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  • Algebraische Strukturen

    8. Algebraische Strukturen - Themenübersicht

    Mengen mit einer Operation

    Halbgruppen

    Monoide

    Gruppen

    Mengen mit zwei Operationen

    Körper

    Ringe

    Strukturerhaltende Abbildungen

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 210 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Halbgruppen

    Definition 8.1

    Eine Menge G mit Verknüpfung ⊕ : G × G → G heißt Halbgruppe g.d.w. sich ⊕ auf G assoziativ verhält:

    ∀a, b, c ∈ G : (a⊕ b)⊕ c = a⊕ (b ⊕ c)

    Beispiel

    Halbgruppe?

    〈Z,−〉 Nein, da (−3− 4)− 5 6= −3− (4− 5). 〈Z,+〉 Ja, Addition in Z assoziativ. 〈A+, ·〉 Ja, Konkatenation ist assoziativ.

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 211 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Eindeutigkeit von neutralen Elementen

    Definition (Neutrales Element)

    Sei G mit ⊕ eine Halbgruppe. Ein Element e ∈ G heißt neutrales Element g.d.w. für alle a ∈ G

    a⊕ e = e ⊕ a = a.

    Lemma 8.2

    Neutrale Elemente in einer Halbgruppe sind eindeutig bestimmt.

    Proof.

    Seien e, e ′ neutrale Elemente. Dann gilt:

    e = e ⊕ e ′ = e ′

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 212 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Monoid

    Definition

    Eine Halbgruppe, die ein neutrales Element besitzt, heißt Monoid.

    Beispiel 8.3

    Monoid?

    〈A+, ·〉 Nein, ε 6∈ A+. 〈Z,+〉 Ja, 0 ∈ Z. 〈A∗, ·〉 Ja, ε ∈ A∗ neutrales Element (A∗ =df A+ ∪ {ε}). 〈AA, ◦〉 (Funktionen f : A→ A,Komposition) Ja, identische Abbildung idM ist neutrales Element.

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 213 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Gruppen

    Definition 8.4 (Inverses Element)

    Sei G mit ⊕ ein Monoid und a ∈ G . Ein Element a−1 ∈ G mit

    a⊕ a−1 = a−1 ⊕ a = e

    heißt inverses Element zu a.

    Definition 8.5 (Gruppe)

    Ein Monoid, bei dem zu jedem Element a ∈ G ein inverses Element a−1 ∈ G existiert, heißt Gruppe.

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 214 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Gruppen: Beispiele

    Beispiel 8.6

    Gruppen?

    〈R\{0}, ·〉 Ja, mit neutralem Element 1 und inversem Element x−1 zu x .

    〈R,+〉, 〈Z,+〉 Ja, mit neutralem Element 0 und inversem Element −x zu x . 〈R−, ·〉 Nein, aufgrund fehlender Abgeschlossenheit. 〈A+, ·〉 Nein, da Elemente in A+ keine inversen Elemente besitzen. 〈Z, ·〉 Nein, da Elemente in Z i.A. keine inversen Elemente besitzen. 〈{−1, 1}, ·〉 Ja, da alle Eigenschaften erfüllt.

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 215 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Strukturtafeln

    +n 0 1 2 3 4 5

    0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0

    2 2 3 . . .

    3 3 4 4 4 5 5 5 0

    ∗n 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5

    2 0 2 . . .

    3 0 3 4 0 4 5 0 5

    Figure : Additions- und Multiplikationstafeln für Z6

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 216 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Rechenregeln in Gruppen

    Lemma 8.8

    Sei G mit ⊕ eine Gruppe. Dann gilt: 1 ∀a, b, c ∈ G .a⊕ b = c ⊕ b ⇒ a = c, 2 ∀a, b ∈ G .(a⊕ b)−1 = b−1 ⊕ a−1

    Proof.

    1 Wir folgern die Konklusion unter Anwendung der Prämisse:

    a (Neu.)

    = a⊕ e (Def . Inv .)= a⊕ (b ⊕ b−1) (Assoz.)

    = (a⊕ b)⊕ b−1 (Vor .)= (c ⊕ b)⊕ b−1 (Assoz.)

    = c ⊕ (b ⊕ b−1) (Def . Inv .)= c ⊕ e (Neu.)

    = c

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 217 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Rechenregeln in Gruppen

    Lemma 8.8

    Sei G mit ⊕ eine Gruppe. Dann gilt: 1 ∀a, b, c ∈ G .a⊕ b = c ⊕ b ⇒ a = c, 2 ∀a, b ∈ G .(a⊕ b)−1 = b−1 ⊕ a−1

    Proof.

    2 Übungen

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 218 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Untergruppen

    Definition 8.9

    Ist 〈G ,⊕〉 eine Gruppe und H 6= ∅ eine Teilmenge von G , so dass 〈H,⊕〉 auch eine Gruppe ist, so nennen wir 〈H,⊕〉 Untergruppe von 〈G ,⊕〉.

    Analog für Halbgruppen und Monoide

    Unterstrukturen müssen insbesondere mit der gleichen Operation definiert sein, so ist z.B. die Gruppe 〈Z,−〉 keine Untergruppe der Gruppe 〈R,+〉, obwohl Z ⊆ R.

