0.1. prefa‚t…a -...

0.1. PREFAT¼A v

0.1. Prefat¼a

Cursul de Algebr¼a liniar¼a se adreseaz¼a cu prec¼adere (dar nu numai)studentilor Facult¼atii de Cibernetic¼a, Statistic¼a si Informatic¼a Economic¼a.

Participantii la acest curs se cer a � persoane care au absolvit liceul,au sustinut cu succes bacalaureatul si au fost declarati admisi ca studentiprintr�o form¼a de admitere (examen sau concurs). Pentru ei cursul deAlgebr¼a Liniar¼a reprezint¼a una dintre primele experiente studentesti sidin acest punct de vedere, se poate spune c¼a structura cursului este unstandard pentru ce se va întâmpla mai departe în evolutia studentului spreabsolvire si spre profesionalism.Care este bagajul initial de cunostinte necesare studentului?

Matematic¼a: Trebuie st¼apânite �perfect�toate cunostintele de liceu.preciz¼ari:

�Matematica reprezint¼a un ansamblu; descompunerea în Alge-br¼a, Analiz¼a, Geometrie este arti�cial¼a si conduce la pierderide informatie (întregul este mai mare decât suma componen-telor).

�Materia de liceu trebuie st¼apânit¼a în �cross�section�: foartedes studentii sunt pusi în situatia de a �s¼ari�de la o clas¼a deliceu la alta f¼ar¼a efort; este un slalom informational pentrucare absolventii de liceu nu sunt întotdeauna preg¼atiti.

�Programa de liceu obisnuieste s¼a �ignore �aspectele teoreticeale materiei discutate; o conditie necesar¼a pentru începutulcursului este st¼apânirea materiei de liceu la nivel de teorie(de�nitii, enunturi si demonstratii).

�Printre �zonele�care în general nu sunt st¼apânite si la carestudentii au probleme se num¼ar¼a: Logica, Teoria Multimilor,Functii, Multimile de numere (caracteristicile si structuralor), Trigonometria, Aplicatii si interpret¼ari ale notiunilormatematice abstracte în alte domenii (Economie, Stiinte So-ciale, Fizic¼a, etc).

�Geometria si Geometria Analitic¼a trebuie st¼apânite f¼ar¼a pro-bleme; pentru foarte multe notiuni abstracte, Geometria re-prezint¼a �vizualizare�.

�Absolventii de liceu au o foarte mare problem¼a cu citirea unortexte de matematic¼a (se constat¼a c¼a uneori, desi au absolvit

vi CUPRINS

liceul, nu si�au citit manualele de Matematic¼a din Liceu, cinumai au f¼acut exercitii pe modele date la clas¼a)

�Psihologic vorbind, asimilarea informatiei matematice estefoarte mult îmbun¼at¼atit¼a de dou¼a aspecte: vizualizarea in-formatiei si conectarea informatiei vizualizate cu informatii�vecine� din alte domenii (prin interpret¼ari ale notiunilormatematice abstracte) si din viata de zi cu zi; de obicei,pentru ca acest sistem s¼a functioneze este nevoie de o atitu-dine speci�c¼a si de un antrenament de durat¼a.

Informatic¼a: Nivelul minim este de utilizare a unui sistem de operare si a unorprograme aplicative în cadrul acestui sistem de operare.

preciz¼ari:�Cei mai multi dintre proaspetii studenti lucrez¼a pe computerde câtiva ani si au studiat în Liceu Informatic¼a.

�Pentru nivelul minim nu este necesar¼a st¼apânirea altor siste-me de operare în afara celor de la Microsoft (e.g. Windows 98,Windows 2000, Windows XP). Le�ar �de folos dac¼a ar aveam¼acar notiuni despre alte sisteme de operare (în special celeOpen Source, Linux: RedHat, Mandrake, Debian, Slackware,Suse, etc).

�Utilizarea liniei de comand¼a este foarte util¼a si, din p¼acate,aproape necunoscut¼a (de fapt st¼apânirea liniei de comand¼asi a script�urilor este un tip special de cultur¼a informatic¼a)

�Studiul m¼acar al unui limbaj de programare este necesar; dinp¼acate, absolventii de liceu st¼apânesc acest nivel dar nu auce programa (cunosc cuvintele si topica frazei, dar nu preaau ce spune...)

�St¼apânirea si a altor programe aplicative în afar¼a deMicrosoftO¢ ce. De exemplu tehnoredactarea profesional¼a de textematematice se face folosind sisteme care au la baz¼a un limbajde programare numit LaTeX.

�Lucrul pe computer în Limba Român¼a (cu caractere româ-nesti) este o necesitate care de obicei este ignorat¼a.

�Matematica de liceu poate � îmbog¼atit¼a prin utilizarea pro-gramelor (produselor software) de tip CAS (Computer Alge-bra Systems) dintre care mention¼am: Scienti�c WorkPlace,Mathematica, Mupad, Maple, MatLab, MathCad, Octave,Maxima, SciFace, etc. Din p¼acate acest lucru nu se întâmpl¼a.

0.1. PREFAT¼A vii

�Este total ignorat¼a problema licentelor software si a notiuniide copyright. A fura sau nu este o problem¼a personal¼a demoral¼a care nu va �rezolvat¼a la cursul de Algebr¼a Liniar¼a darni se pare total nociv si periculos s¼a nu stii c¼a furi si c¼a poti� penalizat pentru asta... cu certitudine nu este atitudineprofesional¼a. Un sfat: este bine s¼a se citeasc¼a pentru �ecareprodus software m¼acar EULA (End User Licence Agreement).

Limbi str¼aine: Este necesar¼a st¼apânirea m¼acar a unei limbi de circulatie inter-national¼a (alta decât Limba Român¼a :-))

preciz¼ari:�Cei mai multi absolventi de liceu st¼apânesc Limba Englez¼a;unii se descurc¼a în Limba Francez¼a, Limba Spaniol¼a, LimbaItalian¼a, Limba German¼a, Limba Rus¼a, etc.

�Aproape nimeni nu a lucrat în aceste limbi altceva decâtstudiul limbii; studenti care st¼apânesc bine si foarte bine olimb¼a au di�cult¼ati la citirea unor texte profesionale în acealimb¼a (texte referitoare la Economie, Informatic¼a, Matema-tic¼a, etc)

Evident, preciz¼arile de mai sus se refer¼a la constat¼ari f¼acute în activi-tatea cu studentii (15 generatii de studenti) cu precizarea c¼a observatiilese refer¼a numai la studentii din cadrul Academiei de Studii Economice.Cursul se ocup¼a în special de rezultatele care au loc în cadrul structurii

abstracte numit¼a �spatiu vectorial�, mai precis cele de dimensiune �nit¼a.Se prezint¼a de�nitiile si notiunile introductive dup¼a care se trece la demon-str¼ari de rezultate. Se discut¼a problema reprezent¼arii obiectelor abstracteîn spatii vectoriale, tehnici de calcul si proceduri pentru a�area acestor re-prezent¼ari iar cursul se încheie cu forme canonice. Se prezint¼a introducereastructurilor de natur¼a geometric¼a (spatii euclidiene, proiectii, etc) în cadrulstructurilor abstracte si se preg¼ateste introducerea structurilor de natur¼atopologic¼a (analiz¼a) peste structura de tip algebric�geometric.Textul de fat¼a este conceput pentru a � un material ce completeaz¼a

notele de curs si un punct de plecare pentru preg¼atirea seminarului. Textulde fat¼a nu este conceput pentru a � �user�friendly�(prietenos din punctde vedere al prezent¼arii) ci pentru a � un ajutor în procesul de predare.R¼amâne la latitudinea �ec¼arui titular de curs s¼a decid¼a cât si cum folosesteacest text. De altfel, o întrebare care merit¼a totdeauna pus¼a este: �Pentrucine a fost scris acest text?�. R¼aspunsul autorilor la aceast¼a întrebareeste: �Pentru noi.�Textul de fat¼a nu contine si nu face apel la notiunile

viii CUPRINS

de informatic¼a invocate mai sus, cunostinte necesare preg¼atirii referatelorsi proiectelor.

Algebra Liniar¼a este un subiect clasic. Asta înseamn¼a c¼a cele maimulte cursuri dintre cele ce vor urma în viata de student fac (sau artrebui s¼a fac¼a) apel la Algebra Liniar¼a. Printre acestea se num¼ar¼a: Analiz¼aMatematic¼a, Matematici Generale, Matematici Financiare, Teoria Proba-bilit¼atilor, Statistica, Matematici Actuariale, Procese Stochastice, TeoriaRiscului, Economie, Microeconomie, Macroeconomie, Econometrie, Socio-metrie, Teoria Deciziilor, Analiz¼a Numeric¼a, Analiza Datelor, Criptogra�e,Baze de Date etc. La cererea studentilor pot � oferite informatii despreinterpretarea notiunilor abstracte de Algebr¼a Liniar¼a în �ecare dintreaceste contexte, dar deocamdat¼a s�a decis s¼a nu se încarce textul si cuaceste informatii.

CAPITOLUL 1

Spatii vectoriale

1.1. Introducere

1.1.1. De�nitie. (De�nitia spatiului vectorial) Se dau:

� multimile:�V 6= ; (elementele multimii V se numesc vectori (puncte));�K 6= ; (elementele multimii K se numesc scalari (numere));

� functiile:�+K (�; �) : K � K ! K (functia este o operatie pe multimeaK numit¼a adunarea scalarilor si va � notat¼a �+�;),

� �K (�; �) : K�K! K (functia este o operatie pe multimea Knumit¼a înmultirea scalarilor si va � notat¼a ��),

�+V (�; �) : V�V! V (functia este o operatie pe multimea Vnumit¼a adunarea vectorilor si va � notat¼a �+�;)

� � (�; �) : K � V ! V (functia este o operatie extern¼a pemultimea V numit¼a înmultirea vectorilor cu scalari si va �notat¼a ��(pentru �ecare � 2 K �xat, operatia partial¼a V 3x 7! � � x 2 V poate � numit¼a omotetie de parametru �).)

Perechea (V;K) (împreun¼a cu operatiile descrise mai sus) se numestespatiu vectorial dac¼a sunt îndeplinite urm¼atoarele conditii:

(1) (K;+K; �K) este corp comutativ;(2) (V;+V) este grup abelian;(3) 8a; b 2 K; 8x; y 2 V, au loc:

(a) (a+K b) � x = a � x +V b � x (distributivitatea la dreapta aoperatiei ��fat¼a de operatia �+K�);

(b) a � (x+V y) = a � x +V a � y (distributivitatea la stânga aoperatiei ��fat¼a de operatia �+K�);

(c) a � (b � x) = (a �K b) � x;(d) 1K � x = x. �

1

2 1. SPATII VECTORIALE

1.1.2. Observatie.

� Distinctia între diferitele operatii notate la fel se va facedin context;� Elementul 0V este elementul neutru la adunarea vectorilor si va� notat în continuare cu 0;� Elementul 0K este elementul neutru la adunarea scalarilor si va� notat în continuare cu 0;� Elementul 1K este elementul neutru la înmultirea scalarilor si va� notat în continuare cu 1;� Distinctia între diferitele elemente notate la fel se va facedin context.� Se folosesc notiuni (presupuse) cunoscute din liceu: multimile denumere (N, Z, Q, R, C) si propriet¼atile lor, notiunile Algebreide clasa a XII�a cum ar � parte stabil¼a, operatie, monoid, grup,grup abelian, inel, inel comutativ, corp, corp comutativ, elementneutru pentru �ecare structur¼a algebric¼a, elemente simetrizabile,simetricul unui element (fat¼a de o operatie sau alta, atunci cândeste cazul), propriet¼ati ale lor: unicitatea elementului neutru, u-nicitatea elementului simetric, etc.� Conventii de notatie: vectorii vor �notati cu litere latine mici (a,b, c, u, v, w, x, y, z, etc), scalarii cu litere grecesti mici (�, �, , �,etc), multimile cu litere latine mari �dublate�(A, B, C, D, K, L,M, N, R, X, V, etc) la care se vor ad¼auga eventual indici (�0, V1,etc) si/sau supraindici (U1, x3, y(2)4 , etc) în functie de context. �

1.1.3. Exercitiu. S¼a se arate c¼a într�un monoid (cu element neutru)elementul neutru este unic.

1.1.4. Exercitiu. S¼a se arate c¼a într�un grup elementul simetric alunui element este unic.

1.1.5. Exemplu. Se consider¼a multimea

Rn = f

0@ x1...xn

1A ; xi 2 R; i = 1; ng:

1.1. INTRODUCERE 3

Rn este spatiu vectorial real în raport cu operatiile:

0@ x1...xn

1A+0@ y1

...yn

1A Def=

0@ x1 + y1...

xn + yn

1A ;8

0@ x1...xn

1A ;

0@ y1...yn

1A 2 Rn

(semnul + din stânga se refer¼a la adunarea elementelor din Rn iar semnele+ din dreapta se refer¼a la adunarea elementelor din R, deci se folosesteacelasi semn pentru dou¼a operatii distincte; pe parcursul textului, distinc-tia trebuie f¼acut¼a din context) si

� �

0@ x1...xn

1A Def=

0@ � � x1...

� � xn

1A ;8� 2 R:

(R;+; �) este corp comutativ (se stie din liceu); (Rn;+) este grup abelian(adunarea pe componente este asociativ¼a, comutativ¼a, admite elementneutru si orice element este simetrizabil, datorit¼a propriet¼atilor adun¼arii

pe R), elementul neutru este 0Rn =

0@ 0...0

1A iar simetricul lui

0@ x1...xn

1A este

0@ �x1...�xn

1A. Au loc propriet¼atile de distributivitate:

(�+ �) �

0@ x1...xn

1A =

0@ (�+ �) � x1...

(�+ �) � xn

1A =

0@ � � x1 + � � x1...

� � xn + � � xn

1A =

=

0@ � � x1...

� � xn

1A+0@ � � x1

...� � xn

1A = �

0@ x1...xn

1A+ �

0@ x1...xn

1A ;


� � (

0@ x1...xn

1A+0@ y1

...yn

1A) = � �

0@ x1 + y1...

xn + yn

1A =

0@ � � (x1 + y1)...

� � (xn + yn)

1A =

=

0@ � � x1 + � � y1...

� � xn + � � yn

1A =

0@ � � x1...

� � xn

1A+0@ � � y1

...� � yn

1A =

= � �

0@ x1...xn

1A+ � �

0@ y1...yn

1A ;

(� � �) �

0@ x1...xn

1A =

0@ (� � �) � x1...

(� � �) � xn

1A =

0@ � � (� � x1)...

� � (� � xn)

1A =

= � �

0@ � � x1...

� � xn

1A = � � (� �

0@ x1...xn

1A): �1.1.6. De�nitie. (De�nitia subspatiului) Fie (V;K) spatiu vectorial si

S � V; S se numeste subspatiu vectorial al lui (V;K) dac¼a:(1) 8x; y 2 S; x+ y 2 S;(2) 8� 2 K;8x 2 S; �x 2 S: �

1.1.7. Exemplu. Multimea

S =

8<:0@ x1

x2x3

1A 2 R3;x2 = 09=;

este subspatiu vectorial al spatiului vectorial (R3;R).

Fie x; y 2 S ) x =

0@ x10x3

1A si y =

0@ y10y3

1A; au loc:

x+ y =

0@ x10x3

1A+0@ y10y3

1A =

0@ x1 + y10

x3 + y3

1A 2 S;

1.1. INTRODUCERE 5

iar pentru � 2 R, �x = �

0@ x10x3

1A =

0@ �x10�x3

1A 2 S. Din de�ntia subspa-tiului rezult¼a c¼a multimea S este subspatiu al spatiului vectorial (R3;R).�

1.1.8.De�nitie. (De�nitia operatorului liniar) Dac¼a (V1;K) si (V2;K)sunt spatii vectoriale (peste acelasi corp de scalari), o functie U (�) : V1 !V2 se numeste mor�sm de spatii vectoriale (aplicatie liniar¼a, operatorliniar , etc) dac¼a:

(1) U (x+ y) = U (x) + U (y) ; 8x; y 2 V1 ( U (�) este mor�sm degrupuri (este aditiv));

(2) U (�x) = �U (x) ; 8x 2 V1; 8� 2 K (U (�) este omogen).

Se noteaz¼a cu LK (V1;V2) multimea tuturor mor�smelor dintre (V1;K)si (V2;K). �

1.1.9. Exemplu. Fie spatiile vectoriale (R3;R) si (P2 [X] ;R) (Pn [X]este multimea tuturor polinoamelor de grad cel mult n, în nedeterminataX si cu coe�cienti reali). Functia U (�) : P2 [X]! R3 de�nit¼a prin U (P (�))= xP (�) 2 R3 (pentru un polinom P (X) = aX2 + bX + c 2 P2 [X] se

ataseaz¼a vectorul xP (�) =

0@ abc

1A) este mor�sm de spatii vectoriale.

Operatiile în (P2 [X] ;R) sunt (de�nitiile sunt cunoscute din liceu):

P (�) +Q (�) Def= (P +Q) (�) ; unde: (P +Q) (X) = P (X) +Q (X) ;

� � P (�) Def= ((� � P ) (�)) ; unde: (� � P ) (X) = � � P (X) :

P (X) = aX2 + bX + c 2 P2 [X]) U (P (�)) =

0@ abc

1A 2 R3;Q (X) = a1X

2 + b1X + c1 2 P2 [X]) U (Q (�)) =

0@ a1b1c1

1A 2 R3:


(P +Q) (�) este de�nit de:(P +Q) (X) = (a+ a1)X

2 + (b+ b1)X + (c+ c1) 2 P2 [X])

) U ((P +Q) (�)) =

0@ a+ a1b+ b1c+ c1

1A =

0@ abc

1A+0@ a1

b1c1

1A= U (P (�)) + U (Q (�))

(�P ) (�) este de�nit de:(�P ) (X) = �aX2 + �bX + �c)

) U ((�P ) (�)) =

0@ �a�b�c

1A = �

0@ abc

1A = �U (P (�)) : �

1.1.10. De�nitie. (Spatii izomorfe) Spatiile vectoriale între care exist¼aun mor�sm bijectiv (izomor�sm) se numesc izomorfe. Se va nota (V1;K) �=(V2;K). �1.1.11. Exercitiu. S¼a se arate c¼a mor�smul din exemplul anterior este

functie bijectiv¼a.

1.1.12.De�nitie. (Functional¼a liniar¼a) Se numeste functional¼a liniar¼ape (V;K) orice operator liniar între (V;K) si (K;K) (orice element almultimii LK (V;K)). Multimea tuturor functionalelor liniare pe (V;K) senoteaz¼a cu V0(= LK (V;K)) si se numeste dualul algebric al lui (V;K). �1.1.13. Exercitiu. S¼a se arate c¼a U (�) : P2 [X] ! R, de�nit prin

U (P (�)) = P (1) este o functional¼a liniar¼a.

1.1.14. De�nitie. (Combinatie liniar¼a) Pentru n 2 N, i = 1; n; xi 2V si �i 2 K, elementul x =

nPi=1

�ixi se numeste combinatie liniar¼a a

elementelor xi cu scalarii �i. (scalarii care particip¼a la sum¼a se mai numescponderi iar combinatia liniar¼a se mai numeste sum¼a ponderat¼a). �

1.1.15. Exemplu. 2

0@ 100

1A+30@ 010

1A este o combinatie liniar¼a în R3;

valoarea ei este

0@ 230

1A.

1.1. INTRODUCERE 7

1.1.16. De�nitie. (Acoperirea liniar¼a) Dac¼a A � V este o multimeoarecare de vectori, multimea

spanK (A)Def=

(nXi=1

�ixi; n 2 N; �i 2 K; xi 2 A; i = 1; n)

este multimea tuturor combinatiilor liniare cu elemente din A. �1.1.17. Exemplu. În spatiul vectorial (P2 [X] ;R), pentru A = f1; Xg,

spanRA = fa � 1 + b �X; a; b 2 Rg este multimea tuturor combinatiilor li-niare cu polinoamele 1 si X si este multimea tuturor polinoamelor de gradcel mult 1 în X (inclusiv constantele, privite ca polinoame).

1.1.18. Observatie. spanK (A) se modi�c¼a la modi�carea corpului descalari: R3 este spatiu vectorial atât peste corpul R cât si peste corpulQ, dar structura lor de spatii vectoriale este diferit¼a: aceeasi multime devectori genereaz¼a alte multimi de combinatii liniare24 p31

0

35 2 spanR0@8<:

24 100

35 ;24 010

359=;1A24 p31

0

35 =2 spanQ

0@8<:24 100

35 ;24 010

359=;1A

1.1.19. De�nitie. (Dependent¼a si independent¼a liniar¼a) Multimea devectori

�xi; i = 1; n

se numeste liniar dependent¼a dac¼a cel putin unul

dintre vectori se poate scrie ca o combinatie liniar¼a a celorlalti vectori.Dac¼a nici unul nu poate � scris ca o combinatie liniar¼a a celorlalti vectori,atunci multimea de vectori se numeste liniar independent¼a. �

1.1.20. Exemplu. Multimea de vectori din R48>><>>:0BB@1221

1CCA ;

0BB@13�40

1CCA ;

0BB@25�21

1CCA9>>=>>;

este liniar dependent¼a pentru c¼a0BB@1221

1CCA+0BB@

13�40

1CCA =

0BB@25�21

1CCA :


Multimea de vectori din R48>><>>:0BB@1221

1CCA ;

0BB@13�40

1CCA ;

0BB@35�21

1CCA9>>=>>;

este liniar independent¼a pentru c¼a (de exemplu) rangul matricii care aredrept coloane vectorii multimii este egal cu num¼arul vectorilor (justi�carea

rationamentului va �dat¼a în continuare) (rangul matricii

0BB@1 1 32 3 52 �4 �21 0 1

1CCAeste 3). �1.1.21. Observatie. (De�nitii echivalente ale independentei li-

niare) Familia (xi)i�=1;n este liniar independent¼a dac¼a si numai dac¼a areloc una dintre a�rmatiile:

(1) 8�i 2 K; i = 1; n;nPi=1

�ixi = 0 ) �1 = � � � = �n = 0 (unic).

(relatianPi=1

�ixi = 0 are loc numai pentru scalari nuli);

(2) 8�i 2 K; i = 1; n; (9i 2 f1; � � � ; ng ; �i 6= 0) )nPi=1

�ixi 6= 0.

(dac¼a m¼acar un scalar este nenul, atunci combinatia liniar¼a estenenul¼a) �

Demonstratie. Cele dou¼a a�rmatii se obtin una din cealalt¼a dinrelatia logic¼a (p! q) � (eq !ep) (se recomand¼a recapitularea capitoluluide Logic¼a) ; echivalenta cu de�nitia are loc pentru c¼a, dac¼a m¼acar unvector este combinatie liniar¼a de ceilalti vectori, atunci exist¼a scalarii

�i 2 K; i = 1; n; nu toti nuli, astfel încâtnPi=1

�ixi = 0. �

1.1.22. Algoritm. (Studiul dependentei liniare a unei familii de vec-tori) Fie o multime de vectori

�xi; i = 1; n

în spatiul vectorial (V;K).

Pasul 1. Se consider¼a relatia:nXi=1

�ixi = 0;

care este privit¼a ca o ecuatie vectorial¼a în necunoscutele �1,� � � ,�n.

1.1. INTRODUCERE 9

Pasul 2. Se rezolv¼a ecuatia de la Pasul 1, în sensul c¼a se a�¼a toate solutiileecuatiei (de fapt, pentru stabilirea naturii familiei de vectori estesu�cient s¼a se r¼aspund¼a la întrebarea: �Exist¼a si alte solutii înafar¼a de solutia identic nul¼a (�i = 0, i = 1; n)?�. De obicei acestpas înseamn¼a rezolvarea (eventual cu discutie dup¼a parametrii,dac¼a familia de vectori depinde de parametri) unui sistem liniarde ecuatii folosind tehnicile de liceu sau Metoda pivotului.

Pasul 3. În functie de rezultatele obtinute la Pasul 2, se �nalizeaz¼a studiulcu concluzia adecvat¼a:� dac¼a solutia nul¼a este unic¼a, multimea este liniar independent¼a� dac¼a solutia nul¼a nu este unic¼a, multimea este liniar dependent¼asi eventual se scoate în evident¼a si o dependent¼a (se înlocuieste osolutie nenul¼a în ecuatia de la Pasul 1).

(solutia nul¼a veri�c¼a întotdeauna sistemul de pasul 1; în situ-atia de independent¼a liniar¼a, esential este s¼a se justi�ce faptul c¼anu exist¼a alte solutii) �

1.1.23. Exemplu. S¼a se studieze natura multimii de vectori:

v1 (m) =

0@m11

1A ; v2 (m) =

0@ 1m1

1A ; v3 (m) =

0@ 11m

1A ;m 2 R

în spatiul (R3;R).Se consider¼a ecuatia (vectorial¼a)

�1v1 (m) + �2v2 (m) + �3v3 (m) = 0;

cu necunoscutele �1, �2, �3 care prin înlocuire devine:

�1

0@m11

1A+ �2

0@ 1m1

1A+ �3

0@ 11m

1A =

0@ 000

1A ;

adic¼a 0@�2 + �3 +m�1�1 +m�2 + �3�1 + �2 +m�3

1A =

0@ 000

1A :

Se obtine sistemul algebric liniar omogen:


8<: m�1 + �2 + �3 = 0�1 +m�2 + �3 = 0�1 + �2 +m�3 = 0

a c¼arui multime de solutii este dependent¼a de parametrul m si este:

S (m) =

8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:

8<:0@ 000

1A9=; ; m 2 Rn f�2; 1g8<:0@ �a� ba

b

1A ; a; b 2 R9=; ; m = 18<:

0@ aaa

1A ; a 2 R9=; ; m = �2

În concluzie:

� pentru m 2 Rn f�2; 1g multimea de vectori este liniar indepen-dent¼a.� pentru m = �2 multimea de vectori este liniar dependent¼a iar odependent¼a liniar¼a este v1 (�2) + v2 (�2) + v3 (�2) = 0.� pentru m = 1 multimea de vectori este liniar dependent¼a iar odependent¼a liniar¼a este �2v1 (1) + v2 (1) + v3 (1) = 0.

Se observ¼a c¼a se obtin informatii de dou¼a tipuri:

� de tip calitativ (despre natura multimii de vectori)� de tip cantitativ (în cazul dependentei liniare se obtine o relatiede dependent¼a între vectori). �

1.1.24. De�nitie. (Sistem de generatori) Fiind dat¼a multimea X �V, se spune c¼a multimea de vectori

�xi; i = 1; n

genereaz¼a multimea X

dac¼a X � span�(xi)i=1;n

�. Multimea de vectori

�xi; i = 1; n

se mai

numeste sistem de generatori pentru multimea X. Dac¼a multimea X nueste speci�cat¼a, se subîntelege c¼a X = V. �

1.1.25. Exemplu. În spatiul vectorial (P2 [X] ;R), pentru A = f1; Xg,spanRA = fa � 1 + b �X; a; b 2 Rg este multimea tuturor combinatiilor li-niare cu polinoamele 1 si X si deci A genereaz¼a multimea tuturor polinoa-melor de grad cel mult 1 în X.

1.2. PROPRIET¼ATI 11

1.2. Propriet¼ati

1.2.1. Propozitie. (Reguli de calcul într-un spatiu vectorial)(1) 8�; � 2 K; 8x; y 2 V, au loc relatiile:

� � (x� y) = � � x� � � y, (�� ) � x = � � x� � � x;(2) 8� 2 K; � � 0V = 0V;(3) 8x 2 V; 0K � x = 0V;(4) 8x 2 V; (�1K) � x = �x;(5) � � x = 0V ) � = 0K sau x = 0V.

Demonstratie. Fie �; � 2 K; x; y 2 V alesi arbitrar;(1) ��x = ��((x� y) + y) = ��(x� y)+��y) ��(x� y) = ��x��y;

�x = ((�� ) + �)x = (�� )x+ �x ) �x� �x = (�� )x;(2) � � 0V = � � (x� x) = � � x� � � x = 0V:(3) 0K � x = (�� ) � x = � � x� � � x = 0V:(4) 0V = 0K � x = (1K � 1K) � x = (1K + (�1K)) � x = 1K � x+(�1K) � x) � (1K � x) = (�1K) � x:

(5) � � x = 0V si � 6= 0 ) 9��1 2 K si ��1�x = ��10V ) x = 0:

�1.2.2. Propozitie. (Propriet¼ati ale operatorilor liniari) Fie U (�) :

V1 ! V2 Atunci au loc:(1) U (�) liniar, 8�; � 2 K, 8x1; x2 2 V1, U (�x1 + �x2) = �U (x1)+

�U (x2)(2) U (�) liniar )

(a) U (0V1) = 0V2;(b) 8 subspatiuV01 � V1, U (V01) = fU (v) ; v 2 V01g este subspatiu

în V2;(c) 8 subspatiu V02 � V2, U�1 (V02) = fv 2 V1; U (v) 2 V02g este

subspatiu în V1.

Demonstratie. Fie U (�) : V1 ! V2(1) evident.(2) Dac¼a U (�) este liniar, atunci:

(a) U (0V1) = U (x� x) = U (x)� U (x) = 0V2(b) Fie �; � 2 K, y1; y2 2 U (V01) ) 9x1; x2 2 V01 astfel încât

U (xi) = yi;V01 subspatiu) �x1 + �x2 2 V01

U (�) operator liniar

�)

) U (�x1 + �x2) = �U (x1)+�U (x2) = �y1+�y2 2 U (V 01) :


(c) Fie �; � 2 K, x1; x2 2 U�1 (V02) ) U (x1), U (x2) 2 V02 )U (�x1 + �x2) = �U (x1) + �U (x2) 2 V02 ) �x1 + �x2 2U�1 (V02).

�

1.2.3. De�nitie. Subspatiul U (V1) (al codomeniului) se numeste i-maginea operatorului si se noteaz¼a ImU (�); subspatiul U�1 (f0g) (al do-meniului) se numeste nucleul operatorului si se noteaz¼a kerU (�).

Urm¼atoarele dou¼a propozitii arat¼a c¼a inversarea si compunerea func-tiilor p¼astreaz¼a calitatea de mor�sm de spatii vectoriale.

1.2.4. Propozitie. Fie (V1;K), (V2;K) dou¼a spatii vectoriale pesteacelasi corp si �e U (�) : V1 ! V2 mor�sm bijectiv. Atunci U�1 (�) :V2 ! V1 este mor�sm bijectiv (inversa unui mor�sm inversabil estemor�sm)(inversa unui operator liniar inversabil este operator liniar).

Demonstratie. Se stie c¼a au loc

U (u+ v) = U (u) + U (v) ; U (�u) = �U (u) :

Fie x; y 2 V2 ) pentru U�1 (x) = u; U�1 (y) = v; are loc U (u) =x, U (v) = y si U (u+ v) = U (u) + U (v) ) U (u+ v) = x + y )U�1 (x+ y) = u + v ) U�1 (x+ y) = U�1 (x) + U�1 (y) deci operatorulinvers este aditiv. Fie � 2 K, x 2 V2, U�1 (x) = v ) U (v) = x siare loc U (�v) = �U (v) ) U (�v) = �x ) �v = U�1 (�x) )�U�1 (x) = U�1 (�x). �

1.2.5. Propozitie. Fie U1 (�) : V1 ! V2, U2 (�) : V2 ! V3 mor�smepeste spatii vectoriale cu acelasi corp K de scalari. Atunci U (�) : V1 ! V3de�nit prin U (v) = U2 (U1 (v)), 8v 2 V1 este mor�sm de spatii vectoriale(calitatea de mor�sm se p¼astreaz¼a prin operatia de compunere).

Demonstratie. Fie v1; v2 2 V1; are loc U (v1 + v2) = U2 (U1 (v1 + v2))aditivitatea=

lui U1(:)U2 (U1 (v1) + U1 (v2))

aditivitatea=

lui U2(:)U2 (U1 (v1)) + U2 (U1 (v2))

= U (v1) + U (v2). Omogenitatea se demonstreaz¼a analog. �

1.2.6.Observatie. Relatia ��= �( De�nitia (1.1.10)) este o relatie de e-chivalent¼a între spatii vectoriale peste acelasi corp (este re�exiv¼a, simetric¼asi tranzitiv¼a) (aceast¼a relatie este de�nit¼a pe o multime de spatii vectorialesi cu ajutorul ei se pot stabili clase de echivalent¼a).

1.2. PROPRIET¼ATI 13

Demonstratie. Re�exivitatea rezult¼a din faptul c¼a operatorul iden-titate U (�) : V1 ! V1, U (v) = v este liniar si bijectiv, deci V1 �= V1.Simetria rezult¼a din Propozitia (1.2.4), pentru c¼a dac¼a V1 �= V2, atunci9 U (�) : V1 ! V2 mor�sm bijectiv ) U�1 (�) : V2 ! V1 mor�sm bijectiv) V2 �= V1. Tranzitivitatea rezult¼a din Propozitia (1.2.5) pentru c¼a, dac¼aV1 �= V2 si V2 �= V3 atunci exist¼a izomor�smele U (�) : V1 ! V2 siV (�) : V2 ! V3 iar noua functia (V � U) (�) : V1 ! V3 p¼astreaz¼a princompunere si proprietatea de liniaritate si pe cea de bijectivitate, deciV1 �= V3. �

1.2.7. Observatie. Multimea LK (V1;V2) admite împreun¼a cu opera-tiile obisnuite între functii

(U1 (�) + U2 (�)) (x)Def= U1 (x) + U2 (x) ;

(�U1 (�)) (x)Def= �U1 (x) ;

o structur¼a de spatiu vectorial peste corpul K (Deci în particular si dualulalgebric (1.1.12) este spatiu vectorial peste corpul K).

Demonstratie. (LK (V1;V2) ;+) este evident grup (din propriet¼atileadun¼arii pe V2) si are ca element neutru operatorul identic nul O (�) :V1 ! V2, O (v) � 0. Celelalte axiome sunt satisf¼acute evident. �

1.2.8. Observatie. span�(xi)i=1;n

�este subspatiu liniar.

Demonstratie. Fie v1; v2 2 span�(xi)i=1;n

�si � 2 K ) 9�1i ; �2i 2

K, i = 1; n, astfel încât vj =nPi=1

�jixi; j = 1; 2; atunci v1 + v2 =

nPi=1

(�1i + �2i )xi 2 span�(xi)i=1;n

�iar ��v1 =

nPi=1

(��1i )xi 2 span�(xi)i=1;n

��

1.2.9. Observatie. Fie V0 un subspatiu vectorial al spatiului (V;K).Atunci,

8n 2 N; 8xi 2 V0; 8�i 2 K; i = 1; n;nXi=1

�ixi 2 V0:

(orice subspatiu contine toate combinatiile liniare ale elementelor lui)


Demonstratie. Prin inductie dup¼a n 2 N: pentru n = 1, din axioma2 a subspatiului vectorial rezult¼a c¼a pentru orice x1 2 V0 si pentru oricescalar �1 2 K, are loc �1x1 2 V0. S¼a presupunem c¼a proprietatea are locpentru n 2 N si �e n + 1 vectori si scalari alesi arbitrar xi 2 V0, �i 2K; i = 1; n+ 1. Atunci are loc:

n+1Pi=1

�ixi =nPi=1

�ixi + �n+1xn+1

n+1Pi=1

�ixi 2 V0 (proprietatea pentru n)

�n+1xn+1 2 V0 (proprietatea pentru n = 1)

9>>>>=>>>>;)n+1Xi=1

�ixi 2 V0:

�

1.2.10. Observatie. span�(xi)i=1;n

�=

TV0 subspatiuV0�(xi)i=1;n

V0 (este cel mai mic

subspatiu liniar care contine familia (xi)i=1;n).

Demonstratie. span�(xi)i=1;n

��


V0 pentru c¼a orice sub-

spatiu care contine familia (xi)i=1;n contine si toate combinatiile liniare aleacestei familii (Propozitia (1.2.9)); incluziunea invers¼a rezult¼a din Propozitia

(1.2.8): span�(xi)i=1;n

�este subspatiu vectorial si cum contine familia

(xi)i=1;n urmeaz¼a c¼a face parte dintre subspatiile care particip¼a la intersectie,

asa c¼a are loc span�(xi)i=1;n

��


V0 pentru c¼a intersectia este

inclus¼a în orice multime care particip¼a la intersectie. �

1.3. Exemple de spatii vectoriale

1.3.1. Exemplu. Spatiul Kn de siruri ordonate de n elemente din

corpul K. Vectorii sunt elemente de forma

24 x1...xn

35, adunarea si înmultireacu un scalar se face pe componente. Exemple importante sunt pentruK = R, K = C si pentru K = Q.

1.3. EXEMPLE DE SPATII VECTORIALE 15

1.3.2. Exemplu. Spatiul vectorial al matricilor dem linii si n coloane,cu coe�cienti peste un corp �xat. Spatiul este Mm�n (K), vectorii suntmatrice, adunarea vectorilor este adunarea matricilor, înmultirea unuivector cu un scalar este înmultirea matricilor cu un scalar.

1.3.3. Exemplu. Spatiul vectorial al sirurilor oarecare de numere reale.Spatiul este notat RN, un vector este un sir de numere reale înteles casuccesiunea ordonat¼a si in�nit¼a a elementelor sirului. Adunarea vectoriloreste adunarea termen cu termen a sirurilor

(an)n2N + (bn)n2N = (an + bn)n2N

(este un nou sir al c¼arui termen general se obtine prin adunarea termenilorgenerali ai celor dou¼a siruri date) iar înmultirea unui vector cu un scalareste înmultirea sirului cu un scalar

� (an)n2N = (�an)n2N :

1.3.4. Exemplu. Spatiul vectorial al sirurilor Cauchy de numere ratio-nale (un sir (an)n2N � Q este Cauchy dac¼a 8" > 0, 9n" 2 N, 8n;m � n",jan � amj < "), cu operatiile de�nite ca la exemplul anterior.

1.3.5. Exemplu. Spatiul polinoamelor în nedeterminata t cu coe�cientireali, notat R [t]. Dac¼a p(t) = a0+a1t+� � �+antn si q(t) = b0+b1t+� � �+bntnsunt dou¼a polinoame din R [t], de�nitiile

p(t) + q(t) = (a0 + b0) + (a1 + b1)t+ � � �+ (an + bn)tn

�p(t) = �a0 + �a1t+ � � �+ �antn

0 = 0

dau o structur¼a de spatiu vectorial.

1.3.6. Exemplu. Spatiul vectorial al polinoamelor în nedeterminatat, cu coe�cienti reali, de grad cel mult n, notat Rn [t].

1.3.7. Exemplu. Spatiul vectorial al tuturor functiilor f (�) : R ! Rde clas¼a C1 si care satisfac ecuatia diferential¼a f 0 (t) + af (t) = 0, 8t 2 R.

1.3.8. Exemplu. Spatiul vectorial real al tuturor functiilor inde�nitderivabile D1 (R;R).

1.3.9. Exemplu. Spatiul vectorial real al tuturor functiilor care audomeniul [a; b] si codomeniul R, notat F ([a; b] ;R).


1.3.10. Exemplu. Spatiul vectorial real al functiilor din F ([a; b] ;R)care sunt lipschitziene (functii f (�) : [a; b]! R pentru care exist¼a kf > 0astfel încât jf (x)� f (y)j 6 kf jx� yj, 8x; y 2 [a; b]), notat L ([a; b] ;R).

1.4. Exercitii

1.4.1. Exemplu. Familia de vectori

0@ 111

1A ;

0@ 123

1A ;

0@ 321

1A genereaz¼aspatiul R3.

1.4.2. Exercitiu. Fie (V;R) un spatiu vectorial real oarecare. Se de�nescoperatiile:

+ : (V� V)� (V� V)! V� Vde�nit¼a prin

(x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2; y1 + y2)

si� : C� (V� V)! (V� V)

de�nit¼a prin(�+ i�) � (x; y) = (�x� �y; �x+ �y) :

S¼a se arate c¼a (V� V;C) cu operatiile de mai sus este un spatiu vectorialcomplex (acest spatiu se numeste complexi�catul spatiului real (V;R) )

1.4.3. Exercitiu. S¼a se arate c¼a multimea functiilor nederivabile pe[a; b] nu este spatiu vectorial.

1.4.4. Exercitiu. S¼a se arate c¼a reuniunea a dou¼a subspatii vectorialenu este neap¼arat un subspatiu vectorial.

1.4.5. Exercitiu. S¼a se arate c¼a multimea V0 = fx 2 Rn; Ax = 0geste un subspatiu vectorial, unde A 2Mm�n (R).

1.4.6. Exercitiu. Fie subspatiile A =

8>><>>:0BB@0ab0

1CCA ; a; b 2 R9>>=>>;, B =

8>><>>:0BB@00ab

1CCA ; a; b 2 R9>>=>>;. S¼a se determine A+B.

1.4. EXERCITII 17

1.4.7. Exercitiu. Dac¼a operatorul liniar U (�) : Rn ! Rn are proprietateac¼a U2 (�) + U (�) + I (�) = O (�), atunci operatorul este bijectiv.

CAPITOLUL 2

Reprezent¼ari în spatii vectoriale de tip �nit

2.1. Introducere

2.1.1. Propozitie. (De�nitii echivalente ale bazei) Fie B o multimede vectori în (V;K). Sunt echivalente a�rmatiile:

(1) B este liniar independent¼a si maximal¼a (în sensul c¼a orice multimeliniar independent¼a care include B este chiar egal¼a cu B);

(2) B este sistem de generatori minimal (în sensul c¼a orice sistem degeneratori inclus în B este chiar egal cu B);

(3) B este sistem de generatori si multime liniar independent¼a.

