【 問 題pegasus-fc.com/teachingaid/pdf/j2_zukei_proofa.pdf【 問 題 】 【 証 明 】...
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【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
△ABDと△CDBにおいて
仮定より、
AB=CD … ①
DA=BC … ②
辺BDは共通 … ③
①、②、③より、
3辺(3組の辺)がそれぞれ等しい。
よって、△ABD≡△CDBである。
図において、 AB=CD、BC=DAとする。
このとき、△ABD≡△CDBであることを証明せよ。
S 0 1 A 1
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
△ABCと△DCBにおいて
仮定より、
AB=DC … ①
AC=DB … ②
辺BCは共通 … ③
①、②、③より、
3辺(3組の辺)がそれぞれ等しい。
よって、△ABC≡△DCB
合同な三角形の対応する角の大きさは等しい。
ゆえに、∠BAC=∠CDBである。
図において、 AB=DC、AC=DBとする。
このとき、∠BAC=∠CDBであることを証明せよ。
S 0 2 A 1
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A BD
E
C
A BD
E
C
A BD
E
C
△ABEと△ACDにおいて
仮定より、
AB=AC … ①
AE=AD … ②
また、
∠Aは共通 … ③
①、②、③より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△ABE≡△ACD
合同な三角形の対応する角の大きさは等しい。
ゆえに、∠ABE=∠ACDである。
長さの等しい2つの線分AB、ACがある。
AB、AC上に、AD=AEとなるような点D、点E
をとる。このとき、∠ABE=∠ACDであることを
証明せよ。
S03A 1
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
△ABCと△DCBにおいて
仮定より、
∠ABC=∠DCB … ①
AB=DC … ②
また、
辺BCは共通 … ③
①、②、③より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△ABC≡△DCB
合同な三角形の対応する角の大きさは等しい。
ゆえに、∠ACB=∠DBCである。
図において、AB=DC、∠ABC=∠DCB
とする。このとき、∠ACB=∠DBCであること
を証明せよ。
S04A 1
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
△BACと△DAEにおいて
仮定より、
AB=AD … ①
BE=DC … ②
また、
AC=AD+DC … ③
AE=AB+BE … ④
①、②、③、④より、
AC=AE … ⑤
∠Aは共通 … ⑥
①、⑤、⑥より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△BAC≡△DAE
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、BC=DEである。
図において、AB=AD、BE=DCとする。
このとき、BC=DEとなることを証明せよ。
S 0 5 A 1
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
B E
F
C
D
A
A
B E
F
C
D
A
B E
F
C
D
△ABEと△CDFにおいて
仮定より、
AB=CD … ①
AB//DCより、錯角は等しいので、
∠BAE=∠DCF … ②
また、
AE=AF+FE
CF=CE+FE
ここで、AF=CEなので、
AE=CF … ③
①、②、③より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△ABE≡△CDFである。
図において、△ABEと△CDFが線分FEで
重なっており、AB//DC、AB=CD、
AF=CEとする。このとき、△ABE≡△CDF
であることを証明せよ。
S06A 2
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
O
C
D
A
B
O
C
D
A
B
O
C
D
△AOBと△DOCにおいて
仮定より、
AO=DO … ①
AB//CDより、錯角は等しいので、
∠BAO=∠CDO … ②
また、対頂角は等しいので、
∠AOB=∠DOC … ③
①、②、③より、
1辺(1組の辺)とその両端の角がそれぞれ等しい。
よって、△AOB≡△DOC
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、AB=DCである。
平行な2つの線分AB、CDがあり、ADとBCの
交点を点Oとし、AO=DOとする。
このとき、AB=DCであることを証明せよ。
(ポイント)
平行な2直線に他の1直線が交わってできる
