1 libro planimetria universidad distrital

Planimetría

Wilson E. Vargas Vargas – Mario A. Rincón Villalba 1

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Facultad del Medio Ambiente y Recursos Naturales

Proyecto Curricular de Ingeniería Topográfica

Planimetría

Wilson Ernesto Vargas Vargas – Mario Arturo Rincón Villalba 2007

Planimetría


Autores

Ing. Wilson Ernesto Vargas Vargas. Msc. Tecnólogo en Topografía, 1997 Ingeniero Topográfico, 2000 Especialista en Gerencia de Recursos Naturales, 2003 Magíster en Ingeniería – Transporte, 2006 Docente T.C.O, 2000-2001, P.C. de Tecnología en Topografía Docente T.C, 2001 adscrito al P.C. de Ingeniería Topográfica Facultad del Medio Ambiente y Recursos Naturales Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Ing. Mario Arturo Rincón Villalba. Esp. Tecnólogo en Topografía, 1998 Ingeniero Topográfico, 2001 Especialista en Ambiente y Desarrollo Local, 2006 Docente T.C.O, 2002-2005, P.C. de Tecnología en Topografía Docente T.C, 2006 adscrito al P.C. de Ingeniería Topográfica Facultad del Medio Ambiente y Recursos Naturales Universidad Distrital Francisco José de Caldas

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Tabla de Contenido

0 Introducción………………………………………………………………………………… 5

1 Levantamiento con Cinta ……………………………………………………..…….……...... 13

2 Levantamiento con Cinta y Brújula ……………………………………………….….….… 32

3 Levantamiento por Radiación …………………………………………………………….. 50

4 Levantamiento por Doble radiación ………………………………...………………..….. 64

5 Poligonales ………………………………………………………………………..……… 76

6 Levantamiento “Poligonal Abierta Método Ceros Atrás” ………………………………… 86

7 Levantamiento “Poligonal Cerrada Método Ceros Atrás”………………………………… 97

8 Levantamiento “Poligonal Punto a Punto Método ceros Atrás” …………………………... 111

9 Levantamiento “Poligonal Cerrada por Azimut Directo” ………………………………… 129

10 Levantamiento “Poligonal Punto a Punto Método Azimut Directo” …………………….... 142

11 Levantamiento “Poligonal Abierta Método Deflexiones” ……………………………….. 153

12 Levantamiento “Poligonal Cardad Método Deflexiones” ……………………………….. 161

13 Replanteo …………………………………………………………………………..… 171

14 Cálculo de Áreas …………………… ………………………………………………..… 177

15 Dibujo Topográfico …………………………………………………………………..… 186

Bibliografía ……………………………………………………………………………... 200

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Presentación Este texto fue elaborado como resultados de la Docencia e Investigación en el área de

TOPOGRAFIA Y VIAS de los proyectos curriculares de Tecnología en Topografía e Ingeniería

Topográfica de la Facultad del Medio Ambiente y Recursos Naturales de la Universidad Distrital

Francisco José de Caldas.

Este Documento reúne los conceptos teóricos y prácticos en el área de Planimetría. Dentro del cual se

realiza una descripción y desarrollo de los diferentes métodos para la realización de levantamientos

topográficos planimetritos; determinando en cada uno de ellos las bases teóricas, aplicaciones y

especificaciones. Para lo cual se desarrollo un ejemplo o ejercicio para cada caso. Además se

plantean ejercicios para cada capitulo que complementan el desarrollo de cada tema.

Para garantizar el desarrollo individual de los ejercicios planteados, los datos iniciales, están

encadenados al numero de documento de identidad de cada estudiante, con el numero

correspondiente a cada letra se deben completar los datos iniciales de cada uno de los ejercicios.

Nombre del Estudiante:___________________________________________________________

Código del Estudiante: _______________________________________

Documento de Identidad

A A B B C C D D

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Introducción 0.1 Topografía Definición: Si se analiza la palabra topografía desglosándola del Griego

Topo “Topos” (Lugar) grafía “Graphe” (Descripción) “Topografía significaría ciencia que se encarga de la descripción de la tierra”. Una definición muy acertada es la siguiente: es la ciencia por medio de la cual se establecen las posiciones de puntos situados sobre la superficie terrestre, encima de ella y debajo de ella; para lo cual se realizan mediciones de distancias, ángulos y elevaciones. El desarrollo de esas actividades se conoce como Levantamiento Topográfico; que tiene como principales objetivos realizar la representación grafica de diferentes terrenos y objetos, Cálculo de áreas y de volúmenes. Los levantamientos proporcionan información detallada de la ubicación y elevaciones de los deferentes elementos encontrados sean naturales o artificiales. En Topografía la tierra se toma como una proyección; para la realización de cálculos se tienen las siguientes hipótesis: la línea mas corta entre dos puntos de la superficie terrestre es una línea recta, las direcciones de la plomada en dos o mas puntos de la superficie terrestre son paralelas (realmente se dirige hacia el centro de esta), se tomaran superficies de referencia imaginarias y serán planas. La topografía esta basada esencialmente en la geometría plana, geometría del espacio, trigonometría y matemáticas en general. 0.2 Tipos de Levantamientos Levantamientos topográficos, de control, catastrales, urbanos, hidrográficos, de rutas, de construcción, de minas, solares, industriales, por satélite, judiciales, fotogramétricos, sísmicos, de energía y en general levantamientos según obra a construirse.

0

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0.3 Funciones del Profesional en Topografía Localización de objetos, localización de los límites de terrenos sean de índole público o privado, elaboración de planos, replanteo (localización en terreno de diseños generados en planos), replanteo y localización de viaductos, control planimétrico y altimétrico de obras, participación en procesos cartográficos, aplicaciones en proyectos ambiéntales, diseño y construcción de diferentes obras de ingeniería. 0.4 Geodesia Esta ciencia tiene finalidades muy similares a la topografía; pero en la geodesia se tiene en cuenta la curvatura terrestre (la forma geométrica a la cual se asemeja la forma de la tierra es una elipse en revolución girando sobre su semieje menor “elipsoide”), por lo anterior el grado de precisión de la geodesia es mayor que el de topografía. 0.5 Planimetría y Altimetría La topografía se divide en dos ramas: planimetría y altimetría. La planimetría no considera las diferencias de nivel y todos los elementos los proyecta a un plano horizontal. La altimetría si considera las diferencias de nivel o relieve de los terrenos y de los elementos artificiales o construidos por el hombre. 0.6 Mediciones en Topografía Las principales medidas que se realizan en topografía son: • Distancias ( horizontales: son las medidas principales o base en la planimetría temática

estudiada en el curso de topografía 1, Medidas Verticales: necesarias para establecer las diferencias de nivel y medidas inclinadas: mediciones directas entre dos puntos de la superficie terrestre)

• Ángulos ( horizontales: medidos en planos horizontales y verticales: medidos en planos verticales)

Fotografía 0.1: Medición de Distancias

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0.7 Unidades de Medida Son las relativas a longitud, área, volumen y ángulo. SISTEMA INGLES: la unidad de longitud es el pie: se usa en Estados Unidos, Liberia y Birmania. SISTEMA METRICO: la unidad de longitud es el metro: se utiliza en el resto del mundo, por lo que es conocido como El Sistema Internacional de Unidades (SI). RELACIONES DE EQUIVALENCIA 1 yarda = 3 pies 1 pie = 0.3048006 metros. 1 pulgada = 2.54 centímetros 1 metro = 39.37 pulgadas 1 pértiga = 16.5 pies 1 vara = aproximadamente 33 pulgadas 1 cadena de gunter = 66 pies = 100 eslabones 1 milla = 5280 pies = 80 cadenas de gunter 1 braza = 6 pies 1 milla náutica = 6076.10 pies 1 acre = 43560 pies En el sistema métrico se utiliza el metro y todas sus subdivisiones y múltiplos ( mm, dm, Dm, Hm, Km, Mm. Área: En el sistema ingles se utiliza el pie cuadrado y las yardas cuadradas, en áreas grandes se usa el acre que tiene 43560 pies cuadrados, también se utiliza el arpent = 0.85 acres. En el Sistema Métrico las áreas se especifican mediante el metro cuadrado, en áreas grandes se utiliza la hectárea equivalente a 10000 metros cuadrados o la fanegada que equivale a 6400 metros cuadrados. Volumen: En el sistema ingles se utiliza el pie cúbico, la yarda cúbica y el acre-pie equivalente a 43560 pies cúbicos. En el Sistema Métrico el volumen se expresa en metros cúbicos. Angular: La unidad de ángulo utilizada en topografía es el grado (°), definido como 1/ 360 del ángulo central de una circunferencia, 1 grado = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos. Un Radian es el ángulo subvenido por un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio del circulo. 2π Radianes = 360°, 1 Rad. 57° 17’ 44.8” y 0.01745 = 1° También se ha utilizado aunque muy poco el Gon que es equivalente al grado centesimal, donde la circunferencia se divide en 400 grados centesimales, 100 minutos centesimales son iguales a 1 grado centesimal y 100 segundos centesimales con iguales a 1 minuto centesimal.

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0.8 Redondeo de Números Redondear en topografía es el proceso de suprimir uno o más dígitos para que la respuesta solo contenga aquellos que sean significativos o necesarios en cálculos subsecuentes.

1. cuando el número a eliminar sea menor que 5 se escribe el número sin este digito: 43.65749 redondeado a tres decimales será 43.657.

2. cuando el número a eliminar es igual a 5 se usara el siguiente número par para el digito precedente: 32.3775 será 32.378; así 32.3785 al ser redondeado también será 32.378.

3. cuando el digito a eliminar sea mayor que 5 se escribirá el numero con el digito procedente aumentado en una unidad. Así 45,6786 será 45.679

En Colombia cuando se desarrolla un proyecto topográfico las distancias se miden al milímetro (tres cifras decimales midiendo en metros) y los ángulos al segundo. 0.9 Cifras Significativas Dígitos positivos seguros mas uno que es un digito redondeado o estimativo, lo que en cierta medida lo hace cuestionable. Por ejemplo una distancia que se midió con una cinta cuya graduación mas pequeña es de 0.002 metros y esta registrada como 23.468 se dice que tiene cinco cifras significativas, los cuatro primeros dígitos son seguros y el ultimo es redondeado ósea cuestionable. Es indispensable que las medidas se tomen con el número correcto de cifras significativas de acuerdo a la precisión que se deseé alcanzar. 0.10 Exactitud y Precisión Exactitud es el grado de perfección o absoluta aproximación al valor verdadero de una medición. Precisión es el grado refinamiento o consistencia con la que se mide una determinada cantidad varias veces. Seria la cercanía entre una medición y otra; si se miden varias veces y los valores obtenidos son muy cercanos entre si se dice que la precisión es alta. En topografía se puede hablar de precisión mas no de exactitud pues nunca se podrá conocer la medida exacta de una magnitud, siempre habrá errores al realizar dicha medida o medidas. 0.11 Medición con Cinta Las distancias que se marcan en los planos son horizontales. Entonces en terreno se deben medir horizontales o con datos auxiliares convertirlas a horizontales.

a) En terreno horizontal: se coloca la cinta paralela al terreno y se efectúa la medida; si la cinta no alcanza para medir la distancia entre dos puntos se alinean desde los dos puntos a medir y se ponen puntos intermedios para dividir la distancia en franjas e ir midiendo dichas franjas hasta alcanzar la distancia total. (los puntos intermedios se materializan con piquetes o estacas si es en zona blanda y para zona dura se pintan marcas en forma de cruz o por medio de puntillas). El alineamiento de los puntos intermedios puede hacerse a ojo utilizando jalones o con hilo y plomada o también puede emplearse el teodolito con lo que será mas preciso.. Se debe tensionar la cinta y realizar la medición varias veces para su comprobación.

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b) En terrenos inclinados e irregulares: se debe medir por tramos poniendo la cinta horizontal. Se hace mas práctico y se obtienen mejores resultados si se va midiendo de arriba hacia abajo donde la persona de arriba coloca el cero sobre el punto y la persona de abajo sostiene la cinta horizontal y leyendo en ella con el hilo plomeado sobre el punto.

Fotografía 0.2: Medición en Terreno Plano

Fotografía 0.3: Medición en Terreno Inclinado

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0.11.1 materialización de puntos

A) en zona blanda: los puntos se deben materializar con estaca y puntilla, se determina el sitio del punto, se quita lo cobertura vegetal haciendo un cuadrado de unos 15 por 15 centímetros; teniendo en cuenta que el punto quede aproximadamente en la mitad de dicho cuadrado, se clava la estaca con la tira de plástico, se clava la puntilla en la estaca y luego se pinta la estaca.

B) En zona dura: los puntos se materializan con puntilla si van a ser puntos que tienen una duración alta y teniendo en cuenta que sea permitido; si son solo puntos para realizar una labor y después se pueden perder se marcan con pintura o crayola según el caso.

0.11.2 Errores y Equivocaciones Los errores que se pueden cometer realizando diferentes labores en topografía tienen diferentes fuentes como son: Errores personales: ningún ser humano tiene sentidos perfectos de vista y tacto. Errores instrumentales: no existen equipos o instrumentos que hayan sido construidos de manera perfecta. Errores naturales: son ocasionados por temperatura, viento, humedad, variaciones magnéticas entre otras. Los errores pueden ser: Los errores sistemáticos que son acumulativos y permanecen de igual signo e igual magnitud; por ejemplo una cinta mal patronada. Los errores accidentales cuyo valor, magnitud y dirección son causas accidentales. 0.11.3 Errores en mediciones con Cinta Cinta mal patronada, cinta no horizontal, alineamiento imperfecto, cinta no recta, variación en la tensión, mala comunicación entre el cadenero y el anotador, catenaria. En cualquier tipo de medida que se este realizando se recomienda hacer una estimación a ojo para verificar que la medida se parezca a la realidad; también es recomendable medir varias veces para realizar comprobación. En mediciones con cinta si se realizan varias mediciones el valor mas probable será el promedio de dichas mediciones o media aritmética. 0.11.4 Precisión de mediciones con Cinta Para determinar la precisión en medidas realizadas con cinta se deben tener en cuenta las siguientes definiciones: Error residual (v): es la diferencia entre el valor de una observación y el valor de la media (promedio). Por lo cual cada observación tiene un error residual. La suma de todos los errores residuales de las observaciones con su respectivo signo debe ser igual a cero.

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Error probable (r): es un error tal que la posibilidad de cometer un error que determine una cantidad mayor a la real es igual a la posibilidad de cometer un error que determine una cantidad menor a la real.

1*6745.0

2

−∑

±=n

vr (0.1)

Donde r = error probable v = error residual n = numero de observaciones o medidas Error probable de la media )( 0r

)1(**6745.0

2

0 −∑

±=nn

vr (0.2)

Donde =or error probable

=v Error residual =n Numero de observaciones o medidas

El valor mas aproximado será la media± el error probable de la media. Precisión (P): la precisión se calcula con los valores de la media y el error probable de la media.

−=X

r

P

O1 (0.3)

Donde: =P Precisión =or Error probable _

=X Media o Promedio. La precisión requerida en mediciones con cinta en terrenos irregulares debe ser mayor a 5000.

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Ejercicio:

No Distancia Media _

X

Error Residual ( v )

Error Residual al cuadrado

( v 2 )

1 27.726 27.7373 -0.0113 0.00012769 2 27.732 -0.0053 0.00002809 3 27.736 -0.0013 0.00000169 4 27.740 0.0027 0.00000729 5 27.746 0.0087 0.00007569 6 27.748 0.0107 0.00011449 7 27.733 -0.0043 0.00001849

∑ = 0.000 ∑ 2v = 0.00037343

=or 0.002

=P 13868. La distancia sería: 27.737 +- 0.002

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Levantamiento con Cinta 1.1 Definición: Es el levantamiento topográfico (planimétrico) de un terreno, utilizando únicamente la cinta y equipo menor; con el fin de determinar el área total del terreno y de los diferentes elementos que lo componen y poder realizar los planos correspondientes. El levantamiento con cinta es un levantamiento tradicional que se emplea desde cuando aun no se habían inventado los instrumentos para medir ángulos.

1.2 Aplicaciones: El levantamiento con cinta se utiliza cuando se requiere de un levantamiento topográfico y no se tienen más elementos que los ya mencionados. Se debe aclarar que este tipo de levantamientos no tienen mucha precisión y que depende directamente de la calidad de las medidas que se tomen. Se emplea para levantamientos de baja extensión, arquitectónicos, ya que para levantamientos de grandes extensiones proporciona baja precisión y el trabajo en campo se torna largo y dispendioso. 1.3 Conceptos Básicos: La medida de distancias horizontales es uno de los principales componentes de los trabajos planimétricos ya que las distancias que se marcan en los diferentes planos son horizontales. Estas medidas se pueden realizar de forma directa o indirecta; aunque se obtienen mejores resultados si se hacen de forma directa. 1.3.1 Medición con Cinta La medición con cinta depende del tipo de terreno y de los obstáculos que se encuentren en dicho proceso

Realizando mediciones con cinta se pueden presentar diferentes tipos de errores que tienen diferentes fuentes como son:

Errores personales: ningún ser humano tiene sentidos perfectos de vista y tacto.

1

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1.3.1.1 Determinación de Ángulos con cinta

Se requiere medir el ángulo que se forma en el vértice A, sobre el alineamiento AB y desde A se mide una distancia R (puede ser cualquier distancia que depende de cada necesidad y del tipo de terreno: entre mas grande sea esa distancia se pueden obtener mejores resultados) se marca el punto y esa misma distancia R se mide sobre el alineamiento AC: también se marca el punto, luego se mide la distancia entre los dos puntos, distancia que para el caso se llamara C.

Gráfica 1.1: Medición de Ángulos con Cinta

Con los datos obtenidos en campo se procede a calcular el ángulo de la siguiente manera:

R

C

Sen 2

2=

α

R

CSen

22=

α

= −

R

CSen

22

1α

= −

R

CSen

2*2 1α

(1.1)

Donde:

=α Ángulo

=C Cuerda

=R Radio

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1.3.1.2 Medición de Perpendiculares con cinta

I) se va a determinar una perpendicular en un punto (p) del alineamiento AB, se mide una distancia X hacia un lado y se materializa, se mide esa misma distancia X hacia el otro lado y se materializa desde los dos puntos materializados se miden radios iguales que sean mayores X y el encuentro de los radios marcara el punto para trazar la perpendicular al punto inicial.

II) caso contrario al anterior; se quiere proyectar un punto (p) que caiga perpendicular al alineamiento AB: desde el punto se mide una distancia D que coincida a un lado del alineamiento AB, se hace lo mismo hacia el otro lado del alineamiento y en la mitad de esos dos puntos estará el punto para que se forme la perpendicular.

III) medidas 3 y 4 en los catetos y medida de 5 en la hipotenusa (múltiplos o submúltiplos de esos valores) garantizan un ángulo recto. Se deben tener tres personas formando el triangulo con la cinta tensionada y otra que garantice que uno de los catetos este sobre el alineamiento.

Grafica 1.2: Medición de Perpendiculares con Cinta

1.4 Área por Figuras Geométricas

Consiste en dividir el terreno en figuras geométricas, a las que se les miden los lados y los ángulos para calcular sus áreas y así al realizar la sumatoria de áreas se determine el área total, la figura que mas se utiliza es el triangulo debido a la facilidad de Cálculo de sus área por diferentes metodologías. Se debe tratar de que las figuras geométricas se ajusten de la mejor manera a la forma del terreno

A continuación se describen algunas Fórmulas para calcular el área de algunas figuras geométricas muy útiles en topografía.

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Cuadrado

llA *=

2lA =

Rectángulo

hbA *=

Círculo

2* rA π=

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Triángulo

Casos Frecuentes

2

*HBA =

2

** αsenbaA = )))()((( cSbSaSSA −−−=

2

cbaS

++=

Donde:

=A Área en 2m del triángulo

a, b, c son los lados del triangulo

α = ángulo formado entre los lados a y b

Caso Especial Se conocen los siguientes datos: dos ángulos y el lado entre ellos.

)(180 βαφ +−=

φβ sen

c

sen

b= ::::

φβ

sen

sencb

.=

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b

hsen =α :::: αbsenh =

αφβsen

sen

csenh =

2

*hcArea =

φαβ

sen

sensencArea

2

2

= ))(180(2

2

βααβ+−

=sen

sensencArea

Trapecio

hbb

A *2

21 +=

Donde:

=A Área en 2m del trapecio

=1b Base mayor

=2b Base menor

=h Altura

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Formula de Los Trapecios

Se tiene una zona o terreno dividida por cierto numero de trapecios todos con la misma h.

AT = Área Total

4321 AAAAAT +++=

)(*2

1 bah

A +=

)(*2

2 cbh

A +=

)(*2

3 dch

A +=

)(*2

4 edh

A +=

)222(2

edcbah

AT ++++=

)2

( dcbea

hAT ++++

=

Formula de Siimpson

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Área Total = Área del Trapecio + Área del Segmento de Parábola (1)

hYY

ioAreaTrapec 2*2

31 += , que al multiplicar y dividir por 3 queda:

)33(3

31 YYh

ioAreaTrapec += (2)

El área de un segmento de parábola es 4/3 del área del triangulo; con las mismas bases y vértices.

2*)(1 12

hYYArea −=∆

2*)(2 32

hYYArea −=∆

21 ∆+∆=∆ AreaAreaArea

2*)(

2*)( 3212

hYY

hYYArea −+−=∆

)2(2

312 YYYh

Area −−=∆

Luego el arrea del segmento de parábola es:

−− )2(

23

4312 YYY

h = )2(

3

2312 YYY

h−− = )224(

3312 YYY

h−− (3)

Al reemplazar (2) y (3) en (1) se tendrá:

)4(3

. 231 YYYh

TotalArea ++= `

Generalizando:

)42(3

. 1 paresimparesn YYYYh

TotalArea +++=

1.5 Metodología 1.5.1 En Campo

Si el terreno tiene forma regular se divide este en figuras geométricas, con el fin de que en campo se midan sus ángulos y dimensiones necesarias para poder calcular el área y realizar la representación correspondiente en un plano. Si el terreno no tiene una forma regular (este caso es el que mas se presenta), se traza un polígono que abarque la mayor parte del terreno o que siga de manera mas cercana la forma del terreno (en campo se materializan los vértices de dicho polígono), lo que este por fuera o por dentro del terreno se toma por el método de izquierdas o derechas que consiste en medirlas distancias (líneas perpendiculares desde los puntos del terreno al polígono trazado.

