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Algebraische Strukturen
8. Algebraische Strukturen - Themenübersicht
Mengen mit einer Operation
Halbgruppen
Monoide
Gruppen
Mengen mit zwei Operationen
Körper
Ringe
Strukturerhaltende Abbildungen
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 210 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Halbgruppen
Definition 8.1
Eine Menge G mit Verknüpfung ⊕ : G × G → G heißt Halbgruppe g.d.w. sich ⊕ auf G assoziativ verhält:
∀a, b, c ∈ G : (a⊕ b)⊕ c = a⊕ (b ⊕ c)
Beispiel
Halbgruppe?
〈Z,−〉 Nein, da (−3− 4)− 5 6= −3− (4− 5). 〈Z,+〉 Ja, Addition in Z assoziativ. 〈A+, ·〉 Ja, Konkatenation ist assoziativ.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 211 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Eindeutigkeit von neutralen Elementen
Definition (Neutrales Element)
Sei G mit ⊕ eine Halbgruppe. Ein Element e ∈ G heißt neutrales Element g.d.w. für alle a ∈ G
a⊕ e = e ⊕ a = a.
Lemma 8.2
Neutrale Elemente in einer Halbgruppe sind eindeutig bestimmt.
Proof.
Seien e, e ′ neutrale Elemente. Dann gilt:
e = e ⊕ e ′ = e ′
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 212 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Monoid
Definition
Eine Halbgruppe, die ein neutrales Element besitzt, heißt Monoid.
Beispiel 8.3
Monoid?
〈A+, ·〉 Nein, ε 6∈ A+. 〈Z,+〉 Ja, 0 ∈ Z. 〈A∗, ·〉 Ja, ε ∈ A∗ neutrales Element (A∗ =df A+ ∪ {ε}). 〈AA, ◦〉 (Funktionen f : A→ A,Komposition) Ja, identische Abbildung idM ist neutrales Element.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 213 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Gruppen
Definition 8.4 (Inverses Element)
Sei G mit ⊕ ein Monoid und a ∈ G . Ein Element a−1 ∈ G mit
a⊕ a−1 = a−1 ⊕ a = e
heißt inverses Element zu a.
Definition 8.5 (Gruppe)
Ein Monoid, bei dem zu jedem Element a ∈ G ein inverses Element a−1 ∈ G existiert, heißt Gruppe.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 214 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Gruppen: Beispiele
Beispiel 8.6
Gruppen?
〈R\{0}, ·〉 Ja, mit neutralem Element 1 und inversem Element x−1 zu x .
〈R,+〉, 〈Z,+〉 Ja, mit neutralem Element 0 und inversem Element −x zu x . 〈R−, ·〉 Nein, aufgrund fehlender Abgeschlossenheit. 〈A+, ·〉 Nein, da Elemente in A+ keine inversen Elemente besitzen. 〈Z, ·〉 Nein, da Elemente in Z i.A. keine inversen Elemente besitzen. 〈{−1, 1}, ·〉 Ja, da alle Eigenschaften erfüllt.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 215 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Strukturtafeln
+n 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 . . .
3 3 4 4 4 5 5 5 0
∗n 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 . . .
3 0 3 4 0 4 5 0 5
Figure : Additions- und Multiplikationstafeln für Z6
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 216 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Rechenregeln in Gruppen
Lemma 8.8
Sei G mit ⊕ eine Gruppe. Dann gilt: 1 ∀a, b, c ∈ G .a⊕ b = c ⊕ b ⇒ a = c, 2 ∀a, b ∈ G .(a⊕ b)−1 = b−1 ⊕ a−1
Proof.
1 Wir folgern die Konklusion unter Anwendung der Prämisse:
a (Neu.)
= a⊕ e (Def . Inv .)= a⊕ (b ⊕ b−1) (Assoz.)
= (a⊕ b)⊕ b−1 (Vor .)= (c ⊕ b)⊕ b−1 (Assoz.)
= c ⊕ (b ⊕ b−1) (Def . Inv .)= c ⊕ e (Neu.)
= c
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 217 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Rechenregeln in Gruppen
Lemma 8.8
Sei G mit ⊕ eine Gruppe. Dann gilt: 1 ∀a, b, c ∈ G .a⊕ b = c ⊕ b ⇒ a = c, 2 ∀a, b ∈ G .(a⊕ b)−1 = b−1 ⊕ a−1
Proof.
2 Übungen
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 218 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Untergruppen
Definition 8.9
Ist 〈G ,⊕〉 eine Gruppe und H 6= ∅ eine Teilmenge von G , so dass 〈H,⊕〉 auch eine Gruppe ist, so nennen wir 〈H,⊕〉 Untergruppe von 〈G ,⊕〉.