錯角は等しいことを利用する。
S07A 2
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A B
O
O
O
C D
A B
C D
A B
C D
△ABOと△DCOにおいて
仮定より、
BO=CO … ①
AB//CDより、錯角は等しいので、
∠ABO=∠DCO … ②
また、対頂角は等しいので、
∠AOB=∠DOC … ③
①、②、③より、
1辺(1組の辺)とその両端の角がそれぞれ等しい。
よって、△ABO≡△DCOである。
図において、BCの中点をOとし、
AB//CDとする。このとき、
△ABO≡△DCOとなることを証明せよ。
S08A 2
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B C
D
A
B C
D
A
B C
D
△ABCと△DBCにおいて
辺BCは共通 … ①
仮定より、
∠A=∠D … ②
∠ABC=∠DBC … ③
三角形の内角の和は180°なので、
∠ACB=180°-∠A-∠ABC … ④
∠DCB=180°-∠D-∠DBC … ⑤
②、③、④、⑤より、
∠ACB=∠DCB … ⑥
①、③、⑥より、
1辺(1組の辺)とその両端の角がそれぞれ等しい。
よって、△ABC≡△DBC
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、AB=DBである。
図において、∠A=∠D、∠ABC=∠DBC
とする。このとき、AB=DBであることを証明せよ。
S09A 4
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A B
C D
M
A B
C D
M
A B
C D
M
△AMDと△BMCにおいて
仮定より、
AM=BM … ①
∠MAD=∠MBC … ② (∠A=∠B)
∠AMC=∠BMD … ③
また、
∠AMD=∠AMC+∠CMD … ④
∠BMC=∠BMD+∠CMD … ⑤
③、④、⑤より、
∠AMD=∠BMC … ⑥
①、②、⑥より、
1辺(1組の辺)とその両端の角がそれぞれ等しい。
よって、△AMD≡△BMC
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、AD=BCである。
図において、点Mは線分ABの中点、∠A=∠B、
∠AMC=∠BMDである。
このとき、AD=BCであることを証明せよ。
(ポイント)
∠AMD=∠AMC+∠CMD
∠BMC=∠BMD+∠CMD
また、仮定より∠AMC=∠BMD
この3つから∠AMD=∠BMCを導く
ことができる。
S10A 3
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
E
C
D
A
B
E
C
D
A
B
E
C
D
△BCDと△CBEにおいて
仮定より、
BD=CE … ①
二等辺三角形ABCの底角なので、
∠CBD=∠BCE … ②
また、辺BCは共通 … ③
①、②、③より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△BCD≡△CBE
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、CD=BEである。
△ABCはAB=ACとする二等辺三角形である。
点D、EをBD=CEとなるようにとる。
このとき、CD=BEであることを証明せよ。
S11A 1
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B E CD
A
B E CD
A
B E CD
△ABDと△ACEにおいて
△ABCは二等辺三角形なので、
AB=AC … ①
仮定より、
BD=CE … ②
二等辺三角形ABCの底角なので、
∠ABD=∠ACE … ③
①、②、③より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△ABD≡△ACE
合同な三角形の対応する辺は等しい。
ゆえに、AD=AEであり、
△ADEは二等辺三角形である。
二等辺三角形ABCがあり、底辺BC上にBD=CE
となるように2点D,Eをとる。このとき、
△ADEは二等辺三角形であることを証明せよ。
S12A 1
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
E F
CD
A
B
E F
CD
A
B
E F
CD
△BDEと△CDFにおいて
仮定より、
BE=CF … ①
BD=CD … ②
二等辺三角形ABCの底角なので、
∠B=∠C … ③
①、②、③より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△BDE≡△CDF
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、DE=DFであり、
△DEFは二等辺三角形である。
AB=ACである二等辺三角形ABCにおいて、
AB上に点E、AC上に点FをBE=CFとなる
ようにとる。底辺BCの中点をDとするとき、