Para calcular el área total del terreno se calcula el área del polígono y las áreas que se generaron con las perpendiculares se sumaran o restaran según sea el caso

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1.5.2 En Oficina

Según los datos obtenidos en campo, Se calcula el área del polígono; para lo cual se deben promediar las distancias (se recomienda medir las distancias varias veces para corroborar que las medidas están adecuadamente realizadas) y corregir los ángulos de acuerdo a la sumatoria teórica del polígono efectuado. Luego de acuerdo a las figuras geométricas que se formaron en la toma de izquierdas y derechas, se realiza el cálculo de cada una de ellas, para que finalmente se pueda determinar el área total del terreno sumando o restando las áreas individuales al área del polígono según el caso.

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1.6 Ejemplo Práctico 1.6.1 Cartera de campo

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1.6.2 Carteras de Cálculo 1.6.2.1 Cálculo de Ángulos Fórmula

= −

R

CSen

2*2 1α

Angulo No Valor 1 82º 0835" 2 110º 37 29" 3 48º 05 17" 4 123º 50 32" 5 62º 34 23"

� Los ángulos se aproximan al segundo El ángulo cuatro es externo del polígono; el interno será el complemento 360 - 123º 50 32" = 236º 09 28" 1.6.2.2 Corrección de Ángulos

Angulo No Valor Corrección Angulo Corregido

1 82º 0835" 0º 0034" 82º 0909"

2 110º 37 29" 0º 0034" 110º 38 03"

3 48º 05 17" 0º 0034" 48º 05 51"

4 236º 09 28" 0º 0034" 236º 10 02"

5 62º 56 21" 0º 0034" 62º 56 55" El ángulo 4 corregido será 360 - 236º 10 02" = 123º 4958" ∑ Teórica = (n-2)* 180 + 540° La sumatoria teórica de los ángulos internos de un polígono = (n-2)*180 donde n es el numero de ángulos. la explicación de esta Fórmula esta en que si usted divide en triángulos un polígono se van a formar siempre (n-2) triángulos y la sumatoria de los ángulos internos de un triangulo = a 180°. Por lo anterior la sumatoria teórica de los ángulos externos de un polígono es 360n – ((n-2)*180)) = (n+2)*180 ∑ Observada = 539º 5710" Error = ∑ Teórica - ∑ Observada = 1º 0250" Error máximo permisible 10" por ángulo (para este ejemplo 0º 5000" Corrección = Error / n = 0º0034"

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1.6.2.3 Cálculo de Áreas

� Promedio de Distancias

∆ ◙ Distancia 1 2 67.619 2 3 42.212 3 4 42.930 4 5 43.587 5 1 49.315

1.6.2.3 Cálculo de Áreas 1.6.2.3.1 Área total del Terreno = Área Polígono

No Figura Elementos Fórmula Resultado (m 2 ) 1 D5-D1 = 49.415 Triangulo D5-D4 = 43.587 A = (a*b*senα)/2 957.168 α=62º 5655" 2 D1-D2= 67.619 Triangulo h = 23.934 A = b*h/2 809.197 3 D3-D2 = 42.212 Triangulo D3-D4 = 42.930 674.380 α =48º 05 51" A = (a*b*senα)/2 4 Triangulo D4-D3 = 42.930 D4-D5 = 43.587 777.167 α=123º 49 58" A = (a*b*senα)/2 Total 3217.912

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1.3.3.2 Área de Zona Dura

No Elementos Fórmula Resultado (m 2 ) 1 Triangulo b = 10.942 h = 4.118 A = (b*h)/2 22.530 2 Trapecios h = 10.000 unidos con a = 11.691 igual (h) b = 11.258 A = (a+2b+2c+d)*h/2 350.630 c = 12.210 d = 11.499 3 Trapecio b1= 11.499 b2 = 11.961 A = (b1+b2)*h/2 20.223 h = 1.724 4 Triangulo b = 10.488 A =(b*h)/2 62.723 h = 11.961

5 Circulo r = 11.438 A = ∏*r 411.008 Total 867.114

1.6.2.4 Área de Anden = igual al triangulo (4) = 777.167 m 2 1.6.2.5 Área de Zona verde = Área de Total – Área Zona Dura – Área Anden

2222 631.1573167.777114.867912.3217 mmmmAreaZV =−−= La realización del plano se explica en el capitulo 15 “Dibujo Topográfico”

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1.7 Ejercicios Planteados

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Delta Punto Radio Cuerda Angulo Corrección Ang. Corr.

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No. FIGURA ELEMENTOS FÓRMULA RESULTADO

AREA PARCIAL

AREA TOTAL

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AREA PARCIAL

AREA TOTAL

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Levantamiento con Cinta y Brújula 2.1 Definición: Este levantamiento es utilizado para levantamientos de poca extensión, similar al levantamiento con cinta. La diferencia es que los ángulos son tomados con apoyo de la brújula. 2.2 Aplicaciones: Levantamientos catastrales, levantamientos preliminares de trabajos. 2.3 Conceptos Básicos: 2.3.1 Ángulo Por definición un ángulo es la abertura entre dos líneas que se cortan, este ángulo esta compuesto por línea de referencia, sentido y amplitud, según como se indica en la grafica 1.3.1

Gráfica 2.1: Elementos de un ángulo

2

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En Topografía estos elementos corresponden a:

1. Línea de Referencia: Es la Norte que puede ser de tres tipos Real, Magnética y Arbitraria 2. Sentido, regularmente se toma el sentido de las manecillas del reloj. 3. Amplitud, es el valor angular que en este caso se puede tomar como rumbo o azimut.

2.3.2 Azimut y Rumbo En Topografía se considera la nomenclatura de los cuadrantes de la siguiente manera, ya que el cero esta en sentido hacia la norte.

Gráfica 2.2: Numeración de los Cuadrantes

Rumbo: Es el ángulo comprendido entre cada uno de los cuatro cuadrantes medido desde la línea Norte - Sur, el valor angular esta entre 0º y 90º y la nomenclatura corresponde a letras del cuadrante y en el centro el valor del ángulo, colocando primero la letra de la dirección Norte o Sur y luego la de Este – Oeste.

Gráfica 2.3: Rumbo

Planimetría


Para el primer cuadrante el rumbo sería N θ E, para el segundo S θ E, para el tercero S θ W y para el cuarto N θ W. Azimut: Es una dirección medida partir de la línea Norte, su valor esta entre 0º y 360º, la nomenclatura corresponde solo el valor angular.

Gráfica 2.4: Azimut

2.3.3 Brújula Es un instrumento utilizado por muchos profesionales para encontrar direcciones por medio de los polos magnéticos, antes del teodolito los topógrafos la utilizaban para medir ángulos. La brújula consta básicamente de una caja con un círculo graduado para medir rumbos magnéticos o azimutes magnéticos, la caja contiene una aguja de acero magnetizada montada sobre un pivote, la aguja de la brújula se alinea con el norte magnético. Para medir una dirección con la brújula se instala la brújula en un extremo de la línea se libera el seguro de la aguja y se dirige la visual hacia el otro extremo de la línea; antes de tomar la lectura se debe verificar que la brújula se encuentre nivelada. La brújula se usa para levantamientos de poca precisión o para verificar levantamientos ya realizados.

Planimetría


Fotografía 2.1: Brújula

2.3.4 Declinación Magnética Es el ángulo que forma el meridiano magnético con el meridiano verdadero. Para cada punto de la tierra tiene un valor diferente y variable ya que el norte magnético varia inexplicablemente por cambios en los campos magnéticos de la tierra, varia en una dirección y luego en otra en un periodo de 160 años realiza el ciclo completo conocido como variación secular. También existen variaciones anuales y variaciones diarias que son cambios despreciables teniendo en cuenta la precisión de las lecturas de la brújula. La declinación puede ser E o W de acuerdo hacia donde se desvié la aguja con respecto a los polos geográficos de la tierra. 2.3.5 Inclinación Magnética Debido a la atracción que ejercen los polos sobre la aguja, esta tiende a inclinarse y no mantenerse horizontal. Dicho grado de inclinación es la inclinación magnética. Las brújulas corrigen esa inclinación por medo de contrapesos que son bobinas de alambre de cobre que se ubican en el otro extremo de polo, según el hemisferio donde se encuentre el aparato. Si se esta en el hemisferio norte el contrapeso estará en el extremo sur de la aguja. 2.3.6 Atracción Local La dirección que toma la aguja se ve alterada por otras fuerzas magnéticas diferentes al campo magnético terrestre (objetos metálicos, de hierro, acero, corrientes eléctricas y otros metales), si esas fuerzas son muy grandes no será posible utilizar la brújula adecuadamente. Todas las direcciones tomadas desde un mismo punto estarán afectadas por la misma atracción local. Para eliminar la atracción local se toman las direcciones con la brújula de una línea en cada extremo y la diferencia en valores de azimut debe ser 180º.

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2.4 Metodología 2.4.1 En Campo:

• Reconocimiento del terreno: como primer paso se debe recocer la totalidad del terreno y hacer el gráfico correspondiente, actividad que se convierte en la principal del trabajo, ya que este grafico servirá de base para todo el proceso de campo y oficina del levantamiento.

• Trazo del polígono base: se debe trazar y materializar un polígono que inscriba la mayor parte del terreno a levantar. Para minimizar la toma de detalles se debe trazar utilizando la mayor cantidad de linderos del terreno.

• Toma de azimut y distancias del polígono: Con el polígono materializado siguiendo el mismo procedimiento descrito en el capitulo anterior se miden cada una de las distancias del polígono, y con ayuda de la brújula se toman los azimutes o rumbos, de acuerdo al tipo de brújula, armándose sobre cada uno de los deltas y visar los deltas anterior y siguiente, la visual se puede dar con los jalones y cerca a la brújula evitar equipos o elementos que puedan generar campo magnético.

• Toma de detalles: Los detalles adicionales, ya sea para completar el área total o para georeferenciar detalles puntuales, como árboles, postes, entre otros, se toman por el método de izquierdas y derechas, metodología descrita en el capítulo anterior.

2.4.2 En Oficina

• Cálculo y ajuste de los ángulos internos: Con base en los azimutes se determinan los ángulos internos, y de acuerdo a la sumatoria teórica se determina el error y la corrección para cada ángulo asignándole el mismo peso a cada ángulo.

• Determinación de la atracción local: Con base en los azimutes tomados en campo, y determinando los azimutes calculados, se determina la atracción que es la diferencia entre los azimutes de campo y los calculados.

• Ajuste de los azimutes del polígono: Con base en la línea de menor atracción local y los ángulos internos corregidos, se determinan los azimutes corregidos o ajustados de las demás líneas del polígono.

• Área por figuras geométricas: Con base en el polígono ajustado y los datos de izquierdas y derechas determinar las áreas parciales y las áreas totales.

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2.5 Ejemplo Practico 2.5.1 Cartera de Campo

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2.5.2 Carteras de Cálculo 2.5.2.1. Con base en los azimutes determinar los ángulos internos del polígono.

Delta Punto Azimut Ang. Interno D.5 225

D.1 D.2 93

132

D.1 270 D.2

D.3 138 132

D.2 320 D.3

D.4 252 68

D.3 76 D.4

D.5 272 164

D.4 91 D.5

D.1 43 48

Los ángulos internos deben cumplir una sumatoria teórica y dependerá del tipo de ángulo: Ángulos Internos = (n - 2)*180 Ángulos Externos= (n + 2) *180 Donde: n= Número de Vértices del Polígono La diferencia entre la sumatoria de los ángulos calculados y la sumatoria teórica es el error angular del polígono:

∑ ∑−= teoricaobservadosangulosangularerror __

Este error angular debe ser menor al error permitido para este tipo de levantamiento, para este caso el error permitido se determina con la siguiente fórmula:

pnpermitidoangularerror *__ = Donde: =n Número de vértices =p Precisión del equipo, en este caso precisión de la brújula, regularmente estas brújulas tienen una

precisión de un grado. 2.5.2.2. Ajustar los ángulos internos Si el error esta dentro del error permitido, el siguiente paso es ajustar los ángulos; repartir el error en los ángulos tomados. Como todos se tomaron siguiendo la misma metodología se reparte de manera igual para cada ángulo. Para que ajuste el polígono la corrección debe ser con el signo contrario al del error.

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oooangularerror 4540544_ =−= oopermitidoangularerror 51*5__ ==

'48005

4_ oo

n

angularerrorcorrección −=

−==

Delta Punto Azimut Ang. Interno Coor Ang. Interno Coor

D.5 225 D.1

D.2 93 132 - 00° 48' 00" 131° 12' 00"

D.2 270 D.2

D.3 138 132 - 00° 48' 00" 131° 12' 00"

D.1 320 D.3

D.4 252 68 - 00° 48' 00" 67° 12' 00"

D.3 76 D.4

D.5 272 164 - 00° 48' 00" 164° 12' 00"

D.4 91 D.5

D.1 43 48 - 00° 48' 00" 47° 12' 00"

2.5.2.3. Determinar la atracción local de todas las líneas: Con base en los azimutes tomados en campo de cada una de las líneas; se tomaron dos azimut uno en cada dirección, teóricamente estos dos azimutes deberían ser el azimut y contrazimut de cada línea. La diferencia entre el contrazimut calculado con base en la Fórmula y el tomado en campo se denomina atracción local. Atracción local= azimut calculado – azimut tomado en campo

Gráfica 2.5: Azimutes tomados en campo

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Ejemplo la línea D.1 – D2, el azimut D.1 a D.2 es 93 o sea que el contrazimut debería ser 273, el tomado en campo es 270, ósea la atracción local de la línea es de 3.

Gráfica 2.6: Cálculo de Atracción Local

2.5.2.4. Tomar como línea base la línea de menor atracción local y ajustar la totalidad de las líneas del polígono con base en los ángulos corregidos. Se toma la línea de menor atracción local y se promedian los azimut para tener los azimutes bases para el ajuste.

Gráfica 2.7: Línea base y ángulos corregidos

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Con base en el azimut de la línea base y los ángulos corregidos se ajusta todo el polígono, el azimut siguiente será igual al azimut anterior menos el ángulo si se avanza en sentido de las manecillas del reloj y el azimut anterior más el ángulo si se avanza en contra de las manecillas del reloj. El contrazimut de la línea nueva se determina según la fórmula.

Gráfica 2.8: Azimutes corregidos

2.5.3. Cálculo de áreas por figuras geométricas. Se sigue el mismo procedimiento del capitulo anterior, determinando el área de cada una de las zonas del terreno y el área total. La realización del plano se explica en el capitulo 15 “Dibujo Topográfico”

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Ajuste de Ángulos y Azimutes

Delta Punto Azimut Angulo Corr Ang. Corr. Azimut Corr.

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Determinación Atracción Local

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Cálculo de Área por Figuras Geométricas

Área a Calcular: ______________________________________________________________


AREA TOTAL

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Área a Calcular: _______________________________________________________________


AREA TOTAL

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Área a Calcular: _______________________________________________________________

+ FIGURA ELEMENTOS FÓRMULA RESULTADO

AREA TOTAL

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Levantamiento por Radiación 3.1 Definición: En topografía se considera levantamiento por radiación, la toma de detalles desde un mismo punto llamado centro de radiación o vértice, a cada uno de los detalles en forma de radios desde el centro, ver Gráfica 1

Gráfica 3.1: Radiación

Como se puede observar en la grafica 3.1 para cada uno de los detalles es necesario obtener el ángulo o dirección comprendida entre la norte y el punto, observado desde el vértice o centro, que como es tomado a partir de la norte en topografía se denomina azimut, y la distancia desde el punto centro a cada uno de los detalles

3

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El equipo con el cual se capturan los ángulos y además apoya la toma de distancias es denominado Teodolito o Transito en algunos casos.

Fotografía 3.1: Teodolito

3.2 Aplicaciones: La radiación es el procedimiento básico de Topografía, y es utilizado para todos los levantamientos Topográficos. 3.3 Conceptos Básicos: 3.3.1 Coordenadas Polares Son las coordenadas que definen la posición de un punto con base en el radio y ángulo entre dos puntos, en topografía este radio es la distancia y el ángulo es la dirección (azimut o distancia).

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Gráfica 3.2: Coordenadas Polares

3.3.2 Coordenadas Rectangulares Las Coordenadas rectangulares x,y de un punto cualquiera dan la posición de un punto a partir de los ejes de referencia mutuamente perpendiculares.

Gráfica 3.3: Coordenadas Rectangulares

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3.3.3 Paso de Coordenadas Polares a Rectangulares Si se conocen las coordenadas de un punto (A) y la distancia y el azimut a otro punto B, es posible determinar las coordenadas rectangulares del punto B. Las Coordenadas se determinan con las siguientes ecuaciones:

DNNaNb +=

DEEaEb += Donde:

NorteDeltaDN _=

EsteDeltaDE _=

Gráfica 3.4: Transformación de Coordenadas Polares a Rectangulares

Como se observa los DN y DE son los catetos del triangulo formado por los puntos sobre la proyección en los ejes, con la hipotenusa como la distancia y con el ángulo como el azimut. Por lo anterior los Deltas se determinan con las siguientes expresiones:

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Conociendo que:

ciaDis

DN

tancos =θ

ciaDis

DEseno

tan=θ

ciaDisDN tan*cosθ=

ciaDissenoDE tan*θ= 3.3.4 Paso de Coordenadas Rectangulares a Polares De la misma manera si se tienen las coordenadas rectangulares de dos puntos se puede determinar el azimut y la distancia entre ellos. De igual manera los DN y DE son los catetos del triangulo formado por los puntos sobre la proyección en los ejes, con la hipotenusa como la distancia y el ángulo formado en el rumbo. El azimut dependerá de la posición y dirección de los puntos.

Gráfica 3.5: Transformación de Coordenadas Rectangulares a Polares

Las coordenadas polares se determinan con las siguientes expresiones:

NbNaDN −=

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EbEaDE −=

Con base en la relación de los lados del triangulo rectángulo:

222tan DEDNciaDis +=

22tan DEDNciaDis += De la misma manera:

DN

DEtag =θ

Este ángulo calculado es el rumbo, la determinación del azimut se realiza de acuerdo al cuadrante donde se localiza la dirección. Para determinar el cuadrante es necesario que el DN y DE se determinen de la resta de coordenadas rectangulares entre el punto al que se da visual y el punto donde se esta armado, por ejemplo: Para determinar el azimut entre A hacia B, es necesario restar las coordenadas de B menos la de A. Dependiendo los signos de los deltas se determina el cuadrante con base en el siguiente grafico:

Gráfica 3.6: Signos de los Cuadrantes

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En el siguiente gráfico se muestra el signo y la ubicación del ángulo θ , y la forma de calcular el azimut.

Gráfica 3.7: Signos del ángulo en los cuadrantes

Cuadrante Signo del Angulo Azimut

I θ+ θ=Az

II θ− )(180 θ−+=Az

III θ+ )(180 θ++=Az

IV θ− )(360 θ−+=Az

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3.4 Metodología 3.4.1 En Campo: El primer paso para cualquier levantamiento es realizar un reconocimiento del terreno, posteriormente se realiza el respectivo gráfico de ubicación y el gráfico detallado de la zona a levantar. El gráfico debe representar la totalidad del terreno, y contener la gran mayoría de datos y detalles necesarios que nos permitan tener un alto grado de detalle del terreno a levantar. Después se identifican los detalles necesarios para realizar el levantamiento. Para esta identificación se debe tener en cuenta: • Una línea se define con dos puntos, uno al principio y otro al final. • Una curva se define mínimo con tres puntos, el comienzo, el centro y el final. • Un objeto puntual, ej. Un árbol, se define con un punto y se identifican las características de este

objeto en las observaciones, ej. Ancho de la capa. • La ubicación del punto centro o vértice se determina analizando el terreno y la cantidad y forma

de los detalles a levantar. Después de ser determinado se materializa como un punto estable y desde allí se tomaran los datos de campo.

El equipo se arma, centra y nivela sobre este punto materializado, luego de definir el meridiano de referencia, ya sea arbitrario, real o magnético, se encera el equipo en dicho punto, y se comienza en forma ordenada y en sentido de las manecillas del reloj a tomar los ángulos y distancias a cada uno de los detalles. Es necesario luego de tomar el último detalle, comprobar si el equipo no se ha desnivelado o movido en el proceso de toma de detalles, para tal fin se vuelve a leer el valor angular a la norte o al primer punto de nuevo. El error de cierre en ángulo: ´αα −=e Donde e = error de cierre =α Primera Lectura =´α Segunda lectura

El error no debe ser mayor a la precisión angular del equipo. Si el error es mayor se tendrán que repetir todas las lecturas de los ángulos 3.4.2 En Oficina • se verifica que el error de cierre este dentro de los parámetros • Se calculan las coordenadas rectangulares de cada uno de los puntos

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3.5.2 Carteras de Cálculo 3.5.2.1 Cálculo de Proyecciones

Se procede a calcular los DN y DE con base en las coordenadas polares tomadas en campo, azimut y distancia, ya que como se colocó cero grados en la norte todos los ángulos observados se convierten en azimut.

Cabe anotar que como se esta colocando la Norte en un detalle cualquiera el levantamiento estará amarrado con norte arbitraria y las coordenadas también se trabajaran de manera arbitraria, por lo cual se asume un valor al punto de radiación.

En Topografía DN y DE son llamados Proyecciones, entonces las fórmulas para determinar estas proyecciones son:

ciaDisAzimutNS tan*cos=

ciaDissenoAzimutEW tan*=

Si el resultado es positivo indica que el punto se encuentra al Norte o al Este respectivamente del punto de radiación, en caso contrario si el resultado es negativo el punto se encuentra al Sur o Oeste respectivamente del punto de radiación.

