Unidad II.- Planimetría

Tema:

Agrimensura

Agrimensura

Vocablos del Latín

Ager = Campo

Mensura = Medida

Definición:

Es la parte de la Topografía que se ocupa de la

medida y división de la superficies de terrenos

Agrimensura

Métodos para el Cálculo de la Superficie

Métodos Analíticos

Métodos Gráficos

Métodos Mecánicos y/o Electrónicos

Método de Coordenadas para el Cálculo de la Superficie

(Método Analítico)

EJEMPLO No. 1

Ejemplo:

Calcular el área por el método de coordenadas y

compensar por medio de la regla de la brújula, del

siguiente registro de campo del levantamiento con

teodolito de 1’ aprox. Y Cinta efectuado en el sentido de

las manecillas del reloj

EST PV DISTANCIA (MTS)

ÁNGULO INTERIOR

R M O

1 2 59.00 213° 02’ 05’’ NW 27° 48’

2 3 73.00 72° 00’ 00’’

3 4 101.00 96° 00’ 00’’

4 5 94.75 107° 30’ 00’’

5 1 85.00 51° 30’ 00’’

1er. Paso: Dibujar la figura

4

3

2

5

1 Rbo AB = NW 27°48’

Norte

N

N

N

N

2° Paso: Calcular el error angular y compensar

EST PV Distancia (Mts.)

Ángulo Interior

Ángulo Interior

Compensado

Rumbo Magnético Observado

1 2 59.00 213° 02’ 05’’ 213° 01’40’’ NW 27° 48’

2 3 73.00 72° 00’ 00’’ 71° 59’ 35’’

3 4 101.00 96° 00’ 00’’ 95° 59’ 35’’

4 5 94.75 107° 30’ 00’’ 107° 29’ 35’’

5 1 85.00 51° 30’ 00’’ 51° 29’ 35’’

Sumas: 540° 02’ 05’’ 540° 00’ 00’’

Error Angular (EA)= 540°2’5’’ – 180° (n – 2) = + 2’5’’

Tolerancia (TA) = ± a √ n = ± 1’ √ 5 = ± 2’ 14’’

Compensación = EA /n CA = - 25’’

3er. Paso: Calcular los rumbos

4

3

2

5

1 Rbo 1-2 = NW27°48’

Norte

N

N

N

N

95°59’35’’ 71°59’35’’

51°29’35’’

213° 1’ 40’’

Rbo 5-1 = NE5°13’40’’

Rbo 34 =SE 15°47’10’’

Rbo 2-3=NE80°12’25’’

Rbo 4-5 =SW56°43’15’’

Nota: Utilizando los ángulos interiores

compensados .Y se termina calculando

el valor del primer RUMBO.

4° Paso: Calcular las Proyecciones Originales

Lado Long

Mts.

Rumbo

Calculado

Seno

Rumbo

Coseno

Rumbo

Proyecciones Originales

Norte S u r Este Oeste

1-2 59.00 NW27°48’ 0.4664 0.8846 52.1914 27.5176

2-3 73.00 NE80°12’25’’

3-4 101.00 SE15°47’10’’

4-5 94.75 SW56°43’15’’

5-1 85.00 NE5°13’40’’

Formulas:

Proyecciones Originales X (E - W) = (Longitud c/lado)(Seno Rbo)

Proyección 1-2 en X = (59)(0.4664) = 27.5176 (Valor al W)

Proyecciones Originales Y (N – S) = (Long c/lado)(Coseno Rbo)

Proyección 1-2 en Y = (59)(0.8846) = 52.1914 (Valor al N)

4° Paso: Calcular las Proyecciones Originales

Lado Long

Mts.

Rumbo

Calculado

Seno

Rumbo

Coseno

Rumbo

Proyecciones Originales

Norte S u r Este Oeste

1-2 59.00 NW27°48’ 0.4664 0.8846 52.1914 27.5176

2-3 73.00 NE80°12’25’’ 0.9854 0.1701 12.4173 71.9342

3-4 101.00 SE15°47’10’’ 0.2720 0.9623 97.1923 27.4720

4-5 94.75 SW56°43’15’’ 0.8360 0.5487 51.9893 79.2110

5-1 85.00 NE5°13’40’’ 0.0911 0.9958 84.6430 7.7435

Sumas: 149.2517 149.1816 107.1497 106.7286

Recomendación:

Cancelar los espacios que no se ocuparan, tanto del E como del W, así como del

N y del S. Con el propósito de evitar algún valor en la casilla equivocada.

5° Paso: Calcular Error Lineal

Error Lineal:

Error X = ∑POE - ∑ POW = 107.1497 – 106.7286 = 0.4211 m

Error Y = ∑PON - ∑POS = = 149.2517 – 149.1816 = 0.0701 m

Error Total (ET) = √ (Ex)² + (Ey)² = √(0.4211)² + (0.0701)² = 0.4269 m

Tolerancia Lineal (TL) = 0.015√L + 0.0008L + 0.1√n-1 = 0.3047 + 0.3302 + 0.2

TL = 0.8349 m

Lado Long

Mts.