△DEFは二等辺三角形であることを証明せよ。
S13A 1
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
E
F
CD
A
B
E
F
CD
A
B
E
F
CD
△BDFと△CEDにおいて
仮定より、
BD=CE … ①
BF=CD … ②
△ABCの底角なので、
∠DBF=∠ECD … ③
①、②、③より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△BDF≡△CED
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、DF=EDであり、
△DEFは二等辺三角形である。
AB=ACである二等辺三角形ABCの底辺BC上に
点Dを、また辺AC、AB上にそれぞれ点E、点Fを
とり、FB=DC、BD=CEとする。このとき、
△DEFは二等辺三角形であることを証明せよ。
S14A 1
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
E
C
DP
A
B
E
C
DP
A
B
E
C
DP
△EBCと△DCBにおいて
仮定より、
AB=AC … ①
AE=AD … ②
EB=AB-AE … ③
DC=AC-AD … ④
①、②、③、④より、
EB=DC … ⑤
二等辺三角形ABCの底角なので、
∠EBC=∠DCB … ⑥
また、BCは共通 … ⑦
⑤、⑥、⑦より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△EBC≡△DCB
合同な三角形の対応する角の大きさは等しい。
ゆえに、∠ECB=∠DBCであり、
△PBCにおいては底角が等しいので、
△PBCは二等辺三角形である。
AB=ACである二等辺三角形の辺AC、AB上に、
それぞれ点D,点EをAD=AEとなるようにとる。
BDとCEの交点をPとするとき、
△PBCは二等辺三角形であることを証明せよ。
S15A 3
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
A’
B C
A
A’
B CD
A
A’
B CD
AA’とBCとの交点をDとする。
△ABA’と△ACA’において
仮定より、
AB=AC … ①
A’B=A’C … ②
また、AA’は共通 … ③
①、②、③より、
3辺(3組の辺)がそれぞれ等しい。
よって、△ABA’≡△ACA’
合同な三角形の対応する角の大きさは等しい。
ゆえに、∠BAA’=∠CAA’であり、
AA’は二等辺三角形ABCの∠Aの二等分線
であるから、AA’はBCを垂直に2等分する。
底辺BCを共有する2つの二等辺三角形をABC、
A’BCとするとき、AA’はBCを垂直に
2等分することを証明せよ。
S16A 2
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
E C
DA
B
E C
DA
B
E C
DA
B
△ABCと△EADにおいて
仮定より、
AB=EA … ①
平行四辺形の対辺の長さは等しいので、
BC=AD … ②
二等辺三角形ABEの底角は等しいので、
∠ABC=∠AEB … ③
また、BC//ADより、錯角は等しいので、
∠AEB=∠EAD … ④
③、④より
∠ABC=∠EAD … ⑤
①、②、⑤より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△ABC=△EADである。
平行四辺形ABCDがあり、辺BC上にAB=AE
となる点Eをとる。
このとき、△ABC≡△EADであることを証明せよ。
S17A 3
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
E
C
D
D
D
A
B
E
C
A
B
E
C
A
B
△ABDと△ACEにおいて
仮定より、
AB=AC … ①
AD=AE … ②
∠BAC=∠DAE … ③
また、
∠BAD=∠BAC+∠CAD … ④
∠CAE=∠CAD+∠DAE … ⑤
③、④、⑤より
∠BAD=∠CAE … ⑥
①、②、⑥より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△ABD≡△ACE
合同な三角形の対応する辺は等しい。
ゆえに、BD=CEである。
△ABCはAB=ACの二等辺三角形、△ADEは
AD=AEの二等辺三角形である。∠BAC=∠DAE
ならば、BD=CEであることを証明せよ。
(ポイント)
∠CADが共通であることに気がつけば、
∠BAD=∠CAEであることがわかる。
S18A 2
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B C
D
E
A
B CKF
D
EA
B CKF
D
E
BCとDEの交点をKとする。また、Dを通りAEに
平行な直線を引き、BCとの交点をFとする。
△DFKと△ECKにおいて
DF//CEなので
∠FDK=∠CEK(錯角) … ①
∠DFK=∠ECK(錯角) … ②
∠DFB=∠ACB(同位角) … ③
AB=ACより、△ABCは二等辺三角形であり、
