2. transformatory i maszyny elektryczne 1clucyk/ze/ze-2a.pdf · 2. transformatory i maszyny...

42 Zasady energoelektryki

2. TRANSFORMATORY I MASZYNY ELEKTRYCZNE 1

2.1. PRZENOSZENIE ENERGII ZA POŚREDNICTWEM POLA MAGNETYCZNEGO

Maszyny elektryczne i transformatory przetwarzają energię przy udziale pola magnetycznego. Energia dostarczana ze źródła zewnętrznego (elektryczna - do silnika i transformatora, mechaniczna - do prądnicy), zamienia się na energię pola magnetycznego, ta zaś ulega przetworzeniu na energię o postaci, w jakiej jest użytkowana bezpośrednio (mechaniczną - w silniku) lub po dalszym przetworzeniu (elektryczną - w prądnicy i w transformatorze). W tym czasie, w uzwojeniach, pod wpływem zmian wartości strumieni magnetycznych skojarzonych z zezwojami, indukują się napięcia.

Zgodnie z prawem indukcji elektromagnetycznej Faradaya, w zezwoju indukuje się napięcie

dt

dui

Ψ= , (2.1)

gdzie: Ψ - strumień skojarzony z zezwojem.

W przypadku, gdy zmiany strumieni magnetycznych są proporcjonalne do zmian wytwarzających je prądów lub przepływów (układ jest liniowy), używa się - jak wiadomo - pojęć indukcyjności: własnej L i wzajemnej M (jeśli litera M jest symbolem innej wielkości, np. momentu maszyny, to stosuje się inne oznaczenie, np. Ll2), oraz związanych z nimi - reluktancji obwodów magnetycznych Rµ . Przy prądzie sinusoidalnym operuje się, odpowiednio, pojęciami reaktancji indukcyjnych: własnej XL i wzajemnej XM . Wartość skuteczna sinusoidalnego napięcia indukowanego jest iloczynem odpowiedniej reaktancji indukcyjnej przez wartość skuteczną prądu wytwarzającego strumień; między przebiegami czasowymi napięcia indukowanego i prądu wytwarzającego strumień występuje przesunięcie kątowe równe ±π /2 (znak zależy od sposobu strzałkowania napięcia i prądu).

Zmiany strumienia skojarzonego z zezwojem mogą, w ogólnym przypadku, wynikać ze zmian strumienia w czasie oraz zmian wzajemnego położenia zezwoju i pola, tzn.

),( xtΨΨ = ,

przy czym położenie zwykle jest też funkcją czasu

)(txx = , stąd

dt

dx

xtui

∂∂+

∂∂= ΨΨ

. (2.2)

1 Literatura do tego rozdziału: [1, 4, 9, 13, 14, 16, 17, 20].

2. Transformatory i maszyny elektryczne 43

Mogą występować dwa przypadki szczególne.

1. Jeśli uzwojenie jest nieruchome względem osi strumienia w czasie, to występuje tylko napięcie (sem) transformacji

tut ∂

∂= Ψ ; (2.3)

2. Jeśli jeden bok zwoju porusza się z prędkością względem linii pola o indukcji B, stałej w czasie, to występuje tylko napięcie (sem) rotacji

vlBur = , (2.4)

gdzie: l - długość boku zwoju.

Zwrot napięcia rotacji określa reguła prawej dłoni. Jeśli zwroty prądu i napięcia indukowanego w uzwojeniu są zgodne, to dla obwodu zewnętrznego jest ono źródłem energii, jeśli przeciwne - odbiornikiem.

Napięcie indukowane w uzwojeniu jest tą wielkością, która wyraża istotę procesu przenoszenia energii za pomocą pola magnetycznego. Iloczyn prądu płynącego w uzwojeniu przez napięcie w nim indukowane wyznacza moc przenoszoną, którą przyjęto nazywać elektromagnetyczną lub wewnętrzną mocą tego uzwojenia.

Elektromagnetyczna moc chwilowa wynosi

dt

diuip ie

Ψ == . (2.5a)

Średnia wartość sinusoidalnego przebiegu elektromagnetycznej mocy chwilowej jest elektromagnetyczną mocą czynną

iie IUP ϕcos = , (2.5b)

gdzie ϕ i jest kątem przesunięcia fazowego między napięciem indukowanym w uzwojeniu i płynącym w nim prądem (między wskazami: Ui i I ).

Przy przenoszeniu energii między nieruchomymi cewkami napięcie indukowane jest napięciem transformacji ti uu = .

Szczególny charakter ma przenoszenie energii przez samoindukcję w cewce. Praca prądu elektrycznego w uzwojeniu zamienia się wówczas na energię pola magnetycznego, a ta - po zaistnieniu odpowiednich warunków - znowu w pracę prądu elektrycznego. Elektromagnetyczna moc czynna idealnej cewki (w obwodzie prądu sinusoidalnego) jest w wyniku tego równa zeru, co zostało objaśnione na wykresie wskazowym (rys. 2.1a), gdzie ϕi = π /2. Idealna cewka nie rozprasza energii, tylko wymienia cyklicznie z obwodem zewnętrznym taką jej porcję, jaką w danych warunkach jest zdolna zmagazynować w swym polu magnetycznym.

Na wykresie wskazowym (rys. 2.1b) wyjaśniono przenoszenie energii między cewkami sprzężonymi. Zastosowano, jak poprzednio, odbionikową konwencję strzałkowania napięcia indukowanego i prądu. Jeśli prądy w cewkach są w fazie lub przeciwfazie, to elektromagnetyczna moc czynna każdej z nich jest równa zeru, a zatem układ nie przenosi energii. Jeśli prądy w cewkach są przesunięte w fazie, to jedna z cewek pobiera energię z zewnątrz (nr 2, bo ϕi2 < π /2 ), druga zaś - oddaje na zewnątrz (nr l, bo ϕi1 > π /2), więc w tym przypadku między cewkami jest przekazywana energia (z cewki nr 2 do cewki nr l).


Rys. 2.1. Uzwojenia oraz wykresy wskazowe występujących w nich prądów i napięć: a) pojedyncza cewka (samoindukcja), b) dwie cewki dodatnio sprzężone, jednakowe i różne kąty

fazowe prądów; konwencja odbiornikowa strzalkowania prądów i napięć indukowanych

Jeśli strumień skojarzony z uzwojeniem bierze udział w przetwarzaniu energii elektrycznej na pracę mechaniczną albo na odwrót, to moc elektromagnetyczną można wyrazić wzorami:

vfp ee = (2.6a)

lub ωmp ee = , (2.6b)

gdzie: fe - siła elektromagnetyczna w ruchu postępowym, v - prędkość liniowa, me - moment elektromagnetyczny, ω - prędkość kątowa.

Napięcie indukowane, które dotyczy wyłącznie przemiany elektromechanicznej, jest napięciem rotacji ri uu = . W tym przypadku, z porównania wzorów (2.5a) i (2.6a) wynika

vfui er =

a następnie po podstawieniu (2.4), otrzymuje się znaną zależność dotyczącą siły działającej na przewód o długości l , który znajduje się w polu magnetycznym o indukcji B i przez który przepływa prąd i :

liBfe = . (2.7)

I1


Zwrot siły elektromagnetycznej jest określony regułą lewej dłoni. Jeśli zwroty siły elektromagnetycznej wytwarzanej w uzwojeniu i prędkości liniowej (momentu elektromagnetycznego i prędkości kątowej) tego uzwojenia względem pozostałej części układu są zgodne, to dostarcza ono energii do wykonania pracy mechanicznej, jeśli zaś przeciwne, to pobiera z zewnątrz energię w postaci pracy mechanicznej.

W elementarnym czasie dt, przenoszona w tej przemianie - za pośrednictwem pola magnetycznego - elementarna porcja energii dWµ = pe dt, równa elementarnej pracy siły elektromagnetycznej dA = fe v dt i elementarnej pracy prądu elektrycznego, związanej z przemianą elektromechaniczną dA = ur i dt .

Aby przy udziale pola magnetycznego można było przetwarzać duże moce elektryczne czy mechaniczne, to układ powinien być zdolny do gromadzenia w tym polu dostatecznie dużej energii.

Ogólnie, energia, wytwarzana w polu magnetycznym cewki przez prąd przez nią płynący w czasie dt, równa się pracy prądu w obwodzie elektrycznym cewki

ΨdidtiuAdW iµ d === . (2.8a)

Ponieważ przepływ Θ = i z, więc można też zapisać

ΦΘµ =dW . (2.8b)

Zgodnie z powyższym, energia pola magnetycznego, wytwarzana przez jedno uzwojenie, wyraża się następująco:

∫∫ ==ΦΨ

µ ΦΘΨ00

ddiW , (2.9)

co pokazano poglądowo na rysunku 2.2. Zakreskowane powierzchnie reprezentują energię pola magnetycznego przy zaznaczonych wartościach Ψ oraz i (Θ oraz Φ).

Rys. 2.2. Charakterystyki magnesowania we współrzędnych (i, Ψ) oraz (Θ, Φ)

Trudniej o podobną ilustrację energii pola w przypadku dwóch lub więcej uzwojeń sprzężonych magnetycznie. Prąd każdego z uzwojeń wytwarza strumień, który sprzęga się w całości z własnym uzwojeniem, a częściowo z każdym z pozostałych.

ΨΨΨΨ

ΨΨΨΨ


Na rysunku 2.3 przedstawiono schematycznie prądy i strumienie dwóch uzwojeń sprzężonych. Na energię pola wpływają oba uzwojenia. Przy dodatnim sprzężeniu można to wyrazić przyrostowo za pomocą następującej zależności:

( ) ( )( ) ( )

( ) .

d

221121

12222111

21222121112211

ss

gsggsg

dΦΘ dΦΘ dΦΘΘ

dΦdΦdΦdd

dddddddW

+++=

=+++++=

=+++=+=

ΘΦΦΦΘΦΦΘΦΦΘΦΘΦΘµ

(2.10a)

Przy ujemnym sprzężeniu natomiast

( ) 221121 ssµ dΦΘ dΦΘ dΦΘΘdW ++−= (2.10b)

Zakładając że strumienie rozproszeniowe Φs1 i Φs2 są dużo mniejsze od łącznego strumienia

21 gg ΦΦΦ += (2.10c)

można wykorzystać charakterystykę magnesowania obwodu magnetycznego, jako zależność strumienia Φ od łącznego przepływu

21 ΘΘΘ ±= (2.10d)

(zawsze, gdy wystąpi znak ,,±", należy brać ,,+" przy sprzężeniu dodatnim, a ,,-" przy sprzężeniu ujemnym).

