第 24 课时　解直角三角形的应用

第 24课时　解直角三角形的应用

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第 24课时┃考点聚焦

考点聚焦

考点　解直角三角形的应用常用知识

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仰角和俯角

仰角俯角

在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角

坡度和坡角

坡度坡面的铅直高度 h和水平宽度 l的比叫做坡面的坡度 (或坡比 )，记作 i＝ ________

坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α.i＝ tanα，坡度越大， α角越大，坡面 ________

h l∶ 　

越陡

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方向角(或方位角 )

定义指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角

图例


命题角度：1 ．计算某些建筑物的高度 ( 或宽度 ) ；2 ．将实际问题转化为直角三角形问题．

探究一、利用直角三角形解决和高度 ( 或宽度 ) 有关的问题

归类探究

第 24课时┃归类探究

例 1． [2013• 徐州 ] 如图 24－ 1 所示，为了测量某风景区内一座塔 AB 的高度，小明分别在塔的对面一楼房 CD 的楼底 C ，楼顶 D 处，测得塔顶 A 的仰角为 45°和 30° ，已知楼高 CD为 10 m ，求塔的高度 ( 结果精确到 0.1 m) ．(参考数据： 2≈ 1.41， 3≈ 1.73)

图 24－ 1



解析构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段．

解：过点D作DE⊥AB于点 E，得矩形 DEBC，

设塔高 AB＝x m，则 AE＝(x－10)m，

在 Rt△ ADE中 ∠， ADE＝30° ，

则 DE＝ 3(x－10)米，

在 Rt△ ABC中 ∠， ACB＝45° ，

则 BC＝AB＝x，

由题意得， 3(x－10)＝x，

解得：x＝15＋5 3≈23.7.即 AB≈23.7米．

答：塔的高度为 23.7米．考点聚焦归类探究回归教材


方法点析　在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：

①不同地点看同一点(如图24－2)； ②同一地点看不同点(如图24－3)；

图24－2 图24－3

③利用反射构造相似(如图24－4)．

图24－4


命题角度：1 ．利用直角三角形解决方位角问题；2 ．将实际问题转化为直角三角形问题．

探究二、利用直角三角形解决航海问题


例 2． [2013• 广州 ] 如图 24－ 5 所示，在东西方向的海岸线MN 上有 A、 B 两艘船，均收到已触礁搁浅的船 P 的求救信号，已知船 P 在船 A 的北偏东 58° 方向，船 P 在船 B 的北偏西 35°

方向， AP 的距离为 30 海里．(1) 求船 P 到海岸线 MN 的距离 ( 精确到 0.1 海里 ) ；



解析　　△ ABP 不是直角三角形，可过点 P作 PD BC⊥ 于点 D ，构造 Rt APD△ 和 Rt PBD.△ 然后分别解 Rt APD△ 和 Rt PBD△ ，即可求得答案．

(2)若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．

图24－5



解析 (1)如图，过点 P作 PD⊥AB于点 D，

由题意，得∠PAB＝90° －58° ＝32° ，

∠PBD＝90° －35° ＝55° ，AP＝30，

在 Rt△ ADP中，sin∠PAD＝PDAP，

得 PD＝AP· sin∠PAD，即 PD＝30· sin32° ≈ 15.9.

答：船 P到海岸线MN的距离约为 15.9海里．



解析 (2)在 Rt△ BDP 中，sin∠PBD＝

PDBP，PD＝

BP· sin∠PBD，即 15.9≈PD· sin55° ，PD≈ 19.4，

因为3020>

17.915 ，所以船 B先到达 P处．

答：船 B先到达船 P处．


命题角度：1 ．利用直角三角形解决方位角问题；2 ．将实际问题转化为直角三角形问题．

探究三、利用直角三角形解决坡度问题


例 3． [2013• 安徽 ] 如图 24－ 6

所示，防洪大堤的横截面是梯形ABCD ，其中 AD BC∥ ，坡角 α＝60° ，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角 β＝ 45°. 若原坡长 AB＝ 20 m ，求改造后的坡长 AE.( 结果保留根号 )

图 24－ 6



解析过点 A作 AF⊥CE于点 F，在 Rt△ ABF中，AB＝

20，运用三角函数关系可求 AF，同样在 Rt△ AEF中，也可

求 AE.

解：过点 A作 AF⊥CE于点 F，在 Rt△ ABF中，AB＝20，

∵ sinα ＝AFAB，∴ AF＝20×

32 ＝10 3.在 Rt△ AEF中，∵

sinβ＝AFAE，∴ AE＝

10 32

2

＝10 6(m).


教材母题

测气球高度

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为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为 27° ，然后他向气球方向前进了 50 m ，此时观测气球，测得仰角为 40°. 若小明的眼睛离地面 1.6 m ，小明如何计算气球的高度呢 ( 精确到 0.1 m)?

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解析　　如图 24－ 7 ，点 C 表示气球的位置，点 A、 B 表示小明两次观测气球的位置，点 A、 B、 D 在一条直线上 .

CD AD⊥ ， CD 的长与小明的眼睛离地面的高度的和即为所求的气球的高度．

要计算 CD ，可以利用 Rt ACD△ 及 Rt BCD△ ，先找出 BD、 CD

与已知量的数量关系，再计算 CD.

图 24 － 7



解析如图24－7所示，由题意知 ∠， CAD＝27° ∠， CBD＝40

° ，AB＝50 m，点A、B、D在一条直线上，CD⊥AD.设BD＝x m，CD

＝h m，

在Rt△ ACD中，

tan27° ＝h

50＋x，

h＝(50＋x)· tan 27° .①

在Rt△ BCD中，tan 40° ＝hx，h＝xtan 40° .②

根据①和②，得(50＋x)· tan27° ＝xtan40° .



解析所以x＝50tan27°

tan40° －tan27° ，

h＝50tan27°

tan40° －tan27° ×tan40° .

利用计算器计算，得h≈64.9(m)．

64．9＋1.6＝66.5(m)．

答：气球的高度约为66.5 m.

　点　析　通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规思路．



中考预测

天塔是天津市的标志性的建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图 24 － 8 所示，他们在点 A 处测得天塔的最高点 C 的仰角为 45° ，再往天塔方向前进至点 B 处测得天塔的高点 C 的仰角为 54° ， AB ＝ 112 m ．根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD.(tan36°≈0.73 ，结果保留整数 )

图 24－ 8



解析　　先在 Rt ACD△ 中推导 AD与 CD 的关系，并用 CD 表示 BD 的长；再在 Rt BCD△ 中，求∠ BCD ，利用三角函数及 CD

表示 BD 的长；根据 BD 的长度相等列方程求解．

解析如图，根据题意，有∠CAD＝45° ∠， CBD＝54° ，AB＝112.



解析 ∵ 在 Rt△ ACD 中，∠ACD＝∠CAD＝45° ，有AD＝CD. 又 AD＝AB＋BD， ∴ BD＝AD－AB＝CD－112.

∵在 Rt△ BCD 中，tan∠BCD＝BDCD，∠BCD＝90° －∠CBD

＝36° .

∴ tan36° ＝BDCD，得 BD＝CD· tan36° .于是，CD· tan36°

＝CD－112，

∴ CD＝112

1－tan36° ≈112

1－0.73≈ 415.

即天塔的高度 CD约为 415 m.

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