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  • Algebraische Strukturen und Vektorräume

    Algebraische Strukturen

    Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere endliche oder unendliche Men- ge von Elementen mit einer (oder mehreren) darin definierten Operation(en) samt den dazugehörigen Verknüpfungsvorschriften.

    Gruppe

    Eine Gruppe G ist eine algebraische Struktur, bei der genau eine Verknüp- fungsvorschrift definiert ist, welche den Axiomen Gl bis G4 genügt. DieMen- ge der Elemente sei A = { a1 , a2 , a3 , ... } . Die Verknüpfungsvorschrift für die Elemente von A wird i.allg. durch plus ( +) oder mal ( ·) dargestellt und als Addition bzw. Multiplikation bezeichnet, obgleich sie nicht der gewöhnlichen Addition und Multiplikation von Zahlen zu entsprechen braucht.

    Axiom Gl: Abgeschlossenheit Wird die Verknüpfungsvorschrift auf zwei beliebige Elemente der Gruppe an- gewendet, dann ist das Ergebnis definiert und wieder ein Element der Gruppe: Additive Gruppe (Summe) Vi,j. ai + ai = ak, Multiplikative Gruppe (Produkt) Vi,j. ai · ai = ak .

    Axiom G2: Assoziatives Gesetz Für drei beliebige Elemente gilt: bei einer additiven Gruppe Vi,j, k. (ai + ai) + ak = ai + (ai + ak) , bei einer multiplikativen Gruppe Vi,j, k. (ai · ai) · ak = ai · (ai · ak). Axiom G3: Neutrales Element In einer Gruppe gibt es genau ein neutrales Element. Bei einer additiven Grup- pe ist dies das Nullelement: \Ii. ai + 0 = 0 + ai = ai ; bei einer multiplikativen Gruppe ist dies das Einselement:

  • 270 Algebraische Strukturen und Vektorräume

    Vi. ai · 1 = 1 · ai = ai . Axiom G4: Inverses Element Zu jedem Gruppenelement existiert ein inverses Element. Die Verknüpfung beider Elemente liefert das neutrale Element. Bei einer additiven Gruppe be- zeichnet man das zu ai inverse Element -ai: Vi. ai + ( -ai) = ( -ai) + ai = 0; bei einer multiplikativen Gruppe mit a;1: \../" -1 -1 1 vz. ai · ai = ai · ai = . Gilt zusätzlich zu den Gruppenaxiomen das kommutative Gesetz bei einer additiven Gruppe Vi,j. ai + ai = ai + ai, bei einer multiplikativen Gruppe Vi, j. ai · ai = ai · ai , dann heißt die Gruppe kommutativ oder abelsch.

    Ring

    Ein RingRist eine algebraische Struktur, für dessen Elemente zwei Verknüp- fungsvorschriften definiert sind, die Addition und die Multiplikation. Die fol- genden Axiome müssen erfüllt sein.

    Axiom Rl: Abelsche Gruppe bzgl. der Addition Die Elemente aus A bilden eine Gruppe bzgl. der Addition. Die Gruppe ist abelsch.

    Axiom R2: Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation Das Produkt zweier beliebiger Elemente aus A existiert und ist wieder ein Ele- ment aus A: Vi, j. ai · ai = ak . Axiom R3: Assoziatives Gesetz bzgl. der Multiplikation Für drei beliebige Elemente aus A gilt: Vi,j, k. (ai · ai) · ak = ai · (ai · ak). Axiom R4: Distributives Gesetz Für drei beliebige Elemente aus A gilt: ai · (ai + ak) = ai · ai + ai · ak und (ai + ai) · ak = ai · ak + ai · ak. Gilt für beliebige Elemente eines Ringes zusätzlich das kommutative Gesetz bzgl. der Multiplikation, d.h. Vi,j. ai · ai = ai · ai, dann heißt der Ring kom- mutativ.

    Körper

    Ein Körper K erfüllt die Axiome K1 bis K4.

    Axiom Kl: Kommutativer Ring

  • Algebraische Strukturen und Vektorräume 271

    Die Elemente eines Körpers bilden einen kommutativen Ring.

    Axiom K2: Einselement Es existiert ein Einselement, so daß für ein beliebiges Element des Körpers gilt: Vi. ai · 1 = 1 · ai . Axiom K3: Inverses Element Jedes von Null verschiedene Element eines Körpers besitzt ein multiplikatives Inverses: Vi. ai · a;1 = a;1 · ai = 1 mit ai =I= 0. Die von Null verschiedenen Elemente eine Körpers genügen allen Gruppenaxi(}- men bzgl. der Multiplikation und bilden daher eine multiplikative Gruppe.

