泰河学校 张维军

合作学习　　观察下图，∠ １＋ ∠ ２与 Rt∠ AOB 相等吗？你是怎么判断的呢？

　　如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。

　　如上图中， ∠ １与 ∠ ２互为余角， ∠ １是 ∠ ２的余角， ∠ ２也是∠ １的余角。

　　

互余的数量关系： ∠ а ＋∠ β ＝ ９０ °

数量关系 : ∠ １＋ ∠ ２＝ ９０ °

１２

１２

１

A

O B

再观察下图， ∠ ３＋ ∠ ４与∠ AOB 相等吗？你是怎么判断的呢？

　　如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。

　 如上图， ∠ ３与 ∠ ４互为补角， ∠ ３是 ∠ ４的补角， ∠ ４也是∠ ３的补角。

互补的数量关系 : ∠ а ＋∠ β ＝ 180 °

数量关系 :∠ 3 ＋∠ 4 ＝ 180 °

３４

３Ｏ

４Ａ Ｂ

３

填一填1 、若∠ 1 与∠ 2 互余， ∠ 1+ 2=∠ ° ，若∠ 1 与∠ 2 互补，则∠ 1+ 2=∠ 　　 ° 2 、 30° 角的余角为 　 ° ，补角为　 ° ， 75°30′ 的余角为 ，补角为 。 n°(0 ＜ n＜ 90) 的余角为 ，补角为 。

3 、如右图： O 是直线 AB 上一点， OC 是∠ AOB 的角平分线

①∠AOD 的余角是 ；

②∠AOD 的补角是 ；

③∠DOB 的补角是 。BOA

CD

90

180

60 15014°30′ 104°30′

90°-n°180°-n°

∠COD

∠BOD

∠AOD

10°55°75°100°145°

35°80°105°125°170°

10°15°35°55°115°

2. 已知 3 组角

A 组 B 组 C 组

（ 1 ）对 A 组中的每一个角，在 B 组中找到它的补角，并用线连结。

（ 2 ） B 组中有哪些角的余角在 C 组中？分别找出这些角，并用线连结。

连一连连一连

做一做

∵ ∠ １＋ ∠ ３＝ ４２ ° ＋ ４８ ° ＝９０ ° ，

∴ ∠ １与 ∠ ３互余 .

∵ ∠ １＋ ∠ ２＝ ４２ ° ＋ １３８ ° ＝１８０ ° ，

∴ ∠ １与 ∠ ２互补 .

１ . 如图，已知∠ １＝ 42° ，∠ ２＝ 138°,∠ ３＝ 48°问图中有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由。

１

２

３

２ . 如左图，点Ｏ为直线ＡＢ上一点， ∠ＡＯＣ＝Ｒ t ∠ ，　ＯＤ是∠ＢＯＣ　内的一条射线．图中有哪些角互补？有哪　些角互余？说明你的理由．

Ｏ Ｂ

ＤＣ

Ａ ∵ ∠ ＢＯＤ＋ ∠ＤＯＣ＝ ∠ＢＯＣ＝ ∠ＡＯＣ＝Ｒ t ∠

∴ ∠ ＢＯＤ与 ∠ＤＯＣ互余．

∵ ∠ ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ＝１８０　∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＤ＝１８０ ° ，

∴ ∠ ＡＯＣ与∠ＢＯＣ互补， ∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＤ互补．

3

通过上题，你是否发现同角的余角有怎样的关系？你能试着总结一下吗？

同角（或等角）的余角相等

4

1

2

A O B

C

D

E

条件 : AOC= EOD=Rt ∠ ∠ ∠

问题 1: 请找一下互余的角

问题 2: 这些角中有哪几个是 相等的 ?

练一练

如图：∠ A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°,∠A 与∠ BCD 有什么大小关系？为什么？B

C A

D 答：∠ A=∠BCD∵∠A+∠B=90° ∠BCD+∠B=90°

∴∠A=∠BCD

（同角的余角相等）

∴∠A=90°- ∠B

∠BCD=90°-∠B

想一想： ∠ 1 与∠ 2 互补，∠ 3 与∠ 4互补，若∠ 1= 3∠ ，那么∠ 2 和∠ 4 相等吗？为什么？由此你有能得出什么结论？

∵∠1 与∠ 2 互补，∠ 3 与∠ 4 互补答：∠ 2 和∠ 4 相等

又∵∠ 1=∠3

结论：同角（或等角）的补角相等∴∠2=∠4

∴∠2=180°-∠1 ，∠ 4=180°- ∠3

练一练

如图，直线 CD 经过点 O ，且 OC 平分∠ AOB 。试判断∠ AOD 与∠ BOD 的大小关系，并说明理由。

OD

A

B

C

答：∠ AOD=∠BOD∵∠AOD 与∠ AOC 互补， ∠ BOD 与∠ BOC 互补

∴∠AOD=180°- ∠AOC ∠BOD=180°-∠BOC

又∵ OC 平分∠ AOB

∴∠AOD=∠BOD（等角的补角相等）

∴∠AOC=∠BOC

例 已知一个角的补角是这个角的余角的 4 倍 , 求这个角的度数 .

解 : 设这个角为 x 度 , 则这个角的余角是 ________ 度 , 补角是 ________ 度 .

由题意 , 得 ___________ =____________,

解方程 , 得 x=60 ( 度 )

所以这个角的度数为 60 °

(90 – x)(180 – x)

(180 – x)

4 ( 90 – x )

1. 一个角的补角减去 20° 后，等于这个角的余角的 2 倍，求这个角的度数。

解 : 设这个角为 x 度 , 则这个角的余角是 ________ 度 , 补角是 ________ 度 .

由题意 , 得 _____________=____________,

解方程 , 得 x=20 ( 度 )

所以这个角的度数为 20 °

(90 – x)

(180 – x) (180 – x) － 20 2(90 – x)

　　互余的角 　　互补的角

数量关系

　　

　　　

对应图形

性质

C

D E

N

A O B

M

1 ＋ 2 ＝ 90° 1 ＋ 2 ＝ 180°

同角 ( 等角 ) 的余角相等

同角 ( 等角 ) 的补角相等

看谁思考的快！！　　 1 ．锐角的余角一定是锐角吗？　　 2 ．一个锐角和一个钝角一定互为补角吗？　　 3 ．一个角的补角比这个角的余角大多少度？　　 4 ．相等且互补的两个角各是多少度？　　 5 ．一个角的补角一定比这个角大吗？

一定

（不一定）

（大 90° ）

（ 90° 、 90° ）

（不一定）

×

1 、判断题：

(1) 互余的两个角必定都是锐角。 ( ) 　(2) ＝ 90° ，那么它是余角。 ( )

(3) 一个角的补角必定是钝角。 ( )

(4) 两个角互补，那么这两个角中，必定一个是锐角，另一个是钝角。 （　）　　　　　　　　　　　　　(5) 一个角的余角一定比这个角的补角小。 ( )

(6) 若 AOB 与 BOC 互补，则 A 、 O 、 C 同在一直线上。 ( )

　 ⑺若∠ 1+ 2+ 3=180°∠ ∠ ，那么∠ 1 、∠ 2 、∠ 3 互为　

　　补角　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　）×

作业布置

作业本 7.6

再 见