Proyecciones

Delta Punto Azimut Distancia NS EW

A N 0°00'00"

Pt 1 26°25'00" 18.538 16.602 8.247

Pt 2 124°10'30" 15.027 -8.441 12.432

Pt 3 189°33'30" 10.659 -10.511 -1.770

Pt 4 278°41'30" 25.655 3.877 -25.360

3.5.2.2 Cálculo de Coordenadas

Para garantizar que las coordenadas de los puntos siempre estén en el primer cuadrante; cuadrante donde las dos direcciones NS y EW son positivas, es necesario asignar al origen valores de coordenadas mayores a la menor negativa de las proyecciones. Lo anterior debido a que se esta trabajando con coordenadas arbitrarias, si se esta trabajando con coordenadas amarradas a la red ya se garantiza esta condición.

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Las Coordenadas se determinar con las siguientes fórmulas: NSNpuntoAN +=

EWEpuntoAE += Norte y Este del punto A asumidas y que cumpla la condición anterior:

Proyecciones Proyecciones

Delta Punto Azimut Distancia NS EW N E

A N 0°00'00" 200.000 200.000

Pt 1 56°25'00" 18.538 16.602 8.247 216.602 208.247

Pt 2 124°10'30" 15.027 -8.441 12.432 191.559 212.432

Pt 3 189°33'30" 10.659 -10.511 -1.770 189.489 198.230

Pt 4 278°41'30" 25.655 3.877 -25.360 203.877 174.640

3.5.2.3 Cálculo de Área

Los detalles se ordenan empezando en cualquier punto y siguiendo el recorrido de las manecillas del reloj, no importando el numero del detalle, sino su posición y no olvidar que se debe cerrar el área, llegando al mismo punto de partida. Ver explicación detallada en capitulo 14.

Punto N E

Pt 1 216.602 208.247

Pt 2 191.559 212.432

Pt 3 189.489 198.230

Pt 4 203.877 174.640

Pt 1 216.602 208.247

Área m2 574.022

Ha 0.057

Fa 0.090

La realización del plano se explica en el capitulo 15 “Dibujo Topográfico”

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3.6 Ejercicio Planteado

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PROYECCIONES COORDENADAS DELTA PUNTO

ANG. OBSV.

AZIMUT DIST NS EW N E PUNTO

Planimetría


Cálculo de área por Coordenadas Área a Calcular: __________________________________________________

COORDENADAS N E PUNTO

Sumatoria =

Sumatoria =

m2

Ha Área =

Fa

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Levantamiento por Doble Radiación 4.1 Definición: Es un método de levantamiento topográfico que se basa en la ley de senos, en el cual se mide una distancia que sirve como base para los demás cálculos (esta distancia se debe medir varias veces para luego promediar y obtener la mayor precisión posible). Las demás distancias se calculan midiendo ángulos para formar triángulos, las distancias necesarias se calculan por la ley de senos. Este método también se conoce con otros nombres como intersección de visuales, base medida. 4.2 Aplicaciones: Es un levantamiento que se utiliza cuando el terreno a levantar no es accesible para poder utilizar otro método; o cuando por algún otro motivo es muy difícil medir las distancias; por ejemplo obstáculos, tráfico, corrientes de agua, etc. 4.3 Conceptos Básicos: 4.3.1 ley de senos En un triangulo existe equivalencia entre el seno de cada ángulo y su correspondiente lado opuesto

Gráfica 4.1: ley de senos

4

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c

SenC

b

SenB

a

SenA==


• Reconocimiento del terreno a levantar, realizando un grafico con todos y cada uno de los detalles

• Localizar dos puntos (A, B) de forma que sean visibles entre si y que desde cada uno de ellos se vean todos los detalles (la distancia entre esos dos puntos es la que se va a medir para tomar como base). Los puntos A y B pueden quedar por dentro o por fuera de la zona de trabajo, la distancia entre los dos puntos no debe ser muy pequeña en relación con el tamaño del terreno; mínimo un quinto de la mayor distancia del terreno a levantar. Se debe tratar que los ángulos leídos no sean muy agudos pues se afectara la precisión del método.

• Se arma, centra y nivela el teodolito o equipo a utilizar en el punto A. • Se establece el meridiano de referencia o norte para realizar el trabajo. • Se visa al meridiano estipulado, se fija el ángulo horizontal en 0° 00’ ‘00” y se lee el ángulo

al punto B. • Se mide la distancia AB, con una precisión mayor a 1: 5000. • Se leen los ángulos a todos y cada uno de los detalles. • Se lee de nuevo el ángulo a la norte para verificar que el equipo esta bien armado,

centrado y nivelado. • Se arma, centra y nivela el equipo en el punto B. • Se visa el punto A y se fija el ángulo horizontal en 0° 00’ ‘00” • Se leen los ángulos a todos lo detalles siguiendo la misma numeración que se había tomado

desde el punto A. • Se lee de nuevo el ángulo al punto A para verificar que el equipo esta bien armado,

centrado y nivelado. 4.4.2 En Oficina Para que los cálculos sean más sencillos se deben seguir los siguientes lineamientos: que la línea AB quede por fuera del terreno, que el meridiano de referencial quede por fuera y a la izquierda del terreno y que B quede a la derecha de A. Para cada punto con los datos tomados se forma un triangulo, la distancia AB será un lado de cada uno de esos triángulos, se calculan los ángulos internos de cada triangulo; por ley de senos se determina la distancia desde el punto A a cada uno de los puntos, y como se tienen los ángulos desde el punto A con ceros en el meridiano de referencia se calculan las coordenadas de todos los puntos como en el método de radiación.

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Gráfico 4.4.2: triángulos que se forman en los puntos 1 y 2

Para cada punto se forma un triangulo diferente, el lado AB es la base de cada uno de ellos Ángulo I = azimut de (A a B) – azimut de A al respectivo punto = •AB Ángulo II = ángulo tomado desde B al respectivo punto = AB• Ángulo III = 180 – (•AB + AB• ) = A•B • = punto Por ley de senos

)()( IISen

PTOA

IIISen

AB −=

)(

)(*

IIISen

IISenABPTOA =−

A-PTO = distancia desde A cada punto AB = distancia AB NOTA: si se tienen detalles a la izquierda del meridiano de referencia (norte) o por debajo de la línea AB se debe realizar un análisis diferente para el cálculo de los diferentes ángulos. La precisión de este método no es muy alta ya que las distancias no se miden directamente si no que se calculan indirectamente. Los objetivos son: determinar las coordenadas de los detalles, calcular las dimensiones y área del terreno.

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4.5.2 Carteras de Cálculo 4.5.2.1 Cálculo de Distancias desde (A) a cada punto

Distancia AB = 49.958 )(

)(*

BASen

ABSenABPTOA

ΘΘ

=−

◙ < ◙AB < AB◙ < A◙B DIST A◙

1 68°5200" 92°1500" 18°5300" 154.243

2 73°2000" 91°2400" 15°1600" 189.673

3 64°5100" 101°0700" 14°0200" 202.158

4 68°0400" 99°2500" 12°3100" 227.409

5 59°2900" 109°3000" 11°0100" 246.436

6 48°5800" 117°5200" 13°1000" 193.888

El resto de cálculos queda reducido a una radiación simple la cual se explicó en el capitulo anterior. Se deben tener las coordenadas del punto A, o asignarle unas si se esta trabajando con coordenadas arbitrarias. Al trabajar con coordenadas arbitrarias el proyecto queda referenciado solo localmente y no se podrá establecer su posición frente a otros proyectos. 4.5.2.2 Cálculo de Coordenadas de los Detalles

PROYECCIONES COORDENADAS DELTA PUNTO AZIMUT DIST

N-S E-W NORTE ESTE PUNTO

A N 00°0000" 1200.000 1150.000 A

1 56°0000" 154.243 86.252 127.873 1286.252 1277.873 1

2 51°3200" 189.673 117.988 148.508 1317.988 1298.508 2

3 60°0100" 202.158 101.028 175.103 1301.028 1325.103 3

4 56°4800" 227.409 124.521 190.288 1324.521 1340.288 4

5 65°2300" 246.436 102.652 224.039 1302.652 1374.039 5

6 75°5400" 193.888 47.234 188.047 1247.234 1338.047 6

Teniendo las coordenadas de los detalles, se pueden realizar cálculos de distancias y azimutes entre los diferentes puntos, como ya se explicó en el tema de coordenadas rectangulares y coordenadas polares. (Capitulo anterior)

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4.5.2.3 Cálculo de Dimensiones del Terreno y Direcciones (azimutes) entre los puntos

LINEA DISTANCIA AZIMUT

1 _ 2 37.855 33°0156"

2 _ 3 31.543 122°3134"

3 _ 4 27.973 32°5238"

4 _ 5 40.217 122°5629"

5 _ 6 66.08 213°0008"

6 _ 1 71.717 302°5737"

4.5.2.4 Cálculo de Áreas por Coordenadas

COORDENADAS

NORTE ESTE PUNTO

1200.000 1150.000 A

1286.252 1277.873 1

1317.988 1298.508 2

1301.028 1325.103 3

1324.521 1340.288 4

1302.652 1374.039 5

1247.234 1338.047 6

SUMATORIA = 10317190.35

SUMATORIA = 10309485.93

3852.21 m2

0.3852 Ha AREA =

0.602 Fa

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Cálculo de Distancias

O O A B A B O A O B DIST A O

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Cartera de Cálculos de Coordenadas

PROYECCIONES COORDENADAS DELTA PUNTO ANG. OBSV. AZIMUT DIST

NS EW N E PUNTO

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COORDENADAS

N E PUNTO

Sumatoria =

Sumatoria =

m2

Ha Área =

Fa

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Poligonales 5.1 Definición: Una poligonal en Topografía consiste en una serie de líneas rectas sucesivas que se unen entre si, a las cuales en campo se le miden las distancias de cada una de esas líneas y los ángulos que forman. 5.2 Aplicaciones: Levantamientos: topográficos, de urbanismo, vías, acueductos, alcantarillados, incorporaciones, túneles, etc. Es el método mas utilizado para realizar levantamientos topográficos ya que se pude aplicar en cualquier tipo de terreno. Como ya se vio en los métodos descritos en los capítulos anteriores se tiene ciertas restricciones. 5.3 Metodología Para iniciar una poligonal se debe empezar desde un punto que tenga coordenadas conocidas (punto de inicio) y una línea de referencia o azimut desde ese punto a otro (punto de amarre). Esto quiere decir que se deben tener por lo menos dos puntos con coordenadas conocidas; si son coordenadas arbitrarias el trabajo queda ligado o ubicado localmente y no se podrá ubicar el trabajo o proyecto respecto a otros sitios o planos. Si son coordenadas reales, las cuales fueron determinadas y materializadas previamente por algún método topográfico o geodésico, el trabajo queda ligado o ubicado globalmente y podrá determinarse su ubicación y posición respecto a otros trabajos dentro de una ciudad, región, país etc. 5.4 Tipo de Poligonales 5.4.1 Poligonales Abiertas: Se inicia en un punto con coordenadas conocidas, se miden los diferentes ángulos y distancias y se llega o termina en otro punto desconocido. Son poco utilizadas debido a que tienen la desventaja que no pueden corregirse aritméticamente.

5

Planimetría


Grafica 5.1: Poligonal Abierta

5.4.2 Poligonales Cerradas: Se parte desde un punto con coordenadas conocidas (punto de inicio), se realiza el recorrido correspondiente y se regresa nuevamente al punto mencionado, donde se realiza el cierre angular hacia el punto de amarre.

Grafica 5.2: Poligonal Cerrada

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5.4.3 Poligonal Punto a Punto Parten de un punto con coordenadas conocidas y terminan en otro punto de coordenadas conocidas. Entonces son geométricamente abiertas pero analíticamente cerradas, ya que se pueden realizar ajustes y calcular precisiones. Caso 1: La línea de referencia hace parte de la poligonal; se necesitan dos puntos de coordenadas conocidas: para el Cálculo de la poligonal se pueden corregir los ángulos de acuerdo a la sumatoria teórica de ángulos internos o ángulos externos de un polígono o se pueden corregir los azimutes ya que se parte de un azimut conocido y se debe llegar al contrazimut de dicho valor.

Grafica 5.3: Poligonal Punto a Punto “Caso 1”

Caso 2: La línea de referencia no hace parte de la poligonal y se necesitan cuatro puntos de coordenadas conocidas. Este tipo de poligonales es de gran aplicación en proyectos lineales por ejemplo vías, también se utiliza en levantamientos topográficos en los cuales al realizar la poligonal se determinan los deltas para tomar los detalles y se observa que por la posición de los puntos de coordenadas conocidas en el terreno brinda mayor facilidad y rendimiento terminar en otra base y no regresar al punto de inicio para realizar una poligonal cerrada. Se tiene una línea de referencia para iniciar y se termina en otra línea de referencia. Se pude calcular corrigiendo los ángulos cerrando la poligonal con el ángulo que se forma entre las dos líneas de referencia (Angulo Ficticio). “ver capitulo 8” o se pueden corregir los azimutes, ya que se tiene un azimut de salida y se tiene un azimut de llegada.

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Grafica 5.4: Poligonal Punto a Punto “Caso 2”

La utilización de cualquier tipo de poligonal y su método de levantamiento estará determinada por las características y tamaño del terreno, el tipo de proyecto a realizar y la ubicación en el terreno de los puntos de coordenadas conocidas o puntos de amarre. 5.5 Métodos Para Realizar Poligonales 5.5.1 Por Ceros Atrás Se ejemplifica con una Poligonal Cerrada. Se instala el equipo en el punto de inicio (armar, centrar y nivelar). Se visa al otro punto de coordenadas conocidas (punto de amarre, línea de referencia). Se coloca el circulo horizontal del equipo en 0° 00’ 00”, se visa al delta o estación 1; se mide el ángulo y la distancia a ese punto o delta; se ubica el equipo en delta 1, se visa al punto de inicio, se coloca el circulo horizontal del equipo en 0° 00’ 00” y se mide el ángulo y distancia al delta o estación 2. Se ubica el equipo en delta 2 se visa al delta 1, se coloca el circulo horizontal del equipo en 0° 00’ 00” y se mide el ángulo y distancia al delta o estación 3. Se sigue el mismo procedimiento en cada uno de los deltas. Cuando se llega al ultimo delta se ubica el equipo en esta estación, se visa al delta anterior se coloca el circulo horizontal del equipo en 0° 00’ 00” y se mide el ángulo y distancia al punto de inicio de la poligonal. Finalmente se instala el equipo nuevamente en el punto de inicio, se visa al ultimo delta se coloca el circulo horizontal del equipo en 0° 00’ 00” y se mide el ángulo al punto de amarre. Se debe tener en cuenta que algunos equipos se pueden configurar para medir ángulos hacia la derecha o hacia la izquierda pero comúnmente se miden hacia la derecha: Si se recorre la poligonal en sentido de las manecillas del reloj se miden ángulos externos y la ∑ teórica de ángulos de un polígono = (n+2)*180 (Fórmula explicada en el capitulo 1) Si se recorre la poligonal en sentido contrario a las manecillas del reloj se miden ángulos internos y la ∑ teórica de ángulos = (n-2)*180 (Fórmulada explicada en el capitulo 1) n = numero de lados o de vértices de la poligonal En la realización de una poligonal cerrada se puede presentar que la línea de referencia o de amarre puede estar por fuera o por dentro de la poligonal.

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� Línea de referencia por fuera de la Poligonal:

Grafica 5.5: Poligonal Cerrada por Ceros Atrás “Brazo por Fuera”

� Línea de referencia Cruza la Poligonal:

Grafica 5.6: Poligonal Cerrada por Ceros Atrás “Brazo Cruza la Poligonal”

5.4.2 Por Azimut Directo Se calcula el azimut del punto de inicio al punto de amarre, se instala (arma, centra y nivela) el equipo en el punto de inicio. Se visa al punto de amarre y se coloca en el circulo horizontal como

Planimetría


valor el azimut que se calculó; de esta manera al girar el circulo para visar un punto o un delta se tendrá directamente el azimut de esa línea, ósea que al mirar al delta No 1 se obtiene directamente el azimut a ese delta, al tomar los detalles también se leen directamente en el equipo los azimutes a cada uno de ellos; en cada delta se arma el equipo se visa al delta anterior colocando en el circulo horizontal el valor del azimut a ese delta que se miró. Se repite el procedimiento en cada delta hasta recorrer toda la poligonal. Para los cálculos se corrigen los azimutes teniendo como error el azimut de salida menos el azimut de llegada, Los azimutes a los detalles se leen directamente, no hay que calcularlos; no es común que se corrijan pero se puede hacer. Este método tiene la desventaja que se deben conocer las coordenadas de los puntos de inicio y de amarre antes de comenzar el trabajo de campo, situación que no se presenta en los otros métodos.

Grafica 5.7: Poligonal por Azimut Directo

5.4.3 Por Deflexiones El ángulo de deflexión en una poligonal es el ángulo que forma una línea con la prolongación de la línea inmediatamente anterior. Se mide desde la prolongación. Para realizar una poligonal por deflexiones se instala el equipo en el punto de inicio se visa al punto de amarre y se coloca en el circulo horizontal 180° 00’ 00”; se gira el anteojo y se visa al punto siguiente, se lee el ángulo si la lectura es menor a 180° 00’ 00” se anota y se determina como ángulo de deflexión a la derecha, si la lectura del ángulo es mayor a 180° 00’ 00” es ángulo de deflexión a la izquierda y el valor para el Cálculo será 360 menos la lectura. En resumen en cada delta se visa al delta anterior se coloca 180° 00’ 00” y se determinan los ángulos de deflexión con el mismo procedimiento descrito anteriormente.

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Para realizar los cálculos de azimutes se comienza con el contrazimut de salida calculado por coordenadas y si el ángulo de deflexión es derecho se suma a dicho azimut o si es ángulo de deflexión izquierdo se resta; de esta forma se van obteniendo los azimutes de cada una de las líneas de la poligonal. La sumatoria de ángulos de deflexión de un polígono cerrado es igual a 360° 00’ 00” (tomando los ángulos de deflexión izquierdos con signo contrario a los ángulos de deflexión derechos.) si se recorre la poligonal en sentido horario los ángulos a la izquierda se restan y si se recorre en sentido antihorario los que se restan son los derechos. Pero al tenerse en cuenta el brazo de amarre la sumatoria de los ángulos de deflexión debe ser 180° 00’ 00” (si el brazo queda por fuera de la poligonal) o 540°00’00” ( si el brazo queda por dentro de la poligonal ).

Grafica 5.8: Poligonal Por Deflexiones “Brazo Cruza La Poligonal’

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Grafica 5.9: Poligonal Por Deflexiones “Brazo Por Fuera”

5.6 Medición de Ángulos Se recomienda medir los ángulos y las distancias de una poligonal por lo menos dos veces para verificar que las lecturas que se realicen sean los mas precisas posibles. Se debe verificar que las lecturas o medidas del mismo ángulo o misma distancia se encuentren muy cercanos en su magnitud, esta diferencia dependerá de la precisión de los equipos con que se estén realizando las medidas, para la medición de un ángulo varias veces existen algunos métodos entre los cuales se destacan: 5.5.1 Método de Directo e inverso Se miden los ángulos de la poligonal en posición directa y en posición inversa; se determina el promedio de cada ángulo para realizar los cálculos. Metodología: en cada delta se arma el equipo, se visa el delta anterior y se coloca en el circulo horizontal del equipo 0°00’00”, se lee al ángulo al siguiente delta; se transita el equipo (se gira 180° en sentido horizontal y 180° en sentido vertical), se toma la lectura al delta anterior y la lectura al delta siguiente. Se calcula el ángulo en posición directa, se calcula el ángulo en posición inversa, finalmente se promedian estos ángulos para obtener el ángulo definitivo con el que se realizaran los cálculos. Directo = directo en delta siguiente Inverso = inverso en delta siguiente – inverso en delta anterior (si el valor resulta negativo se le suman 360°) Promedio = (Directo + Inverso)/2

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ESPECIFICACIONES • En las lecturas desde un punto a cada delta la diferencia entre la lectura de inverso y la lectura

de directo debe estar entre 180° ± precisión del equipo • La diferencia entre el Cálculo de DIRECTO y de INVERSO no debe ser mayor a la precisión del

equipo Ejemplo: Delta Pto Posición Angulo D2 D1 Directa 0°00’00” Inversa 180°00’30” D3 Directa 247°56’00” Inversa 67°56’00” Directo = 247°56’00” Inverso = (67°56’00” - 180°00’30”) + 360° = 247°55’30” Promedio = 247°56’00” + 247°55’30” = 247°55’45” 5.5.2 Método de Reiteración El soporte de este método consiste en utilizar todo el círculo horizontal que tienen los equipos entre 0° y 360°: la metodología es la siguiente:

� se visa el punto anterior se coloca 0° 00’00” en el equipo y se lee el ángulo al siguiente delta

� se visa el punto anterior se coloca 90° 00’00” en el equipo y se lee el ángulo al siguiente delta. El ángulo será la lectura menos 90°00’00”

� se visa el punto anterior se coloca 180° 00’00” en el equipo y se lee el ángulo al siguiente delta. El ángulo será la lectura menos 180°00’00”

� se visa el punto anterior se coloca 270° 00’00” en el equipo y se lee el ángulo al siguiente delta. El ángulo será la lectura menos 270°00’00” Nota: si al realizar cada resta el valor del ángulo resulta negativo a ese ángulo se le suman 360°.

Después de tener los cuatro valores del ángulo se suman y se promedian para así obtener los ángulos definitivos con que se realizaran los cálculos

ESPECIFICACIONES � comparando independientemente el valor de los cuatros ángulos: la diferencia entre cada

valor no debe exceder la precisión del equipo que se este utilizando

Ejemplo:

Delta Pto Angulo D2 D1 0°00’00”

90° 00’00” 180°00’00” 270°00’00” D3 105°32’00” 195”31’30” 285°32’30” 15°32?30”

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105°32’00”- 0°00’00”=105°32’00” 195°31’30”-90°00’00”=105°31’30” 285°32’30”-180°00’00”=105°32’30” 15°32’30”-270°00’00”=- 254°27’30”+360=105°32’30” PROMEDIO=105°32’08” 5.5.3 Método Por Repetición Para emplear este método es necesario tener un equipo repetidor: es decir con doble sistema de ejes para el circulo horizontal y así poder mantener el valor de un ángulo determinado y que al mover o girar el circulo horizontal este valor se mantenga.

