第十一章　三角形三角形的内角（第 2 课时）湖北省咸宁市咸安区教育局教研室 王格林

创设情境 提出问题

你能找出上图中所包含的直角三角形吗 ？

复习提问 引出新课 结合上述两幅图回答：什么样的三角形是直角三角形？ 什么是直角三角形的直角边和斜边？

有一个角等于 90° 的三角形 是直角三角形 . 夹直角的两条边叫直角边， 直角所对的边叫斜边 .

三角形用什么符号表示的？那么直 角三角形又可以用什么符号表示呢？

三角形 ABC 表示为：△ ABC ．直角三角形可以用符号： Rt △ ．如图直角三角形 ABC 表示为： Rt△ABC ．

复习提问 引出新课

合作探究 形成知识 各小组分别画出一个直角三角形，并用量角器分别量出所画的直角三角形两锐角∠ A 和∠ B 的大小，并求出∠ A+∠B 的值，依据三角形内角和定理对所求得的值进行说明．

于是我们可得：直角三角形两锐角互余．

Rt△ABC 中．∵∠A+∠B +∠C = 180° ， ( 三角形内角和定理）而∠ C = 90° ，

∴∠A+∠B = 90° ．

初步应用 巩固知识例 1 如 图 ∠ C=∠D=90° ， AD 、 BC 相 交 于 点E ，∠ CAE 与∠ DBE 有什么关系？为什么？分析：要想找∠ CAE 与∠ DBE 的关系，通过观察，它们是两个不同的直角三角形 (Rt△AEC Rt△BED) 中的锐角，只要找出另外两个锐角 (∠AEC 与∠ BED) 的关系即可 ．

初步应用 巩固知识答： ∠ CAE=∠DBE ．理由如下：∵ △ACE 中为直角三角形，∴ ∠CAE +∠CEA = 90° ，（直角三角形两锐角互余） 在 Rt△BDE 中，∠DBE +∠DEB = 90° ， （同理）

 ∵∠CEA =∠DEB ，（对顶角相等） ∴∠CAE =∠DBE ．（等角的余角相等）

类比猜测 深化提高

我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说明理由．已知：（如图）在△ ABC 中，∠A+∠B = 90°.求证：△ ABC 是直角三角形．

思考

证明：在△ ABC 中，∠A+∠B+∠C = 180° ，（三角形内角和定理）

 ∵∠A+∠B = 90° ，（已知） ∴∠C = 90° ， ∴△ABC 是直角三角形． ( 直角三角形定义）

结论：有两个角互余的三角形是直角三角形．

类比猜测 深化提高

初步应用 巩固知识

⑴Rt△ABC 中，∠ C= 90° ，∠ B=28° ，则∠ A= ______ ．⑵ 若∠ C =∠A+∠B, 则△ ABC 是 ______ 三角形．⑶ 在△ ABC 中∠ A=90° ，∠ B=3∠C ，求∠ B ，∠ C

的度数．

62°

直角

初步应用 巩固知识⑶ 解： 在△ ABC 中，

∵∠A=90° ． （已知） ∴∠B+∠C = 90° ．（直角三角形两锐角互余）

又∵ ∠ B=3∠C ． （已知） ∴∠C + 3∠C = 90° ．

∠C= 22.5° ∴∠B=3∠C = 67.5° ．（等量代换）

综合运用 深化提高例 2 在△ ABC 中 , 若∠ ACD =∠B ， CD⊥AB, △ABC

为直角三角形吗？试说明你的理由？

答：是直角三角形．

综合运用 深化提高理由如下：（如图）∵ CD⊥AB ． （已知）∴∠ADC= 90° ．（垂直定义）∴△ACD 是 Rt△ ．（直角三角形定义）

  ∴ ∠A +∠ACD = 90° ．（直角三角形两锐角互余）∵∠ACD =∠B ． （已知）∴∠A+∠B = 90° ． （等量代换） ∴△ABC 中为直角三角形．（两锐角互余的三角形是直角三角形）

综合运用 深化提高如图 在 Rt△ABC 中∠ ACB ＝ 90 °, D 、 E 分别在 AB 、AC 上，若∠ AED=∠B ，△ AED 为直角三角形吗？试说明理由．答 : 是直角三角形．

理由如下：（如图）∵在 Rt△ABC 中 ∠ C = 90° ．（已知）

∴∠A+∠B = 90° ．（直角三角形两锐角互余）∵∠AED =∠B ． （已知）∴∠A+∠AED = 90° ． （等量代换）∴△ADE 是直角三角形．（两锐角互余的三角形是直角三角形）

综合运用 深化提高

⑴ 师生一起回顾本节课所学的主要内容有哪些？① 直角三角形的性质 ． ②直角三角形的判定．⑵ 直角三角形的性质与判定之间什么区别与联系？

判定：在△ ABC 中，

∵∠A+∠B=90° ． ∴△ABC 是直角三角形．

性质：在 Rt△ABC 中，∵∠C =90° ．∴∠A+∠B=90° ．

回顾总结 反思提升

课后作业

作业：教科书第 16 页习题第 4 ，第 17 页习题 10 题．