Rys. 2.3. Składniki przyrostów strumieni magnetycznych uzwojeń sprzężonych

Nie ma natomiast potrzeby, by korzystać z charakterystyki magnesowania, gdy układ jest liniowy, tzn. wartości odpowiednich strumieni i przepływów (prądów) są do siebie proporcjonalne, a miarą tej proporcjonalności są indukcyjności własne lub wzajemne

dΦ12 = dΦg2

dΦ21 = dΦg1 dΦ1 = dΦ11 + dΦ12

dΦs2

dΦs1

dΦ2 = dΦ22 + dΦ21

dΦ11 = dΦg1 + dΦs1

dΦ22 = dΦg2 + dΦs2

dΦ = dΦg1 + dΦg2

z2

z1


poszczególnych uzwojeń, albo - związane z nimi - reluktancje obwodów magnetycznych: głównego i rozproszeniowych.

Wyrażenie na energię pola pojedynczej cewki - o z zwojach, indukcyjności L oraz

reluktancji obwodu magnetycznego LzR /2=µ - występuje w następujących postaciach:

µ

µµ R

ΘΦΘΦRL iW

222

2

1

2

1

2

1

2

1 ==== . (2.11a)

Pierwsze dwa warianty zapisu (2.11a) są wynikiem obliczenia całek we wzorze (2.9), po uprzednim podstawieniu do nich:

diLd =Ψ oraz ΦRΘ µ = .

Następne warianty zapisu (2.11a) to wynik przekształcenia drugiej postaci, z dwukrotnym wykorzystaniem - w odpowiedniej formie - wzoru na Θ.

Dla strumieni, prądów, przepływów i energii pola magnetycznego dwóch cewek (uzwojeń) - sprzężonych dodatnio, jak na rysunkach 2.1b i 2.3, lub ujemnie - zachodzą następujące związki (co do znaku ,,±", obowiązuje wcześniejsza umowa):

21112111 diMdiLddd ±=+= ΨΨΨ ,

12221222 diMdiLddd ±=+= ΨΨΨ ,

( ) 22212211112211 diiLdiidiiMdiiLdididW ++±=+= ΨΨµ ,

gdzie: - indukcyjności własne cewek

111 LL = , 222 LL = ,

- indukcyjność wzajemna cewek

2112 LLM == , oraz

ΦΘ µ R= , s11 1 ΦΘ µ sR= , s22 2 ΦΘ µ sR= ,

222 111 ssssss dRdRdRdW ΦΦΦΦΦΦ µµµµ ++= .

Na podstawie powyższych wzorów, postępując podobnie jak przy pojedynczej cewce, otrzymuje się wyrażenie - również w 4 postaciach - na energię pola magnetycznego dwóch cewek sprzężonych:

( )

( ) . 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

22

1

21

2

2211

222

211

222221

211

++=++=

=++=+±=

ssss

ssss

RRR

RRRiLiiMiLW

µµµ

µµµµ

ΘΘΘΦΘΦΘΦΘ

ΦΦΦ (2.11b)

Między indukcyjnościami cewek z rysunku 1.6b i reluktancjami obwodów magnetycznych z rysunku 1.8 zachodzą następujące, łatwe do wyprowadzenia, zależności:

M

zzR 21 =µ ,

Mz

zL

zR s

2

11

21

1

−=µ ,

Mz

zL

zR s

1

22

22

2

−=µ ,


albo

µR

zzM 21 = ,

+=

1

211

11

sRRzL

µµ

,

+=

2

222

11

sRRzL

µµ

.

2.2. TRANSFORMATOR JEDNOFAZOWY

Rys. 2.4. Transformator jednofazowy dwuuzwojeniowy: a) schemat ogólny, b) schemat

dwuobwodowy bez uwzględnienia strat w rdzeniu, c) schemat jednoobwodowy bez uwzględnienia strat w rdzeniu, d) schemat jednoobwodowy z uwzględnieniem strat w rdzeniu przy f = const

Strumień główny Φ transformatora jednofazowego (rys. 2.4a), obejmujący uzwojenie pierwotne i wtórne, zamyka się w rdzeniu. Drogi strumieni rozproszeniowych Φs1 i Φs2 w całości bądź w części, przebiegają w powietrzu. Strumień główny jest wytwarzany przez prądy płynące w obu uzwojeniach, a strumienie rozproszeniowe - przez prądy płynące przez

L s1

X s1

L’s2

X ‘s2


uzwojenia, z którymi jest skojarzony z osobna każdy ze strumieni. Poza tym, na strumień główny mają wpływ prądy wirowe, towarzyszące indukowaniu się napięć w miniobwodach (w rdzeniu i elementach konstrukcyjnych), oraz histereza towarzysząca przemagnesowywaniu rdzenia. Jeśli nie uwzględnia się wpływu prądów wirowych i histerezy, to schemat obwodu ma postać przedstawioną na rys. 2.4b. Odpowiada jej równanie na bilans energii w czasie dt :

dtiudtiRdWdtiRdtiu 22222

21111 +++= µ ,

w którym

2211 ss ddddW ΦΘΦΘΦΘ µµ ++= ,

dt

dz

dt

dziRuuiRu s

gisi

ΦΦ1

11111 1 111 ++=++=

,

222

22222 2 2 iRdt

dz

dt

dziRuuu s

sigi −−=−−=ΦΦ

,

gdzie Θµ - przepływ magnesujący, który wzbudza strumień Φ.

Z powyższych równań otrzymuje się wzór na równowagę przepływów, bez uwzględnienia strat w rdzeniu

21 ΘΘΘ µ += . (2.12)

Wzór ten dotyczy wartości chwilowych, należy więc pamiętać o wzajemnym przesunięciu faz przebiegów sinusoidalnych przepływów Θ2 i Θµ . Wzór dla wartości symbolicznych ma analogiczną postać:

21 ΘΘΘ µ += . (2.13)

Wartość chwilowa mocy elektromagnetycznej transformatora

2222 idt

dziup gie

Φ== ,

po przeliczeniu na stronę pierwotną, wyraża się następująco

'21

'22 i

dt

dziup gie

Φ== .

Z porównania prawych stron tych równań otrzymuje się prąd obciążenia transformatora przeliczony na stronę pierwotną

221

2' 2

1 ii

z

zi

zϑ== (2.14)

i przekładnię zwojową

2

1

1

2

gi

giz u

u

z

z==ϑ . (2.15)

Wiążąc przepływ Θµ z obwodem pierwotnym, określa się prąd magnesujący

1zi µ

µ

Θ= . (2.16)


Z zależności (1.27), (1.29) i (1.31) wynika równanie '

21 iii += µ . (2.17)

Równanie dla wartości symbolicznych (przy prądach sinusoidalnych) ma podobną postać

' 21 III += µ . (2.18)

W efekcie powyższych zabiegów można narysować jednoobwodowy schemat transformatora z dwiema równoległymi gałęziami: magnesującą i obciążeniową (rys. 2.4c). Związane są z tym przeliczenia na stronę pierwotną:

a) prądu wtórnego - wg (2.14);

b) napięć wtórnych - wg (2.15):

2 1 gizgii uuu ϑ== , (2.19a)

2'

2 uu zϑ= , (2.19b)

c) rezystancji i indukcyjności uzwojenia wtórnego - wg (2.14) i zależności wynikających z równości energii:

- rozpraszanej przez rezystancję

dtiRdtiR 222

2 '2

' 2 = ,

czyli

22'

2 RR zϑ= , (2.20)

- magazynowanej w polu magnetycznym

222'21

' 2 z ss dzidi ΦΦ = ,

stąd

2' 2 ss ΦΦ = , tzn.

2

22

1

' 2

' 2

z

iL

z

iL= ,

czyli

22'

2 LL zϑ= . (2.21)

Traktując obwód magnetyczny jako liniowy, można również obliczyć indukcyjność gałęzi magnesującej - ze wzoru

µµµµ Θ

ΦΦR

zz

i

zL

21

211

=== , (2.22)

gdzie Rµ – reluktancja obwodu strumienia głównego Φ .

Straty energii występujące w rdzeniu ferromagnetycznym, spowodowane histerezą magnetyczną i prądami wirowymi, reprezentuje wprowadzona - podobnie jak w dławiku - zastępcza gałąź z rezystancją RFe (rys. 2.4d), spełniającą zależność (1.14) na średnią moc strat (moc czynną) ∆PFe przy sinusoidalnym przebiegu strumienia o częstotliwości f = const. Na podstawie tej zależności można obliczyć wartość rezystancji

Fe

iFe P

UR

∆

2

= . (2.23)


Przyjmując stałość parametrów schematu zastępczego transformatora dla stałej częstotli-wości (liniowość modelu), można moc chwilową strat ∆pFe przy prądzie chwilowym iFe wyrazić podobnie jak moc czynną ∆PFe przy prądzie skutecznym IFe (patrz - wzór (1.14):

22

FeFeFeiFe

iFe iRiu

R

up ===∆ . (2.24)

Ostatecznie, dla wartości chwilowych lub symbolicznych, otrzymujemy następujące równania prądów oraz przepływów:

' 21 iiii Fe ++= µ , (2.25)

' 21 IIII Fe ++= µ , (2.26)

21 ΘΘΘΘ µ ++= Fe , (2.27)

21 ΘΘΘΘ µ ++= Fe . (2.28)

Z równań tych wynika, że prąd pierwotny transformatora, wytwarzający przepływ Θ1, jest wymuszony przez przepływy: Θµ - konieczny do magnesowania rdzenia, ΘFe - związany ze stratami w rdzeniu, Θ2 - pochodzący od prądu wtórnego.

Przenoszenie energii w transformatorze, z obwodu pierwotnego do wtórnego, jest wynikiem wzajemnego oddziaływania przepływów Θ2 i Θ1, poprzez strumień w rdzeniu Φ. Bez udziału strumienia magnetycznego proces ten nie mógłby się odbywać. Przedstawienie schematu zastępczego transformatora w postaci jednego obwodu elektrycznego (rys. 2.4d) nie powinno więc zaciemniać faktu, że energia jest tu przenoszona na drodze elektromagnetycznej, a ściślej: elektro-magneto-elektrycznej (przez transformację), a nie: elektrycznej (przez przewodzenie). Częściowo elektryczne przenoszenie energii występuje w autotransformatorze, o czym będzie mowa w podrozdziale 2.3.