Demonstratie. Se va demonstra dup¼a schema: (1))(2))(3))(1).(1))(2) Se stie c¼a B este liniar independent¼a si maximal¼a; pentru

început se va studia calitatea multimii de a � sistem de generatori. S¼apresupunem prin reducere la absurd c¼a B nu ar � sistem de generatori;atunci 9v0 2 V n span (B) si noua multime B1 = B [ fv0g este liniarindependent¼a (dac¼a n-ar �, atunci v0 ar �combinatie liniar¼a de elementeleluiB) si include strict multimeaB, contradictie cu maximalitatea luiB (camultime liniar independent¼a). Deci multimea B este sistem de generatori.S¼a presupunem prin reducere la absurd c¼a B ca sistem de generatori n-ar � minimal. Atunci exist¼a B0 inclus strict în B si care este sistem degeneratori. Fie v1 2 B n B0; v1 este combinatie liniar¼a a elementelor dinB0 (în care v1 nu se a�¼a) deci B nu este multime liniar independent¼a,contradictie.(2))(3) CumB este sistem de generatori, s¼a presupunem prin reducere

la absurd c¼a multimea B n-ar � liniar independent¼a, adic¼a ar exista unvector v2 2 B care s¼a �e combinatie liniar¼a de ceilalti vectori si atuncinoua multime B n fv2g ar �strict inclus¼a în B si ar p¼astra proprietatea desistem de generatori (pentru c¼a �ecare vector poate �scris ca o combinatieliniar¼a de vectorii din B, iar în combinatiile liniare la care particip¼a si v2acesta poate � înlocuit cu o combinatie liniar¼a din B n fv2g, obtinându-secombinatii liniare numai cu elementele lui B n fv2g) contradictie.

19

20 2. REPREZENT¼ARI îN SPATII VECTORIALE DE TIP FINIT

(3))(1) Cum B este liniar independent¼a, dac¼a n-ar � maximal¼a (camultime liniar independent¼a) ar exista o multime B0 liniar independent¼asi care contine B. Atunci v0 2 B0 n B nu este combinatie liniar¼a devectorii din B (pentru c¼a altfel B0 n-ar � liniar independent¼a) ceea ce esteo contradictie cu faptul c¼a B este sistem de generatori. �

2.1.2.De�nitie. Se numeste baz¼a orice multime de vectori care satisfaceuna dintre conditiile echivalente din Propozitia anterioar¼a. Dac¼a pentruo baz¼a �xat¼a se tine cont si de ordinea vectorilor în baz¼a, atunci în loculcuvântului baz¼a se va folosi cuvântul reper .

2.1.3. De�nitie. Un spatiu vectorial se va numi de tip �nit dac¼aadmite o baz¼a �nit¼a si se va numi de tip in�nit în caz contrar.

2.1.4. Teorem¼a. (Existenta bazei) Dac¼a familia �nit¼a (xi)i=1;n estesistem de generatori pentru V în care subfamilia (xi)i=1;r, r � n, este liniarindependent¼a, atunci exist¼a o baz¼a B a lui V astfel încât

fx1; � � � ; xrg � B � fx1; � � � ; xr; � � � ; xngNot= S:

Demonstratie. Fie B un sistem de elemente liniar independente,care include (xi)i=1;r, este inclus în (xi)i=1;n si este maximal cu aceast¼aproprietate. Din alegerea lui B urmeaz¼a c¼a num¼arul de elemente dinB este mai mic sau egal cu n. Fie B = fx1; � � � ; xr; xr+1; � � � ; xmg, cur � m � n; cu o eventual¼a renumerotare a vectorilor; B este baz¼a aspatiului. Se presupune prin reducere la absurd c¼a B nu ar �baz¼a; atunci9x0 2 V astfel încât x0 =2 span (B); dar S este sistem de generatori asa

c¼a x0 este combinatie liniar¼a de elemente din S, x0 =kPi=1

�iyi. Dac¼a toate

elementele yi; i = 1; k ar � în span (B), ar urma c¼a si x0 2 span (B), asac¼a printre elementele yi 2 fx1; � � � ; xr; � � � ; xng ; i = 1; k exist¼a m¼acar unulcare nu este în span (B) si care se noteaz¼a y0; atunci B0 Def= B [ fy0g �fx1; � � � ; xr; � � � ; xng este liniar independent¼a si contine strict peB, ceea cecontrazice constructia (maximalitatea) lui B în fx1; � � � ; xr; � � � ; xng. �

2.1.5. Corolar. Din orice sistem �nit de generatori se poate extrage obaz¼a.

Demonstratie. Fie fx1; � � � ; xr; � � � ; xng sistem de generatori; exist¼am¼acar un vector nenul (dac¼a toti ar �nuli, n-ar mai �sistem de generatori),

2.1. INTRODUCERE 21

care se noteaz¼a cu v0. Au loc:

fv0g este familie liniar independent¼afv0g � fx1; � � � ; xr; � � � ; xng

si se aplic¼a teorema precedent¼a ) 9B baz¼a astfel încât

fv0g � B � fx1; � � � ; xr; � � � ; xng :

�

2.1.6. Corolar. Orice familie liniar independent¼a de vectori poate �completat¼a pân¼a la o baz¼a.

Demonstratie. Familia liniar independent¼a este inclus¼a într-un sistem�nit de generatori (se adaug¼a noi vectori cu veri�carea propriet¼atii degenerare si a propriet¼atii de independent¼a liniar¼a; dac¼a procesul nu seopreste dup¼a un num¼ar �nit de pasi atunci se contrazice faptul c¼a spatiuleste de tip �nit) si se aplic¼a teorema precedent¼a, deci exist¼a o baz¼a carecontine familia liniar independent¼a. �

2.1.7. Teorem¼a. (Teorema schimbului, Steinitz) Fie fv1; � � � ; vrgo familie liniar independent¼a si �e fu1; � � � ; ung un sistem de generatori.Atunci, eventual cu o renumerotare a vectorilor, fv1; � � � ; vr; ur+1; � � � ; ungeste sistem de generatori (orice familie �nit¼a liniar independent¼a de rvectori poate înlocui anumiti r vectori din orice sistem �nit de generatori,cu p¼astrarea calit¼atii de sistem de generatori).

Demonstratie. Inductie dup¼a num¼arul vectorilor din familia liniarindependent¼a, j = 1; r: Pentru j = 1, 9�i 2 K; i = 1; n astfel încât

v1 =nXi=1

�iui;

dac¼a toti scalarii �i ar �nuli atunci v1 ar �nul ceea ce contrazice independentaliniar¼a a familiei fv1; � � � ; vrg; deci m¼acar un scalar este nenul si printr-orenumeroatare a sistemului de generatori, se poate presupune c¼a �1 6= 0;se poate scrie u1 ca o combinatie liniar¼a de vectorii v1; u2; � � � ; un:

(2.1.1) u1 =1

�1v1 �

nXi=2

�i�1ui:


Fie v 2 V oarecare; 9�i 2 K; i = 1; n, astfel încât v =nPi=1

�iui dar din

(2.1.1) urmeaz¼a:

v =nPi=1

�iui = �1u1 +nPi=2

�iui = �1

�1�1v1 �

Pni=2

�i�1ui

�+

nPi=2

�iui =

= �1�1v1 +

nPi=2

��i �

�i�1�1

�ui;

deci v este combinatie liniar¼a de v1; u2; � � � ; un, adic¼a fv1; u2; � � � ; ung esteun sistem de generatori. S¼a presupunem a�rmatia adev¼arat¼a pentru j =r� 1 � n: dac¼a r� 1 = n, atunci ar urma o contradictie cu faptul c¼a maiexist¼a un vector, vr astfel încât fv1; � � � ; vrg este liniar independent¼a; decir � 1 < n si fv1; � � � ; vr�1; ur; � � � ; ung este sistem de generatori )

9�i 2 K; vr =r�1Xi=1

�ivi +

nXi=r

�iui;

dac¼a toti scalarii �i 2 K; i = r; n ar �nuli, atunci vr =r�1Pi=1

�ivi contradictie

cu independenta liniar¼a a familiei fv1; � � � ; vrg; deci 9i0 2 fr; � � � ; ng astfelîncât �i0 6= 0; se presupune printr-o renumerotare c¼a �r 6= 0 si atunci urpoate � scris ca o combinatie liniar¼a de vectorii fv1; � � � ; vr�1; vr; � � � ; ung:

(2.1.2) ur =1

�rvr �

r�1Xi=1

�i�rvi �

nXi=r+1

�i�rui;

din faptul c¼a fv1; � � � ; vr�1; ur; � � � ; ung este sistem de generatori si din(2.1.2) urmeaz¼a c¼a fv1; � � � ; vr; ur; � � � ; ung este sistem de generatori: 8v 2V; 9 i 2 K; i = 1; n;

v =r�1Pi=1

ivi +nPi=r

iui =r�1Pi=1

ivi + rur +nP

i=r+1

iui =

=r�1Pi=1

ivi + r

�1�rvr �

r�1Pi=1

�i�rvi �

nPi=r+1

�i�rui

�+

nPi=r+1

iui =

=r�1Pi=1

� i �

�i r�r

�vi +

r�rvr +

nPi=r+1

� i �

�i r�r

�ui;

ceea ce înseamn¼a c¼a orice vector al spatiului este combinatie liniar¼a devectorii familiei fv1; � � � ; vr; ur; � � � ; ung, adic¼a fv1; � � � ; vr; ur; � � � ; ung estesistem de generatori �

2.1. INTRODUCERE 23

2.1.8.Corolar. Într-un spatiu de tip �nit, num¼arul de vectori al oric¼areifamilii �nite liniar independente este mai mic sau egal decât num¼arul devectori al oric¼arui sistem �nit de generatori.

Demonstratie. Din demonstratia la Teorema schimbului (2.1.7) �2.1.9. Corolar. Într-un spatiu vectorial de tip �nit, orice dou¼a baze

au acelasi num¼ar de vectori.

Demonstratie. Cele dou¼a baze pot �privite în acelasi timp ca familiiliniar independente si ca sisteme de generatori, si din corolarul precedenturmeaz¼a c¼a cele dou¼a numere sunt �ecare mai mic sau egal decât cel¼alalt,adic¼a egale �

2.1.10. De�nitie. Num¼arul de elemente al oric¼arei baze din spatiul detip �nit (V;K) se numeste dimensiunea spatiului si se noteaz¼a cu dimKV.

2.1.11. Propozitie. Fiind �xat¼a o baz¼a într-un spatiu vectorial de tip�nit, orice vector al spatiului se poate scrie ca o combinatie liniar¼a devectorii bazei. Mai mult, sistemul de scalari care particip¼a la combinatialiniar¼a este unic determinat de baza �xat¼a.

Demonstratie. Fie B = fu1; � � � ; ung o baz¼a si �e v 2 V; cum B este

sistem de generatori, 9�i 2 K, i = 1; n, v =nPi=1

�iui; �e înc¼a un sistem de

scalari �i 2 K, i = 1; n, v =nPi=1

�iui. Atunci are loc

nXi=1

�iui =nXi=1

�iui )nXi=1

(�i � �i)ui = 0

si cum B este liniar independent¼a, urmeaz¼a c¼a �i = �i; 8i = 1; n, ceea ceînseamn¼a c¼a scrierea vectorului în baza B este unic¼a �

În continuare, �ind �xat spatiul vectorial (V;K) si bazaB = fv1; � � � ; vnga acestui spatiu (în care conteaz¼a ordinea vectorilor în baz¼a), pentru�ecare vector v al spatiului se va nota reprezentarea vectorului în bazaB (coordonatele vectorului în baza B) cu [v]B. Deci

[v]B =

2664�1�2...�n

3775 ;


unde scalarii �i sunt unicii scalari care particip¼a la scrierea vectorului datca o combinatie liniar¼a de vectorii bazei

v =

nXi=1

�ivi;

scrierea lor f¼acându-se (prin conventie) pe vertical¼a iar ordinea scalarilor�ind unic determinat¼a de ordinea vectorilor în baz¼a. Trebuie remarcat c¼areprezentarea unui vector depinde de baza �xat¼a, în sensul c¼a schimbareabazei atrage schimbarea reprezent¼arii, cu toate c¼a vectorul nu se schimb¼a(acelasi obiect �xat se vede diferit din diferite puncte de vedere). Modulîn care se petrece aceast¼a schimbare si leg¼atura dintre diferite reprezent¼ariale aceluiasi obiect este studiat¼a în sectiunile urm¼atoare.

2.1.12. Propozitie. Orice spatiu vectorial de tip �nit (V;K) cu dimKV =n este izomorf cu (Kn;K) 1.1.10.

Demonstratie. Fie (V;K) spatiu vectorial de tip �nit si �e B o baz¼a�xat¼a în (V;K). Se consider¼a aplicatia ' (�) : V ! Kn; de�nit¼a prin' (v) = [v]B. Aplicatia ' (�) este liniar¼a:

[v1]B =

2664�1�2...�n

3775 ; v1 = nXi=1

�ivi; [v2]B =

2664�01�02...�0n

3775 ; v2 = nXi=1

�0ivi )

v1 + v2 =nXi=1

�ivi +nXi=1

�0ivi =nXi=1

(�i + �0i) vi )

[v1 + v2]B =

2664�1 + �01�2 + �02...

�n + �0n

3775 =2664�1�2...�n

3775+2664�01�02...�0n

3775 = [v1]B + [v2]Bdeci ' (v1 + v2) = ' (v1)+' (v2) (din unicitatea reprezent¼arii într-o baz¼a).Analog, pentru � 2 K are loc

�v1 =nXi=1

(��i) vi ) [�v1]B =

2664��1��2...

��n

3775 = �

2664�1�2...�n

3775 = � [v1]B

2.2. EXEMPLE DE BAZE STANDARD 25

deci ' (� � v1) = � � ' (v1), adic¼a aplicatia este liniar¼a.Aplicatia este bijectiv¼a: injectivitatea rezult¼a din proprietatea de liniar

independent¼a a bazei (deci din unicitatea coordonatelor) iar surjectivitateadin proprietatea de sistem de generatori a bazei. �

2.2. Exemple de baze standard

În continuare se vor da exemple de baze standard (canonice) pentrudiferite spatii vectoriale. În �ecare spatiu vectorial se poate lucra cu oin�nitate de baze; ca o conventie general¼a, dac¼a nu se precizeaz¼a o baz¼apentru spatiul în care se lucreaz¼a, se va presupune implicit c¼a se lucreaz¼acu baza standard (canonic¼a).

2.2.1. Exemplu. Baza standard pentru Rn: multimea E = fe1; : : : ; engde vectori coloan¼a

[ei]E =

24 � (i; j)...

� (i; n)

35 2 Rn:2.2.2. Exemplu. Baza standard pentru R2 este��

10

�;

�01

��:

2.2.3. Exemplu. Baza standard pentru R3 este8<:24 100

35 ;24 010

35 ;24 001

359=; :

2.2.4. Exemplu. Baza standard pentru Rn [t] este multimea

E =�1; t1; : : : ; tn

:

2.2.5. Exemplu. Baza standard pentru R [t] este multimea

E =�1; t1; : : : ; tn; : : :

:

2.2.6. Exemplu. Baza standard pentruMm�n (R) este multimea E =fE11; : : : ; Emng de matrici Eij cu proprietatea c¼a locul (i; j) este ocupatde valoarea 1 iar celelalte locuri sunt ocupate da valoarea 0.


2.2.7. Exemplu. Baza standard pentruM3;2 (R) este multimea E =fE11; E12; E21; E22; E31; E32g a matricilor

[E11]E =

24 1 00 00 0

35 ; [E12]E =24 0 10 00 0

35 ; [E21]E =24 0 01 00 0

35 ;[E22]E =

24 0 00 10 0

35 ; [E31]E =24 0 00 01 0

35 ; [E32]E =24 0 00 00 1

35 :2.3. Reprezentarea vectorilor

Fie V spatiu vectorial de tip �nit peste corpul K si �e B = fe1; ::; engun reper al s¼au. Coordonatele vectorilor reperului în raport cu reperulsunt:

[e1]B =

266664100...0

377775 ; [e2]B =266664010...0

377775 ; � � � ; [en]B =26666400...01

377775 :2.3.1. Observatie. Între vectorii u, u1, u2 are loc relatia

u = �u1 + �u2; �; � 2 Kdac¼a si numai dac¼a între coordonatele (reprezent¼arile) lor în aceeasi baz¼aare loc relatia

[u]B = � [u1]B + � [u2]B :

Demonstratie. Evident �2.3.2.Observatie. Fie bazaB = fe1; ::; eng �xat¼a si �eB1 = fv1; ::; vmg

o familie oarecare de vectori (este important¼a ordinea vectorilor în ambelefamilii). Coordonatele vectorilor considerati sunt, în baza B, urm¼atoarele:

[v1]B =

266664�11�21�31...�n1

377775 ; [v2]B =266664�12�22�32...�n2

377775 ; :::; [vm]B =266664�1m�2m�3m...

�nm

377775 ;vj =

nPi=1

�ijei; 8j = 1;m

2.3. REPREZENTAREA VECTORILOR 27

Se noteaz¼a cu (M (B1))B (2 Mn�m (K)) matricea care are drept coloanecoordonatele vectorilor familiei B1 în baza B,

(M (B1))B =

266664�11�21�31...�n1

�12�22�32...�n2

� � �� . . .� � �

�1m�2m�3m...

�nm

377775 :Urm¼atoarele calit¼ati ale familiei B1 pot � studiate cu ajutorul acesteimatrici:

(1) Vectorii sunt considerati membrii ai spatiului aritmeticn�dimensional (adic¼a num¼arul de linii din matrice);

(2) Num¼arul vectorilor este egal cu m (num¼arul coloanelor);(3) Vectorii familiei B1 sunt liniar independenti dac¼a si numai dac¼a

(n � m si rang ((M (B1))B) = m) ;

(4) Vectorii familiei B1 formeaz¼a un sistem de generatori dac¼a sinumai dac¼a

(n � m si rang ((M (B1))B) = n) ;

(5) Familia B1 este baz¼a dac¼a si numai dac¼a

(n = m si rang ((M (B1))B) = n) :

În ipoteza c¼a familia B1 este baz¼a, se pune problema reprezent¼ariivectorilor în noua baz¼a si a g¼asirii leg¼aturii dintre vechea reprezentare sinoua reprezentare. Reprezentarea noii baze în vechea baz¼a este (matricial):

(M (B1))B =

0BBBB@�11�21�31...�n1

�12�22�32...�n2

� � �� . . .� � �

�1n�2n�3n...�nn

1CCCCA :

Aceast¼a matrice este format¼a din reprezent¼arile vectorilor noii baze (pecoloane) în vechea baz¼a.


În noua reprezentare, vectorii familiei B1 vor avea coordonatele

[v1]B1 =

266664100...0

377775 ; [v2]B1 =266664010...0

377775 ; :::; [vn]B1 =26666400...01

377775 ;iar vectorii bazei vechi vor avea coordonatele

[e1]B1 =

266664�011�021�031...�0n1

377775 ; [e2]B1 =266664�012�022�032...�0n2

377775 ; :::; [en]B1 =266664�01n�02n�03n...�0nn

377775 ;

ei =

nXj=1

�0jivj

S¼a not¼am cu (M (B))B1 matricea care are drept coloane coordonatelevectorilor vechii baze (B) în noua baz¼a (B1),

[M (B)]B1 =

266664�011�021�031...�0n1

�012�022�032...�0n2

� � �� . . .� � �

�01n�02n�03n...�0nn

377775 :Fie x un vector oarecare al spatiului; coordonatele lui în baza B sunt

[x]B =

266664x1x2x3...xn

377775 ;iar în baza B1 sunt

[x]B1 =

266664x01x02x03...x0n

377775 :


Leg¼atura dintre cele dou¼a reprezent¼ari ale aceluiasi vector este dat¼a derelatiile:

x =nPj=1

x0jvj =nPj=1

x0j

�nPi=1

�ijei

�=

nPj=1

�nPi=1

x0j�ijei

�=

=nPi=1

nPj=1

x0j�ijei

!=

nPi=1

nPj=1

x0j�ij

!ei;

dar x =nPi=1

xiei , deci xi =nPj=1

x0j�ij, 8i = 1; n (din unicitatea reprezent¼arii

într-o baz¼a). Scrierea matricial¼a a acestei relatii este:

266666666664

x1

x2

x3

...xn

377777777775=

266666666666664

nPj=1

x0j�1j

nPj=1

x0j�2j

nPj=1

x0j�3j

...nPj=1

x0j�nj

377777777777775=

0BBBBBBBBBB@

�11 �12 �13 � � � �1n

�21 �22 �23 : : : �2n

�31 �32 �33 � � � �3n

......

.... . .

...�n1 �n2 �n3 � � � �nn

1CCCCCCCCCCA

0BBBBBBBBBB@

x01

x02

x03

...x03

1CCCCCCCCCCA;

deci are loc relatia:

[x]B = (M (B1))B [x]B1

( Se mai spune c¼a (M (B1))B este matricea de trecere de la B1 la B) Seobserv¼a c¼a matricea de trecere de la noua baz¼a la vechea baz¼a are dreptcoloane coordonatele în baza nou¼a pentru vectorii bazei vechi. Analog, areloc si relatia

[x]B1 = (M (B))B1 [x]B

(Se mai spune c¼a (M (B1))B este matricea de trecere de la B la B1) ceeace înseamn¼a c¼a, pentru orice vector x, are loc

(M (B))B1 [x]B = ((M (B1))B)�1 [x]B ;

adic¼a (M (B))B1 = ((M (B1))B)�1. Schematic, aceste leg¼aturi pot �reprezentate

în felul urm¼ator:


B1

(M (B1))B��! ��((M (B1))B)

�1B

Dac¼a se dau dou¼a baze B1 si B2, amândou¼a raportate la baza dereferint¼a E, trecerea de la B1 la B2 se face �pivotând�pe baza de referint¼a:�e (M (B))E matricea care are drept coloane coordonatele vectorilor bazeiB în baza E si (M (B1))E matricea care are drept coloane coordonatelevectorilor bazei B1 în baza E. Atunci

[x]B = ((M (B))E)�1 [x]E ; [x]E = (M (B))E [x]B

[x]B1 = ((M (B1))E)�1 [x]E ; [x]E = (M (B1))E [x]B1

si atunci au loc relatiile:

[x]B = ((M (B))E)�1 [x]E =

�((M (B))E)

�1 (M (B1))E�[x]B1

deci are loc schema desf¼asurat¼a

B

(M (B))E��! ��((M (B))E)

�1E

((M (B1))E)�1

��! ��

(M (B1))E

B1

si schema restrâns¼a

B

(M (B1))�1E ((M (B))E)��!

��((M (B))E)

�1 (M (B1))E

B1

O metod¼a practic¼a de realizare sistematic¼a a calculelor necesare estemetoda elimin¼arii a lui Gauss.

Metoda elimin¼arii a lui Gauss este generalizarea metodei reduceriipentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare din ciclul gimnazial. Fiinddat un sistem liniar de ecuatii, metoda alege o necunoscut¼a si o ecuatie(astfel încât coe�cientul necunoscutei din ecuatia aleas¼a s¼a �e nenul) sielimin¼a necunoscuta aleas¼a din toate celelalte ecuatii, folosind înmultireaecuatiilor cu numere convenabile si adunarea între ele a ecuatiilor (transform¼ari


elementare). Metoda se bazeaz¼a pe principiile de lucru cu relatii de echivalent¼a(egalitatea) folosite pentru ecuatii, date de compatibilitatea dintre relatiade echivalent¼a si structura de spatiu vectorial; acestea sunt:

� Multiplicarea ambilor termeni ai unei egalit¼ati cu acelasi scalarnenul nu modi�c¼a solutiile ecuatiei.� Adunarea aceleiasi cantit¼ati la ambii termeni nu modi�c¼a solutiileecuatiei.� Înlocuirea unei cantit¼ati dintr-o ecuatie cu o cantitate egal¼a numodi�c¼a solutiile ecuatiei.

Aceste principii pot �folosite pentru formularea unei proceduri sistematicede g¼asire a solutiilor unui sistem de ecuatii liniare. În continuare va �descris¼a aceast¼a procedur¼a.Fie sistemul:

8>>>>><>>>>>:

a11x1 + a12x2 + � � � a1jxj + � � � a1mxm = b1a21x1 + a22x2 + � � � a2jxj + � � � a2mxm = b2� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

ai1x1 + ai2x2 + � � � aijxj + � � � aimxm = bi� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

an1x1 + an2x2 + � � � anjxj + � � � anmxm = bn

în care coe�cientul aij este nenul. Se alege s¼a se elimine necunoscutaxj din toate ecuatiile în afar¼a de ecuatia i (cu alte cuvinte coe�cientiinecunoscutei xj s¼a devin¼a nuli în toate ecuatiile în afar¼a de ecuatia i) iarpentru ecuatia i coe�cientul s¼a devin¼a 1. Pentru aceasta se fac urm¼atoareleoperatii:

� se împarte linia i la aij iar rezultatul se scrie în locul liniei i;� pentru �ecare ecuatie k = 1; n, k 6= i, se adun¼a la ecuatia kecuatia i înmultit¼a cu �akj;� se scrie rezultatul în locul liniei k.

În urma acestor operatii, noul sistem va contine necunoscuta xj numaiîn ecuatia i; calculele se sistematizeaz¼a astfel: elementul aij din vechiulsistem se va numi PIVOT iar noii coe�cienti ai sistemului se vor obtinedin vechii coe�cienti urmând REGULA PIVOTULUI:

(1) Locurile de indici (l; j)l=1;n l 6=i (coloana pivotului) sunt ocupatede elemente nule iar locul (i; j) (locul pivotului) este ocupat devaloarea 1.


(2) Locurile de indici (i; k)k=1;m k 6=j (linia pivotului) sunt ocupate deaikaij(linia pivotului se împarte la pivot).

(3) Celelalte locuri (k; l)k=1;m k 6=jl=1;n l 6=i

(nici pe linia i si nici pe coloana j)

sunt ocupate cuREGULA DREPTUNGHIULUI:

coloana j coloana llinia i aij � � � ail

j jlinia k akj � � � akl

Pentru �ecare akl, se ataseaz¼a dreptunghiul de vârfuri aij, ail,akj, akl (generat de pivot si de elementul ales); noul element careocup¼a locul (k; l) este obtinut cu formula: produsul pe diagonalacare contine pivotul minus produsul pe diagonala care nu continepivotul si totul împ¼artit la pivot. Formula este:

a0kl =aijakl � akjail

aij;

unde a0kl înseamn¼a noul ocupant al locului (k; l).

Toate calculele se vor pune într-un tabel iar semni�catia acestor calcule,din punct de vedere al coordonatelor vectorilor, este:

� Prima coloan¼a din stânga reprezint¼a, la �ecare pas, vectorii bazeisi ordinea vectorilor în baz¼a.� Prima linie reprezint¼a vectorii care particip¼a la transformare, siale c¼aror coordonate sunt a�ate la �ecare pas.� Coloanele (numerice) sunt coordonatele vectorilor din prima linie(dintr-un spatiu vectorial real de dimensiune n), reprezentati pentrutabelul initial într-o baz¼a initial¼a notat¼a (ei)i=1;n, iar pentru tabeleleulterioare în baze intermediare.� Alegerea pivotului aij înseamn¼a înlocuirea în baz¼a a vectorului debaz¼a de rang i cu vectorul reprezentat de coloana j.

- La �ecare alegere de pivot se schimb¼a baza si coordonatele vectorilorcare sunt capete de coloan¼a, dar este vorba despre aceeasi vectori reprezentatialtfel.Tabelul initial (cu toate am¼anuntele necesare) arat¼a în felul urm¼ator:


v1 � � � vj � � � vm e1 � � � ei � � � en be1 a11 � � � a1j � � � a1m 1 � � � 0 � � � 0 b1e2 a21 � � � a2j � � � a2m 0 � � � 0 � � � 0 b2...

... � � � ... � � � ...... � � � ... � � � ...

... ei ai1 � � � aij # � � � aim 0 � � � 1 � � � 0 bi

...... � � � ... � � � ...

... � � � ... � � � ......

en an1 � � � anj � � � anm 0 � � � 0 � � � 1 bn

iar al doilea tabel se va obtine din primul cu regula pivotului:

v1 � � � vj � � � vm e1 � � � ei � � � en b

e1 a011 � � � 0 � � � a01m 1 � � � �a1jaij

� � � 0 b01

e2 a021 � � � 0 � � � a02m 0 � � � �a2jaij

� � � 0 b02...

... � � � ... � � � ...... � � � ... � � � ...

...ei�1 a0(i�1)1 � � � 0 � � � a0(i�1)m 0 � � � �a(i�1)j

aij� � � 0 b0i�1

vjai1aij

� � � 1 � � � aimaij

0 � � � 1aij

� � � 0 biaij

ei+1 a0(i+1)1 � � � 0 � � � a0(i+1)m 0 � � � �a(i+1)jaij

� � � 0 b0i+1...

... � � � ... � � � ...... � � � ... � � � ...

...en a0n1 � � � 0 � � � a0nm 0 � � � �anj

aij� � � 1 b0n

Cu aceast¼a metod¼a se pot rezolva sistemele liniare (neomogene)

Ax = b

în modul urm¼ator:

(1) Se formeaz¼a tabelul initial.(2) Se aplic¼a metoda pivotului pân¼a când nu se mai poate aplica

pentru nici un element.(3) Se scrie rezultatul astfel: cu o eventual¼a renumerotare de necunoscute

(coloane) si ecuatii (linii), tabelul �nal este de forma

I... A0

12 b01� � � � � � � � � � � � � � �

0... 0 b02


în care necunoscutele (ecuatiile) corespunz¼atoare matricii identitateI sunt necunoscutele (ecuatiile) principale, ecuatiile corespunz¼atoareliniilor de zerouri sunt ecuatiile care decid compatibilitatea sistemului

(�b02 = 0) sistem compatibilb02 6= 0) sistem incompatibil ), necunoscutele corespunz¼atoare

coloanelor matriciiA012 sunt necunoscutele secundare ale sistemului

iar solutia sistemului (dac¼a este compatibil) se scrie sub forma

xP = b01 �A0

12xS:

2.3.3. Exemplu. S¼a se rezolve sistemele:

(1)

8<: 4x1 + 3x2 + 3x3 = 143x1 + 2x2 + 5x3 = 132x1 + x2 + 8x3 = 13

(Solutia este:

0@ 211

1A)(2)

8<: 4x1 + 3x2 + 3x3 = 63x1 + 2x2 + x3 = 811x1 + 8x2 + 7x3 = 20

(Solutia este:

0@ 3�+ 12�5�� 14

�

1A, � 2 R)(3)

8<: x1 + x2 + x3 = 102x1 + x2 + x3 = 163x1 + 2x2 + 2x3 = 24

(Nu are solutie)

2.3.4. Solutie. (1) Metoda pivotului aplicat¼a acestui sistem areurm¼atoarea form¼a:


x1 x2 x3 j b

4 3 3 j 143 2 5 j 132 1 8 j 13� � � �j� �1

3

4

3

4j 7

2

0 �14

11

4j 5

2

0 �12

13

2j 6

� � � �j� �1 0 9 j 110 1 �11 j �100 0 1 j 1� � � �j� �1 0 0 j 20 1 0 j 10 0 1 j 1

.

Solutia sistemului se citeste pe coloana b a ultimului tabel si

este

0@ x1x2x3

1A =

0@ 211

1A.Matricial, operatiile pentru �ecare pivot sunt urm¼atoarele (folosind

matrici elementare):0BBBB@1

40 0

�341 0

�240 1

1CCCCA0@4 3 3 143 2 5 132 1 8 13

1A =

0BBBB@1

3

4

3

4

7

2

0 �14

11

4

5

2

0 �12

13

26

1CCCCA,0B@1 3 00 �4 0

0 �421

1CA0BBBB@1

3

4

3

4

7

2

0 �14

11

4

5

2

0 �12

13

26

1CCCCA =

0@1 0 9 110 1 �11 �100 0 1 1

1A,

36 2. REPREZENT¼ARI îN SPATII VECTORIALE DE TIP FINIT0@1 0 �90 1 110 0 1

1A0@1 0 9 110 1 �11 �100 0 1 1

1A =

0@1 0 0 20 1 0 10 0 1 1

1A.Identitatea matricial¼a obtinut¼a pornind de la matricea initial¼a0@4 3 3 143 2 5 132 1 8 13

1A si terminând cu matricea �nal¼a

0@1 0 0 20 1 0 10 0 1 1

1A(folosind matrici elementare) este:0@1 0 �9

0 1 110 0 1

1A0B@1 3 00 �4 0

0 �421

1CA0BBBB@1

40 0

�341 0

�240 1

1CCCCA0@4 3 3 143 2 5 132 1 8 13

1A =

0@1 0 0 20 1 0 10 0 1 1

1A.(2) Metoda pivotului aplicat¼a acestui sistem are urm¼atoarea form¼a:

x1 x2 x3 j b

4 3 3 j 63 2 1 j 811 8 7 j 20� � � �j� �1

3

4

3

4j 3

2

0 �14�54

j 7

2

0 �14�54

j 7

2� � � �j� �1 0 �3 j 120 1 5 j �140 0 0 j 0

.

Se observ¼a c¼a algoritmul nu mai poate �continuat deoarece înultimul tabel ultima linie (corespunz¼atoare necunoscutelor) estenul¼a. Deoarece si elementul corespunz¼ator coloanei b este nul,rezult¼a c¼a sistemul este compatibil 1 nedeterminat.

Solutia sistemului este

0@ x1x2x3

1A 28<:0@ 12 + 3��14� 5�

�

1A ; � 2 R9=;

Matricial, operatiile pentru �ecare pivot sunt urm¼atoarele (folosindmatrici elementare):

2.3. REPREZENTAREA VECTORILOR 370BBBB@1

40 0

�34

1 0

�114

0 1

1CCCCA0@ 4 3 3 6

3 2 1 811 8 7 20

1A =

0BBBB@1

3

4

3

4

3

2

0 �14�54

7

2

0 �14�54

7

2

1CCCCA0@ 1 3 00 �4 00 �1 1

1A0BBBB@1

3

4

3

4

3

2

0 �14�54

7

2

0 �14�54

7

2

1CCCCA =

0@ 1 0 �3 120 1 5 �140 0 0 0

1AIdentitatea matricial¼a obtinut¼a pornind de la matricea initial¼a

si terminând cu matricea �nal¼a (folosind matrici elementare) este:0@ 1 3 00 �4 00 �1 1

1A0BBBB@

1

40 0

�34

1 0

�114

0 1

1CCCCA0@ 4 3 3 6

3 2 1 811 8 7 20

1A =

0@ 1 0 �3 120 1 5 �140 0 0 0

1A.(3) Metoda pivotului aplicat¼a acestui sistem are urm¼atoarea form¼a:

x1 x2 x3 j b

1 1 1 j 102 1 1 j 163 2 2 j 24� � � �j� �1 1 1 j 10

0 �1 �1 j �40 �1 �1 j �6� � � �j� �1 0 0 j 60 1 1 j 40 0 0 j �2

) Sistemul este incompatibil.

Matricial, operatiile pentru �ecare pivot sunt urm¼atoarele (folosindmatrici elementare):0@ 1 0 0

�2 1 0�3 0 1

1A0@ 1 1 1 102 1 1 163 2 2 24

1A =

0@ 1 1 1 100 �1 �1 �40 �1 �1 �6

1A

38 2. REPREZENT¼ARI îN SPATII VECTORIALE DE TIP FINIT0@ 1 1 00 �1 00 �1 1

1A0@ 1 1 1 100 �1 �1 �40 �1 �1 �6

1A =

0@ 1 0 0 60 1 1 40 0 0 �2

1AIdentitatea matricial¼a obtinut¼a pornind de la matricea initial¼a

si terminând cu matricea �nal¼a (folosind matrici elementare) este:0@ 1 1 00 �1 00 �1 1

1A0@ 1 0 0�2 1 0�3 0 1

1A0@ 1 1 1 102 1 1 163 2 2 24

1A =

0@ 1 0 0 60 1 1 40 0 0 �2

1A

Inversarea unei matrici se poate face folosind aceeasi schem¼a, cu tabelulinitial si �nal în forma:

A I

� � � � � �I A�1

2.3.5. Exemplu. S¼a se inverseze matricea

0@ 2 3 �11 2 �11 1 �2

1A

2.3.6. Solutie. Tabelul pentru aplicarea metodei pivotului este urm¼atorul:


2 3 �1 j 1 0 01 2 �1 j 0 1 01 1 �2 j 0 0 1� � � �j� � � �1

3

2�12

j 1

20 0

01

2�12

j �12

1 0

0 �12�32

j �12

0 1

� � � �j� � � �1 0 1 j 2 �3 00 1 �1 j �1 2 00 0 �2 j �1 1 1� � � �j� � � �1 0 0 j 3

2�52

1

2

0 1 0 j �12

3

2�12

0 0 1 j 1

2�12�12

Ultimele trei linii si ultimele trei coloane dau matricea invers¼a:0@ 2 3 �11 2 �11 1 �2

1A�1

=

0BBBB@3

2�52

1

2

�12

3

2�12

1

2�12�12

1CCCCAMatricial, operatiile pentru �ecare pivot sunt urm¼atoarele (folosind

matrici elementare):0@ 1=2 0 0�1=2 1 0�1=2 0 1

1A0@ 2 3 �1 1 0 01 2 �1 0 1 01 1 �2 0 0 1

1A =

0BBBB@1

3

2�12

1

20 0

01

2�12�121 0

0 �12�32�120 1

1CCCCA


0@ 1 �3 00 2 00 1 1

1A0BBBB@1

3

2�12

1

20 0

01

2�12�121 0

0 �12�32�120 1

1CCCCA =

0@ 1 0 1 2 �3 00 1 �1 �1 2 00 0 �2 �1 1 1

1A0@ 1 0 1=20 1 �1=20 0 �1=2

1A0@ 1 0 1 2 �3 00 1 �1 �1 2 00 0 �2 �1 1 1

1A =

0BBBB@1 0 0

3

2�52

1

2

0 1 0 �12

3

2�12

0 0 11

2�12�12

1CCCCA

Proba:

0@ 2 3 �11 2 �11 1 �2

1A0BBBB@

3

2�52

1

2

�12

3

2�12

1

2�12�12

1CCCCA =

0@ 1 0 00 1 00 0 1

1A

Folosind aceast¼a metod¼a si acest mod de organizare a calculelor sepot efectua majoritatea cerintelor speci�ce algebrei liniare, cu p¼astrareasemni�catiilor reprezent¼arilor în bazele initiale, intermediare si �nale.Suportul teoretic este oferit de

2.3.7. Teorem¼a. (Lema substitutiei) Fie (V;K) spatiu vectorial detip �nit, V1 un subspatiu generat de sistemul de vectori liniar independenti

B = fe1; � � � ; emg si v =mPi=1

�iei 2 V1. Dac¼a �j 6= 0 atunci B0 =

fe1; � � � ej�1; v; ej+1; � � � ; emg este o nou¼a baz¼a a lui V1 iar leg¼atura dintre

vechile coordonate

24 1... m

35 (în baza B) si noile coordonate24 01

... 0m

35 (înbaza B0) ale unui vector oarecare x 2 V1 este 0j =

j�j; 0i =

i�j � j�i�j

.

Reciproc, dac¼a B0 este liniar independent, atunci �j 6= 0.

Demonstratie. v =mPi=1

�iei si �j 6= 0) ej =v

�j�

mPi=1;i6=j

�i�jei ) B0

este sistem de generatori pentru V1; mai mult, x =mPi=1

iei =mP

i=1;i6=j iei+


jej =mP

i=1;i6=j iei+ j

v

�j�

mPi=1;i6=j

�i�jei

!=

mPi=1;i6=j

� i � j

�i�j

�ei+ j

v

�j

) noile coordonate sunt 0i = i� j�i�j; i 6= j; 0j =

j�j. Fie �i astfel încât

mPi=1;i6=j

�iei+�jv = 0)mP

i=1;i6=j�iei+

mPi=1

�j�iei = 0 )mP

i=1;i6=j(�i + �j�i) ei+

�j�jej = 0 )��j�j = 0�i + �j�i = 0; i 6= j

) �i = 0, 8i

) B0 este baz¼a în V1 �

2.3.8. Exemplu. S¼a se studieze natura sistemului de vectori:

v1 =

0@ 10�1

1A ; v2 =

0@213

1A ; v3 =

0@111

1A ; v4 =

0@�120

1A

2.3.9. Solutie. Se consider¼a sistemul vectorial în necunoscutele �1, �2,�3, �4: �1v1+�2v2+�3v3+�4v4 = 0. Trebuie a�ate toate valorile scalarilor�1, �2, �3, �4 care veri�c¼a sistemul vectorial. Prin înlocuirea în sistemulvectorial a reprezent¼arilor vectorilor (date în baza canonic¼a) se obtine onou¼a form¼a: �1 [v1]E + �2 [v2]E + �3 [v3]E + �4 [v4]E = [0]E )

) �1

0@ 10�1

1A + �2

0@213

1A + �3

0@111

1A + �4

0@�120

1A =

0@ 000

1A care este

echivalent¼a cu un sistem liniar omogen în necunoscutele �1, �2, �3, �4:8<: �1 + 2�2 + �3 � �4 = 0�2 + �3 + 2�4 = 0��1 + 3�2 + �3 = 0

Se rezolv¼a acest sistem folosind metoda pivotului si cu p¼astrarea semni�catiilorde spatiu vectorial (bazele în care sunt reprezentati vectorii):


j v1 v2 v3 v4 j e1 e2 e3 j b� �j� � � � � �j� � � � �j� � e1 j 1 # 2 1 �1 j 1 0 0 j 0e2 j 0 1 1 2 j 0 1 0 j 0e3 j �1 3 1 0 j 0 0 1 j 0� �j� � � � � �j� � � � �j� �v1 j 1 2 1 �1 j 1 0 0 j 0

e2 j 0 1 # 1 2 j 0 1 0 j 0e3 j 0 5 2 �1 j 1 0 1 j 0� �j� � � � � �j� � � � �j� �v1 j 1 0 �1 �5 j 1 �2 0 j 0v2 j 0 1 1 2 j 0 1 0 j 0

e3 j 0 0 �3 # �11 j 1 �5 1 j 0� �j� � � � � �j� � � � �j� �v1 j 1 0 0 �4

3j 2

3�13�13

j 0

v2 j 0 1 0 �53

j 1

3�23

1

3j 0

v3 j 0 0 111

3j �1

3

5

3�13

j 0

Matricial, operatiile pentru �ecare pivot sunt urm¼atoarele (folosind matricielementare):

0@ 1 0 00 1 01 0 1

1A0@ 1 2 1 �1 1 0 00 1 1 2 0 1 0�1 3 1 0 0 0 1

1A =

0@ 1 2 1 �1 1 0 00 1 1 2 0 1 00 5 2 �1 1 0 1

1A0@ 1 �2 00 1 00 �5 1

1A0@ 1 2 1 �1 1 0 00 1 1 2 0 1 00 5 2 �1 1 0 1

1A =

0@ 1 0 �1 �5 1 �2 00 1 1 2 0 1 00 0 �3 �11 1 �5 1

1A0BBBB@1 0 �1

3

0 11

3

0 0 �13

1CCCCA0@ 1 0 �1 �5 1 �2 00 1 1 2 0 1 00 0 �3 �11 1 �5 1

1A =

0BBBB@1 0 0 �4

3

2

3�13�13

0 1 0 �53

1

3�23

1

3

0 0 111

3�13

5

3�13

1CCCCA

2.4. REPREZENTAREA OPERATORILOR 43

Veri�care:0@ 1 2 10 1 1�1 3 1

1A0BBBB@

2

3�13�13

1

3�23

1

3

�13

5

3�13

1CCCCA =

0@ 1 0 00 1 00 0 1

1A2.3.10. Exemplu. Fie vectorii:

v1 =

0@021

1A ; v2 (m) =

0@ 1m�1

1A ; v3 (m) =

0@m01

1A ;m 2 R:

S¼a se discute în functie de parametrul m natura familiei de vectori.