底角は等しいので、
∠ACB=∠ABC … ④
③、④より
∠DFB=∠ABC
よって、△DBFは二等辺三角形であり、
BD=FD … ⑤
仮定より、
BD=CE … ⑥
⑤、⑥より、
FD=CE … ⑦
①、②、⑦より
1辺(1組の辺)とその両端の角がそれぞれ等しい。
よって、△DFK≡△ECK
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、DK=EKであり、
DEはBCで2等分される。
図において、AB=AC、BD=CEのとき、
DEはBCで2等分されることを証明せよ。
S19A 5
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A BC
D
E
A BC
D
E
A BC
D
E
△ACDと△CBEは正三角形なので
AC=DC … ①
CE=CB … ②
∠ACD=∠ECB=60° … ③
△ACEと△DCBにおいて
∠ACE=∠ACD+∠DCE … ④
∠DCB=∠ECB+∠DCE … ⑤
③、④、⑤より
∠ACE=∠DCB … ⑥
①、②、⑥より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△ACE≡△DCB
合同な三角形の対応する辺は等しい。
ゆえに、AE=DBである。
線分AB上に点Cをとり、AC、CBをそれぞれ
1辺とする正三角形ACDと正三角形CBEをとる。
このとき、AE=DBとなることを証明せよ。
S20A 2
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
AB
C
D
E
AB
C
D
E
AB
C
D
E
△BDAと△CEAにおいて
△ABCと△ADEは正三角形なので、
AB=AC … ①
AD=AE … ②
∠BAC=∠DAE=60° … ③
また、
∠BAD=∠BAC+∠DAC … ④
∠CAE=∠DAE+∠DAC … ⑤
③、④、⑤より、
∠BAD=∠CAE … ⑥
①、②、⑥より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△BDA≡△CEA
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、BD=CEである。
△ABCと△ADEが正三角形のとき、
BD=CEであることを証明せよ。
S21A 2
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B C
A
C
DE
B
DE
B
DE
A
C
△ABDと△CBEにおいて
△ABC、△DBEは正三角形なので、
AB=CB … ①
BD=BE … ②
また、
∠DBA=∠DBE-∠ABE=60°-∠ABE
∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-∠ABE
したがって、∠DBA=∠EBC … ③
①、②、③より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△ABD≡△CBE
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、AD=CEである。
図において、△ABCと△DBEは正三角形
であるとき、AD=CEであることを証明せよ。
S22A 2
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
C
DE
A
B
C
DE
A
B
C
DE
△BEAと△DCAにおいて
△ABDと△ACEは正三角形なので、
AB=AD … ①
AE=AC … ②
また、
∠BAE=∠CAE+∠BAC
=60°+∠BAC
∠DAC=∠DAB+∠BAC
=60°+∠BAC
よって、∠BAE=∠DAC … ③
①、②、③より
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△BEA≡△DCA
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、BE=DCである。
図において、△ABD、△ACEが正三角形のとき、
BE=DCであることを証明せよ。
S23A 2
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
EA
B C D
EA
B C D
EA
B C D
△ABDと△ACEにおいて
仮定より
BD=CE … ①
△ABCは正三角形だから、
AB=AC … ②
∠ABD=∠BAC … ③
AB//ECより、錯角は等しいから、
∠BAC=∠ACE … ④
③、④より
∠ABD=∠ACE … ⑤
①、②、⑤より
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△ABD≡△ACE
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、AD=AEである。
図のように、正三角形ABCの辺BCを延長して、
その上に点Dをとる。次に、頂点Cを通るABに
平行な直線を引き、その線上にBD=CEとなる
