第七章第 3 课时：

解直角三角形的应用 要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练

要点、考点聚焦1. 本课时重点是把实际问题转化为数学问题 .

图 7-3-1

2. 仰角、俯角在我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角 (如图 7-3-1 所示 ).

3 ．坡度 ( 坡比 ) 、坡角

图 7-3-2 

(1) 坡度也叫坡比，用 i 表示即 i=hl ， h 是坡面的铅直高度， l 为对应水平宽度，如图 7-3-2 所示(2) 坡角：坡面与水平面的夹角 .(3) 坡度与坡角 (若用α表示 )的关系： i=tan α.

4 ．方向角

5．命题方向运用解直角三角形知识解决与生活、生产有关的应用题是近年来中考的热点题型，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，以综合题出现的考题也有上升趋势 .

课前热身1 ． (2003 年·北京市 )如图 7-3-3 所示， B、 C 是河对岸的两点， A 是对岸岸边一点，测量∠ ABC=45° ∠， ACB=45°， BC=60米，则点 A 到 BC的距离是 米。

图 7-3-3

30

2 ． (2003 年·宁夏 )在倾斜角为 30° 的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为 3米，那么，相邻两棵树间的斜坡距离为 米 . 2 3

3 ．如图 7-3-4 所示，某地下车库的入口处有斜坡 AB ，其坡度 i=1∶1 5 ，且 AB= m.

图 7-3-4

13

4 ．升国旗时，某同学站在离旗杆底部 20米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为 30° ，若双

眼离地面 1.5 米，则旗杆高度为 米(用含根号的式子来表示 ).

3

320 +1.5

5 ．如图 7-3-5 所示，一渔船上的渔民在 A 处看见灯塔 M在北偏东 60° 方向，这艘渔船以 28海里 /时的速度向正东航行，半小时至 B 处，在 B 处看见灯塔 M 在北偏东 15°方向，此时灯塔 M 与渔船的距离是 ( )

图 7-3-5

A． 72海里 B.142海里C.7海里 D.14海里

A

典型例题解析【例 1】 (2003 年·四川省 )某中学初三年级开展数学实践活动，测量位于成都市城东猛追湾处的四川电视塔的高度，由于该塔还没有完成内外装修而周围障碍物密集，于是在它不远处开阔地带的 C 处测得电视塔顶点 A 的仰角为 45° ，然后向电视塔的方向前进 132 米到达 D 处，在 D处测得顶点 A 的仰角为 60° ，如图 7-3-6 所示，求四川电视塔的高度约为多少米 ?(计算结果保留 1 位小数，供选用的数据： 2≈1.41 ， 3≈1.73)

图 7-3-6 ( 缺 )

【解析】这是解实际问题常见的，如测电视塔的高度，山的高度等对于仰俯角的问题，必然要弄清仰俯角的概念，实质上就是 解 直 角 三 角 形 ， 对 于 此 题 ，就是 解Rt△ABC·Rt△ADB.解：由于∠ ACB=45° AB=CB.∠ADB=60° ∠DAB=30°. 设 DB=k ， AD=2k ， 则AB=3k.

∴132+k= k3 k=66 )13( AB= 3k=66(3+ 3 )

≈312

【例 2】 (2003 年·盐城 )如图 7-3-7 所示， Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 AB的长为 12m，它的坡角为 45° ，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造坡比为 1∶15 的斜坡 AD，求 DB的长 .(结果保留根号 )

图 7-3-7

【解析】坡比的概念常用于防洪大堤的改造或水渠中迎水坡背水坡的改造，坡比是坡角的正切值，仍然要找直角三角形，如图所示的 Rt△ABC中可以得到 BC=AC，在Rt△ADC

中由 iAD= 5.1

1，故可以设 AC=k， DC=1.5k，由 AB=12

AC=BC=k=6 2 DC=9 2 DB=9 2 -6 2 =3 2

【例 3 】 (2003 年 ·贵阳市 ) 如图 7-3-8 所示，某货船以 20 海里 / 时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货 .此时，接到气象部门通知，一台风中心正以 40 海里 / 时的速度由 A 向北偏西 60° 方向移动，距台风中心 200 海里的圆形区域 (包括边界 )均会受到影响 .(1) 问： B 处是否会受到台风的影响 ?请说明理由 .(2) 为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货

物 ?(供选用数据： ≈1.4 ， ≈1.7)

图 7-3-8

【解析】这是一道与实际生活紧密相关的题目，结论不确定，具有一定的探索性 . (1)B 处是否会受到台风的影响，只要求出点 B 到 AC的最短距离与台风中心半径相比较即可，故应过 B 作BD⊥AC于 D.AB=20×16=320 ∠， CAB=30° BD=160 ＜200 ∴B 处受台风中心影响 . (2)台风对 B 处若有影响，则 B 处到台风中心的距离不大 于 200 海里，则 BE≤200，则 DE=120， AD=1603.

要在台风到来之前卸完货物，必须在 40

1203160

=3.8 小时内卸完货物 .

方法小结：

1 ．把实际问题转化成数学问题，这个转化为两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系 .

2 ．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形 .

课时训练

2

355

一、课堂反馈

1 ． (2003 年·河南省 )如图 7-3-9所示，为了测量河对岸的旗杆 AB的高度，在点 C 处测得旗杆顶端 A 的仰角为30° ，沿 CB方向前进 5米到达 D 处，在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为

45° ，则旗杆 AB的高度是 米。

图 7-3-9

2 ．如图 7-3-10 所示，在坡角为 30° 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需 ( )A． 4m B.6m C． (6+2 )m D.(2+2 )m

图 7-3-10

D

3. 某段公路，每前进 100m，路面就上升 4m，则路面的坡度为 ( )

A.

B.

C.22° D.

50

125

1

156

39

4. 如图 7-3-11 所示，是某市的一块三角形空地，准备在上面种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为 a 元，则购买这种草皮至少需要 ( )A.450a元 B.225a元C.150a元 D.300a元

图 7-3-11

D

C

5. 如图 7-3-12 所示，挂着“庆祝国庆”条幅的氢气球升在广场上空，已知气球的半径为 2m，在地面 A 点测得气球 中 心 O 的 仰 角 为 60° ， 测 得 气 球 的 视 角∠ BAC=2°(AB 、 AC是⊙ O 的切线， B 、 C 为切点 ) ，则 气 球 中 心 O 离 地 面 的 高 度 OD 为 (sin 1°=0 0175 ， 3=1 732 ，结果精确到 1m)( )A.94m B.95mC.99m D.105m

图 7-3-12

C

6. 如图 7-3-13 所示，水坝的横断面是等腰梯形，斜坡 AB的

坡度 i=1∶3，斜坡 AB的水平宽度 BE=3 m， AD=2m，求

∠ B，坝高 AE及坝底宽 BC.

3

解：由 i=1∶3可知∠ B=30°又∵ BE= ，3∴ AE=1.过点 D 作 DF⊥BC于 F.由四边形 ABCD为等腰梯形可知 FC= 。

3

又∵ EF=AD=2，∴BC=BE+EF+FC= 3 +2+ 3 =2 3 +2.

本课时到此结束