2.3.11. Solutie. Se consider¼a sistemul vectorial în necunoscutele �1,�2, �3: �1v1 + �2v2 (m) + �3v3 (m) = 0 si cu parametrul m.

2.3.12. Observatie. Prezentarea de fat¼a a metodei elimin¼arii a luiGauss (metodei pivotului) nu este complet¼a: nu s�a speci�cat modul deabordare complet pentru situatiile când pivotul nu poate �ales pe diagonalaprincipal¼a, nu s�au prezentat aspecte legate de abordarea numeric¼a aproblemei (situatiile când calculele implicate se efectueaz¼a cu aproximatii),nu s�a prezentat efectuarea acestor calcule folosind software matematicspecializat (Computer Algebra Systems), nu s�au prezentat aplicatii aleacestei metode în alte zone de interes. Sper¼am c¼a toate aceste omisiunivor � acoperite de alte cursuri si/sau texte.

2.4. Reprezentarea operatorilor

Fie U (�) : V1 ! V2 un operator liniar între dou¼a spatii vectorialepeste acelasi corp K. S¼a presupunem c¼a spatiile vectoriale sunt de tip �nit,de dimensiune n; respectiv m si s¼a alegem câte o baz¼a în �ecare spatiu,Bd = (e1; ::; en) în domeniul de de�nitie si Bc = (f1; ::; fm) în codomeniuloperatorului. Fie

U (ej) =mPi=1

aijfi ; j = 1; n (reprezentarea vectorial¼a)

[U (ej)]Bc =

2664a1ja2j...amj

3775 (reprezentarea în coordonate)


reprezent¼arile imaginilor vectorilor bazei domeniului de de�nitie în bazacodomeniului. Matricea astfel obtinut¼a (aij) i=1;n

j=1;m

se numeste matricea

asociat¼a lui U (�) în bazele Bd si Bc. Reciproc, pentru �ecare matrice A 2Mn�m (R) si pentru �ecare alegere de baze în domeniu si în codomeniuexist¼a câte un operator liniar asociat, de�nit prin formula de mai sus.

Dac¼a x 2 V1 si scrierea lui x în baza Bd este [x]Bd =

24 x1...xn

35, atunciU (x) = U

nPj=1

xjej

!=

nPj=1

xjU (ej) =nPj=1

xjmPi=1

aijfi =

=nPj=1

mPi=1

aijxjfi =mPi=1

nPj=1

aijxj

!fi

deci scrierea lui U (x) în baza Bc este

[U (x)]Bc =

26666666664

nPj=1

a1jxj

nPj=1

a2jxj

...nPj=1

amjxj

37777777775=

0BB@a11 a12 � � � a1na21 a22 � � � a2n...

.... . .

...am1 am2 � � � amn

1CCA2664x1x2...xn

3775 ;

[U (x)]Bc =MBd;Bc (U (�)) [x]Bd :

2.4.1. Propozitie. Operatorul U (�) este bijectiv dac¼a si numai dac¼amatricea atasat¼a lui pentru o alegere oarecare a bazelor din domeniu sicodomeniu este inversabil¼a.

Demonstratie. �)�Dac¼a U (�) este bijectiv, atunci cele dou¼a spatiiau aceeasi dimensiune (deci matricea atasat¼a este p¼atratic¼a) si pentru�ecare y 2 V2 sistemul Ax = y are o unic¼a solutie. Se presupune prinreducere la absurd c¼a matricea n-ar � inversabil¼a; ar urma detA = 0,adic¼a matricea are coloanele liniar dependente. Se consider¼a o combinatieliniar¼a nenul¼a de coloanele matricii a c¼arei valoare s¼a �e vectorul nul;matricial înseamn¼a o solutie nenul¼a a sistemului Ax = 0, care odat¼a cusolutia x accept¼a si solutii de forma �x, � 2 K. Aceasta este o contradictie

2.4. REPREZENTAREA OPERATORILOR 45

cu faptul c¼a sistemul Ax = 0 are o unic¼a solutie, contradictie care provinedin ipoteza c¼a matricea n-ar � inversabil¼a. Deci exist¼a A�1.

�(�Dac¼a matricea A este inversabil¼a, atunci spatiile sunt de aceeasidimensiune si p¼astrând aceeasi baz¼a în �ecare spatiu operatorul V (�) :V2 ! V1 de�nit prin V (y) = A�1y este chiar operatorul invers pentruU (�), adic¼a U (�) este inversabil deci bijectiv �

2.4.2. De�nitie. Se numeste rangul operatorului U (�) rangul matriciiatasate lui pentru o alegere oarecare a bazelor.

2.4.3. Observatie. (1) Un operator este injectiv dac¼a si numaidac¼a rangul s¼au este egal cu dimensiunea domeniului de de�nitie.

(2) Un operator este surjectiv dac¼a si numai dac¼a rangul s¼au este egalcu dimensiunea codomeniului.

Demonstratie. Evident �

Fiind �xat¼a o baz¼a Bd = fv1; � � � ; vng în (V;K) si o baz¼a Bc = fwg în(K;K), orice functional¼a liniar¼a f (�) : V! K (care este un tip particularde operator) admite o unic¼a reprezentare:

f (v) = f

nXi=1

�ivi

!=

nXi=1

�if (vi) ;

deci valoarea functionalei în v este unic determinat¼a de valorile functionaleiîn vectorii bazei si de coordonatele vectorului. În scriere matricial¼a, are loc:

[f (v)]Bc =�f (v1) f (v2) � � � f (vn)

�2664�1�2...�n

3775 ==�f (v1) f (v2) � � � f (vn)

�[v]Bd :

Mai mult, dac¼a pentru o baz¼a �xat¼a în V se noteaz¼a cu �i (�) : V! Kcoordonata i a �ec¼arui vector în baza �xat¼a (baza în K nu se schimb¼a),familia de functionale (�i (�))i=1;n este o baz¼a înV0. Aceast¼a baz¼a se numestebaza dual¼a bazei Bd din V. Urmeaz¼a c¼a pentru spatii vectoriale de tip �nitspatiul este izomorf cu dualul s¼au.


2.4.4.Observatie. Schimbarea reprezent¼arii operatorilor la schimbareabazei se face astfel:

[U (x)]Bc =MBd;Bc (U (�)) [x]Bd ; [U (x)]B0c =MB0d;B0c(U (�)) [x]B0d ;

[x]B0d= (M (Bd))B0d

[x]Bd ; [U (x)]B0c = (M (Bc))B0c [U (x)]Bc ;

deci

[U (x)]Bc =�(M (Bc))B0c

��1[U (x)]B0c =MBd;Bc (U (�)) [x]Bd )

[U (x)]B0c = (M (Bc))B0cMBd;Bc (U (�)) [x]Bd =

=

�(M (Bc))B0cMBd;Bc (U (�))

�(M (Bd))B0d

��1�[x]B0d

CAPITOLUL 3

Subspatii vectoriale

3.1. Operatii cu subspatii vectoriale

3.1.1. Propozitie. Intersectia unei familii de subspatii este subspatiu.

Demonstratie. Dac¼a (V;K) este spatiu vectorial iar (Vi)i2I sunt subspatiiale lui (V;K), atunci pentru V0 :=

Ti2IVi au loc:

1. x, y 2 V0 ) 8i 2 I x, y 2 Vi ) 8i 2 I, x+ y 2 Vi ) x+ y 2 V02. x 2 V0, � 2 K) 8i 2 I x 2 Vi si � 2 K ) 8i 2 I �x 2 Vi ) �x 2

V0. �3.1.2.De�nitie. Se numeste suma unei familii (Vi)i2I de subspatiimultimeaX

i2IVi

Def=

(Xi2I

vi; vi 2 Vi; 8i 2 I):

3.1.3. Propozitie. Suma unei familii de subspatii este un subspatiu.

Demonstratie. xj 2Pi2IVi; j = 1; 2 ) 9vji 2 Vi; 8i 2 I; j = 1; 2

astfel încât xj =Pi2Ivji ) x1 + x2 =

Pi2I(v1i + v2i ) 2

Pi2IVi: Analog, pentru

� 2 K; �x1 =Pi2I(�v1i ) 2

Pi2IVi. �

3.1.4. Propozitie. Suma subspatiilor coincide cu subspatiul generatde reuniunea subspatiilorX

i2IVi = span

[i2IVi

!(este cel mai mic subspatiu care contine reuniunea familiei).

Demonstratie. Fie x 2Pi2IVi ) 9vi 2 Vi �

Si2IVi; 8i 2 I astfel

încât x =Pi2Ivi ) x 2 L

�Si2IVi�: Reciproc, �e x 2 L

�Si2IVi�) 9�j 2

47

48 3. SUBSPATII VECTORIALE

K, 9vj 2Si2IVi, x =

mPj=1

�jvj. Pentru �ecare j 9ij 2 I, vj = uij 2 Vij )

�ivi 2 Vi deci x =mPj=1

��juij

�2Pi2IVi. �

3.1.5. Propozitie. maxi2I

(dimVi) � dim�Pi2IVi��Pi2Idim (Vi) :

Demonstratie. Pentru prima inegalitate, are loc 8i 2 I; Vi �Pi2IVi

) 8i 2 I; dimVi � dim�Pi2IVi�) max

i2I(dimVi) � dim

�Pi2IVi�.

Pentru a doua inegalitate, �e câte o baz¼a în �ecare subspatiu si �efamilia obtinut¼a prin reunirea lor; aceast¼a nou¼a familie este sistem degeneratori în

Pi2IVi iar num¼arul ei de vectori este

Pi2Idim (Vi); cum orice

baz¼a a subspatiului are cel mult tot atâtia vectori câti are un sistem de

generatori, rezult¼a c¼a dim�Pi2IVi��Pi2Idim (Vi). �

3.1.6. Propozitie. (De�nitii echivalente pentru suma direct¼a adou¼a subspatii) FieV1siV2 dou¼a subspatii siV1+V2 suma lor. Urm¼atoarelea�rmatii sunt echivalente:

(1) Orice vector al sumei admite o unic¼a descompunere într-o sum¼adintre un vector din V1 si un vector din V2.

(2) Intersectia celor dou¼a subspatii este subspatiul nul.(3) Dimensiunea sumei subspatiilor este egal¼a cu suma dimensiunilor

subspatiilor.

Demonstratie. Se va demonstra echivalenta a�rmatiilor 1. si 2., 2. si3.1.,2. Fie suma V1 + V2 cu proprietatea 1. si �e x 2 V1 \ V2: Pentru

v 2 V1 +V2 9vi 2 Vi, i = 1; 2 asa ca v = v1 + v2 = (v1 � x) + (x+ v2) cuv1 � x 2 V1si x + v2 2 V2 deci descompunerea este unic¼a dac¼a si numaidac¼a 8x 2 V1 \ V2; x = 0:

2.,3. Fie câte o baz¼a (ei)i=1;k1 ; (fj)j=1;k2 în �ecare subspatiu.�)�Se presupune c¼a V1\V2 = f0g. Atunci familia (ei)i=1;k1[(fj)j=1;k2

este baz¼a în V1 + V2: familia este sistem de generatori; �e o combinatie

3.1. OPERATII CU SUBSPATII VECTORIALE 49

liniar¼a nul¼ak1Pi=1

�iei +k2Pj=1

�jfj = 0)

) x =k1Pi=1

�iei = �k2Pj=1

�jfj 2 V1 \ V2 = f0g

si cum (ei)i=1;k1, (fj)j=1;k2 sunt baze în V1, respectiv V2 urmeaz¼a c¼a totiscalarii sunt nuli, adic¼a familia este liniar independent¼a si deci baz¼a înV1 + V2 ) dim (V1 + V2) = k1 + k2.

�(� Fie c¼a dim (V1 + V2) = dimV1 + dimV2; se presupune prinreducere la absurd c¼a ar exista x 6= 0 2 V1 \V2. Familia format¼a din celedou¼a baze este sistem de generatori, dar nu mai este liniar independent¼a,pentru c¼a vectorul nenul x admite dou¼a reprezent¼ari distincte în cele dou¼asubspatii, asa c¼a reprezentarea oric¼arui vector al sumei poate �modi�cat¼aprin adunarea reprezent¼arii lui x în V1 si sc¼aderea reprezent¼arii lui x în V2.Extragerea din ea a unei baze conduce la micsorarea strict¼a a num¼aruluide vectori, deci dim (V1 + V2) < dimV1+dimV2; contradictie cu ipoteza.Deci intersectia contine numai elementul nul �3.1.7. De�nitie. Suma V1 + V2 a dou¼a subspatii V1 siV2 se numeste

direct¼a dac¼a este satisf¼acut¼a una dintre conditiile echivalente din propozitiade mai sus. Suma direct¼a a dou¼a subspatii se noteaz¼a cuV1 � V2 .3.1.8. De�nitie. Dou¼a subspatii V1 si V2 se numesc suplimentare în

V dac¼aV = V1 � V2.3.1.9. Propozitie. Dac¼a V1 este subspatiu al lui V atunci exist¼a un

subspatiu V2 astfel încât V = V1 � V2:Demonstratie. Fie o baz¼a (ei)i=1;k1 a lui V1 care se completeaz¼a

la o baz¼a a lui V cu vectorii (fj)j=1;k2. Atunci V2 = L�(fj)j=1;k2

�este

suplimentul lui V1 în V: x 2 V1 \ V2 ) vectorul x se exprim¼a în acelasitimp ca o combinatie liniar¼a de vectorii �ec¼arei subfamilii,

x =

k1Xi=1

�iei =

k2Xj=1

�jfj

decik1Xi=1

�iei �k2Xj=1

�jfj = 0


deci toti scalarii sunt nuli, adic¼a orice element al intersectiei este nul, adic¼asuma spatiilor este direct¼a �

3.1.10. Observatie. Dac¼a V1este subspatiu în V astfel încât dimV1 =k sidimV = n, atunci suplimentul lui V1 în V are dimensiunea n � k.Dimensiunea suplimentului se mai numeste codimensiunea lui V1.

3.1.11. Teorem¼a. (De�nitii echivalente pentru suma direct¼a a

mai multor subspatii) Fie (Vi)i=1;k si V =kPi=1

Vi. Urm¼atoarele a�rmatii

sunt echivalente:(1) Fiecare vector x al sumei se descompune în mod unic sub forma:

x =kPi=1

vi; vi 2 Vi; i = 1; k.

(2) 8j = 1; k; Vj \

kPi=1;i6=j

Vi

!= f0g :

(3)kPi=1

dimVi = dimV:

Demonstratie. �1,2�Se presupune c¼a exist¼a j = 1; k astfel încât

Vj \

kPi=1;i6=j

Vi

!6= f0g ) 9x 2 Vj \

kP

i=1;i6=jVi

!n f0g ) x 2 Vj si

x 2kP

i=1;i6=jVi si x 6= 0: Atunci x =

kPi=1;i6=j

v0i; vi 2 Vi; i 6= j si pentru

un vector oarecare al sumei v 2kPi=1

Vi are loc v =kPi=1

vi =kP

i=1;i6=jvi +

vj =

kP

i=1;i6=jvi � x

!+ (vj + x) =

kP

i=1;i6=jvi �

kPi=1;i6=j

v0i

!+ (vj + x) =

kPi=1;i6=j

(vi � v0i)+(vj + x), care este o alt¼a descompunere pentru x, distinct¼a

de prima din cauz¼a c¼a x 6= 0, contradictie cu unicitatea descompunerii.

Reciproc, dac¼akPi=1

vi =kPi=1

v0i, atuncikPi=1

(vi � v0i) = 0 si dac¼a 9j astfel încât

vj � v0j 6= 0; atunci v0j � vj =kP

i=1;i6=j(vi � v0i) 6= 0) 9j; Vj \

kP

i=1;i6=jVi

!6=

f0g contradictie.

3.1. OPERATII CU SUBSPATII VECTORIALE 51

�2)3� Fie câte o baz¼a în �ecare subspatiu; reuniunea bazelor estesistem de generatori al sumei, iar din conditia 2 rezult¼a independentaliniar¼a a reuniunii de baze: dac¼a reuniunea de baze n-ar �liniar independent¼a,atunci ar exista un indice j si un vector în Vj care s¼a �e sum¼a de vectori din

celelalte subspatii, adic¼a Vj \

kPi=1;i6=j

Vi

!6= f0g contradictie. Urmeaz¼a

c¼a are loc 3.�3)2�Reuniunea bazelor este sistem de generatori al sumei si din 3

urmeaz¼a c¼a este si liniar independent¼a (ca �ind minimal¼a), asa c¼a dac¼a

are loc Vj \

kPi=1;i6=j

Vi

!6= f0g atunci pentru 0 6= x 2 Vj \

kP

i=1;i6=jVi

!si pentru v oarecare o scriere a lui v în reuniunea bazelor ar putea �modi�cat¼a prin intermediul lui x în alt¼a scriere distinct¼a de prima, folosind

cele dou¼a reprezent¼ari ale lui x în Vj si înkP

i=1;i6=jVi:

x =kj0Pi=1

�j0i ej0i =

kPj=1;j 6=j0

kjPi=1

�jieji

!; v =

kPj=1

kjPi=1

�jieji

!=

kj0Pi=1

�j0i ej0i +

kPj=1;j 6=j0

kjPi=1

�jieji

!=

kj0Pi=1

��j0i � �

j0i

�ej0i +

kPj=1;j 6=j0

kjPi=1

��ji + �ji

�eji

!, adic¼a

reuniunea familiei de baze n�ar � liniar independent¼a, contradictie. �3.1.12. De�nitie. Suma unei familii de subspatii (Vi)i=1;k se numeste

direct¼a dac¼a este satisf¼acut¼a una dintre conditiile echivalente din teoremade mai sus.

3.1.13. Teorem¼a. (Formula lui Grassmann) Pentru orice dou¼asubspatii V1 si V2 are loc:

dimV1 + dimV2 = dim (V1 + V2) + dim (V1 \ V2) :Demonstratie. FieV01 suplimentul direct al lui V1 \ V2 în V1:

V1 = (V1 \ V2)� V01:

)�(V1 \ V2) \ V01 = f0g;

V01 � V1:V02 suplimentul direct al lui V1 \ V2 în V2:

V2 = (V1 \ V2)� V02;


)�(V1 \ V2) \ V02 = f0g;

V02 � V2:

De unde rezult¼a:

8>>><>>>:V01 \ V2 = V1 \ V01| {z }

=V01

\ V2 = (V1 \ V2) \ V01 = f0g

V02 \ V1 = V2 \ V02| {z }=V02

\ V1 = (V1 \ V2) \ V02 = f0g :

Ar¼at¼am c¼a are loc relatia:

V1 + V2 = (V1 \ V2)� V01 � V02:Trebuie demonstrate relatiile:� (V1 \ V2) \ (V01 + V02) = f0gx 2 (V1 \ V2) \ (V01 + V02)) x 2 V1; x 2 V2; x 2 V01 + V02 )x 2 V1; x 2 V2; x = u1 + u2; ui 2 V0i ) u1 2 V01 � V1 siu1 = x� u2 2 V2 ) u1 2 V1 \ V2 \ V01 = f0g ) u1 = 0;analog u2 = 0 deci x = 0.� V01 \ ((V1 \ V2) + V02) = V01 \ V2 = f0g.� V02 \ ((V1 \ V2) + V01) = V02 \ V1 = f0g.Asadar descompunerea sumei V1 + V2 = (V1 \ V2) � V01 � V02 este

direct¼a si atunci are loc relatia dintre dimensiuni:

dim (V1 + V2) = dim (V1 \ V2) + dimV01 + dimV02;cum dimV0i = dimVi � dim (V1 \ V2) urmeaz¼a c¼a

dim (V1 + V2) = dimV1 + dimV2 � dim (V1 \ V2) ;ceea ce încheie demonstratia �

3.2. Izomor�sme de spatii vectoriale

3.2.1. Observatie. Fie (V;K) un spatiu vectorial si V0 un subspatiual s¼au; V0 �ind subspatiu, este si subgrup al grupului V. Se consider¼a peV relatia

u vV0 vDef, u� v 2 V0:

Aceast¼a relatie este o relatie de echivalent¼a pe V (deocamdat¼a estenecesar¼a numai calitatea de grup a lui V).

Demonstratie. Simetrie: u vV0 v ) u � v 2 V0 ) v � u 2 V0 )v vV0 u.Tranzitivitate: u vV0 v si v vV0 w ) u� v si v�w 2 V0 ) u�w =

(u� v) + (v � w) 2 V0.

3.2. IZOMORFISME DE SPATII VECTORIALE 53

Re�exivitate: 8v 2 V, v vV0 v pentru c¼a v � v = 0 2 V0 �Relatia de echivalent¼a �vV0�genereaz¼ape V clase de echivalent¼a: se

va nota cu bx multimea tuturor elementelor lui V care sunt echivalente cux: bx = fv 2 V; x vV0 vg = x+ V0 = fx+ v0; v0 2 V0g :Dou¼a clase de echivalent¼a pot numai s¼a coincid¼a sau s¼a �e disjuncte(evident) iar familia tuturor claselor de echivalent¼a formeaz¼a o partitiea lui V (sunt disjuncte dou¼a câte dou¼a iar reuniunea lor este V).

3.2.2. De�nitie. Se numeste multime factor (multime cât) multimeatuturor claselor de echivalent¼a; se noteaz¼a

V=V0 = fbx; x 2 Vg(este o multime de clase de echivalent¼a, deci o multime de multimi)

3.2.3.Observatie. Pentru �ecare x 2 V functia x (�) : V0 ! (x+ V0)de�nit¼a prin x (v) = v + x este bijectiv¼a.

Demonstratie. Evident �3.2.4. Propozitie. Pe multimea V=V0 se poate de�ni o stuctur¼a de

spatiu vectorial.

Demonstratie. (V=V0;K) este spatiu vectorial cu operatiile:adunarea bx + by Def

= [x+ y este o operatie bine de�nit¼a (nu depindede reprezentanti) între clasele de echivalent¼a pentru c¼a, dac¼a bx = bx1 siby = by1, atunci x � x1 si y � y1 2 V0 ) (x+ y) � (x1 + y1) 2 V0 deci[x+ y = \x1 + y1. Asociativitatea rezult¼a din asociativitatea operatiei peV: (bx+ by) + bz = [x+ y + bz = \(x+ y) + z = \x+ (y + z) = bx + [y + z =bx+ (by + bz); elementul neutru este b0(= V0) iar opusul este �bx = c�x.

Înmultirea unei clase de echivalent¼a cu un scalar: �bx = c�x. Operatiaeste bine de�nit¼a pentru c¼a, dac¼a bx = bx1 atunci x � x1 2 V0 deci� (x� x1) 2 V0, adic¼a c�x = c�x1. Au loc si propriet¼atile din de�nitiaspatiului vectorial:(�+ �) bx = \(�+ �)x = \�x+ �x = c�x+ c�x = �bx+ �bx;� (bx+ by) = �[x+ y = \�(x+ y) = \�x+ �y = c�x+c�y;� (�bx) = �c�x = \�(�x) = \(��)x = (��) bx;1 � bx = d1 � x = bx: Deci

(V=V0;K) este spatiu vectorial (cu operatiile între clase de echivalent¼ade�nite mai sus) �


3.2.5. Observatie. Functia � (�) : V! (V=V0) de�nit¼a prin � (x) = bxeste mor�sm de spatii vectoriale iar nucleul acestui mor�sm este chiar V0.

Demonstratie. � (x+ y) = [x+ y = bx+by = � (x)+� (y) iar � (�x) =c�x = �bx = � (x) deci functia este mor�sm de spatii vectoriale. Nucleuloperatorului este ker� (:) = fx 2 V;� (x) = 0 2 V=V0g si este chiarV0 �

3.2.6. De�nitie. Spatiul vectorial construit mai sus se numeste spatiulvectorial factor (cât) al spatiului V în raport cu subspatiul V0.

3.2.7. Teorem¼a. (Teorema fundamental¼a de izomor�sm) FieU (�) : V1 ! V2 un mor�sm între dou¼a spatii vectoriale. Atunci spatiilevectoriale V1= kerU (�) si ImU (�) sunt izomorfe.

Demonstratie. Se de�neste ~U (�) : V1= kerU (�)! ImU (�) prin ~U (bx) =U (x);

~U (�) este bine de�nit (de�nitia nu depinde de reprezentanti) pentruc¼a dac¼a bx = by atunci x� y 2 kerU (�), adic¼a U (x) = U (y).

~U (�) este mor�sm de spatii vectoriale: aditivitatea ~U (bx1 + bx2) =~U�\x1 + x2

�= U (x1 + x2) = U (x1) + U (x2) = ~U (bx1) + ~U (bx2);

omogenitatea ~U (�bx) = ~U (c�x) = U (�x) = �U (x) = � ~U (bx).~U (�) este surjectiv: y 2 ImU (�)) 9xy 2 V1, U (xy) = y) ~U (xy) = y.~U (�) este injectiv: ~U (bx1) = ~U (bx2) ) U (x1) = U (x2) ) x1 � x2 2

kerU (�) ) bx1 = bx2.Deci ~U (�) este izomor�sm de spatii vectoriale �3.2.8. Teorem¼a. (Teorema I de izomor�sm) Fie (V;K) un spatiu

vectorial, V1 si V2 subspatii vectoriale astfel încât V � V1 � V2. Atuncispatiile vectoriale ((V=V2) = (V1=V2)) si V=V1 sunt izomorfe.

Demonstratie. Se noteaz¼a cu bx = x+V2 clasa lui x în raport cu V2(deci elementul lui V=V2) si cu ex = x + V1 clasa lui x în raport cu V1(deci elementul lui V=V1); se de�neste functia � (:) : (V=V2) ! (V=V1)prin � (bx) = ex. � (�) este bine de�nit¼a pentru c¼a bx1 = bx2 ) x1 � x2 2 V2) x1 � x2 2 V1 ) ex1 = ex2.

� (�) este mor�sm de spatii vectoriale pentru c¼a � (bx1 + bx2) = �� \x1 + x2

�= x1 + x2 = ex1 + ex2 = � (bx1) + � (bx2) si � (�bx) = � (c�x) = f�x = �ex =�� (bx).


Im� (:) = V=V1 (functia este evident surjectiv¼a) iar nucleul ei esteV1=V2: bx 2 ker� (:) , � (bx) = e0 , ex = e0 , x 2 V1 deci bx 2 ker� (:)dac¼a si numai dac¼a bx = x+ V2 si x 2 V1 adic¼a bx 2 V1=V2 � V=V2.Se aplic¼a Teorema fundamental¼a de izomor�sm si se obtine c¼a

(V=V2)ker� (:)

si Im� (:) sunt izomorfe, adic¼a ((V=V2) = (V1=V2)) si V=V1 sunt izomorfe�

3.2.9. Teorem¼a. (Teorema II de izomor�sm) Fie (V;K) un spatiuvectorial, V1 si V2 subspatii vectoriale ale lui V. Atunci spatiile vectorialeV1= (V1 \ V2) si (V1 + V2) =V2 sunt izomorfe.

Demonstratie. Se de�neste functia � (�) : V1 ! (V1 + V2) =V2 prin� (x) = bx = x+ V2.

Functia este mor�sm de spatii vectoriale: � (x+ y) = [x+ y = bx+ by =� (x) + � (y) si � (�x) = c�x = �bx = �� (x). x 2 ker� (:) , x 2 V1 sibx = b0 () x 2 V2) deci ker� (:) = V1 \ V2.

Fie y 2 (V1 + V2) =V2 ) 9x1 2 V1, 9x2 2 V2, y = x1 + x2 + V2 =x1 + V2 = bx1 ) � (x1) = y ) functia este surjectiv¼a.Din Teorema fundamental¼a de izomor�sm urmeaz¼a c¼a spatiileV1= ker� (:)

si Im� (:) sunt izomorfe, adic¼a spatiile vectorialeV1= (V1 \ V2) si (V1 + V2) =V2sunt izomorfe. �

3.2.10. Teorem¼a. (Dimensiunea spatiului factor) Fie (V;K) unspatiu vectorial de tip �nit si V0 un subspatiu al s¼au. Atunci

dim (V=V0) = dimV� dimV0:Demonstratie. Se alege o baz¼a x1; � � � ; xk în V0 si se completeaz¼a

pân¼a la o baz¼a x1; � � � ; xk; y1; � � � ; yr în V. Se consider¼a familia by1; � � � ; byrîn V=V0; x1; � � � ; xk; y1; � � � ; yr este baz¼a în V asa c¼a 8v 2 V 9�i; �j 2 K

astfel încât v =kXi=1

�ixi| {z }2V0

+rPi=1

�jyj, adic¼a bv = rPi=1

�jbyj deci by1; � � � ; byrformeaz¼a sistem de generatori în V=V0. Fie �j 2 K astfel încât

rPi=1

�jbyj = b0)

rPi=1

�jyj 2 V0; dac¼a 0 6= v0 =rPi=1

�jyj 2 V0, atunci din faptul c¼a

v0 este reprezentabil si ca o combinatie liniar¼a de xi ar urma c¼a vectoriix1; � � � ; xk; y1; � � � ; yr accept¼a o combinatie liniar¼a nul¼a cu coe�cienti nenuli,


contradictie cu calitatea de baz¼a; asadar v0 este nul si cum y1; � � � ; yrsunt liniar independenti în V urmeaz¼a c¼a toti scalarii sunt nuli. Asadarby1; � � � ; byr este o baz¼a în spatiul factor V=V0 si dimV=V0 = r, adic¼adimV=V0 = dimV� dimV0 �

3.2.11. Corolar. Fie (V;K) un spatiu vectorial, V1 si V2 subspatiivectoriale ale lui V. Atunci

dimV1 + dimV2 = dim (V1 + V2) + dim (V1 \ V2) :Demonstratie. Din Teorema II de izomor�sm se stie c¼a spatiile vectoriale

V1= (V1 \ V2) si (V1 + V2) =V2 sunt izomorfe, deci au aceeasi dimensiune.Deci

dim (V1= (V1 \ V2)) = dim ((V1 + V2) =V2)si din corolarul anterior

dim (V1= (V1 \ V2)) = dimV1 � dim (V1 \ V2)iar

dim ((V1 + V2) =V2) = dim (V1 + V2)� dimV2asa c¼a

dimV1 � dim (V1 \ V2) = dim (V1 + V2)� dimV2:�

3.2.12. Corolar. Fie (V1;K), (V2;K) dou¼a spatii vectoriale de tip�nit si U (�) : V1 ! V2 un mor�sm de spatii vectoriale. Atunci au loca�rmatiile:

(1) dimV1 = dim (kerU (�)) + dim (ImU (�));(2) U (�) injectiv , dimV1 = dim (ImU (�));(3) U (�) surjectiv , dimV2 = dim (ImU (�)).Demonstratie. Evident �3.2.13.Teorem¼a. (Teorema lui Sard a câtului, variant¼a �nit�dimensional¼a)

Fie X, Y , Z spatii vectoriale peste acelasi corp K si �e operatorii liniariS (�) : X ! Y si T (�) : X ! Z. Dac¼a S (�) este surjectiv iar kerS (�) �kerT (�), atunci 9 operatorul liniar unic R (�) : Y ! Z astfel încât T =R � S:

Demonstratie. Fie operatorii S (�) : X= kerS (�)! Y si bT (�) : X= kerT (�)!Z de�niti prin:

S (x) = S (x) si bT �bx� = T (x).


Operatorii S (�) si bT (�) sunt bine de�niti (Exercitiu!).Operatorii S (�) si bT (�) sunt liniari (Exercitiu!).Operatorii S (�) si bT (�) sunt injectivi (Exercitiu!).S (�) este surjectiv (pentru c¼a S (�) este surjectiv) (Exercitiu!).) S (�) bijectiv ) 9S�1 (�) : Y ! X= kerS (�) bijectiv liniar.Fie functia: P (�) : X= kerS (�)! X= kerT (�) de�nt¼a prin P (x) = bx.P (�) este bine de�nit (Exercitiu!).P (�) este liniar (Exercitiu!).De�nim R (�) : Y ! Z prin: R (�) =

�bT � P � S�1

�(�). Atunci

(R � S) (x) = R (S (x)) =bT�P�S�1 (S (x))

��=bT (P (x)) =

bT�bx� =

T (x). �3.2.14. Observatie. Reciproc, dac¼a X, Y , Z spatii vectoriale peste

acelasi corp K iar S (�) : X ! Y si T (�) : X ! Z sunt operatori liniariastfel încât 9 operatorul liniar R (�) : Y ! Z cu T = R � S, atunci esteevident c¼a are loc kerS (�) � kerT (�) (Exercitiu!).

CAPITOLUL 4

Functionale pe spatii vectoriale de tip �nit

4.1. Introducere

4.1.1. De�nitie. Se numeste functional¼a pe spatiul vectorial (V;K)orice functie de�nit¼a pe V si cu valori în K.

4.1.2. De�nitie. O functional¼a f (�) : V! K se numeste aditiv¼a dac¼a8v1; v2 2 V; f (v1 + v2) = f (v1) + f (v2)

4.1.3.De�nitie. O functional¼a real¼a f (�) : V! R se numeste subaditiv¼adac¼a

f (x+ y) � f (x) + f (y) ;8x; y 2 V:4.1.4. De�nitie. O functional¼a f (�) : V! K se numeste omogen¼a

dac¼af (�x) = �f (x) ;8x 2 V;8� 2 K:

4.1.5. De�nitie. O functional¼a real¼a f (�) : V! R se numeste pozitivomogen¼a dac¼a

f (�x) = �f (x) ;8x 2 V;8� � 0:4.1.6. De�nitie. O functional¼a real¼a subaditiv¼a si cu proprietatea

f (�x) = j�j f (x) ;8x 2 V; 8� 2 Rse numeste seminorm¼a.

4.1.7. De�nitie. O functional¼a real¼a se numeste subomogen¼a dac¼a

f (�x) � �f (x) ; 8x 2 V; 8� � 1() f (�x) � �f (x) ; 8� 2 (0; 1])

4.1.8. De�nitie. O functional¼a real¼a, pozitiv¼a si extins¼a � (�) : V !R+ se numeste !�seminorm¼a dac¼a este netrivial¼a (adic¼a atinge si altevalori în afara celor in�nite), subaditiv¼a, cresc¼atoare si !�pozitiv omogen¼a( adic¼a are loc relatia: 8x 2 V, 8� � 0; � (�x) = �!� (x)).

59

60 4. FUNCTIONALE PE SPATII VECTORIALE DE TIP FINIT

4.1.9. De�nitie. Se numeste con pozitiv un obiect (A;+; �;6; 0) unde:(1) (A;+) este semigrup (monoid) comutativ cu element unitate 0:(2) � : R+ � A ! A este operatie extern¼a (cu propriet¼atile obisnuite

de compatibilitate).(3) �6�este o relatie de ordine (partial¼a) pe A astfel încât 0 este cel

mai mic element din A, si care are propriet¼atile:(a) ax 6 ay; 8a 2 R+;8x; y 2 A;(b) ax 6 bx;8a; b 2 R+;8x 2 A;(c) x 6 y ) z + x 4 z + y; 8x; y; z 2 A:

4.1.10.Teorem¼a. (H. Hahn, S. Banach, prelungirea functionalelorliniare) Fie f (�) o functional¼a subliniar¼a pe un spatiu liniar real V sif0 (�) o functional¼a liniar¼a de�nit¼a pe un subspatiu liniar V0, satisf¼acândconditia

f0 (v) 6 f (v) ; 8v 2 V0:În aceste conditii, functionala f0 (�) poate � prelungit¼a pe tot spatiul Vcu p¼astrarea liniarit¼atii si a inegalit¼atii, adic¼a exist¼a o functional¼a liniar¼a~f0 (�) : V! R, asa ca

~f0 (v) = f0 (v) ; 8v 2 V0;~f0 (v) 6 f (v) ; 8v 2 V:

Demonstratie. Fie v1 2 V n V0; �e V1 = span (V0 [ fv1g) ; pentruorice v0; v00 2 V0; au loc:

f0 (v0)� f0 (v00) = f0 (v

0 � v00) 66 f (v0 � v00) = f ((v0 + v1)� (v00 + v1)) 6

f (v0 + v1) + p (�v00 � v1))) �f (�v00 � v1)� f0 (v00) 6 f (v0 + v1)� f0 (v0) :

Not¼am� = supv2V0 (�f (�v � v1)� f0 (v)) ;� = infv2V0 (f (v + v1)� f0 (v)) :

Atunci are loc

� � �;

�e �1 2 [�; �] : Are loc

�f (�v � v1)� f0 (v) � �1 � f (v + v1)� f0 (v) ; 8v 2 V0:

4.1. INTRODUCERE 61

În continuare se observ¼a c¼a orice vector v 2 V1 se poate scrie unic subforma

v = v0 + �v1; v0 2 V0; � 2 R:Se de�neste functionala liniar¼a f1 (�) : V1 ! R prin

f1 (v) = f0 (v0) + ��1:

Functionala f1 (�) este liniar¼a (evident) si veri�c¼a peV1 inegalitatea; trebuiedemonstrat c¼a

8� 2 R;8v0 2 V0; are loc f1 (v0) + ��1 6 f (v0 + �v1) :

Pentru � = 0; inegalitatea are loc. Pentru � > 0; are loc, pentru v = 1�v;

inegalitatea:

�1 6 f

�1

�v + v1

�� f0

�1

�v

�) f0 (v) + ��1 6 f (v + �v1) :

Pentru � < 0; are loc, pentru v = 1�v; inegalitatea:

�f��1�v � v1

�� f0

�1

�v

�6 �1 ) (��) f

��1�v � v1

�� f0

�1

�v

�+ ��1 )

��>0) f (v + �v1) � f0 (v) + ��1:

Deci functionala initial¼a se poate prelungi pe un subspatiu liniar mai largdecât V0 cu p¼astrarea liniarit¼atii si a inegalit¼atii. Pentru V spatiu liniar detip �nit, acest lucru înseamn¼a c¼a într-un num¼ar �nit de pasi functionalainitial¼a poate � prelungit¼a pe tot spatiul �4.1.11. Observatie. Teorema are loc pe un spatiu vectorial oarecare

(nu neap¼arat de tip �nit), cu aplicarea teoremei lui Zorn.

4.1.12. Corolar. Dac¼a în teorema Hahn-Banach functionala f (�) esteîn plus si subomogen¼a, atunci functionala f (�) este prelungibil¼a pe totspatiul cu p¼astrarea liniarit¼atii si a inegalit¼atii fat¼a de functionala subliniar¼asi subomogen¼a.

4.1.13.Observatie. Fiind �xat¼a functionala f (�) subliniar¼a si subomogen¼a,se pot de�ni explicit dou¼a functionale d1 (�; �) : V� V! R+ de�nit¼a prind1 (x; y)

Def= f (x) + f (y)� f (x+ y) si d2 (�; �) : R� V! R, de�nit¼a prin

d2 (�; x)Def= �f (x)� f (�x).

4.1.14. Teorem¼a. Fie A un con pozitiv si �e � (�) : A ! �R+; � (�) :R+ ! R+ dou¼a functii cu propriet¼atile:


(1) � (�) are propriet¼atile:(a) 9x 2 A, � (x) 2 (0;1) si � (�) este neconstant¼a.(b) � (�) este subaditiv¼a.(c) � (�) este cresc¼atoare.

(2) 8x 2 A;8� 2 R+, are loc: � (� � x) = � (�) � � (x) :În aceste conditii 9! 2 (0; 1] astfel încât � (t) = t!;8t 2 R+:Demonstratie. Fie x0 2 A cu � (x0) 2 (0;1).

� (x0) = � (1x0) = � (1) � (x0)) � (1) = 1:

� (�) este multiplicativ¼a:� (abx0) = � (ab) � (x0) = � (a) � (bx0) = � (a)� (b) � (x0))

) � (ab) = � (a)� (b) :

� (�) este cresc¼atoare:0 6 a < b <1) ax0 6 bx0 )

) � (a) � (x0) = � (ax0) 6 � (bx0) = � (a) � (x0))) � (a) 6 � (b) :

În particular, din faptul c¼a � (�) este cresc¼atoare rezult¼a c¼a este continu¼aîn afara unei multimi cel mult num¼arabile. Se va folosi numai c¼a exist¼a unpunct de continuitate.