点Eをとる。
このとき、AD=AEであることを証明せよ。
S 2 4 A 3
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
D
E
F
B C
A
D
E
F
B C
A
D
E
F
B C
A
D
E
F
B C
仮定より、
AD=BE=CF … ①
CA=AB=BC … ②
∠A=∠B=∠C … ③
また、
FA=CA-CF … ④
DB=AB-AD … ⑤
EC=BC-BE … ⑥
△ADFと△BEDにおいて
①、②、④、⑤より、
FA=DB … ⑦
①、③、⑦より
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△ADF≡△BEDであり、DF=ED
… ⑧
次に、△BEDと△CFEにおいて
①、②、⑤、⑥より、
DB=EC … ⑨
①、③、⑨より
2辺とその間の角がそれぞれ等しい。
よって、△BED≡△CFEであり、
ED=FE … ⑩
⑧、⑩より、DF=ED=FEであり、
△DEFは正三角形である。
図のように、正三角形ABCの辺AB、BC、CA上に、
それぞれ点D、E、FをAD=BE=CFとなるように
とると、△DEFも正三角形になることを証明せよ。
S25A 3
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
D
EF
C
A
D
EF
B
B
C
A
D
EF
B C
A
D
EF
B C
A
D
EF
B C
△AFE、△BDF、△CEDは
2辺が等しく、その間の角が60°なので、
△AFE≡△BDF≡△CED
また、これらは正三角形である。
よって、△DEFは3辺がまわりの正三角形の1辺
に等しい正三角形となる。
ゆえに、正三角形ABCは、DF、FE、EDにより
4つの合同な正三角形に分けられる。
正三角形ABCの辺BC、CA、ABの中点をそれぞれ
点D,E、Fとし、3点D,E,Fを順に結ぶと、
正三角形ABCは4つの合同な正三角形に分けられる
ことを証明せよ。
S26A 3
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
Q
P
R
B C
A
Q
P
R
B C
A
Q
P
R
B C
△PBCと△RACにおいて
△ABC、△RPCは正三角形なので
BC=AC … ①
PC=RC … ②
また、
∠PCB=60°-∠ACP
∠RCA=60°-∠ACP
したがって、∠PCB=∠RCA … ③
①、②、③より、
2辺(2組の辺)とその間の角がそれぞれ等しい。
△PBC≡△RAC
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、PB=RA … ④
また、△QBPは正三角形なので、
PB=PQ … ⑤
④、⑤より、PQ=RAである。
正三角形ABCの内部に点Pをとり、PBを1辺
とする正三角形QBPとPCを1辺とする
正三角形RPCをつくる。そして、点Aと点Q、
点Aと点Rをそれぞれ直線で結ぶ。
このとき、PQ=RAであることを証明せよ。
(ポイント)
PQ=RAを含む合同な三角形はないので、
一旦、PB=RAを示すと良い。
S27A 5
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
C
E
A
B F
E
F
E
F
D
C
A
B
D
C
A
B
D
△BCEと△DCFにおいて
仮定より、
BE=DF … ①
BC=DC … ②
∠BCE=∠DCF=90° … ③
①、②、③より、
直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
よって、△BCE≡△DCF
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、CE=CFである。
点Eは正方形ABCDの辺CD上の点、
点Fは辺BC上の点でBE=DFである。
このとき、CE=CFであることを証明せよ。
S 2 8 A 2
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
P
O
N
M
A
B
P
O
N
M
A
B
P
O
N
M
△POMと△PONにおいて
仮定より、
∠PMO=∠PNO=90° … ①
PM=PN … ②
また、
POは共通 … ③
①、②、③より、
直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等し
い。よって、△POM≡△PON
合同な三角形の対応する角は等しい。
ゆえに、∠POM=∠PONであり、
点Pは∠AOB(∠O)の二等分線上にある。
∠AOB内の点Pから辺OA、OBに引いた垂線を
PM、PNとするとき、PM=PNならば、
点Pは∠O の二等分線上にあることを証明せよ。
S29A 2
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A B
HX
K
M
A B
HX
K
M
A B
HX
K
M
△AMHと△BMKにおいて
仮定より、
∠AHM=∠BKM=90° … ①
AM=BM(Mは線分ABの中点) … ②
