algebraische strukturen und diskrete mathematik 1 algebraische strukturen und diskrete mathematik 1

Download Algebraische Strukturen und Diskrete Mathematik 1 Algebraische Strukturen und Diskrete Mathematik 1

Post on 20-May-2020

2 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Algebraische Strukturen

    und

    Diskrete Mathematik 1

    Günter Törner∗

    Stand 14.11.2006

    Inhaltsverzeichnis

    1 Die ganzen Zahlen 1 1.1 Die Arithmetik der ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Die Anordnung in den ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Division mit Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Teilbarkeit und größter gemeinsamer Teiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Faktorisierung in Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2 Funktionen und erste Zählprinzipien 12 2.1 Grundideen der Diskreten Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.1.1 Summation - die Grundidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Rekursion - die Grundidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.3 Erzeugende Funktionen - die Grundidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.4 Asymptotische Analyse - die Grundidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.2 Begriffliches und endliche Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Elementare Zählprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.3.1 Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.3 Regel vom zweifachen Abzählen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.4 Die fundamentalen kombinatorischen Grundfiguren und zugehörige Zählkoeffizienten 17 2.4.1 k-Teilmengen einer n-Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.2 Ungeordnete Mengen- und Zahlpartitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.3 Geordnete Mengen- und Zahlpartitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.4 Zählkoeffizienten und Funktionen endlicher Mengen . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.5 Ziehen aus einer Urne bzw. Verteilen auf Fächer . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.6 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.5 Rekursionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.1 Rekursion der Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.2 Negation und das Reziprozitätsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.3 Binomialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.4 Vandermonde-Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.5 Rekursionsgleichungen der Stirling-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.6 Existenzaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6.1 Schubfachprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    ∗Dies ist im eigentlichen Sinne keine Vorlesungsausarbeitung, sondern nur das LATEX-Manuskript einer aus Zeit- gründen nicht überarbeiteten Vorlesungsmitschrift. Für Hinweise auf Inkorrektheiten oder Flüchtigkeitsfehler ist der Autor dankbar.

    i

  • INHALTSVERZEICHNIS ii

    2.6.2 Der Satz von Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3 Summation 34 3.1 Direkte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3.1.1 Derangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Differenzenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Inklusion - Exklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.5 Einige arithmetische Anwendungen; Möbius-Inversionsformel . . . . . . . . . . . . . 48

    4 Erzeugende Funktionen 51 4.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 Lösung von Rekursionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3 Erzeugende Funktionen vom Exponentialtyp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.5 Der binomische Lehrsatz für negative Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.6 Homogene lineare Rekursionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.7 Rekursiv definierte Folgen als Objekte der Linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . 65 4.8 Der inhomogene Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    5 Diskrete Strukturen und Geometrie 67 5.1 Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2 Zyklische Konstruktion von Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3 Lateinische Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    6 Gruppen 72 6.1 Begriffliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.2 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.3 Zyklische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.4 Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    6.4.1 Die Gruppen und Ringe Zm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.4.2 Invertierbare Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    6.5 Definierende Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.6 Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.7 Eine ergänzende Charakterisierung von zyklischen Gruppen . . . . . . . . . . . . . . 80 6.8 Faktorgruppen und Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.9 Endliche abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    7 Permutationsgruppen 86 7.1 G-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.2 Genaueres über Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.3 Die Klassengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    8 Ringe, Körper, Polynome 91 8.1 Begriffliches zur Ringtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.2 Ringhomomorphismen und Faktorringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.3 Integritätsbereiche und Quotientenkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.4 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.5 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.6 Faktorisierung von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

  • LITERATUR 1

    9 Endliche Körper und einige Anwendungen 101 9.1 Ein endlicher Körper mit 9 Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.2 Die Ordnung eines endlichen Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.3 Zur Konstruktion endlicher Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.4 Der Satz vom primitiven Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 9.5 Endliche Körper und lateinische Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 9.6 Endliche Körper und Designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9.7 Quadrate in endlichen Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    Bei der Erstellung der Vorlesung wurde, nicht an jeder Stelle explizit kenntlich gemacht, auf die folgenden Bücher zurückgegriffen. Der ursprüngliche Vorlesungstext in einer früheren, noch teilweise erkennbaren Version folgte auf weite Strecken dem Text von Biggs [5]. In einer späteren Version wur- de Teile aus dem Buch von Aigner [1] eingearbeitet. Historische Hinweise auf Mathematiker/innen sind oft dem Lexikon [14] entnommen.

    Literatur

    [1] Aigner, M.: Diskrete Mathematik. Braunschweig: Vieweg Verlag. 2003.

    [2] Artin, M.: Algebra. Basel: Birkhäuser. 1993.

    [3] Artmann, B.: Einfhrung in die neuere Algebra. Gttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. 1973.

    [4] Beutelspacher, A.; Rosenbaum, U.: Projektive Geometrie. Braunschweig: Vieweg. 1992.

    [5] Biggs, N.L.: Discrete Mathematics. Oxford: Oxford Science Publications. Clarendon Press. 1985.

    [6] Cohn, P.M.: Algebra 1 (Second edition). London: Wiley. 1989.

    [7] Dummit, D. S.; Foote, R. M.: Abstract Algebra. London: Prentice-Hall International. 1991.

    [8] Fischer, G.; Sacher, R.: Einführung in die Algebra. Stuttgart: Teubner. 1974.

    [9] Lang, S.: Algebra. New York: Addison-Wesley.

    [10] Kline, M. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford University Press. 1972.

    [11] van Lint, J.H. & Wilson, R.M. A Course in Combinatorics. Cambridge: Cambridge Uni- versity Press. 1998.

    [12] Schulz, R.-H.: Codierungstheorie. Eine Einführung. Braunschweig: Vieweg. 1991.

    [13] Waerden, B. L. van: A History of Algebra. Berlin: Springer Verlag. 1980.

    [14] Spektrum: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. 2000.

  • Algebraische Strukturen und Diskrete Mathematik 1 1

Recommended

View more >