Schematowi zastępczemu transformatora (rys. 2.4d) odpowiada wykres wskazowy (rys. 2.5a) i wykres rozpływu mocy czynnej (rys. 2.5b). Ponieważ obciążenie transformatora może mieć różny charakter (cos ϕ ), a poza tym sam transformator pobiera moc czynną (strat) i bierną (magnesowania), warto więc zaznaczyć, że nie tylko moc czynna, lecz i bierna, obciąża cieplnie transformator i cały układ zasilania (prąd zależy od mocy pozornej i napięcia).

Moce występujące na rysunku 2.5b wyrażają się następująco:

1111 cos ϕIUP = , (2.29)

iie IUP ϕ cos ' 2= , (2.30)

2'

2'

22222 cos cos ϕϕ IUIUP == , (2.31)

2111 IRPCu =∆ , (2.32)

FeiFe IUP =∆ , (2.33)

2 ' 2

' 2

2222 IRIRPCu ==∆ . (2.34)

gdzie Pe oznacza moc elektromagnetyczną (średniookresową), natomiast występujące we wzorach: napięcia, prądy i kąty fazowe, zaznaczono na rysunku 2.5a, a rezystancje - na rysunku 2.4d.


Rys. 2.5. Wykres wskazowy (a) i wykres rozpływu mocy czynnej (b) transformatora

jednofazowego dwuuzwojeniowego

Powyższe analizy i wynikające z nich zależności odnoszą się do schematu transformatora sprowadzonego do strony pierwotnej (rys. 2.4c, d). Rozważania alternatywne, dotyczące schematu transformatora sprowadzonego do strony wtórnej, dają wzory analogicznej budowy. Przy przeliczaniu jednych wielkości na drugie stosuje się następujące formuły:

2

1

i

iz U

U== ϑϑ , '

221 iii UUU == ϑ , (2.35a, b)

2'

2 UU ϑ= , ϑ

1' 1

UU = , (2.36a, b)

ϑ2'

2

II = , 1

' 1 II ϑ= , (2.37a, b)

22'

2 RR ϑ= , 21'

1 ϑR

R = , (2.38a, b)

22'

2 ss XX ϑ= , 21'

1 ϑs

s

XX = . (2.39a, b)

Moc czynną traconą w transformatorze można podzielić na:

- składnik zależny od obciążenia, stanowiący straty zmienne

2 1 CuCuv PPP ∆∆∆ += , (2.40)

- składnik niezależny od obciążenia, stanowiący straty stałe

Fec PP ∆∆ = . (2.41)

Zależność (2.41) wynika z założenia stałej, niezależnej od prądu obciążenia, wartości napięcia Ui . Patrząc na rys. 2.4d łatwo zauważyć, że nie jest to zupełnie prawdziwe, ale przy


parametrach obiektów stosowanych w praktyce (odpowiednio małe wartości R1 i Xs1 ), można zgodzić się na takie przybliżenie stanu rzeczywistego.

Sprawność transformatora obciążonego mocą czynną P, przy oznaczonych jw. stratach mocy ∆Pv i ∆Pc , wyraża się wzorem

cv PPP

P

∆∆η

++= . (2.42)

Obciążenie transformatora określają wielkości występujące na zaciskach wyjściowych: napięcie U2 = U , prąd I2 = I i współczynnik mocy cos ϕ 2 = cos ϕ . Przyjmuje się, że napięcie wtórne ma wartość znamionową U = Un = const , zmiany obciążenia odbywają się przy niezmiennym współczynniku mocy cos ϕ = const , a stopień obciążenia (stosunek mocy pozornej obciążenia do mocy znamionowej) wynosi

nnnn

n

n I

I

S

P

IU

IU

S

Sy ====

ϕcos

. (2.43)

Straty mocy odpowiadające przyjętym warunkom wyrażają się następująco:

nvn

nvv PyI

IPP

2

2

∆∆∆ ⋅=

⋅≅ , (2.44)

ncc PP ∆∆ ≅ , (2.45)

gdzie: ∆Pv n - znamionowe straty mocy w uzwojeniach (przy prądzie znamionowym), ∆Pc n - znamionowe straty mocy w żelazie (przy napięciu znamionowym).

Ze wzorów: (2.42), (2.43), (2.44) i (2.45), wynika wyrażenie

ncnvn

n

PPySy

Sy

2cos

cos

∆∆ϕϕη

+⋅+⋅⋅

= (2.46)

którego wartość osiąga maksimum przy

vcnc PyP 2max ∆∆ ⋅= ,

czyli

vc

nc

P

Py

max ∆

∆= , (2.47)

a wówczas, zgodnie z (2.44) i (2.45):

cv PP ∆∆ = (2.48)

Transformator ma największą sprawność, gdy pracuje obciążony w takim stopniu, że straty zmienne są równe stratom stałym. Podobny wniosek można sformułować także dla innych urządzeń elektrycznych.

Przetwarzanie energii w transformatorze związane jest ze zmiennym w czasie i nieruchomym w przestrzeni polem magnetycznym. W podrozdziale 2.6 korzysta się z podobnego - do schematu zastępczego transformatora - schematu zastępczego trójfazowego silnika indukcyjnego, chociaż w silniku tym występują ruchome (wirujące lub wędrujące) pola magnetyczne części nieruchomej i ruchomej. Trzeba jednak zaznaczyć, że prędkości przestrzennego przemieszczania się tych pól są jednakowe.


2.3. TRANSFORMATORY TRÓJFAZOWE

Transformator trójfazowy służy do zamiany jednego układu napięć i prądów trójfazowych na jeden lub więcej układów napięć i prądów trójfazowych, albo innych wielofazowych (dwu-, sześcio-, dwunastofazowych).

Zależnie od sposobu wykonania uzwojeń fazowych i trójfazowych transformatora trójfazowego, uzyskuje się w nim zmiany:

- wartości skutecznych napięć i prądów,

- faz początkowych (początkowego kąta fazowego) napięć międzyfazowych,

- liczby napięć użytkowych,

- liczby faz.

Rys. 2.6. Rodzaje transformatorów trójfazowych, ze względu na sposób rozmieszczenia uzwojeń na rdzeniu: a) rdzeniowe, b) płaszczowe, c) pięciekolumnowe (l - kolumna, 2 - jarzmo, 3 - uzwojenie)

Rdzeń transformatora energetycznego wykonany jest z blach transformatorowych, grubości około 0,3 mm, wzajemnie od siebie izolowanych. Składa się on z kolumn (słupów) oraz łączących je jarzm. Uzwojenia transformatora osadzane są na kolumnach w różny sposób; transformatory trójfazowe mogą być wykonywane jako rdzeniowe, płaszczowe lub pięciokolumnowe (rys. 2.6).

Rys. 2.7. Rodzaje uzwojeń, ze względu na sposób ułożenia cewek górnego (g) i dolnego (d) napięcia: a) cylindryczne, b) krążkowe


Materiałem przewodzącym używanym na uzwojenia jest miedź lub (niekiedy) aluminium. Ze względu na oddziaływania elektrodynamiczne i łatwiejsze wykonanie, zwoje mają kształt kołowy. Uzwojenia mogą być wykonywane jako cylindryczne lub krążkowe (rys. 2.7).

Rdzeń z uzwojeniami transformatora energetycznego może być umieszczony w powietrzu lub - dla lepszego chłodzenia i izolowania - w kadzi z olejem (transformator olejowy). W warunkach szczególnego zagrożenia pożarowego stosuje się transformatory suche.

Pod pojęciem uzwojenia fazowego transformatora rozumie się każde uzwojenie z wyprowadzonym i oznaczonym początkiem oraz końcem. Zgodnie z przyjętą zasadą oznaczania zacisków uzwojeń sprzężonych magnetycznie, początki (końce) uzwojeń tej samej fazy są jednoimienne, a faz różnych - różnoimienne (rys. 2.8). Pod pojęciem uzwojenia transformatora wielofazowego (trójfazowego) rozumie się zespół połączonych ze sobą elektrycznie uzwojeń fazowych z wyprowadzonymi i oznaczonymi początkami faz i ewentualnie punktem zerowym (neutralnym). Transformator o jednym uzwojeniu, które ma dodatkowe wyprowadzenia zwane odczepami, nazywa się jednouzwojeniowym lub auto-transformatorem, o dwóch uzwojeniach - dwuuzwojeniowym, o trzech - trójuzwojeniowym.

Rys. 2.8. Oznaczenie jednoimienności zacisków (początków P lub końców K) uzwojeń fazowych transformatora trójfazowego względem początku wybranego uzwojenia fazy A

Uzwojenie zasilane energią nazywa się pierwotnym, a uzwojenia, z których energia jest pobierana noszą nazwę uzwojeń wtórnych. Wielkościom i parametrom obwodu, odnoszącym się do uzwojenia pierwotnego, przypisany jest indeks 1, odnoszącym się zaś do uzwojeń wtórnych - indeks 2 i kolejno wyższe. Wielkości (napięcia, prądy) związane z uzwojeniem pierwotnym nazywają się wielkościami pierwotnymi, a z uzwojeniami wtórnymi - wielkościami wtórnymi.

Jeśli wartość skuteczna napięcia pierwotnego transformatora jedno- lub dwuuzwojenio-wego jest wyższa od wartości skutecznej napięcia wtórnego, to taki transformator jest nazywany transformatorem obniżającym, a jeśli zachodzi odwrotna relacja - transformatorem podwyższającym. Ponieważ transformator może być zasilany (odpowiednim napięciem) z jednej bądź z drugiej strony, stosowanie powyższych nazw ma sens jedynie wtedy, gdy rozważana jest praca transformatora w konkretnym układzie.

Transformatory o równych wartościach znamionowych napięć pierwotnych i wtórnych nazywają się transformatorami izolującymi lub separującymi.

Uzwojenie transformatora dwuuzwojeniowego pracujące przy wyższym napięciu nazywa się uzwojeniem górnym, a przy niższym - uzwojeniem dolnym. Wielkościom z nimi związanym przypisane są odpowiednio indeksy: g oraz d.

Od sposobu połączeń uzwojeń fazowych, tworzących uzwojenie górne i uzwojenie dolne transformatora trójfazowego, zależy wartość przekładni (napięciowej) i przesunięcie fazowe


napięć górnych i dolnych. Przekładnię transformatora trójfazowego wyraża stosunek napięcia międzyprzewodowego górnego do napięcia międzyprzewodowego dolnego w stanie jałowym

0

0

d

g

U

U=ϑ . (2.49)

Przesunięcie fazowe napięć międzyprzewodowych górnych względem odpowiednich napięć międzyprzewodowych dolnych podaje się jako tzw. kąt godzinowy (przy czym h = π /6 ), ponieważ jest ono zawsze wielokrotnością kąta π /6, który na tarczy zegara wyraża różnicę czasu równą 1 godzinie.

