探索多边形的内角和与外角和

布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。

你知道正八边形的每一个内角是多少度吗 ?

三角形的定义：

　　在同一平面内，由不在同一在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连条直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形。接而成的图形。

探究 1

在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的图形叫做多边形。

　　　 　 在同一平面内，由不在同在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形次相接组成的图形叫做多边形。叫做多边形。

多边形的定义

……五边形 六边形 七边形

　 　 多边形按组成它的线段条数多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形…分成三角形、四边形、五边形………其中三角形是最简单的多边形。其中三角形是最简单的多边形。

　　　　如果一个多边形由如果一个多边形由 nn 条线段条线段组成，那么这个多边形就叫做组成，那么这个多边形就叫做 nn边形。边形。 3n

内角

对角线

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。

可表示为：五边形 ABCDE 或五边形AEDCB

A

B

C

D

E

外角

1

多边形的相关概念

顶点

边

多边形的分类 如图，画出四边形如图，画出四边形 ABCDABCD 的任何一条的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做同一侧，这样的四边形叫做凸四边形凸四边形。。

AA

BB

CC DD

AA

BB DDCC

四边形四边形 ABCDABCD是凹四边形，因为是凹四边形，因为画出边画出边 CDCD （或（或 BBCC ）所在直线，整）所在直线，整个四边形不都在这个四边形不都在这条直线的同一侧。条直线的同一侧。

你能看出下图中的这些多边形它们的边、角有什么特点吗？

认真观察认真观察：：

同一图形的内角都相等

同一图形的边都相等

正多边形的定义：

在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形。

如图中的多边形分别为：正三角形、正四边形 ( 即正方形 ) 、正五边形、正六边形、正八边形 .

来思考几个问题：来思考几个问题：1. 一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？

如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等 .

2. 一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？

如矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等，所以应该说：一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等。

任意四边形的内角和等于多少度 你是怎样得到的？

A

B

C

D

A

B C

D

2×180 º

=360 º

4×180 º-360º

=360 º

四边形的内角和是360º

3×180 º-180º

=360 º

A

B C

DA

B C

D

EP

连结多边形连结多边形不相邻不相邻的两个顶点的线段，的两个顶点的线段，叫做叫做多边形的对角线多边形的对角线。。

三角形三角形 六边形六边形四边形四边形 八边形八边形

……..

五边形五边形

请说出下列图形从某一顶点出发的对角线的条请说出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：数：

多边形的对角线

多边形的边数

图 形 从一个顶点引出的对角线条数

分割出的三角形的个数

多边形的内角和

3

4

5

6

…… …… …… …… ……

n (n-2)×180º

4× 180º

2× 180º

3× 180º

1× 180º0 11 2

2 3

3 4

n － 3 n － 2

nn 边形从一个顶点出发的对角线条边形从一个顶点出发的对角线条数为数为： ： 条条 (n≥3)(n≥3)

nn 边形共有对角线 条边形共有对角线 条 (n≥3)(n≥3)23)n(n

总结 2

(n(n －－ 3)3)

nn 边形内角和 边形内角和 (n≥3)(n≥3) 1802）（n

应用新知1 、求八边形的内角和的度数。

解：八边形的内角和是 (8-2)×1800= 10800

答：八边形的内角和的度数是1080o 。

2 、一个多边形内角和等于1260° ，它是几边形？解：设它是 n 边形，由题意得： （ n － 2 ） ×180 ＝ 1260 解之得 n ＝ 9答：它是九边形。

3. （ 1 ）你能算出正五边形的每个内角的度数吗？

（ 2 ）那么正六边形呢？正八边形呢？

正 n 边形的每个内角为：

108°108°

120°120° 135°135°（ 3 ）你能归纳一下，正多边形的内角度数是怎么算的吗？

能力训练：能力训练：1. 一个多边形的内角和为 2520° ，则多边形的边数为 _______ ．

2. 多边形得边数增加一条时，其内角和就增加 度

3 ．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ）A 540° B 280° C 1800° D 900°

4. 一个九边形的八个内角都是 140° ，那么，它的第九个内角为 _______ 度． 5. 五边形 ABCDE 中，若∠ A = ∠D = 90° ，∠B:∠C :∠E = 3:8:7 ，求∠ B,∠C ,∠E

6 、已知四边形 ABCD 中，∠ A∶∠B∶∠C ∶∠D =3:4:5:6 ，分别求出最大角和最小角的度数 .

解：依题意可设∠ A=3x° ，∠ B=4x° ， ∠ C=5x° ，∠ D=6x °, 由题意得：

3x+4x+5x+6x=(4-2)×18018x=2×180

x=20

答：最大角和最小角分别为 120°,60°.

∴∠A=3x°= 60° ∠B=4x°= 80° ∠C=5x°=100° ∠D=6x °= 120°

清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。

（ 2 ）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？

（ 3 ）在图中，你能求出 1+ 2+ 3+ 4+ 5 吗？你是怎样得到的？

（ 1 ）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？

A

B

C

D

E

A'

C'

D'

E'

B'Oβ γ

δθ

α

1

2

34

5

结论：

1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的和等于360ْ

想一想： 如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？

多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。

想一想：还有什么方法可以推导出多边形外角和公

式？

多边形的外角和等于 360 ْ

随着多边形的边数 n 的增加，它的外角和 ( ) A ．增加 B ．减小 C ．不变 D ．不定

议一议：例 1 ：一个多边形的内角和等于它

的外角和的 3 倍，它是几边形？

随堂练习： 1. 一个多边形的外角和都等于

60, 这个多边形是几边形 ?

解：设这个多边形的边数为 n ，由题意得： （ n － 2 ） × 180 ＝ 150× n 解之得 n ＝ 12 答：这个多边形的边数为 12 。

2. 已知一个多边形各个内角都相等，都等于 150° ，求这个多边形的边数 .

解法二：每个内角相应的外角度数是： 180o- 150°=30o

360o÷30o=12

所以多边形的边数是 12 。

4. 如果一个多边形的每一个外角等于 30°, 则这个多边形的边数是_____

A.12 B.9 C. 8 D.7

3. 如果一个正多边形的一个内角等于150°, 则这个多边形的边数是 _____A

12

现在大家应该知道 正八边形的每个内角的度数了吧 ! 是多少呢 ?

135°

你会了么？

谈谈收获1 、 n 边形的内角和等于 (n-2)×1800 ；

2 、多边形的外角和是 360 度；

3 、会运用多边形的内角和与外角和

解决有关问题；