    Vektoren und Vektorräume

    Einen n-Thpel (a1 a2 ... an), der aus der geordneten Menge von n Elemen- ten eines beliebigen Körpers K besteht, bezeichnet man als Vektor v: v = (a1a2 ... an). Man sagt, ein solcher n-stelliger Vektor hat die Längen.

    Eine nichtleere Menge V= { v1 , v2, ... }, deren Elemente Vektoren vi sind, heißt ein linearer Vektorraum über einem beliebigen Körper K, dessen Elemente aij Skalare genannt werden, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind.

    Axiom Vl: Abelsche Gruppe bzgl. der Addition Die Menge V ist eine abelsche Gruppe bzgl. der Addition.

    Axiom V2: Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Zu jedem Vektor v3 und einem beliebigen Körperelement ai ist ein Produkt aivj definiert, welches wieder einen Vektor darstellt: aivj = ai (ajl a32 ... ajn) = (aiajl aiaj2 ... aiajn)

    = (akl ak2 ... akn) = Vk. Axiom V3: Distributives Gesetz der Multiplikation mit einem Skalar bzgl. der vektoriellen Addition Sind v3 und vk Vektoren aus V und ist ai ein Skalar, dann gilt: ai(vj + vk) = aivj + aivk. Axiom V 4: Distributives Gesetz der Multiplikation mit einem Skalar bzgl. der skalaren Addition Ist vk ein Vektor und sind ai und a3 Skalare, dann gilt: (ai + a3)vk = aivk + a3vk. Axiom VS: Assoziatives Gesetz der Multiplikation mit einem Skalar Ist Vk ein Vektor und sind ai und a3 Skalare, dann gilt: (aiaj)vk = ai(ajvk).

  • Lösungen der Aufgaben

    Abschnitt 2 Abschn. 2.2.1

    1. a) Hm = 2, 06 bitjZeichen b) Ho= 2, 58 bitjZeichen

    2. Ho= 14,3 · 103 bitjSeite 3. a) Ho = 6, 65 bitj Meßwert

    b) Ho= 9, 96 bitj Meßwert 4. a) Hm = 1, 875 · 105 bitj Bild

    b) Ho= 2, 32 · 105 bitj Bild 5. a) Hm = 6,07 bitjAmplitudenwert

    b) Ho= 6,80 bitjAmplitudenwert 6. a) Hm = 6, 51 bit/Zahl

    b) Ho= 6,64 bit/Zahl

    Abschn. 2.2.2

    1. a) p(x1) = p(x2) = 0, 25, p(xa) = 0, 50 b) HM = 1, 28 bitjZeichen

    2. a) p(zl) = 0,30, p(z2) = 0,66, p(za) = 0,04 b) HM = 0, 94 bit/Zustand

    3 )- ....E.._ - ~ . a Pl = ~+JL' P2 = ~+JL

    b) HM = Pl ((1- .\) ld 1 ~~ + ,\ ld t) + P2 (tLld ~ + (1- J.L) ld l~JL) Abschn. 2.2.3

    1. a) H(A) = 1, 54 bitjZeichen, H(B) = 1, 57 bitjZeichen b) H(AIB) = 1,45 bitjZeichen, H(BIA) = 1,48 bitjZeichen c) H(A, B) = 3, 02 bitjZeichenpaar

    2. a) H(X) = 1, 55 bitjZeichen, H(Y) = 2, 29 bitjZeichen b) H(XIY) = 1, 39 bitjZeichen c) 1. H(X, Y) = 3, 68 bitjZeichenpaar

    2. H(X, Y) = 2, 29 bitjZeichenpaar

  • Lösungen der Aufgaben 273

    Abschn. 2.3

    1. Hrel = ld 2ae

    Abschnitt 3

    Abschn. 3.2 und 3.3

    1. a) Eindeutig dekodierbar: K1, K3, K4 b) lm = 2,5 BZ/QZ für K1 und K3 c) RK = 0, 08 bit/QZ

    2. H(X,X) = H(X) + H(X) = 2 · H(X) (vollständige Unabhängigkeit), allgemein: H(Xm) = H(X) + H(X) + ... + H(X) = m · H(X)

    mmal

    Abschn. 3.4.2.1 und 3.4.2.2

    1. a) lm = 3, 16 BZ/QZ, RK = 0, 38 bitfQZ b) lm = 2,84 BZ/QZ, RK = 0,06 bitfQZ c) lm = 2,81 BZ/QZ, RK = 0,03 bitfQZ