Rys. 2.9. Przykłady połączeń uzwojeń fazowych transformatora trójfazowego: a) w gwiazdę, b) w trójkąt, c) w zygzak

Uzwojenia fazowe transformatorów trójfazowych mogą być łączone w gwiazdę, trójkąt lub zygzak (rys. 2.9). Połączenie w zygzak, pozwalające na symetryczne obciążanie transformatora, stosuje się tylko w uzwojeniu dolnym o niskim napięciu. Układ połączeń uzwojeń transformatora trójfazowego oznacza się symbolem dwuliterowym: pierwsza, duża litera dotyczy uzwojenia górnego, a druga, mała - dolnego; połączeniu w gwiazdę przypisano litery Y i y, w trójkąt - D i d, a w zygzak – z. Symbol układu połączeń i kąt godzinowy określają grupę połączeń transformatora.

Rys. 2.10. Schematy uzwojeń transformatora trójfazowego obniżającego (uzwojenie pierwotne jako górne) i odpowiadające im wykresy wskazowe; grupy połączeń: a) Dy5, b) Yz11


Na rysunku 2.10 pokazano przykładowe schematy uzwojeń i odpowiadające im wykresy wskazowe napięć - z zaznaczeniem kątów godzinowych. Przyjęcie transformatora obniżającego napięcie jest odwzorowaniem sytuacji „zwykłego” odbiorcy energii. Sposób rysowania uzwojeń fazowych odpowiada nawinięciu jednokierunkowemu; napięcia fazowe są strzałkowane od końców do początków uzwojeń fazowych.

W Polsce wykonuje się transformatory energetyczne o następujących grupach połączeń: Yy0, Yd5, Yd11, Yz5, Yz11 oraz Dy5 i Dy11. Teoretycznie, przy różnych połączeniach uzwojeń fazowych i ewentualnym przemianowaniu zacisków strony pierwotnej lub wtórnej, uzyskuje się wszystkie możliwe przesunięcia godzinowe (od 0 do 11), lecz duża różnorodność typów transformatorów komplikowałaby ich dobór do pracy równoległej.

Przez pracę równoległą transformatorów rozumie się zasilanie ich z tej samej sieci „pierwotnej” i obciążanie poprzez tę samą sieć „wtórną” (rys. 2.11). Potrzeba grupowej, równoległej pracy transformatorów energetycznych wynika ze zmienności obciążenia sieci elektroenergetycznych i wymaganej niezawodności zasilania odbiorów.

Rys. 2.11. Schemat ideowy układu pracy równoległej dwóch transformatorów trójfazowych

Pracę równoległą transformatorów można nazwać idealną, jeśli:

- nie płyną prądy (tzw. wyrównawcze) w uzwojeniach wtórnych w stanie jałowym,

- obciążenie mocą pozorną rozkłada się proporcjonalnie do mocy znamionowych, przy tym całkowity prąd obciążenia jest algebraiczną sumą prądów obciążenia poszczególnych transformatorów (tzn. występuje zgodność kątów fazowych tych prądów).

Moc znamionowa transformatora wyraża się mocą pozorną Sn , bowiem jego wymiary geometryczne zależą od przekrojów rdzenia i uzwojeń, te natomiast są proporcjonalne, odpowiednio, do napięcia Un i prądu In :

nnn IUS 3= , (2.50)

Aby nie było prądów wyrównawczych, kąty godzinowe oraz przekładnie transformatorów pracujących równolegle powinny być jednakowe.

Spełnienie podanych wyżej cech prawidłowej obciążalności transformatorów zobrazowano na uproszczonym wykresie wskazowym (rys. 2.12b). Trójkąty wewnętrznych spadków napięć (o bokach równych: Rz I, j Xz I, Zz I ) w transformatorach pracujących równolegle, obciążonych prądami znamionowymi I = In , muszą być jednakowe, a to oznacza równość iloczynów Zz In oraz kątów zwarciowych nzϕ .


Rys. 2.12. Uproszczone schematy zastępcze i wykresy wskazowe transformatorów pracujących: a) pojedynczo, b) parami, przy dokładnym spełnieniu warunków pracy równoległej

Napięcie zwarcia transformatora trójfazowego wyraża się wzorem

nzz IZU 3= , (2.51)

gdzie impedancja zwarcia (moduł zespolonej impedancji zwarcia)

22 zzzzzz XRXjRZZ +=+== . (2.52)

Warunek równości iloczynów Zz In sprowadza się do równości napięć zwarcia transformatorów przy pracy równoległej.

Wartości napięcia zwarcia transformatorów można obliczyć, zależnie od potrzeby, dla sieci „pierwotnej” lub „wtórnej” (strony pierwotnej lub wtórnej transformatorów). W praktyce korzysta się z procentowego napięcie zwarcia (wartość podawana w katalogach), związanego z innymi wielkościami transformatora w sposób następujący:

%2

%2

2

% 100 100 zXzRn

nz

n

nzz uu

U

SZ

U

Uu +=⋅=⋅= , (2.51)

gdzie: Un - napięcie znamionowe po właściwej stronie transformatora, Uz n - napięcie zwarcia dla znamionowego prądu obciążenia po stronie jw., uR z% , uX z% - czynne i bierne, procentowe napięcie zwarcia.

Wartość uR z% wyznacza się na podstawie zależności:

2

22

2 3

3 3n

nz

n

nznzCu

U

SR

U

SRIRP =

==∆ , (2.52a)

%2% 100 100 zRn

nz

n

CuCu u

U

SR

S

Pp =⋅=⋅=

∆∆ , (2.52b)

gdzie: ∆PCu - obciążeniowe straty mocy przy napięciu znamionowym, w W, ∆pCu% - obciążeniowe straty mocy, w procentach mocy znamionowej.


Na podstawie danych katalogowych transformatora trójfazowego można obliczyć m.in. wartości elementów podłużnych jego schematu zastępczego: Rz , Xz i Zz (rys. 2.12a), przekształcając podane wyżej do następujących postaci:

100% ⋅=n

CuzR S

Pu

∆ , (2.53)

%2

%2

% zRzzX uuu −= , (2.54)

n

nzz S

UuZ

2%

100⋅= , (2.55a)

n

nzRz S

UuR

2%

100⋅= , (2.55b)

n

nzXz S

UuX

2%

100⋅= , (2.55c)

Schematy i wykresy pokazane na rys. 2.12 dotyczą sieci „wtórnej” (strony wtórnej transformatorów). Jeśli znane są impedancje zwarcia pracujących równolegle takich dwóch transformatorów ZzI i ZzII , oraz całkowity prąd obciążenia I2 (wartość skuteczna), to prądy obciążenia tych transformatorów (wartości skuteczne) wynoszą:

2IZZ

ZI

zIIzI

zIII ⋅

+= , (2.56a)

2IZZ

ZI

zIIzI

zIII ⋅

+= . (2.56b)

Wartość kąta zwarciowego transformatora nzϕ uwarunkowana jest względami konstruk-

cyjnymi i zależy przede wszystkim od jego mocy znamionowej. Warunek równości kątów zwarciowych przy pracy równoległej może być ściśle spełniony tylko w przypadku transformatorów o zbliżonych mocach znamionowych.

Podane warunki pracy równoległej transformatorów trójfazowych w praktyce sprowadzają się do wymagań:

- przynależności do grup połączeń o tym samym kącie godzinowym,

- równości przekładni z dokładnością ± 0,5%,

- równości napięć zwarcia z dokładnością ± 10%,

- stosunku mocy znamionowych nie większym niż 3 : 1.

Oczywiście, układy połączeń transformatorów trójfazowych przy pracy równoległej mogą być różne, byle kąty godzinowe i przekładnie były jednakowe oraz spełnione były pozostałe dwa warunki.

Na wybór układu połączeń transformatora trójfazowego mają wpływ: układ sieci, koszt budowy uzwojeń, typ rdzenia oraz wymagania dotyczące występowania nieskompenso-wanych składowych (harmonicznych i zerowych) strumieni fazowych.

Wyższe harmoniczne strumieni fazowych powstają na skutek nieliniowości obwodu magnetycznego (nasycenia żelaza) lub nieliniowości odbiornika (np. prostownikowego), a składowe symetryczne zerowe - na skutek niesymetrii obciążenia faz. Jeśli transformator


trójfazowy jest wykonany jako rdzeniowy, a harmoniczne rzędu równego wielokrotności liczby 3 lub składowe zerowe strumieni fazowych nie są skompensowane, to zamykają się one na drodze wiodącej przez powietrze i elementy konstrukcyjne (rys. 2.13). Powstają przy tym straty mocy oraz indukują się dodatkowe napięcia fazowe. W transformatorze, który ma jedno z uzwojeń (główne lub dodatkowe) połączone w trójkąt, zjawisko to nie wystąpi, ponieważ zamknięte uzwojenie trójkąta umożliwia przepływ prądu kompensacyjnego, tzn. wytwarzającego fazowe strumienie kompensujące. Dokładniejsze wyjaśnienie tych zagadnień można znaleźć w literaturze.

Rys. 2.13. Obwody magnetyczne nieskompensowanych składowych strumieni fazowych (harmonicznych rzędu wielokrotności cyfry 3 oraz składowych symetrycznych zerowych)

w trójfazowym transformatorze: a) rdzeniowym. b) pięciokolumnowym

W energetyce stosuje się często transformatory trójfazowe jednouzwojeniowe (autotransformatory) i trójuzwojeniowe. Korzyści, w stosunku do pełniących takie same zadania transformatorów dwuuzwojeniowych, wyrażają się niższym kosztem urządzeń i mniejszymi stratami mocy, natomiast wady - wzajemnym oddziaływaniem obwodów wtórnych transformatorów trójuzwojeniowych oraz małą impedancją zwarciową (dużym prądem zwarciowym) autotransformatorów.

Uzwojenia fazowe w autotransformatorach trójfazowych są połączone w gwiazdę; punkt neutralny jest wspólny dla napięć pierwotnych i wtórnych. Z tego względu, w elektro-energetyce stosuje się autotransformatory wyłącznie w sieciach NN i WN, pracujących z bezpośrednio uziemionym punktem neutralnym.

