diskrete algebraische strukturen - home. ...home. diskrete algebraische strukturen sommersemester...

Download Diskrete Algebraische Strukturen - home. ...home. Diskrete Algebraische Strukturen Sommersemester 2010

Post on 30-Aug-2019

0 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Diskrete Algebraische Strukturen

    Markus Junker

    Mathematisches Institut

    AlbertLudwigsUniversitat Freiburg

    Sommersemester 2010

  • Inhaltsverzeichnis

    INHALTSVERZEICHNIS 3

    ENDLICHE KOMBINATORIK 5

    Mengen, Abbildungen, Partitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    Teilmengen und Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    Mengenpartitionen und StirlingZahlen zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    Zahlpartitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    Geordnete Zahlpartitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    Kleine Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    Permutationen und StirlingZahlen erster Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    Erzeugende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    Formale Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    Zwei einfache Rekursionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    Losungsverfahren fur lineare Rekursionsgleichungen endlicher Ordnung . . . . . . 25

    Eine nicht lineare Rekursionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    Exponentielle erzeugende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    Anwendung auf die BellZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    Noch ein Beispiel ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    Groenwachstum von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    Groenvergleich von Funktionen, Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    Wie schnell wachst die Fakultatsfunktion? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    Wie schnell wachsen die Bellzahlen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    Groenwachstum von Rekursionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    GRAPHEN 37

    Definition und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    Darstellungen von Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    Varianten von Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    Anzahl der Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3

  • M. Junker Diskrete Algebraische Strukturen

    Wege, Abstand, Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    Besondere Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    EulerZuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    Hamiltonsche Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    Problem des Handlungsreisenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    Kurzeste Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    Farbungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    Eckenfarbungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    Kantenfarbungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    Der Satz von Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    Baume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    Paarungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    Gewichtete Paarungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    Flusse in Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    Eine schlechte und zwei gute Heuristiken fur das Problem des Handlungsreisenden 58

    ALGEBRAISCHE STRUKTUREN 61

    Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    Monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    Zyklische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    Nebenklassenzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    Ringe und Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    Einheiten und Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    Die endlichen Ringe Z/mZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Der chinesische Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    LITERATURVERZEICHNIS 77

    STICHWORTVERZEICHNIS 78

    4

  • Diskrete Algebraische Strukturen Sommersemester 2010

    Teil I: Endliche Kombinatorik

    I.1 Mengen, Abbildungen, Partitionen

    Voraussetzungen dieser Vorlesung sind Kenntnisse einer einfuhrenden MathematikVorlesung,

    insbesondere:

    mathematische Grundbegriffe und Formelschreibweise

    naive Mengenlehre (im Gegensatz zur axiomatischen Mengenlehre)

    naives Verstandnis der naturlichen Zahlen samt dem Beweisprinzip der vollstandigen

    Induktion (in allen Varianten)

    Ich verwende folgende nicht vollig standardisierte Schreib und Sprechweisen:

    N : die Menge {0, 1, 2, 3, . . . }A M : A ist Teilmenge von MA M : A ist echte Teilmenge von M

    M =M1 M2 : M ist disjunkte Vereinigung von M1 und M2M =

    iIMi : M ist die disjunkte Vereinigung der Mengen Mi fur i I

    |M| : die Anzahl der Elemente von M, auch Machtigkeit von M genannt

    (entweder ein Element von N oder )P(M) : Potenzmenge von M

    : Beweisende

    n-Menge : eine Menge mit n-Elementen

    n-Teilmenge : eine n-elementige Teilmenge

    Einige Konventionen:

    Damit Formeln auch fur Extremfalle gelten (was bei Rekursionen wichtig sein kann), braucht

    man einige Konventionen, die insbesondere die leere Menge bzw. das Rechnen mit 0 betreffen.

    Man kann diese Extremfalle in der Regel auch ubergehen, muss dann aber bei Beweisen und

    Berechnungen gegebenenfalls mit hoheren Anfangswerten starten.

    Eineleere Vereinigung (also eine Vereinigung uber eine leere Indexmenge) ist die leere Menge;

    ein leeres Mengenprodukt ist die Menge {}, also die Menge, welche als einziges Element dieleere Menge enthalt. Entsprechend hat die leere Summe den Wert 0 und das leere Produkt (von

    Zahlen) den Wert 1. Es gibt keine Abbildung einer nicht-leeren Menge in die leere Menge und

    genau eine Abbildung der leeren Menge in eine andere Menge (die im Falle der Abbildung von

    nach bijektiv ist). Insbesondere gilt 00 = 0! = 1.

    5

  • M. Junker Diskrete Algebraische Strukturen

    Mengen

    In diesem Unterabschnitt sei nun stets M eine m-Menge und N eine n-Menge, und alle betrach-

    teten Mengen seien endlich.

    Satz 1.1 (Additive Machtigkeitsregeln)

    (a) Angenommen M N.Dann gilt m 6 n und |N \M| = nm. Auerdem ist genau dann m < n wenn M N.

    (b) Es gilt

    max{m,n} 6 |M N| 6 n+m

    0 6 |M N| 6 min{m,n}

    mit den Extremfallen

    |M N| = n+m M und N sind disjunkt |M N| = 0|M N| = max{m,n} (M N oder N M) |M N| = min{m,n}

    und dem allgemeinen Zusammenhang

    |M|+ |N| = |M N|+ |M N|

    (c) Allgemeiner gilt ki=0

    Mi

    = ki=0

    |Mi|.

    Beweis: (a) und die erste Halfte von (b) sind offensichtliche Regeln, die der Funktionsweise

    der naturlichen Zahlen zugrundeliegen. Beweisen konnte man diese nur in einer axiomatischen

    Theorie der Mengen und Zahlen.

    Die Regel fur disjunkte Mengen erlaubt es, den letzten Teil von (b) auf die Beobachtungen

    M N =M (N \M) und N = (N \M) (M N) zuruckzufuhren.

    (c) folgt mit Induktion.

    Denallgemeinen Zusammenhang kann man per Induktion ebenfalls verallgemeinern zu dem

    folgenden Satz:

    Satz 1.2 (InklusionExklusionsPrinzip oder auch Sylvestersche Siebformel)

    Seien M1, . . . ,Mk endliche Mengen. Dann gilt:M1 Mk = 6=I{1,...,k}

    (1)|I|+1 iI

    Mi

    Beweis: Beweis durch Induktion nach k:

    Fur k = 1 ist die Formel trivialerweise richtig und fur k = 2 stimmt sie nach Satz 1.1 (b). Fur

    k > 2 gilt dann:M1 Mk = M1 Mk1 + Mk (M1 Mk1) Mk=M1 Mk1 + Mk (M1 Mk) (Mk1 Mk)

    =

    6=I{1,...,k1}

    (1)|I|+1 iI

    Mi + Mk

    6=I{1,...,k1}

    (1)|I|+1 iI

    (Mi Mk)

    =

    6=I{1,...,k}

    (1)|I|+1 iI

    Mi

    6

  • Diskrete Algebraische Strukturen Sommersemester 2010

    Die erste Gleichheit benutzt den Fall k = 2, die dritte Gleichheit die Induktionsvoraussetzung.

    Fur die letzte Gleichheit muss man prufen, dass alle nicht-leeren Teilmengen von {1, . . . , k} in

    der vorletzten Zeile genau einmal und mit dem richtigen Vorzeichen vorkommen.

    Zwei Bemerkungen zur Formel: Zum einen kann man si

Recommended

View more >