    2. a) Optimalkode b) lm = 2, 97 BZ/Amplitudenwert c) lll = 1,13 BZ/Amplitudenwert

    3. a) Hm = 7, 95 bitf Signalwert b) lm = 8,50 BZ/Signalwert c) llRK = 1, 50 bitf Signalwert

    Abschn. 3.4.2.3

    1. a) RK = 0, 53 bit/QZ b) RK = 0,18 bitfQZ c) RK = 0, 06 bit/QZ

    2. m = 1 : RK = 0, 10 bit/QZ m = 2: RK = 0,04 bit/QZ

    3. a) Optimalkode einer erweiterten Quelle für m = 3 b) 27,3%, da lm = 0, 727 BZ/QZ für m = 3 c) nein, weil Hm = 0, 723 bitfQZ ~ lm

    Abschn. 3.4.2.4

    1. a) Teilkodes mit lml = 1, 9, lm2 = 1, 5, lm3 = 1, 6, lm4 = 1, 0 b) RK = 0, 21 bit/Zustand c) lll = 0, 45 BZ/Zustand

    Abschnitt 5 1. a) HT = 0,53bit/KZ

    b) HT = 0,36bit/KZ

  • 27 4 Lösungen der Aufgaben

    2. f(O) = 0 bitj KZ, f(O, 5) = 1 bitf KZ 3. a) Hr = 0,31bit/KZ, H(X) = 1bitfZ

    b) Hr = 0, 17bitfKZ, H(X) = 0, 72bit/Z c) Hr = 0,27bit/KZ, H(X) = 0, 72bitjZ

    4. a) p(xi) = 0, 63, p(x2) = 0, 37 b) Hr = 0,55bitjKZ c) Hr = 0,61bit/KZ

    5. Hr = 0, 75bit/KZ, Hrero = 0, 71bit/KZ 6. Hr = 1,36bit/KZ 7. a) Hr = ldN- PF ld (N- 1) + ppldpp + {1- PF) ld {1- PF)

    b) Max.: PJ = 0, Hrmaz = ldN N-1

    Min.: PF = ~' Hrmin = 0 8. gesichert: !Q = 258QZ/s, ungesichert: !Q = 300QZ/s Abschnitt 6

    tl.C 1. a) C ~58%

    tl.C b) c ~ 10%

    2. a) C ~ 3 ·104 bitfs b)r=45dB c) t = 33s d) t = 167 s

    3. B ~ 5,2MHz 4. a) sv ~ 105 bitfern

    b) C ~ 1,9·106 bit/s

    Abschnitt 7 1. Optimale Kennlinie: Hrelopt = ld {2a), lineare Kennlinie: Hrellin = ld {1, 65a)

    tl.H = Hrelopt - Hrellin = 0, 28 bitj PW 2. a) N = 32

    b) tü = 12 s c) tü ~ 4s

    3. a) f 9 = 6,25kHz b) tu< 0, 08ms cl) B ~50kHz c2) B ~25kHz

    4. a) ungesichert: v8 = 1, 4 · 104 K Z / s, gesichert: v8 = 1, 63 · 104 K Z / s b) ungesichert: B ~7kHz, gesichert: B ~ 8,15kHz c) ungesichert: Ir~ 1,2 ·104 bitjs, gesichert: Ir= 1,4 ·104 bitfs

    5. a) l = 7 Kanäle b) 5% der Gesamtmenge c) Q = 70bit

  • Lösungen der Aufgaben 275

    6. a) l:l.U = 15,6mV b) Vü = 1600 bitj S

    7. Intervall 1 2 3 4 5 6 7 a) WK. 0,032 0,030 0,054 0,089 0,121 0,113 0,061 b) WK. 0,227 0,124 0,068 0,037 0,020 0,011 0,013 c) Hapt = 7,64bit/PW, Hlin = 7, 12bit/PW

    Abschnitt 8 Abschn. 8.1.3

    1. k = 10 2. k = 6 -4 Tk = 0, 095 ; R = 0, 905 3. n = 15, k = 5 (Anwendung Gl. (8.13));

    dmin = 3 : fk = 1 bzw. fe = 2 oder dmin = 4: fk = 1, /e = 2 bzw. /e = 3 (Anwendung Gl. (8.10))

    Abschn. 8.2.1.2

    1. ai = (101101), a2 = (001100), a3 = (010111); Tk = 0,167 2.

    1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 -4 Tk = 0,333; 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0

    1 0 0 1 1 0 0 1 0 so= 0 0 1 0

    t Abschn. 8.3.2

    1. a) Nein! b) dmin = 2

    2. a) a4 = (0 10

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