    Beispiel 8.10

    Die Gruppe 〈R,+〉 hat als Untergruppe 〈Z,+〉.

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 219 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Neutrale Elemente in Untergruppen

    Beispiel 8.11

    Bei einem Monoid mit Untermonoid müssen die neutralen Elemente nicht die gleichen sein. Gegeben sei das Monoid 〈G ,⊕〉 gemäß der folgenden Verknüpfungstabelle:

    ⊕ a b a a b b b b

    〈G ,⊕〉 besitzt als neutrales Element a. Das Untermonoid 〈{b},⊕〉 hat jedoch neutrales Element b.

    Satz 8.12

    Eine Untergruppe 〈H,⊕〉 von 〈G ,⊕〉 besitzt das gleiche neutrale Elemente wie 〈G ,⊕〉.

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 220 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Symmetrische Gruppe

    Definition 8.13

    Sn = {f | f ist Bijektion von {1, . . . , n} auf {1, . . . , n}} mit der Komposition bildet die symmetrische Gruppe. Die Elemente in Sn können als Permutation angesehen werden.

    S3 = {( 1 2 3

    1 2 3

    ) ,

    ( 1 2 3 1 3 2

    ) ,

    ( 1 2 3 2 1 3

    ) ,(

    1 2 3 2 3 1

    ) ,

    ( 1 2 3 3 1 2

    ) ,

    ( 1 2 3 3 2 1

    )}

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 221 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Symmetrische Gruppe

    Die Komposition ist von rechts nach links zu lesen, d.h. für f ◦ g wendet man zuerst die Permutation g und dann f an.

    f ◦ g = (

    1 2 3 3 2 1

    ) ◦ (

    1 2 3 2 1 3

    ) =

    ( 1 2 3 2 3 1

    )

    Zyklenschreibweise: f = (1, 3), g = (1, 2) und f ◦ g = (1, 2, 3). Dabei steht (c1, c2, c3 . . . , ck−1, ck) für c1 7→ c2, c2 7→ c3,. . .,ck−1 7→ ck , ck 7→ c1. Kommt ein ci nicht vor so bedeutet dies, dass ci 7→ ci .

    S3 = {(), (23), (12), (123), (132), (13)}

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 222 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Nebenklassen

    Definition 8.14

    Sei 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von 〈G ,⊕〉 und a ∈ G . Dann bezeichne

    aH =df {a⊕ h | h ∈ H} Ha =df {h ⊕ a | h ∈ H}

    die Links- und Rechtsnebenklassen von a.

    Beispiel 8.15

    Betrachten wir die Untergruppe H = 〈{id , (1, 2)}, ◦〉 von 〈S3, ◦〉 und das Element a = (23) ∈ G . Dann gilt:

    aH = {(23) ◦ id , (23) ◦ (12)} = {(23), (132)} Ha = {id ◦ (23), (12) ◦ (23)} = {(23), (123)}

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 223 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Satz von Lagrange

    Satz 8.16

    Sei 〈G ,⊕〉 eine endliche Gruppe und 〈H,⊕〉 eine Untergruppe von G. Es gilt

    |H| ∣∣∣ |G |

    Proof.

    Wir zeigen: Die Menge der Rechtsnebenklassen bildet eine Partition mit gleichgroßen Klassen. Im Detail:

    1 ⋃ g∈G

    gH = G

    2 gH paarweise disjunkt

    3 |gH| = |H|

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 224 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Beweis:

    1 ⋃ a∈G

    aH = G

    Klar, da e ∈ H (H ist Untergruppe).

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 225 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Beweis:

    2 ∀a, a′ ∈ G . aH ∩ a′H 6= ∅ ⇒ aH = a′H. Beweis: Seien a, a′ ∈ G mit aH ∩ a′H 6= ∅. Dann gibt es h, h′ ∈ H mit a⊕ h = a′ ⊕ h′, also

    a = a′ ⊕ h′ ⊕ h−1 (2.1)

    Zeige o.B.d.A. aH ⊆ a′H (Antisymmetrie-Beweisprinzip). Sei g ∈ aH. Dann gibt es ein h′′ ∈ H mit g = a⊕ h′′. Also folgt:

    g = a⊕ h′′ (1)=

    a︷ ︸︸ ︷ a′a′⊕ h′ ⊕ h−1 ⊕ h′′︸ ︷︷ ︸

    ∈H

    ∈ a′H

    Beachte: h′ ⊕ h−1 ⊕ h′′ ∈ H, da H eine Untergruppe ist.

    Prof. Dr. Bernhard Steffen Mathematik für Informatiker 1 - 2012 226 / 669

  • Algebraische Strukturen 8.1 Mengen mit einer Operation

    Beweis:

    3 ∀a, a′ ∈ G . |aH| = |a′H|. Beweis: Sei f : aH → G mit b 7→ a′ ⊕ a−1 ⊕ b. Zu zeigen

    1 ∀b ∈ aH. f (b) ∈ a′H 2 f ist injektiv

    Zu 1)

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