� Se visa el punto anterior; se coloca 0°00’00”en el circulo horizontal; se visa el punto siguiente se realiza la lectura del ángulo

� Se visa al punto anterior manteniendo la lectura que se acaba de realizar: se visa al punto siguiente y se realiza la nueva lectura, el valor del ángulo será la nueva lectura – lectura inicial

� Se repite el mismo procedimiento según las veces que se quiera medir el ángulo, el valor mas probable del ángulo será el promedio de todos los valores obtenidos ESPECIFICACIONES

� comparando independientemente el valor de cada ángulo: la diferencia entre cada valor no debe exceder la precisión del equipo que se este utilizando

Ejemplo:

Delta Punto Angulo

D2 D1 0°00’00”

D3 91°12’00”

D2 D1 91°12’00”

D3 182°24’30”

D2 D1 182°24’30”

D3 273°36’00”

Angulo 1= 91°12’00” - 0°00’00” = 91°12’00” Angulo 2 = 182°24’30” - 91°12’00” = 91°12’30” Angulo 3 = 273°36’00” - 182°24’30” = 91°11’30” Promedio = 91°12’00”

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Levantamiento “Poligonal Abierta Método Ceros Atrás” 6.1 Definición: Poligonal que inicia en un puntos con coordenadas conocidas y se termina en otro punto desconocido. Es un método poco utilizado debido a que tiene la desventaja que no se pueden determinar errores de cierre; ni en ángulo ni en distancia, lo cual hace que no sea seguro trabajar con este tipo de poligonal.

Gráfica 6.1: Poligonal Abierta

6

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6.2 Metodología 6.2.1 En Campo: • Se determina el terreno que se requiere levantar, y realizar el gráfico correspondiente. • Se establecen y localizan los puntos de la poligonal, los cuales deben estar estratégicamente

ubicados para trasladar las coordenadas y determinar los detalles necesarios del levantamiento. • Con base en los dos puntos de apoyo, uno para coordenadas y otro para determinar el azimut u

orientación de la poligonal, se traslada la coordenada a cada uno de los puntos de la poligonal. • El procedimiento anterior se realiza determinando el ángulo comprendido entre el punto anterior

y el inmediatamente siguiente, y la distancia entre los detalles. • Para cada armada se centra y localiza el equipo sobre el delta, se coloca ceros en el punto

anterior y se mide el ángulo al delta siguiente y se mide la distancia y luego se realiza este mismo procedimiento para cada uno de los detalles, numerándolos de forma consecutiva para todo el levantamiento y anotando el tipo del mismo.

6.2.2 En Oficina • Con base en las coordenadas de los puntos de apoyo, se determina el azimut entre los puntos de

apoyo. • Con base en el azimut de los puntos de apoyo y los ángulos observados se determinan los

azimutes de todas las líneas. • Con los azimutes y las distancias se determinan las proyecciones y coordenadas de la poligonal,

como es un traslado de coordenadas, estas se deben acumular al momento del cálculo. • Con las coordenadas y azimutes de la poligonal se calculan las coordenadas de los detalles y

con estas el área de las zonas que se necesiten.

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6.3.2 Carteras de Cálculo 6.3.2.1 Cálculo de azimut de partida

Con base en las coordenadas de apoyo se determina el azimut, como el azimut a determinar es entre CT-1 y CT-2 la resta para determinar los deltas se hace del CT-2 menos CT-1.

PUNTO NORTE ESTE

CT-1 156.864 217.821

CT-2 183.189 204.773

325.2612 =−= −− CTCT NNDN

048.1312 −=−= −− CTCT EEDE

De acuerdo a los signos el azimut esta en el cuarto cuadrante, por lo tanto su Cálculo es:

"55´2126325.26

048.13 o

DN

DE−=

−==θ

"05´38333)"55´2126(360)(360 ooAz =−+=−+= θ

6.3.2.2 Cálculo de los Azimutes de las líneas de la poligonal

Con base en el azimut de partida y los ángulos observados se determinan los azimutes de las demás líneas de la poligonal. El azimut anterior mas el ángulo observado es el azimut de la siguiente línea, exceptuando que si se pasa de 360 hay que restarlo.

El contrazimut o azimut en el otro sentido se realiza con base en la regla, si el azimut es menor de 180 se le suma 180 y si es mayor de 180 se le resta 180.

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DELTA PUNTO ANG. OBSV AZIMUT

D_ CT1 D_ CT1 0°00'00" 333°38'05"

D_ 1 116°40'10" 90°18'15"

D_ 1 D_ CT1 0°00'00" 270°18'15"

D_ 2 295°46'30" 206°04'45"

D_ 2 D_ 1 0°00'00" 26°04'45"

D_ 3 191°28'50" 217°33'35"

D_ 3 D_ 2 0°00'00" 37°33'35"

D_ 4 191°28'50" 229°02'55"

6.3.2.3 Cálculo de las proyecciones de la poligonal

Con los azimutes de las líneas y las distancias de las mismas se determinan la proyección para cada una con base en las fórmulas:

ciaDisAzPN tan*cos=

ciaDissenoAzPE tan'*=

PROYECCIONES

DELTA PUNTO ANG. OBSV AZIMUT DIST NS EW

D_ CT1 D_ CT1 0°00'00" 333°38'05"

D_ 1 116°40'10" 90°18'15" 41.071 -0.218 41.07

D_ 1 D_ CT1 0°00'00" 270°18'15"

D_ 2 295°46'30" 206°04'45" 32.407 -29.108 -14.247

D_ 2 D_ 1 0°00'00" 26°04'45"

D_ 3 191°28'50" 217°33'35" 39.736 -31.499 -24.223

D_ 3 D_ 2 0°00'00" 37°33'35"

D_ 4 191°28'50" 229°02'55" 43.912 -28.786 -33.161

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6.3.2.4 Cálculo de las Coordenadas de los vértices de la poligonal

Con base en las proyecciones y las coordenadas del punto de amarre, que en este caso es el CT-1, ya que es el punto de la primera armada, se calculan las coordenadas de los demás vértices, teniendo en cuenta que las coordenadas son acumuladas ya que lo que se esta realizando es un traslado de coordenadas.

PROYECCIONES COORDENADAS

DELTA PUNTO NS EW N E PUNTO

D_ CT1 D_ CT1 156.864 217.821 D_ CT1

D_ 1 -0.218 41.07 156.646 258.891 D_ 1

D_ 1 D_ CT1

D_ 2 -29.108 -14.247 127.538 244.645 D_ 2

D_ 2 D_ 1

D_ 3 -31.499 -24.223 96.039 220.422 D_ 3

D_ 3 D_ 2

D_ 4 -28.786 -33.161 67.253 187.260 D_ 4

6.3.2.5 Cálculo de las Coordenadas de los detalles.

Con base en los azimutes de las líneas de la poligonal y las coordenadas calculadas de los vértices se calculan las coordenadas de los detalles, teniendo en cuenta que es un Cálculo por radiación pero que se deben calcular los azimutes de acuerdo a las líneas de la poligonal.

DELTA PUNTO ANG. OBSV AZIMUT DIST

D_ CT1 D_ CT1 0°00'00" 333°38'05"

1 172°29'00" 146°07'05" 12.976

2 128°52'50" 102°30'55" 12.69

3 136°49'10" 110°27'15" 20.633

D_ 1 D_ CT1 0°00'00" 270°18'15"

4 8°06'50" 278°25'05" 15.918

5 254°22'30" 164°40'45" 9.798

D_ 2 D_ 1 0°00'00" 26°04'45"

6 41°48'30" 67°53'15" 6.139

D_ 3 D_ 2 0°00'00" 37°33'35"

7 349°56'10" 27°29'45" 34.567

D_ 4 D_ 3 0°00'00" 49°02'55"

8 325°45'30" 14°47'55" 44.656

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D_ CT1 D_ CT1 0 0 156.864 217.821 D_ CT1

Pt 1 -10.773 7.234 146.091 225.055 1

Pt 2 -2.75 12.388 154.114 230.209 2

Pt 3 -7.21 19.332 149.654 237.153 3

D_ 1 D_ CT1 156.646 258.891 D_ 1

Pt 4 2.33 -15.747 158.976 243.145 4

Pt 5 -9.45 2.589 147.196 261.48 5

D_ 2 D_ 1 127.538 244.645 D_ 2

Pt 6 2.311 5.687 129.849 250.332 6

D_ 3 D_ 2 96.039 220.422 D_ 3

Pt 7 30.662 15.959 126.701 236.381 7

D_ 4 D_ 3 67.253 187.260 D_ 4

Pt 8 43.175 11.406 110.428 198.666 8

6.3.2.6 Cálculo de Área por Coordenadas

Con las Coordenadas de los detalles y organizándolas en forma secuencial por ubicación, se determina el área de los detalles levantados en esta caso de la construcción.

N E PUNTO

146.091 225.055 Pt 1

154.114 230.209 Pt 2

149.654 237.153 Pt 3

158.976 243.145 Pt 4

147.196 261.48 Pt 5

129.849 250.332 Pt 6

146.091 225.055 Pt 1

AREA 528.078 m2

0.053 Ha

0.083 Fa

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Planimetría



ANG. OBSV.


Planimetría


Levantamiento “Poligonal Cerrada Método Ceros Atrás” 7.1 Aplicaciones: Levantamientos Topográficos para todo tipo de terrenos, es la poligonal mas usada en los diferentes trabajos topográficos, ya que permite trasladar las coordenadas y poder obtener errores de cierre, tanto en ángulo como en distancia. 7.2 Conceptos Básicos: 7.2.1 Error en Angulo Es la diferencia que existe entre la sumatoria teórica de ángulos de acuerdo a la poligonal y la sumatoria observada de ángulos tomados en campo.

∑ ∑−= Obsteoeang (7.1)

Donde: =ange Error en ángulo

∑ =teo Sumatoria Teórica de Ángulos

∑ =Obs Sumatoria Observada de Ángulos

7.2.2 Error Máximo El Error Máximo permisible utilizando Teodolitos Convencionales; equipos con precisiones menores a 20 segundos se utilizan la siguiente fórmula para determinar el error angular permitido:

Nae pang *_ = (7.2)

Donde:

=pange _ Error angular permitido

a = precisión del equipo =N Número de vértices

7

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Cuando se utilizan equipos de alta precisión la práctica ha determinado que el error angular máximo permitido debe ser:

Ne pang ¨*12_ = (7.3)

Donde:

=pange _ Error angular permitido

=N Número de vértices 7.2.3 Corrección en Angulo La corrección es el ajuste que se debe realizar a cada ángulo y es igual a:

a

ang

angN

ec = (7.4)

Donde:

=angc Corrección angular

=ange Error en ángulo

=aN Número de ángulos leídos

7.2.4 Error en Distancia Es la diferencia en distancia para cerrar la poligonal

22 EWNSed ∆+∆= (7.5)

Donde:

=de error en distancia

NS∆ = Sumatoria de Proyecciones Norte EW∆ = Sumatoria de Proyecciones Este

7.2.5 Precisión (P) Determina el grado de confiabilidad de la poligonal. Se expresa 1: P, significa que en P metros se esta cometiendo un error de 1 metro. La Precisión para levantamientos topográficos debe ser mayor a 1: 10000

de

distP∑= (7.6)

Donde: =P Precisión =de Error en distancia

∑ =dist Sumatoria de Distancias, perímetro de la poligonal

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• Reconocimiento del terreno: inicialmente se recorre el terreno y se hace el gráfico correspondiente; que se puede realizar por partes a medida que se avanza en el terreno o se puede realizar de manera total, lo anterior depende del tamaño y características del terreno.

• Se instala el equipo en el punto de inicio (punto con coordenadas conocidas), se visa al punto de amarre (punto con coordenadas conocidas), se coloca en el circulo horizontal del equipo 0°0000”, se lee el ángulo y se mide la distancia al delta 1 ( la localización cada delta debe ser la adecuada para tomar los detalles y poder avanzar en el terreno, se procede luego a medir los ángulos y las distancias a los detalles que se puedan tomar desde el punto de inicio.

• Se lleva el equipo al delta 1, se visa el punto de inicio se coloca en el circulo horizontal del equipo 0°0000”, se mide la distancia y el ángulo al delta 2 (la localización del delta 2 debe ser la adecuada para tomar los detalles y seguir avanzando en el terreno. Se procede luego a medir los ángulos y las distancias a los detalles que se puedan tomar desde ahí.

• Este procedimiento se repite en cada delta, teniendo en cuenta que la poligonal no se cruce y que no quede ningún detalle sin tomar.

• Finalmente se arma nuevamente el equipo en el punto de inicio se visa al ultimo delta, se coloca en el circulo horizontal del equipo 0°0000” y se mide el Angulo al punto de amarre.

7.3.2 En Oficina Se recomienda calcular primero la poligonal y después calcular los detalles, con el objeto de tener mayor orden y no tener la posibilidad de cometer errores ya que la poligonal es la única que se acostumbra ajustar. El procedimiento de cálculo en oficina o gabinete se determina siguiendo los siguientes pasos descritos en el numeral 7.4 con base en el ejercicio práctico planteado.

Planimetría


7.4 Ejercicio Práctico

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7.4.1 Cálculo y Ajuste de los Ángulos de la poligonal. De acuerdo a la sumatoria teórica: asignándole el mismo peso a cada ángulo

Cuadro 7.1: Corrección de Ángulos

DELTA PTO ANGULO angc ANG. COOREG

T2 0°0000" T1

D1 68°3050" 5" 68°3055"

T1 0°0000" D1

D2 275°2440" 5" 275°2445"

D1 0°0000" D2

T1 306°1350" 5" 306°1355"

D2 0°0000" T1

T2 249°5020" 5" 249°5025"

( ) 900180*2 =+=∑ nteo

04958990 ′′′=∑Obs

0200000495899900 00 ′′′=′′′−=∑ ∑ange

5000004

020000 00

′′′=′′′

=angc

7.4.2 Cálculo del azimut inicial del punto de inicio al punto de amarre con base en las coordenadas de los puntos. Que es lo mismo de pasar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.

Cuadro 7.2: Cálculo de Azimut Inicial

PTO NORTE ESTE

T1 110.808 215.974

T2 167.795 156.020

Azimut de T1 a T2 = 313°3248” 7.4.3 Con los ángulos corregidos se calculan los azimutes de todas las líneas de la poligonal: al

azimut inicial se le suma el ángulo y se obtiene el azimut al D1, de ahí en adelante se calcula el contrazimut y se le suma cada ángulo. Si cada resultado es mayor a 360° se le resta 360°.

Como comprobación el azimut de partida debe ser igual al azimut de llegada por ser una poligonal cerrada y si están bien ajustados los ángulos observados

Planimetría


Cuadro 7.3: Cálculo de Azimutes

DELTA PTO ANG. CORR

AZIMUT

T2 313°3248" T1

D1 68°3055" 22°0343" T1 202°0343"

D1 D2 275°2445" 117°2828" D1 297°2828"

D2 T1 306°1355" 243°4223" D2 63°4223"

T1 T2 249°5025" 313°3248"

7.4.4 Con los azimutes y distancias se calculan las proyecciones

CosAzdPNS *= (7.7)

SenoAzdPEW *= (7.8) Donde:

=PNS Proyección Norte - Sur =PEW Proyección Este- Oeste

=d Distancia =Az Azimut

Cuadro 7.4: Cálculo de Proyecciones

DELTA PTO AZIMUT DISTANCIA PNS PEW

T2 313°3248" T1

D1 22°0343" 67.133 62.217 25.216

T1 202°0343" D1

D2 117°2828" 55.302 -25.514 49.065

D1 297°2828" D2

T1 243°4223" 82.838 -36.695 -74.267

D2 63°4223" T1

T2 313°3248"

7.4.5 Corrección de las Proyecciones Como es una poligonal cerrada la sumatoria de proyecciones tanto Norte como Este debe ser igual a 0. Para corregir las proyecciones existen varios métodos, la diferencia en resultados entre cada uno de ellos para procesos topográficos no es significativa.

Planimetría


Métodos de corrección � Arbitrario: en este método el error se distribuye arbitrariamente, de acuerdo al análisis que

realice el profesional de topografía en cuanto a la probabilidad de cometer errores en la mediciones; de acuerdo al tipo de terreno y al equipo utilizado, entonces a los lados que tengan mayor posibilidad de error se les asignara mayor corrección.

� Regla de la Brújula o de Bowditch: se corrigen las proyecciones ortogonales en proporción a las longitudes de la poligonal. Entonces se utilizan las siguientes formulas:

2..1.*...

.....2..1... DaDLong

PoligonalladePerimetro

NentotalcierredeErrorDaDdeproyNCorr =

2..1.*...

.....2..1... DaDLong

PoligonalladePerimetro

EentotalcierredeErrorDaDdeproyECorr =

� Regla del Transito: este método no es muy recomendado ya que los resultados dependen de

loa azimutes de las líneas; el análisis realizado es:

Nproyladearitmeticasuma

DaDdeNproy

proyNencierredeerror

DaDdeproyNCorr

.....

2..1...

....

2..1...=

Eproyladearitmeticasuma

DaDdeEproy

proyEencierredeerror

DaDdeproyECorr

.....

2..1...

....

2..1...=

� Por Mínimos Cuadrados: Se corrigen simultáneamente las distancias y los ángulos. Este

método se basa en la teoría de probabilidad que modela la aparición de errores aleatorios. El método de mínimos cuadrados es muy recomendados ya que proporciona un ajuste bien riguroso. La dificultad se presenta en los extensos cálculos que se deben realizar; para lo cual se aconseja utilizar computadoras electrónicas.

� Método de Crandall: en primera instancia se distribuye el error angular en partes iguales: para después corregir las medidas lineales, siguiendo un procedimiento de mínimos cuadrados. Este método es muy recomendado cuando las medidas realizadas tienen poca precisión. Aplicando el método de la brújula, primero hay que determinar los errores cometidos en cada proyección, para lo cual se determina la sumatoria algebraica de cada una de las proyecciones:

∑=∆ PNSNS (7.9)

∑=∆ PEWEW (7.10)

Donde:

=∆NS Error de Proyecciones Norte – Sur =∆EW Error de Proyecciones Este - Oeste =PNS Proyección Norte - Sur =PEW Proyección Este- Oeste

Para el ejemplo

008.0=∆NS

Planimetría


014.0=AEW La Corrección para cada proyección sería:

∑∆

=dist

dNSC acum

NS

* (7.11)

∑∆

=dist

dEWC acum

EW

* (7.12)

Donde:

=NSC Corrección de Proyecciones Norte – Sur

=EWC Corrección de Proyecciones Este - Oeste

=∆NS Error de Proyecciones Norte – Sur =∆EW Error de Proyecciones Este – Oeste =acumd Distancia de la poligonal acumulada

∑ =dist Sumatoria de distancia de la Poligonal

El signo de la corrección debe ser contrario al signo del error para que la poligonal ajuste en distancia. Como el cálculo de la corrección se realiza con la distancia acumulada, la corrección es de esta misma manera, por lo tanto la corrección para cada proyección debe ser la diferencia entre la corrección calculada para esta distancia acumulada y restar las correcciones realizadas a las proyecciones anteriores.

Cuadro 7.5: Corrección de Proyecciones

DELTA PTO PNS PEW NSC EWC CORRPNS CORRPEW

T2 T1 D1 62.217 25.216 -0.003 -0.004 62.214 25.212 T1

D1 D2 -25.514 49.065 -0.002 -0.004 -25.516 49.061 D1

D2 T1 -36.695 -74.267 -0.003 -0.006 -36.698 -74.273

7.4.6 Finalmente se determinan las coordenadas de cada delta partiendo de las coordenadas del

punto de inicio. A las coordenadas del punto de inicio se le suman las primeras proyecciones y se obtienen las coordenadas del primer delta, con las Coordenadas de ese delta se obtienen las Coordenadas del siguiente delta y así sucesivamente hasta finalizar la poligonal: el resultado final debe ser las coordenadas del punto de inicio, que comprueba que las proyecciones fueron bien ajustadas.

Planimetría


Cuadro 7.6: Cálculo de Coordenadas de la Poligonal

DELTA PTO CORRPNS CORRPEW NORTE ESTE PTO

T2 110.808 215.974 T1 T1 D1 62.214 25.212 173.022 241.186 D1

T1 D1

D2 -25.516 49.061 147.506 290.247 D2

D1 D2

T1 -36.698 -74.273 110.808 215.974 T1

Datos Estadísticos de la Poligonal Los datos estadísticos de la poligonal se deben calcular y plasmar por escrito ya que son el soporte que indica que se cumplen las especificaciones requeridas, estos datos son:

� Sumatoria teórica de ángulos � Sumatoria obtenida de ángulos � Error en ángulo � Error máximo permisible � Error en distancia de la poligonal � Precisión de la poligonal

Los datos estadísticos anteriores ya se calcularon en el ejemplo En este ejemplo falta calcular:

� Error en Distancia Es la diferencia en distancia para cerrar la poligonal

22 EWNSed ∆+∆=

016.0014.0008.0 22 =+=de

� La precisión de la poligonal.

de

distP∑=

12830016.0

273.205==P

La precisión de la poligonal 1:12830 7.4.7 Cálculo de Detalles Cada detalle se calcula teniendo como base las coordenadas del respectivo delta o estación desde el cual fue radiado cada uno de ellos, se toma el azimut de ese delta al delta anterior (donde se

Planimetría


oriento el equipo), y se le suma el ángulo medido en cada detalle, obteniendo así el azimut a cada punto, con las respectivas distancias se calculan les proyecciones y las coordenadas correspondientes.