� (�) este subaditiv¼a:� (a+ b) � (x0) = � ((a+ b)x0) = � (ax0 + bx0) 6 � (ax0) + � (bx0) =

= � (a) � (x0) + � (b) � (x0) = (� (a) + � (b)) � (x0))) � (a+ b) 6 � (a) + � (b) :

Fie a > 0; atunci � (x0) = ��a 1ax0�= � (a)�

�1a

�� (x0)) � (a)�

�1

a

�=

1 si � (a) > 0 (deci are sens expresia ln� (ex) care va � folosit¼a mai jos).Din proprietatea de multiplicitate rezult¼a pentru a = b = 0 c¼a � (0) =

�2 (0) deci exist¼a dou¼a cazuri: � (0) = 0 sau � (0) = 1.� Pentru � (0) = 1, din monotonie ) 8a 2 [0; 1], 0 6 a 6 1 )1 = � (0) 6 � (a) 6 � (1) = 1 ) 8a 2 [0; 1], � (a) = 1. Maimult, 8a 2 [1;1), 1

a2 (0; 1] si � (a) = 1

�

�1

a

� = 1 deci în acest

caz functia � (�) este identic egal¼a cu 1, adic¼a ! = 0. Cum relatia� (ax) = � (a) � (x) are loc pentru �ecare a 2 R+ si pentru �ecare

4.1. INTRODUCERE 63

x 2 A, pentru a = 0 rezult¼a � (0) = 1 � � (x) ; 8x 2 A deci functia� (�) este constant¼a de valoare � (0) 6= 0, contradictie cu ipoteza.Deci � (0) 6= 1.� Pentru � (0) = 0 se consider¼a functia F (�) : R! R de�nit¼a prinF (x) = ln� (ex); din multiplicitatea lui � (�) rezult¼a c¼a are loc

F (x+ y) = ln� (ex+y) = ln� (exey) = ln (� (ex)� (ey)) == ln� (ex) + ln� (ey) = F (x) + F (y)

) F (�) este aditiv¼a (este solutie a ecuatiei lui Cauchy). Cum� (�) este continu¼a m¼acar într-un punct, urmeaz¼a c¼a si F (�) estecontinu¼a m¼acar într-un punct. Deci F (�) este solutie continu¼a peR a ecuatiei lui Cauchy, adic¼a 9! 2 R astfel încât F (x) = !x sideci � (ex) = e!x = (ex)!, adic¼a � (t) = t!. Din continuitatea peR a functiei F (�) rezult¼a continuitatea pe (0;1) a functiei � (�).

Deci � (t) =�t!, pentru t > 00, pentru t = 0: Din � (ax) = � (a) � (x), pentru

a = 0 ) � (0) = 0. Functia � (�) este cresc¼atoare deci ! � 0 iardac¼a ! = 0) � (ax) = � (x), 8a 2 R+, 8x 2 A ) pentru a = 0,� (x) = � (0) = 0, contradictie cu netrivialitatea functiei � (�);deci ! 6= 0. � (�) este subaditiv¼a deci pentru a = b = 1 are loc2! = (1 + 1)! 6 1! + 1! = 2 ) ! 6 1. Deci ! 2 (0; 1]

�

4.1.15. Observatie. (Ecuatia lui Cauchy)

f (x+ y) = f (x) + f (y) ; 8x; y 2 R:

S¼a studiem functiile care satisfac ecuatia lui Cauchy:

� Pentru x = y = 0, are loc: f (0) = 2f (0) deci f (0) = 0:� Pentru x = y = 1, are loc f (2) = f (1 + 1) = 2f (1); în general,pentru orice n 2 N, are loc f (n) = nf (1) (prin inductie); se

noteaz¼a !Not.= f (1) :

� 0 = f (1� 1) = f (1 + (�1)) = f (1) + f (�1) ) f (�1) =�f (1) = �! si cu acelasi rationament ca la pasul anterior urmeaz¼ac¼a pentru orice n 2 Z�, are loc f (n) = !n, deci relatia f (n) = !nare loc pentru orice n num¼ar întreg.


� Are loc, pentru orice num¼ar n natural strict pozitiv, relatia

! = f (1) = f�nn

�= f

�1

n+ � � � 1

n

�| {z }

n�ori

= nf

�1

n

�) f

�1

n

�= !

1

n;

deci pentrum un alt num¼ar natural are loc f�mn

�= f

�1

n+ � � � 1

n

�| {z }

m�ori

=

mf�1n

�= !m

n; rationamentul se extinde si pentru numere rationale

negative, asa c¼a relatia f (x) = !x are loc pentru orice num¼arrational.� Dac¼a o solutie a ecuatiei Cauchy este continu¼a într-un punct,atunci este continu¼a în orice punct. Fie c¼a 8 (xn)n2N cu xn ! x0,are loc f (xn)! f (x0) si �e yn ! y; atunci are loc

f (yn) = f ((yn � y + x0) + y � x0) = f (yn � y + x0) + f (y � x0)!! f (x0) + f (y � x0) = f (y) ;

pentru c¼a sirul (yn � y + x0)n2N tinde la x0:� Exist¼a solutii ale ecuatiei Cauchy care nu sunt continue în nici-unpunct (si care sunt numite functii Hamel).

4.2. Functionale biliniare

Ne vom folosi si de un abuz de limbaj referindu-ne la o baz¼a ca la ofamilie de vectori în care conteaz¼a ordinea.

4.2.1. De�nitie. Fie (V1;K) si (V2;K) dou¼a spatii vectoriale pesteacelasi corp de scalari. Se numeste functional¼a biliniar¼a orice functie B (�; �) :V1 � V2 ! K liniar¼a în �ecare variabil¼a. Dac¼a în plus V1 = V2 = V siare loc relatia B (x; y) = B (y; x) ; 8 (x; y) 2 V � V, atunci se spune c¼afunctionala biliniar¼a este simetric¼a.

4.2.2.De�nitie. FieEk =�ek1; � � � ; eknk

�baze �xate ale spatiilor (Vk;K),

k = 1; 2 si B (�; �) : V1 � V2 ! K o functional¼a biliniar¼a. MatriceaAB (E1; E2) =

�B�e1i ; e

2j

��i=1;n1j=1;n2

se numeste matrice asociat¼a functionalei

biliniare corespunz¼atoare bazelor E1; E2.

4.2.3. Propozitie. Fie Ek =�ek1; � � � ; eknk

�baze �xate ale spatiilor

(Vk;K), k = 1; 2. O functional¼a biliniar¼a B (�; �) : V1 � V2 ! K este

4.2. FUNCTIONALE BILINIARE 65

unic si complet determinat¼a de matricea AB (E1; E2) asociat¼a. În acestcaz avem B (x; y) = [x]TE1 �AB (E1; E2) � [y]E2.

Demonstratie. Vectorii x 2 V1 si y 2 V2 se reprezint¼a unic în bazele

alese prin [x]E1 =

24 �1...�n1

35, [y]E2 =24 �1

...�n2

35 si din liniaritatea în �ecarevariabil¼a rezult¼a:

B (x; y) = B

n1Pi=1

�ie1i ;

n2Pj=1

�je2j

!=

n2Pj=1

B

�n1Pi=1

�ie1i ; e

2j

��j =

=

�B

�n1Pi=1

�ie1i ; e

21

�� B

�n1Pi=1

�ie1i ; e

2n2

� �24 �1...�n2

35 ==

�n1Pi=1

�iB (e1i ; e

21) � � �

n1Pi=1

�iB�e1i ; e

2n2

� �24 �1...�n2

35 ==��1 � � � �n1

�0@ B (e11; e21) � � � B

�e11; e

2n2

��

B�e1n1 ; e

21

�� B

�e1n1 ; e

2n2

�1A24 �1

...�n2

35 == [x]TE1 � AB (E1; E2) � [y]E2. Relatia B (x; y) =

n1Pi=1

n2Pj=1

�i�jB�e1i ; e

2j

�exprim¼a evident dependenta reprezent¼arii de cele dou¼a baze. Unicitateareprezent¼arii este evident¼a. �

4.2.4. Observatie. Dac¼a se consider¼a operatorul liniar U (�) : V2 !Kn1 de�nit prin U (y) = AB (E1; E2) � [y]E2 si functionala liniar¼a fa (�) :V1 ! K cu a 2Kn1 �xat (fa (�) 2 (V1)0) de�nit¼a prin fa (x) = [x]TE1 a,functionala biliniar¼a poate � privit¼a ca o compunere: B (x; y) = fU(y) (x).

4.2.5. Propozitie. Fie spatiile (Vk;K), k = 1; 2 si B (�; �) : V1�V2 !K o functional¼a biliniar¼a. Pentru bazele Ek (vechea baz¼a) si Fk (nouabaz¼a) al spatiului Vk, cu k = 1; 2, avem

AB (F1; F2) = (M (F1))TE1AB (E1; E2) (M (F2))E2 :

Amnotat cu (M (Fk))Ek matricele de trecere (coloanele sunt reprezent¼arilevectorilor noii baze în vechea baz¼a), k = 1; 2.


Demonstratie. Leg¼atura dintre coordonatele în vechea baz¼a si coor-donatele în noua baz¼a este dat¼a de [x]E1 = (M (F1))E1 [x]F1 pentru x 2 V1si [y]E2 = (M (F2))E2 [y]F2 pentru y 2 V2. Atunci

B (x; y) = [x]TE1 �AB (E1; E2) � [y]E2 ==�(M (F1))E1 [x]F1

�TAB (E1; E2)

�(M (F2))E2 [y]F2

�=

= [x]TF1

�(M (F1))

TE1AB (E1; E2) (M (F2))E2

�[y]F2 .

Folosind unicitatea reprezent¼arii B (x; y) = [x]TF1 � AB (F1; F2) � [y]F2obtinem relatia din enunt. �

4.2.6. Observatie. Este interesant de remarcat c¼a membrul dreptdepinde de vechile baze E1 si E2 dar membrul stâng nu depinde (adic¼aindiferent de unde s-ar porni, se ajunge în acelasi loc). Mai mult, rangulmatricei ce reprezint¼a o functional¼a biliniar¼a nu depinde de bazele alesepentru reprezentare.

4.2.7. Observatie. Matricea AB (E;E) a unei functionale biliniaresimetrice B (�; �) : V � V ! K într-o baz¼a E arbitrar¼a este simetric¼a.Reciproca este adev¼arat¼a.

4.2.8. Observatie. Oric¼arei functionale B (�; �) : V� V! K biliniarei se poate asocia o functional¼a biliniar¼a simetric¼a Bs (�; �) : V � V ! Kprin Bs (x; y) =

1

2[B (x; y) +B (y; x)].

4.2.9. De�nitie. Pentru o functional¼a biliniar¼a simetric¼a, se numestenucleu multimea

kerB (�; �) = fx 2 V; B (x; y) = 0; 8y 2 VgDac¼a kerB (�; �) = f0g functionala biliniar¼a simetric¼a se numeste nedege-nerat¼a.

4.2.10. Observatie. Nucleul unei functionale biliniare simetrice estesubspatiu vectorial.

4.2.11. Propozitie. O functional¼a biliniar¼a simetric¼a este nedegene-rat¼a dac¼a si numai dac¼a matricea atasat¼a pentru o alegere de baze esteinversabil¼a.

Demonstratie. Fie E1; E2 dou¼a baze arbitrare ale spatiului V pe careeste de�nit¼a functionala biliniar¼a simetric¼a B (�; �). Atunci avem B (x; y) =

[x]TE1 � AB (E1; E2) � [y]E2 . AB (E1; E2) este nesingular¼a dac¼a si numai


dac¼a sistemul [x]TE1 � AB (E1; E2) = [0]E1 are ca unic¼a solutie vectorulx = 0 (sistemul este de tip Cramer ce admite numai solutia banal¼a).Fie x 2 V o solutie a sistemului [x]TE1 � AB (E1; E2) = [0]E. Rezult¼aB (x; y) = 0; 8y 2 V si prin urmare x 2 kerB (�; �). Reciproc dac¼ax 2 kerB (�; �) prin particularizarea vectorului y obtinem c¼a x este o solutiea sistemului [x]TE1 � AB (E1; E2) = [0]E1. Am demonstrat c¼a kerB (�; �) =nx 2 V; [x]TE1 �AB (E1; E2) = [0]E1

o. Concluzia devine banal¼a. �

4.2.12. De�nitie. Se numeste functional¼a p¼atratic¼a o functie Q (�) :V! K, de�nit¼a pe spatiul vectorial (V;K), pentru care exist¼a o functional¼abiliniar¼a simetric¼a B (�; �) : V�V! K astfel încât Q (x) = B (x; x), 8x 2V. Dac¼a este dat¼a functionala p¼atratic¼a Q (�), atunci functionala biliniar¼aB (x; y)

Def=

1

2[Q (x+ y)�Q (x)�Q (y)], unde B (�; �) : V � V! K, se

numeste functionala biliniar¼a simetric¼a polar¼a.

4.2.13. Observatie. Asocierea functional¼a p¼atratic¼a �functionala bi-liniar¼a simetric¼a precizat¼a în de�nitie este o bijectie. Forma matricial¼ag¼asit¼a pentru functionale biliniare se particularizeaz¼a si în cazul functio-

nalelor p¼atratice: Q (x) = [x]TEAQ (E) [x]E =nP

i;j=1

B (ei; ej)xixj unde am

de�nit matricea AQ (E) = AB (E;E), care este o matrice simetric¼a.

4.2.14. De�nitie. Fie Q (�) : V! R o functional¼a p¼atratic¼a real¼a.(1) Q (�) este pozitiv de�nit¼a dac¼a Q (x) > 0; 8x 2 V; x 6= 0.(2) Q (�) este negativ de�nit¼a dac¼a Q (x) < 0; 8x 2 V; x 6= 0.(3) Q (�) este semipozitiv de�nit¼a dac¼a Q (x) > 0; 8x 2 V.(4) Q (�) este seminegativ de�nit¼a dac¼a Q (x) 6 0; 8x 2 V.(5) Q (�) este nede�nit¼a dac¼a 9x; y 2 V; Q (x) > 0 si Q (y) < 0.

Dac¼a reusim s¼a punem în evident¼a o baz¼a F a spatiului V pe care estede�nit¼a functional¼a p¼atratic¼a Q (�) cu proprietatea c¼a matricea AQ (F )este diagonal¼a atunci spunem c¼a am adus forma p¼atratic¼a la forma canonic¼a.Citirea propriet¼atilor din de�nitia precedent¼a se face pe forma canonic¼a,prin studierea semnului elementelor de pe diagonala matricei AQ (F ). Oproblem¼a important¼a este aceea a existentei unei baze cu propriet¼atilecerute. R¼aspunsul la aceast¼a prim¼a problem¼a este a�rmativ. O a douaproblem¼a este construirea efectiv¼a a unei astfel de baze. Se cunosc maimulte metode dintre care detaliem în continuare dou¼a. Prima dintre ele


pune accentul pe manipularea formei algebrice Q (x) =nP

i;j=1

�ij�i�j, iar a

doua pe forma matriceal¼a Q (x) = [x]TEAQ (E) [x]E. Avem doua fete aleaceleiasi medalii deoareceAQ (E) = (�ij)i;j=1;n si [x]E =

��1 � � � �n

�T.

Am considerat n = dimV si E o baz¼a �xat¼a. Vom folosi si în continuarenotatiile.

4.2.15. Teorem¼a. (Metoda Gauss de aducere la forma cano-

nic¼a) Fie Q (�) : V ! R, Q (x) =nP

i;j=1

�ij�i�j = [x]TEAQ (E) [x]E o

functional¼a p¼atratic¼a, unde [x]E =

24 �1...�n

35 si AQ (E) = (�ij)i;j=1;n. Atunci

exist¼a o baz¼a F a lui V în care matricea functionalei este diagonal¼a.Demonstratie. Demonstratia o vom face prin inductie în raport cu

dimensiunea spatiului vectorial V.Dac¼a dimV = 1 forma p¼atratic¼a are forma canonic¼a, cu F = E.Consider¼am a�rmatia adev¼arat¼a pentru dimV = k si o vom proba

pentru dimV = k+1. În mod necesar se realizeaz¼a unul dintre urm¼atoareledou¼a cazuri:

(1) 9i 2 f1; � � � ; k + 1g astfel încât aii 6= 0(2) 8i 2 f1; � � � ; k + 1g ; aii = 0.În cazul 2 se disting dou¼a siuatii: prima în care functionala p¼atratic¼a

este identic nul¼a si a doua în exist¼a ai0j0 6= 0. În prima situatie AQ (E) ematricea nul¼a, forma p¼atratic¼a este adus¼a la forma canonic¼a, iar F � E.A doua situatie se reduce la cazul 1 prin transformarea de coordonate:8<: �i0 = �i0 + �j0

�j0 = �i0 � �j0�k = �k; 8k 2 f1; � � � ; k + 1g n fi0; j0g

care este speci�c¼a unei schimb¼ari de baz¼a. Transformarea provoac¼a aparitiaunui element nenul pe locul ai0i0:

Q (x) =k+1Xi;j=1

aij�i�j =k+1Xi;j=1

a0ij�i�j, cu a0i0i0= 2ai0j0 6= 0

deci prin aceast¼a transformare cazul 2. este redus la cazul 1 (exist¼a si alteposibilit¼ati de reducere a cazului 2. la cazul 1). Baza E1 în care [x]E1 =

4.2. FUNCTIONALE BILINIARE 69��1 � � � �k+1

�Tse deduce din

(M (E1))E =��ij�; �ij =

8>><>>:1 pentru i = j; i; j =2 fj0g1 pentru i 6= j; i; j 2 fi0; j0g�1 pentru i = j = j00 în rest.

;

relatie care a asigurat leg¼atura [x]E = (M (E1))E1 [x]E1. Baza E1 va lualocul bazei E pentru continuarea rationamentului.În cazul 1 not¼am cu i0 unul din indicii pentru care ai0i0 6= 0. Atunci

Q (x) =k+1Pi;j=1

aij�i�j =

= ai0i0�2i0+ �i0

k+1P

j=1;j 6=i0ai0j�j +

k+1Pj=1;j 6=i0

aji0�j

!+

k+1Pi;j=1;i;j 6=i0

aij�i�j =

= ai0i0

0@�2i0 + 2�i0

k+1Pj=1;j 6=i0

ai0jai0i0

�j

!+

k+1P

j=1;j 6=i0

ai0jai0i0

�j

!21A��ai0i0

k+1P

j=1;j 6=i0

ai0jai0i0

�j

!2+

k+1Pi;j=1;i;j 6=i0

aij�i�j =

= ai0i0

�i0 +

k+1Pj=1;j 6=i0

ai0jai0i0

�j

!2+

k+1Pi;j=1;i;j 6=i0

�aij �

ai0iai0jai0i0

��i�j.

Fie transformarea de coordonate:8<: �i0 = �i0 +k+1P

j=1;j 6=i0

ai0jai0i0

�j

�i = �i, pentru i 6= i0.

(determinantul matricei transform¼arii este nenul asa c¼a transformarea esteo schimbare de baz¼a). Atunci

Q (x) = ai0i0�2i0+

k+1Xi;j=1;i;j 6=i0

a0ij�i�j

adic¼a matricea atasat¼a functionalei liniare are elementele liniei si coloaneii0 nule (în afara locului (i0; i0), ocupat de ai0i0). Baza E1 = (e

1i )i=1;k+1 în


care [x]E1 =��1 � � � �k+1

�Tse deduce din

(M (E1))E =

0BBBBBBBB@

1 0 � � � 0 � � � 00 1 � � � 0 � � � 0...

.... . .

... � � � ...�ai01ai0i0

�ai02ai0i0

� � � 1 � � � �ai0;k+1ai0i0

...... � � � ...

. . ....

0 0 � � � 0 � � � 1

1CCCCCCCCArelatie care a asigurat leg¼atura [x]E = (M (E1))E [x]E1. Spatiul V sedescompune în sum¼a (direct¼a) dintre dou¼a subspatii, primul corespunz¼atorcoordonatei i0 (spatiu 1-dimensional) si al doilea corespunz¼ator celorlaltecoordonate (spatiu k-dimensional). Conform ipotezei de inductie pentru

subspatiul vectorial span�(e1i )i=1;k+1;i6=i0

�, de dimensiune k, exist¼a baza

(fi)i=1;k+1;i6=i0 pentru carek+1P

i;j=1;i;j 6=i0a0ij�i�j =

k+1Pi=1;i6=i0

a00ii�2i . Alegem fi0 = e1i0

si F = (fi)i=1;k+1. Rezult¼a

Q (x) =k+1Xi=1

a00ii�2i = [x]

TF AQ (F ) [x]F

unde [x]F =��1 � � � �k+1

�Tcu AQ (F ) matrice diagonal¼a. �

4.2.16. Exemplu. S¼a se discute dup¼a parametrul � natura functionaleip¼atratice Q(x) = �21 + 6�

22 + 3�

23 + 4�1�2 + 6��1�3.

4.2.17. Solutie. Se aduce functionala p¼atratic¼a la forma canonic¼a fo-losind Metoda Gauss: Q(x) = �21 + 6�

22 + 3�

23 + 4�1�2 + 6��1�3 =

= �21 + 2�1 (2�2 + 3��3) + (2�2 + 3��3)2 � (2�2 + 3��3)

2 + 6�22 + 3�23 =

= (�1 + 2�2 + 3��3)2 � 4�22 � 9�2�23 � 12��2�3 + 6�22 + 3�23 =

= (�1 + 2�2 + 3��3)2 + 2�22 +

�3� 9�2

��23 � 12��2�3 =

= (�1 + 2�2 + 3��3)2+2

��22 � 2 � 3��2�3 + 9�2�23

��18�2�23+

�3� 9�2

��23 =

= (�1 + 2�2 + 3��3)2 + 2 (�2 � 3��3)

2 + 3�1� 9�2

��23 )

� �1 �13

13

+11� 9�2 �� 0 + + + 0 ��

Q (x) nedefsemipoz def poz def

semipoz def nedef


Transformarea de coordonate este:

8<: �1 = �1 + 2�2 + 3��3�2 = �2 � 3��3�3 = �3

(matricea

atasat¼a transform¼arii este nesingular¼a pentru orice �). Scris¼a echivalent

avem [x]E = (M (F ))E [x]F unde [x]E =

24 �1�2�3

35 ; [x]F =

24 �1�2�3

35 ; iar(M (F ))E =

0@ 1 �2 �9�0 1 3�0 0 1

1A. Alegem f1 = e1, f2 = �2e1 + e2, f3 =

�9�e1 + 3�e2 + e3. Am notat cu E = (e1; e2; e3) si F = (f1; f2; f3) bazainitial¼a si respectiv cea corespunz¼atoare formei canonice.

4.2.18.Teorem¼a. (Metoda Jacobi de aducere la forma canonic¼a)

Fie Q (�) : V ! R, Q (x) =nP

i;j=1

�ij�i�j = [x]TEAQ (E) [x]E o functional¼a

p¼atratic¼a, unde [x]E =

24 �1...�n

35 si AQ (E) = (�ij)i;j=1;n. Atunci exist¼a o

baz¼a F a lui V în care

Q (x) =nXk=1

�k�1

�k

�2k;

unde �0 = 1 si �k = det (�ij)i;j=1;k sunt nenuli si [x]F =

24 �1...�n

35.Demonstratie. Fie

BQ (x; y) =1

2[Q (x+ y)�Q (x)�Q (y)] = [x]TEAQ (E) [y]E :

C¼aut¼am o baz¼a F = (f1; : : : ; fn) pentru care

fk =Pk

i=1 ikei si�BQ (ek; fi) = 0; pentru i 6= kBQ (ek;fk) = 1

pentru �ecare k 2 f1; : : : ; ng .


În aceste conditii Q (x) = BQ (x; x) = [x]TF AQ (F ) [x]F =nPk=1

kk�2k. Am

folosit

AQ (F ) = (M (F ))TEAQ (E) (M (F ))E =

=

0BB@ 11 0 � � � 0 12 22 � � � 0...

.... . .

... 1n 2n � � � nn

1CCA0BB@1 0 � � � 0� 1 � � � 0....... . .

...� � � � � 1

1CCA =

0BB@ 11 0 � � � 00 22 � � � 0...

.... . .

...0 0 � � � nn

1CCA :

Coe�cientii ik în mod unic din conditiile din enunt (pentru �ecare kse obtine câte un sistem Cramer cu determinantul matricei sistemului�k). Din rezolvarea sistemului de conditii impuse obtinem kk =

�k�1�k,

k = 1; n. �4.2.19. Exemplu. S¼a se discute dup¼a parametrul � natura functionalei

p¼atratice Q(x) = �21 + 6�22 + 3�

23 + 4�1�2 + 6��1�3.

4.2.20. Solutie. Se aduce functionala p¼atratic¼a la forma canonic¼a fo-

losind Metoda Jacobi. �0 = 1, �1 = 1, �2 =

�� 1 22 6

�� = 2, �3 =��1 2 3�2 6 03� 0 3

�� = 6 �1� 9�2�. Pentru � 2 ��13 metoda nu poate �aplicat¼a.Pentru � =2

��13

Q(x) = 1

1�21 +

12�22 +

2

6(1�9�2)�23. Baza F a fost c¼autat¼a

astfel încât (M (F ))E =

0@ 11 12 130 22 230 0 33

1A s¼a satisfac¼a urm¼atoarele conditii:(1) f 11 = 1 , cu solutia 11 = 1.

(2)� 12 + 2 22 = 02 12 + 6 22 = 1

, cu solutia� 12 = �1 22 =

12

.

(3)

8<: 13 + 2 23 + 3� 33 = 02 13 + 6 23 = 03� 13 + 3 33 = 1

, cu solutia

8><>: 11 =

3�9�2�1

12 =��

9�2�1 13 =

�13(9�2�1)

.

Alegem f1 = e1, f2 = �e1 + 12e2, f3 = 3�

9�2�1e1 +��

9�2�1e2 +�1

3(9�2�1)e3.

Am notat cu E = (e1; e2; e3) si F = (f1; f2; f3) baza initial¼a si respectiv ceacorespunz¼atoare formei canonice. Natura formei p¼atratice este precizat¼aîn tabelul urm¼ator:


� �1 �13

13

+11� 9�2 �� 0 + + + 0 ��Q (x) nedef ? poz def ? nedef

4.2.21. Teorem¼a. (Teorema de inertie Sylvester) Num¼arul decoe�cienti strict pozitivi, strict negativi si nuli din forma canonic¼a a fun-ctionalei p¼atratice nu depinde de metoda folosit¼a pentru aducerea la formacanonic¼a.

Demonstratie. Fie Q (x) =p1Pi=1

�+i �2i �

q1Pj=1

��j �2j =

p2Pi=1

�+i �2i �

q2Pj=1

��j �2j

dou¼a scrieri ale functionalei p¼atratice în form¼a canonic¼a în bazele F1 =ff 11 ; � � � ; f1ng si F2 = ff 21 ; � � � ; f2ng, unde pentru scrierea j, primii pj coe�-cienti sunt strict pozitivi, urm¼atorii qj coe�cienti sunt negativi si ultimiin�(pj + qj) coe�cienti sunt nuli. Am impus aceste conditii pentru a înlesniscrierea. Conditiile pot � usor ridicate.Fie V1 = span

�f 11 ; � � � ; f1p1

�; V2 = span

�f 2p2+1; � � � f 2n

�; atunci v 2

V1 \ V2 ) [v]F1 =

2666666666666664

�1...�p10...00...0

3777777777777775iar [v]F2 =

2666666666666664

0...0

�p2+1...

�p2+q2�p2+q2+1

...�n

3777777777777775, deci are loc:

Q (v) =p1Pi=1

�+i �2i � 0 si �+i > 0;8i = 1; p1

Q (v) = �q2Pj=1

��j �2j � 0 si ��j > 0;8i = 1; q2

9>>=>>;) Q (v) = 0, deci v =

0, adic¼a V1 \ V2 = f0g.) dim (V1 + V2) = dimV1 + dimV2 = p1 + (n� p2) � n ) p1 � p2;

analog urmeaz¼a c¼a p2 � p1, ceea ce înseamn¼a c¼a p1 = p2. Se demonstreaz¼ala fel c¼a q1 = q2. �

CAPITOLUL 5

Spatii euclidiene

5.1. Introducere

5.1.1. De�nitie. Fie V un spatiu vectorial real. O aplicatie h�; �i :V� V! R se numeste produs scalar real dac¼a

ps1: [simetrie] 8x; y 2 V; hx; yi = hy; xi ;ps2: [aditivitate] 8x; y; z 2 V; hx+ y; zi = hx; zi+ hy; zi ;ps3: [omogenitate] 8x; y 2 V; 8� 2 R; h�x; yi = � hx; yi ;ps4: [de�nire pozitiv¼a si nedegenarare] 8x 2 V; hx; xi > 0 sihx; xi = 0, x = 0:

Dac¼a pe spatiul vectorial V s-a de�nit un produs scalar real atuncispunem c¼aV este un spatiu euclidian. În acest context se numeste lungimeaunui vector (sau norma euclidian¼a) x 2 V num¼arul real kxk =

phx; xi, se

numeste m¼asura unghiului a doi vectori x; y 2 V num¼arul real ^ (x; y) 2[0; �] ce veri�c¼a relatia cos^ (x; y) = hx;yi

kxk�kyk . Doi vectori x; y 2 V se numescortogonali dac¼a hx; yi = 0 si not¼am acest fapt prin x ? y.

5.1.2.Observatie. Un produs scalar real pe (V;R) este orice functional¼abiliniar¼a simetric¼a a c¼arei functional¼a p¼atratic¼a atasat¼a este strict pozitivde�nit¼a. Într-un spatiu vectorial real �xat se poate alege în mai multemoduri o functional¼a biliniar¼a simetric¼a a c¼arei functional¼a p¼atratic¼a atasat¼aeste pozitiv de�nit¼a. M¼asur¼arile geometrice rezultate vor �dependente deaceast¼a alegere, asa c¼a lungimea unui vector, unghiul dintre doi vectori,distanta dintre doi vectori nu vor � de�nite univoc.

5.1.3. De�nitie. Fie V un spatiu vectorial complex. O aplicatie h�; �i :V� V! C se numeste produs scalar complex dac¼a

ps1: [hermitic�simetrie] 8x; y 2 V; hx; yi = hy; xi;ps2: [aditivitate] 8x; y; z 2 V; hx+ y; zi = hx; zi+ hy; zi ;ps3: [omogenitate] 8x; y 2 V; 8� 2 C; h�x; yi = � hx; yi ;ps4: [de�nire pozitiv¼a si nedegenarare] 8x 2 V; hx; xi > 0 sihx; xi = 0, x = 0:

75

76 5. SPATII EUCLIDIENE

Dac¼a pe spatiul vectorial V s-a de�nit un produs scalar complex atuncispunem c¼a V este un spatiu unitar. În acest context se numeste lungimeaunui vector x 2 V num¼arul real kxk =

phx; xi. Doi vectori x; y 2 V se

numesc ortogonali dac¼a hx; yi = 0 si not¼am acest fapt prin x ? y.

5.1.4.Observatie. Se poate renunta la axioma ps1 dac¼a cerem hermitic�liniaritate în al doilea argument, dup¼a cum rezult¼a din rationamentul:hx+ y; x+ yi real cere ca hx; yi+ hy; xi s¼a �e real, iar hx+ iy; x+ iyi cereca i (�hx; yi+ hy; xi) s¼a �e real. Rezult¼a hx; yi = hy; xi.

5.1.5. Observatie. Un produs scalar complex pe (V;C) este oricefunctional¼a biliniar¼a hermitic�simetric¼a a c¼arei functional¼a hermitic�p¼atratic¼aatasat¼a este strict pozitiv de�nit¼a. O functional¼a biliniar¼a hermitic�simetric¼aa c¼arei functional¼a hermitic�p¼atratic¼a atasat¼a este pozitiv de�nit¼a se poatealege în mai multe moduri într-un spatiu vectorial real �xat. M¼asur¼arilegeometrice rezultate vor �dependente de aceast¼a alegere, asa c¼a lungimeaunui vector, distanta dintre doi vectori nu vor � de�nite univoc.

5.1.6. Propozitie. Dac¼a V este un spatiu euclidian sau un spatiuunitar atunci au loc

(1) k�k : V! [0;1) este o norm¼a pe V;(2) 8x; y 2 V; jhx; yij 6 kxk � kyk (inegalitatea Cauchy�Buniakov-

ski�Schwarz), iar jhx; yij = kxk � kyk , vectorii x si y sunt liniardependenti (i.e. sunt coliniari);

(3) kx� yk2 = kxk2 + kyk2 � 2Re hx; yi, iar pentru x ? y avemkx+ yk2 = kxk2 + kyk2 (teorema lui Pitagora).

Demonstratie. Evident inegalitatea Cauchy�Buniakovski este adev¼arat¼apentru hx; yi = 0.Pentru un spatiu euclidian hx+ �y; x+ �yi � 0;8� 2 R;8x; y 2 V ,

hx; xi+2� hx; yi+�2 hy; yi � 0;8� 2 R;8x; y 2 V)� = 4�hx; yi2 � hx; xi hy; yi

��

0;8x; y 2 V. Se observ¼a c¼a dac¼a x0 si y0 sunt astfel încât � = 0, atunciecuatia de gradul 2 în � are o solutie dubl¼a �0 si deci are loc: hx0; x0i +2�0 hx0; y0i + �20 hy0; y0i = 0, adic¼a hx0 + �0y0; x0 + �0y0i = 0 de underezult¼a c¼a x0 + �0y0 = 0, adic¼a vectorii x0 si y0 sunt liniar dependenti.

Pentru un spatiu unitar hx+ �y; x+ �yi � 0;8� 2 C;8x; y 2 V ,hx; xi + � hx; yi + �hx; yi + j�j2 hy; yi � 0;8� 2 C;8x; y 2 V Alegâng

� = t hx;yijhx;yij , cu t 2 R arbitrar ) hx; xi + 2t jhx; yij + t2 hy; yi � 0;8t 2R;8x; y 2 V ) � = 4

�jhx; yij2 � hx; xi hy; yi

�� 0;8x; y 2 V. Se observ¼a

5.1. INTRODUCERE 77

c¼a dac¼a x0 si y0 sunt astfel încât � = 0, atunci ecuatia de gradul 2 în t areo solutie dubl¼a t0 si pentru �0 = t0

hx;yijhx;yij deci are loc: hx0; x0i+�0 hx0; y0i+

�0hx0; y0i+�20 hy0; y0i = 0, adic¼a hx0 + �0y0; x0 + �0y0i = 0 de unde rezult¼ac¼a x0 + �0y0 = 0, adic¼a vectorii x0 si y0 sunt liniar dependenti.

Functionala p¼atratic¼a atasat¼a formei biliniare ce de�neste produsulscalar este kxk =

phx; xi: Se cer veri�cate:

(1) kxk � 0;8x 2 V; kxk = 0, x = 0.(2) k�xk = j�j kxk ; 8x 2 V; 8� - scalar.(3) kx+ yk � kxk+ kyk ; 8x; y 2 V (inegalitatea triunghiului).Primele dou¼a conditii sunt imediat veri�cabile. Folosind hx; yi+hy; xi =

2Re hx; yi � 2 jhx; yij � 2 kxk kyk, inegalitatea triunghiului rezult¼a

kx+ yk2 = hx+ y; x+ yi = kxk2 + kyk2 + 2Re hx; yi �� kxk2 + kyk2 + 2 kxk kyk = (kxk+ kyk)2 :

�5.1.7. Observatie. Într-un spatiu euclidian din inegalitatea Cauchy�

Buniakovski�Schwarz urmeaz¼a c¼a <x;y>kxkkyk 2 [�1; 1] :

5.1.8. De�nitie. Pentru orice doi vectori se numeste distanta dintrevectori lungimea diferentei:

d (x; y) = kx� yk :

5.1.9. Observatie. Distanta dintre doi vectori are propriet¼atile:(1) d (x; y) � 0; d (x; y) = 0, x = y.(2) d (x; y) = d (y; x), 8x; y 2 V.(3) d (x; y) � d (x; z) + d (z; y), 8x; y; z 2 V.

5.1.10. Observatie. Are loc regula paralelogramului

kx+ yk2 + kx� yk2 = 2�kxk2 + kyk2

�; 8x; y 2 V:

Demonstratie. kx+ yk2+kx� yk2 = hx+ y; x+ yi+hx� y; x� yi == 2 kxk2 + 2 kyk2 + 2Re hx; yi � 2Re hx; yi = 2 kxk2 + 2 kyk2. �5.1.11. Observatie. Dac¼a vectorii (xi)i=1;k sunt ortogonali doi câte

doi, atunci are loc Teorema lui Pitagora generalizat¼a: Xk

i=1xi

2 =Xk

i=1kxik2 :


Demonstratie. kPi=1

xi

2 =*

kPi=1

xi;kPj=1

xj

+=

kPi=1

kPj=1

hxi; xji =kPi=1

hxi; xii =

kPi=1

kxik2. �

5.2. Ortogonalitate în spatii euclidiene

Ne vom limita prezentarea la spatii euclidiene.

5.2.1.De�nitie. Dou¼a submultimi A, B ale lui V se numesc ortogonalesi se noteaz¼a cu A ? B dac¼a 8x 2 A; 8y 2 B; x ? y.

Se numeste complement ortogonal al unei multimi de vectori A si senoteaz¼a A? = span

�[B?AB�:

5.2.2. Propozitie. Într�un spatiu euclidianV sunt adev¼arate a�rmatiile(1) A ? B) A \ B = f0g ;(2) span faiji 2 Ig ? B, ai ? y; 8i 2 I; 8y 2 B;(3) A? este subspatiu vectorial si A ? A?;(4) Dac¼a A este subspatiu vectorial a lui V atunci dimA? = dimV�

dimA;(5) Dac¼a A si B sunt subspatii vectoriale a lui V pentru care dimA+

dimB = dimV si A ? B atunci V = A� B; B = A? si A = B?;(6) Dac¼a A este subspatiu vectorial a lui V atunci

�A?�?= A:

(7) A � B) B? � A? si A? = (span (A))?.

Demonstratie. (1) x 2 A \ B) hx; xi = 0) x = 0:(2) �(�Fie x 2 span faiji 2 Ig arbitrar. Atunci x =

Pj2J�I �jaj

(unde J este o multime �nit¼a de indici) si hx; yi =P

j2J�I �j haj; yi =0, 8y 2 B: �)� Se obtine prin particularizarea vectorului dinspan faiji 2 Ig.

(3) Fie x; y 2 A?: Atunci x =P

j2J1-�nit¼a �jbj si y =P

j2J2-�nit¼a �jbjunde pentru �ecare a 2 A avem 8j 2 J1, ha; bji = 0 si 8j 2J2, ha; bji = 0. Rezult¼a astfel c¼a x+ y =

Pj2J1[J2-�nit¼a �jbj 2 A

?

si �x =P

j2J1-�nit¼a��j�bj 2 A? pentru orice scalar � 2 R:

(4) Fie (e1; e2; :::; ep) o baz¼a a subspatiului vectorial A pe care ocomplet¼am la o baz¼a E = (e1; e2; :::; em) a spatiului vectorial V:Fie y 2 A? � V arbitrar si y =

Pmi=1 �iei descompurea lui y în

5.2. ORTOGONALITATE îN SPATII EUCLIDIENE 79

baza E: Sistemul

he1; yi = he2; yi = ::: = hep; yi = 0;care caracterizeaz¼a relatia A ? A? conform celui de al doileapunct al propozitiei, se scrie8>><>>:he1; e1i �1 + he1; e2i �2 + :::+ he1; epi �p + :::+ he1; emi �m = 0he2; e1i �1 + he2; e2i �2 + :::+ he2; epi �p + :::+ he2; emi �m = 0

:::hep; e1i �1 + hep; e2i �2 + :::+ hep; epi �p + :::+ hep; emi �m = 0

:

Deoarece matricea functionalei biliniare ce de�neste produsul scalarasociat¼a bazei fe1; e2; :::; epg este nesingular¼a sistemul este compatibilde m�p ori nedeterminat. Vom avea dimA? = m�p = dimV�dimA:

(5) Folosind prima a�rmatie avem A\B = f0g si din dimA+dimB =dimV rezult¼a c¼a V = A � B: Deoarece B este un subspatiuvectorial a lui A? cu dimB = dimV � dimA = dimA? rezult¼ac¼a B = A?:

(6) Este o consecint¼a a punctelor precedente.(7) Este o consecint¼a a punctelor precedente.

�5.2.3. Observatie. x 2 A si x ? A ) hx; xi = 0 ) x = 0.

5.2.4. Observatie. Evident A? = fx; x ? Ag.

5.2.5. De�nitie. Un sistem de vectori fvigi2I dintr-un spatiu euclidianse numeste sistem ortogonal dac¼a hvi; vji = 0, 8i 6= j; i; j 2 I. Dac¼a, înplus, kvik = 1, 8i 2 I sistemul se numeste sistem ortonormat. O baz¼a senumeste ortonormal¼a dac¼a vectorii ei formeaz¼a un sistem ortonormat.

5.2.6.Observatie. 1. Dou¼a subspatii vectoriale sunt ortogonale dac¼a sinumai dac¼a �ecare vector al unei baze din primul subspatiu este ortogonalpe �ecare vector al unei baze din cel de-al doilea subspatiu.2. Suma a dou¼a subspatii vectoriale ortogonale este direct¼a. Suma unei

familii oarecare de subspatii vectoriale ortogonale dou¼a câte dou¼a estedirect¼a.

3. Un sistem ortogonal de vectori, ce nu contine vectorul nul, esteformat cu vectori liniar independenti. Dimensiunea spatiului dimV estenum¼arul maxim de vectori, nenuli, ortogonali;


5.2.7. Teorem¼a. (Teorema de ortogonalizare Gram�Schmidt) Fie Veste un spatiu euclidian cu dimV = n. Fie E = (ei)i=1;n o baz¼a si �eVk = span (e1; � � � ; ek). Exist¼a o baz¼a F = (fi)i=1;n cu propriet¼atile:

(1) 8k 2 f1; : : : ; ng ; span (f1; � � � ; fk) = Vk:(2) 8k 2 f1; : : : ; n� 1g ; fk+1 ? Vk:

Demonstratie. Vom proceda prin inductie dup¼a dimensiunea spatiului.Dac¼a E = (e) este o baz¼a a spatiului euclidian V, cu e 6= 0, atunci evidentF = E este un sistem ortogonal. Pentru k 2 f1; : : : ; n� 1g arbitrar, dac¼aE = (e1; e2; : : : ; ek+1) este o baz¼a a spatiului euclidian V atunci vom ar¼atac¼a exist¼a F = ff1; f2; : : : ; fk+1g o baz¼a ortogonal¼a a spatiului V. Conformipotezei de inductie exist¼a ff1; f2; : : : ; fkg sistem ortogonal, format cuvectori nenuli, pentru care span fe1; e2; : : : ; ekg = span ff1; f2; : : : ; fkg.Fie fk+1 = ek+1 �

Pkj=1 "jfj, unde scalarii "1; : : : ; "n se determin¼a din

conditiile hfk+1; fji = 0, 8j = 1; k. Obtinem fk+1 = ek+1�Pn

j=1hek+1;fjihfj ;fji fj.

