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Algebraische Strukturen

8. Algebraische Strukturen - Themenübersicht

Mengen mit einer Operation

Halbgruppen

Monoide

Gruppen

Mengen mit zwei Operationen

Körper

Ringe

Strukturerhaltende Abbildungen

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Halbgruppen

Definition 8.1

Eine Menge G mit Verknüpfung ⊕ : G × G → G heißt Halbgruppe g.d.w. sich ⊕ auf G assoziativ verhält:

∀a, b, c ∈ G : (a⊕ b)⊕ c = a⊕ (b ⊕ c)

Beispiel

Halbgruppe?

〈Z,−〉 Nein, da (−3− 4)− 5 6= −3− (4− 5). 〈Z,+〉 Ja, Addition in Z assoziativ. 〈A+, ·〉 Ja, Konkatenation ist assoziativ.

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Eindeutigkeit von neutralen Elementen

Definition (Neutrales Element)

Sei G mit ⊕ eine Halbgruppe. Ein Element e ∈ G heißt neutrales Element g.d.w. für alle a ∈ G

a⊕ e = e ⊕ a = a.

Lemma 8.2

Neutrale Elemente in einer Halbgruppe sind eindeutig bestimmt.

Proof.

Seien e, e ′ neutrale Elemente. Dann gilt:

e = e ⊕ e ′ = e ′

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Monoid

Definition

Eine Halbgruppe, die ein neutrales Element besitzt, heißt Monoid.

Beispiel 8.3

Monoid?

〈A+, ·〉 Nein, ε 6∈ A+. 〈Z,+〉 Ja, 0 ∈ Z. 〈A∗, ·〉 Ja, ε ∈ A∗ neutrales Element (A∗ =df A+ ∪ {ε}). 〈AA, ◦〉 (Funktionen f : A→ A,Komposition) Ja, identische Abbildung idM ist neutrales Element.

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Gruppen

Definition 8.4 (Inverses Element)

Sei G mit ⊕ ein Monoid und a ∈ G . Ein Element a−1 ∈ G mit

a⊕ a−1 = a−1 ⊕ a = e

heißt inverses Element zu a.

Definition 8.5 (Gruppe)

Ein Monoid, bei dem zu jedem Element a ∈ G ein inverses Element a−1 ∈ G existiert, heißt Gruppe.

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Gruppen: Beispiele

Beispiel 8.6

Gruppen?

〈R\{0}, ·〉 Ja, mit neutralem Element 1 und inversem Element x−1 zu x .

〈R,+〉, 〈Z,+〉 Ja, mit neutralem Element 0 und inversem Element −x zu x . 〈R−, ·〉 Nein, aufgrund fehlender Abgeschlossenheit. 〈A+, ·〉 Nein, da Elemente in A+ keine inversen Elemente besitzen. 〈Z, ·〉 Nein, da Elemente in Z i.A. keine inversen Elemente besitzen. 〈{−1, 1}, ·〉 Ja, da alle Eigenschaften erfüllt.

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Strukturtafeln

+n 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 . . .

3 3 4 4 4 5 5 5 0

∗n 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 . . .

3 0 3 4 0 4 5 0 5

Figure : Additions- und Multiplikationstafeln für Z6

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Rechenregeln in Gruppen

Lemma 8.8

Sei G mit ⊕ eine Gruppe. Dann gilt: 1 ∀a, b, c ∈ G .a⊕ b = c ⊕ b ⇒ a = c, 2 ∀a, b ∈ G .(a⊕ b)−1 = b−1 ⊕ a−1

Proof.

1 Wir folgern die Konklusion unter Anwendung der Prämisse:

a (Neu.)

= a⊕ e (Def . Inv .)= a⊕ (b ⊕ b−1) (Assoz.)

= (a⊕ b)⊕ b−1 (Vor .)= (c ⊕ b)⊕ b−1 (Assoz.)

= c ⊕ (b ⊕ b−1) (Def . Inv .)= c ⊕ e (Neu.)

= c

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Rechenregeln in Gruppen

Lemma 8.8

Sei G mit ⊕ eine Gruppe. Dann gilt: 1 ∀a, b, c ∈ G .a⊕ b = c ⊕ b ⇒ a = c, 2 ∀a, b ∈ G .(a⊕ b)−1 = b−1 ⊕ a−1

Proof.

2 Übungen

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Untergruppen

Definition 8.9

Ist 〈G ,⊕〉 eine Gruppe und H 6= ∅ eine Teilmenge von G , so dass 〈H,⊕〉 auch eine Gruppe ist, so nennen wir 〈H,⊕〉 Untergruppe von 〈G ,⊕〉.