Cuadro 7.7: Cálculo de Coordenadas de los Detalles

DELTA PTO ANGULO AZIMUT DIST

P. NORTE P. ESTE

COORD NORTE

COORD ESTE

PTO

T1 T2 0°0000" 313°3248" 110.808 215.974 T1 1 140°4210" 94°1458" 20.545 -1.522 20.489 109.286 236.463 1

D1 T1 0°0000" 202°0343" 173.022 241.186 D1 2 13°3420" 215°3803" 39.339 -31.973 -22.919 141.049 218.267 2 3 256°2500" 98°2843" 26.401 -3.893 26.112 169.129 267.298 3

D2 D1 0°0000" 297°2828" 147.506 290.247 D2 4 267°3930" 205°0758" 11.209 -10.148 -4.761 137.358 285.486 4

Planimetría



Planimetría


Cálculo de los detalles


ANG. OBSV.


Planimetría

Wilson E. Vargas Vargas – Mario A. Rincón Villalba

110

Cálculo de las áreas Área a Calcular: __________________________________________________


Sumatoria =

Sumatoria =

m2

Ha Área =

Fa

Planimetría


111

Levantamiento “Poligonal Punto a Punto Método Ceros Atrás” 8.1 Definición: Es una poligonal que se empieza en un punto de coordenadas conocidas y se termina en otro punto de coordenadas conocidas. Es un polígono geométricamente abierto pero analíticamente cerrado, ya que se puede ajustar y corregir.

Gráfica 8.1: Poligonal Punto a Punto

8

Planimetría


112

El primer caso es cuando la línea de referencia no hace parte de la poligonal y se necesitan cuatro puntos de coordenadas conocidas para realizar el trabajo de campo y para realizar el proceso de cálculos; entonces se tiene una línea de referencia par iniciar y se termina en otra línea de referencia. Se realiza la corrección con base en determinar los ángulos faltantes para completar un polígono cerrado apoyado en los azimutes de las líneas de referencia. Este tipo de poligonales es de gran utilidad en proyectos lineales; también se utiliza en levantamientos topográficos en los cuales al realizar la poligonal se determinan los deltas para tomar los detalles y se observa que por la posición de los puntos de coordenadas conocidas en el terreno brinda mayor facilidad y rendimiento terminar en otra base y no regresar al punto de inicio para realizar una poligonal cerrada. 8.2 Metodología 8.2.1 En Campo: • Se determina el terreno que se requiere levantar, y realizar el gráfico correspondiente. • Se establecen y localizan los deltas de la poligonal; los cuales deben estar estratégicamente

ubicados para trasladar las coordenadas y determinar los detalles necesarios del levantamiento. • Con base en los dos primeros puntos de apoyo, uno para coordenadas y otro para determinar el

azimut u orientación de la poligonal, se traslada la coordenada a cada uno de los puntos de la poligonal hasta la otra pareja de puntos, uno para obtener el cierre en distancia y el otro para obtener el cierre en ángulo.

• El procedimiento anterior se realiza determinando el ángulo comprendido entre el punto anterior

y el inmediatamente siguiente, y la distancia entre los detalles. • Para cada armada se centra y localiza el equipo sobre el delta, se coloca ceros en el punto

anterior y se mide el ángulo al delta siguiente y se mide la distancia. Luego se realiza este mismo procedimiento para cada uno de los detalles, numerándolos de forma consecutiva para todo el levantamiento y anotando el tipo del mismo.

8.2.2 En Oficina • Con base en las coordenadas de los puntos de apoyo, se determina el azimut de partida y

llegada. • Con base en la proyección de las líneas de referencia se realiza un polígono cerrado ficticio y se

determinan los ángulos faltantes. • Con base en el azimut de partida y los ángulos ajustados se determinan los azimutes de las

líneas hasta llegar al azimut de llegada.

Planimetría


113

• Con los azimutes y las distancias determinar proyecciones y coordenadas de la poligonal. Como es un traslado de coordenadas las coordenadas se deben acumular al momento del cálculo.

• Con las coordenadas y azimutes de la poligonal se calculan las coordenadas de los detalles y

con estas el área de las zonas que se necesiten. Nota: También calculando los azimutes como si fuera una poligonal abierta, se puede ajustar la poligonal siguiendo el procedimiento del capitulo 10

Planimetría


114

8.3 Ejemplo Práctico 8.3.1 Cartera de Campo

Planimetría


115


Con base en las coordenadas de apoyo se determina el azimut. Debido a que el azimut a determinar es entre T-1 y T-2 la resta para determinar los deltas se hace del T-2 menos T-1.

PUNTO NORTE ESTE

T-1 195.827 142.092 T-2 253.074 91.608

247.5712 =−= −− TT NNDN

484.5012 −=−= −− TT EEDE

De acuerdo a los signos el ángulo es negativo y en encuentra en el cuarto cuadrante, por lo tanto el azimut es:

"28'2441247.57

484.50 o

DN

DE−=

−==θ

"32'35318)(360 oAz =−+= θ

8.3.2.2 Cálculo de azimut de llegada

Con base en las coordenadas de apoyo se determina el azimut. Debido a que el azimut a determinar es entre T-3 y T-4 la resta para determinar los deltas se hace del T-4 menos T-3.

PUNTO NORTE ESTE

T-3 186.192 271.421 T-4 246.839 329.846

647.6034 =−= −− TT NNDN

425.5834 =−= −− TT EEDE

Planimetría


116

De acuerdo a los signos el ángulo es positivo y se encuentra en el primer cuadrante, por lo tanto el azimut es:

"51'5543425.58

647.60 o

DN

DE===θ

"51'5543oAz == θ

8.3.2.3 Cálculo de los ángulos ficticios del polígono cerrado

Con base en los azimutes de las líneas de referencia se determina el ángulo ficticio y los complementos de los ángulos leídos en las líneas de referencia.

Gráfica 8.2: Ángulos y Azimutes de partida

Planimetría


117

Como se observa se forma un polígono cerrado, faltando el ángulo donde se cortan las líneas de referencia, que es calculado con la resta de azimutes y completar los ángulos en los puntos de la línea de referencia, sumando 180 grados.

Gráfica 8.3 Ángulos y Azimutes de partida

Los ángulos observados serían:

DELTA PUNTO ANG. OBSV D_ T1 D_ T2 0°00'00"

D_ 1 90°33'00" D_ 1 D_ T1 0°00'00"

D_ T3 268°35'00" D_ T3 D_ 1 0°00'00"

D_ T4 86°12'30" D_ 2 D_ T3 0°00'00"

D_ T1 274°39'41" ANG. FICTICIO D_ T1 D_ 2 0°00'00"

D_ T2 180°00'00" COMPLEMENTO D_ T3 D_ T4 0°00'00"

D_ 2 180°00'00" COMPLEMENTO

Planimetría


118

8.3.2.4 Ajuste de los ángulos observados

Con los ángulos anteriores se determina el error en ángulo, ya que es un polígono cerrado, se ajusta solo repartiendo el error en los ángulos tomados en campo y no los calculados.

DELTA PUNTO ANG. OBSV COOR ANG. COOR

D_ T1 D_ T2 0°00'00" 0°00'00"

D_ 1 90°33'00" -00°00'04" 90°32'56"

D_ 1 D_ T1 0°00'00" 0°00'00"

D_ T3 268°35'00" -00°00'04" 268°34'56"

D_ T3 D_ 1 0°00'00" 0°00'00"

D_ T4 86°12'30" -00°00'03" 86°12'27"

D_ 2 D_ T3 0°00'00" 0°00'00"

D_ T1 274°39'41" 274°39'41"

D_ T1 D_ 2 0°00'00" 0°00'00"

D_ T2 180°00'00" 180°00'00"

D_ T3 D_ T4 0°00'00" 0°00'00"

D_ 2 180°00'00" 180°00'00"

Sumatoria Obs 1080°00'11"

Sumatoria Teo 1080°00'00"

Error Angular 00°00'11"

Coor Angular 00°00'04"

8.3.2.5 Cálculo de los azimutes de la líneas de la poligonal

Con base en el azimut de partida y los ángulos corregidos se determinan los azimutes de las demás líneas de la poligonal. El azimut anterior mas el ángulo observado es el azimut de la siguiente línea, exceptuando que si se pasa de 360 hay que restarlo.

El contrazimut o azimut en el otro sentido se realiza con base en la regla, si el azimut es menor de 180 se le suma 180 y si es mayor de 180 se le resta 180.

Se debe terminar con el azimut de llegada calculado, ya que los ángulos ya están ajustados.

Planimetría


119

DELTA PUNTO ANG. COOR AZIMUT

D_ T1 D_ T2 0°00'00" 318°35'32"

D_ 1 90°32'56" 49°08'28"

D_ 1 D_ T1 0°00'00" 229°08'28"

D_ T3 268°34'56" 137°43'24"

D_ T3 D_ 1 0°00'00" 317°43'24"

D_ T4 86°12'27" 43°55'51"

D_ 2 D_ T3 0°00'00"

D_ T1 274°39'41"

D_ T1 D_ 2 0°00'00"

D_ T2 180°00'00"

D_ T3 D_ T4 0°00'00"

D_ 2 180°00'00"



CosAzdPNS *= (7.7)

SenoAzdPEW *= (7.8)

PROYECCIONES

DELTA PUNTO AZIMUT DIST NS EW

D_ T1 D_ T2 318°35'32"

D_ 1 49°08'28" 89.244 58.383 67.497

D_ 1 D_ T1 229°08'28"

D_ T3 137°43'24" 91.908 -68.003 61.827

D_ T3 D_ 1 317°43'24"

D_ T4 43°55'51"

Planimetría


120

8.3.2.7 Ajuste de las proyecciones de la poligonal

Como esta poligonal es una poligonal abierta geométricamente la suma algebraica de las proyecciones no debe ser cero, sino la diferencia de coordenadas entre el punto de amarre de llegada y el punto de salida o partida. Para este caso la resta de coordenadas entre el T.3 y el T.1:

• Suma de proyecciones calculada

635.9827.195192.186 −=−=calculadaNS

329.129092.142421.271 =−=CalculadaEW

• Suma de proyecciones observada

620.9−=ObsNS

324.129=ObsEW

• Determinación de errores

015.0)635.9(620.9 +=−−−=−=∆ CalculadoObsv NSNSNS

005.0329.129324.129 −=−=−=∆ CalculadoObsv EWEWEW

El cálculo de correcciones se realiza de la misma manera que una poligonal cerrada dándole peso a las distancias y con el signo contrario al error

PROYECCIONES COOR PROY. COOR

DELTA PUNTO NS EW NS EW NS EW

D_ T1 D_ T2

D_ 1 58.383 67.497 -0.007 0.002 58.376 67.499

D_ 1 D_ T1

D_ T3 -68.003 61.827 -0.008 0.003 -68.011 61.830

D_ T3 D_ 1

D_ T4


Con base en las proyecciones y las coordenadas del punto de amarre, que en este caso es el T-1, ya que es el punto de la primera armada, se calculan las coordenadas de los demás vértices, teniendo en cuenta que las coordenadas son acumuladas; ya que lo que se esta realizando es un traslado de coordenadas y al final se debe llegar a las coordenadas del punto de llegada de la poligonal en este caso a T.3

Planimetría


121

PROY. COOR COORDENADAS


D_ T1 D_ T2 195.827 142.092 D_ T1

D_ 1 58.376 67.499 254.203 209.591 D_ 1

D_ 1 D_ T1

D_ T3 -68.011 61.830 186.192 271.421 D_ T3

D_ T3 D_ 1

D_ T4


Con base en los azimutes de las líneas de la poligonal y las coordenadas calculadas de los vértices se calculan las coordenadas de los detalles, teniendo en cuenta que es un cálculo por radiación; se deben calcular las direcciones de acuerdo a las líneas de la poligonal.

DELTA PUNTO ANG. OBSV AZIMUT

D_ T1 D_ T1 0°00'00" 318°35'32"

Pt 1 188°45'00" 147°20'32"

Pt 2 136°00'00" 94°35'32"

D_ T3 D_ 1 0°00'00" 317°43'24"

Pt 3 326°06'00" 283°49'24"

Pt 4 262°41'30" 220°24'54"

PROYECCIONES DELTA PUNTO AZIMUT DIST NS EW D_ T1 D_ T1 318°35'32"

Pt 1 147°20'32" 53.029 -44.646 28.616 Pt 2 94°35'32" 28.709 -2.299 28.617

D_ T3 D_ 1 317°43'24" Pt 3 283°49'24" 30.700 7.335 -29.811 Pt 4 220°24'54" 45.982 -35.009 -29.811

COORDENADAS DELTA PUNTO N E PUNTO D_ T1 D_ T1 195.827 142.092 D_ T1

Pt 1 151.181 170.708 Pt 1 Pt 2 193.528 170.709 Pt 2

D_ T3 D_ 1 186.192 271.421 D_ T3 Pt 3 193.527 241.610 Pt 3 Pt 4 151.183 241.61 Pt 4

Planimetría


122


Con las Coordenadas de los detalles y organizándolas en forma secuencial por ubicación, se determina el área de los detalles levantados en este caso de la construcción.

N E PUNTO 151.181 170.708 Pt 1 193.528 170.709 Pt 2 193.527 241.610 Pt 3 151.183 241.61 Pt 4 151.181 170.708 Pt 1

AREA 3002.360 m2 0.300 Ha 0.469 Fa

Nota: si al prolongar las líneas de los azimutes de referencia, se corta la poligonal realizada esta metodología no se puede aplicar. Entonces el cálculo de la poligonal se realiza de la siguiente manera: Con el azimut inicial (azimut del punto de inicio al punto de referencia “calculado con las coordenadas”) y los ángulos observados se calculan loa azimutes de todas las líneas de la poligonal, entones se obtiene un azimut final calculado en la poligonal (azimut del punto final al punto de amarre final). Este valor tendrá un error respecto al azimut final teórico calculado por coordenadas. El error será azimut final calculado por coordenadas – azimut final calculado en la poligonal; este error se divide en el número de ángulos y se tiene la corrección que se aplica al azimut de cada línea de manera acumulativa. Ya con los azimutes corregidos se realiza el procedimiento de manera similar al explicado en este mismo capitulo del numeral 8.24.6 al numeral 8.2.4.10.

Planimetría


123


Planimetría


124

Planimetría


125

Área a Calcular: __________________________________________________


Sumatoria =

Sumatoria =

m2

Ha Área =

Fa

Planimetría


126

Planimetría


127

Planimetría


128

Área a Calcular: __________________________________________________

COORDENADAS

N E PUNTO

Sumatoria =

Sumatoria =

m2

Ha Área =

Fa

Planimetría


129

Levantamiento “Poligonal Cerrada Método Azimut Directo” 9.1 Definición Levantamiento topográfico trabajando con azimutes directamente en campo 9.2 Aplicaciones: Levantamientos Topográficos para todo tipo de terrenos, con las aplicaciones y objetivos similares al de poligonal cerrada por ceros atrás, método explicado en el capitulo 7. Este método es de gran utilidad cuando se realizan replanteos. 9.3 Conceptos Básicos: 9.3.1 Error en Azimut Es la diferencia que existe entre el azimut inicial (calculado con las coordenadas de los puntos de inicio y de amarre) y el azimut final de la misma línea después de realizar la poligonal. 9.3.2 Error Máximo El Error Máximo permisible utilizando Teodolitos Convencionales es

vp Npe *= (9.1)

Donde:

=pe Error máximo permitido

=p Precisión del equipo

=vN Numero de vértices de la poligonal

Cuando se utilizan equipos de alta precisión la práctica ha determinado que el error máximo debe ser:

vp Ne *21 ′′= (9.2)

9

Planimetría


130

Donde: =pe Error máximo permitido

=vN Numero de vértices de la poligonal

9.3.2 Corrección de Azimutes La corrección es el ajuste que se debe realizar a cada azimut de las diferentes líneas de la poligonal y es igual a:

a

az

azN

ec =

Donde: =ac Corrección de azimutes

=obse Error de azimutes

=aN Numero de ángulos tomados en la poligonal

Esta corrección debe ser acumulativa ya que al corregir el azimut del punto de inicio al delta 1: se afecta el Azimut de del delta 1 al punto de inicio que es la línea base para calcular el azimut del delta 1 al delta 2, y así sucesivamente en todo el recorrido de la poligonal hasta llegar nuevamente a la línea de referencia. 9.3.4 Error en Distancia

Es la diferencia en distancia para cerrar la poligonal = 22 EWNS ∆+∆ NS∆ = Sumatoria de Proyecciones Norte EW∆ = Sumatoria de Proyecciones Este

9.3.5 Precisión (P) Determina el grado de confiabilidad de la poligonal = L / Error en Distancia, Se expresa 1: P, significa que en P metros se esta cometiendo un error de 1 metro. La Precisión para levantamientos topográficos debe ser mayor a 1: 10000 9.4 Metodología 9.4.1 En Campo:

• Reconocimiento del terreno: Se debe recorrer el terreno y hacer el gráfico correspondiente, que se puede realizar por partes a medida que se avanza en el terreno o se puede realizar de manera total, lo anterior depende del tamaño y características del terreno.

• Se instala el equipo en el punto de inicio (punto con coordenadas conocidas), se visa al punto de amarre (punto con coordenadas conocidas), se coloca en el circulo horizontal del equipo el azimut entre los dos puntos (este azimut debe ser calculado con las coordenadas de los puntos de inicio y de amarre antes de empezar el trabajo de campo), se visa al delta 1( en el equipo se leerá directamente el azimut al delta 1) y se mide la distancia respectiva; si se

Planimetría


131

toman detalles al visar cada uno de ellos también se leerá directamente el azimut a cada punto o detalle.

• Se lleva el equipo al delta 1, se visa el punto de inicio se coloca en el circulo horizontal del equipo el azimut del delta uno al punto de inicio que será el contrazimut de punto de inicio al delta uno (azimut que ya se leyó en campo); se visa al delta 2: en el equipo se leerá directamente el azimut de esta línea, se mide la distancia respectiva, luego se procede a la toma de los detalles que se puedan medir desde este delta.


• Finalmente se arma nuevamente el equipo en el punto de inicio se visa al ultimo delta, se coloca en el circulo horizontal del equipo el azimut del punto de inicio al ultimo delta y se mide el azimut al punto de amarre.

.

Planimetría


132

9.5 Ejercicio Practico

Planimetría


133

9.5.1 Cálculo de la Poligonal Se recomienda calcular primero la sola poligonal y después calculas los detalles, con el objeto de tener mayor orden y mejor entendimiento 9.5.2 Cálculo y Ajuste de los Azimutes de la poligonal. De acuerdo a la diferencia entre el azimut inicial y el azimut final. La corrección de azimutes se realiza de manera acumulativa. 9.5.3 Cálculo de Azimut Inicial Este Cálculo es indispensable para empezar el trabajo de campo Coordenadas de Los Puntos de Amarre Punto de Amarre: CD17 Norte = 100714.260 Este = 101420.981 Punto de Inicio: CD16 Norte = 100328.381 Este = 101572.080

Cuadro 9.1: Corrección de Azimutes

DELTA PTO AZIMUT CORREC AZIMUT

COOREGIDO CD17 338°36’58" 338°36’ 58"

CD16 D1 91°42’30" 12" 91°42’42"

CD16 271°42’30" 271°42’42" D1

D2 163°06’30" 24" 163°06’54" D1 343°06’30" 343°06’54"

D2 D3 297°32’30" 36" 297°33’06" D2 117°32’30" 117°33’06"

D3 CD16 313°39’00" 48" 313°39’48"

D3 133°39’00" 133°39’48" CD16

CD17 338°35’58" 1 338°36’ 58" 9.5.4 Error en Azimut Azimut Inicial de CD16 a CD17 (calculado por Coordenadas) = 338°36’58" Azimut final de CD16 a CD17 después de recorrer la Poligonal =338°35’58" Error = 338°36’58"”- 338°35’58" = 0°01’00” Corrección = 0°00’12” (Acumulativa) De ahí en adelante el procedimiento de Cálculo de la poligonal es similar al de poligonal cerrada por ceros atrás

Planimetría


134

9.5.5 Cálculo de Proyecciones: con los azimutes y distancias se calculan las proyecciones

Cuadro 9.2: Cálculo de Proyecciones

PROYECCIONES DELTA PTO

AZIMUT COOREGIDO

DISTANCIA P. Norte P. Este

CD17 338°36’58" CD16

D1 91°42’42" 26.353 -0.787 26.431 CD16 271°42’42"

D1 D2 163°06’54" 24.230 -23.185 7.038 D1 343°06’54"

D2 D3 297°33’06" 20.535 9.498 -18.206 D2 117°33’06"

D3 CD16 313°39’48" 20.963 14.473 -15.165

D3 133°39’48" CD16

CD17 338°36’58" 9.5.6 Corrección de Proyecciones: como es una poligonal cerrada la sumatoria teórica de proyecciones Norte debe ser igual a 0; la sumatoria teórica de proyecciones Este también debe ser igual a 0. Utilizando el método de la brújula se tiene:

Para las Proyecciones Norte: LCadaLadoNorteoyeccionesCorreccion /*Pr∑=

Para las Proyecciones Este

LCadaLadoEsteoyeccionesCorreccion /*Pr∑= : metrosNorteoyecciones 001.0Pr −=∑

Como el resultado anterior es de signo negativo las correcciones de las proyecciones serán de signo positivo para que la sumatoria quede en 0 (se deben corregir en total 0.001)

metrosEsteoyecciones 008.0Pr =∑

Como el resultado anterior es de signo positivo las correcciones de las proyecciones serán de signo negativo para que la sumatoria quede en 0 (se deben corregir en total -0.008)

Cuadro 9.3: Corrección de Proyecciones PROYECCIONES CORRECCIONES PROYE CORREGIDAS

DELTA PTO P. Norte P. Este Norte Este P. Norte P Este

CD17 CD16

D1 -0.787 26.431 0.001 -0.002 -0.786 26.339 CD16

D1 D2 -23.185 7.038 0 -0.002 -23.185 7.036 D1

D2 D3 9.498 -18.206 0 -0.002 9.498 -18.208 D2

D3 CD16 14.473 -15.165 0 -0.002 14.473 -15.167

D3 CD16

CD17

Planimetría


135

9.5.7 Cálculo de Coordenadas: Finalmente se determinan las coordenadas de cada delta, partiendo de las coordenadas del punto de inicio.