Evident F = ff1; f2; : : : ; fk+1g este un sistem ortogonal, format cu vectorinenuli. Rezult¼a F este liniar independent. Se poate usor veri�ca c¼a F estesi sistem de generatori pentru V (span (F ) = V = span (E)).

Mai mult, pentru c¼a pentru �ecare i 2 f2; : : : ; ng, fi si ei sunt înpozitia de perpendicular¼a, respectiv oblic¼a fat¼a de subspatiul generat dee1; � � � ; ei�1; urmeaz¼a c¼a are loc kfik � keik. �

5.2.8. Observatie. Am demostrat c¼a orice spatiu euclidian admite obaz¼a ortogonal¼a, baz¼a ce poate � ortonormat¼a.

5.3. Propriet¼ati de reprezentare

Ne situ¼am în continuare în contextul unui spatiu euclidian (V;R; < �; � >)cu dimV = n. Bazându�ne pe principiul de reprezentare 4.2.3 al functionalelorbiliniare putem introduce urm¼atoarea de�nitie.

5.3.1. De�nitie. Dac¼a E = (e1; e2; :::; en) este o baz¼a a spatiuluivectorialV atunci numimmatrice GrammatriceaG = (gij = hei; eji)i;j=1;n.

5.3.2. Observatie. Dac¼a ne �x¼am asupra unei baze E a spatiuluieuclidian X atunci pentru a construi un produs scalar este su�cient s¼apreciz¼am o matrice G nesingular¼a si simetric¼a si s¼a de�nim hx; yi =[y]tG [x], 8x; y 2 V. Matricea G devine matrice Gram, în baza E aprodusului scalar astfel de�nit.

5.3. PROPRIET¼ATI DE REPREZENTARE 81

Dac¼a facem raportarea la o baz¼a ortonormat¼a U = (u1; u2; :::; un)atunci

< x; y >=

nXi=1

�i� i; 8x; y 2 V cu coordonatele [x]U =

24 �1...�n

35 ; [y]U =24 �1...�n

35 :Radicalul functionalei p¼atratice atasate, notat cu k�k, va � considerat deforma:

kxk =

vuut nXi=1

�2i ; 8x 2 V cu coordonatele [x]U =

24 �1...�n

35 :În continuare not¼am cu [x] reprezint¼a matricea coloan¼a a coordonatelor

vectorului x în baza în care a fost scris¼a matrivea Gram G. Folosindrezultatele paragrafelor precedente deducem:

5.3.3. Propozitie. (1) 8x; y 2 V; hx; yi = [x]tG [y];(2) matricea Gram G este nesingular¼a si simetric¼a;(3) 0 6 detG 6 he1; e1i he2; e2i : : : hen; eni;(4) detG este p¼atratul volumului paralelipipedului n-dimensional construit

pe vectorii e1; e2; : : : ; en.

Demonstratie. Vom reaminti demonstratia a�rmatiei ultime. G estenesingular¼a dac¼a si numai dac¼a sistemul G [x] = [0] are ca unic¼a solutievectorul x = 0: O form¼a echivalent¼a de scriere a sistemului este

hek; xi =nXj=1

�j hek; eji =nXj=1

gkj�j = 0 cu k = 1; 2; :::; n:

Rezult¼a hx; xi =Pn

k=1 �k hek; xi =Pn

k=1 �k �0 = 0, si, în consecint¼a x = 0.Folosind inductia matematic¼a obtinem detG = hf1; f1i hf2; f2i : : : hfn; fni,

unde ff1; f2; : : : ; fng se obtine din fe1; e2; : : : ; eng prin procedeul de ortogonalizareGram-Schimdt. Folosind 0 6 kfik 6 keik, 8i = 1; : : : n deducem relatiilecerute.S¼a detaliem aceste considerente. Fiind dati vectorii liniar independenti

e1; � � � ; ek se pune problemam¼asur¼arii volumului k-dimensional. Fie determinantul


(numit determinant Gram)

G (e1; � � � ; ek)Def=

��he1; e1i he1; e2i � � � he1; ekihe2; e1i he2; e2i � � � he2; eki� � � � � � � � � � � �hek; e1i hek; e2i � � � hek; eki

�� :Pentru calcularea acestui determinant se aplic¼a procedeul de ortogonalizare:�e f1 = e1; f2 = e2 � hf1;e2i

hf1;f1if1. Se înlocuieste peste tot e1 cu f1; apoi se

adaug¼a la coloana a doua coloana întâi înmultit¼a cu �hf1;e2ihf1;f1i (care este

atribuit locului doi din produsul scalar). Prin aceast¼a operatie în coloanadoi ocupantul locului din dreapta al produsului scalar e2 este înlocuit cu f2:Apoi se adaug¼a la linia doi prima linie înmultit¼a cu acelasi scalar, atribuitde aceast¼a dat¼a locului din stânga al produsului scalar. Astfel se înlocuiestepeste tot în determinantul Gram e2 cu f2: Se procedeaz¼a la fel pân¼a cândse înlocuiesc toti vectorii ei cu vectorii fi care sunt ortogonali doi câtedoi, asa c¼a determinantul va avea elemente nenule numai pe diagonalaprincipal¼a:

G (e1; � � � ; ek) =

��hf1; f1i 0 � � � 00 hf2; f2i � � � 0� � � � � � � � � � � �0 0 � � � hfk; fki

�� == hf1; f1i hf2; f2i � � � hfk; fki =

= kf1k2 kf2k2 � � � kfkk2 � ke1k2 ke2k2 � � � kekk2 :

Pentru k = 1; volumul 1-dimensional al lui e1 este chiar lungimea luike1k : Deci V ol1 (e1) = ke1k = kf1k =

pG (e1).

Pentru k = 2; volumul 2-dimensional al paralelogramului format dee1 si e2 este aria acestui paralelogram si este ke1k � kf2k ; V ol2 (e1; e2) =V ol1 (e1) � kf2k = ke1k � kf2k = kf1k � kf2k =

pG (e1; e2).

Pentru k = 3; V ol3 (e1; e2; e3) = V ol2 (e1; e2) � kf3k =pG (e1; e2; e3).

În general, volumul k-dimensional al paralelipipedului format de e1; � � � ; ekva �

pG (e1; � � � ; ek). S¼a consider¼am vectorii e1; � � � ; ek reprezentati într-o

baz¼a ortonormal¼aU cu coordonatele [ej]U =

24 �1j...�nj

35; determinantul Gram

5.3. PROPRIET¼ATI DE REPREZENTARE 83

va � atunci

G (e1; � � � ; ek) = det

nXl=1

�li�lj

!i;j=1;k

= det�ATA

�;

unde A =

0@ �11...�n1

�12...�n2

� � ��

�1k...�nk

1A este matricea care are drept coloane

coordonatele �ec¼arui vector (are n linii si k coloane) iar AT este transpusasa.Din propriet¼atile minorilor si ale produsului matricial se stie c¼a

M i1;�� ;isj1;�� ;js (AB) =

Xl1<��<ls

M i1;�� ;isl1;�� ;ls (A)M

l1;�� ;lsj1;�� ;js (B) ;

(undeM i1;�� ;isl1;�� ;ls (A) este minorul obtinut din liniile i1; � � � ; is si din coloanele

l1; � � � ; ls) si tinând seama de faptul c¼a pentru matricea transpus¼a are loc

M i1;�� ;isj1;�� ;js

�AT�=M j1;�� ;js

i1;�� ;is (A) ;

urmeaz¼a c¼a

G (e1; � � � ; ek) =M1;�� ;k1;�� ;k

�ATA

�=

Xl1<��<lk

�M l1;�� ;lk1;�� ;k (A)

�2;

adic¼a determinantul Gram este egal cu suma p¼atratelor tuturor minorilorde ordin k din matricea coordonatelor într-o baz¼a ortonormat¼a. Urmeaz¼ac¼a volumul paralelipipedului k-dimensional este radicalul acestei sume dep¼atrate. În particular, când num¼arul vectorilor este acelasi cu dimensiuneaspatiului si sunt liniar independenti, va � un singur minor de ordin n siatunci volumul paralelipipedului n-dimensional este chiar modulul determinantuluiformat de coordonatele vectorilor în orice baz¼a ortonormal¼a. De aici rezult¼ainterpretarea modulului determinantului ca volum. Din inegalitatea anterioar¼aurmeaz¼a c¼a

det (A) �nYi=1

keik ;

adic¼a volumul paralelipipedului este cel mult egal cu produsul lungimilorlaturilor, iar egalitatea are loc dac¼a si numai dac¼a laturile sunt ortogonaledou¼a câte dou¼a. �


5.4. Proiectii si elemente de cea mai bun¼a aproximare

5.4.1. Operatori de proiectie.

5.4.1. De�nitie. Un endomor�sm S (�) : V ! V este numit proiectie(proiector) dac¼a S � S = S. Se numeste cadrul de proiectie a lui Ssubspatiul ImS si cadrul proiectantelor lui S subspatiul kerS. Vom notaS cu prkerSImS pentru a pune în evident¼a elementele proiectiei.

5.4.2. Propozitie. Fie S : V! V un operator de proiectie. Atunci:(1) w 2 ImS () w este nul sau este vector propriu corespunz¼ator

valorii proprii 1;(2) z 2 kerS () z este nul sau este vector propriu corespunz¼ator

valorii proprii 0;(3) V = kerS � ImS si dimX = dimkerS + dim ImS;(4) 1X � S : V ! V este un operator de proiectie pentru care

ker (1V � S) = ImS si Im (1V � S) = kerS;(5) prkerSImS +pr

ImSkerS = 1V si pr

kerSImS � prImSkerS = pr

ImSkerS � prkerSImS = 0V.

Demonstratie. Fie x 2 V arbitrar. Atunci S (x� S (x)) = S (x) �S (S (x)) = S (x)� S (x) = 0. Deci x = (x� S (x)) + S (x) cu x� S (x) 2kerS si S (x) 2 ImS. Fie x 2 kerS \ ImS. Atunci S (x) = 0 si x = S (u),cu u 2 V. Avem x = S (u) = S (S (u)) = S (x) = 0. Am probat astfel c¼aV = kerS � ImS.

Fie v 2 ker (1V � S). Atunci (1V � S) (v) = 0 sau S (v) = v. Rezult¼av 2 ImS. Fie w 2 ImS. Atunci w = S (u), cu u 2 V. Rezult¼a w = S (u) =S (S (u)) = S (w) sau (1V � S) (w) = 0, adic¼a w 2 ker (1V � S).Fie y 2 Im (1V � S). Atunic y = (1V � S) (u), cu u 2 X. Obtinem

S (y) = S (u� S (u)) = S (u) � S (S (u)) = 0. Rezult¼a y 2 kerS. Fiez 2 kerS. Rezult¼a z = z � S (z) = (1V � S) (z), adic¼a z 2 Im (1V � S).În plus (1V � S)�(1V � S) = 1V�1V�S �1V�1V�S+S �S = 1V�S.Ultima a�rmatie este o consecint¼a a relatiilor precedente (prImSkerS =

1V � S). �

5.4.3. Observatie. Fie V = V1 �V2 (pentru �ecare x 2 V, 9!x1 2 V1si 9!x2 2 V2 astfel încât x = x1 + x2). x1 se va numi proiectia lui x pe V1în directia V2.

5.4.4. Propozitie. Fie V1;V2 dou¼a subspatii vectoriale pentru careV = V1 � V2. Atunci:

5.4. PROIECTII SI ELEMENTE DE CEA MAI BUN¼A APROXIMARE 85

(1) Exist¼a U : V ! V o proiectie pentru care kerU = V1 si ImS =V2;

(2) Oricare ar � endomor�smul S : V ! V avem S = S � prV2V1 +S �prV1V2.

Demonstratie. Fie fu1; u2; : : : udimV1g si fu1+dimV1 ; u2+dimV1 ; : : : ; udimV2+dimV1go baz¼a din V1 si, respectiv, din V2. Împreun¼a ele formeaz o baz¼a în X.Exist¼a un singur operator pentru care U (u1) = 0, ..., U (udimV1) = 0,U (u1+dimV1) = u1+dimV1, ... ,U (udimV) = udimV. Evident U � U = U .Dac¼a y 2 kerU , cu y =

Pi �iui+

Pj �juj, atunci U (y) =

Pj �juj = 0

de unde �j = 0, 8j = 1 + dimV1; : : : ; dimV2 + dimV1. Rezult¼a y =Pi �iui 2 V1. Dac¼a y 2 ImU atunci exist¼a x =

Pi �iui +

Pj �juj 2 X,

y = U (x). Rezult¼a y =P

j �juj 2 V2. Implicatiile reciproce sunt evidente.Relatia prV2V1 +pr

V1V2 = 1X atrage S = S � prV2V1 +S � pr

V1V2. �

5.4.5.Observatie. Fie fu1; u2; : : : udimV1g o baz¼a dinV1. Dac¼a complet¼ammultimea de vectori liniar independenti la o baz¼a înV cu vectorii fe1+dimV1 ; e2+dimV1 ; : : : ; edimVgatunci vectorii

fu1; u2; : : : udimV1 ; U (e1+dimV1) ; U (e2+dimV1) ; : : : ; U (edimV)g

constituie o alt¼a baz¼a înV pentru care fU (e1+dimV1) ; U (e2+dimV1) ; : : : ; U (edimV)geste o baz¼a în V2.

Demonstratie. �liniar independenta�RelatiaP

i �iui+P

j �jU (ej) =

0 si liniaritatea lui U fac adev¼arate egalit¼atile 0 = U�P

i �iui +P

j �jU (ej)�=P

i �iU (ui) +P

j �jU (ej) = U�P

j �jej

�. Rezult¼a, de aici, c¼a

Pj �jej 2

kerU sauP

j �jej =P

i iui sauP

i (� i)ui+P

j �jej = 0. Toti coe�cientiise anuleaz¼a i = 0, 8i = 1; : : : ; dimV1 si �j = 0, 8j = 1+dimV1; : : : ; dimVdup¼a care �i = 0, 8i = 1; : : : ; dimV1.

�sistem de generatori�Fie x 2 V arbitrar. Atunci îl putem scrie ca x =Pi �iui +

Pj �jej (unde i = 1; : : : ; dimV1 si j = 1 + dimV1; : : : ; dimV).

Rezult¼a c¼a U (x) =P

j �jU (ej). Deoarece x � U (x) 2 kerU = V1 avemx � U (x) =

Pi �iui si în concluzie x =

Pi �iui +

Pj �jU (ej). În plus

dac¼a x 2 V2 = ImU avem x = U (x) =P

j �jU (ej). �

5.4.2. Elemente de teoria aproxim¼arii. Ne situ¼am în continuareîn contextul unui spatiu euclidian (V;R; < �; � >) cu dimV = n.


5.4.6. De�nitie. Pentru un vector x 2 V si o multime A � V senumeste distanta de la x la A

d (x;A) = infy2Akx� yk :

5.4.7. De�nitie. Fie V un spatiu euclidian real si W un subspatiuvectorial al s¼au. Se numeste:

(1) cel mai bun aproximant a lui x 2 V înW elementul x�W 2Wpentru care

kx� x�Wk = miny2Wkx� yk

(2) proiectia ortogonal¼a a lui x 2 V peW elementul PrW (x) 2Wpentru care x� PrW (x) ?W, sau echivalent

hx� PrW (x) ; yi = 0; 8y 2W:

5.4.8. Teorem¼a (de caracterizare a celui mai bun aproximant prinproiectie ortogonal¼a). Exist¼a un singur vector din W ce satisface ambeleconditii ale de�nitiei precedente (de unde PrW (x) = x�W).

Demonstratie. �)�Presupunem c¼a 9y 2W, y 6= 0, � = hx� x�W; yi >0. Not¼am cu w = x�W +

�hy;yiy un element a lui W ce are proprietatea

kx� wk < kx� x�Wk. (Într-adev¼ar kx� wk2 = kx� x�Wk

2� 2�hy;yi hx� x

�W; yi+

�2

hy;yi2 hy; yi = kx� x�Wk

2 � �2

hy;yi .) Am obtinut un aproximant w mai bun

decât cel mai bun aprovimant x�W. În concluzie hx� x�W; yi = 0, 8y 2W.�(�Fie y 2W arbitrar. Atunci kx� yk2 = kx� PrW (x)� (y � PrW (x))k2 =

kx� PrW (x)k2�2 hx� PrW (x) ; y � PrW (x)i+ky � PrW (x)k2 = kx� PrW (x)k2+ky � PrW (x)k2 > kx� PrW (x)k2. Deci miny2W kx� yk = kx� PrW (x)k.�Unicitate�Fie v1; v2 2W astfel încât hx� v1; yi = 0 si hx� v2; yi =

0, 8y 2 W. Atunci din relatiile v1 � v2 2 W si hv1 � v2; yi = 0, 8y 2 Wrezult¼a v1 = v2.�Existent¼a� Aplic¼am teorema lui Weierstrass functiei continue y 7!

kx� yk (unde x 2 V �xat). �5.4.9. Propozitie. Sunt adev¼arate propriet¼atile:(1) kPrW (x)k2 = hx;PrW (x)i, ^ (x;PrW (x)) 2

�0; �

2

�, kPrW (x)k 6

kxk, 8x 2 V;(2) PrW (x1 + x2) = PrW (x1) + PrW (x2), 8x1; x2 2 V si PrW (�x) =

�PrW (x), 8x 2 V, 8� 2 R;


(3) PrW (v) = v, 8v 2W si hPrW (x1) ; x2i = hx1;PrW (x2)i, 8x1; x2 2X.

Demonstratie. (1) Prima relatie rezult¼a din hx� PrW (x) ;PrW (x)i =0, iar celelalte dou¼a din cos^ (x;PrW (x)) = kPrW(x)k2

kxk�kPrW(x)k =kPrW(x)kkxk 2

[0; 1].(2) Din hx1 � PrW (x1) ; yi = 0 si hx2 � PrW (x2) ; yi = 0, 8y 2 W

rezult¼a hx1 + x2 � (PrW (x1) + PrW (x2)) ; yi = 0, 8y 2W. Conformunicit¼atii din teorema precedent¼a rezult¼a PrW (x1 + x2) = PrW (x1)+PrW (x2). Analog, din h�x� �PrW (x) ; yi = 0, 8y 2 W rezult¼ahx� PrW (x) ; yi = 0, 8y 2 W. Folosind, din nou, unicitateaobtinem PrW (�x) = �PrW (x).

(3) Fie v 2 W arbitrar. Dac¼a alegem y = v � PrW (v) 2 W înrelatia hv � PrW (v) ; yi = 0 obtinem PrW (v) = v (si în particularPrW (PrW (x)) = PrW (x)). Deoarece PrW (x1),PrW (x2) 2W putemscrie egalit¼atile: hPrW (x1) ; x2i = hPrW (x1) ; x2 � PrW (x2)i+hPrW (x1) ;PrW (x2)i =hPrW (x1) ;PrW (x2)i = hx1 � PrW (x1) ;PrW (x2)i+hPrW (x1) ;PrW (x2)i =hx1;PrW (x2)i.

�5.4.10. Corolar. PrW (PrW (x)) = PrW (x), 8x 2 V.

5.4.11. Teorem¼a (de caracterizare a celui mai bun aproximant prinsimetrie operatorial¼a). Operatorul de proiectie S : V! V este un operatorde proiectie ortogonal¼a pe ImS dac¼a si numai dac¼a

hS (x1) ; x2i = hx1; S (x2)i , 8x1; x2 2 V.

Demonstratie. A�rmatia a patra a propozitiei precedente demonstreaz¼aprima jum¼atate. Pentru a doua �e x2 = y 2 ImS arbitrar. Atunci S (y) =y si din conditia de simetrie avem hx1 � Sx1; yi = 0, 8y 2 ImS. �

5.4.12. Propozitie. Fie V1 � V2 dou¼a subspatii vectoriale a spatiuluiV. Atunci:

(1) PrV2 (PrV1 (x)) = PrV1 (x), 8x 2 V;(2) PrV1 (PrV2 (x)) = PrV1 (x), 8x 2 V (teorema celor 3 perpendiculare).

Demonstratie. (1) Se aplic¼a punctul trei al teoremei precedentepentru PrV1 (x) 2 V1, 8x 2 V.

(2) Din hx� PrV2 (x) ; wi = 0, 8w 2 V2 si hPrV2 (x)� PrV1 (PrV2 (x)) ; wi =0, 8w 2 V1 rezult¼a hx� PrV1 (PrV2 (x)) ; wi = 0, 8w 2 V1.


Folosind unicitatea din teorema de caracterizare avem PrV1 (PrV2 (x)) =PrV1 (x), 8x 2 V.

�5.4.13. Corolar (ecuatiile normale ale celui mai bun aproximant).

Dac¼a fe1; e2; : : : ; epg este o baz¼a a subspatiului vectorialW atunci PrW (x) =Ppi=1 �iei are are coe�cientii �1; : : : ; �p dati de unica solutie a sistemului:2664he1; e1i he2; e1i ::: hep; e1ihe1; e2i he2; e2i ::: hep; e2i::: ::: ::: :::

he1; epi he2; epi ::: hep; epi

3775| {z }

matrice Gram

2664�1�2::::�p

3775| {z }

coe�cientilor Fourier

=

2664hx; e1ihx; e2i:::::::::::::hx; epi

3775.Pentru baze ortonormate matricea Gram este matricea unitate si �i =

hx; eii, 8i = 1; : : : ; p.Demonstratie. Conditia hx� PrW (x) ; yi = 0, 8y 2W este echivalent¼a

cu hx; eki =Pp

i=1 �i hei; eki sau înc¼a cu sistemul dat. �5.4.14. Propozitie. Fie subspatiul vectorial W. Atunci:(1) kx� PrV (x)k2 = kxk2 � kPrW (x)k2 = kxk2 sin^ (x;PrW (x)),8x 2 V;

(2) Dac¼a fe1; e2; : : : ; epg este o baz¼a a lui W, atunci

kx� PrW (x)k2 = kxk2 �pXi=1

�ihei; xi

(3) Dac¼a fe1; e2; : : : ; epg este o baz¼a ortonormat¼a a lui W, atunci

kx� PrW (x)k2 = kxk2 �pXi=1

(�i)2 .

Demonstratie. Avem kx� PrW (x)k2 = hx� PrW (x) ; xi�hx� PrW (x) ;PrW (x)i| {z }=0

=

hx; xi�hPrW (x) ; xi = kxk2�Pp

i=1 �ihei; xi. Pentru ultima a�rmatie tinemcont c¼a �i = hx; eii, 8i = 1; : : : ; p. �5.4.15. Observatie. Teorema lui Pitagora cere ca

kxk2 = kx� PrW (x)k2 + kPrW (x)k2

pentru c¼a vectorii PrW (x) si x � PrW (x) sunt perpendiculari. Lungimeaunei perpendiculare este mai mic¼a sau egal¼a decât lungimea oric¼arei oblice.


Demonstratie. Orice oblic¼a este de forma x � w, cu w 2 W. Dinfaptul c¼a x � PrW (x) este ortogonal pe W urmeaz¼a c¼a este ortogonal pe�ecare vector din W, deci pe v0. Atunci au loc relatiile:x � w = x �PrW (x) + (PrW (x)� w)

x� w = x� PrW (x) + (PrW (x)� w)PrW (x)� w 2W

(x� PrW (x)) ? (PrW (x)� w)

9=;)T. Pitagora.) kx� wk2 = kx� PrW (x)k2 + kPrW (x)� wk2 )

) kx� PrW (x)k � kx� wkadic¼a lungimea oric¼arei oblice este mai mare decât lungimea perpendicularei.

�5.4.16. Propozitie. Dac¼a w 2 V; w 6= 0 si W = span fwg atunci

PrW (x) =hx;wihw;wiw, kx� PrW (x)k

2 = kxk2� hx;wi2hw;wi si hPrW (x) ; yi =

hx;wihy;wihw;wi =

hx;PrW (y)i, 8x; y 2 V.

CAPITOLUL 6

Elemente de teorie spectral¼a a operatorilor

6.1. Forma canonic¼a Jordan

6.1.1.De�nitie. Se numeste celul¼a Jordan de ordin r atasat¼a scalarului� o matrice r � r de forma:

J� (r) =

0BB@� 1 � � � 00 � � � � 0

� � � � � � . . . � � �0 0 � � � �

1CCA :

6.1.2. De�nitie. Se numeste bloc Jordan de ordin (r1; � � � ; rk) atasatscalarului � o matrice (r1 + � � �+ rk)� (r1 + � � �+ rk) de forma:

J� (r1; � � � rk) =

0BB@J� (r1) 0 � � � 00 J� (r2) � � � 0

� � � � � � . . . � � �0 0 � � � J� (rk)

1CCA :

6.1.3.De�nitie. Se numestematrice Jordan atasat¼a scalarilor (�1; � � � ; �s)si scalarilor

�r�i1 ; � � � r�iki

�, i = 1; s o matrice de forma:

J =

0BBB@J�1�r�11 ; � � � ; r�1k1

�0 � � � 0

0 J�2�r�21 ; � � � ; r�2k2

�� 0

� � � � � � . . . � � �0 0 � � � J�s

�r�s1 ; � � � ; r�sks

�1CCCA :

6.1.4.De�nitie. Un subspatiuV0 se numeste invariant relativ la operatorulU (�) dac¼a

U (V0) � V0:6.1.5. Observatie. Dac¼a un operator admite un subspatiu invariant

de dimensiune m, atunci matricea corespunz¼atoare unei alegeri de baz¼a91

92 6. ELEMENTE DE TEORIE SPECTRAL¼A A OPERATORILOR

a spatiului pentru care primii m vectori sunt baz¼a a subspatiului este de

forma�A11 A12

A21 A22

�cu A21 = O 2Mn�m;m:

Demonstratie. U (fj) =mPi=1

aijfi (U (fj)) =

26666666664

ai1ai2...aim0...0

37777777775,8j = 1;m �

6.1.6. Observatie. Dac¼a spatiul se poate reprezenta ca o sum¼a direct¼ade subspatii invariante, atunci matricea operatorului într-o baz¼a corespunz¼atoaresumei directe este 0BB@

A11 0 � � � 00 A22 � � � 0

� � � � � � . . . � � �0 0 � � � Akk

1CCADemonstratie. Pentru dou¼a subspatii, �e V = V1 � V2 si �e o baz¼a

atasat¼a acestei sume directe:

f1; � � � ; fk1 ; g1; � � � ; gk2 ;atunci ultimele k2 coordonate ale lui U (fj) sunt nule (pentru c¼a se exprim¼anumai cu baza lui V1) si primele k1 coordonate ale lui U (gj) sunt nule(pentru c¼a se exprim¼a numai cu baza lui V2) �

6.1.7.De�nitie. Subspatiile invariante de dimensiune 1 se mai numescdirectii invariante. Orice vector nenul al unei directii invariante se numestevector propriu. (un vector nenul se numeste vector propriu al operatorului,dac¼a operatorul transform¼a vectorul într-un vector coliniar cu el).

6.1.8. Observatie. Vectorii x si U (x) sunt coliniari dac¼a si numaidac¼a exist¼a un scalar � astfel încât

U (x) = �x:

Scalarul se numeste valoare proprie corespunz¼atoare vectorului propriu.

6.1.9. Observatie. Orice familie de vectori proprii corespunz¼atori lavalori proprii distincte dou¼a câte dou¼a este o familie liniar independent¼a.

6.1. FORMA CANONIC¼A JORDAN 93

Demonstratie. Fie v1; � � � ; vm vectori proprii si �e �1; � � � ; �m valorileproprii. Prin inductie, dac¼a m = 1, v1 6= 0 deci este liniar independent.Pentru m = 2, dac¼a �1v1 + �2v2 = 0; atunci 0 = U (�1v1 + �2v2) =�1U (v1) + �2U (v2) = �1�1v1 + �2�2v2.

�1v1 + �2v2 = 0�1�1v1 + �2�2v2 = 0

�1 6= 0

9=; ��2) �1 (�1 � �2) v1 = 0) �1 = �2 contradictie.

�1v1 + � � �+ �mvm = 0) �1�1v1 + � � �+ �m�mvm = 0 si se înmultesteprima egalitate cu �m ) �1 (�1 � �m) v1+ � � �+�m�1 (�m�1 � �m) vm�1 =0; se aplic¼a ipoteza de inductie pentru ceim�1 vectori proprii) �j (�j � �m) =0 ) �j = 0 �6.1.10.Observatie. Orice operator are cel mult n valori proprii distincte

dou¼a câte dou¼a.

Demonstratie. La �ecare valoare proprie distinct¼a corespunde m¼acarun vector propriu si familia acestor vectori proprii este liniar independent¼a,deci num¼arul de vectori nu poate dep¼asi dimensiunea spatiului �6.1.11.Observatie. Fie � o valoare proprie �xat¼a. Multimea vectorilor

proprii corespunz¼atori valorii proprii � formeaz¼a un subspatiu vectorial.

Demonstratie. U (x1) = �x1 si U (x2) = �x2 ) U (�1x1 + �2x2) =� (�1x1 + �2x2) deci orice combinatie liniar¼a de vectori proprii corespunz¼atorivalorii proprii � este vector propriu corespunz¼ator aceleiasi valori proprii

�6.1.12.De�nitie. SubspatiulV� se numeste subspatiul propriu al operatorului

U (�) corespunz¼ator valorii proprii �:6.1.13. Observatie. Relatia U (v) = �v scris¼a într-o baz¼a oarecare în

care operatorul are matricea A este

A [v]B = � [v]B ) (A� �In) [v]B = 0;care este un sistem liniar omogen în necunoscutele coordonatele vectoruluiv si cu parametrul �. Conditia necesar¼a si su�cient¼a pentru a admite solutiinenule este ca determinantul matricii sistemului s¼a �e nul, adic¼a

det (A� �I) = 0:Aceast¼a ecuatie în necunoscuta � se numeste ecuatia caracteristic¼a amatricii A, iar polinomul se numeste polinomul caracteristic al matriciiA:


6.1.14. Observatie. Polinomul caracteristic nu depinde de baza încare a fost reprezentat operatorul.

Demonstratie. Leg¼atura dintre matricile aceluiasi operator în dou¼abaze distincte este B = T�1AT; unde T este matricea de trecere dintrecele dou¼a baze; are loc

det (T�1AT � �I) = det (T�1AT � �T�1T ) = det (T�1 (A� �I)T ) == detT�1 det (A� �I) detT = det (A� �I) :

�

6.1.15.Observatie. Rezovarea ecuatiei caracteristice conduce la urm¼atoarelesituatii:

(1) Toate r¼ad¼acinile polinomului apartin corpului de scalari si suntdistincte dou¼a câte dou¼a. În acest caz, exist¼a o baz¼a format¼a dinvectori proprii corespunz¼atori valorilor proprii, toate subspatiileproprii sunt de dimensiune 1 iar matricea operatorului în aceast¼abaz¼a este diagonal¼a, pe diagonal¼a a�ându-se exact valorile proprii,în ordinea dat¼a de asezarea vectorilor proprii în baz¼a.

(2) Toate r¼ad¼acinile polinomului apartin corpului de scalari dar nusunt distincte dou¼a câte dou¼a. În acest caz se pune întrebareadac¼a dimensinea subspatiului propriu atasat unei valori propriimultiple (numit¼a dimensiunea geometric¼a a valorii proprii) esteegal¼a sau nu cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii (numitdimensiunea algebric¼a a valorii proprii). Vor exista în continuaredou¼a subcazuri:(a) Toate r¼ad¼acinile polinomului apartin corpului de scalari dar

nu sunt distincte dou¼a câte dou¼a si pentru �ecare valoareproprie multipl¼a, dimensiunile ei (geometric¼a si algebric¼a)sunt egale.

(b) Toate r¼ad¼acinile polinomului apartin corpului de scalari darnu sunt distincte dou¼a câte dou¼a si exist¼a m¼acar o valoareproprie multipl¼a pentru care dimensiunile ei nu sunt egale.

(3) Ecuatia caracteristic¼a nu are toate r¼ad¼acinile în corpul K:

În continuare, pentru g¼asirea unei forme cât mai simple a matricii unuioperator, se vor face reduceri succesive ale problemei; se va porni de laoperatori oarecare (pe spatii vectoriale complexe) a c¼aror reprezentare va �redus¼a la reprezentarea unor operatori de un tip special, numiti nilpotenti.


Se va da o reprezentare a operatorilor nilpotenti apoi se va încheia prinreprezentarea operatorilor pe spatii vectoriale reale.Se consider¼a (V;C) un spatiu vectorial de dimensiune �nit¼a peste

corpul numerelor complexe. Fie U (�) : V! V un operator si �eAmatriceaoperatorului într-o baz¼a; �e ecuatia caracteristic¼a det (A� �In) = 0 =kQi=1

(�� i)ni :

6.1.16.Teorem¼a. (Teorema Hamilton-Cayley) Fie U (�) un operatorcu matricea A într-o baz¼a oarecare si cu polinomul caracteristic P (�) =det (A� �I). Atunci au loc P (A) = 0 2Mn�n (C) (matricea nul¼a) siP (U) = 0 (operatorul nul).

Demonstratie. Fie matricea A��I; matricea este inversabil¼a dac¼a sinumai dac¼a � =2 � (A) si în acest caz se calculeaz¼a inversa acestei matrici:

(A� �I)�1 = 1

det (A� �I)B� =1

P (�)B�;

undeB� este matricea cu elementeleAji (complementii algebrici ai matricii(A� �I)), care sunt polinoame de grad cel mult n�1 în �: Atunci se poatescrie

B� = B0 +B1�+ � � �+Bn�1�n�1;

unde Bk sunt matrici p¼atrate de ordin n. Urmeaz¼a c¼a are loc

P (�) I = (A� �I)B�

si rescriem aceast¼a relatie dup¼a puterile lui �; not¼am P (�) = �0 + �1�+� � �+ �n�

n si egalitatea anterioar¼a devine:

(�0 + �1�+ � � �+ �n�n) I = (A� �I)

�B0 +B1�+ � � �+Bn�1�

n�1� ;si cum membrul drept se ordoneaz¼a dup¼a puterile lui � astfel:

AB0 + (AB1 �B0)�+ (AB2 �B1)�2 + � � �++(ABn�1 �Bn�2)�n�2 + (�Bn�1)�n;


urmeaz¼a c¼a au loc egalit¼atile (pe care le adun¼am înmultite convenabil,pentru a reduce termenii din dreapta):

�0I = AB0�1I = AB1 �B0 j� A (la stânga)�2I = AB2 �B1 j� A2 (la stânga)� � � = � � � j� � � ��n�1I = ABn�1 �Bn�2 j� An�1 (la stânga)�nI = �Bn�1 j� An (la stânga)

deci�0I = AB0�1A = A2B1 � AB0�2A

2 = A3B2 � A2B1� � � = � � �

�n�1An�1 = AnBn�1 � An�1Bn�2

�nAn = �AnBn�1

si prin adunarea egalit¼atilor rezult¼a

�0I + �1A+ �2A2 � � �+ �n�1A

n�1 + �nAn = 0;

adic¼a P (A) = 0 (matricea nul¼a) si evident P (U) = 0 (operatorul nul) �6.1.17.Observatie. (Cel mai mare divizor comun al unor polinoame)

Pentru dou¼a polinoame p1 (x) si p2 (x), din algoritmul lui Euclid de a�area celui mai mare divizor comun rezult¼a c¼a cel mai mare divizor comun esteultimul rest diferit de zero si c¼a exist¼a polinoamele h1 (x) si h2 (x) astfelîncât are loc

c:m:m:d:c: (p1 (�) ; p2 (�)) = h1 (�) � p1 (�) + h2 (�) � p2 (�) ;pentru trei polinoame, are loc

c:m:m:d:c: (p1 (�) ; p2 (�) ; p3 (�)) == c:m:m:d:c: (c:m:m:d:c: (p1 (�) ; p2 (�)) ; p3 (�)) == h01 (�) � c:m:m:d:c: (p1 (�) ; p2 (�)) + h02 (�) � p3 (�) =

= h01 (�) � (h001 (�) � p1 (�) + h02 (�) � p2 (�)) + h02 (�) � p3 (�) == h2 (�) � p1 (�) + h2 (�) � p2 (�) + h3 (�) � p3 (�)

iar proprietatea se generalizeaz¼a pentru un num¼ar oarecare de polinoame:9hi (�) polinoame, i = 1; k astfel încât

c:m:m:d:c: (p1 (�) ; p2 (�) ; � � � ; pk (�)) =kXi=1

hi (�) � pi (�) :


6.1.18. De�nitie. Un operator N (�) se numeste nilpotent dac¼a exist¼ar 2 N astfel încât N r (�) = O (�) (operatorul nul).6.1.19. Observatie. Pentru un operator nilpotent si pentru f 6= 0 si

k = min fs; N s (f) = 0g � 1, vectorii de forma f;N (f) ; � � � ; Nk (f) suntliniar independenti.

Demonstratie.kXi=0

�iNi (f) = 0 j �Nk (�)) �0N

k (f) = 0) �0 = 0;

analog prin compunere cu Nk�j (�) se obtine c¼a 8j = 1; k, �j = 0 �6.1.20.Teorem¼a. (Reducerea unui operator complex la operatori

nilpotenti) Pentru �ecare �i, se consider¼a V�i = ker ((U � �iI)ni (�)).Atunci au loc a�rmatiile:

(1) V�i sunt subspatii invariante ale lui U (�).

(2) V =kLi=1

V�i.

(3) Restrictia notat¼a Uj (�) a operatorului U (�) la �ecare subspatiuV�j , Uj (�) : V�j ! V�j ; Uj (x) = U (x) ;8x 2 V�j este de formaUj (�) = (Nj + �jI) (�), cu Nj (�) operator nilpotent pe V�j si I (�)operatorul unitate pe V�j .

Demonstratie.(1)

v 2 V�i ) (U � �iIn)ni (v) = 0;atunci

(U � �iIn)ni (U (v)) = (U � �iIn)ni ((U � �iIn + �iIn) (v)) =

= (U � �iIn)ni+1 (v) + �i (U � �iIn)ni (v) = 0) U (v) 2 U�i

deci V�i este subspatiu invariant al operatorului U .(2) Are loc

P (�) =kYi=1

(�� i)ni ;

si dac¼a pentru j = 1; k se consider¼a polinoamele

Pj (�) = (�� j)nj ; Qj (�) =kY

i=1;i6=j

(�� i)ni ;


atunci

c:m:m:d:c: (Q1 (�) ; � � � ; Qk (�)) = 1

deci exist¼a polinoamele hi (�) astfel încât s¼a aib¼a loc

kXj=1

hj (�) �Qj (�) = 1;

mai mult, are loc

P (�) = Pj (�) �Qj (�) ; 8j = 1; k;

scriind aceste relatii pentru polinoamele de operatori atasate rezult¼adin Teorema Hamilton-Cayley c¼a

0 =P (U (�)) = Pj (U (�)) �Qj (U (�))) Pj (U (�)) ((Qj (U (�))) (v)) = 0;8v 2 V;

) (Qj (U (�))) (v) 2 V�j ;8v 2 V

sikXj=1

hj (U (�)) �Qj (U (�)) = I (�) ;

adic¼a, tinând cont de faptul c¼a

hj (U (�)) �Qj (U (�)) = Qj (U (�)) � hj (U (�)) ;kPj=1

hj (U (�)) ((Qj (U (�))) (v)) =

=kPj=1

(Qj (U (�))) ((hj (U (�))) (v)) = v; 8v 2 V;

cum (Qj (U (�))) (v) 2 V�j si V�j este invariant la U (�) ; rezult¼ac¼a

(Qj (U (�))) ((hj (U (�))) (v)) 2 V�j ;asa c¼a orice vector al spatiului se descompune în sum¼a de elementedin V�j ; j = 1; k; deci are loc

V =kXi=1

V�i :


Suma este direct¼a: Fie vj 2 V�j astfel încâtkPj=1

vj = 0; atunci au

locPi (U (�)) (vi) = 0

si

Qi (U (�)) (vj) = 0; 8j = 1; k; j 6= i)

Qi (U (�)) (vi) = Qi (U (�)) �

kPl=1;j 6=i

vl

!= 0;

cum polinoamele Pi (�) siQi (�) sunt relativ prime între ele, exist¼apolinoamele R1 (�) si R2 (�) astfel încât

R1 (�)Pi (�) +R2 (�)Qi (�) = 1;

adic¼a

0 = R1 (U (�)) ((Pi (U (�))) (vi)) +R2 (U (�)) ((Qi (U (�))) (vi)) = vi;

adic¼a descompunerea este unic¼a.(3) Se noteaz¼a Uj (�) : V�j ! V�j Uj (v) = U (v) ;8v 2 V�j restrictia

operatorului U (�) la subspatiul V�j : Din de�nitia spatiului V�j ;are loc (U � �jI)nj (v) = 0; 8v 2 V�j deci (Uj � �jI)nj (v) = 0;8v 2 V�j : Are loc Uj (�) = (Uj � �jI) (�) + �jI (�) ; iar operatorulUj � �jI este nilpotent.

�6.1.21. Teorem¼a. (Forma canonic¼a Jordan a operatorilor nil-

potenti) Fie N (�) un operator nilpotent pe un spatiu vectorial V. Atunciexist¼a o baz¼a a spatiului în care matricea operatorului este un bloc Jordanatasat scalarului nul.

