忆一忆填一填

1 、全等三角形的对应边 ---------, ，对应角 -----------

相等相等

2 、判定三角形全等的方法有：SAS 、 ASA 、 AAS 、 SSS

直角边 直角边

斜边

C B

A

直角三角形的两个锐角互余。

3 、认识直角三角形Rt△ABC

提出问题

舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住 , 无法测量。(1) 　你能帮他想个办法吗？

根据 SAS 可测量其余两边与这两边的夹角。根据 ASA,AAS 可测量对应一边和一锐角

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边 , 发现它们分别对应相等。于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”。

你相信这个结论吗？

（ 2 ）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗 ? 　

让我们来验证这个结论。

斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等

做一做 (见书本 P47)已知线段 a,c(a<c) ，利用直尺和圆规作 R

tΔABC ，使∠ C=Rt∠,CB=a,AB=c.按照步骤做一做：

（ 1 ）作∠ MCN=90°;（ 2) 在射线 CM 上截取线段 CB=a;（ 3) 以 B 为圆心 ,c 为半径画弧 , 交射线 CN 于点 A; （ 4 ）连接 AB.

B

A

a c

探索交流

(1) ABC△ 就是所求作的三角形吗？

（ 2 ）剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？

(3) 交流之后，你发现了什么？

如图在 Δ ABC 和 Δ A’B’C’ 中， ∠ C= ∠ C’=RT ∠ AB=

A’B’ ， AC=A’C’ 说明 Δ ABC 和 Δ A’B’C’ 全等的由。

分析： AC=A’C’ ，无论 RTΔ ABC 和 RTΔ A’B’C’ 的位置如何。我们总是可以通过作旋转、平移、轴对称变换得到图形，如图，即Ａ‘Ｃ’ 和ＡＣ重合，点Ｂ ' 和点Ｂ分别在Ａ

Ｃ两侧 .

B’

解∵ ∠ 1= 2=90 °∠∴ Ａ， C ， B' 在同一直线上， AC ⊥BB’

∵ AB=A'B'

∴ BC=B'C' （等腰三角形三线合一） ∵ AC=A'C' （公共边） ∴ RTΔABC RTΔA≌ 'B'C' （ SSS ）

Ｂ

Ｃ（Ｃ′）

Ｂ '

Ａ（Ａ‘）

获得新知

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 .

简写：“斜边、直角边”或“ HL”

∠C= C´=90°∠ A B=A´B´ A C= A´C´ （ 或 BC= B´C´ ）

B'C'

A'A

CB

∴Rt ABC Rt A´B´C´(H L)△ ≌ △

直角三角形全等的判定方法

∵

已知 :如图 ,D 是△ ABC 的 BC 边上的中点 ,DE⊥AC,DF⊥AB, 垂足分别为 E,F, 且 DE=DF.求证 : △ABC 是等腰三角形 .

分析 :要证明△ ABC 是等腰三角形 ,就需要证明 AB=AC; 进而需要证明∠ B∠C所在的△ BDF≌△CDE

;而△ BDF≌△CDE 的条件 :

从而需要证明∠ B=∠C;

BD=CD,DF=DE 均为已知 .因此 , △ABC 是等腰三角形可证 .

DB C

A

F E

请将证明过程规范化书写出来 .

学以致用

1. 如图，两根长度为 12 米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。

∵AB=AC （已知）AD=AD （公共边）

∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL) BD=CD∴

解： BD=CD

∵ ∠ADB= ADC=90°∠

学以致用

议一议1、 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑

梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ ABC 和∠DFE 大小有什么关系？

解：∵BC=EF, AC=DF.( 已知）

∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).∴∠ABC=∠DEF( 全等三角形对应角相等 ).

又∠ DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.

B

C

F

E

A D

∵ ∠A= D=90°∠ （已知）

2 如图， AC=AD ，∠ C=∠D=Rt ∠ ，你能说明∠ ABC 与∠ ABD 相等吗？

解： ∠ ABC= AB∠D

又∵ AB=AB( 公共边） AC=AD. （已知）

∴ Rt ACB Rt ADB (HL).△ ≌ △ ∴∠ABC= ABD∠ ( 全等三角形对应角相等 ).

D

C

A B∵∠C=∠D=90°( 已知）　

你还能得出什么结论？角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

你能用一个三角板作任意角的角平分线吗？

再过点 M 作 OA 的垂线 ,

如图 :在已知∠ AOB 的两边 OA,OB 上分别取点 M,N, 使 OM=ON;

过点 N 作 OB 的垂线 , 两垂线交于点 P,那么射线 OP就是∠ AOB 的平分线 .请你证明 OP平分∠ AOB.

A

B

O ●

●●P

M

N

已知 :如图 ,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON.求证 :∠AOP=∠BOP.

先把它转化为一个纯数学问题 :

做一做

已知△ ABC ，请找出一点 P ，使它到三边的距离都相等（只要求作出图形，并保留作图痕迹） .

A

B C

三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。

蓄势待发

驶向胜利的彼岸

如图 ,已知∠ ACB=∠BDA=900 , 要使△ ABC≌△BDA, 还需要增加一个什么条件 ?把它们分别写出来 .

增加 AC=BD;

议一议

A B

C D增加 BC=AD;增加∠ ABC= BAD ∠ ;增加∠ CAB= DBA ∠ ;

回味无穷 直角三角形全等的判定定理 :SAS,AAS,ASA,SSS,HL 综上所述 , 直角三角形全等的判定条件可归纳为

: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全

等 ; 两边对应相等的两个直角三角形全等 ; 切记 !!! 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 .

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