Rys. 2.14. Schematy uzwojeń fazowych autotransformatorów: a) podwyższających. b) obniżających

Na rysunku 2.14 pokazane są schematy uzwojeń fazowych autotransformatorów podwyższających oraz obniżających (napięcie). Jeśli pominie się prąd stanu jałowego oraz przyjmie

d

g

d

gz U

U

z

z=== ϑϑ , (2.57)


to można napisać zależności:

fpdfdgfg SIUIU == , (2.58)

( ) fwwfdgdfdgfa SIUIIUIU ==−= , (2.59)

gdzie: Sfp - fazowa moc przechodnia, Sfw - fazowa moc własna (elektromagnetyczna) .Iw - prąd w części wspólnej uzwojeń fazowych.

Z porównania wzorów (2.58) i (2.59) otrzymuje się stosunek

g

d

d

w

fp

fw

z

z

I

I

S

S−=−== 1

1

ϑϑ

, (2.60)

który określa, jaka część mocy pobieranej przez odbiór jest przekazywana do obwodu wtórnego w wyniku transformacji (pozostała część - w wyniku przewodzenia), a także - jaka część prądu Id płynie przez wspólną część uzwojenia o liczbie zwojów zd . Zatem, jeśli wartość przekładni jest bliska jedności, czyli zd prawie równe zg , to prąd Iw , płynący przez zd zwojów, jest znacznie mniejszy od prądu Id , płynącego przez (zg – zd ) zwojów, a moc własna Sw - znacznie mniejsza od mocy przechodniej Sp . Autotransformator, w porównaniu z transformatorem dwuuzwojeniowym o mocy znamionowej równej jego mocy przechodniej, jest więc tańszy w wykonaniu (zd zwojów z cieńszego drutu - w każdej fazie) i w eksploatacji (mniejsze straty energii).

2.4. ELEKTROMECHANICZNE PRZETWORNIKI ENERGII O POLU MAGNETYCZNYM

Rys. 2.15. Przetworniki elektromechaniczne: zasilane jednostronnie (a, b) i dwustronnie (c, d); o ruchu postępowym (a) i obrotowym (b, c, d); magnetycznie symetryczne (a, c) i asymetryczne

z wirnikiem o biegunach wydatnych (b, d)


Elektromagnesy z ruchomą zworą, głośniki elektrodynamiczne, maszyny elektryczne i większość mierników elektrycznych zaliczamy do elektromechanicznych przetworników energii o polu magnetycznym. Przy udziale pola magnetycznego przetwarzają one energię elektryczną na mechaniczną (silniki, siłowniki, mierniki elektryczne), mechaniczną na elektryczną (prądnice, czujniki generatorowe typu elektrodynamicznego lub elektro-magnetycznego) albo energię elektryczną z jednego rodzaju na drugi (przetwornica jednotwornikowa). Główny obwód magnetyczny przebiega przez część ruchomą i część nieruchomą przetwornika. Gdy tylko na jednej z nich znajdują się uzwojenia (rys. 2.15a, b), przetwornik nosi nazwę zasilanego jednostronnie, a gdy uzwojenia są na obu (rys. 2.15c, d) - zasilanego dwustronnie.

W odróżnieniu od transformatora, główny obwód magnetyczny elektromechanicznych przetworników energii - w mniejszej lub większej części, a niekiedy nawet w całości (np. w miernikach elektrodynamicznych) - przebiega w powietrzu. Ponieważ przenikalność magnetyczna względna stali transformatorowej jest rzędu 7000 ÷10 000, a czystego żelaza dochodzi do 200 000, łatwo dojść do wniosku, że praktycznie cała energia pola magnetycznego gromadzi się w powietrznej części drogi strumienia głównego, nawet gdy jest to tylko niewielka szczelina. Zasada ta stosuje się również do elektromagnesów z przyciąg-niętą zworą, gdyż pozostaje w nich zwykle szczelina „niemagnetyczna”, wprowadzona konstrukcyjnie, aby uniknąć „klejenia się” zwory i zbyt silnych jej uderzeń o rdzeń.

Na skutek występowania szczelin powietrznych w obwodach magnetycznych, ich charakterystyki magnesowania można uważać w przybliżeniu za liniowe. Pozwala to na operowanie pojęciami reluktancji, indukcyjności własnych i wzajemnych, zależnych wyłącznie od współrzędnych geometrycznych, tzn. długości szczelin powietrznych lub kątów przestrzennego usytuowania cewek, a niezależnych od prądów.

Źródłem energii pola magnetycznego są prądy płynące w uzwojeniach. Energia zgromadzona w polu magnetycznym Wµ zależy od strumienia magnetycznego Φ i współrzędnej geometrycznej: liniowej x (rys. 2.15a) lub kątowej γ (rys. 2.15b, c, d).

Zwykle spotyka się układ z jednym mechanizmem i jednym lub większą liczbą obwodów elektrycznych, tzn.

( )xWW ,Φµµ = lub ( )γΦµµ ,WW = ,

oraz ∑=

=n

kk

1

ΦΦ (n - liczba obwodów elektrycznych).

Proces elektromechanicznego przetwarzania energii wyraża się równaniem

ez dAdWdW += µ , (2.61)

w którym: dWz - energia elektryczna dostarczona z zewnątrz do układu, dWµ - przyrost energii magnetycznej układu, dAe - praca mechaniczna wykonana przez układ (przez siły elektromagnetyczne).

Z rozważań wyłączono straty energii, gdyż nie są one bezpośrednio związane z przemianą elektromechaniczną, tzn. mogą być uważane za składnik energii układu zewnętrznego.

Gdy dWz > 0 i dAe > 0, to energia elektryczna zamienia się w przetworniku na pracę mechaniczną. Gdy dWz < 0 i dAe < 0, to praca mechaniczna zamienia się na energię elektryczną. Ogólnie, w tych oraz innych przypadkach przemiany elektromechanicznej, przyrost energii magnetycznej układu dWµ może być dowolny (dodatni, ujemny, albo równy zeru). Jeśli w czasie przemiany energia magnetyczna układu nie zmienia się (dWµ = 0),


to proces ten określa się jako stabilny, a stan pracy przetwornika - jako ustalony. Jeśli natomiast energia magnetyczna układu zmienia się (dWµ ≠ 0), to proces określa się jako niestabilny, a stan pracy przetwornika - jako nieustalony (przejściowy). Przyrosty: dWz , dAe oraz dWµ mogą mieć w stanach nieustalonych dowolne znaki, ale oczywiście bilans energii musi być zachowany.

Zasadnicze znaczenie dla przemiany ma zależność energii pola magnetycznego układu od współrzędnych elektrycznych i mechanicznych. W związku z tym, równanie (2.61) zapisano w następującej postaci:

ez dAdWdW −=µ . (2.61a)

Jeśli współrzędne energii pola - elektryczne Φk i mechaniczna x - są niezależne, to przyrost energii pola wyraża się różniczką zupełną

dxx

Wd

WdW

n

kk

k

1 ∂

∂+

∂∂

=∑=

µµµ Φ

Φ . (2.62)

Ogólnie można przyjąć, że w czasie dt zachodzi zamiana energii elektrycznej na pracę mechaniczną, tzn. układ elektromechaniczny pobiera energię z n obwodów elektrycznych

∑∑==

==n

kkk

n

kkikz ddtiudW

11

ΦΘ (2.63)

i oddaje do mechanizmu o ruchu postępowym

dxfdA ee = (2.64)

lub obrotowym

γdmdA ee = , (2.65)

gdzie: fe , me - wartości chwilowe siły lub momentu elektromagnetycznego, dx, dγ - liniowe lub kątowe przemieszczenie elementarne ruchomej części przetwornika.

Na podstawie: (2.61a), (2.63) i (2.64), przyrost energii pola przetwornika o ruchu postępowym wyraża się wzorem

dxfddW e

n

kkk

1

−=∑=

ΦΘµ . (2.66)

Z tożsamościowego porównania (2.62) i (2.66) wynikają związki:

kk

W

ΦΘ µ

∂∂

= , (2.67)

x

Wfe ∂

∂−= µ . (2.68)

Analogiczne postępowanie, dotyczące przetwornika o ruchu obrotowym, daje (2.67) oraz

γµ

∂∂

−=W

me . (2.69)


W przetworniku typu: elektromagnes ze zmienną szczeliną (rys. 2.15a), przesunięcie

liniowe 2

1 ∆x powoduje zmianę długości ∆x drogi strumienia głównego w powietrzu.

Energię pola magnetycznego określa zależność

( ) ( )xWxRW , 2

1

2

1 2 ΦΦΦΘ µµ === , (2.70)

przy czym reluktancja (praktycznie tylko w części powietrznej obwodu magnetycznego) wyraża się wzorem

S

xR

0µµ = , (2.70a)

gdzie S - powierzchnia przekroju drogi strumienia w szczelinie.

Na podstawie (2.68), (2.70) i (2.70a), otrzymuje się wyrażenie na siłę elektromagnetyczną

x

Wfe

µ −= . (2.71)

Znak „–” wynika z powiązania zwrotu siły z rosnącymi wartościami x.

Ze wzorów (2.70), (2.70a) i (2.71) wynika

0

2

0

2

2

)(

)(

2

1

µµΦ SxB

S

xfe −=−= ,

gdzie: Φ(x), B(x) - strumień magnetyczny i indukcja magnetyczna w szczelinie powietrznej o długości x.

Siłę przyciągania zwory przez elektromagnes, przy ustalonych wartościach x i B , praktyczniej zapisać dużą literą, z pominięciem znaku:

0

2

2

µSB

Fe = . (2.71a)

Po podstawieniu (2.71) do (2.64) otrzymuje się wzór na elementarną pracę elektromagnesu

x

dxWdAe µ−= (2.72)

Praca mechaniczna wykonywana przez siły układu jest dodatnia wtedy, gdy dx jest ujemne. Zachodząca przy tym zmiana energii pola zależy od sposobu zasilania uzwojenia.

Zostaną rozpatrzone dwa szczególne przypadki zasilania uzwojenia, z wykorzystaniem charakterystyk magnesowania przetwornika, pokazanych na rysunku 2.16. Energia pola magnetycznego przetwornika przy określonej wartości współrzędnej x i określonej wartości strumienia Φ lub przepływu Θ jest zobrazowana przez pole odpowiedniego trójkąta.