Demonstratie. N (�) nilpotent ) 9!r 2 N astfel încât kerN r (�) = Vsi kerN r�1 (�) & V (cel mai mic exponent pentru care operatorul esteidentic nul),

rNot= min

k

�dimNk (�) = dimV = n

(existenta rezult¼a din faptul c¼a operatorul este nilpotent iar unicitateaprin reducere la absurd); mai mult, are loc x 2 kerNk (�) ) Nk (x) = 0) N

�Nk (x)

�= 0 ) x 2 kerNk+1 (�) deci:

kerN (�) � kerN2 (�) � � � � kerNk (�) � � � �


(nucleele puterilor lui N (�) formeaz¼a un lant, care este �nit si de la rangulr încolo toti termenii sunt egali cu spatiul) (puterile operatorului suntoperatorul nul de la rangul r, inclusiv). Rezult¼a c¼a lantul este:

f0g = kerN0 (�) � kerN1 (�) � kerN2 (�) � � � � �� kerN r�1 (�) �

6=kerN r (�) = V

si �e

mkNot= dimkerNk (�) ; k = 0; r )

0 = m0 � m1 � m2 � � � � � mr�1 < mr = n:

Mai mult, dac¼a se consider¼a sirul diferentelor dimensiunilor,

qkNot= mk �mk�1; k = 1; r;

are locqr � qr�1 � qr�2 � � � � � q2 � q1

(va rezulta din demonstratie, în continuare). Pentru �ecare k = 1; r, areloc

kerNk (�) = kerNk�1 (�)�Qk;cu Q1 = kerN (�) iar qk = dimQk,

V = kerN r (�) = kerN r�1 (�)�Qr;cu

dimQr = qr = mr �mr�1Not= p1:

Se alege o baz¼a în Qr; f1; � � � fp1; vectorii f1; � � � fp1 sunt liniar independentisi, mai mult, au proprietatea c¼a dac¼a �i sunt astfel încât

p1Xi=1

�ifi 2 kerN r�1 (�) ;

atunci �i = 0 (pentru c¼a dac¼a ar exista scalarii �i astfel încâtp1Xi=1

�ifi = v0 2 kerN r�1 (�) nf0g; atunci kerN r�1 (�) \Qr 6= f0g

contradictie). Deci

V = kerN r (�) = kerN r�1 (�)� Sp ff1; � � � fp1g :Se observ¼a c¼a vectorii

N (f1) ; � � �N (fp1)


sunt în kerN r�1 (�) (pentru c¼a fi 2 kerN r (�))N r (fi) = 0)N r�1 (N (fj)) =0 ) N (fj) 2 N r�1 (�)); mai mult,

p1Pi=1

�iN (fi) 2 kerN r�2 (�))

N r�2�p1Pi=1

�iN (fi)

�= N r�1

�p1Pi=1

�ifi

�= 0)

)p1Pi=1

�ifi 2 kerN r�1 (�) ) �i = 0;

(deci în particular sunt liniar independenti) vectorii N (f1) ; � � �N (fp1)sunt în kerN r�1 (�) si nu sunt în kerN r�2 (�) deci

N (f1) ; � � �N (fp1) 2 Qr�1;dimkerN r�1 (�) = mr�1 = mr�2 + qr�1; qr�1 � p1

(deci are loc si qr�1 � qr)

siV = kerN r (�) = kerN r�1 (�)� Sp ff1; � � � fp1g =

= kerN r�2 (�)�Qr�1 � Sp ff1; � � � fp1g :Fie

p2Not= qr�1 � p1

si �efp1+1; � � � fp1+p2

completarea sistemului liniar independent N (f1) ; � � � ; N (fp1) pân¼a la obaz¼a a lui Qr�1; sistemul de vectori

N (f1) ; � � � ; N (fp1) ; fp1+1; � � � fp1+p2este o baz¼a în Qr�1 si are loc:

V = kerN r (�) = kerN r�1 (�)� Sp ff1; � � � fp1g == kerN r�2 (�)�Qr�1 � Sp ff1; � � � fp1g =

= kerN r�2 (�)� Sp fN (f1) ; � � � ; N (fp1) ; fp1+1; � � � fp1+p2g � Sp ff1; � � � fp1g :Se aplic¼a operatorul N (�) bazei din Qr�1:

N2 (f1) ; � � � ; N2 (fp1) ; N (fp1+1) ; � � �N (fp1+p2)este un sistem de p1+p2 vectori, care este liniar independent în Qr�2 (decip1 + p2 = qr�1 � qr�2) si care se completeaz¼a pân¼a la o baz¼a în Qr�2 cu

p3Not= qr�2 � qr�1 = qr�2 � p1 � p2


vectori. În �nal se obtine structura:

f1; � � � fp1 baz¼a în QrN (f1) ; � � � ; N (fp1) ; fp1+1; � � � fp1+p2 baz¼a în Qr�1

N2 (f1) ; � � � ; N2 (fp1) ; N (fp1+1) ; � � � ; N (fp1+p2) ; fp1+p2+1; � � � ; fp1+p2+p3baz¼a în Qr�2,

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::N r�1 (f1) ; � � � ; N r�1 (fp1) ; N

r�2 (fp1+1) ; � � � ; N r�2 (fp1+p2) ; � � � ;� � � ; fp1+��+pr�1+1; � � � ; fp1+��+pr�1+pr baz¼a în Q1 = kerN (�).

Fiecare coloan¼a a tabloului este câte o familie liniar independent¼a caredetermin¼a câte un subspatiu invariant al operatorului N (�); primele p1subspatii sunt de dimensiune r; urm¼atoarele p2 sunt de dimensiune r� 1,etc; ultimele pr subspatii sunt de dimensiune 1. Mai mult, ultima linieeste format¼a din vectori proprii (toti atasati valorii proprii nule). Întregulspatiu este sum¼a direct¼a de aceste subspatii pe vertical¼a; pentru spatiulformat de prima coloan¼a, se alege ca baz¼a

N r�1 (f1) ; Nr�2 (f1) ; � � � ; N (f1) ; f1

(în aceast¼a ordine); în aceast¼a baz¼a restrictia operatorului la acest subspatiueste dat¼a de valorile operatorului în vectorii bazei:

f1 2 V = kerN r ) N r (f1) = 0

N�N r�1 (f1)

�= N r (f1) =

26666400...00

377775

N�N r�2 (f1)

�= N r�1 (f1) =

26666410...00

377775::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

N (f1) =

2666640...010

377775) N jsp inv (x) =

[email protected]

10...00

� � ��

0...010

1CCCCAxNot= J0 (r)x;

6.2. DECOMPLEXIFICAREA FORMEI CANONICE COMPLEXE 103

se obtine în �nal urm¼atoarea structur¼a pentru matricea operatorului:

p1 cel.de

ord. rp2 cel.de

ord. r � 1...

pr cel.de

ord. 1

0BBBBBBBBBBBBBBBB@

J0 (r). . .

J0 (r)

0 0

0

J0 (r � 1). . .

J0 (r � 1)0

......

...

0 0

J0 (1). . .

J0 (1)

1CCCCCCCCCCCCCCCCA�

6.2. Decomplexi�carea formei canonice complexe

Când corpul de scalari este real, atunci valorile proprii sunt în generalcomplexe, deci nu fac parte din corpul de scalari; mai mult, vectorii propriiatasati la valori proprii complexe sunt de coordonate complexe. Pentru a seobtine o form¼a pseudodiagonal¼a si în aceast¼a situatie se aplic¼a urm¼atoareatehnic¼a:Fie � = � + i� 2 C n R; � > 0 o valoare proprie complex¼a cu ordinul

de multiplicitate m. Atunci �� = � � i� este valoare proprie complex¼a cuacelasi ordin de multiplicitate si celor dou¼a valori proprii trebuie s¼a li seataseze un spatiu invariant real de dimensiune 2m: Acelasi operator v¼azutca operator peste un spatiu vectorial complex admite o baz¼a Jordan încare pentru � corespund m vectori proprii liniar independenti f1; � � � ; fmde coordonate complexe; atunci vectorii �f1; � � � ; �fm formeaz¼a baz¼a Jordanpentru ��

Av = �v ) A (Re v + i Im v) = (Re�+ i Im�) (Re v + Im v)) A�v = ��v ) �v este vector propriu pentru ��Baza Jordan atasat¼a valorii proprii � este dat¼a de relatiile:Af 11 = �f 11 ; � � � ; Af

q1 = �f q1

Af 12 = f 11 + �f 12 ; � � � ; Afq2 = f q1 + �f q2

.........................................................Af 1n1 = f 1n1�1 + �f 1n1 ; � � � ; Af qnq = f qnq�1 + �f qnq


Vectorii �fkj sunt liniar independenti si formeaz¼a o baz¼a Jordan pentru��: Pornind de la baza Jordan atasat¼a celor dou¼a valori proprii complexeconjugate descris¼a mai sus se construieste o baz¼a în spatiul real prinînlocuirea �ec¼arei perechi de vectori complecsi cojugati fkj ; �f

kj cu perechea

de vectori reali gjk =12

�f jk +

�f jk�; hjk =

12i

�f jk � �f jk

�: Din relatiile

Af jk = f jk�1 + �f jk ;

A �f jk =�f jk�1 +

�� f jk

si din relatiile

�f + �� f = (Re (�) + i Im (�)) (Re (f) + i Im (f))++ (Re (�)� i Im (�)) (Re (f)� i Im (f)) =

= 2Re (�) Re (f)� 2 Im (�) Im (f) = 2 (Re (�) g � Im (�)h) ;

�f � �� f = (Re (�) + i Im (�)) (Re (f) + i Im (f))�� (Re (�)� i Im (�)) (Re (f)� i Im (f)) == 2iRe (�) Im (f) + 2i Im (�) Re (f)

rezult¼aAgjk = gjk�1 +Re (�) g

jk � Im (�)h

jk;

Ahjk = hjk�1 +Re (�) gjk + Im (�)h

jk

asa c¼a înlocuirile �ec¼arei perechi de celule complexe (pentru � = � + i�)sunt: �

� 00 ��

� �

� ��

�0BB@

� 1 0 00 � 0 00 0 �� 10 0 0 ��

1CCA 0BB@

� � 1 0�� 0 10 0 � �0 0 ��

1CCA0BBBBBB@

� 1 0 0 0 00 � 1 0 0 00 0 � 0 0 00 0 0 �� 1 00 0 0 0 �� 10 0 0 0 0 ��

1CCCCCCA 0BBBBB@

� � 1 0 0 0�� 0 1 0 00 0 � � 1 00 0 �� 0 10 0 0 0 � �0 0 0 0 ��

1CCCCCA:::::::::::::::::::::::::::::::::

6.3. ALGORITM PENTRU ADUCEREA UNUI OPERATOR LA FORMA CANONIC¼A JORDAN105

6.3. Algoritm pentru aducerea unui operator la forma canonic¼aJordan

(1) Se g¼aseste matricea atasat¼a operatorului în baza initial¼a (canonic¼a)(2) Se rezolv¼a (înC) ecuatia caracteristic¼a det (A� �I) = 0 si se retin

toate r¼ad¼acinile �j 2 C, j = 1; k, cu ordinele de multiplicitate nj,kPj=1

nj = n.

Pentru �ecare r¼ad¼acin¼a �j (de multiplicitate nj) obtinut¼a lapasul 2.:

(3) Se calculeaz¼a spatiul V�j = ker (U � �jI)nj (�).(4) Se calculeaz¼a restrictia Uj (�) a operatorului U (�) la subspatiul

V�j , Uj (�) : V�j ! V�j ; Uj (x) = U (x) ;8x 2 V�j .(5) Se calculeaz¼a operatorul nilpotent Nj (�) : V�j ! V�j , de�nit

prin: Nj (x) = Uj (x)� �jI (x) = (Uj � �jI) (x), 8x 2 V�j .(6) Se calculeaz¼a sirul de nuclee:

f0g = kerN0j (�) � kerNj (�) � kerN2

j (�) � � � � � kerNrj�1j (�) � kerN rj

j (�) = V�j ;

se calculeaz¼a

rj = mink

�dimkerNk

j (�) = dimV�j = nj

si pentru �ecare k = 1; rj, se consider¼a descompunerea

kerNkj (�) = kerNk�1

j (�)�Qjk;

(7) Se calculeaz¼a mjk = dimkerN

kj (�), k = 0; rj

(8) Se calculeaz¼a qjk = dimQjk = mj

k �mjk�1; k = 1; rj

(9) Se calculeaz¼apj1 = mj

rj�mj

rj�1 = qjrj ,

pj2 = qjrj�1 � pj1,

pj3 = qjrj�2 � qjrj�1 = qjrj�2 � p

j1 � p

j2

� � �(10) Se alege o baz¼a în Qjrj , notat¼a f

j1 ; � � � f

j

pj1; se consider¼a vectorii

f jpj1+1

; � � � f jpj1+p

j2


care completeaz¼a sistemul liniar independentNj�f j1�; � � � ; Nj

�f jpj1

�pân¼a la o baz¼a a lui Qjrj�1; se continu¼a acest procedeu pân¼a seobtine structura:

f j1 ; � � � fj

pj1baz¼a în Qjr

Nj�f j1�; � � � ; N

�f jpj1

�; f jpj1+1

; � � � f jpj1+p

j2

baz¼a în Qjrj�1

N2j

�f j1�; � � � ; N2

j

�f jpj1

�; Nj

�f jpj1+1

�; � � � ; Nj

�f jpj1+p

j2

�; f jpj1+p

j2+1

; � � � ; f jpj1+p

j2+p

j3

baz¼a în Qjr�2,:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Nrj�1j

�f j1�; � � � ; N rj�1

j

�f jpj1

�; N

rj�2j

�f jpj1+1

�; � � � ; N rj�2

j

�f jpj1+p

j2

�; � � � ;

� � � ; f jpj1+��+p

jrj�1

+1; � � � ; f j

pj1+��+pjrj�1

+pjrjbaz¼a în Qj1 = kerNj (�).

Baza Jordan se obtine prin ordonarea vectorilor de mai susîn felul urm¼ator: se aleg vectorii pe coloan¼a, de jos în sus �pentru �ecare vector, de la exponentul maxim al operatorului laexponentul minim �de exemplu, pentru prima coloan¼a (primulvector, f j1 ):

Nrj�1j

�f j1�; N

rj�2j

�f j1�; � � � ; Nj

�f j1�; f j1

(11) În �nal se obtine în aceast¼a baz¼a (de fapt reper, pentru c¼a ordineavectorilor în baz¼a este important¼a) pj1 celule de ordin rj, p

j2 celule

de ordin rj � 1, etc.

6.4. Aplicatii ale teoriei spectrale

6.4.1.De�nitie. Pentru un operator liniar U (�) : Rn ! Rn, se numesteoperatorul adjunct acel operator (unic) U� (�) : Rn ! Rn cu proprietatea:

hU (x) ; yi = hx; U� (y)i ;8x; y 2 Rn:

6.4.2. Observatie.

U�� (�) = U (�)(U1 + U2)

� (�) = U�1 (�) + U�2 (�)(U1 � U2)� (�) = (U�2 � U�1 ) (�)

6.4. APLICATII ALE TEORIEI SPECTRALE 107

6.4.3. De�nitie. Operatorul liniar U (�) se numeste normal dac¼a

(U � U�) (�) = (U� � U) (�)

(operatorul comut¼a cu adjunctul s¼au).

6.4.4. Propozitie. Orice vector propriu al unui operator normal, atasatvalorii proprii �, este vector propriu al operatorului adjunct, atasat valoriiproprii ��:

Demonstratie. Pentru x vector propriu are loc

U (U� (x)) = U� (U (x)) = U� (�x) = �U� (x) ;

ceea ce înseamn¼a c¼a si U� (x) este vector propriu al operatorului U (�) ;atasat valorii proprii �; adic¼a operatorul U� (�) transform¼a vectorii propriiai operatorului U (�) corespunz¼atori valorii proprii � tot în vectori propriide acelasi tip. Mai mult, pentru orice doi vectori proprii x si y are loc

hU� (x) ; yi = hx; U (y)i = hx; �yi =��x; y

�;

adic¼a U� (x) = ��x �

6.4.5. Teorem¼a. (Structura unui operator normal real) Exist¼ao baz¼a ortonormal¼a de vectori proprii în care matricea operatorului estede forma 0BBBBBBBBBBBBBBBBB@

�1 � 1�� 1 �1

. . .

�m �m��m �m

�m+1

. . .

�r

1CCCCCCCCCCCCCCCCCAîn care �j = �j+i� j; j = 1;m sunt valorile proprii complexe iar �m+1; � � ��nsunt cele reale, num¼arul de aparitii al �ec¼arei valori proprii �ind egal cuordinul ei de multiplicitate.


6.4.6.Observatie. Operatorul normal reprezint¼a o transformare format¼adin rotatii cu omotetii în m plane ortogonale dou¼a câte dou¼a si (numai)omotetii în celelalte r �m directii ortogonale.

6.4.7. Observatie. Matricea��j � j�� j �j

�=q�2j + � 2j

0@ �jp�2j+�

2j

�jp�2j+�

2j

� �jp�2j+�

2j

�jp�2j+�

2j

1Areprezint¼a o omotetie de coe�cient

q�2j + � 2j si o rotatie de unghi arccos

��jp�2j+�

2j

�:

6.4.8. De�nitie. Operatorul liniar U (�) se numeste autoadjunct dac¼a

U (�) = U� (�) :

6.4.9. Propozitie. Matricea unui operator liniar autoadjunct într-obaz¼a ortonormat¼a este simetric¼a.

Demonstratie. Fie x =nPi=1

xiei; y =nPj=1

yjej si A = (aij)i;j=1;n : Au

loc:U (ei) =

nPk=1

akiek; deci

hU (x) ; yi =*U

�nPi=1

xiei

�;nPj=1

yjej

+=

nPi=1

nPj=1

xiyj hU (ei) ; eji =

=nPi=1

nPj=1

xiyj

�nPk=1

akiek; ej

�=

nPi=1

nPj=1

xiyjaji si analog,

hx; U (y)i =*

nPi=1

xiei; U

nPj=1

yjej

!+=

nPi=1

nPj=1

xiyj hei; U (ej)i =

=nPi=1

nPj=1

xiyj

�ei;

nPk=1

akjek

�=

nPi=1

nPj=1

xiyjaij si din relatia

hU (x) ; yi = hx; U� (y)i ;8x; y 2 Rn

urmeaz¼a c¼a aij = aji; adic¼a matricea este simetric¼a (A = AT ) �

6.4.10. Teorem¼a. Valorile proprii ale unui operator real simetric suntreale.


Demonstratie. Av = �v ) A�v = ��v si

�vTAv = �vT�v = ��vTv

vTA�v = vT ��v = ��vT �v

dar��vTAv

�T= vTAT

��vT�T= vTA�v ) � kvk2 = �� kvk2 ) � = ��

6.4.11. Teorem¼a. Vectorii proprii asociati la valori proprii distincteale unui operator real simetric sunt ortogonali doi câte doi.

Demonstratie.

Av1 = �1v1 ) vT2 Av1 = �1vT2 v1

Av2 = �2v2 ) vT1 Av2 = �2vT1 v2

vT2 Av1 =�vT1 Av2

�TvT2 v1 = vT1 v2

�1 6= �2

9>>>>=>>>>;) vT1 v2 = 0

�6.4.12. Observatie. Exist¼a o baz¼a ortonormal¼a format¼a din vectori

proprii în care matricea unui operator simetric este diagonal¼a de valoriproprii (pentru c¼a un operator simetric este un operator normal f¼ar¼a valoriproprii complexe). Geometric, operatorul simetric reprezint¼a omotetii pedirectii ortogonale.

6.4.13. De�nitie. Operatorul liniar U (�) se numeste antiautoadjunctdac¼a

U (�) = �U� (�) :

6.4.14. Propozitie. Un operator antiautoadjunct are numai valoriproprii pur imaginare.

Demonstratie. Din U� (�) = �U (�) rezult¼a c¼a �� = ��; adic¼a parteareal¼a a valorii proprii este nul¼a �

6.4.15. Observatie. Celulele matricii în baza canonic¼a Jordan real¼a

cap¼at¼a forma special¼a�

0 � j�� j 0

�, care din punct de vedere geometric

înseamn¼a omotetii si rotatii de 90� în plane ortogonale dou¼a câte dou¼a.

6.4.16. De�nitie. Un operator liniar U (�) : Rn ! Rn se numesteunitar dac¼a

hU (x) ; U (y)i = hx; yi :


6.4.17.Observatie. Operatorii unitari sunt acei operatori care transform¼ao baz¼a ortonormal¼a într-o alt¼a baz¼a ortonormal¼a.

6.4.18. Propozitie. Dac¼a A = (aij)i;j=1;n este matricea operatoruluiunitar corespunz¼atoare bazei canonice (ei)i=1;n, atunci are loc

ATA = AAT = In�operatorul este inversabil si A�1 = AT

�:

Demonstratie. Din de�nitie rezult¼a c¼a

�ij = hei; eji = hU (ei) ; U (ej)i == hcolA (i) ; colA (j)i = hlinAT (i) ; colA (j)i

) ATA = In:

�

6.4.19. Observatie.

kU (x)k = kxk (conserv¼a norma);kU (x)� U (y)k = kx� yk (conserv¼a distanta);cos (U (x) ; U (y)) = cos (x; y) (conserv¼a unghiul).

6.4.20. Propozitie. Orice valoare proprie a unui operator unitar estenum¼ar real sau complex de modul unitar.

Demonstratie. hU (x) ; U (y)i = h�x; �yi = �� hx; yi = hx; yi ;8x; yvectori proprii atasati valorii proprii � ) �� = 1; adic¼a j�j = 1 �

6.4.21. Observatie. Exist¼a o baz¼a ortonormal¼a format¼a din vectoriproprii în care matricea este de tip0BBBBBBBBBBBBBBBBB@

cos�1 sin�1� sin�1 cos�1

. . .

cos�m sin�m� sin�m cos�m

�1. . .

�1

1CCCCCCCCCCCCCCCCCA


Geometric, aceast¼a structur¼a înseamn¼a rotatii (f¼ar¼a omotetii) în planeleortogonale corespunz¼atoare valorilor proprii complexe; directiile corespunz¼atoarevalorilor proprii reale combinate dou¼a câte dou¼a formeaz¼a plane ortogonaleîn care se realizeaz¼a rotatii de 0� sau de 180�, la care pentru cazul imparse adaug¼a o simetrie sau o identitate pe ultima directie.

6.4.22.De�nitie. Omatrice p¼atratic¼a cu elemente pozitive se numesteproductiv¼a dac¼a 9v0 > 0 astfel încât

v0 >6=Av0:

(relatia �u >6=v�între doi vectori u si v va �numit¼a �inegalitate tare între

vectori� si înseamn¼a c¼a �ecare coordonat¼a a vectorului u este strict maimare decât coordonata corespunz¼atoare a vectorului v)

6.4.23. Teorem¼a. Valoarea absolut¼a a oric¼arei valori proprii a uneimatrici productive este strict subunitar¼a.

Demonstratie.

Av = �v ) �vi =nPj=1

aijvj ) j�j jvij �nPj=1

aij jvjj )

j�j v0i�� viv0i �� nP

j=1

aijv0j

�� vjv0j ��)) j�j v0i

�� viv0i �� maxj �� vjv0j �� nPj=1

aijv0j < max

j

�� vjv0j �� v0i )j�j v0i

�� viv0i �� < maxj �� vjv0j �� v0i 8i = 1; n)dac¼a se alege în locul lui i indicele în care membrul drept atinge maximul,�e acesta r, relatia devine:

j�j v0r��vrv0r�� < ��vrv0r

�� v0r ) j�j < 1:�

6.4.24. Teorem¼a. Dac¼a A este productiv¼a, atunci exist¼a (I � A)�1 sieste cu elemente pozitive (nestrict).

Demonstratie. Are loc relatia

(I � A)�I + A+ A2 + � � �Am

�= I � Am+1


si din teorema precedent¼a urmeaz¼a c¼a limm!1

Am+1 = 0 (matricea nul¼a),

deci prin trecere la limit¼a relatia devine

(I � A)�I + A+ A2 + � � �Am + � � �

�= I;

deci exist¼a(I � A)�1 = I + A+ A2 + � � �Am + � � � :

�

6.4.25. Exemplu. Modelul lui Leontie¤

Ax+ y = x;

unde A este o matrice productiv¼a care reprezint¼a matricea coe�cientilortehnologici (coe�cientul din productia de bun j consumat pentru producereaunei unit¼ati de bun i) , x este un vector coloan¼a al nivelurilor de productieiar y este vectorul coloan¼a al cererii �nale. Relatia se mai scrie

y = (I � A)x

si din teoremele anterioare 9 (I � A)�1 si are loc

x = (I � A)�1 y = (I + A+ A2 + � � �Am + � � � ) y == y + Ay + A2y + � � �Amy + � � � ;

relatie interpretabil¼a astfel: pentru obtinerea unei productii �nale netey trebuie produs¼a cantitatea Ay intermediar¼a necesar¼a producerii lui y;pentru care trebuie produs A2y necesar lui Ay; � � � : Productia total¼a xa fost descompus¼a în productie �nal¼a y si în productii intermediare Amydate de matricile de consumuri intermediare Am:

Problema caracteriz¼arii matricilor productive admite si o reciproc¼a:

6.4.26. Teorem¼a. Dac¼a pentru matricea p¼atratic¼a pozitiv¼a Amatricea(I � A)�1 exist¼a si este pozitiv¼a, atunci A este productiv¼a.

Demonstratie. Fie v >6=0 ) x = (I � A)�1 v >

6=0 ) x�Ax = v >

6=0

) x >6=Ax ) A este productiv¼a �

6.4.27.Observatie. Transpusa unei matrici productive este tot productiv¼a.

6.4.28.Teorem¼a. (Perron-Frobenius) FieA o matrice real¼a pozitiv¼a.Atunci:


(1) Dac¼a toate elementele matriciiA sunt strict pozitive, atunci exist¼ao valoare proprie de modul maximal care este real¼a, strict pozitiv¼asi c¼areia i se poate asocia un vector propriu cu toate elementelestrict pozitive;

(2) Dac¼a A este nenul¼a, are o valoare proprie real¼a strict pozitiv¼a, demodul maximal, c¼areia i se poate asocia un vector propriu (nenul)de elemente pozitive (sau nule).

Demonstratie. (1) Fie �M o valoare proprie de modul maximalsi �e v un vector propriu asociat valorii proprii �M : Are loc Av =�Mv; adic¼a pe coordonate

nXj=1

aijvj = �Mvi; 8i = 1; n;

deci

j�M j jvij �nXj=1

jaijvjj �nXj=1

jaijj jvjj ; 8i = 1; n;

�e

p =

24 jv1j...jvnj

35 = jvj ;cum aij > 0; are loc

j�M j p � Ap;

presupunem prin reducere la absurd c¼a 9k 2 f1; � � � ; ng astfelîncât

j�M j jvkj <nXj=1

akj jvjj

si �e z = (A� j�M j I) p; are loc z > 0 ) Az >6=0 si Ap >

6=0 )

9" > 0;Az >

6="Ap >

6=0;

darAz = A (A� j�M j I) p = A2 � j�M jAp

deci

A2p = Az + j�M jAp >6="Ap+ j�M jAp = ("+ j�M j)Ap;


cu B =1

"+ j�M jA >

6=0; are loc

BAp >6=Ap

si deci are loc prin recurent¼a

BkAp >6=Ap;

din faptul c¼a �M este valoare proprie de modul maximal, urmeaz¼ac¼aB are toate valorile proprii de modul subunitar, deci lim

m!1Bm =

0 (matricea nul¼a de ordin n); prin trecere la limit¼a, rezult¼a c¼a0 >6=Ap contradictie cu existenta indicelui k, asa c¼a are loc

j�M j p = Ap

(2) Se aplic¼a 1. pentru matricea A + "U; cu U matricea de ordin ncare are toate elementele 1; dup¼a care se trece la limit¼a

�

ANEXA A

Logic¼a matematic¼a binar¼a

Logica matematic¼a binar¼a se ocup¼a de operatii cu enunturi logice sievalu¼ari ale valorii lor de adev¼ar (se consider¼a numai enunturi logice cuo valoare de adev¼ar din dou¼a posibile; aceast¼a conventie este restrictiv¼a,dar nu este scopul prezent¼arii de fat¼a s¼a se ocupe de alte situatii)

A.1. Propozitii logice

A.1.1. De�nitie. (OPERATII CU ENUNTURI LOGICE):

(1) NEGATIA LOGIC¼A (NON):p ep0 11 0

(2) CONJUNCTIA LOGIC¼A (SI):

p q p ^ q0 0 00 1 01 0 01 1 1

(3) DISJUNCTIA LOGIC¼A (SAU):

p q p _ q0 0 00 1 11 0 11 1 1

(4) IMPLICATIA LOGIC¼A (Dac¼a�Atunci):(a) Din adev¼ar implic¼a numai adev¼ar(b) Din fals implic¼a orice.

115

116 A. LOGIC¼A MATEMATIC¼A BINAR¼A

(1)

p q p! q

0 0 10 1 11 0 01 1 1

A.1.2.Observatie. (PROPRIET¼ATI ALEOPERATIILORCUENUNTURI LOGICE):

(1) e (ep) � p (principiul tertului exclus)(2) p _ q � q _ p (comutativitate)(3) p _ (q _ r) � (p _ q) _ r (asociativitate)(4) p _ 1 � 1 (proprietatea de ultim element)(5) p _ 0 � p (proprietatea de element neutru)(6) p ^ q � q ^ p (comutativitate)(7) p ^ p � p (idempotent¼a)(8) p _ p � p (idempotent¼a)(9) p ^ (q ^ r) � (p ^ q) ^ r (asociativitate)(10) p ^ 0 � 0 (proprietatea de prim element)(11) p ^ 1 � p (proprietatea de element neutru)(12) e (p _ q) �epêq (Regulile lui DeMorgan)(13) e (p ^ q) �ep_eq(14) p ^ (q _ r) � (p ^ q) _ (p ^ r) (distributivitatea conjunctiei fat¼a

de disjunctie)(15) p _ (q ^ r) � (p _ q) ^ (p _ r)

A.1.3.Teorem¼a. (Reducerea implicatiei logice la operatii elementare)ep _ q � p! q.

Demonstratie. Prin tabl¼a de adev¼ar. �A.1.4. Teorem¼a. (Negarea implicatiei logice)e (p! q) � pêq.

Demonstratie. e (p! q) �e (ep _ q) �e (ep)êq � pêq. �A.1.5. Teorem¼a. (Principiul demonstratiei prin reducere la absurd)p! q � (eq)! (ep).

Demonstratie. p ! q �ep _ q � q_ep �e (eq)_ep � (eq) ! (ep).�

A.2. PREDICATE LOGICE 117

A.2. Predicate logice

A.2.1. De�nitie. Se numeste predicat logic orice functie p (�) : D ! P(multimea propozitiilor) (orice functie care are drept codomeniu multimeapropozitiilor) (domeniul poate �privit ca multimea de parametri ai predicatului)

e (8x; p (x)) � 9x; ep (x)e (9x; p (x)) � 8x; ep (x)A.2.2. Exemplu. S¼a se g¼aseasc¼a negatia enuntului logic: �Toti oamenii

sunt muritori�

A.2.3. Observatie. Cuanti�catorii logici (existential si universal) nucomut¼a:

8x 9yx p (x; y) 6= 9y8xp (x; y)

ANEXA B

Elemente de teoria multimilor

Printre caracteristicile secolelor XIX si XX în matematic¼a este si de�nitivareaconstructiei matematicii ca sistem axiomatic. Una dintre constat¼ari estec¼a, axiomatic vorbind, totul porneste de la notiunea de multime. Notiuneaîns¼asi de multime nu poate �de�nit¼a (se poate dempnstra acest lucru). Dealtfel, pentru orice stiint¼a se ridic¼a întrebarea: �Ce notiuni foloseste aceastiint¼a dar nu le poate de�ni riguros?�. Pentru matematic¼a, r¼aspunsul este:�Notiunea de multime�. În general, r¼aspunsurile posibile pentru aceast¼aîntrebare sunt consecinte ale ciclului de rezultate teoretice obtinute deKurt Gödel în prima jum¼atate a secolului XX, despre incompletitudineaunui sistem axiomatic. În esent¼a si f¼ar¼a a se intra în mai multe detalii,s�a stabilit c¼a orice sistem axiomatic este incomplet sau contradictoriu;asta înseamn¼a, printre altele, c¼a orice stiint¼a necontradictorie trebuie s¼ase astepte la probleme indecidabile si s¼a aib¼a maturitatea de a le dep¼asi.

B.1. Operatii cu multimi

B.1.1.De�nitie. Operatiile de baz¼a cu multimi sunt: reuniune, intersectie,complementar¼a. Relatia dintre o multime si elementele ei este cea deapartenent¼a. Relatia de baz¼a între multimi este incluziunea.

Reuniune: A [B = fx; x 2 A sau x 2 BgIntersectie: A \B = fx; x 2 A si x 2 BgComplementar¼a: CA = fx; x 2 A si x 62 gIncluziune: A � B , 8x 2 A; x 2 BMultimea p¼artilor: P () = fA; A � g

B.1.2. Observatie. Fie A, B, C 2 P (). Prin CA se va întelegecomplementara multimiiA fat¼a de. Operatiile cu multimi au urm¼atoarelepropriet¼ati:

(1) A [ A = A (idempotenta reuniunii);(2) A [ = (proprietatea de ultim element a reuniunii);

119

120 B. ELEMENTE DE TEORIA MULTIMILOR

(3) A \ A = A (idempotenta intersectiei);(4) A \ = A (proprietatea de element neutru a intersectiei);(5) A [ ; = A (proprietatea de element neutru a reuniunii);(6) A \ ; = ; (proprietatea de prim element a intersectiei);(7) A [B = B [ A (comutativitatea reuniunii);(8) A \B = B \ A (comutativitatea reuniunii);(9) A[(B[C) = (A[B)[C = A[B[C (asociativitatea reuniunii);(10) A\(B\C) = (A\B)\C = A\B\C (asociativitatea intersectiei);(11) A[ (B \C) = (A[B)\ (A[C) (distributivitatea reuniunii fat¼a

de intersectie);(12) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) (distributivitatea intersectiei

fat¼a de reuniune);(13) A [ (A \B) = A;(14) A \ (A [B) = A;(15) A [ CA = ;(16) A \ CA = ;;(17) CCA = A;

(18) C (A [B) = CA\CB; C�Si2IAi

�=Ti2ICAi (relatiile lui DeMorgan);

(19) C (A \B) = CA[CB; C�Ti2IAi

�=Si2ICAi (relatiile lui DeMorgan);

(20) AnB = A \ CB (diferenta a dou¼a multimi);

B.1.3. De�nitie. Se numeste produs cartezian a dou¼a multimi A si Bmultimea:

A�B = f(a; b); a 2 A si b 2 Bg:B.1.4. Observatie. Alte propriet¼ati:(1) An(B [ C) = (AnB)nC;(2) An(B \ C) = (AnB) [ (AnC);(3) (A [B)nC = (AnC) [ (BnC);(4) (A \B)nC = A \ (BnC) = (AnC) \B;(5) A� (B [ C) = (A�B) [ (A� C);(6) A� (B \ C) = (A�B) \ (A� C);(7) A� (BnC) = (A�B)n(A� C);

B.2. Relatii

B.2.1. De�nitie. Fie X, Y dou¼a multimi. Se numeste relatie (cores-pondent¼a) binar¼a între multimile X si Y orice triplet R = (X; Y;GR),

B.2. RELATII 121

unde GR este o submultime a produsului cartezian, GR � X � Y . X senumeste domeniul de de�nitie al relatiei, Y se numeste codomeniul relatieiiar GR se numeste gra�cul relatiei. Multimea

DR = fx 2 X; 9y 2 Y; (x; y) 2 GRg � X

se numeste domeniul (efectiv) al relatiei R. Multimea

ImR = fy 2 Y ; 9x 2 X; (x; y) 2 GRg � Y

se numeste imaginea relatiei. Relatia R�1 = (Y;X;GR�1) de�nit¼a prin

GR�1 = f(y; x) ; (x; y) 2 GRg � Y �Xse numeste relatia invers¼a relatiei R. Relatia �X = (X;X;G�X ) de�nit¼aprin G�X = f(x; x) ; x 2 Xg � X�X se numeste relatia identitate pe X.

B.2.2.De�nitie. FieX, Y , Z trei multimi si relatiileR1 = (X; Y;GR1),R2 = (Y; Z;GR2). Relatia R = (X;Z;GR) de�nit¼a prin:

GR = f(x; z) ; x 2 X; z 2 Z si 9y 2 Y a.î. (x; y) 2 GR1 si (y; z) 2 GR2gse numeste compunerea relatiilor R1 si R2 si se noteaz¼a R2 �R1 (R2 �R1 =R).

B.2.3. Observatie. Operatia de compunere a relatiilor este asociativ¼adar nu este comutativ¼a.

B.2.4.De�nitie. R = (X;X;GR) se numeste relatie de preordine dac¼aare propriet¼atile:

(1) Re�exivitate: G�X � GR (8x 2 X, (x; x) 2 GR);(2) Tranzitivitate: (x; y), (y; z) 2 GR ) (x; z) 2 GR.

B.2.5. De�nitie. R = (X;X;GR) se numeste relatie de echivalent¼adac¼a este relatie de preordine si are în plus proprietatea de simetrie:GR�1 � GR ((x; y) 2 GR) (y; x) 2 GR). Multimea x = fy 2 X; (x; y) 2 GRgse numeste clasa de echivalent¼a a lui x în raport cu relatia R. Multimeaclaselor de echivalent¼a (multimea cât a lui X în raport cu R) se noteaz¼acu X=R.

B.2.6. Observatie. Dac¼a R este o relatie de echivalent¼a pe X si x esteclasa de echivalent¼a a unui element, atunci:

(1) x 2 x, 8x 2 X;(2) (x; y) 2 R, x = y;(3) (x; y) =2 R, x \ y = ;.


B.2.7.De�nitie. R = (X;X;GR) se numeste relatie de ordine (preferint¼a)dac¼a este relatie de preordine si în plus are proprietatea de antisimetrie:GR \ GR�1 = G�X ((x; y) 2 GR si (y; x) 2 GR ) x = y). Relatiade ordine se numeste total¼a dac¼a 8x; y 2 X, (x; y) 2 GR sau (y; x) 2GR (GR [ GR�1 = X � X) si se numeste partial¼a dac¼a nu este total¼a.Perechea (X;R) se numeste multime ordonat¼a (de relatia de ordine R).O multime ordonat¼a se numeste inductiv ordonat¼a dac¼a orice submultimetotal ordonat¼a a sa este majorat¼a.

B.2.8. Observatie. (Lema lui Zorn) Orice multime inductiv ordonat¼aare un element maximal.

B.2.9. Observatie. Dac¼a R este relatie de ordine pe X, atunci R�1

este tot relatie de ordine pe X (se mai numeste relatia de ordine dual¼arelatiei R).

Demonstratie. Re�exivitatea: x 2 X ) (x; x) 2 GR ) (x; x) 2GR�1;Tranzitivitatea: Fie (x; y) 2 GR�1 si (y; z) 2 GR�1 ) (y; x) 2 GR si

(z; y) 2 GR ) (z; x) 2 GR ) (x; z) 2 GR�1;Antisimetria: (x; y) 2 GR�1 si (y; x) 2 GR�1 ) (x; y) 2 GR si (y; x) 2

GR ) x = y �B.2.10. De�nitie. Fie X o multime ordonat¼a si A 2 P (X).� A se numeste majorat¼a (minorat¼a) dac¼a 9a 2 X astfel încât(x; a) 2 GR ((a; x) 2 GR) 8x 2 A. Elementul a se numestemajorant (minorant) al multimii A.� Dac¼a multimea majorantilor (minorantilor) lui A este minorat¼a(majorat¼a) atunci minorantul majorantilor (majorantul minorantilor)este unic si se numeste supremul (in�mul) multimii A (se noteaz¼asupA, respectiv inf A).� a 2 X se numeste maximal (minimal) dac¼a 8x 2 X, (a; x) 2 R((x; a) 2 R) ) x = a.� Dac¼aA = X este majorat¼a (minorat¼a), atunci majorantul (minorantul)este unic si se numeste ultim element (prim element).

B.2.11. De�nitie. O relatie R = (X; Y;GR) se numeste de tip functie(functional¼a) dac¼a are propriet¼atile:

(1) 8x 2 X, 9y 2 Y , (x; y) 2 GR;(2) (x; y1) 2 GR si (x; y2) 2 GR ) y1 = y2.

B.2. RELATII 123

B.2.12. Observatie. Dou¼a relatii sunt egale dac¼a cele dou¼a tripletesunt egale, adic¼a dac¼a domeniile, codomeniile si gra�cele sunt egale.

B.2.13. De�nitie. Fie f (�) : X ! Y o functie. Pentru A � X,multimea

f (A) = ff (x) ; x 2 Ag � Y

se numeste imaginea direct¼a a multimii A prin functia f (�) iar pentruB � Y multimea

f�1 (B) = fx; f (x) 2 Bg � X

se numeste preimaginea multimii B prin functia f (�).B.2.14. Observatie. Fie f (�) : X ! Y o functie. Au loc urm¼atoarele

a�rmatii:(1)

8A 2 P (X) ; 8B 2 P (Y ) ; f (A) � B , A � f�1 (B)

(2)8A 2 P (X) ; f

�f�1 (A)

�� A � f�1 (f (A))

(3)

8A 2 P (X) ; 8B 2 P (Y ) ; f�A \ f�1 (B)

�= f (A) \B

(4)

8 (Bi)i2I � P (Y ) ; f�1 [i2IBi

!=[i2If�1 (Bi)

(5)

8 (Bi)i2I � P (Y ) ; f�1 \i2IBi

!=\i2If�1 (Bi)

(6)8B 2 P (Y ) ; f�1 (CB) = Cf�1 (B)

(7)

8 (Ai)i2I � P (X) ; f [i2IAi

!=[i2If (Ai)

(8)

8 (Ai)i2I � P (X) ; f \i2IAi

!�\i2If (Ai)


Demonstratie. Exercitiu. �

B.3. Operatii cu functii

Ca regul¼a general¼a, cu dou¼a (sau mai multe) functii se pot efectuaoperatii algebrice în anumite conditii iar rezultatul operatiei este o nou¼afunctie. Conditiile sunt urm¼atoarele:

� Functiile trebuie s¼a aib¼a acelasi codomeniu; operatiile algebricecare pot � efectuate cu functii sunt corespondentele operatiiloralgebrice care pot �efectuate cu elementele codomeniului comun.Rezultatul operatiei dintre functii este o nou¼a functie care aredrept codomeniu codomeniul comun al celor dou¼a functii. Dac¼afunctiile au drept codomenii multimi diferite, operatia nu se poateefectua (eventual se poate face mai întâi, în conditii speci�ce, ooperatie de transformare a codomeniilor)� Dac¼a functiile au acelasi domeniu de de�nitie atunci rezultatuloperatiei dintre functii este o nou¼a functie care are drept domeniude de�nitie domeniul de de�nitie comun al functiilor. Dac¼a domeniilede de�nitie sunt diferite, se poate eventual de�ni rezultatul operatieica o functie care are drept domeniu de de�nitie partea comun¼aa domeniilor de de�nitie ale functiilor participante la operatie(intersectia domeniilor); dac¼a nu au parte comun¼a, operatia nupoate � de�nit¼a.