Rumbo

Calculado

Seno

Rumbo

Coseno

Rumbo

Proyecciones Originales

Norte S u r Este Oeste

1-2 59.00 NW27°48’ 0.4664 0.8846 52.1914 27.5176

2-3 73.00 NE80°12’25’’ 0.9854 0.1701 12.4173 71.9342

3-4 101.00 SE15°47’10’’ 0.2720 0.9623 97.1923 27.4720

4-5 94.75 SW56°43’15’’ 0.8360 0.5487 51.9893 79.2110

5-1 85.00 NE5°13’40’’ 0.0911 0.9958 84.6430 7.7435

L = 412.75 Sumas: 149.2517 149.1816 107.1497 106.7286

Tolerancia lineal en Poligonales

Cerradas

Terreno Tolerancia Lineal (TL)

Plano TL= 0.015√L + 0.0008L + 0.1√n-1

Quebrado TL= 0.020√L + 0.0008L + 0.1√n-1

Muy

Quebrado TL= 0.025√L + 0.0008L + 0.1√n-1

En donde:

L = Perímetro del sitio en estudio

n = Número de ángulos o lados del sitio en estudio

6° Paso: Calcular las Correcciones Lineales X y Y

(Regla de la Brújula)

Lado Long

Mts.

Correcciones

X (E – W) Y (N – S)

1-2 59.00 0.0602 0.0100

2-3 73.00 0.0745 0.0124

3-4 101.00 0.1030 0.0172

4-5 94.75 0.0967 0.0161

5-1 85.00 0.0867 0.0144

∑= 412.75 0.4211 0.0701

Compensación Lineal por Medio de la Regla de la Brújula:

• Corrección en X = (Kx) (longitud de c/lado)

Kx = (Ex/Perímetro) = 0.4211/412.75 = 0.001020230164

Corrección X (AB) = (Kx) (59) =0.060193579

• Corrección en Y = (Ky) (longitud de c/lado)

Ky = (Ey/Perímetro) = 0.0701/412.75 = 0.0001698364627

Corrección Y (AB) = (Ky) (59) = 0.010020351

6° Paso: Calcular las Correcciones Lineales

Comprobación:

Se deben sumar todos los valores obtenidos en X (E-W) y Y(N-S)

Dichas sumas deben ser igual a cada uno de los errores calculados en las

proyecciones originales. Ex = 0.4211m Ey = 0.0701m

Lado Long

Mts.

Correcciones

X (E – W) Y (N – S)

1-2 59.00 0.0602 0.0100

2-3 73.00 0.0745 0.0124

3-4 101.00 0.1030 0.0172

4-5 94.75 0.0967 0.0161

5-1 85.00 0.0867 0.0144

∑= 412.75 0.4211 0.0701

7° Paso: Calcular las Proyecciones Corregidas

Proyecciones Originales Correcciones Proyecciones Corregidas

Norte S u r E s t e Oeste X(E–W) Y(N–S) Norte S u r E s t e Oeste

52.1914 27.5176 +0.0602 27.5778

12.4173 71.9342 - 0.0745 71.8597

97.1923 27.4720 - 0.1030 27.3690

51.9893 79.2110 +0.0967 79.3077

84.6430 7.7435 - 0.0867 7.6568

107.1497 106.7286 0.4211 106.8855 106.8855

Consideraciones:

• Asignación de signos a las Correcciones:

• A las proyecciones originales mayores se deben restar las correcciones

• A las proyecciones originales menores se deben sumar las correcciones

• Condición Geométrica Lineal:

• Las sumatorias corregidas deben ser iguales para cada eje

7° Paso: Calcular las Proyecciones Corregidas

Proyecciones Originales Correcciones Proyecciones Corregidas

Norte S u r E s t e Oeste X(E–W) Y(N–S) Norte S u r E s t e Oeste

52.1914 27.5176 -0.0100 52.1814

12.4173 71.9342 -0.0124 12.4049

97.1923 27.4720 +0.0172 97.2095

51.9893 79.2110 +0.0161 52.0054

84.6430 7.7435 -0.0144 84.6286

149.2517 149.1816 0.0701 149.2149 149.2149

Consideraciones:

• Asignación de signos a las Correcciones:

• A las proyecciones originales mayores se deben restar las correcciones

• A las proyecciones originales menores se deben sumar las correcciones

• Condición Geométrica Lineal:

• Las sumatorias corregidas deben ser iguales para cada eje

8º. Paso: Calcular las coordenadas

4

3

2

5

1

Y

X

Y4

Y5

Y1

Y2

Y3

X4 X2 X5 X1 X3

8° Paso: Calcular las Coordenadas

Lado

Proyecciones Corregidas

P

U

N

T

O

S

Coordenadas

Productos Cruzados

Norte S u r E s t e O e s t e X (E-W) Y (N-S)