Jeśli przemiana energii odbywa się przy stałym strumieniu Φ = const (punkt pracy przechodzi np. z E do A ), to

0=Φd

i zgodnie z (2.63) 0 == ΦΘ ddWz ,


stąd na podstawie (2.61a)

eez dAdAdWdW −=−==constΦµ ,

a uwzględniając (2.72) -

x

dxWdW const µΦµ == (2.73a)

Rys. 2.16. Zmiana charakterystyki magnesowania. spowodowana przemieszczeniem części ruchomej przetwornika

Oznacza to, że utrzymując Φ = const przez odpowiednie zmniejszanie Θ, nie trzeba dostarczać z zewnątrz energii elektrycznej na przemieszczenie części ruchomej przetwornika. Przemieszczenie odbywa się kosztem energii zmagazynowanej w polu magnetycznym. Chodzi oczywiście o przemieszczenie ujemne: od x = xl do x = xl – ∆x .

Gdy przemieszczenie przy Φ = const jest dodatnie, np. od x = xl – ∆x do x = xl , to siły zewnętrzne muszą wykonać pracę na pokonanie sił pola oraz równą jej pracę na przyrost energii pola.

Jeśli przemiana energii odbywa się przy stałym przepływie Θ = const (punkt pracy przechodzi np. z D do A ), to zgodnie z (2.63)

ΦΘ ddWz = ,

lecz ze wzoru (2.70)

ΦΘµ 2

1=W

przy Θ = const - otrzymuje się

ΦΘµ ddW 2

1= ,

stąd

µdWdWz 2= ,


a wg (2.61)

ez dAdWdW += µ ,

więc

edAdW ==constΘµ ,

a uwzględniając (2.72) -

x

dxWdW const µΘµ −== . (2.73b)

Oznacza to, że utrzymując Θ = const przez odpowiednie zwiększanie Φ, trzeba dostarczać z zewnątrz energię elektryczną, która jest zużywana po połowie: na przemieszczenie części ruchomej przetwornika i na zwiększenie energii pola magnetycznego. I tym razem chodzi o przemieszczenie ujemne: od x = xl do x = xl – ∆x .

Gdy przemieszczenie przy Θ = const jest dodatnie, np. od x = xl – ∆x do x = xl , to praca sił zewnętrznych na pokonanie sił pola i wyzwolona energia pola, mają jednakowe wartości, zatem odbierana energia elektryczna jest równa podwójnej wartości włożonej pracy mechanicznej.

Można by rozważać również inne sposoby zasilania, np. taki, przy którym energia pola nie ulegałaby zmianie, a przemieszczenie odbywało się wyłącznie kosztem energii doprowa-dzonej do uzwojenia. Zachodziłby wtedy warunek

const 2

1 == ΦΘµW ,

czyli punkt pracy przetwornika musiałaby się przemieszczać na wykresie Φ = Φ(Θ) „po hiperboli”.

Ze wzorów (2.73a) i (2.73b) wynika, że takiemu samemu przesunięciu dx - przy Φ = const i przy Θ = const, odpowiadają przeciwnego znaku zmiany energii pola:

constconst == −= ΦµΘµ dWdW . (2.74a)

Z (2.70) i (2.70a) wynika z kolei, że

0 2

1 2

const >== dx

dRdW µ

Φµ Φ , (2.74b)

więc zgodnie z (2.68) -

constconst == =−= Θµ

Φµ

dx

dW

dx

dWfe . (2.75)

Stanowi pracy układu określonemu przez punkt A odpowiada na rysunku 2.16 energia pola magnetycznego określona przez pole powierzchni trójkąta OAB, co można zapisać następująco: WµA ⇒ S0AB . Podobnie WµE ⇒ S0EB i WµD ⇒ S0DC . Przy przejściu z punktu E do punktu A (Φ = const): (WµA – WµE ) ⇒ (S0AB – S0EB ) = – S0AE (ta sama wysokość trójkątów lAF = lB0 = ΦA), a przy przejściu z punktu D do punktu A (Θ = const): (WµA – WµD ) ⇒ (S0AB – S0DC ) = S0AD (równe wysokości trójkątów lAB = lDC = lF0 = ΘA), co wyjaśnia różne znaki przy pochodnych we wzorze (2.75).

Pozostaje porównanie pól powierzchni trójkątów OAE i OAD. Ich różnica jest polem powierzchni SDAE trójkąta prostokątnego DAE. Gdy ∆x dąży do zera, powierzchnia każdego z tych pól dąży również do zera, ale SDAE - szybciej niż SOAE lub SOAD , ponieważ długości lAE i lAD zależą od ∆x (lAE - podstawa AE trójkąta OAE i trójkąta DAE; lAD - podstawa AD


trójkąta OAD i jednocześnie wysokość trójkąta DAE). Zatem SDAE jest funkcją (∆x)2, podczas gdy SOAE i SOAD - funkcjami ∆x. Im mniejsza jest wartość ∆x, tym mniejsza jest też wartość SDAE = (S0AE – S0AD ) i tym bliższe sobie wartości SOAE i SOAD . Wartości bezwzględne pochodnych we wzorze (2.75) są więc jednakowe.

Równanie (2.75) można zapisać w następującej postaci

x

xW

x

xWfe ∂

∂=

∂∂

−=) ,() ,(

' ΘΦ µµ (2.76)

gdzie: Wµ = Wµ (Φ, x) - energia magnetyczna układu elektromechanicznego, Wµ’ = Wµ’(Θ, x) - koenergia magnetyczna układu elektromechanicznego.

Pojęcie koenergii magnetycznej zostało wprowadzone w związku z różną, co do znaku, zmianą energii magnetycznej, wywołaną wirtualnym przemieszczeniem części ruchomej przetwornika, przy stałym strumieniu albo przy stałym przepływie. Ten w zasadzie czysto formalny zabieg matematyczny ułatwia wyznaczanie momentu elektromagnetycznego w przypadkach, gdy zapis koenergii (funkcja prądu) jest prostszy niż zapis energii (funkcja strumienia magnetycznego). Z różnych postaci analitycznych wynikają różne znaki pochod-nych energii i koenergii względem przemieszczenia, więc i we wzorze (2.76) przed tymi pochodnymi stoją różne znaki. Potwierdza to analiza zależności dotyczących elektromagnesu. W tym wypadku, wg (2.70a):

S

xR

0µµ = ,

przy czym, zgodnie z (2.70):

( )xRxW µµ ΦΦ 2

1) ,( 2= , ( )xR

xWµ

µ ΘΘ 1

2

1) ,( 2' = ,

więc

dx

dR

x

W µµ Φ 2

1 2=∂

∂ ,

dx

dR

dx

dR

Rx

W

µ

µµµ ΦΘ 2

1

1

2

1 22

2'

−=⋅

−=

∂∂

,

a zatem

x

W

x

W

∂∂

−=∂

∂ µµ '

.

Rys. 2.17. Ilustracja graficzna energii i koenergii magnetycznej


Ilustracją graficzną energii i koenergii magnetycznej jest rysunek 2.17. Powierzchnia nad charakterystyką obrazuje energię, a pod - koenergię; łączna powierzchnia przy pracy w punkcie A równa się iloczynowi ΘA ΦA . Jeśli charakterystyka jest liniowa, to energia i koenergia są sobie równe, jak w analizowanym przykładzie. Wzór (2.76) jest jednak słuszny tak w układzie liniowym, jak i w nieliniowym (dla dowolnej ciągłej charakterystyki przetwornika).

Powyższe rozważania dotyczyły zasilanego jednostronnie przetwornika ze szczeliną powietrzną, której długość zmieniała się wraz z liniowym przemieszczeniem części ruchomej. W niektórych wzorach występowała reluktancja Rµ , lecz można było oczywiście operować -

zamiast nią - pojęciem indukcyjności własnej µR

zL12= (z – liczba zwojów). Wielkości

fizyczne: strumień magnetyczny Φ i przepływ Θ - również mogły być zastąpione przez inne:

strumień skojarzony Ψ = z Φ oraz prąd z

iΘ= . Nie miałoby to wpływu na sens

prowadzonych rozważań i uzyskane wyniki.

Jeśli zamiast wydłużenia szczeliny powietrznej x (rys. 2.15a), rozważać przemieszczenie kątowe γ (rys. 2.15b), to otrzymuje się wzór na moment elektromagnetyczny o postaci analogicznej do (2.76):

γγΘ

γγΦ µµ

∂∂

=∂

∂−=

) ,() ,(

' WWme (2.77)

lub

γγ

γγΨ µµ

∂∂

=∂

∂−=

) ,() ,(

' iWWme . (2.78)

Można przyjąć, że w zasilanym jednostronnie przetworniku o ruchu obrotowym (rys. 2.15b) szczelina powietrzna jest ukształtowana w taki sposób, że indukcyjność zmienia się kosinusoidalnie (w przedziale równym połowie obrotu):

γγγ 2cos 22

cos )()( 2 qdqdqdq

LLLLLLLL

−+

+=−+= , (2.79)

gdzie: )0(LLd = - indukcyjność podłużna,

=2

πLLq - indukcyjność poprzeczna.

Wtedy

[ ] cos )( 2

22

' γµ qdq LLLi

W −+=

i na podstawie (2.78) -

γLLi

m qde 2 sin )( 2

2

−−= . (2.80)

Moment osiąga ekstremalne wartości (równe co do wartości bezwzględnej, lecz

o przeciwnych znakach), gdy ππππ

γ 4

7 i

4

5 ;

4

3 i

4= , jest zaś równy 0, gdy π

πγ

2

3 i

2 , 0= .

Moment powstający w wyniku asymetrii obwodu magnetycznego maszyny elektrycznej nazywa się momentem reluktancyjnym.


Wzory: (2.76), (2.77) i (2.78) są słuszne również przy zasilaniu dwustronnym, lecz energia i koenergia magnetyczna układu stanowią wtedy funkcję strumieni lub prądów - nie tylko jednego, a każdego z uzwojeń.

W przypadku dwóch uzwojeń sprzężonych dodatnio, umieszczonych w środowisku jednorodnym (szczelina powietrzna):

212111 iLiL +=Ψ , 121222 iLiL +=Ψ , 2112 LL = oraz

( ) 2222112

2112211

' 2

1

2

1

2

1iLiiLiLiiW ++=+= ΨΨµ .