Analog für Halbgruppen und Monoide

Unterstrukturen müssen insbesondere mit der gleichen Operation definiert sein, so ist z.B. die Gruppe 〈Z,−〉 keine Untergruppe der Gruppe 〈R,+〉, obwohl Z ⊆ R.

Beispiel 8.10

Die Gruppe 〈R,+〉 hat als Untergruppe 〈Z,+〉.

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Neutrale Elemente in Untergruppen

Beispiel 8.11

Bei einem Monoid mit Untermonoid müssen die neutralen Elemente nicht die gleichen sein. Gegeben sei das Monoid 〈G ,⊕〉 gemäß der folgenden Verknüpfungstabelle:

⊕ a b a a b b b b

〈G ,⊕〉 besitzt als neutrales Element a. Das Untermonoid 〈{b},⊕〉 hat jedoch neutrales Element b.

Satz 8.12

Eine Untergruppe 〈H,⊕〉 von 〈G ,⊕〉 besitzt das gleiche neutrale Elemente wie 〈G ,⊕〉.

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Symmetrische Gruppe

Definition 8.13

Sn = {f | f ist Bijektion von {1, . . . , n} auf {1, . . . , n}} mit der Komposition bildet die symmetrische Gruppe. Die Elemente in Sn können als Permutation angesehen werden.

S3 = {( 1 2 3

1 2 3

) ,

( 1 2 3 1 3 2

) ,

( 1 2 3 2 1 3

) ,(

1 2 3 2 3 1

) ,

( 1 2 3 3 1 2

) ,

( 1 2 3 3 2 1

)}

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Symmetrische Gruppe

Die Komposition ist von rechts nach links zu lesen, d.h. für f ◦ g wendet man zuerst die Permutation g und dann f an.

f ◦ g = (

1 2 3 3 2 1

) ◦ (

1 2 3 2 1 3

) =

( 1 2 3 2 3 1

)

Zyklenschreibweise: f = (1, 3), g = (1, 2) und f ◦ g = (1, 2, 3). Dabei steht (c1, c2, c3 . . . , ck−1, ck) für c1 7→ c2, c2 7→ c3,. . .,ck−1 7→ ck , ck 7→ c1. Kommt ein ci nicht vor so bedeutet dies, dass ci 7→ ci .

S3 = {(), (23), (12), (123), (132), (13)}

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Nebenklassen

Definition 8.14

Sei 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von 〈G ,⊕〉 und a ∈ G . Dann bezeichne

aH =df {a⊕ h | h ∈ H} Ha =df {h ⊕ a | h ∈ H}

die Links- und Rechtsnebenklassen von a.

Beispiel 8.15

Betrachten wir die Untergruppe H = 〈{id , (1, 2)}, ◦〉 von 〈S3, ◦〉 und das Element a = (23) ∈ G . Dann gilt:

aH = {(23) ◦ id , (23) ◦ (12)} = {(23), (132)} Ha = {id ◦ (23), (12) ◦ (23)} = {(23), (123)}

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Satz von Lagrange

Satz 8.16

Sei 〈G ,⊕〉 eine endliche Gruppe und 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von G. Es gilt

|H| ∣∣∣ |G |

Proof.

Wir zeigen: Die Menge der Rechtsnebenklassen bildet eine Partition mit gleichgroßen Klassen. Im Detail:

1 ⋃ g∈G

gH = G

2 gH paarweise disjunkt

3 |gH| = |H|

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Beweis:

1 ⋃ a∈G

aH = G

Klar, da e ∈ H (H ist Untergruppe).

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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Beweis:

2 ∀a, a′ ∈ G . aH ∩ a′H 6= ∅ ⇒ aH = a′H. Beweis: Seien a, a′ ∈ G mit aH ∩ a′H 6= ∅. Dann gibt es h, h′ ∈ H mit a⊕ h = a′ ⊕ h′, also

a = a′ ⊕ h′ ⊕ h−1 (2.1)

Zeige o.B.d.A. aH ⊆ a′H (Antisymmetrie-Beweisprinzip). Sei g ∈ aH. Dann gibt es ein h′′ ∈ H mit g = a⊕ h′′. Also folgt:

g = a⊕ h′′ (1)=

a︷ ︸︸ ︷ a′a′⊕ h′ ⊕ h−1 ⊕ h′′︸ ︷︷ ︸

∈H

∈ a′H

Beachte: h′ ⊕ h−1 ⊕ h′′ ∈ H, da H eine Untergruppe ist.

Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 226 / 669

Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

Beweis:

3 ∀a, a′ ∈ G . |aH| = |a′H|. Beweis: Sei f : aH → G mit b 7→ a′ ⊕ a−1 ⊕ b. Zu zeigen

1 ∀b ∈ aH. f (b) ∈ a′H 2 f ist injektiv

Zu 1)