1-2 52.1814 27.5778 1 107.6568

2-3 12.4049 71.8597 2 80.079

3-4 97.2095 27.3690 3 151.9387

4-5 52.0054 79.3077 4 179.3077

5-1 84.6286 7.6568 5 100

∑ 1 107.6568

Instrucciones:

• Se observa la figura y se detectan que vértices se encuentran más al Sur y al Oeste

• Posteriormente se otorga a uno de estos vértices unas coordenadas arbitrarias

• Y al calcular todas se debe verificar el valor propuesto al final

8° Paso: Calcular las Coordenadas

Lado

Proyecciones Corregidas

P

U

N

T

O

S

Coordenadas

Productos Cruzados

Norte S u r E s t e O e s t e X (E-W) Y (N-S)

1-2 52.1814 27.5778 1 184.6286

2-3 12.4049 71.8597 2 236.81

3-4 97.2095 27.3690 3 249.2149

4-5 52.0054 79.3077 4 152.0054

5-1 84.6286 7.6568 5 100

∑ 1 184.6286

Instrucciones:

• Se observa la figura y se detectan que vértices se encuentran más al Sur y al Oeste

• Posteriormente se otorga a uno de estos vértices unas coordenadas arbitrarias

• Y al calcular todas se debe verificar el valor propuesto al final

8° Paso: Calcular las Coordenadas

Lado

Proyecciones Corregidas

P

U

N

T

O

S

Coordenadas

Productos Cruzados

Norte S u r E s t e O e s t e X (E-W) Y (N-S)

1-2 52.1814 27.5778 1 107.6568 184.6286

2-3 12.4049 71.8597 2 80.079 236.81

3-4 97.2095 27.3690 3 151.9387 249.2149

4-5 52.0054 79.3077 4 179.3077 152.0054

5-1 84.6286 7.6568 5 100 100

∑ 1 107.6568 184.6286

Instrucciones:

• Se observa la figura y se detectan que vértices se encuentran más al Sur y al Oeste

• Posteriormente se otorga a uno de estos vértices unas coordenadas arbitrarias

• Y al calcular todas se debe verificar el valor propuesto al final

9° Paso: Calcular los Productos Cruzados

Lado

Proyecciones Corregidas

P

U

N

T

O

S

Coordenadas

Productos Cruzados

Norte S u r E s t e O e s t e X (E-W) Y (N-S)

1-2 52.1814 27.5778 1 107.6568 184.6286 14784.8737

2-3 12.4049 71.8597 2 80.079 236.81 25494.2068 35980.6036

3-4 97.2095 27.3690 3 151.9387 249.2149 19956.88 44686.1505

4-5 52.0054 79.3077 4 179.3077 152.0054 23095.5023 15200.54

5-1 84.6286 7.6568 5 100 100 17930.77 10765.68

∑ 1 107.6568 184.6286 18462.86

Fórmula:

Área o Superficie = ∑ Productos Cruzados - ∑ Productos Cruzados

2

10° Paso: Calcular la Superficie

Lado

Proyecciones Corregidas

P

U

N

T

O

S

Coordenadas

Productos Cruzados

Norte S u r E s t e O e s t e X (E-W) Y (N-S)

1-2 52.1814 27.5778 1 107.6568 184.6286 14784.8737

2-3 12.4049 71.8597 2 80.079 236.81 25494.2068 35980.6036

3-4 97.2095 27.3690 3 151.9387 249.2149 19956.88 44686.1505

4-5 52.0054 79.3077 4 179.3077 152.0054 23095.5023 15200.54

5-1 84.6286 7.6568 5 100 100 17930.77 10765.68

1 107.6568 184.6286 18462.86

∑ 104940.2191 121417.8478

Fórmula:

Área o Superficie = ∑ Productos Cruzados - ∑ Productos Cruzados

2

Área = 121417.8478 – 104940.2191 /2 = 8, 238.8144 M²

10° Paso: Calcular la Superficie

Lado

Proyecciones Corregidas

P

U

N

T

O

S

Coordenadas

Productos Cruzados

Norte S u r E s t e O e s t e X (E-W) Y (N-S)

1-2 52.1814 27.5778 1 127.5778 47.8186 4781.86

2-3 12.4049 71.8597 2 100 100 12757.78 17185.97

3-4 97.2095 27.3690 3 171.8597 112.4049 11240.49 22394.2821

4-5 52.0054 79.3077 4 199.2287 15.1954 2611.4769 1822.2476

5-1 84.6286 7.6568 5 119.921 - 36.81 - 7333.6084 - 4696.1388

1 127.5778 47.8186 5734.4543

∑ 25010.5928 41488.2209

Fórmula:

Área o Superficie = ∑ Productos Cruzados - ∑ Productos Cruzados

2

Área = 41488.2209 – 25010.5928 /2 = 8, 238.8141 M²