Przy ruchu obrotowym części ruchomej przetwornika, gdy szczelina powietrzna jest równomierna na całym obwodzie (rys. 2.15c), moment reluktancyjny nie występuje (indukcyjności własne uzwojeń nie zależą od γ) i - na podstawie (2.78) -

γγ

∂∂

=)(

1221

Liime . (2.81)

Przyjmując γγγ cos cos )0()( 1212 mLLL == , otrzymuje się

γ sin 21 me Liim −= . (2.82)

Rys. 2.18. Powstawanie momentu hamującego oraz napędzającego w przetworniku zasilanym

dwustronnie: a) 2

0π

γ << , 0 cos >γ , 0)(12 >γL , 0in >γs , 0<em ;

b) πγπ 2

3 << , 0 cos <γ , 0)(12 <γL , 0γin < s , 0>em


Moment osiąga największe wartości bezwzględne (przy ustalonych wartościach i1 i i2),

gdy π

γ2

m= , tzn. gdy strumienie wytworzone przez i1 i i2 są do siebie prostopadłe. Ujemne

wartości me odpowiadają działaniu hamującemu, a dodatnie - napędzającemu (dla cewki ruchomej przemieszczającej się z dodatnią prędkością ω, tzn. zgodnie ze wzrostem γ ). Rodzaj (znak) sprzężenia cewek odpowiada znakowi cos γ . Kwestie te objaśniono na rysunku 2.18.

Jedno z uzwojeń przetwornika (maszyny elektrycznej) jest zazwyczaj uzwojeniem wzbu-dzającym. Jego oś magnetyczną określa się jako oś podłużną „d” , a oś prostopadłą do niej - jako oś poprzeczną „q” . Strumienie magnetyczne pochodzące od prądów rozkłada się wtedy na odpowiednie składowe: podłużne i poprzeczne. Jeśli za bazę przyjąć osie uzwojenia 1, to (rys. 2.19):

2

11

z

iLmd =Φ , 01 =qΦ , (2.83)

1

22

cos

z

iLmd

γΦ = , 1

22

sin

z

iLmq

γΦ = , (2.84)

( )γΘΘγΦΦΦ cos

cos 21211

2

2

121 +=

+=+=

zz

L

z

i

z

iL m

mddd , (2.85)

γΘΦΦΦΦ in 2

21221 s

zz

Lmqqqq ==+= , (2.86)

mqd

m

mme L

zz

L

zz

z

iL

z

iLm 21

2121

1

2

2

1

sin

ΦΦγ

−=−= . (2.87)

Rys. 2.19. Składowe przestrzenne strumieni magnetycznych przetwornika elektromechanicznego

Z powyższych wzorów wynika, że: składowe strumieni są wytwarzane przez odpowiednie składowe przepływów ( Θ1 , Θ2 cos γ , Θ2 sin γ ); strumień podłużny Φd2 działa domagne-sowująco lub rozmagnesowująco na strumień podłużny Φd1 ; strumień podłużny Φd1 i strumień poprzeczny Φq2 wpływają na wartość wytwarzanego momentu elektromagne-tycznego. Wyrażenie z1 z2 / Lm we wzorze (2.87) jest reluktancją obwodu magnetycznego w osi podłużnej.

Wzór (2.87) dotyczy również sytuacji, gdy źródłem jednego lub obu strumieni (Φd1 , Φq2 ) są magnesy trwałe.


Jeżeli występuje przemieszczanie części ruchomej przetwornika, lecz kąt γ ma ustaloną wartość, to przy ustalonych wartościach prądów energia pola nie zmienia się. Wartości energii dostarczanej do szczeliny powietrznej (w jednej postaci) oraz odbieranej z niej (w drugiej postaci) są sobie równe. Zmiany kąta γ we wzorze (2.78) są w tym przypadku zmianami wzajemnego położenia pojedynczych zezwojów części ruchomej i nieruchomej przetwornika. Stałość kąta γ między wypadkowymi strumieniami części ruchomej i nieruchomej przetwornika - przy ruchu z ustaloną prędkością - stanowi istotną cechę działania maszyn elektrycznych.

Napięcia rotacji indukują się tylko w zwojach przecinających strumień wzbudzający - w części, którą w maszynie elektrycznej nazywamy twornikiem. W maszynie elektrycznej pracującej jako silnik, do twornika doprowadzana jest moc elektryczna pel , która ulega przetworzeniu na moc mechaniczną pmech ; w maszynie pracującej jako prądnica - od twornika odprowadzana jest moc elektryczna pel , będąca produktem przetworzenia mocy mechanicznej pmech (rys. 2.20):

ivlBiup rel ) ( == , (2.88a)

vliBvfmp elemech ) ( 2 === ω , (2.88b)

gdzie: l - długość dwóch boków zwoju.

Rys. 2.20. Zwroty wielkości związanych z przenoszeniem mocy przy udziale jednego zwoju twornika: a) w silniku, b) w prądnicy; ω - prędkość kątowa twornika, v - prędkość na obwodzie twornika, m - moment mechaniczny (hamujący - silnika, napędzający - prądnicy), f1 - siły wytwarzające moment m, me - moment elektromagnetyczny (hamujący - prądnicy, napędzający - silnika),

fe1 - siły elektromagnetyczne wytwarzające moment me , B - indukcja magnetyczna, url - napięcie rotacji boku zwoju, i - prąd w boku zwoju


2.5. POLA MAGNETYCZNE I UZWOJENIA W MASZYNACH ELEKTRYCZNYCH O RUCHU OBROTOWYM

Moment elektromagnetyczny maszyny zasilanej dwustronnie powstaje w wyniku oddziaływania strumieni magnetycznych części ruchomej i nieruchomej, zatem charakter pola magnetycznego twornika musi odpowiadać charakterowi pola wzbudzającego (magneśnicy). Warunek ten rzutuje na sposób wykonania uzwojeń twornika i połączenia ich z obwodem zewnętrznym.

Pole magnetyczne w maszynie elektrycznej prądu stałego jest nieruchome w przestrzeni i dlatego uzwojenie twornika wykonuje się jako zamknięte, połączone z obwodem zewnętrznym poprzez ruchomy zestyk komutator-szczotki. Rola tego zestyku polega na zmianie zwrotu prądów w bokach zezwojów, gdy przechodząc spod jednego pod drugi biegun, „przebiegają” one oś poprzeczną q. Przestrzenny rozkład prądów na obwodzie twornika, nazywany okładem prądu twornika, pozostaje wtedy stały (rys. 2.21). Gdy liczba par biegunów maszyny p = 1, to strumienie magneśnicy i twornika są do siebie prostopadłe.

Rys. 2.21. Okład prądu twornika maszyny prądu stałego

W bezkomutatorowych maszynach prądu przemiennego pole magnetyczne jest zazwyczaj ruchome (wirujące lub wędrujące), ewentualnie - nieruchome, przemienne (o zmieniających się okresowo wartościach i zwrocie), przedstawiane analitycznie jako suma pól ruchomych, przemieszczających się w przeciwnych kierunkach (rys. 2.22).

Pole wirujące może być wytwarzane w sposób elektromechaniczny - przez wirującą magneśnicę o stałym strumieniu, albo w sposób elektryczny - przez symetryczny układ prądów, płynących w uzwojeniach fazowych maszyny, które są symetrycznie rozmieszczone w przestrzeni. W maszynie synchronicznej wirujący strumień wzbudzający jest wytwarzany elektromechanicznie, a synchronicznie z nim wirujący strumień twornika - elektrycznie. W maszynie indukcyjnej oba wirujące synchronicznie strumienie (części ruchomej i nieruchomej) są wytwarzane elektrycznie.

Wytwarzanie wirującego pola magnetycznego w sposób elektryczny można łatwo wyjaśnić, jeśli skorzysta się z przedstawionego na rysunku 2.22b przestrzenno-czasowego modelu pola nieruchomego przemiennego. Takie pole jest wytwarzane przez każde uzwojenie zasilane jednofazowo.


Rys. 2.22. Pola magnetyczne w maszynach wirujących prądu przemiennego, przedstawione za pomocą wirujących wektorów na płaszczyźnie zespolonej: a) pole wirujące, b) pole nieruchome przemienne jako suma dwóch pól wirujących w przeciwnych kierunkach

(ωe = 2π f jest prędkością zmian kąta elektrycznego αe = pα , gdzie α jest kątem mechanicznym, zaś p - liczbą par biegunów maszyny)

Rys. 2.23. Ułożenie geometryczne uzwojeń i wykresy przestrzenno-czasowe współbieżnych (1) i przeciwbieżnych (2) składowych strumienia magnetycznego w maszynie: a) dwufazowej,

b) trójfazowej


W stojanie maszyny z polem wirującym (indukcyjnej lub synchronicznej) jest tyle uzwojeń zasilanych jednofazowo, ile faz. Jak wspomniano wyżej, uzwojenia te są symetrycznie rozmieszczone na obwodzie i zasilane przez symetryczny układ prądów. Oznacza to, że przesunięciom przestrzenno-czasowym uzwojeń muszą odpowiadać przesunięcia czasowe prądów w uzwojeniach. Uzwojenia faz w maszynie dwufazowej powinny być przesunięte

względem siebie o kąt elektryczny 2

π i fazy początkowe prądów w tych uzwojeniach

powinny również różnić się o tę wartość (rys. 2.23a); w maszynie trójfazowej odpowiednie

przesunięcia faz i prądów fazowych powinny wynosić 3

2

π± (rys. 2.23b). Jest to warunek

„znikania” pola przeciwbieżnego przy równych amplitudach strumieni fazowych Φm f .

Wypadkowy strumień (wirujący w kierunku dodatnim, czyli tak jak pole współbieżne) ma wtedy stałą amplitudę Φm = Φm (1) . W przypadku maszyny dwubiegunowej jest ona równa amplitudzie strumieni fazowych Φm f , a w przypadku maszyny trójfazowej

wynosi ona 2

3 Φm f . Pole wirujące, o stałej amplitudzie, jest nazywane polem kołowym.

Uzwojenia maszyny elektrycznej wykonuje się oraz zasila lub obciąża w taki sposób, by prądy w nich płynące wytwarzały określony rodzaj pola magnetycznego. Ma to oczywisty związek ze sposobem wykonania i łączenia ze sobą zezwojów, z których składa się każde uzwojenie. Zezwojami mogą być pojedyncze zwoje (tzw. uzwojeń prętowych). Czasem funkcje uzwojeń pełnią lite części, w których płyną prądy wirowe.

W maszynach elektrycznych o ruchu obrotowym spotyka się dwa rodzaje uzwojeń:

- uzwojenia skupione, związane z wydatnymi biegunami magnetycznymi - wykonywane podobnie do cewek elektromagnesów,

- uzwojenia rozłożone, związane z utajonymi biegunami magnetycznymi - umieszczane przy szczelinie powietrznej na stojanie lub wirniku, zwykle w żłobkach, rzadziej bezpośrednio na powierzchni rdzenia (uzwojenia bezżłobkowe).

