungspfeil ↪→ gekennzeichnet.

    Was ist nun mit der y-Achse? Hier gibt es keine Steigung der Form m = y2−y1x2−x1 =

    ∆y ∆x , denn ∆x wäre gleich 0 und man darf

    ja nicht durch 0 teilen. Nähern sich die Geraden aber der y- Achse an, werden also immer steiler wie in der nebenstehenden Graphik, so wird ihre Steigung immer größer und im Grenz- wert (auch das kennen wir aus der Schule) wird die Steigung unendlich:

    my-Achse = lim ∆x→0

    ∆y ∆x =∞

    x

    y

    Wenden wir uns wieder der Einbettung R ↪→ P1 zu, so sehen wir, dass das Bild von R in P1 (also die Wertemenge) alle Punkte des P1 erfasst bis auf den einen Punkt, der der y-Achse mit der Steigung ∞ entspricht. Damit gilt mengentheoretisch, dass

    R ∪ {∞} = P1.

    Das lässt sich nun wieder sehr gut anschaulich vorstellen: Gleich einem Maßband, das die reelle Zahlen- gerade darstellt, ist so die projektive Gerade das an beiden Enden zusammengeklebte Maßband und ∞ ist der Klebepunkt:

    m=-1

    m=0

    m=1

    m=-1

    m=0

    m=1

    8

    R ⇒ {∞} ∪ R = P1

    In diesem Bild ist P1 eine geschlossene Kurve, hat also keinen Anfang und kein Ende. Mathematiker sagen dazu: ”Die projektive Gerade P

    1 ist kompakt.“ Analoges gilt übrigens für alle projektiven Räume.

    Wenden wir uns nun dem zweidimensionalen Fall zu: Die pro- jektive Ebene P2 ist als Menge der Geraden durch den Ur- sprung im Raum R3 definiert. Das ist am Anfang schwer be- greiflich. Stellen wir uns dazu eine beliebig aufgestellte Lein- wand in R3 vor, d. h. die Leinwand darf nicht den Ursprung enthalten. Stellen wir uns diese Leinwand als die reelle Ebe- ne R2, also unendlich ausgedehnt, vor. So schneiden, wie ne- benstehend dargestellt, fast alle Urprungsgeraden diese Ebe- ne R2 in genau einem Punkt. In der zweiten nebenstehenden Graphik ist zusätzlich die zur ersten Leinwand parallele Ebe- ne durch Null eingezeichnet. Die Ursprungsgeraden in dieser Ebene schneiden die erste Leinwand nicht. Die Gesamtheit der Ursprungsgeraden in der zweiten Ebene ist wie zuvor als ein eindimensionaler projektiver Raum P1 zu interpretieren. So- mit kann man sich den zweidimensionalen projektiven Raum P2 (a

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