Analog für Halbgruppen und Monoide
Unterstrukturen müssen insbesondere mit der gleichen Operation definiert sein, so ist z.B. die Gruppe 〈Z,−〉 keine Untergruppe der Gruppe 〈R,+〉, obwohl Z ⊆ R.
Beispiel 8.10
Die Gruppe 〈R,+〉 hat als Untergruppe 〈Z,+〉.
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Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Neutrale Elemente in Untergruppen
Beispiel 8.11
Bei einem Monoid mit Untermonoid müssen die neutralen Elemente nicht die gleichen sein. Gegeben sei das Monoid 〈G ,⊕〉 gemäß der folgenden Verknüpfungstabelle:
⊕ a b a a b b b b
〈G ,⊕〉 besitzt als neutrales Element a. Das Untermonoid 〈{b},⊕〉 hat jedoch neutrales Element b.
Satz 8.12
Eine Untergruppe 〈H,⊕〉 von 〈G ,⊕〉 besitzt das gleiche neutrale Elemente wie 〈G ,⊕〉.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 220 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Symmetrische Gruppe
Definition 8.13
Sn = {f | f ist Bijektion von {1, . . . , n} auf {1, . . . , n}} mit der Komposition bildet die symmetrische Gruppe. Die Elemente in Sn können als Permutation angesehen werden.
S3 = {( 1 2 3
1 2 3
) ,
( 1 2 3 1 3 2
) ,
( 1 2 3 2 1 3
) ,(
1 2 3 2 3 1
) ,
( 1 2 3 3 1 2
) ,
( 1 2 3 3 2 1
)}
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 221 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Symmetrische Gruppe
Die Komposition ist von rechts nach links zu lesen, d.h. für f ◦ g wendet man zuerst die Permutation g und dann f an.
f ◦ g = (
1 2 3 3 2 1
) ◦ (
1 2 3 2 1 3
) =
( 1 2 3 2 3 1
)
Zyklenschreibweise: f = (1, 3), g = (1, 2) und f ◦ g = (1, 2, 3). Dabei steht (c1, c2, c3 . . . , ck−1, ck) für c1 7→ c2, c2 7→ c3,. . .,ck−1 7→ ck , ck 7→ c1. Kommt ein ci nicht vor so bedeutet dies, dass ci 7→ ci .
S3 = {(), (23), (12), (123), (132), (13)}
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 222 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Nebenklassen
Definition 8.14
Sei 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von 〈G ,⊕〉 und a ∈ G . Dann bezeichne
aH =df {a⊕ h | h ∈ H} Ha =df {h ⊕ a | h ∈ H}
die Links- und Rechtsnebenklassen von a.
Beispiel 8.15
Betrachten wir die Untergruppe H = 〈{id , (1, 2)}, ◦〉 von 〈S3, ◦〉 und das Element a = (23) ∈ G . Dann gilt:
aH = {(23) ◦ id , (23) ◦ (12)} = {(23), (132)} Ha = {id ◦ (23), (12) ◦ (23)} = {(23), (123)}
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 223 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Satz von Lagrange
Satz 8.16
Sei 〈G ,⊕〉 eine endliche Gruppe und 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von G. Es gilt
|H| ∣∣∣ |G |
Proof.
Wir zeigen: Die Menge der Rechtsnebenklassen bildet eine Partition mit gleichgroßen Klassen. Im Detail:
1 ⋃ g∈G
gH = G
2 gH paarweise disjunkt
3 |gH| = |H|
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 224 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Beweis:
1 ⋃ a∈G
aH = G
Klar, da e ∈ H (H ist Untergruppe).
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 225 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Beweis:
2 ∀a, a′ ∈ G . aH ∩ a′H 6= ∅ ⇒ aH = a′H. Beweis: Seien a, a′ ∈ G mit aH ∩ a′H 6= ∅. Dann gibt es h, h′ ∈ H mit a⊕ h = a′ ⊕ h′, also
a = a′ ⊕ h′ ⊕ h−1 (2.1)
Zeige o.B.d.A. aH ⊆ a′H (Antisymmetrie-Beweisprinzip). Sei g ∈ aH. Dann gibt es ein h′′ ∈ H mit g = a⊕ h′′. Also folgt:
g = a⊕ h′′ (1)=
a︷ ︸︸ ︷ a′a′⊕ h′ ⊕ h−1 ⊕ h′′︸ ︷︷ ︸
∈H
∈ a′H
Beachte: h′ ⊕ h−1 ⊕ h′′ ∈ H, da H eine Untergruppe ist.
Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 226 / 669
Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation
Beweis:
3 ∀a, a′ ∈ G . |aH| = |a′H|. Beweis: Sei f : aH → G mit b 7→ a′ ⊕ a−1 ⊕ b. Zu zeigen
1 ∀b ∈ aH. f (b) ∈ a′H 2 f ist injektiv
Zu 1)