∠AMH=∠BMK(対頂角) … ③
①、②、③より、
直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。
よって、△AMH≡△BMK
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、AH=BKである。
線分ABの中点Mを通る直線Xに、線分ABの
両端から垂線AH、BKをそれぞれ引く。
このとき、AH=BKであることを証明せよ。
S30A 2
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B D
C
A
B D
C
A
B D
C
直線ACを引く。
△BCAと△DCAにおいて
仮定より、
∠ABC=∠ADC=90° … ①
AB=AD … ②
また、
ACは共通 … ③
①、②、③より、
直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
よって、△BCA≡△DCA
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、BC=DCである。
四角形ABCDはAB=AD,∠B=∠D=90°
である。このとき、BC=DCであることを証明せよ。
S31A 1
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
D E
MC
A
B
D E
MC
A
B
D E
MC
△BMDと△CMEにおいて
仮定より
∠MDB=∠MEC=90° … ①
BM=CM … ②
MD=ME … ③
①、②、③より、
直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
よって、△BMD≡△CME
合同な三角形の対応する角は等しい。
ゆえに、∠B=∠C(△ABCの底角が等しい)
であり、△ABCは二等辺三角形である。
図のように△ABCのBCの中点Mから、
AB,ACに垂線を引き、AB、ACとの
交点をそれぞれD,Eとする。
このとき、MD=MEであれば、
△ABCは二等辺三角形であることを証明せよ。
1S32A
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
DE
C
A
B
DE
C
A
B
DE
C
△CBEと△BCDにおいて
仮定より
∠BEC=∠CDB=90° … ①
∠EBC=∠DCB(二等辺三角形の底角) … ②
BCは共通 … ③
①、②、③より、
直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい。
よって、△CBE≡△BCD
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、BE=CDである。
AB=ACの二等辺三角形ABCがある。B、Cから、
それぞれAC、ABに垂線BD、CEを引くとき、
BE=CD であることを証明せよ。
1S33A
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
F
F
F
B
DE
C
A
B
DE
C
A
B
DE
C
△DBCと△ECBにおいて
仮定より、
∠BDC=∠CEB=90° … ①
BCは共通 … ②
二等辺三角形ABCの底角なので、
∠BCD=∠CBE … ③
①、②、③より、
直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。
よって、△DBC≡△ECB
合同な三角形の対応する角は等しい。
ゆえに、∠DBC=∠ECB
したがって、△FBCは2つの角が等しいので
二等辺三角形であり、BF=CFである。
AB=ACの二等辺三角形ABCがある。
頂点B,CからそれぞれAC、ABに垂線BD、CE
を引き、BD、CEの交点をFとする。
このとき、BF=CFであることを証明せよ。
(ポイント)
△BFEと△CFDの合同は、条件が足りないため
すぐには証明できない。△FBCが二等辺三角形で
あることを証明すると良い。
△DBC≡△ECB
↓
∠DBC=∠ECB
↓
∠FBC=∠FCB
4S34A
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
B
D
E C
B
D
E C
A
A
A
B
D
E C
△DAEと△CAEにおいて
仮定より、
∠ADE=∠ACE=90° … ①
AD=AC … ②
AEは共通 … ③
①、②、③より、
直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
よって、△DAE≡△CAE
合同な三角形の対応する角は等しい。
ゆえに、∠DAE=∠CAEであり、
AEは∠BACを2等分する。
図のように、直角三角形ABCで、BC上に
AD=ACとなる点Dをとり、Dを通るABに
垂直な線を引き、BCとの点をEとする。
このとき、AEは∠BACを2等分することを証明せよ。
(ポイント)
・仮定
△ABCは直角三角形
AD=AC DE⊥AB
・結論
AEは∠BACを二等分する
△DAE≡△CAE
↓
