1.1.1 任意角的概念

1 、角的概念初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形 .

这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是 [0º, 360º) ， 这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘” .

生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体 720º ，跳水运动员向内、向外转体 1080º ； 经过 1 小时，时针、分针、秒针各转了多少度？ 这些例子不仅不在范围 [0º, 360º) ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。

2 ．角的概念的推广⑴“ 旋转”形成角 一条射线由原来的位置 OA ，绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到另一位置 OB ，就形成角 α ． 旋转开始时的射线 OA 叫做角 α 的始边，旋转终止的射线 OB 叫做角 α 的终边，射线的端点 O 叫做角 α 的顶点．

B

AO

⑵ ．“正角”与“负角”、“ 0º 角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以 OA 为始边的角 α=210° ， β=

－ 150° ， γ=660° ，

2100

-1500

6600

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（ 0º ）．

角的记法：角 α 或可以简记成∠ α.

⑶ 角的概念扩展的意义：

用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了① 角有正负之分 ; 如： =210, = 150, =660.② 角可以任意大 ;

实例：体操动作：旋转 2 周（ 360×2=720

） 3 周（ 360×3=1080 ）③ 还有零角 , 一条射线，没有旋转 .

角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．

要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．

用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）

（ 2 ）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；

（ 1 ）旋转中心：作为角的顶点 .

（ 3 ）旋转量：

当旋转超过一周时，旋转量即超过 360º ，角度的绝对值可大于 360º . 于是就会出现 72

0º ， － 540º 等角度 .

3 ．“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于 x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如： 30 、 390 、 330 是第Ⅰ象限角， 300 、 60 是第Ⅳ象限角， 585 、 1300 是第Ⅲ象限角， 135 、 2000 是第Ⅱ象限角等

4 ．终边相同的角

⑴ 观察： 390 ， 330 角，它们的终边都与 30 角的终边相同 .

⑵ 探究：终边相同的角都可以表示成一个 0 到 3

60 的角与 k(k∈Z) 个周角的和： 390=30+360(k=1), 330=30360 (k= － 1)

30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4)

1770=305×360 (k= － 5)

⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合： {β| β=α+k·360º}(k Z)∈ 即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和

⑷ 注意以下四点：① k Z∈ ；② 是任意角；③ k·360º 与之间是“ +” 号，如 k·360º － 30º,

应看成 k·360º+( － 30º) ；④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差 360º 的整数倍 .

例 1. 在 0º 到 360º 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 .

(1) － 120º ； (2) 640º ； (3) － 950º12′.

解：⑴∵－ 120º= － 360º+240º ， ∴240º 的角与－ 120º 的角终边相同， 它是第三象限角．

⑵∵640º=360º+280º ， ∴280º 的角与 640º 的角终边相同， 它是第四象限角．

⑶ ∵ － 950º12’= － 3×360º+129º48’ ， ∴129º48’ 的角与－ 950º12’ 的角终边相同， 它是第二象限角．

例 2. 写出与下列各角终边相同的角的集合 S ，并把 S 中在－ 360º~720º 间的角写出来：

(1) 60º ； (2) － 21º ； (3) 363º14′.

解： (1) S={β| β=k·360º+60º (k Z) },∈ S 中在－ 360º ～ 720º 间的角是 － 1×360º+60º= － 280º ； 0×360º+60º=60º ； 1×360º+60º=420º ．

(2) S={β| β=k·360º － 21º (k Z) }∈ S 中在－ 360º ～ 720º 间的角是 0×360º － 21º= － 21º ； 1×360º － 21º=339º ； 2×360º － 21º=699º ．(3) β| β=k·360º+ 363º14’ (k Z) } ∈ S 中在－ 360º ～ 720º 间的角是 － 2×360º+363º14’= － 356º46’ ； － 1×360º+363º14’=3º14’ ； 0×360º+363º14’=363º14’ ．

课堂练习 1 ．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于 90º 的角是锐角吗？区间(0º,90º) 内的角是锐角吗？

答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于 90º 的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间 (0º,90º) 内的角是锐角．

2 ．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在 x 轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420º ， (2) － 75º ， (3)855º ， (4) － 510

º ． 答： (1) 第一象限角；

(2) 第四象限角，

(3) 第二象限角，

(4) 第三象限角 .

3 、已知 α,β 角的终边相同，那么 α － β 的终边在（ ） A x 轴的非负半轴上 B y 轴的非负半轴上 C x 轴的非正半轴上 D y 轴的非正半轴上

A

4 、终边与坐标轴重合的角的集合是（ ） A {β|β=k·360º (k Z) } ∈ B {β|β=k·180º (k Z) } ∈ C {β|β=k·90º (k Z) } ∈ D {β|β=k·180º+90º (k Z) } ∈

C

5 、已知角 2α 的终边在 x 轴的上方，那么 α

是 ( )

A 第一象限角 B 第一、二象限角 C 第一、三象限角 D 第一、四象限角

C

6 、若 α 是第四象限角，则 180º － α 是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角

C

7 、在直角坐标系中，若 α 与 β 终边互相垂直，那么 α 与 β 之间的关系是（ ） A. β=α+90o

B β=α±90o

C β=k·360o+90o+α,k Z ∈ D β=k·360o±90o+α, k Z∈

D

8 、若 90º<β<α<135º ，则 α － β 的范围是 __

________ ， α+β 的范围是 ___________;(0º,45º) (180º,270º)

9 、若 β 的终边与 60º 角的终边相同，那么在 [0

º,360º] 范围内，终边与角 的终边相同的角为______________;

3

解： β=k·360º+60º ， k Z.∈

所以 =k·120º+20º ， k Z.∈3

当 k=0 时，得角为 20º ，当 k=1 时，得角为 140º ，当 k=2 时，得角为 260º.