Exemple:Dac¼a f (�) ; g (�) : D ! R sunt dou¼a functii cu codomeniul real de�nite

pe aceeasi multime D, cu aceste dou¼a functii se pot efectua operatiile carepot � efectuate cu numere reale: adunare, înmultire, sc¼adere, împ¼artire.Se obtin urm¼atoarele functii�rezultat:

� Functia�sum¼a s (�) : D ! R, s (�) := (f + g) (�), de�nit¼a prins(x) = f(x) + g(x) 8x 2 D.� Functia�produs p (�) : D ! R, p (�) := (fg) (�), de�nit¼a prinp(x) = f(x)g(x) 8x 2 D.� Functia�diferent¼a (f � g) (�) : D ! R, de�nit¼a prin (f �g)(x) :=f(x)� g(x) 8x 2 D� Functia�cât h (�) : D1 ! R, de�nit¼a prin h (x) := f(x)

g(x)8x 2 D1

pe multimea D1 = fx 2 Djg(x) 6= 0g.Existenta unei structuri de ordine pe codomeniul comun al functiilor

permite extinderea relatiei de ordine si la functii; dac¼a f (�) ; g (�) : D ! R

B.3. OPERATII CU FUNCTII 125

sunt dou¼a functii cu codomeniul real de�nite pe aceeasi multime D, atuncise spune c¼a f (�) � g (�) dac¼a are loc f (x) � g (x) 8x 2 D; se obtine astfelo relatie de ordine între functii, care pierde din caracteristicile initialeale relatiei dintre elemente (noua relatie nu mai este total¼a, în sensul c¼apentru dou¼a functii se poate întâmpla s¼a nu �e comparabile, chiar dac¼aelementele codomeniului sunt toate comparabile). De asemenea, se extindla functii notiunile de maxim, minim, modul:

h (�) : D ! R, h(x) := max(f(x); g(x)) (maximul a dou¼a functii),k (�) : D ! R, k(x) := min(f(x); g(x)) (minimul a dou¼a functii), jf j (�) :D ! R, jf j (x) := jf (x)j (modulul unei functii).

ANEXA C

Matrici

C.1. Notiuni generale despre matrici

C.1.1. De�nitie. Se numeste matrice (engl. matrix, pl. matrices) ofunctie care are ca domeniu de de�nitie un produs cartezian I � J si careasociaz¼a �ec¼arei perechi (i; j) 2 I � J câte o expresie (matematic¼a) (oricereprezentare dreptunghiular¼a de expresii matematice).

C.1.2.Observatie. Multimile I si J sunt privite traditional ca multimi�nite de indici (pot � considerate si in�nite; când va � cazul, se va facedistinctia în context); reprezentarea acestor functii se face tabelar, darexist¼a si alte conventii. Prin conventie multimea I indexeaz¼a liniile iar Jindexeaz¼a coloanele. O matrice cu m linii si n coloane se mai numestematrice de tip (m;n). Matricile de tip (m; 1) sau (1; n) se mai numescvectori (coloan¼a, respectiv linie). Pentru �ecare alegere posibil¼a a indicilorde linie si de coloan¼a (i; j) se mai numeste loc (pozitie, celul¼a) al (a)matricii; valoarea care se a�¼a pe un loc se mai numeste intrare (trebuief¼acut¼a distinctie între locul (i; j) si elementul aij care ocup¼a locul, adic¼aîntre argument si valoarea din codomeniu atasat¼a argumentului). Operatiilecu matrici care vor � descrise în continuare nu au întodeauna sens pentruexpresii matematice oarecare; de obicei, diverse operatii se efectueaz¼anumai asupra unor anumite tipuri de matrici iar diferenta se face dincontext.

C.1.3.De�nitie. Se numeste submatrice a unei matrici restrictia matriciila o submultime de indici: dac¼a A = (aij)i2I;j2J si I0 � I, J0 � J , atunciA0 = (aij)i2I0;j2J0 este o submatrice a lui A (orice restrictie a functieicare de�neste matricea). Exemplu: A (ijj) este submatricea obtinut¼a dinmatricea initial¼a A prin îndep¼artarea liniei i si coloanei j.

Operatii standard cu matrici: Adunare, sc¼adere, înmultire a dou¼a matrici(în cazul particular al înmultirii unei matrici linie cu o matrice coloan¼a,

127

128 C. MATRICI

operatia se mai numeste si produs scalar), înmultirea unei matrici cu oexpresie.Fie A = (aij)i=1;n;j=1;m o matrice;

C.1.4. De�nitie.AT = (aji)i=1;n;j=1;m

se numeste transpusa lui A (engl. transpose of A) (este matricea care aredrept coloane liniile matricii A).

C.1.5.De�nitie. Pentru matrici cu elemente numere complexe, adjunctahermitic¼a (transpusa hermitic¼a, transpusa conjugat¼a, etc.) (engl.Hermitiantranspose, conjugate transpose, adjoint, Hermitian adjoint, etc) a uneimatrici este matricea care se obtine din matricea initial¼a prin transpuneresi trecere la conjugata complex¼a pentru elementele matricii initiale.

C.1.6.De�nitie. Adjuncta (adjuncta clasic¼a) (engl. adjugate, classicaladjoint) (a) unei matrici este transpusa matricii cofactorilor.

C.1.7. De�nitie. Cofactorul (engl. cofactor) locului (i; j) al matriciiA este num¼arul

Aij = (�1)i+j detA (ijj) ;A�1 =

1

detA(Aji)i;j=1;n :

C.1.8. De�nitie.In = (�ij)i=1;n;j=1;n

se numeste matrice identitate (engl. identity matrix);

0n;m = (0)i=1;n;j=1;m

se numeste matrice nul¼a (engl. null matrix);matrice p¼atratic¼a ( engl. square matrix): n = m (num¼arul de linii si de

coloane este egal);diagonala principal¼a a unei matrici p¼atratice: locurile (i; i), i = 1; n;

prin extindere, diagonala principal¼a a unei matrici oarecare este format¼adin locurile (i; i), i = 1;min (n;m)

matrice simetric¼a ( engl. symmetric matrix): A = AT (nu poate �decâtp¼atratic¼a);Matrice diagonal¼a (engl. diagonal matrix): (di � �ij)i=1;n;j=1;n (elemente

oarecare pe diagonala principal¼a, zero în rest);

C.1. NOTIUNI GENERALE DESPRE MATRICI 129

matrice superior (inferior) triunghiular¼a ( engl. upper (lower) triangularmatrix): o matrice p¼atratic¼a pentru care elementele sub (peste) diagonalaprincipal¼a sunt nule;matrice strict superior (inferior) triunghiular¼a ( engl. strictly upper

(lower) triangular matrix): o matrice p¼atratic¼a pentru care elementele sub(peste) diagonala principal¼a sunt nule, inclusiv diagonala principal¼a.Matrice ortonormal¼a pe coloane (engl. column orthonormal matrix):

ATA = IMatrice ortonormal¼a (engl. orthonormal matrix):A p¼atratic¼a siATA =

IRangul unei matrici (engl. rank of a matrix): dimensiunea maxim¼a a

unei submatrici p¼atratice a matricii, care are determinantul nenul (num¼arulmaxim de coloane care, privite ca vectori coloan¼a într�un spatiu vectorial,formeaz¼a un sistem liniar independent).Matrice invers¼a a lui A (engl. the inverse matrix of A): o matrice B

care satisface relatiile: AB = BA = I.Matrice p¼atratic¼a inversabil¼a (nesingular¼a) (engl. nonsingular matrix):

matrice de rang maxim (echiv. matrice pentru care exist¼a o matrice invers¼a);Matrice de rang maxim (engl. full rank): matrice pentru care RangA =

min fn;mg;Urma unei matrici p¼atratice A (engl. trace of matrix A): suma elementelor

de pe diagonala principal¼a a unei matrici p¼atratice.

C.1.9. Observatie. (1) A superior triunghiular¼a ) AT inferiortringhiular¼a.

(2) Dac¼a o matriceA 2Mn;n (R) este strict superior (inferior) triunghiular¼a,atunci An = 0.

C.1.10.Observatie. Dac¼a exist¼a matricea invers¼a, este unic¼a; de obiceise noteaz¼a cu A�1.

Demonstratie. Din AB1 = B1A = I si AB2 = B2A = I rezult¼a c¼aB1 si B2 au aceleasi dimensiuni iar B1 = B1I = B1 (AB2) = (B1A)B2 =IB2 = B2. �

C.1.11. De�nitie. 1n este o matrice coloan¼a de dimensiune n si cutoate elementele egale cu 1.

enij este matricea p¼atratic¼a de dimensiune n care are pe locul (i; j)valoarea 1 si 0 în rest

130 C. MATRICI

C.1.12. Observatie. Se observ¼a c¼a

enijenkl =

�0 dac¼a j 6= kenil dac¼a j = k:

T nij (a) = In+aenij se numestematrice elementar¼a (transformare elementar¼a),

pentru i 6= j; înmultirea la stânga a unei matrici (nu neap¼arat p¼atratice,de dimensiune (m;n)) cu matricea elementar¼a T nij (a) are ca rezultat onou¼a matrice (de dimensiune (m;n)) ale c¼arei linii corespund cu liniilevechii matrici, mai putin linia i care este înlocuit¼a cu valoarea obtinut¼aprin adunarea la vechea linie i a liniei j înmultit¼a cu a (liniai+a �liniaj !liniai). T nij (a)A este rezultatul operatiei elementare (între linii): se adun¼ala linia i linia j înmultit¼a cu a si rezultatul se scrie pe linia i (operatie deatribuire).

C.1.13. Exemplu.

T 424 (a) =

0BB@1 0 0 00 1 0 a0 0 1 00 0 0 1

1CCA ;0BB@1 0 0 00 1 0 a0 0 1 00 0 0 1

1CCA0BB@a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

1CCA =

=

0BB@a11 a12 a13 a14

a21 + aa41 a22 + aa42 a23 + aa43 a24 + aa44a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

1CCA0BB@1 0 0 00 1 0 a0 0 1 00 0 0 1

1CCA0BB@a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43

1CCA =

=

0BB@a11 a12 a13

a21 + aa41 a22 + aa42 a23 + aa43a31 a32 a33a41 a42 a43

1CCA


ATmij (a) este rezultatul operatiei elementare (între coloane): se adun¼a lacoloana j coloana i înmultit¼a cu a.

T 432 (a) =

0BB@1 0 0 00 1 0 00 a 1 00 0 0 1

1CCA ;0BB@a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

1CCA0BB@1 0 0 00 1 0 00 a 1 00 0 0 1

1CCA =

=

0BB@a11 a12 + aa13 a13 a14a21 a22 + aa23 a23 a24a31 a32 + aa33 a33 a34a41 a42 + aa43 a43 a44

1CCA0@a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34

1A0BB@1 0 0 00 1 0 00 a 1 00 0 0 1

1CCA =

=

0@a11 a12 + aa13 a13 a14a21 a22 + aa23 a23 a24a31 a32 + aa33 a33 a34

1AC.1.14. Observatie. Propriet¼ati ale matricilor elementare:(1)

detT nij (a) = 1;

(2)T nij (a)T

nij (b) =

�In + aenij

� �In + benij

�=

= In + (a+ b) enij = T nij (a+ b)

deci produsul a dou¼a matrici elementare este tot o matrice elementar¼a(proprietate de parte stabil¼a),

(3)T nij (0) = In

este element neutru

T nij (a)Tnij (�a) = T nij (0) = In

132 C. MATRICI

deci T nij (a) este nesingular¼a cu inversa Tnij (�a) (cu alte cuvinte,

transform¼arile elementare sunt reversibile).(4) �

1 01n0n1 T nij (a)

�= T n+1i+1j+1 (a)

C.1.15. De�nitie. Se numeste matrice de transformare orice produs�nit de matrice elementare.

C.1.16. De�nitie. Qnij, i < j (matrice de permutare) (permutationmatrix) este matricea obtinut¼a din matricea unitate In prin permutareaîntre ele a liniei i si a liniei j (poate � privit¼a si ca matricea obtinut¼a dinmatricea unitate prin permutarea între ele a coloanelor i si j).

C.1.17.Observatie. QnijA este matricea care are aceleasi linii ca matriceainitial¼a A, dar liniiile i si j sunt schimbate între ele.

C.1.18. Observatie. AQnij este matricea care are aceleasi coloane camatricea initial¼a, dar coloanele i si j sunt schimbate între ele.

C.1.19. De�nitie. Rnij, i < j este este matricea obtinut¼a din matriceaunitate In prin permutarea între ele a liniei i si a liniei j, linia j �ind cusemn schimbat (elementul de sub diagonala principal¼a este �1) (poate �privit¼a si ca matricea obtinut¼a din matricea unitate prin permutarea întreele a coloanelor i si j, cu elementul de sub diagonala principal¼a de valoare�1).C.1.20. Observatie.

Qnij = T nij (�1)T nji (1)T nij (�1) In(deci Qnij este matrice de transformare), adic¼a se fac succesiv urm¼atoareleoperatii asupra matricii identitate:

(1) se scade din linia i linia j si se pune rezultatul în locul liniei i,(2) se adun¼a la linia j linia i si se pune rezultatul în locul liniei j,(3) se scade din linia i linia j si se pune rezultatul în locul liniei i.

C.1.21. Observatie.

Rnij = T nji (�1)T nij (1)T nji (�1)(deci Rnij este matrice de transformare), adic¼a se fac succesiv urm¼atoareleoperatii asupra matricii identitate:

(1) se scade din linia j linia i si se pune rezultatul în locul liniei j,


(2) se adun¼a la linia i linia j si se pune rezultatul în locul liniei i,(3) se scade din linia j linia i si se pune rezultatul în locul liniei j.

C.1.22. Exemplu.

Qn23 =

0BB@1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

1CCA ;0BB@1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1


1CCA =

=

0BB@a11 a12 a13 a14a31 a32 a33 a34a21 a22 a23 a24a41 a42 a43 a44

1CCA ;0BB@1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1


1CCA =

=

0BB@a11 a12 a13a31 a32 a33a21 a22 a23a41 a42 a43

1CCA ;0BB@a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

1CCA0BB@1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

1CCA =

=


1CCA ;

R423 =

0BB@1 0 0 00 0 1 00 �1 0 00 0 0 1

1CCA ;

134 C. MATRICI0@a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34

1A0BB@1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

1CCA =

=

0@ a11 a13 a12 a14a21 a23 a22 a24a31 a33 a32 a34

1A ;0BB@1 0 0 00 0 1 00 �1 0 00 0 0 1


1CCA =

=

0BB@a11 a12 a13 a14a31 a32 a33 a34�a21 �a22 �a23 �a24a41 a42 a43 a44

1CCA ;

0BB@1 0 0 00 0 1 00 �1 0 00 0 0 1


1CCA =

=

0BB@a11 a12 a13a31 a32 a33�a21 �a22 �a23a41 a42 a43

1CCA ;


1CCA0BB@1 0 0 00 0 1 00 �1 0 00 0 0 1

1CCA =

=

0BB@a11 �a13 a12 a14a21 �a23 a22 a24a31 �a33 a32 a34a41 �a43 a42 a44

1CCA ;

C.1. NOTIUNI GENERALE DESPRE MATRICI 1350@a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34

1A0BB@1 0 0 00 0 1 00 �1 0 00 0 0 1

1CCA =

=

0@ a11 �a13 a12 a14a21 �a23 a22 a24a31 �a33 a32 a34

1A ;C.1.23.Observatie. Exist¼a o matrice de transformare care transform¼[email protected]

1CCA 6= 0Rn î[email protected]

1CCA(= en1 ).

C.1.24. Teorem¼a. Fie A = (aij)i=1;n;j=1;m o matrice nenul¼a. Atunciexist¼a o matrice de transformare U (de dimensiune n) si r 2 N\[1;min fn;mg]astfel încât UA =0BBBBBBBBB@

0 � � � 0 1 b1j1+1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � b1m0 � � � 0 0 � � � 0 1 b2j2+1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � b2m0 � � � 0 0 � � � 0 0 � � � 0 1 b3j3+1 � � � � � � � � � � � � b3m� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �0 � � � 0 0 � � � 0 0 � � � 0 0 � � � 0 1 brjr+1 � � � brm0 � � � 0 0 � � � 0 0 � � � 0 0 � � � 0 0 � � � � � � 0� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �0 � � � 0 0 � � � 0 0 � � � 0 0 � � � 0 0 � � � � � � 0

1CCCCCCCCCAcu 1 � j1 < � � � < jr; o matrice de forma de mai sus se numeste matricescar¼a (esalon) (de fapt, form¼a în scar¼a pe linie a matricii initiale) (engl. rowechelon form); se caracterizeaz¼a prin urm¼atoarele: primele j1 � 1 coloanesunt identic nule, submatricea format¼a din coloanele j1+1 pân¼a la j2�1 siliniile 2 pân¼a la n este submatrice nul¼a, etc (elementele unitare, deci nenulede pe locurile (1; j1), � � � , (r; jr) formeaz¼a o pseudodiagonal¼a (scar¼a), iarelementele la stânga si sub aceast¼a pseudodiagonal¼a sunt nule) (num¼arulde zerouri de la începutul �ec¼arei linii creste strict odat¼a cu indicele delinie).

Demonstratie. Dem: Prin inductie dup¼a dimensiunile matricii: presupunemrezultatul adev¼arat pentru orice matrice de tip (n0;m0) cu n0 < n, m0 <m; �e j1 prima coloan¼a a matricii A care are m¼acar un element nenul.Exist¼a o transformare elementar¼a care aduce elementul nenul pe linia 1,

136 C. MATRICI

anuleaz¼a toate celelalte elemente ale coloanei j1 si transform¼a elementulnenul în 1. Submatricea obtinut¼a prin înl¼aturarea coloanelor 1�j1 si liniei1 este de dimensiuni (n� 1;m� j1) si conform ipotezei de inductie poate� adus¼a la o form¼a esalon qed. �

C.1.25. Observatie. matricea A si orice matrice esalon a ei au acelasirang.

C.1.26. Observatie. O alt¼a form¼a de tip esalon este forma esalonredus¼a pe linie (reduced row echelon form), care are urm¼atoarele propriet¼ati:

(1) Num¼arul de zerouri de la începutul �ec¼arei linii creste odat¼a cuindicele liniei.

(2) Primul element nenul al �ec¼arei linii este egal cu 1.(3) Fiecare coloan¼a care contine prima valoare nenul¼a a unei linii are

celelalte elemente nule.

C.2. Operatii de baz¼a cu matrici

C.2.1.De�nitie. Produs matricial (product of matrices) pentru matricicompatibile din punct de vedere al produsului matricial, i.e. num¼arul decoloane al primei matrici este egal cu num¼arul de linii al celei de�a douamatrici (engl. commensurate matrices):

A = (aij)i=1;n;j=1;m ; B = (bjl)j=1;n;l=1;p ; C = AB; C = (cil)i=1;n;l=1;p

cil =mPj=1

aijbjl; 8i = 1; n; l = 1; p

C.2.2.De�nitie. Multiplicare cu un scalar (engl. scalar multiplication):

A = (aij)i=1;n;j=1;m ; � 2 C; C = �A; C = (cij)i=1;n;j=1;mcij = �aij; 8i = 1; n; j = 1;m

C.2.3. De�nitie. Sum¼a matricial¼a (engl. sum of matrices):

A = (aij)i=1;n;j=1;m ; B = (bij)i=1;n;j=1;m ; C = A+B; C = (cij)i=1;n;j=1;mcij = aij + bij; 8i = 1; n; j = 1;m

C.2.4. De�nitie. Transpunere (engl. transpose):

A = (aij)i=1;n;j=1;m ; C = (cij)i=1;n;j=1;m = A0; cij = aji; 8i = 1; n; j = 1;m

C.2. OPERATII DE BAZ¼A CU MATRICI 137

C.2.5. De�nitie. Urma (Trace) unei matrici p¼atratice:

Tr (A) =nXi=1

aii

C.2.6. Observatie. Dac¼a A 2 Mn;m (R) si B 2 Mm;n (R), atunciTr (AB) = Tr (BA).

Demonstratie.

A = (aij)i=1;n;j=1;m ;

B = (bij)i=1;m;j=1;n ;

AB = (cij)i=1;n;j=1;n ;

BA = (dij)i=1;n;j=1;n cucij =nXk=1

aikbkjiardij =nXk=1

akibjk;

Tr (AB) =nXl=1

cll =

nXl=1

nXk=1

alkbkl

!=

nXk=1

nXl=1

alkbkl

!=

nXk=1

dkk = Tr (BA)

�C.2.7.De�nitie. Se numeste determinantul matricii p¼atraticeA, num¼arul

det (A) =P�2Sn

" (�)nQk=1

ak�(k)

C.2.8. Observatie. detA =nPk=1

aik�ik (dezvoltarea determinantului

dup¼a linia i)=nPk=1

akj�kj(dezvoltarea determinantului dup¼a coloana j),

unde:

C.2.9. De�nitie. complementul algebric al locului (pozitiei) (i; k) este:�ik = (�1)i+k dik

C.2.10. De�nitie. minorul locului (pozitiei) (i; k) se noteaz¼a dik si estedeterminantul submatricii obtinute prin eliminarea liniei i si coloanei k.

C.2.11.De�nitie. Se numeste permanentul matricii p¼atraticeA, num¼arul

Permanent (A) =P�2Sn

nQk=1

ak�(k)

138 C. MATRICI

C.3. Alte operatii cu matrici

C.3.1. De�nitie. Produs între elementele matricilor (engl. elementproduct)

A: �B = C; cij = aijbij; 8i = 1; n; j = 1;m

C.3.2. De�nitie. Împ¼artire între elementele matricilor (engl. elementdivision):

A:�B = C; cij =aijbij; 8i = 1; n; j = 1;m

C.3.3. De�nitie. Conditie logic¼a (engl. logical condition):

A: � B = C; cij =

�1; aij � bij0; aij 6� bij

; 8i = 1; n; j = 1;m

C.4. Matrici partitionate

C.4.1. De�nitie. Produs Kronecker (produs direct): A B = (aijB)(rezultatul este o matrice obtinut¼a astfel: �ecare loc al matricii A esteocupat de elementul de pe locul (i; j) înmultit cu matricea B)

C.4.2. De�nitie. Sum¼a direct¼a (engl. direct sum):

A�B =�A 00 B

�C.4.3. Observatie. (produsul a dou¼a matrici partitionate)

A =

�A11 A12A21 A22

�;

B =

�B11 B12B21 B22

�) AB =

�A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

�Demonstratie. FieA = (aij)i=1;n;j=1;m,B = (bjk)j=1;m;k=1;p; produsul

este C = (cik)i=1;n;k=1;p, unde cik =mPj=1

aijbjk. Se descrie partitionarea

C.4. MATRICI PARTITIONATE 139

matricii A:

A11 = (aij)i=1;n1;j=1;m1=�a11ij�i=1;n1;j=1;m1

;

A12 = (aij)i=1;n1;j=m1+1;m=�a12ij�i=1;n1;j=m1+1;m

;

A21 = (aij)i=n1+1;n;j=1;m1=�a21ij�i=n1+1;n;j=1;m1

;

A22 = (aij)i=n1+1;n;j=m1+1;m=�a22ij�i=n1+1;n;j=m1+1;m

Analog se descrie partitionarea matricii B:

B11 =

�b11jk�j=1;m1;k=1;p1

; B12 =�b12jk�i=1;m1;j=p1+1;p

;

B21 =�b21jk�j=m1+1;m;k=1;p1

; B22 =�b22jk�j=m1+1;m;k=p1+1;p

!

Din cik =mPj=1

aijbjk =m1Pj=1

aijbjk +mP

k=m1+1

aijbjk rezult¼a:

� (cik)i=1;n1;k=1;p1 =

m1Xj=1

aijbjk +mX

j=m1+1

aijbjk

!i=1;n1;k=1;p1

=

=

m1Xj=1

a11ij b11jk +

mXj=m1+1

a12ij b21jk

!i=1;n1;k=1;p1

) (cik)i=1;n1;k=1;p1 = A11B11+A12B21

� (cik)i=1;n1;k=p1+1;p =

m1Xj=1

aijbjk +mX

j=m1+1

aijbjk

!i=1;n1;k=p1+1;p

=

=

m1Xj=1

a11ij b12jk +

mXj=m1+1

a12ij b22jk

!i=1;n1;k=p1+1;p

) (cik)i=1;n1;k=p1+1;p = A11B12+A12B22

� (cik)i=n1+1;n;k=1;p1 =

m1Xj=1

aijbjk +mX

j=m1+1

aijbjk

!i=n1+1;n;k=1;p1

=

=

m1Xj=1

a21ij b11jk +

mXj=m1+1

a22ij b21jk

!i=n1+1;n;k=1;p1

) (cik)i=n1+1;n;k=1;p1 = A21B11+A22B21

� (cik)i=n1+1;n;k=p1+1;p =

m1Xj=1

aijbjk +

mXj=m1+1

aijbjk

!i=n1+1;n;k=p1+1;p

=

140 C. MATRICI

=

m1Xj=1

a21ij b12jk +

mXj=m1+1

a22ij b22jk

!i=n1+1;n;k=p1+1;p

) (cik)i=n1+1;n;k=p1+1;p = A21B12+A22B22

)�A11 A12A21 A22

��B11 B12B21 B22

�=

�A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

��

C.4.4. Observatie.

det

�A11 0A21 I

�= detA11; det

�I 0A21 A11

�= detA11:

Demonstratie. Se dezvolt¼a determinantul dup¼a coloanele (respectivliniile) corespunz¼atoare matricii unitate; când s�au terminat, ceea ce r¼amâneeste detA11 �

C.4.5. Observatie.

det

�A11 00 A22

�= detA11 detA22:

Demonstratie. Se observ¼a c¼a are loc relatia:�A11 00 I

��I 00 A22

�=�

A11 00 A22

�si prin trecere la determinanti se obtine c¼a det

�A11 00 I

�det

�I 00 A22

�=

det

�A11 00 A22

�, adic¼a

�A11 00 A22

�= detA11 detA22 �

C.4.6. Observatie.

det

�A11 0A21 A22

�= detA11 detA22:

Demonstratie. Se observ¼a c¼a�A11 0A21 I

��I 00 A22

�=

�A11 0A21 A22

�si prin trecere la determinanti se obtine c¼a det

�A11 0A21 A22

�= detA11 detA22

�C.4.7. Observatie.

det

�I A12A21 A22

�= det (A22 � A21A12) :


Demonstratie. Se observ¼a c¼a�

I 0�A21 I

��I A12A21 A22

�=

�I A120 A22 � A21A12

�si prin trecere la determinanti se obtine det

�I A12A21 A22

�= det (A22 � A21A12)

�

C.4.8. Observatie. Dac¼a A =

�A11 A12A21 A22

�si A11 sunt p¼atratice

inversabile, are loc:

detA = detA11 det�A22 � A21A�111 A12

�Demonstratie.

�A11 A12A21 A22

�=

�A11 00 I

��I A�111 A12A21 A22

�)

) det

�A11 A12A21 A22

�= detA11 det

�I A�111 A12A21 A22

�= detA11 det

�A22 � A21A�111 A12

��

C.4.9. Observatie. Pentru o matrice�In1 BC D

��I A12A21 A22

�;

se obtine prin transform¼ari elementare�I B0 D � CB

��I A120 A22 � A21A12

�:

Demonstratie.�

In1 0�C In�n1

��In1 BC D

�=

�In1 B

�C + C D � CB

�=�

I B0 D � CB

��

I 0�A21 I

��I A12A21 A22

�=

�In1 A12

�A21 + A21 A22 � A21A12

�=

=

�I A120 A22 � A21A12

�T(n1+1;n1) (�c1n1) � � �T(n1+1;2) (�c12)T(n1+1;1) (�c11)

�In1 BC D

�T(n1+1;n1)

��a211n1

�� T(n1+1;2) (�a2112)T(n1+1;1) (�a2111)

n2Qi=1

n1Qk=1

T(n1+i;k) (�cik)�In1 BC D

�=

142 C. MATRICI

=

�In1 0�C In�n1

��In1 BC D

�=

�In1 B0 D

��

C.4.10. Exemplu.0BB@1 0 0 00 1 0 0�a31 0 1 00 0 0 1

1CCA0BB@1 0 a13 a140 1 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

1CCA =

=

0BB@1 0 a13 a140 1 a23 a240 a32 a33 � a13a31 a34 � a31a14a41 a42 a43 a44

1CCA0BB@1 0 0 00 1 0 00 �a32 1 00 0 0 1

1CCA0BB@1 0 a13 a140 1 a23 a240 a32 a33 � a13a31 a34 � a31a14a41 a42 a43 a44

1CCA =

=

0BB@1 0 a13 a140 1 a23 a240 0 a33 � a13a31 � a23a32 a34 � a31a14 � a32a24a41 a42 a43 a44

1CCA0BB@

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0�a41 0 0 1

1CCA0BB@1 0 a13 a140 1 a23 a240 0 a33 � a13a31 � a23a32 a34 � a31a14 � a32a24a41 a42 a43 a44

1CCA =

=

0BB@1 0 a13 a140 1 a23 a240 0 a33 � a13a31 � a23a32 a34 � a31a14 � a32a240 a42 a43 � a13a41 a44 � a14a41

1CCA0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 �a42 0 1

1CCA0BB@1 0 a13 a140 1 a23 a240 0 a33 � a13a31 � a23a32 a34 � a31a14 � a32a240 a42 a43 � a13a41 a44 � a14a41

1CCA =

=

0BB@1 0 a13 a140 1 a23 a240 0 a33 � a13a31 � a23a32 a34 � a31a14 � a32a240 0 a43 � a13a41 � a23a42 a44 � a14a41 � a24a42

1CCA


Se observ¼a c¼a:�a33 � a13a31 � a23a32 a34 � a31a14 � a32a24a43 � a13a41 � a23a42 a44 � a14a41 � a24a42

�=

=

�a33 a34a43 a44

��a31 a32a41 a42

��a13 a14a23 a24

�Forma transform¼arii:0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 �a42 0 1

1CCA0BB@

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0�a41 0 0 1

1CCA0BB@1 0 0 00 1 0 00 �a32 1 00 0 0 1

1CCA0BB@

1 0 0 00 1 0 0�a31 0 1 00 0 0 1

1CCA =

=

0BB@1 0 0 00 1 0 0�a31 �a32 1 0�a41 �a42 0 1

1CCA�A11 A12A21 A22

��A22 �A12�A21 A11

�=

�A11A22 � A12A21 A12A11 � A11A12A21A22 � A22A21 A22A11 � A21A12

�)

) dac¼a A11 si A12 comut¼a sau dac¼a A21 si A22 comut¼a are loc:�A11 A12A21 A22

��A22 �A12�A21 A11

�=

�A11A22 � A12A21 0A21A22 � A22A21 A22A11 � A21A12

�sau�A11 A12A21 A22

��A22 �A12�A21 A11

�=

�A11A22 � A12A21 A12A11 � A11A12

0 A22A11 � A21A12

�C.4.11. Observatie. Dac¼a A, A11 si C sunt p¼atratice si nesingulare,

atunci din A =�A11 A12A21 A22

�se obtine

A�1 =

�A�111 + A�111 A12C

�1A21A�111 �A�111 A12C�1

�C�1A21A�111 C�1

�;

cu C = A22 � A21A�111 A12.

Demonstratie.�A11 A12A21 A22

��A�111 + A�111 A12C

�1A21A�111 �A�111 A12C�1

�C�1A21A�111 C�1

�=

=

�A11

�A�111 + A�111 A12C

�1A21A�111

��A12C�1A21A�111 �A11A�111 A12C�1+A12C�1

A21�A�111 + A�111 A12C

�1A21A�111

��A22C�1A21A�111 �A21A�111 A12C�1+A22C�1

�=

=

�I + A12C

�1A21A�111 �A12C�1A21A�111 �A12C�1+A12C�1

A21A�111 +A21A

�111 A12C

�1A21A�111 �A22C�1A21A�111 �A21A�111 A12C�1+A22C�1

�=

144 C. MATRICI

=

�I 0�

A21 +�A21A

�111 A12 � A22

�C�1A21

�A�111

��A21A�111 A12 + A22

�C�1

�=

=

�I 0

(A21 � CC�1A21)A�111 CC�1

�=

�I 00 I

��

C.4.12. Observatie.

A = (A1 A2)) AT =

�AT1AT2

�A =

�A11 A12A21 A22

�) AT =

�AT11 AT21AT12 AT22

�C.5. SVD. Inversa Moore�Penrose.

C.5.1. De�nitie. Dac¼a A 2 M(m;k) (R), A� 2 M(k;m) (R) se numesteinvers¼a generalizat¼a a lui A în sens Moore�Penrose dac¼a satisface urm¼atoareleconditii:

(1) AA�A = A(2) A�AA� = A�

(3) AA� si A�A sunt simetrice

C.5.2. Observatie. Inversa Moore�Penrose este unic¼a.

Demonstratie. Fie B� care satisface si ea (i), (ii), (iii). Atunci:A� = A�AA� = (A�A)

TA� = AT (A�)

TA� =

= (AB�A)T(A�)

TA� = AT (B�)

TAT (A�)

TA� =

= AT (B�)T(A�A)

TA� = AT (B�)

TA�AA� =

= AT (B�)TA� = (B�A)

TA� = B�AA� = B� (AA�)

T=

= B� (A�)TAT = (B�AB�) (A�)

TAT = B� (AB�)

T(A�)

TAT =

= B� (B�)TAT (A�)

TAT = B� (B�)

T(AA�A)

T= B� (B�)

TAT =

= B� (AB�)T= B�AB� = B�. �

C.5.3. Observatie. Fie A 2M(m;k) (R); atunci AT(k;m)

A(m;k)

2M(k;k) (R)

este simetric¼a si pozitiv semide�nit¼a.

Demonstratie. A 2 M(m;k) (R), x 2 Rk (vector coloan¼a) ) Ax 2Rm (vector coloan¼a) si (Ax)T Ax =< Ax;Ax >� 0 , xT

�ATA

�x � 0

adic¼a ATA 2 M(k;k) (R) este pozitiv semide�nit¼a; pentru c¼a�ATA

�T=

AT�AT�T= ATA, rezult¼a c¼a matricea ATA este si simetric¼a. �

C.5. SVD. INVERSA MOORE�PENROSE. 145

C.5.4. Observatie. Dac¼a produsul dintre o matrice si transpusa eieste matricea nul¼a atunci matricea este nul¼a.

Demonstratie. Diagonala pricipal¼a a produsului este suma p¼atratelorelementelor �ec¼arei linii din matricea initial¼a. �

C.5.5. Exemplu.�a1;1 a1;2a2;1 a2;2

�T �a1;1 a1;2a2;1 a2;2

�=

�a21;1 + a22;1 a1;1a1;2 + a2;1a2;2

a1;1a1;2 + a2;1a2;2 a21;2 + a22;2

�C.5.6.Teorem¼a. (A�area SVD si a inversei generalizate) Orice matrice

A 2M(m;k) (R) de rang r poate � descompus¼a într�un produs

A(m;k)

= U(m;r)� D(r;r)� V T

(r;k)

(SVD: Singular Value Decomposition), unde:

(1) D este matrice diagonal¼a (r; r) cu elementele pe diagonala principal¼astrict pozitive descresc¼atoare (d11 � d22 � � � � � drr > 0)

(2) U si V sunt matrici ale c¼aror coloane sunt vectori ortonormali, dedimensiuni respectiv (m; r) si (k; r) (i.e.

UT(r;m)� U(m;r)

= V T

(r;k)� V(k;r)

= Ir(r;r)

siU(m;r)� UT(r;m)

= Im; UT

(r;m)� U(m;r)

= Ir):

(3) Mai mult, inversa generalizat¼a în sens Moore�Penrose a matriciiA este

A�(k;m)

= V(k;r)

D�1(r;r)

UT(r;m)

;

undeV 2M(k;r); D 2M(r;r); U 2M(m;r):

Demonstratie. Fie A 2 M(m;k) (R); atunci AT(k;m)

A(m;k)

2 M(k;k) (R)

este simetric¼a si pozitiv semide�nit¼a. 9W 2M(k;k) (R) astfel încâtW T�ATA

�W

este diagonal¼a (admite o baz¼a ortonormal¼a format¼a din vectori propriiîn care matricea atasat¼a este diagonal¼a) (mai mult, se poate presupunec¼a pe diagonala principal¼a valorile proprii, care sunt toate pozitive, suntordonate descresc¼ator), deciW T

�ATA

�W = G. Fie r rangul matricii ATA

146 C. MATRICI

(i.e. matriceaATA are exact r valori proprii strict pozitive iar celelalte suntnule); atunci G = diag (gii)i=1;k iar

g11 � � � � � grr > 0 = gr+1r+1 = � � � = gkk;

deci

G =

�G1 00 0

�;W =

W1(k;r)

W2(k;k�r)

!;

�Ir 0(r;k�r)

0(k�r;k) Ik�r

�= Ik = W TW =0B@ W T

1(r;k)

W T2

(k�r;k)

1CA W1(k;r)

W2(k;k�r)

!=

0B@ W T1 W1(r;r)

W T1 W2

(r;k�r)W T2 W1

(k�r;r)W T2 W2

(k�r;k�r)

1CA(asa c¼a W T

1 W1(r;r)

= Ir),

Ik = WW T =

W1(k;r)

W2(k;k�r)

!0B@ W T1

(r;k)

W T2

(k�r;k)

1CA = W1(k;r)

W T1

(r;k)

+ W2(k;k�r)

W T2

(k�r;k)

(asa c¼a W1(k;r)

W T1

(r;k)

= Ik � W2(k;k�r)

W T2

(k�r;k)),

iar �W T1

W T2

��ATA

�(W1 W2) =

�G1 00 0

�, 0B@ W T

1

�ATA

�(r;k)

W T2

�ATA

�(k�r;k)

1CA (W1 W2) =

�G1 00 0

�


, 0B@ W T1

�ATA

�(r;k)

W T2

�ATA

�(k�r;k)

1CA (W1 W2) =

=

0B@ W T1

�ATA

�W1

(r;r)

W T1

�ATA

�W2

(r;k�r)W T2

�ATA

�W1

(k�r;r)W T2

�ATA

�W2

(k�r;k�r)

1CA =

=

0@ G1(r;r)

0(r;k�r)

0(k�r;k)

0(k�r;k�r)

1A, 8>>>>>>>><>>>>>>>>:

W T1

�ATA

�W1

(r;r)

= G1(r;r)

W T1

�ATA

�W2

(r;k�r)= 0

(r;k�r)

W T2

�ATA

�W1

(k�r;r)= 0

(k�r;k)

W T2

�ATA

�W2

(k�r;k�r)= 0

(k�r;k�r)

;

în particular,W T2

�ATA

�W2

(k�r;k�r)= 0

(k�r;k�r);

i.e.(AW2)

T AW2(k�r;k�r)

= 0(k�r;k�r)

) AW2 = 0(m;k�r)

(produsul dintre matrice si transpusa ei este matricea nul¼a ) matriceaeste nul¼a)Se de�nesc:

D(r;r)

=pG1

(i.e. D este matrice diagonal¼a care are ca elemente�p

gii�i=1;r

care suntstrict pozitive si descresc¼atoare).

V = W1(k;r)

U(m;r)

= AVD�1

148 C. MATRICI

Din rationamentele de mai sus rezult¼a:

V TV = W T1 W1 = Ir;

UTU = (AVD�1)TU = (D�1)

TV TATAVD�1 =

= D�1 �W T1 A

TAW1

�D�1 = D�1G1D

�1 == diag

�pgiigiipgii�i=1;r

= Ir;

UDV T = (AVD�1)DW T1 = AW1W

T1 =

= A

Ik � W2

(k;k�r)W T2

(k�r;k)

!= A�

=0(m;k�r)z }| {A W2(k;k�r)

W T2

(k�r;k)=

= A� 0(m;k�r) W T2

(k�r;k)= A� 0(m;k) = A

care stabileste descompunerea.matricea V D�1UT satisface:1)

A�V D�1UT

�A =

�UDV T

� �V D�1UT

� �UDV T

�=

= UD�V TV

�D�1 �UTU�DV T =

= UDIrD�1IrDV

T = UDV T = A

2)�V D�1UT

� �UDV T

� �V D�1UT

�= V D�1 �UTU�D �V TV

�D�1UT =

= V D�1IrDIrD�1UT = V D�1UT = A�

3)�UDV T

� �V D�1UT

�= UD

�V TV

�D�1UT = UDIrD

�1UT = UUT )

)��UDV T

� �V D�1UT

��T=�UUT

�T= UUT

(matricea este simetric¼a)�V D�1UT

� �UDV T

�= V D�1IrDV

T = V V T )

)��V D�1UT

� �UDV T

��T=�V V T

�T= V V T

(matricea este simetric¼a)Din 1), 2), 3) rezult¼a c¼a V D�1UT satisface relatiile care de�nesc inversa

Moore�Penrose; cummatricea care satisface aceste relatii este unic¼a, rezult¼aA� = V D�1UT . �


C.5.7. Observatie. Dac¼a A este simetric¼a, atunci U este linie devectori proprii ai lui A corespunz¼atori la valori proprii nenule, asa c¼aATU = UD1, cu D1 matrice diagonal¼a (r; r) cu valori proprii nenule,în ordine descresc¼atoare. În acest caz, V = ATUD�1 = UD1D

�1. Cumelementele matricilor D si D1 sunt identice mai putin eventual semnul,coloanele matricilor U si V sunt �e egale (pentru r¼ad¼acini pozitive) �ecu semn invers (pentru r¼ad¼acini negative). Asadar, dac¼a A este pozitivsemide�nit¼a, are o descompunere SVD A = UDUT cu U cu coloaneortogonale iar D pozitiv diagonal¼a.