∠DAE=∠CAE
↓
AEは∠BACを二等分する
2S35A
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
D
E
F
C
A
B
D
E
F
C
A
B
D
E
F
C
△ABEと△CDFにおいて
仮定より、
∠AEB=∠CFD=90° … ①
AB//DCより、錯角は等しいので、
∠ABE=∠CDF … ②
平行四辺形の向かい合う辺は等しいから、
AB=CD … ③
①、②、③より、
直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい。
よって、△ABE≡△CDFである。
平行四辺形ABCDの頂点A、Cから対角線BDに
垂線AE、CFをそれぞれ引くとき、
△ABE≡△CDFであることを証明せよ。
2S36A
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
DX
E
C
A
B
DX
E
C
A
B
DX
E
C
△ABDと△CAEにおいて
仮定より、
∠ADB=∠CEA=90° … ①
AB=CA … ②
また、三角形の内角の和は180°なので、
∠DBA=180°-∠ADB-∠DAB
=180°-90°-∠DAB
=90°-∠DAB
∠EAC=180°-∠CAB-∠DAB
=180°-90°-∠DAB
=90°-∠DAB
したがって、
∠DBA=∠EAC … ③
①、②、③より、
直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい。
よって、△ABD≡△CAEである。
直角二等辺三角形ABCの頂点Aを通る直線Xに
垂線BD、CEを引いたとき、△ABD≡△CAE
であることを証明せよ。
3S 3 7 A
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
D
CE
A
B
D
CE
A
B
D
CE
△ABDと△EBDにおいて
仮定より、
∠A=∠DEB=90° … ①
∠ABD=∠EBD … ②
また、
DBは共通 … ③
①、②、③より、
直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい。
よって、△ABD≡△EBD
合同な三角形の対応する辺の長さは等しい。
ゆえに、AD=ED … ④
次に、△DECにおいて
△ABCは直角二等辺三角形なので∠C=45°
∠CDE=90°-∠C=45°
よって、△DECは直角二等辺三角形なので、
DE=EC … ⑤
④、⑤より、
AD=DE=ECである。
∠A=90°の直角二等辺三角形ABCの底角Bの
二等分線がACと交わる点をDとし、DからBCに
引いた垂線をDEとする。
このとき、AD=DE=ECであることを証明せよ。
3S38A
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
B’
C
C’
A
B
B’
C
C’
A
B
B’
C
C’
△ABB’と△CAC’において
仮定より
AB=CA … ① (直角二等辺三角形ABCの辺)
∠BB’A=∠AC’C=90° … ②
また、
∠BAB’=90°-∠CAC’
∠ACC’=90°-∠CAC’
ゆえに、∠BAB’=∠ACC’ … ③
①、②、③より、
直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい。
よって、△ABB’≡△CAC’
合同な三角形の対応する辺の長さは等しいので、
BB’=AC’
AB’=CC’
よって、BB’-CC’=AC’-AB’=B’C’
したがって、BB’-CC’=B’C’である。
∠A=90°の直角二等辺三角形ABCの頂点A
を通り、△ABCの内部を通る直線に頂点B,C
から垂線BB’、CC’を引く。
このとき、BB’-CC’=B’C’であることを証明せよ。
(ポイント)B’C’=AC’-AB’に気付いて、BB’=AC’、CC’=AB’をを示すと良い。
5S 3 9 A
【 問 題 】
【 証 明 】
ファイル名正三角形直角三角形 平行四辺形二等辺三角形三角形 その他 難易度正方形
A
B
C
MP
Q
A
B
C
MP
Q
A
B
C
MP
Q
△AMPと△CMQにおいて
△ABCは直角二等辺三角形だから、
∠B=∠C=45° … ①
AM⊥BCより、
∠AMC=∠AMB=90° … ②
①、②より、△ABMと△ACMは
直角二等辺三角形である。ゆえに、
∠MAP=∠MCQ(∠C)=45° … ③
MA=MC … ④
MP⊥MQであるから、
∠AMP=90°-∠AMQ … ⑤
AM⊥BCであるから、
∠CMQ=90°-∠AMQ … ⑥
⑤、⑥より、
∠AMP=∠CMQ … ⑦
③、④、⑦より、
1辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
よって、△AMP≡△CMQである。
図のように、直角二等辺三角形ABCの頂点Aから
斜辺BCに垂線AMを引く。点Mで垂直に交わる2つの
直線を引き、辺AB,ACとの交点をそれぞれ
P,Qとする。このとき、
△AMP≡△CMQであることを証明せよ。
4S40A