A las coordenadas del punto de inicio se le suman las primeras proyecciones y se obtienen las coordenadas del Delta 1, a las Coordenadas del Delta 1 se le suman las segundas proyecciones entonces se obtienen las Coordenadas del Delta 2 y así sucesivamente hasta finalizar la poligonal: el resultado final debe ser las coordenadas del punto de inicio.

Cuadro 9.4: Cálculo de Coordenadas de la Poligonal PROYE CORREGIDAS COORDENADAS

DELTA PTO P. Norte P Este NORTE ESTE

PUNTO

CD17 100328.381 101572.080 CD16 CD16

D1 -0.786 26.339 100327.595 101598.419 D1 CD16

D1 D2 -23.185 7.036 100304.410 101605.455 D2 D1

D2 D3 9.498 -18.208 100313.908 101587.247 D3 D2

D3 CD16 14.473 -15.167 100328.381 101572.080 CD16

D3 CD16

CD17 9.5.8 Datos Estadísticos de la Poligonal Los datos estadísticos de l poligonal se deben calcular y plasmar por escrito ya que son el soporte que indica que se cumplen las especificaciones requeridas, estos datos son:

� Error en Azimut = 0°0100” Error máximo permisible = El Error Máximo permisible utilizando Teodolitos Convencionales =

angulosa #*

a = precisión del equipo Cuando se utilizan equipos de alta precisión la práctica ha determinado que el error máximo debe ser 12” por ángulo

� Error en distancia de la poligonal

Es la diferencia en distancia para cerrar la poligonal = 22 EWNS ∆+∆

008.0008.0001.0 22 =+

� Precisión de la poligonal Precisión (P) = L / Error en Distancia P = 92.081/0.008 = 11510 P = 1:11510 (debe ser mayor a 1: 10000)

Planimetría


136

9.5.9 Cálculo de Detalles Cada uno de los detalles se calcula teniendo como base las coordenadas del respectivo delta o estación desde el cual fue tomado cada uno de ellos, el azimut a cada detalle se leyó directamente en campo y con las respectivas distancias se calculan les proyecciones y las coordenadas correspondientes.

Cuadro 9.5: Cálculo de Coordenadas de los Detalles PROYECCIONES COORDENADAS

DELTA PTO AZIMUT DISTANCIA NORTE ESTE NORTE ESTE

PUNTO

100328.381 101572.080 CD16 CD16

1 152°5028" 9.234 -8.216 4.215 100320.165 101576.295 1 100327.595 100598.419 D1

2 19°3153" 9.320 8.783 3.116 100336.378 100601.535 2 D1 3 120°0031" 16.082 -8.043 13.926 100319.552 100612.345 3 100313.908 100587.247 D3

D3 4 180°4630" 10.572 -10.571 -0.143 100303.337 100587.104 4

El método de azimut directo tiene la ventaja de que el azimut a los detalles se leen directamente en campo; tiene la desventaja de que se deben conocer con anterioridad al trabajo de campo las coordenadas de los puntos de amarre; situación que no sucede con otros métodos para realizar poligonales.

Planimetría


137

9.6 Ejercicio Planteados

Planimetría


138

Planimetría


139

Planimetría


140


DELTA PUNTO AZIMUT DIST NS EW N E PUNTO

Planimetría



COORDENADAS

N E PUNTO

Sumatoria =

Sumatoria =

m2

Ha Área =

Fa

Planimetría


Levantamiento “Poligonal Punto a Punto Método Azimut Directo” 10.1 Definición: Es una poligonal que se empieza en un punto de coordenadas conocidas y se termina en otro punto de coordenadas conocidas. Es un polígono geométricamente abierto pero analíticamente cerrado, ya que se puede ajustar y corregir.

Gráfica 10.1: Diseño de la Poligonal

10

Planimetría


De igual manera se tiene una línea base con coordenadas de apoyo al principio y final de la poligonal, el método por azimut directo se fundamenta en el traslado del azimut directamente en campo, con lo cual nos permite al terminar el levantamiento obtener de forma directa el error angular, el inconveniente es que se tiene que tener la información de apoyo antes de comenzar el levantamiento, ya que se necesita el azimut de partida y de llegada. 10.2 Metodología 10.2.1 En Campo: • Se determina el terreno que se requiere levantar, y se realiza el gráfico correspondiente. • Se establecen y localizan los puntos de la poligonal, los cuales deben estar estratégicamente

ubicados para trasladar las coordenadas y determinar los detalles necesarios del levantamiento. • Con base en los dos puntos primeros de apoyo, uno para coordenadas y otro para determinar el

azimut u orientación de la poligonal, se traslada el azimut colocando el azimut calculado en el círculo del equipo y punteando al siguiente vértice, directamente se determina el azimut de la línea.

• En el siguiente vértice se debe colocar en el vértice anterior el azimut de la dirección o el

contrazimut del azimut determinado en el vértice anterior • El procedimiento anterior se realiza determinando el azimut comprendido entre el punto anterior

y el inmediatamente siguiente, y la distancia entre los detalles. • De igual manera para la toma de detalles se alinea el punto y directamente arroja el azimut y

se toma al distancia. 10.2.2 En Oficina • Con base en los azimutes de cada línea de la poligonal, y comparando el azimut de llegada

determinado en campo y el azimut calculado se determina el error angular. • Con base en el error se ajustan los azimutes de forma acumulativa, ó sea la corrección una vez al

primero, dos veces al segundo y de esa manera hasta el final. • Con los azimutes corregidos y las distancias se procede a determinar proyecciones y

coordenadas de la poligonal. Como es un traslado de coordenadas estas se deben acumular al momento del cálculo.



Planimetría



Planimetría


10.3.2 Carteras de Cálculo 10.3.2.1 Corrección de los Azimutes

Con la comparación del azimut de llegada tomado en campo y el calculado por coordenadas se determina el error y con base en este error se determina la corrección, dividir el error en el número de azimutes observados, corrección que se realiza en forma acumulativa

DELTA PUNTO AZIMUT COOR AZIMUT COR

D_ MT1 D_ MT2 308°57'40"

D_ 1 59°56'40" 00°00'05" 59°56'45"

D_ 1 D_ MT1 239°56'40"

D_ 2 135°11'20" 00°00'10" 135°11'30"

D_ 2 D_ 1 315°11'20"

D_ MT3 77°58'50" 00°00'15" 77°59'05"

D_ MT3 D_ 2 257°58'50"

D_ MT4 15°10'50" 00°00'20" 15°11'10"

Azimut Llegada Obs 15°10'50"

Azimut Llegada Cal 15°11'10"

Error Angular -00°00'20"

Coor Angular 00°00'05"


Con los azimutes corregidos de las líneas y las distancias de las mismas se determinan la proyección para cada una con base en las fórmulas:

ciaDisAzPN tan*cos=


PROYECCIONES DELTA PUNTO AZIMUT COR DIST NS EW D_ MT1 D_ MT2

D_ 1 59°56'45" 82.314 41.224 71.247 D_ 1 D_ MT1

D_ 2 135°11'30" 91.783 -65.117 64.683 D_ 2 D_ 1

D_ MT3 77°59'05" 80.971 16.856 79.197 D_ MT3 D_ 2

D_ MT4 15°11'10"

Planimetría


10.3.2.3 Ajuste de las proyecciones de la poligonal

Como esta poligonal es abierta geométricamente la suma algebraica de las proyecciones no debe ser cero, sino la diferencia de coordenadas entre el punto de llegada y partida. Para este caso la resta de coordenadas entre el MT.3 y el MT.1:

• Suma de proyecciones calculada

027.7640.408613.401 −=−=calculadaNS

148.215844.290992.505 =−=CalculadaEW

• Suma de proyecciones Observada

037.7−=ObsNS

127.215=ObsEW

• Determinación de errores

010.0)027.7(037.7 −=−−−=−=∆ CalculadoObsv NSNSNS

021.0148.215127.215 −=−=−=∆ CalculadoObsv EWEWEW

El cálculo de correcciones se realiza de la misma manera que una poligonal cerrada dándole peso a las distancias y con el signo contrario al error

PROYECCIONES CORRECCIONES PROYECCIONES COOR

DELTA PUNTO NS EW NS EW NS EW

D_ MT1 D_ MT2

D_ 1 41.224 71.247 0.003 0.007 41.227 71.254

D_ 1 D_ MT1

D_ 2 -65.117 64.683 0.004 0.007 -65.113 64.690

D_ 2 D_ 1

D_ MT3 16.856 79.197 0.003 0.007 16.859 79.204

D_ MT3 D_ 2

D_ MT4

Planimetría



Con base en las proyecciones y las coordenadas del punto de amarre, que en este caso es el MT-1, ya que es el punto de la primera armada, se calculan las coordenadas de los demás vértices, teniendo en cuenta que las coordenadas son acumuladas ya que lo que se esta realizando es un traslado de estas y al final se llega a las coordenadas del punto de llegada de la poligonal en este caso a MT.3.

PROYECCIONES COOR COORDENADAS


D_ MT1 D_ MT2 408.640 290.844 D_ MT1

D_ 1 41.227 71.254 449.867 362.098 D_ 1

D_ 1 D_ MT1

D_ 2 -65.113 64.690 384.754 426.788 D_ 2

D_ 2 D_ 1

D_ MT3 16.859 79.204 401.613 505.992 D_ MT3

D_ MT3 D_ 2

D_ MT4


Con base en los azimutes y distancias de los detalles determinados en campo se determinan las proyecciones de cada punto, teniendo en cuenta que es un cálculo por radiación,

PROYECCIONES

DELTA PUNTO AZIMUT COR DIST NS EW

D_ 1 D_ MT1

1 192°46'50" 29.995 -29.252 -6.635

D_ 2 D_ 1

2 245°29'20" 78.436 -32.541 -71.367

3 122°08'00" 61.457 -32.688 52.043

D_ MT3 D_ 2

4 305°27'10" 32.328 18.751 -26.334

Apoyados de las coordenadas ajustadas de los vértices de la poligonal se determinan las coordenadas de los detalles

Planimetría


COORDENADAS

DELTA PUNTO NS EW PUNTO

D_ 1 D_ MT1 449.867 362.098 D_ 1

1 420.615 355.463 1

D_ 2 D_ 1 384.754 426.788 D_ 2

2 352.213 355.421 2

3 352.066 478.831 3

D_ MT3 D_ 2 401.613 505.992 D_ MT3

4 420.364 479.658 4


Con las Coordenadas de los detalles y organizándolas en forma secuencial por ubicación, se determina el área de los detalles levantados en esta caso del edificio.

COORDENADAS

NS EW PUNTO

420.615 355.463 1

352.213 355.421 2

352.066 478.831 3

420.364 479.658 4

420.615 355.463 1

AREA 8462.023 m2

0.846 Ha

1.322 Fa

Planimetría



Planimetría



DELTA PUNTO AZIMUT DIST NS EW N E PUNTO

Planimetría


Área a Calcular: __________________________________________________


Sumatoria =

Sumatoria =

m2

Ha Área =

Fa

Planimetría


Levantamiento “Poligonal Abierta Método Deflexiones” 11.1 Definición: Poligonal que inicia en un puntos con coordenadas conocidas y se termina en otro punto desconocido. Es poco utilizada debido a que tiene la desventaja de no poder determinar errores de cierre ni en ángulo ni en distancia, lo cual hace que no sea seguro trabajar con este tipo de poligonal. El método de toma de ángulos por deflexiones es utilizado en trazados viales, ya que este ángulo se convierte en el ángulo central de las curvas y la dirección de la deflexión en la misma dirección de la curva.

Gráfica 11.1: Poligonal por Deflexiones

11

Planimetría


11.2 Metodología 11.2.1 En Campo: • Se determina el terreno que se requiere levantar, y se realiza el gráfico correspondiente. • Se establecen y localizan los deltas de la poligonal, los cuales deben estar estratégicamente

ubicados para trasladar las coordenadas y determinar los detalles necesarios del levantamiento. • Con base en los dos puntos primeros de apoyo, uno para coordenadas y otro para determinar el

azimut u orientación de la poligonal, se arma el equipo y se da visual al punto anterior con el equipo en posición invertida y se transita el equipo quedando en ceros en la prolongación de la línea entre los vértices y se lee el ángulo. También se puede observar el punto anterior en

posición directa y colocar en el equipo 180°00’00’’. • Si el teodolito esta midiendo los ángulos a la derecha, si el ángulo leído esta entre 0 y 180 es

deflexión derecha (D). • si la lectura esta entre 360 y 180 es deflexión izquierda (I), entonces para obtener el ángulo de

deflexión hay que restar el ángulo leído de 360 grados. • Si hay la posibilidad de colocar el equipo a leer ángulos en sentido izquierdo, directamente se

leería el ángulo de deflexión. • El procedimiento anterior se realiza en cada vértice determinado el ángulo de deflexión para

cada uno de ellos y de igual manera para los detalles cuando sea caso. 11.2.2 En Oficina • Con en el azimut de los puntos base o con coordenadas conocidas, sumando los ángulos de

deflexión derecha y restando los ángulos de deflexión izquierda se determinan los azimutes de las líneas de la poligonal.

• Con los azimutes y las distancias se determinan las proyecciones y las coordenadas de la

poligonal. Como es un traslado de coordenadas las coordenadas se deben acumular al momento del cálculo.



Planimetría



Planimetría



Con base en las coordenadas de apoyo se determina el azimut. Como el azimut a determinar es la proyección de la línea base es entre CT-19 y CT-20, la resta para determinar el azimut es entre el CT-20 menos CT-19.

PUNTO NORTE ESTE

CT-20 88926.204 101499.948 CT-19 88965.857 101525.567

653.391920 −=−= −− CTCT NNDN

619.251920 −=−= −− CTCT EEDE

De acuerdo a los signos el ángulo es positivo y se encuentra en el tercer cuadrante, por lo tanto el azimut es:

"565132653.39

619.25tantan 11 o

DN

DE=== −−θ

"5651212)(180 oAz =++= θ

11.3.2.2 Cálculo de los Azimutes de las líneas de la poligonal

Con base en el azimut de la proyección de la partida y los ángulos de deflexión observados se determinan los azimutes de las demás líneas de la poligonal. El azimut anterior mas el ángulo deflexión a la derecha observado es el azimut de la siguiente línea o el azimut anterior menos el ángulo de deflexión a la izquierda, según sea el caso.

No es necesario determinar contrazimut, ya que es traslado se realiza siguiendo una ruta que siempre es hacia delante y girando, que es el ángulo de deflexión.

Planimetría


DELTA PUNTO ANG. DEF D/I AZIMUT

D_ CT20 D_ CT19 212°51'56"

D_ 1 110°44'24" I 102°07'32"

D_ 1 D_ CT20

D_ 2 86°27'24" D 188°34'56"

D_ 2 D_ 1

D_ 3 82°09'38" I 106°25'18"

D_ 3 D_ 2

UD_1 80°21'17" D 186°46'35" 11.3.2.3 Cálculo de las proyecciones de la poligonal


ciaDisAzPN tan*cos=


PROYECCIONES

DELTA PUNTO ANG. DEF D/I AZIMUT DIST NS EW

D_ CT20 D_ CT19 212°51'56"

D_ 1 110°44'24" I 102°07'32" 48.253 -10.132 47.146

D_ 1 D_ CT20

D_ 2 86°27'24" D 188°34'56" 40.270 -39.819 -6.009

D_ 2 D_ 1

D_ 3 82°09'38" I 106°25'18" 43.925 -12.418 42.133

D_ 3 D_ 2

UD_1 80°21'17" D 186°46'35" 30.340 -30.128 -3.580


Con base en las coordenadas del punto de amarre que en este caso es el CT-20, ya que es el punto de la primera armada, y en las proyecciones, se calculan las coordenadas de los demás vértices, teniendo en cuenta que las coordenadas son acumuladas ya que lo que se esta realizando es un traslado de coordenadas.

Planimetría




D_ CT20 D_ CT19 88926.204 101499.948 D_ CT20 D_ 1 -10.132 47.146 88916.072 101547.124 D_ 1

D_ 1 D_ CT20

D_ 2 -39.819 -6.009 88876.253 101541.115 D_ 2 D_ 2 D_ 1

D_ 3 -12.418 42.133 88863.835 1015833.248 D_ 3 D_ 3 D_ 2

UD_1 -30.128 -3.580 88833.707 101579.668 UD_1

11.3.2.5 Cálculo de las Coordenadas de los detalles y áreas

Con base en las coordenadas de la poligonal se determinan las coordenadas de los detalles siguiendo la misma metodología planteada en los capítulos anteriores, ya que esta toma de detalles es una radiación simple.

Con las coordenadas de los detalles se determinan las áreas de las zonas del levantamiento.

Planimetría



Planimetría


PROYECCIONES COORDENADAS DELTA PUNTO ANG. DEF D / I AZIMUT DIST

NS EW N E PUNTO

Planimetría


Levantamiento “Poligonal Cerrada Método Deflexiones” 12.1 Definición Levantamiento topográfico determinando los ángulos de deflexión que forman las líneas consecutivas de la poligonal 12.2 Aplicaciones: Este tipo de levantamiento es muy utilizado en el proceso de diseño, construcción y localización de vías 12.3 Conceptos Básicos: 12.3.1 Angulo de Deflexión El ángulo de deflexión en una poligonal es el ángulo que forma una línea con la prolongación de la línea inmediatamente anterior. Este ángulo es medido desde la prolongación hacia la línea en mención; un ángulo de deflexión puede ser derecho o izquierdo según el sentido 12.3.2 Error en Ángulos de Deflexión Es la diferencia entre la sumatoria teórica de ángulos de deflexión de la poligonal y la sumatoria de ángulos de deflexión medidos en campo al realizar la poligonal. Si se recorre la poligonal en sentido horario para la sumatoria observada los ángulos de deflexión izquierdos tendrán signo negativo: caso contrario si se recorre la poligonal en sentido antihorario los que tendrán signo negativo serán los ángulos de deflexión derechos.

El Error Máximo permisible utilizando Teodolitos Convencionales = angulosa #*

a = precisión del equipo Cuando se utilizan equipos de alta precisión la práctica ha determinado que el error máximo debe

ser 12” * N . Donde N es el número de Ángulos. 12.3.3 Corrección de Ángulos de Deflexión La corrección es el ajuste que se debe realizar a cada ángulo de deflexión formado entre las diferentes líneas de la poligonal y es igual al (Error en Ángulos de Deflexión)/ (Numero de ángulos); se debe tener en cuenta que las corrección de los ángulos de deflexión derechos deben

12

Planimetría


tener signo contrario a las correcciones de los ángulos de deflexión izquierda o viceversa según el caso 12.3.4 Error en Distancia

Es la diferencia en distancia para cerrar la poligonal = 22 EWNS ∆+∆ NS∆ = Sumatoria de Proyecciones Norte EW∆ = Sumatoria de Proyecciones Este

12.3.5 Precisión (P) Determina el grado de confiabilidad de la poligonal = L / Error en Distancia, Se expresa 1: P, significa que en P metros se esta cometiendo un error de 1 metro. La Precisión para levantamientos topográficos debe ser mayor a 1: 10000 12.4 Metodología 12.4.1 En Campo:

• Reconocimiento del terreno: Se debe recorrer la totalidad del terreno y hacer el gráfico correspondiente, que se puede realizar por partes a medida que se avanza en el terreno o se puede realizar de manera total, lo anterior depende del tamaño y características del terreno.

• Se instala el equipo en el punto de inicio (punto con coordenadas conocidas), se visa al punto de amarre (punto con coordenadas conocidas), Con base en los dos puntos primeros de apoyo, uno para coordenadas y otro para determinar el azimut u orientación de la poligonal, se arma el equipo y se da visual al punto anterior con el equipo en posición invertida y se transita el equipo quedando en ceros en la prolongación de la línea entre los vértices y se lee el ángulo. También se puede observar el punto anterior en posición directa y

colocar en el equipo 180°00’00’. se lee el ángulo de deflexión a este delta (si se esta utilizando un equipo que lea los ángulos hacia la derecha que es el caso mas usual; se presenta la siguiente situación: si la lectura esta entre 0° y 180° es un ángulo de deflexión derecho: si la lectura esta entre 180° y 360° Será un ángulo de deflexión izquierdo y para los cálculos se utiliza 360° – la lectura correspondiente), se mide la distancia respectiva; si se toman detalles al visar cada uno de ellos se debe tener en cuenta lo anteriormente expuesto.


• Finalmente se arma nuevamente el equipo en el punto de inicio se visa al ultimo delta, se coloca en el circulo horizontal del equipo180°00´00”; y se lee el ángulo de deflexión al punto de amarre.

12.4.2 En Oficina Se recomienda calcular primero la poligonal y después calcular los detalles, con el objeto evitar la presentación de errores de calculo, de tener mayor orden y por una mejor presentación.

Planimetría


12.5 Ejercicio Practico

Planimetría


Planimetría


12.5.1 Cálculo de la Poligonal 12.5.1.1 Cálculo y Corrección de los Ángulos de Deflexión De acuerdo a la diferencia entre la sumatoria teórica y la sumatoria observada. La corrección de ángulos de deflexión será:

Cuadro 12.1: Corrección de Ángulos de Deflexión

DELTA PTO ANGULO DER o IZQ CORREC ANG. COOR

CD16 CD15

D1 37°30´30" IZQ 6" 37°30´36" CD15

D1 D2 84°07´00" DER (-6") 84°06´54" D1

D2 D3 107°30´00" DER (-6") 107°29´54" D2

D3 CD15 94°06´30" DER (-6") 94°06´24"

D3 CD15

CD16 68°12´30" IZQ 6" 68°12´36" Como el brazo de amarre esta por fuera de la poligonal entonces ∑ TEORICA DE ÁNGULOS = 180° 00’ 00” n = numero de lados de la poligonal ∑ Observada = 180° 00’ 30” (los ángulos a la izquierda se toman con signo negativo ya que se recorrió la poligonal en sentido horario) ERROR = ∑ TEORICA DE ÁNGULOS - ∑ Observada = - 30”

ERROR MÁXIMO (usando teodolitos convencionales) = a * n a = precisión del equipo Corrección para cada ángulo = ERROR / No de ángulos = -6” para este caso que se recorrió la poligonal en sentido horario la corrección para cada ángulo izquierdo cambia de signo ó sea queda positiva = 6” 12.5.1.2 Cálculo de Azimut Inicial Punto de Inicio CD15 Norte = 100420.299 Este = 101017.217 Punto de Amarre CD16 Norte = 100311.817 Este = 100871.426 Azimut de CD15 a CD16 = 233° 20’ 50” 12.5.1.3 Cálculo de Azimutes de la Poligonal Para el Cálculo de azimutes de la poligonal se debe empezar con el azimut del punto de amarre al punto de inicio: (caso en estudio azimut de CD16 a CD15 que es 53° 20’ 50”) ya que el primer ángulo de deflexión se midió desde esta dirección. Para el cálculo de los demás azimutes si es un

Planimetría


ángulo de deflexión derecho se suma directamente al azimut anterior y si es un ángulo de deflexión izquierda se resta al azimut anterior.