C.5.8. Observatie. Dac¼a A este p¼atratic¼a si nesingular¼a, are loc:A� = A�1 (inversa generalizat¼a în sens Moore�Penrose coincide cu inversaobisnuit¼a a matricii)

Demonstratie. A p¼atratic¼a si nesingular¼a ) 9A�1 ) AA�A = Aj �A�1 la stânga) A�A = I; analog AA�A = Aj �A�1 la dreapta) AA� =I deci A� satisface relatiile care de�nesc A�1, care este unica matrice caresatisface relatiile; rezult¼a c¼a A� = A�1. �C.5.9. Observatie. Sistemul de ecuatii

A(m;k)

x(k;1)

= y(m;1)

are o solutie, y

(m;1)

= A(m;k)

A�(k;m)

y(m;1)

;

mai mult, multimea plan¼a a tuturor solutiilor este multimea vectorilor

x(k;1)

= A�(k;m)

y(m;1)

+ [Ik � A�(k;m)

A(m;k)

] z(k;1)8z 2 Rk:

Demonstratie. Ax = yj �A� la stânga) A�Ax = A�yj �A la stânga) AA�Ax = AA�y ) Ax = AA�y deci dac¼a sistemul este compatibilatunci y = AA�y.Reciproc, dac¼a y = AA�y atunci x = A�y este solutie a sistemului:

A (A�y) = AA�y = y, deci sistemul este compatibil.Mai mult, pentru z 2 Rk, are loc: A (A�y + [I � A�A]z) = AA�y +

A[I � A�A]z = y + Az � AA�Az = y + Az � Az = y. �C.5.10. Observatie. AA� si A�A sunt idempotente.

Demonstratie. AA�A = Aj � A� la dreapta ) (AA�)2= AA�

AA�A = Aj � A� la stânga ) (A�A)2= A�A �

ANEXA D

Exemple de subiecte

Toate subiectele prezentate în continuare sunt concepute astfel încâts¼a satisfac¼a (pe cât posibil) urm¼atoarele principii (nu neap¼arat în ordineaîn care sunt listate):

� Cursul, seminarul, laboratorul, evaluarea �nal¼a reprezint¼a un ansamblu.� Conditiile de desf¼asurare a ansamblului curs�evaluare �nal¼a trebuiecunoscute de la început.� Nu exist¼a evalu¼ari perfecte; imperfectiunile pot � controlate.� Datoria profesorului este s¼a �e corect fat¼a de studentii constiinciosi;o prim¼a dovad¼a de corectitudine a profesorului fat¼a de acestistudenti este s¼a�i disting¼a de ceilalti studenti (de exemplu prinnotare).� Un examen pierdut nu este o pedeaps¼a, ci o constatare a faptuluic¼a o persoan¼a, într�un anumit moment al evolutiei sale, nu aevoluat su�cient de bine.� Orice not¼a între 5 si 10 este prima recompens¼a a unei munci carea reprezentat o evolutie su�cient¼a.� De obicei, motivele care stau la baza insuccesului unui studentsunt individuale iar identi�carea acestor motive poate � de folosstudentului în evolutia lui viitoare.� Studentul trebuie s¼a aib¼a o atitudine activ¼a si critic¼a referitoarela activitatea comun¼a, el �ind atât principalul responsabil pentrurezultatele obtinute cât si principalul bene�ciar.� Subiectele trebuie s¼a �e într�o m¼asur¼a cât mai mic¼a surprinz¼atoare.� Subiectele trebuie s¼a �e cât mai acoperitoare din punct de vedereal materiei studiate.� Punctajul care se acord¼a pentru �ecare subiect se acord¼a pân¼a laprima greseal¼a. (Motivatie: dac¼a într�un sir de implicatii logice oa�rmatie este fals¼a, ulterior se poate a�rma orice iar ansambluleste adev¼arat -> eventual revedeti anexa de Logic¼a)

151

152 D. EXEMPLE DE SUBIECTE

� Punctajul care poate � obtinut dep¼aseste nota maxim¼a (notamaxim¼a este 10 iar punctajul poate � si 14 sau 15). (Motivatie:studentul nu trebuie s¼a �e perfect ca s¼a obtin¼a not¼a maxim¼a)� Trebuie s¼a existe o regul¼a care s¼a evite situatia c¼a un studentse concentreaz¼a numai pe un tip de subiecte (de exemplu regulapunctajului minim pe o categorie de subiecte)� Studentul trebuie s¼a cunoasc¼a si s¼a fac¼a în scris dovada cunoasteriirezultatelor teoretice (enunturi si demonstratii). (Motivatie: unuldintre scopurile preg¼atirii studentilor este ca ei s¼a devin¼a creatoride formule, reguli, principii si nu numai utilizatori de formule,reguli, principii; demonstratiile reprezint¼a �cod surs¼a�iar studentiitrebuie s¼a �e capabili s¼a înteleag¼a codul surs¼a si s¼a�l adaptezenevoilor lor). Punctarea de principiu a unui rezultat teoretic este:25% pentru enunt si 75% pentru demonstratie.� Studentul trebuie s¼a aib¼a abilitatea de rezolvare de exercitii teoretice(ca o etap¼a intermediar¼a între exercitii practice si teorie �abilitatease probeaz¼a în scris)� Studentul trebuie s¼a aib¼a abilitatea de a rezolva exercitii practice(abilitatea se probeaz¼a în scris).� Studentul trebuie s¼a aib¼a posibilitatea de a obtine explicatia punctajuluiobtinut si eventual s¼a i se explice greselile pe care le�a f¼acut. (nuexist¼a greseli mici si greseli mari; numai greseli)

D.1. Examen Algebr¼a Liniar¼a, sesiunea din iarn¼a 1997-1998

1. Pentru operatorul

U (�) : R3 [X]! R3 [X] ; U (p) = p0;

s¼a se aduc¼a la forma canonic¼a Jordan, s¼a se a�e baza Jordan si s¼a se veri�ceformula de schimbare a matricei la schimbarea bazei.2. Pentru operatorii

U1 (�) ; U2 (�) : C1 [a; b]! C1 [a; b] ;

de�niti prinU1 (f (�)) = g1 (�) ; g1 (x) = xf (x)

si

U2 (f (�)) = g2 (�) ; g2 (x) =xZa

f (t) dt;

D.2. EXAMEN ALGEBR¼A LINIAR¼A, IUNIE 1998 153

s¼a se caracterizeze valorile proprii si vectorii proprii.3. Pentru operatorul

U (�) : C1 [0; 2�]! C1 [0; 2�] ;

de�nit prin

U (f (�)) = g (�) ; g (x) =2�Z0

(1 + sin (x� t)) f (t) dt;

se cere s¼a se a�e o baz¼a pentru ImU (�).4. S¼a se enunte Teorema Hamilton-Cayley si s¼a se foloseasc¼a pentru

a�area inversei matricii A =

0@ 1 0 10 2 00 0 3

1A.5. Inegalitatea dintre oblic¼a si perpendicular¼a.6. Matrici productive.

D.2. Examen Algebr¼a Liniar¼a, iunie 1998

1. S¼a se demonstreze c¼a orice functie f : [a; b] ! R se descompune înmod unic într-o sum¼a dintre o functie par¼a si una impar¼a.

2. Fie V0 subspatiul solutiilor ecuatiei

3x� y � 2z = 0si �e operatorul U : R2 ! R3, de�nit prin

U

��x1x2

��= Pr

V0

0@0@ x1x20

1A1A ;8�x1x2

�2 R2:

Se cere:a. S¼a se g¼aseasc¼a o baz¼a a spatiului V0.

b. S¼a se g¼aseasc¼a exprimarea lui U��

x1x2

��în baza de la a.

c. S¼a se g¼aseasc¼a exprimarea lui U��

x1x2

��în baza canonic¼a a lui

R3.d. S¼a se g¼aseasc¼a matricea operatorului U (:).e. S¼a se g¼aseasc¼a o baz¼a pentru nucleul operatorului.f. S¼a se g¼aseasc¼a o baz¼a pentru imaginea operatorului.


3. Pentru operatorii U1; U2 : C1 [a; b]! C1 [a; b] ; de�niti prin U1 (f (:)) =

g1 (:) ; g1 (x) = xf (x) si U2 (f (:)) = g2 (:) ; g2 (x) =xRa

f (t) dt; s¼a se

caracterizeze valorile proprii si vectorii proprii.4. Pentru operatorul U : C1 [0; 2�]! C1 [0; 2�] ; de�nit prin

U (f (:)) = g (:) ; g (x) =

2�Z0

(1 + sin (x� t)) f (t) dt;

se cere s¼a se a�e o baz¼a pentru ImU .5. Fie U : R3 [X] ! R3 [X], de�nit prin U (P ) = P 0 � P . S¼a se arate

c¼a U este izomor�sm si s¼a se a�e operatorul invers.

6. Fie operatorul U : R3 ! R3, cu matricea A =

0@ 6 6 �151 5 �51 2 �2

1A.a. S¼a se a�e valorile proprii si vectorii proprii.b. S¼a se a�e forma canonic¼a Jordan si o baz¼a Jordan.7. Teorema Hamilton-Cayley.8. Teorema de punct �x pentru contractii.

D.3. Examen Algebr¼a Liniar¼a, septembrie 1998

(1) Fie V0 subspatiul solutiilor ecuatiei

3x� y � 2z = 0

si �e operatorul U (�) : R2 ! R3, de�nit prin

U

��x1x2

��= Pr

V0

0@0@ x1x20

1A1A ;8�x1x2

�2 R2:

Se cere:(a) S¼a se arate c¼a U (�) este operator liniar si s¼a se g¼aseasc¼a

matricea atasat¼a.(b) S¼a se g¼asesc¼a câte o baz¼a pentru imaginea si pentru nucleul

operatorului.(2) Pentru operatorii

U1 (�) ; U2 (�) : C1 [a; b]! C1 [a; b] ;

D.4. EXAMEN (1) ALGEBR¼A LINIAR¼A, IANUARIE 1999 155

de�niti prin

U1 (f (�)) = g1 (�) ; g1 (x) = xf (x)

si

U2 (f (�)) = g2 (�) ; g2 (x) =xZa

f (t) dt;

s¼a se caracterizeze valorile proprii si vectorii proprii.(3) Pentru operatorul

U (�) : C1 [0; 2�]! C1 [0; 2�] ;

de�nit prin

U (f (�)) = g (�) ; g (x) =2�Z0

(1 + sin (x� t)) f (t) dt;

se cere s¼a se a�e o baz¼a pentru ImU (�).(4) Inegalitatea dintre oblic¼a si perpendicular¼a.(5) Teorema Perron-Frobenius.

D.4. Examen (1) Algebr¼a Liniar¼a, ianuarie 1999

1. Sum¼a direct¼a de dou¼a subspatii vectoriale.2. Fie V0 subspatiul solutiilor ecuatiei

3x� y � 2z = 0si �e operatorul U (�) : R2 ! R3, de�nit prin

U

��x1x2

��= Pr

V0

0@0@ x1x20

1A1A ;8�x1x2

�2 R2:

Se cere:a. S¼a se arate c¼a U (�) este operator liniar si s¼a se g¼aseasc¼a matricea

atasat¼a.b. S¼a se g¼asesc¼a câte o baz¼a pentru imaginea si pentru nucleul operatorului.3. Teorema de inertie Sylvester.4. Fie U (�) : Rn ! Rn liniar cu proprietatea c¼a

U (�)2 � U (�) + I (�) = 0:S¼a se arate c¼a U (�) este izomor�sm.


5. Fie U (�) : R3 [X]! R3 [X], de�nit prin U (P ) = P 0�P . S¼a se aratec¼a U este izomor�sm si s¼a se a�e operatorul invers.

6. Fie operatorul U (�) : R3 ! R3, cu matricea A =

0@ 6 6 �151 5 �51 2 �2

1A.a. S¼a se a�e valorile proprii si vectorii proprii.b. S¼a se a�e forma canonic¼a Jordan si o baz¼a Jordan.7. Teorema Perron-Frobenius.

D.5. Examen (2) Algebr¼a Liniar¼a, februarie 1999

1. Formula Grassman.2. S¼a se demonstreze c¼a orice functie f : [a; b] ! R se descompune în

mod unic într-o sum¼a dintre o functie par¼a si una impar¼a.

3. Fie matricea A (�) =

0@ � �2 0�2 0 00 0 �+ 3

1A.a. S¼a se discute (f¼ar¼a a�area bazei) în functie de parametrul � natura

functionalei p¼atratice care are matricea A (�) :b.Pentru operatorul care are matricea A (3) s¼a se a�e:b1 Forma canonic¼a Jordanb2 Baza Jordan.b3. S¼a se veri�ce formula de schimbare a matricii la schimbarea bazei,

cu regula pivotului.4. Fie V0 subspatiul vectorial al solutiilor sistemului8<: 3x1 + 2x2 + x3 � 2x4 = 0

5x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 0x1 + 2x2 + 3x3 + 10x4 = 0:

Se cere s¼a se determine proiectia ortogonal¼a a vectorului x =

0BB@�30�59

1CCA.5. S¼a se arate c¼a, dac¼a U : V ! V este o proiectie, atunci 2U � I este

o involutie iar dac¼a U este o involutie atunci 12(U + I) este o proiectie

(operatorul este involutie dac¼a U2 = I).6. Distanta de la un vector la un subspatiu.

D.7. EXAMEN ALGEBR¼A LINIAR¼A, AUGUST 1999 157

D.6. Examen (3) Algebr¼a Liniar¼a, februarie 1999

(1) Se dau vectorii: v1 =

0@ 121

1A ; v2 =

0@ 233

1A ; v3 (�) =

0@ 37�

1A;(a) s¼a se discute independenta si dependenta familiei în functie

de parametrul �.(b) în cazul dependentei liniare s¼a se g¼aseasc¼a dependenta.

(c) S¼a se exprime vectorii e1; e2; e3; v1; v2; v3 (1) ; v =

0@ 314

1A în

baza B = (v1; v2; v3 (1)) folosind regula pivotului.(d) S¼a se a�e imaginea si nucleul operatorului U pentru care

matricea în baza canonic¼a are coloanele v1; v2; v3 (2).(e) Fiind dati un vector si un subspatiu, s¼a se de�neasc¼a notiunile:

proiectie ortogonal¼a, perpendicular¼a, distant¼a.(f) Aplicatie pentru e1 si ImU:(g) Teorema Hamilton-Cayley.(h) Aplicatie pentru operatorul U .(i) S¼a se enunte notiunea de matrice productiv¼a si rezultatelecunoscute.

(j) S¼a se decid¼a dac¼a matricea lui 110U în baza canonic¼a este

productiv¼a si în caz a�rmativ s¼a se calculeze matricea cheltuielilorindirecte de ordin doi.

(2) Teorema de punct �x pentru contractii.

D.7. Examen Algebr¼a Liniar¼a, august 1999

1. Fie V0 subspatiul vectorial al solutiilor sistemului8<: 3x1 + 2x2 + x3 � 2x4 = 05x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 0x1 + 2x2 + 3x3 + 10x4 = 0:

Se cere s¼a se determine proiectia ortogonal¼a a vectorului x =

0BB@�30�59

1CCA.2. S¼a se demonstreze c¼a dac¼a operatorul liniar p (�) : V ! V este

proiectie, atunci are loc V = p (V)� ker p (�).


3. Fie operatorul U (�) : R3 ! R3, cu matricea A =

0@ 6 6 �151 5 �51 2 �2

1A.a. S¼a se a�e valorile proprii si vectorii proprii.b. S¼a se a�e forma canonic¼a Jordan si o baz¼a Jordan.4. S¼a se arate c¼a polinomul caracteristic al unui operator liniar nu

depinde de baza în care este reprezentat operatorul.5. S¼a se arate c¼a valorile proprii ale unui operator real simetric sunt

reale.6. S¼a se enunte Teorema Hamilton�Cayley si s¼a se a�e cu ajutorul ei

A�1 si An, dac¼a A =�1 01 1

�.

D.8. Lucrare scris¼a la Algebr¼a Liniar¼a, decembrie 2002

(1) (a) S¼a se arate c¼a preimaginea printr�un operator liniar a unuisubspatiu vectorial este subspatiu vectorial.

(b) S¼a se arate c¼a inversa unui operator liniar inversabil esteoperator liniar.

(2) S¼a se arate c¼a dac¼a o familie de vectori este liniar independent¼asi maximal¼a atunci este sistem de generatori minimal.

(3) Teorema de existent¼a a bazei. Enunt si demonstratie.(4) Formula lui Grassmann. Enunt si demonstratie.(5) Ar¼atati c¼a, dac¼a (V;K) este spatiu vectorial si V0 � V este un

subspatiu vectorial, atunci pe multimea V=V0 (multimea factor)se poate de�ni o structur¼a de spatiu vectorial.

(6) Fie U (�) : V ! V un operator liniar cu proprietatea c¼a U2 (�) =1V (�) (operatorul identitate).(a) S¼a se arate c¼a U (�) este bijectiv.(b) Dac¼a V1 = fx 2 V ; U (x) = xg si V1 = fx 2 V ; U (x) = �xg,

s¼a se arate c¼a V = V1 � V2 folosind descompunerea x =x+U(x)

2+ x�U(x)

2.

D.9. EXAMEN ALGEBR¼A LINIAR¼A, FEBRUARIE 2003 159

(7) Fie V0 subspatiul vectorial al solutiilor sistemului

8<: 3x1 + 2x2 + x3 � 2x4 = 05x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 0x1 + 2x2 + 3x3 + 10x4 = 0:

Se cere s¼a se determine proiectia ortogonal¼a a vectorului x =0BB@�30�59

1CCA.(8) În (R3[X];R) se consider¼a A = span (3� x2; 3 +X � 2X3) si

B = span (�X �X2 + 2X3; 2X � 2X2). Se cere s¼a se a�e o baz¼asi dimensiunea subspatiului vectorial C = A+B.

(9) S¼a se discute dup¼a valorile parametrului � natura functionaleip¼atratice V (x) = x21 + x22 + 5x

23 + 2�x1x2 � 2x1x3 + 4x2x3:

(10) 5. Fie U (�) : R3 [X]! R3 [X], de�nit prin U (P ) = P 0�P . S¼a searate c¼a U este izomor�sm si s¼a se a�e operatorul invers (folosindmetoda pivotului).

Not¼a: Fiecare subiect este cotat cu un punct, subpunctele sunt notatecu jum¼atate de punct. Pentru nota minim¼a, studentul trebuie s¼a acumulezeminim 2 puncte din subiectele 1�5 si minim 2 puncte din subiectele 6�10.Studentul care (în plus) rezolv¼a o categorie întreag¼a (toate subiectele 1�5sau toate subiectele 6�10) primeste la nota �nal¼a un punct în plus.

D.9. Examen Algebr¼a Liniar¼a, februarie 2003

(1)a. (0,5p) S¼a se arate c¼a relatia.de echivalent¼a între spatii vectorialepeste acelasi corp este relatie de echivalent¼a.

b. (0,5p) S¼a se arate c¼a inversa unui operator liniar inversabil esteoperator liniar.

2. (1p) S¼a se arate c¼a dac¼a o familie de vectori este baz¼a atunci este liniarindependent¼a si maximal¼a.

3. (1.p) S¼a se arate c¼a orice spatiu vectorial (V;K) de dimensiune n esteizomorf cu (Kn; K).

4. (1p) Fie U (�) : V1 ! V2 operator liniar între spatiile vectoriale (V1; K)si (V2; K). Ar¼atati c¼a spatiile vectoriale V1= kerU (�) si ImU (�)sunt izomorfe.

5. (1p) Orice familie de vectori proprii corespunz¼atori la valori propriidistincte dou¼a câte dou¼a este o familie liniar indpendent¼a.

6. (1p) Teorema Hamilton�Cayley.


7. (1p) S¼a se arate c¼a polinomul caracteristic al unui operator liniar nudepinde de baza în care este reprezentat operatorul.

8. (1p) Fie U (�) : V ! V un operator liniar cu proprietatea c¼a U2 (�) =1V (�) (operatorul identitate).(a) S¼a se arate c¼a U (�) este bijectiv.(b) Dac¼a V1 = fx 2 V ; U (x) = xg si V1 = fx 2 V ; U (x) = �xg,

s¼a se arate c¼a V = V1 � V2.(2) Fie V0 subspatiul solutiilor ecuatiei

3x� y � 2z = 0


U

��x1x2

��= Pr

V0

0@0@ x1x20

1A1A ;8�x1x2

�2 R2:

Se cere:a. (0,5p) S¼a se arate c¼a U (�) este operator liniar si s¼a se g¼aseasc¼a

matricea atasat¼a.b. (0,5p) S¼a se g¼asesc¼a câte o baz¼a pentru imaginea si pentru nucleul

operatorului.10. (1p) S¼a se arate c¼a, dac¼a U (�) : V ! V este o proiectie, atunci

(2U � I) (�) este o involutie iar dac¼a U (�) este o involutie atunci12(U + I) (�) este o proiectie (operatorul este involutie dac¼a U2 (�) =

I (�)).


0@ 121

1A ; v2 =

0@ 233

1A ; v3 (�) =

0@ 37�

1A;a. (0,5p) s¼a se discute independenta si dependenta familiei în functie

de parametrul �.b. (0,5p) în cazul dependentei liniare s¼a se g¼aseasc¼a dependenta.

c. (0,5p) S¼a se exprime vectorii e1; e2; e3; v1; v2; v3 (1) ; v =

0@ 314

1A în

baza B = (v1; v2; v3 (1)) folosind regula pivotului.d. (0,5p) S¼a se a�e imaginea si nucleul operatorului U (�) pentru care

matricea în baza canonic¼a are coloanele v1; v2; v3 (2).e. (0,5p) Fiind dati un vector si un subspatiu, s¼a se de�neasc¼a notiunile:

proiectie ortogonal¼a, perpendicular¼a, distant¼a.

D.10. EXAMEN ALGEBR¼A LINIAR¼A, SEPTEMBRIE 2003 161

f. (0,5p) Aplicatie pentru e1 si ImU:12. (0,5p) Pentru operatorul

U (�) : R3 [X]! R3 [X] ; U (p) = p0;

s¼a se aduc¼a la forma canonic¼a Jordan, s¼a se a�e baza Jordan si s¼ase veri�ce formula de schimbare a matricei la schimbarea bazei.

Not¼a: Pentru a � declarat �promovat�la examen (nota 5), studentultrebuie s¼a acumuleze minim 2 puncte din subiectele 1�7 si minim 2 punctedin subiectele 8�12. Dup¼a dep¼asirea pragului minim, punctajul �nal estedat de suma punctelor acumulate.

D.10. Examen Algebr¼a Liniar¼a, septembrie 2003

(1) (a) De�nitii echivalente ale sumei directe de dou¼a subspatii. Enuntsi demonstratie.

(b) S¼a se arate c¼a inversa unui operator liniar inversabil esteoperator liniar.

(2) S¼a se arate c¼a dac¼a o familie de vectori este baz¼a atunci este liniarindependent¼a si maximal¼a.

(3) S¼a se arate c¼a orice spatiu vectorial (V;K) de dimensiune n esteizomorf cu (Kn; K).

(4) Fie U (�) : V1 ! V2 operator liniar între spatiile vectoriale (V1; K)si (V2; K). Ar¼atati c¼a spatiile vectoriale V1= kerU (�) si ImU (�)sunt izomorfe.

(5) S¼a se arate c¼a orice familie de vectori proprii corespunz¼atori lavalori proprii distincte dou¼a câte dou¼a este o familie liniar indpendent¼a.

(6) Teorema Hamilton�Cayley.(7) S¼a se arate c¼a polinomul caracteristic al unui operator liniar nu

depinde de baza în care este reprezentat operatorul.(8) Fie U (�) : V ! V un operator liniar cu proprietatea c¼a U2 (�) =

1V (�) (operatorul identitate).(a) S¼a se arate c¼a U (�) este bijectiv.(b) Dac¼a V1 = fx 2 V ; U (x) = xg si V1 = fx 2 V ; U (x) = �xg,

s¼a se arate c¼a V = V1 � V2.(9) Fie V0 subspatiul solutiilor ecuatiei

3x� y � 2z = 0



U

��x1x2

��= Pr

V0

0@0@ x1x20

1A1A ;8�x1x2

�2 R2:

Se cere:(a) S¼a se arate c¼a U (�) este operator liniar si s¼a se g¼aseasc¼a

matricea atasat¼a.(b) S¼a se g¼asesc¼a câte o baz¼a pentru imaginea si pentru nucleul

operatorului.(10) S¼a se arate c¼a, dac¼a U (�) : V ! V este o proiectie, atunci

(2U � I) (�) este o involutie iar dac¼a U (�) este o involutie atunci12(U + I) (�) este o proiectie (operatorul este involutie dac¼a U2 (�) =

I (�)).


0@ 121

1A ; v2 =

0@ 233

1A ; v3 (�) =

0@ 37�

1A;(a) s¼a se discute independenta si dependenta familiei în functie

de parametrul �.(b) în cazul dependentei liniare s¼a se g¼aseasc¼a dependenta.

(c) S¼a se exprime vectorii e1; e2; e3; v1; v2; v3 (1) ; v =

0@ 314

1A în

baza B = (v1; v2; v3 (1)) folosind regula pivotului.(d) S¼a se a�e imaginea si nucleul operatorului U (�) pentru care

matricea în baza canonic¼a are coloanele v1; v2; v3 (2).(a) Fiind dati un vector si un subspatiu, s¼a se de�neasc¼a notiunile:

proiectie ortogonal¼a, perpendicular¼a, distant¼a.(b) Aplicatie pentru e1 si ImU (�), unde U (�) este operatorul de

la pct. 11.d.

(12) Fie operatorul U (�) : R3 ! R3, cu matriceaA =

0@ 6 6 �151 5 �51 2 �2

1A.(a) S¼a se a�e valorile proprii si vectorii proprii.(b) S¼a se a�e forma canonic¼a Jordan.

(13) Pentru operatorul de la 13. s¼a se a�e o baz¼a Jordan.Not¼a: Fiecare subiect este cotat cu un punct, subpunctele sunt notate

cu jum¼atate de punct. Punctajul minim necesar pentru ca examenul s¼a �e


trecut este de minim 2 puncte din subiectele 1�7 SI minim 2 puncte dinsubiectele 8�14.


(1) S¼a se demonstreze teorema Hamilton�Cayley.(2) S¼a se arate c¼a, dac¼a familia (xi)i=1;n este sistem de generatori

pentru spatiul vectorial de tip �nit (V;K), în care subfamilia(xi)i=1;k este liniar independent¼a (k � n), atunci exist¼a o baz¼aB a lui V astfel încât

fx1; � � � ; xkg � B � fx1; � � � ; xng :(3) S¼a se arate c¼a suma a dou¼a subspatii vectoriale este direct¼a dac¼a

si numai dac¼a dimensiunea sumei subspatiilor este egal¼a cu sumadimensiunilor subspatiilor.

(4) S¼a se demonstreze Teorema Fundamental¼a de Izomor�sm.(5) Se consider¼a subspatiile V1 = Span fp1; p2g si V2 = Span fp3; p5g.

S¼a se g¼aseasc¼a o baz¼a a subspatiului V1 \ V2.(6) Fie U (�) : C0[0;2�] ! C0[0;2�] o functie de�nit¼a prin:

U (f (�)) (x) =2�Z0

(1 + sin (x� t)) f (t) dt; x 2 [0; 2�] :

S¼a se arate c¼a U (�) este operator liniar, s¼a se arate c¼a ImU (�)este �nit�dimensional si s¼a se a�e o baz¼a pentru ImU (�).

(7) Fie U (�) : R3 [X] ! R3 [X], de�nit prin U (P ) = P 0 + P . S¼a searate c¼a U (�) este izomor�sm si s¼a se a�e operatorul invers.

(8) Pentru operatorul U (�) de la punctul anterior, s¼a se a�e formacanonic¼a Jordan.

(9) Pentru operatorul U (�) de la punctul anterior, s¼a se a�e o baz¼aîn care operatorul are form¼a canonic¼a Jordan.

(10) S¼a se demonstreze regula paralelogramului:

jjx+ yjj2 + jjx� yjj2 = 2�jjxjj2 + jjyjj2

�8x; y 2 V:

(suma p¼atratelor diagonalelor este egal¼a cu suma p¼atratelor laturilor).


(1) S¼a se arate c¼a imaginea direct¼a si preimaginea printr�un operatorliniar a unui subspatiu liniar este subspatiu liniar.


(2) Teorema de inertie (Sylvester).(3) S¼a se demonstreze c¼a dac¼a operatorul liniar p (�) : V ! V este

proiectie, atunci are loc V = p (V)� ker p (�).(4) S¼a se arate c¼a într�un spatiu vectorial euclidian real, lungimea

perpendicularei unui vector pe un subspatiu vectorial este maimic¼a decât orice oblic¼a.

(5) S¼a se arate c¼a suma a dou¼a subspatii vectoriale este direct¼a dac¼asi numai dac¼a dimensiunea sumei subspatiilor este egal¼a cu sumadimensiunilor subspatiilor.

(6) S¼a se demonstreze Teorema Fundamental¼a de Izomor�sm.(7) Fie V0 subspatiul vectorial al solutiilor sistemului8<: 3x1 + 2x2 + x3 � 2x4 = 0

5x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 0x1 + 2x2 + 3x3 + 10x4 = 0:

Se cere s¼a se determine proiectia ortogonal¼a a vectorului x =0BB@�30�59

1CCA.(8) S¼a se discute natura functionalei p¼atratice

q (x) = �x21 � 4x1x2 + (�+ 3) x23în functie de parametrul �.

(9) S¼a se demonstreze (folosind suma direct¼a de subspatii pe spatiulliniar al tuturor functiilor de�nite pe [�a; a] cu valori în R) c¼aorice functie f (�) : [�a; a]! R se descompune în mod unic într-osum¼a dintre o functie par¼a si una impar¼a.

(10) Pentru operatorul liniar

U1 (�) : C1 [a; b]! C1 [a; b] ;

de�nit prin

U1 (f (�)) = g1 (�) ; g1 (x) = xf (x)

s¼a se caracterizeze valorile proprii si vectorii proprii.(11) Pentru operatorul liniar

U2 (�) : C1 [a; b]! C1 [a; b] ;


de�nit prin

U2 (f (�)) = g2 (�) ; g2 (x) =xZa

f (t) dt;

s¼a se caracterizeze valorile proprii si vectorii proprii.

(12) Pentru operatorul U (�) care are matricea atasat¼aA =

0BBBB@0 �1

2

1

3�1

2 �1 0 0

03

2�2 12

0 0 0 2

1CCCCA,s¼a se a�e forma canonic¼a Jordan.

(13) Pentru operatorul U (�) de la punctul anterior, s¼a se a�e o baz¼aîn care operatorul are form¼a canonic¼a Jordan.


Algoritm pentru aducerea unui operator la forma canonic¼aJordan

(1) Se g¼aseste matricea atasat¼a operatorului în baza initial¼a (canonic¼a)(2) Se rezolv¼a (înC) ecuatia caracteristic¼a det (A� �I) = 0 si se retin

toate r¼ad¼acinile �j 2 C, j = 1; k, cu ordinele de multiplicitate nj,kPj=1

nj = n.

Pentru �ecare r¼ad¼acin¼a �j (de multiplicitate nj) obtinut¼a lapasul 2.:

(3) Se calculeaz¼a spatiul V�j = ker (U � �jI)nj (�).(4) Se calculeaz¼a restrictia Uj (�) a operatorului U (�) la subspatiul

V�j , Uj (�) : V�j ! V�j ; Uj (x) = U (x) ;8x 2 V�j .(5) Se calculeaz¼a operatorul nilpotent Nj (�) : V�j ! V�j , de�nit

prin: Nj (x) = Uj (x)� �jI (x) = (Uj � �jI) (x), 8x 2 V�j .(6) Se calculeaz¼a sirul de nuclee:

f0g = kerN0j (�) � kerNj (�) � kerN2

j (�) � � � � � kerNrj�1j (�) � kerN rj

j (�) = V�j ;

se calculeaz¼a

rj = mink

�dimkerNk

j (�) = dimV�j = nj

si pentru �ecare k = 1; rj, se consider¼a descompunerea

kerNkj (�) = kerNk�1

j (�)�Qjk;

(7) Se calculeaz¼a mjk = dimkerN

kj (�), k = 0; rj

(8) Se calculeaz¼a qjk = dimQjk = mj

k �mjk�1; k = 1; rj

(9) Se calculeaz¼apj1 = mj

rj�mj

rj�1 = qjrj ,

pj2 = qjrj�1 � pj1,

pj3 = qjrj�2 � qjrj�1 = qjrj�2 � p

j1 � p

j2

� � �(10) Se alege o baz¼a în Qjrj , notat¼a f

j1 ; � � � f

j

pj1; se consider¼a vectorii

f jpj1+1

; � � � f jpj1+p

j2


care completeaz¼a sistemul liniar independentNj�f j1�; � � � ; Nj

�f jpj1

�pân¼a la o baz¼a a lui Qjrj�1; se continu¼a acest procedeu pân¼a seobtine structura:

f j1 ; � � � fj

pj1baz¼a în Qjr

Nj�f j1�; � � � ; N

�f jpj1

�; f jpj1+1

; � � � f jpj1+p

j2

baz¼a în Qjrj�1

N2j

�f j1�; � � � ; N2

j

�f jpj1

�; Nj

�f jpj1+1

�; � � � ; Nj

�f jpj1+p

j2

�; f jpj1+p

j2+1

; � � � ; f jpj1+p

j2+p

j3

baz¼a în Qjr�2,:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Nrj�1j

�f j1�; � � � ; N rj�1

j

�f jpj1

�; N

rj�2j

�f jpj1+1

�; � � � ; N rj�2

j

�f jpj1+p

j2

�; � � � ;

� � � ; f jpj1+��+p

jrj�1

+1; � � � ; f j

pj1+��+pjrj�1

+pjrjbaz¼a în Qj1 = kerNj (�).

Baza Jordan se obtine prin ordonarea vectorilor de mai susîn felul urm¼ator: se aleg vectorii pe coloan¼a, de jos în sus �pentru �ecare vector, de la exponentul maxim al operatorului laexponentul minim �de exemplu, pentru prima coloan¼a (primulvector, f j1 ):

Nrj�1j

�f j1�; N

rj�2j

�f j1�; � � � ; Nj

�f j1�; f j1

(11) În �nal se obtine în aceast¼a baz¼a (de fapt reper, pentru c¼a ordineavectorilor în baz¼a este important¼a) pj1 celule de ordin rj, p

j2 celule

de ordin rj � 1, etc.

Indice

aplicatie liniara, 5

baz¼ade�nitii echivalente, 17existenta, 18

baza, 18duala, 43

baz¼aortonormal¼a, 77

combinatieliniara, 6

complexi�cat, 16con pozitiv, 58cosinusul unghiului dintre doi vectori,

73

determinantGram, 80

dimensiunealgebric¼a, 92geometric¼a, 92

directieinvariant¼a, 90

distantade la un vector la o multime, 84dintre doi vectori, 75

dualalgebric, 6

ecuatiecaracteristic¼a, 91

Ecuatia lui Cauchy, 61

forma canonic¼aMetoda Gauss, 66Metoda Jacobi, 69

Formula lui Grassmann, 49functii Hamel, 62functionala, 57aditiva, 57liniara, 6omogena, 57pozitiv omogena, 57subaditiva, 57subomogena, 57

!-pozitiv omogen¼a, 57!-seminorma, 57functional¼abiliniar¼a, 62simetric¼a, 62

biliniar¼a simetric¼a polar¼a, 65p¼atratic¼a, 65form¼a canonic¼a, 65

inegalitatetare între vectori, 109

inegalitateadintre perpendicular¼a si oblic¼a, 86dintre volum si produsul lungimilorlaturilor, 81

triunghiului, 75izomor�sm, 6relatie de echivalent¼a, 12

Jordanbloc, 89

169

170 INDICE

celul¼a, 89matrice, 89

Lemasubstitutiei, 38

liniardependenta, 7independenta, 7

matricede trecere intre baze, 27Jordan, 89productiv¼a, 109

matriceafunctionalei biliniare, 62unui operator, 42

modelul Leontie¤, 110mor�sm, 5bijectiv, 6

multimefactor, cât, 51

multimecomplement ortogonal, 76

multimiortogonale, 76

norm¼a euclidian¼a, 73nucleulfunctionalei biliniare simetrice, 64

omotetie, 1operatoradjunct, 104antiautoadjunct, 107autoadjunct, 106nilpotent, 95normal, 105unitar, 107

operator liniar, 5rangul, 43

operatoriliniariimaginea, 12liniaritatea compunerii, 12liniaritatea inversului, 12

nucleul, 12propriet¼ati, 11

polinomcaracteristic, 91cel mai mare divizor comun, 94

ponderi, 6produs scalar, 73proiectiaunui vector pe un subspatiu, 82

proiector, 82

regula dreptunghiului, 30regula paralelogramului, 75regula pivotului, 29reper, 18

schemade schimbare de baza, 28

seminorma, 57sistemde generatori, 10

spatiuvectorialfactor, cât, 52reguli de calcul, 11

spatiu vectorialcoordonatele unui vector într-o baz¼a,21

dimensiunea, 21spatiuvectorial, 1de tip �nit, 18de tip in�nit, 18

spatiu vectorialeuclidian, 73, 74

subspatiirelaþia de echivalenþ¼a de�nit¼a de relatiade echivalent¼a de�nit¼a de, 50

subspatiuinvariant, 89propriu, 91

subspatiicodimensiune, 48intersectie, 45

INDICE 171

suma, 45suma directa, 47, 49de�nitii echivalente, 46, 48

suplimentare, 47subspatiu, 4suma ponderata, 6

Teoremaasupra dimensiunii spatiului factor,53

de inertie Sylvester, 71de ortogonalizare Gram-Schmidt, 78forma canonic¼a a operatorilor nilpotenti,97

fundamental¼a de izomor�sm, 52Hahn-Banach de prelungire, 58Hamilton-Cayley, 93I de izomor�sm, 52II de izomor�sm, 53Perron-Frobenius, 110Pitagora generalizat¼a, 75reducerea unui operator la operatorinilpotenti, 95

schimbului, Steinitz, 19structura unui operator normal real,105

valoareproprie, 90

vectorpropriu, 90

vectori, 1ortogonali, 73, 74

volumul k-dimensional al paralelipipedului,80

Bibliogra�e

[1] Becheanu, M; Dinc¼a, A; Ion, I. D.; Nit¼a, C.; Purdea, I.; Radu, N.; Stef¼anescu, M.;Vraciu, C.: Algebr¼a pentru perfectionarea profesorilor, Editura Didactic¼a siPedagogic¼a, Bucuresti, 1983.

[2] Bellman, Richard: Introducere în analiza matricial¼a, (traducere din limbaenglez¼a), Editura Tehnic¼a, Bucuresti, 1969. (Titlul original: Introduction toMatrix Analysis, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1960)

[3] Bourbaki, N.: Élements de mathematique, Paris, Acta Sci. Ind. Herman, Cie,1953.

[4] Burlacu, V., Cenus¼a, Gh., S¼acuiu, I., Toma, M.: Curs de Matematici, Academiade Studii Economice, Facultatea de Plani�care si Cibernetic¼a Economic¼a,remultiplicare, uz intern, Bucuresti, 1982.

[5] Chitescu, I.: Spatii de functii, Editura stiinti�c¼a si enciclopedic¼a, Bucuresti,1983.

[6] Colojoar¼a, I.: Analiza matematic¼a Editura didactic¼a si pedagogic¼a, Bucuresti,1983.

[7] Cr¼aciun, V. C.: Exercitii si probleme de analiz¼a matematic¼a, Tipogra�aUniversit¼atii Bucuresti, 1984.

[8] Cristescu, R.: Analiza functional¼a, Editura stiinti�c¼a si enciclopedic¼a,Bucuresti, 1983.

[9] Dr¼agusin, C., Dr¼agusin, L., Radu, C.: Aplicatii de algebr¼a, geometrie simatematici speciale, Editura Didactic¼a si Pedagogic¼a, Bucuresti, 1991.

[10] Glazman, I. M., Liubici, I. U.: Analiza liniar¼a pe spatii �nit dimensionale,Editura Stiinti�c¼a si Enciclopedic¼a, Bucuresti, 1980.

[11] Holmes, Richard, B.: Geometric Functional Analysis and its Applications[12] Guerrien, B.: Algebre lineare pour economistes, Economica, Paris, 1991.[13] Ion D. Ion; Radu, N.: Algebr¼a, Editura Didactic¼a si Pedagogic¼a, Bucuresti, 1991.[14] Kurosh, A.: Cours d�algèbre supérieure, Editions MIR, Moscou, 1980.[15] McFadden, Daniel: Curs Economics 240B (Econometrics), Second Half, 2001

(class website, PDF)[16] Monk, J., D.: Mathematical Logic, Springer-Verlag, 1976.[17] R¼adulescu, M., R¼adulescu, S.: Teoreme si probleme de Analiz¼a Matematic¼a,

Editura didactic¼a si Pedagogic¼a, Bucuresti, 1982.[18] Rockafellar, R.,Tyrrel: Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton

University Press, 1970.

173

174 BIBLIOGRAFIE

[19] Saporta, G., Stef¼anescu, M. V.: Analiza datelor si informatic¼a �cu aplicatiila studii de piat¼a si sondaje de opinie-, Editura economic¼a, 1996.

[20] Sabac, I. Gh.: Matematici speciale, vol I, II, Editura didactic¼a si pedagogic¼a,Bucuresti, 1981.

[21] Silov, G. E.: Analiz¼a matematic¼a (Spatii �nit dimensionale), Editurastiinti�c¼a si enciclopedic¼a, Bucuresti, 1983.

0.1. prefa‚t…a -...

Documents