W zasadzie, w żłobkach lub przy szczelinie na cylindrycznej powierzchni rdzenia leżą tylko części czynne każdego zezwoju (zwoju), tj. dwa jego boki, natomiast pozostałe części, łączące ze sobą te boki, leżą „na czole” rdzenia i noszą nazwę połączeń czołowych.

Przystępując do projektowania uzwojenia „żłobkowego” maszyny elektrycznej (z bokami zezwojów umieszczonymi w żłobkach) należy przyjąć układ połączeń (typ uzwojenia) oraz parametry, z których najważniejsze - to:

p - liczba par biegunów maszyny,

Ż - liczba wszystkich żłobków na obwodzie,

D - średnica rdzenia maszyny (części czynnej wirnika w szczelinie powietrznej),

u - liczba boków w żłobku,

m - liczba faz maszyny prądu przemiennego lub krotność uzwojeń twornika maszyny prądu stałego.

Na podstawie p oraz Ż lub D, określa się podziałkę biegunową. Wyraża ona odległość między sąsiednimi biegunami, przy czym - zależnie od przyjętej miary tej odległości - może to być podziałka biegunowa:


- kątowa (kąt przypadający na jeden biegun)

prad

πτ =][ , (2.89)

- obwodowa (długość części obwodu rdzenia maszyny wirującej, przypadająca na jeden biegun)

p

D

2

πτ = , (2.90)

- żłobkowa (liczba żłobków przypadająca na jeden biegun)

p

ŻQ

2= . (2.91)

W literaturze i praktyce stosuje się zwykle symbol τ na oznaczenie podziałki biegunowej - wyrażanej zarówno w jednostkach długości, jak w żłobkach (nie ma zwyczaju dodawania indeksu dla rozróżnienia jednostki), trzeba więc zwracać uwagę na miano, tym bardziej, że przy uzwojeniach tworników maszyn prądu stałego spotyka się inne jeszcze określenie podziałki biegunowej τ , niż wyżej podane.

Podobny „kłopot” jest z nazwą .i oznaczeniem rozpiętości zezwoju, która określa liczbę żłobków, o jaką są oddalone od siebie jego początki i końce (lewe i prawe boki). W uzwojeniach bezkomutatorowych maszyn prądu przemiennego jest to poskok uzwojenia y; w uzwojeniach tworników maszyn prądu stałego - poskok żłobkowy yż (tu y oznacza tzw. poskok całkowity).

Rozpiętość zezwoju powinna mieć wartość bliską wartości podziałki biegunowej Q. Jeśli rozpiętość zezwoju jest równa podziałce biegunowej Q, to zezwój i uzwojenie nazywa się średnicowym; jeśli jest mniejsza od Q, to zezwój (uzwojenie) nazywa się cięciwowym lub skróconym (rys. 2.24). Stosowanie uzwojeń skróconych pozwala eliminować niektóre z wyższych harmonicznych napięcia.

Rys. 2.24. Rozpiętość zezwoju y i podziałka biegunowa Q w maszynie dwubiegunowej (p = 1)

i czterobiegunowej (p = 2): a) zezwoje średnicowe, b) zezwoje cięciwowe


Rozkład indukcji pola magnetycznego w szczelinie powietrznej wzdłuż obwodu maszyny określa się jako sinusoidalny, o okresie równym 2 τ . W związku z tym, w przesuniętych względem siebie bokach zezwojów indukują się napięcia sinusoidalne o fazach początkowych, różniących się o określone, stałe wartości. Między przesunięciem geometrycznym boków zezwojów, nazywanym kątem mechanicznym α , a różnicą faz początkowych napięć w nich indukowanych, nazywaną kątem elektrycznym α e , zachodzi następujący związek:

αα pe = , (2.92)

gdzie p - liczba par biegunów maszyny.

Różnicę faz początkowych napięć indukowanych w bokach zezwojów przedstawia się za pomocą tzw. gwiazdy żłobkowej (rys. 2.25), którą wykorzystuje się do wyznaczenia wypadkowych napięć w uzwojeniach (przez dodawanie odpowiednich wektorów)

Przed przystąpieniem do projektowania bezkomutatorowego uzwojenia prądu przemien-nego oblicza się Q oraz:

- liczbę żłobków przypadającą na biegun i fazę

m

Q

mp

Żq ==

2 , (2.93)

- liczbę żłobków między początkami kolejnych faz

qm

Q

mp

ŻQ f 2

2

=== . (2.94)

Rys. 2.25. Gwiazdy żłobkowe napięć: a) uzwojenia jednowarstwowego, b) uzwojenia dwuwarstwowego


Na rysunkach 2.26 i 2.27 pokazano schematy płaskie i wykresy napięć fazowych czterech uzwojeń trójfazowych o tych samych parametrach (Ż = 12, p = 1, u = 1), różniących się wykonaniem połączeń czołowych i grupowaniem zezwojów. Są to uzwojenia średnicowe o poskoku y = 6, liczbie żłobków na biegun i fazę q = 2, liczbie żłobków między początkami kolejnych faz Q f = 4.

Rys. 2.26. Przykłady uzwojenia trójfazowego jednowarstwowego, trzypiętrowego: a) schemat płaski uzwojenia z grupami boków niedzielonymi, połączonymi szeregowo, b) schemat plaski uzwojenia z grupami boków dzielonymi, połączonymi równolegle,

c) wykresy wskazowe napięć do ww. układów


Uzwojenia, o schematach pokazanych na rysunkach 2.26a i 2.26b, mają połączenia czołowe ułożone w trzech piętrach, w związku z czym do ich wykonania trzeba użyć zezwojów prostokątnych o trzech różnych wymiarach. Uzwojenia, o schematach pokazanych na rysunkach 2.27a i 2.27b, składają się z jednakowych zezwojów trapezowych, których połączenia czołowe są w przestrzeni rozmieszczone jednakowo.

Rys. 2.27. Przykłady uzwojenia trójfazowego wzornikowego, o jednakowych zwojach trapezowych: a) schemat płaski uzwojenia z grupami boków niedzielonymi, połączonymi szeregowo, b) schemat płaski uzwojenia z grupami boków dzielonymi, połączonymi równolegle,


Przy większej od 1 liczbie par biegunów, schematy ulegają zwielokrotnieniu. Dochodzą połączenia (szeregowe lub równoległe) między grupami cewek fazowych „przypisanych” kolejnym biegunom, podobne do połączeń równoległych na rysunkach 2.26b i 2.27b między zezwojami, o bokach należących do tych samych grup.


Uzwojenia tworników maszyn prądu stałego, nazywane komutatorowymi, są uzwojeniami zamkniętymi. Uzwojenia te wykonuje się jako dwuwarstwowe (rys. 2.25b). Jeden bok każdego zezwoju leży w warstwie górnej żłobka, drugi zaś - w warstwie dolnej (innego żłobka). Stosuje się dwa rodzaje uzwojeń: pętlicowe i faliste; jedne i drugie można wykonać jako tzw. proste lub wielokrotne (zwykle wykonuje się dwukrotne), nieskrzyżowane lub skrzyżowane.

Rys. 2.28. Schematy objaśniające zasadę budowy uzwojeń komutatorowych prostych, nieskrzyżowanych: a) pętlicowych, b) falistych

Na rysunku 2.28 objaśniono zasadę budowy uzwojeń prostych, nieskrzyżowanych: pętlicowego i falistego. Do każdego wycinka komutatora są przyłączone: koniec (prawy bok) jednego zezwoju i początek (lewy bok) drugiego zezwoju. Te łączone ze sobą bezpośrednio zwoje - w uzwojeniach pętlicowych leżą w sąsiedztwie, natomiast w uzwojeniach falistych są przesunięte względem siebie więcej niż o rozpiętość zezwoju. W uzwojeniach wielokrotnych występują dodatkowe gałęzie równoległe, co wymaga stosowania trochę innych, niż w uzwojeniach prostych, zasad przyłączania zezwojów do wycinków komutatora.

Przed przystąpieniem do projektowania uzwojeń prostych, nieskrzyżowanych - a) pętlico-wych, b) falistych - oblicza się lub przyjmuje wartości następujących wielkości:

- liczbę wszystkich boków uŻs = , (2.95a)

- liczbę wszystkich zezwojów

2

sS = , (2.95b)

- liczbę wszystkich wycinków komutatora

SK = , (2.95c)

- poskok szczotkowy, tj. odległość między miejscami przylegania sąsiednich szczotek do komutatora, wyrażoną liczbą wycinków komutatora

p

Kysz 2

= , (2.96)

- poskok komutatorowy, tj. rozpiętość zezwoju, wyrażoną liczbą wycinków komutatora między miejscami przyłączenia początku (lewego boku) i końca(prawego boku) zezwoju, czyli miejscami przyłączenia początków albo końców zezwojów bezpośrednio ze sobą połączonych


a) 1=ky , (2.97a)

b) p

Kyk

1−= , (2.97b)

- poskok całkowity, tj. odległość między początkami (lewymi bokami) albo końcami (prawymi bokami) bezpośrednio ze sobą połączonych zezwojów, wyrażoną liczbą boków na obwodzie twornika

kyy 2= , (2.98)

- poskok żłobkowy, tj. rozpiętość zezwoju, wyrażoną liczbą żłobków na obwodzie twornika (liczba całkowita)

p

ŻQyż 2

=≤ , (2.99)

- poskok częściowy pierwszy, tj. rozpiętość zezwoju, wyrażoną liczbą boków na obwodzie twornika

1 1 += żyuy , (2.100)

- poskok częściowy drugi, tj. odległość między końcami (prawymi bokami) jednych zezwojów i początkami (lewymi bokami) innych zezwojów, bezpośrednio z tamtymi połączonych, wyrażoną liczbą boków na obwodzie twornika

a) yyy −= 12 , (2.101a)

b) 12 yyy −= . (2.101b)

Na rysunku 2.29 pokazano schematy płaskie i wielokąty napięć uzwojeń: pętlicowego i falistego, o tych samych parametrach (Ż = 6, p = 1, u = 2). Dobrane parametry są nietypowe, zapewniają za to dobrą czytelność schematów i wykresów.

Rys. 2.29. Przykłady uzwojenia komutatorowego prostego, nieskrzyżowanego: a) schemat płaski uzwojenia pętlicowego, b) schemat płaski uzwojenia falistego,


2. transformatory i maszyny elektryczne 1clucyk/ze/ze-2a.pdf · 2. transformatory i maszyny...

Documents