Cuadro 12.2: Cálculo de Azimutes DELTA PTO ANG. COOREG AZIMUT

CD16 CD15 53°20´50" CD15 D1 37°30´36" (IZQ) 15°50´14"

CD15 D1

D2 84°06´54" (DER) 99°57´08" D1

D2 D3 107°29´54" (DER) 207°27´02" D2

D3 CD15 94°06´24" (DER) 301°33´26"

D3 CD15

CD16 68°12´36" (IZQ) 233°20´50" 12.5.1.4 Cálculo de Proyecciones: Con los azimutes y distancias se calculan las proyecciones

Proyección Norte = Distancia*Cos(Azimut) Proyección Este = Distancia*Sen(Azimut)

Cuadro 12.3: Cálculo de Proyecciones PROYECCIONES

DELTA PTO AZIMUT DISTANCIA P. Norte P. Este

CD16 53°20´50" CD15

D1 15°50´14" 48.994 47.134 13.371 CD15

D1 D2 99°57´08" 73.600 -12.720 72.492 D1

D2 D3 207°27´02" 74.462 -66.078 -34.326 D2

D3 CD15 301°33´26" 60.475 31.650 -51.532 D3

CD15 CD16 233°20´50"

12.5.1.5 Corrección de Proyecciones: como es una poligonal cerrada la sumatoria teórica de

proyecciones Norte debe ser 0: la sumatoria teórica de proyecciones Este debe ser 0. La Fórmula que se ha utilizado es: Para las Proyecciones Norte

LCadaLadoNorteoyeccionesCorreccion /*Pr∑=

Para las Proyecciones Este

LCadaLadoEsteoyeccionesCorreccion /*Pr∑=

metrosNorteoyecciones 014.0Pr −=∑

Como el resultado anterior es de signo negativo las correcciones de las proyecciones serán de signo positivo para que la sumatoria quede en 0 (se deben corregir en total 0.014)

Planimetría


metrosEsteoyecciones 005.0Pr =∑

Como el resultado anterior es de signo positivo las correcciones de las proyecciones serán de signo negativo para que la sumatoria quede en 0 (se deben corregir en total -0.005)

Cuadro 12.4: Corrección de Proyecciones PROYECCIONES CORRECCIONES PROYE CORREGIDAS

DELTA PTO P. Norte P. Este Norte Este P. Norte P Este

CD16 CD15

D1 47.134 13.371 0.003 -0.001 47.137 13.370 CD15

D1 D2 -12.720 72.492 0.004 -0.001 -12.716 72.491 D1

D2 D3 -66.078 -34.326 0.004 -0.002 -66.074 -34.328 D2

D3 CD15 31.650 -51.532 0.003 -0.001 31.653 -51.533

D3 CD15

CD16 La corrección para la proyección del delta tres era 0.0014 se aproximó a 0.002 ya que por las aproximaciones de todas las proyecciones se había perdido 0.001 12.5.1.6 Cálculo de Coordenadas Finalmente se determinan las coordenadas de cada delta, partiendo de las coordenadas del punto de inicio. A las coordenadas del punto de inicio se le suman las primeras proyecciones y se obtienen las coordenadas del Delta 1, a las Coordenadas del Delta 1 se le suman las segundas proyecciones entonces se obtienen las Coordenadas del Delta 2 y así sucesivamente hasta finalizar la poligonal: el resultado final debe ser las coordenadas del punto de inicio.

Cuadro 12.5: Cálculo de Coordenadas de la Poligonal PROYE CORREGIDAS COORDENADAS

DELTA PTO P. Norte P Este NORTE ESTE

PUNTO

CD16 100420.299 101017.217 CD15 CD15

D1 47.137 13.370 100467.436 101030.587 D1 CD15

D1 D2 -12.716 72.491 100454.720 101103.078 D2 D1

D2 D3 -66.074 -34.328 100388.646 101068.750 D3 D2

D3 CD15 31.653 -51.533 100420.299 101017.217 CD15

12.5.1.7 Datos Estadísticos de la Poligonal Los datos estadísticos de la poligonal se deben calcular y plasmar por escrito ya que son el soporte que indica que se cumplen las especificaciones requeridas, estos datos son:

Planimetría


� Error en Ángulos de Deflexión = -0°0030” Error máximo permisible = El Error Máximo permisible utilizando Teodolitos Convencionales =

angulosa #*

a = precisión del equipo Cuando se utilizan equipos de alta precisión la práctica ha determinado que el error máximo debe

ser 12” * N . Donde N es el número de Ángulos.

� Error en distancia de la poligonal

Es la diferencia en distancia para cerrar la poligonal = 22 EWNS ∆+∆

015.0005.0014.0 22 =+−

� Precisión de la poligonal Precisión (P) = L / Error en Distancia P = 257.505/0.015 = 17167 P = 1:17167 (debe ser mayor a 1: 10000) 12.5.2 Cálculo de Detalles Cada detalle se calcula teniendo como base las coordenadas del respectivo delta o estación desde el cual fue tomado cada uno de ellos, el azimut a cada detalle se calcula con base al azimut que hay del delta anterior al delta desde el cual se tomaron los detalles, sumando o restando los ángulos de deflexión de cada detalle según corresponda. Es decir los detalles que se tomaron desde el delta dos se calculan teniendo como base el azimut del delta 1 al delta 2; los detalles que se tomaron desde el delta 3 se calculan teniendo como base el azimut del delta 2 al delta 3 y así sucesivamente.

Cuadro12. 6: Cálculo de Coordenadas de los Detalles

DER PROYECCIONES COORDENADAS DELTA PTO DEFLEXION

IZQ AZIMUT DIST

NORTE ESTE NORTE ESTE

CD16 CD15 53°20´50" 100420.299 101017.217

CD15 1 37°52´47" DER 91°13´37" 12.797 -0.274 12.794 100420.025 101030.011

CD15 D1 15°50´14" 100467.436 101030.587

D1 2 42°33´09" DER 58°23´23" 22.492 11.789 19.155 100479.225 101049.742

D1 D2 99°57´08" 100454.720 101103.078

D2 3 106°52´02" IZQ 353°05´06" 25.474 25.289 -3.067 100480.009 101100.011

4 42°08´49" DER 142°05´57" 43.862 -34.610 26.944 100420.110 101130.022

D2 D3 207°27´02" 100388.646 101068.750

D3 5 103°21´11" IZQ 104°05´51" 33.082 -8.058 32.086 100380.588 101100.836

6 65°39´10" DER 273°06´12" 28.760 1.557 -28.718 100390.203 101040.032

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12.6. Ejercicio Planteado

Planimetría


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Replanteo 13.1 Definición Después de la elaboración de los planos topográficos de un terreno se realizan los diseños donde se establecen las ubicaciones, dimensiones y características de las estructuras contempladas en el proyecto. Para realizar la construcción se debe transferir la información encontrada en los planos de diseño al terreno; proceso que se conoce como el replanteo. Esta labor que realiza el profesional del área de topografía (también se conoce como trabajo de trazo, o establecimiento de líneas y niveles). Se resalta entonces la aplicación de la topografía en los diferentes proyectos de construcción ya que de esta ciencia depende en gran parte la culminación adecuada de un proyecto. Los planos muestran las dimensiones, niveles y posiciones de las diferentes estructuras que se van a construir como edificaciones, vías de comunicación, estacionamientos, líneas de tubería, zonas de recreación, etc. El trabajo de replanteo consiste en ubicar los elementos proyectados en las posiciones deseadas sobre el terreno; que se puede realizar colocando marcas de referencia (estacas) cerca al terreno y con una ubicación que le permita al personal que trabaja en el proceso de construcción (especialistas, albañiles, carpinteros etc.) con sus propias herramientas ubicar correctamente los componentes del proyecto para su construcción. 13.2 Aplicaciones: El replanteo se realiza en todos los proyectos de construcción, con el objeto de que los diseños se puedan plasmar en el terreno de manera adecuada. El replanteo tiene aplicación en: Carreteras, zanjas de drenaje, drenajes sanitarios y pluviales, alcantarillado, puentes, terraplenes, líneas de tubería, vías férreas, canales, aeropuertos, líneas de transmisión, edificaciones, presas de almacenamiento, plantas de tratamiento, minas, túneles canteras etc.. TIPOS DE TRABAJOS TOPOGRÁFICOS EN UNA CONSTRUCCIÓN

1. levantamiento de propiedades o linderos: para establecer la localización, dimensiones y características topográficas de un terreno

2. levantamiento de condiciones existentes: con el objeto de establecer las características naturales y artificiales de la zona de trabajo (corrientes, drenajes, líneas de energía eléctrica, caminos, etc...), Estructuras cercanas y levantamiento de las zonas con posibles afectaciones que se pueden tener con la realización del proyecto planeado.

La información obtenida por los dos tipos de trabajos mencionados (datos, cálculos, planos) es entregada a los diferentes especialistas para realizar los diferentes diseños necesarios para el

13

Planimetría


proyecto. Entonces para iniciar un proyecto de construcción se deben tener los planos topográficos del terreno y de los elementos adyacentes a este. 3. levantamientos de construcción: replanteo donde se determinan la ubicación y elevación de

los elementos u obras a construir. En este proceso se deben colocar o materializar puntos para cada tipo de replanteo.

4. levantamientos de obra terminada: se utilizan para determinar las posiciones, formas y dimensiones de las construcciones realizadas con el objeto de revisar que el proyecto se realizó de acuerdo a los diseños y planeación realizada. Con este tipo de trabajo también se establece la ubicación definitiva de las estructuras y sus componentes (tuberías, canales, vías etc.) que serán necesarios para realizar mantenimientos, modificaciones, y proyectar nuevas obras a futuro.

En el proceso de construcción se debe realizar la interventora que es desarrollada por una comisión de topografía; que se contrata con el fin de revisar que se realicen las labores de manera adecuada y así las construcciones realizadas correspondan con los planos de diseño y especificaciones del proyecto. Se debe tener en cuenta que en ocasiones se puede presentar la necesidad de realizar cambios en la construcción con respecto a los planos originales debido a problemas o situaciones imprevistas que aparezcan en campo como son presencia de tuberías subterráneas, ductos, condiciones inesperadas en la cimentación etc., entonces se deben realizar los cambios necesarios para el buen desarrollo de la obra. 13.3 Conceptos Básicos: 13.3 .1 Replanteo de control horizontal: se determina la ubicación y posición de las nuevas obras e

infraestructuras de acuerdo a los diseños correspondientes. 13.3.2 Replanteo de control vertical: se realiza la verificación y el control de los niveles de las estructuras y obras que se van a llevar a cabo en el desarrollo del proyecto. 13.3.3 De alineación vertical: proceso de control con el objeto de verificar que las construcciones

queden plomadas en su proceso de construcción. 13.3.4 Puntos De Referencia Para La Construcción (Puntos de Control) Se deben materializar y georreferenciar puntos por medio de procesos topográficos; teniendo como base placas con coordenadas reales, que estén cerca de la zona de trabajo; los puntos de control se deben ubicar en posiciones convenientes para que desde dichos puntos se puedan localizar las características importantes de la construcción. (Generalmente se localizan los ejes de construcción del proyecto de acuerdo a los diseños que se hayan realizado). 13.4 Metodología

� Se establecen los puntos o ejes que se deben ubicar en campo para que se pueda llevar a cabo el proceso de construcción del proyecto.

� Con base en los planos de diseño se determinan la ubicación (coordenadas) de los diferentes puntos o ejes.

Planimetría


� se calculan las distancias y ángulos o azimutes a dichos puntos a partir de los puntos de control.

� se arma el equipo en el respectivo punto de control y se miden las distancias y ángulos correspondientes para ubicar cada punto o eje importante o necesario en el proceso de construcción. (el número de puntos o ejes localizados en campo depende de las características y dimensiones del proyecto). Se deben dejar referencias en campo de dichos puntos por fuera de la zona de construcción con el objeto de que no sean destruidos dentro del proceso de realización de la obra.

� Después de ubicar los diferentes puntos o características se debe verificar en campo que las distancias y los ángulos correspondan según el diseño de la construcción y teniendo en cuenta construcciones ya existentes. Para esto se realizan diferentes tipos de mediciones para verificar la correcta localización de acuerdo al tipo y forma de construcción, por ejemplo en una construcción rectangular es recomendable medir las diagonales para verificar que la forma y dimensiones correspondan. También se pueden verificar las perpendiculares o ángulos que deben formar las diferentes líneas de referencia que forman los puntos materializados en campo. En campo se deben establecer líneas base o de trazo para los ejes de la construcción y prolongar estas líneas fuera del área de trabajo colocando puntos para poder replantear o ubicar cualquier punto de la obra que en alguna etapa de la construcción haya sido removido o destruido.

Planimetría


13.5 Ejercicio Práctico Se tiene el siguiente proyecto de construcción para la cual se hace necesario ubicar cada uno de sus ejes y proyectar por fuera de la zona de construcción las líneas que forman estos puntos con el objeto de poder ubicar cualquier punto materializado que se haya destruido en el proceso de construcción. Para el caso de estudio se colocaran dos estacas por fuera de la zona de trabajo que proyecten las líneas formadas por los ejes.

Figura 13.1: Replanteo “Ejercicio Practico”

En campo se ubicaron los deltas (Delta1, Delta2, Delta3, Delta4) puntos que tienen coordenadas conocidas: las cuales son: Delta2: Norte = 100126,908 Este = 101127,216 Delta3: Norte = 100136,034 Este = 101285,147 Delta4: Norte = 100023,658 Este = 101231,258 Para este caso el Delta1 esta muy lejos de la construcción y ya que existen puntos mas cercanos y con ubicación mas favorable para realizar las respectivas localizaciones, por lo cual este punto no se va a tener en cuenta. Se determinan las coordenadas de los ejes de construcción (proceso que se realiza sobre los planos de diseño), para este ejemplo se tiene:

Cuadro 13.1: Coordenadas de los Ejes de Construcción

Planimetría


Pto o Eje Norte Este

A1 100140.000 101180.000 A2 100140.000 101220.000 B2 100110.000 101220.000 B3 100110.000 101250.000 C2 100080.000 101220.000 C3 100080.000 101250.000 D1 100050.000 101180.000 D2 100050.000 101220.000

Se determina desde cual delta es mas favorable localizar cada uno de loe ejes, para el ejemplo desde el delta 2 se localizara el eje A1, desde el delta 3 se localizaran los ejes A2, B2 y B3 y desde el delta 4 se localizaran los ejes C2, C3, D1, D2. Entonces de calculan las distancias y azimutes respectivos del Delta2 a: A1, del Delta 3 a: A2, B2, B3 y del Delta 4 a: C2, C3, D, D2 Azimutes y distancias que se miden en campo para localizar los diferentes puntos o elementos de la construcción. También se pueden ubicar algunos puntos de los ejes; los puntos faltantes se ubicaron midiendo 90 grados y las distancias respectivas.

Cuadro 13.2: Datos para el Replanteo

Delta (punto de control)

Delta o Punto (intersección de

ejes) Distancia Azimut

Delta2 D3 86° 41’34” A1 54.383 76° 04’12”

Delta3 D2 266° 41’34” A2 65.268 273° 29’01” B2 70.156 248° 13’03” B3 43.379 233° 28’19”

Delta4 D3 25°37’11” C2 57.456 348° 42’01” C3 59.377 18° 23’58” D1 57.631 297° 11’57” D2 28.647 336° 51’33”

Par ubicar el punto A1 se arma el equipo en Delta 2 se visa al Delta 3 se coloca en el circulo horizontal del equipo el valor del azimut entre estos dos deltas que para esta caso es 86° 41’34” (calculado con las coordenadas de delta 2 y delta 3), se gira el telescopio hasta encontrar el azimut del delta 2 al punto A1 que ya se Cálculo y es 76° 04’12” y se mide la distancia 54.383 metros.

Planimetría


Par ubicar los puntos A2, B2, B3 se arma el equipo en el delta 3 se visa al delta 2 se coloca el azimut que es 266°41’34” y se gira el telescopio hasta encontrar los respectivos azimutes y se miden cada una de las distancias. Par ubicar los puntos C2, C3, D1, D2 se arma el equipo en el delta 4 se visa al delta 3 se coloca el azimut que es 25°37’11” y se gira el telescopio hasta encontrar los respectivos azimutes y se miden cada una de las distancias.

Planimetría


Cálculo de Áreas 14.1 Definición: El área es la unidad de presentación del valor de la extensión de una superficie dada en Topografía, este valor se puede expresar de tres maneras, metros cuadrados, hectárea o fanegada.

Gráfica 14.1: Unidades de Área

Regularmente el área de un terreno debe expresarse de las tres maneras para que sea entendible para cualquier persona que consulte los cálculos o el plano de un levantamiento. 14.2 Métodos de Cálculo Los métodos más tradicionales cuando se realiza un levantamiento topográfico son por medio de figuras geométricas en levantamientos con cinta y por coordenadas cuando se utiliza teodolitos o estaciones totales. Cuando se tiene la cartografía o un plano del levantamiento se puede determinar el área de manera gráfica por medio de papel milimetrado, malla de puntos o planímetro.

14

Planimetría


14.2.1 Figuras Geométricas Este método consiste en transformar el área a medir o levantar en un polígono, para luego dividirlo en figuras geométricas conocidas a las cuales se les puede determinar el área.

Gráfica 14.2: Área a Levantar

El polígono que se traza debe procurar que pase por los linderos del área a calcular y si no se presentan tramos rectos o uniformes se debe trazar el alineamiento tratando de compensar el área que se excluye sea la misma de la que se incluye, que no es parte del área a levantar.

Gráfica 14.3: Trazo del Polígono

Con base en el polígono se dividen en figuras geométricas conocidas, regularmente triángulos ya que con otras figuras se necesitarían tener certeza que se tiene ángulos rectos.

Planimetría


Gráfica 14.4: División en Figuras Geométricas

Con base en la toma de medidas a escala si se trabaja en plano o las distancia de los vértices con cinta si son datos de campo se determina el área de la zona No Figura Elementos Fórmula Resultado

1

a=57.260 b=79.872 c=24.839

2

cbaS

++=

))()(( cSbSaSSA −−−=

308.316

2

a=79.872 b=98.196 c=31.392

2

cbaS

++=


1116.922

3

a=98.196 b=59.480 c=107.865

2

cbaS

++=


2894.678

4

a=52.790 b=107.865 c=93.478

2

cbaS

++=


2467.199

Área Total (m2) 6787.115 (Ha) 0.679 (Fa) 1.060

Planimetría


14.2.2 Utilizando malla de puntos El método consiste en contar en número de puntos promedio contenidos en la figura y conociendo el área entre los puntos calcular el área de la figura. Se utiliza una malla de puntos que simplemente es un papel transparente donde se tienen los puntos ortogonales y separados en sentido vertical y horizontal a la misma distancia.

Gráfica 14.5: malla de Puntos

La plantilla se coloca sobre la figura y se contabilizan los puntos que están dentro de la figura, si un punto esta en el limite de la figura se contabiliza como medio punto.

Gráfica 14.6: Área por malla de Puntos

Planimetría


El procediendo anterior se realiza por lo menos tres veces colocando la plantilla en diferentes direcciones que permita tener una promedio de la cantidad de puntos.

Obs. N 1 66 2 70 3 72 Promedio 69.3

Con base en el espaciamiento de los puntos y la escala del plano se determinan el área entre los puntos y multiplicado por número promedio de puntos es el área entre los puntos.

Elemento y Fórmula Resultado Espaciamiento (d) 10.000

Área entre puntos 2dA = 100.000 2m Numero de Puntos 69.3 Área 6933.333 2m 0.693 Ha 1.083 Fa

14.2.3 Utilizando papel milimetrado

Gráfica 14.7: Área por papel milimetrado

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El método consiste en contar el numero de cuadros, de 1mm * 1mm o 0.5 cm * 0.5 cm o 1cm*1cm, de acuerdo a la precisión que se quiera alcanzar entre mas pequeño sea el cuadro mejor será la precisión del área a determinar. La figura se debe calcar a dibujar sobre el papel milimetrado y se deben contar los cuadros completos que están dentro de la figura, y los cuadros incompletos se cuentan como medio cuadro, por aproximación los cuadros incompletos que sean menores que medio cuadro se pueden compensar para completar cuadros completos. El procediendo anterior se realiza por lo menos tres veces calcando la figura en el papel milimetrado en diferentes direcciones que permita tener una promedio de la cantidad de puntos.

Obs. N 1 65 2 68 3 70 Promedio 67.6

Con base en el cuadro tomado como base y la escala del plano se determinan el área del cuadro base y multiplicado por número promedio de cuadros por el área del cuadro se obtiene el área de la figura.

Elemento y Fórmula Resultado Lado del cuadro (d) 10.000

Área del cuadro 2dA = 100.000 2m Numero de cuadros 67.6 Área 67600.000 2m 0.676 Ha 1.056 Fa

14.2.4 Por coordenadas Este método consiste en determinar el área de la figura, por la formulación matemática de la regla de cruces, con base en las coordenadas del polígono trazado sobre el área a calcular o con las coordenadas de los puntos tomados en campo, la formulación es:

( )2

)*(* 11 ++ ∑−∑= iiii neen

A

Es necesario tomar los puntos de manera consecutiva siguiendo la forma del área y preferiblemente siguiendo la dirección de las manecillas del reloj.

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Gráfica 14.8: Numeración de Puntos

Cabe anotar que es un levantamiento de campo hay que seguir el orden de los puntos en la forma del área sin considerar la numeración del punto utilizada en el levantamiento. Si la información es del levantamiento se tendrá directamente las coordenadas de los puntos, si el área es sobre cartografía o planos es necesario con base en la escala del mismo y apoyado de un escalímetro determinar las coordenadas de manera grafica de cada uno de los puntos del área, entre mas puntos delimiten el área se obtendrá una mayor precisión de la misma, sobre todo en alineamientos no uniformes.

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Gráfica 14.9: Área por Coordenadas

Punto Norte Este 1 184.963 240.370 2 127.568 255.984 3 97.152 167.592 4 146.876 149.861 5 176.234 160.976 6 191.046 216.287 1 184.963 240.370

( )1* +∑ ii en 190968.642

)*( 1+∑ ii ne 177317.717

Área m2 6825.463

(Ha) 0.683 (Fa) 1.066

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14.2.5 Utilizando planímetro El planímetro es un equipo digital que permite determinar el área o distancias de una determinada superficie

Fotografía 14.1: Planímetro Digital

En términos generales el equipo permite trabajar en los dos sistemas de unidades, el ingles y el métrico o internacional, de igual manera configurar en que unidad presenta el resultado, centímetros cuadrados, metros cuadrados o kilómetros cuadrados. Para determinar el área es necesario primero ingresar la escala del plano o cartografía y dar inicio en un punto del límite del área y con el visor recorrer todo el límite de la zona sin pegar el carro al equipo ya que generaría error y por supuesto sin levantar el equipo. Al volver al punto de inicio, en la pantalla del equipo se puede leer el área de acuerdo a las unidades configuradas. Es necesario realizar al menos tres veces el recorrido para obtener el área promedio.

Obs. Área 1 6840 2 6810 3 6880 Promedio 6843.33 Área m2 6843.33

(Ha) 0.684

(Fa) 1.069

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Dibujo Topográfico 15.1 Definición

Consiste en la elaboración de planos o mapas, en los cuales se representan las formas y accidentes de un terreno. Es necesario hacer la distinción entre mapa planimétricos y mapa altimétrico.

a. Mapa planimetrico: es la representación sobre una superficie horizontal de accidentes naturales y artificiales del terreno tales como quebradas, lagos, linderos, y obras.

b. Mapa altimétrico: además de estos se representa el relieve del terreno.

En el dibujo topográfico, la precisión y localización de los respectivos puntos y líneas sobre el plano es factor muy importante para una buena representación del terreno.

Aspectos que se deben tener en cuenta para la realización a mano de un mapa topográfico:

1. Formato: la medida del papel se establece de acuerdo a las especificaciones, tamaño del terreno que se quiere representar y la precisión con la que se realizará el plano

2. El espacio apropiado y debidamente situado para indicar a manera de título: propósito del mapa, o proyecto para el cual se va a usar, nombre de la región levantada, escala, nombre del topógrafo o ingeniero, nombre del dibujante y fecha.

3. Escala gráfica del mapa e indicación de la escala a la cual se dibujó. 4. Diferenciación del norte y sur. Se debe determinar la dirección de la norte 5. Indicación de las convenciones usadas para identificar los diferentes componentes del

terreno.

En dibujo topográfico se realizan planos, perfiles, secciones transversales y cierto número de cálculos gráficos, la utilidad de estos dibujos depende principalmente de la precisión con que los puntos y las líneas se proyecten en el papel.

15.2 Proyecciones empleadas en los planos:

Como la superficie de la tierra es curva y la de los planos es plana, no se puede hacer el plano que represente un territorio dado sin que se produzca algo de distorsión. Si la zona es pequeña se puede considerar la superficie de la tierra como plana, y un plano construido por proyección ortográfica como es el caso del dibujo mecánico representará la situación relativa de los objetos sin distorsión mensurable. Los mapas de topografía se construyen de esta manera, los puntos se determinan ya sea por coordenadas rectangulares o por ángulos horizontales y distancias.

15

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15.3 Formatos y Plegado de Planos El formato esta definido como el tamaño de un papel en orden a sus dimensiones de largo y ancho para los dibujos, planos, mapas y documentos técnicos. El plegado es el proceso de doblar e igualar con la debida proporción los formatos que se han de encuadernar para su archivo. El plegado se puede realizar horizontal o vertical; en topografía el más utilizado es el horizontal ya que el formato para las rotulaciones se realiza aprovechando el lado con mayor dimensión en el papel. En la actualidad existen dos sistemas que definen las normas para el tamaño del papel: • Norma Americana: American Estándar Association ( ASA) • Norma Alemana : Deustches Institut Fur Normung ( DIN)

15.3.1 Sistema DIN La relación entre su ancho y su largo se definen en milímetros y su formato base del cual se derivan los demás es el A0 que tiene 1189 mm por 841 mm Este sistema es el usado por las normas técnicas colombianas. FORMATO ÁREA

2m DIMENSIONES mm MARGEN DER

MARGEN IZQ

No de For A4

A0 1 841 * 1189 10 mm 30 mm 116 A1 ½ 594 * 841 10 mm 30 mm 8 A2 ¼ 420 * 594 10 mm 30 mm 4 A3 1/8 297 * 420 5 mm 25 mm 2 A4 1/16 210 * 297 5 mm 25 mm 1 A5 1/32 148 *210 5 mm 25 mm 1/2 • el margen izquierdo es mas grande para el archivo

Gráfica 15.1: Derivación de los Diferentes Formatos del Sistema DIN

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15.3.2 Sistema ASA Utilizado en Estados unidos y en todos los países bajo su influencia industrial. Sus medidas están determinadas en pulgadas. FORMATO DIMENSIONES

pulgadas DIMENSIONES milímetros

MARGEN DER

MARGEN IZQ

A 8.5 *11 215.9 * 279.4 3/8 pul 1.25 pul B 11 * 17 279.4 * 431.8 ½ pul 1.25 pul C 17 * 22 431.8 * 558.8 ½ pul 1 pul D 22 * 34 558.8 * 863.6 1 pul 1 pul E 34 * 44 863.6 * 117.6 1 pul 1 pul • el margen izquierdo es mas grande para el archivo

Gráfica 15.2: Derivación de los Diferentes Formatos del Sistema ASA

15.3.3 El Pliego Existe comercialmente una manera de formatos utilizados en diversas aplicaciones denominada PLIEGO como el más grande con dimensiones de 70 mm por 100 mm. En Colombia el pliego es una medida común sobre la cual se solicitan en el mercado cartulinas, cartón, papel, durex etc

Cuadro 15.1: Derivación del Pliego Formato Tamaño cm

1 pliego 100 * 70

½ 70 * 50

¼ 50 *035

1/8 35 * 25

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15.4 Rotulación a Mano Todo plano o dibujo se compone de dos partes: la representación grafica y la rotulación o marcado del plano. En la rotulación se encuentran nombres, frases, numeraciones. Se debe tener en cuenta que una mala rotulación deteriora significativamente un plano o dibujo. El estilo de letra que se utiliza en dibujo topográfico es el GOTHIC que son todas las letras formadas por trazos elementales de igual espesor. La letra técnica se puede clasificar:

a) por el grado de inclinación: vertical o inclinada b) por el tipo de letra: mayúscula o minúscula.

15.4.1Letras Mayúsculas y Minúsculas Verticales • Los trazos rectos se dibujan de izquierda a derecha los verticales de arriba hacia abajo. • El tramo horizontal de la e esta ligeramente arriba de la mitad. 15.4.2 Letras Mayúsculas y Minúsculas Inclinadas • El ángulo de inclinación es de 68.2° con respecto a la horizontal el cual se obtiene dibujando un

triangulo de guía de 2 unidades horizontales por 5 unidades verticales • las partes circulares de las letras se convierten en elipses. 15.4.3 Reglas Generales • Las letras minúsculas son utilizadas ampliamente en mapas y raras veces en dibujo de maquinas • el cuerpo de la letra minúscula (parte central) tiene una altura de dos tercios la altura de las

mayúsculas. • La parte inferior o superior de las letras minúsculas (f, t, g, h, j, p ,q, y ), tiene una altura de un

tercio la altura de la mayúscula. • El espacio entre líneas (espacio entre un renglón y otro) tiene un valor aproximado a tres

quintos la altura de las letras mayúsculas. 15.4.4 Líneas de Guía Las líneas de guía son obligatorias en el rotulado a mano, se dibujan con trazos muy tenues y finos, utilizando un lápiz duro con mina 4h o 5h y no se borran si el texto es a lápiz, solo se borran cuando el texto se escribe a tinta. A fin de mantener una altura uniforme de las letras se utilizan líneas de guía horizontales paralelas. Adicionalmente se trazan líneas verticales o inclinadas a espacios irregulares como guía para mantener la correcta inclinación de la letra. 15.4.5 Centrado del Texto En la rotulación los textos deben estar centrados tanto horizontal como verticalmente. Para centrarlo verticalmente se usan las líneas de guía y para centrarlo horizontalmente el método mas utilizado es el de escribir el texto correspondiente, con líneas de guía en el borde de una tira de papel, del tamaño definitivo al que se va usar en el titulo y colocarlo como guía de tal manera que quede el texto en la mitad.

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15.4.6 Ejemplo Letras Verticales

15.4.7 Ejemplo Letras Inclinadas

15.5. Registros de Trabajo en Campo Los registros de campo contienen mediciones, croquis y descripciones. Aunque hoy en día existen aparatos que recopilan datos automáticamente; siempre se deben realizar croquis y descripciones de apoyo. notas de campo: todos los registros de campo deben tener las siguientes características: Integridad: en campo se debe verificar que los datos estén completos y nunca se deben alterar. Legibilidad: las notas solo sirven si son legibles para cualquier persona. Claridad: evite amontonar notas o datos para no crear confusiones. Tanto los croquis como las notas que se tomen en campo se deben realizar con lápiz bien afilado y por lo menos de 3h de dureza. Utilice siempre las libretas empastadas (carteras de campo), que presentan las siguientes ventajas: tienen superficie plana de escritura, facilidad para archivarse, facilidad de envío de campo a la oficina y viceversa. es importante que las tablas de registro en las carteras de campo tengan un diseño adecuado para el tipo de trabajo que se esta realizando.

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Recomendaciones: • Comience cada trabajo en una hoja nueva • No efectué operaciones matemáticas mentales. escriba la cantidad que se esta registrando en

campo • Incluya observaciones aclaratorias, detalles y mediciones adicionales si estas ayudan a entender

mejor las notas • Use el numero de paginas que sea necesario para la tabulación de un solo dibujo, el papel es

barato en comparación con el valor del tiempo que perdería el personal de oficina al interpretar erróneamente notas de campo amontonadas

• Haga una estimación mental de todas las medidas antes de registrarlas, con el objeto de eliminar equivocaciones

• Repita en voz alta los valores que le dicten para registrar • Escriba siempre un cero antes del punto decimal en caso de números menores que 1, por ejemplo

0.435 • Indique la precisión de las medidas usando cifras significativas, por ejemplo escriba 3.870 y no

3.87 si la lectura se determino hasta la tercera cifra decimal. • Escriba su apellido y sus iniciales en todas las paginas, ya que usted es el responsable de esos

datos • Mantenga las cifras tabuladas dentro del rayado de las columnas y sin que quede fuera de

estas, anote las cifras y los números decimales alineados verticalmente 15.5.1 Croquis a Pulso Los croquis a pulso son de vital importancia para el desarrollo de procesos topográficos ya que en estos se necesita bosquejar ideas o diseños. Por ejemplo las personas que están en oficina y deben interpretar notas y datos sin contar con la presencia de quien las tomó. La destreza para bosquejar ayuda al estudiante a desarrollar un sentido de proporción que será de gran ayuda en el trabajo de campo. Para obtener mejores resultados al realizar croquis para levantamientos topográficos tenga en cuenta: • trabaje sobre papel cuadriculado o de líneas base que permitan tener referencia • estime le espacio indispensable para el croquis, se deben tener en cuenta el numero de detalles

del terreno, si es necesario use varias paginas para realizar el grafico del terreno, las paginas deben estar interrelacionadas, es decir que una pagina contenga una misma parte del grafico con la numeración correspondiente de otra pagina

• haga los dibujos según proporciones generales • escriba el nombre de todas las construcciones, vías y en general sitios o tipos de terreno que

contenga el grafico. si los letreros no se pueden realizar dentro del detalle respectivo, hágalos paralela o perpendicularmente a este.

• siempre indique la dirección del meridiano, procure hacerlo en la parte superior izquierda • utilice elementos de dibujo para realizar los gráficos • exagere los detalles en los esquemas si con ello mejora la claridad, o bien realice diagramas por

separado

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• los croquis pueden tener alineamientos rectos y trazos curvos que se deben realizar en forma separada, no intente realizarlos en un solo trazo

Una buena metodología para realizar gráficos es: • 1: situar primero los puntos de los detalles • 2: después realizar los trazos entre esos puntos

• parámetros • A) una línea se determina con dos puntos: el inicio y el final • B) una curva se determina mínimo con tres puntos: el inicio, el centro y el final • C) si se encuentran elementos con ángulos rectos algunos puntos de estos elementos se pueden

determinar por construcción, aunque lo mas aconsejable es tomar todos los puntos ya que de esta manera se puede verificar el trabajo de todo el elemento

Gráfica 15.3: Parámetros en la Toma de Detalles

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15.6 Escala Todo mapa o plano tiene que ser de dimensiones menores a la superficie que representan y habrá de dibujarse de modo que constituya una figura semejante a la del terreno. Toda magnitud del plano y su homologa en terreno tienen una relación de semejanza a la cual se le llama escala. Se utilizan siempre escalas cuyo numerador sea la unidad y su denominador números sencillos terminados en cero. Las escalas mas utilizadas en topografía son 1:20, 1:50, 1:100, 1: 200, 1: 250, 1: 500, 1: 1000, 1: 2000, 1: 5000. La escala 1:100 significa que una medida en plano tendrá una equivalencia de 100 veces en terreno, por ejemplo un centímetros en plano representan 100 centímetros en terreno es decir 1 metro en terreno. Para determinar la escala se toman las distancias que tienen los terrenos y se divide por la distancia en metros que tiene el papel (descontando las márgenes y el rotulo). Se debe tener en cuenta que el formato tiene dos dimensiones y calcular la escala con las dos. Ej: si se tiene un terreno en el cual las distancias más grandes en las dos dimensiones son 300 metros y 198 metros; y se tiene un formato A1 que tiene 0.594 metros * 0.841 que al descontársele las márgenes y el rotulo queda de 0.524 * 0.801 198m / 0..524 = 377.8 300m / 0.801= 374.53 Revisando los dos valores y las escalas utilizadas en topografías se establece que el plano debe realizarse en escala 1: 500 que es el valor mas cercano por encima de 377.8 escala 1: 500 será la relación (1 cm de papel = 5 metros en terreno), escala 1: 500 significa que una unidad en el plano equivale a 500 unidades en el terreno. Es decir que 1 metro en el plano equivale a 500 metros en el terreno o que 1 centímetro en el plano equivale a 500 centímetros en el terreno. Si el plano es por coordenadas para determinar las distancias mas grandes se resta la Norte mayor – la Norte menor y a la Este mayor se le resta la Este menor.

15.6.1 Escalas Graficas

Cuando se quiere medir una distancia en el plano y se quieren evitar esas multiplicaciones o divisiones se recurre a las escalas graficas que son rectas divididas en partes iguales anotando en cada una a partir del cero la magnitud equivalente en el terreno, la longitud de estos segmentos se elige de modo que quede expresada por un número sencillo. Para utilizar la escala grafica se toma con un compás en el plano la magnitud cuya equivalencia en el terreno se quiere hallar, entonces se apoya una de las puntas del compás en la división exacta de la escala que corresponda para que la otra punta del compás caiga en la división de la izquierda del cero y así se determinan las distancias con una presesión de acuerdo a las divisiones de la escala. Es ya una costumbre en los planos topográficos indicar el valor de la escala numéricamente y también realizar la escala grafica. 15.6.1.1 Dimensiones de la Escala Grafica Largo de 10 centímetros y ancho de 4 milímetros La escala 1:50 es la base de la escala 1:500 y 1:5000, la escala 1: 100 es la base de la escala 1: 1000 y 1: 10000, la escala 1: 200 es la base de la escala 1:2000 lo que cambiaria seria la numeración.

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2mm = 0.1 metros en terreno 2mm = 0.2 metros en terreno 5mm = 1 metro en terreno 4mm = 1 metro en terreno 15.7 Realización del Plano de Levantamientos Topográficos con Cinta y con Cinta y Brújula Para realizar el dibujo se

plasma en el plano de la misma forma como se realizó en campo. Primero se dibuja el polígono y luego los detalles. 15.7.1Cuando es por triángulos Como se conocen las magnitudes de los tres lados de cada triangulo se traza el primer lado y con un compás con la abertura de los otros lados se traza y donde se intercepten queda el otro vértice y de esta forma se puede dibujar cada triángulo.

15.7.2 Cuando se ha trazado un polígono Al polígono se le han medido sus ángulos internos y se han tomado los detalles por izquierdas y derechas el procedimiento consiste en primero dibujar el polígono de base con sus distancias a escala y sus respectivos ángulos. Para dibujar cada ángulo, se traza una línea de cualquier magnitud por ejemplo de 5 centímetros, se determina la diferencia del ángulo a dibujar – 90°. Ejemplo 115° es el ángulo que se necesita dibujar entonces 115°- 90° = 25°. Se traza una perpendicular a una distancia arbitraria por ejemplo (5cm) y se calcula el valor del otro cateto así

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tan 25° = x/5cm x = tan 25 * 5cm x = 2.3 cm El transportador no se utiliza ya que no permite trabajar con minutos y segundos, adicionalmente no representa mayor precisión debido a las condiciones mismas de la construcción y diseño del mismo. Al realizar el polígono con las distancias promediadas y los ángulos corregidos: se observa que se tiene un error; ya que el polígono no se cierra completamente; para lo cual se realiza la corrección grafica de la siguiente manera. Se realiza el polígono midiendo las distancias y los ángulos corregidos según la metodología anteriormente explicada.

Figura No.15.3 Polígono con ángulos corregidos

Se observa que el error tiene una magnitud y dirección determinadas, la corrección en magnitud del error en cada delta será directamente proporcional a la distancia recorrida desde el D1 hasta cada uno de dichos deltas. Todas las correcciones tendrán la misma dirección del error total.

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Figura No.15.4 Corrección del Polígono

Finalmente después de haber corregido el polígono; se dibujan los detalles, para lo cual se miden las distancias perpendiculares a este según los datos tomados en campo 15.8. Realización de un Plano por Coordenadas El objetivo principal en la mayoría de los diferentes métodos de realizar levantamientos topográficos es la obtención, Cálculo o determinación de las coordenadas de todos los puntos o detalles que hacen parte del terreno, con el objeto de poder establecer su ubicación y poder realizar la respectiva representación grafica (plano), que se elabora de la siguiente manera: • se calcula la escala : para lo cual se determina la variación en Nortes y en Estes según las

coordenadas variación en Nortes (DN) = Norte Mayor – Norte Menor; variación en Estes (DE) = Este Mayor – Este Menor

Cuadro 15.2: Coordenadas de los detalles (ejemplo para explicación)

PTO NORTE ESTE 1 567.281 283.452 2 557.224 306.975 3 548.065 288.482 4 539.196 304.461 5 528.997 290.554 6 555.154 254.604

Para el ejemplo será así: DN = 567.281 – 528.997 = 38.384 DE = 306.975 – 254.604 = 52.371

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Estas variaciones se dividen en el tamaño del papel; para un formato A1 que tiene 0.841 metros * 0.594 metros y que al restarle las márgenes y el rotulo queda de 0.801 metros * 0.524 metros; utilizando el mayor espacio para las estés ya que es mayor la variación queda: 52.371 / 0.801 = 65.382 38.384 / 0.524 = 73.251 Luego la escala más conveniente es 1:100. Que contiene a 73.251. para que el plano quede centrado se debe tener en cuenta que espacio se tiene en el papel y cual es el que se va a utilizar; por ejemplo en las Nortes tengo libre 0.524 metros y se van a utilizar 0.384 metros entonces quedarán libres 0.140 metros que se divide en dos y se tendrán en cuenta para determinar las coordenadas de cada línea de la cuadricula de 10 centímetros por 10 centímetros o de 5 centímetros por 5 centímetros ( grilla de coordenadas), y a escala se ubican cada uno de los puntos o detalles de acuerdo a sus coordenadas correspondientes. Los valores de las coordenadas de la grilla estarán cada 5 o 10 centímetros, para el ejemplo cada 10 centímetros que en escala 1: 100 son 10 metros, estos valores deberán ser números cerrados, que como ya se explicó estarán cada 10 metros entonces se tienen en cuenta los valores de coordenadas del terreno y para el ejemplo en las Norte serán 550, 560, etc.

Gráfica 15.4: Plano por Coordenadas

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� Nótese que la numeración de los detalles se encuentra en el plano, esta situación se presenta cuando el plano tiene fines académicos

� El rotulo se debe realizar con la mina mas gruesa, disminuyendo el grosor se realizará el plano del terreno y el texto; y con la mina mas delgada se realizara la cuadricula o grilla de coordenadas; con el objeto de que el plano del terreno se identifique correctamente. Se deben realizar convenciones para cada elemento que se encuentre en el plano. Se debe dibujar la dirección de la Norte.

Gráfica 15.5: Rotulación en Formato A2

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Gráfica 15.6: Rotulación en Formato A1

1) UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS FACULTAD: PEOYECTO CURRICULAR: 2) Presenta: 3) Revisa: 4) CONVENCIONES 5) ESCALA NUMÉRICA Y GRAFICA 6) TITULO: 7) Fecha / Plano 1 de 1 Por presentación se debe tener en cuenta que datos están en mayúscula y cuales en minúscula

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