第 23 课时　解直角三角形的应用

第 23课时　解直角三角形的应用

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考点　解直角三角形的应用常用知识

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第 23 课时┃ 解直角三角形的应用

1 ．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角．2 ．俯角：视线在水平线下方的叫俯角．3 ．坡度：坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的坡度 ( 或坡比 ) ，记作 i ＝ ________ ．4 ．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α.

i ＝ tanα ，坡度越大， α 角越大，坡面越陡．5 ．方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90° 的角叫做方向角．

h∶l

归类探究

探究一　利用直角三角形解决和高度 ( 或宽度 ) 有关的问题

命题角度：1. 计算某些建筑物的高度 ( 或宽度 ) ；2. 将实际问题转化为直角三角形问题．

例 1 　 [2013· 宜宾　 ] 宜宾是国家级历史文化名城，大观楼是标志性建筑之一 ( 如图 23 － 1 )① ，喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：大观楼始建于明代 ( 据说是唐代韦皋所建 ) ，后毁于兵火，乾隆乙酉年 (1765 年 ) 重建，它是我国目前现存最




高大、最古老的楼阁之一．小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度，如图②，他利用测角仪站在 B 处测得大观楼最高点 P 的仰角为 45° ，又前进 12 米到达 A 处，在 A 处测得 P 的仰角为 60°. 请你帮助小伟算算大观楼的高度． ( 测角仪高度忽略不计，　≈ 1.7 ，结果保留整数 )3

图 23 － 1


第 21 课时┃相似三角形及其应用

变式题　 [2013· 宜宾　 ] 　如图 23 － 2 ，为了测出某塔 CD

的高度，在塔前的平地上选择一点 A ，用测角仪测得塔顶 D

的仰角为 30° ；在 A 、 C 之间选择一点 B(A 、 B 、 C 三点在同一直线上 ) ，用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 75° ，且 A 、B 间的距离为 40 m.

　　 (1) 求点 B 到 AD 的距离；　　 (2) 求塔高 CD( 结果用根号表示 ) ．

图 23 － 2


方法点析

　　在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：　　①不同地点看同一点；

　　


图 23 － 3


②同一地点看不同点；

③利用反射构造相似．


图 23 － 4

图 23 － 5


探究二　利用直角三角形解决航海问题命题角度：1. 利用直角三角形解决方位角问题；2. 将实际问题转化为直角三角形问题．


例 2 [2013· 烟台　]



图 23 － 6

　　解　析过点 B 作 BD⊥CA 交 CA 延长线于点 D ，根据题意可得∠ ACB 和∠ ABC 的度数，然后根据三角形外角定理求出∠ DAB 的度数，已知 AB ＝ 12 海里，可求出 BD 、 AD 的长度．在 Rt△CBD 中，解直角三角形求出 CD 的长度，继而可求出A 、 C 之间的距离．


探究三　利用直角三角形解决坡度问题命题角度：1. 利用直角三角形解决坡度问题；2. 将实际问题转化为直角三角形问题．


例 3 [2013· 广安 ] 如图 23 － 7 ，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长 400 米，高 8 米，背水坡的坡角为 45° 的防洪大堤( 横断面为梯形 ABCD) 急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石加固，并使上底加宽 2 米，加固后，背水坡 EF 的坡比 i ＝ 1 2.∶(1) 求加固后坝底增加的宽度 AF 的长；(2) 求完成这项工程需要土石多少立方米？



图 23 － 7

　　解　析 (1)分别过 E 、 D 作 AB 的垂线，设垂足为 G 、 H.

在 Rt△EFG 中，根据坡面的铅直高度 (即坝高 ) 及坡比，即可求出 FG 的长，同理可在 Rt△ADH 中求出 AH 的长，由 AF ＝ FG

＋ GH － AH 求出 AF 的长．　　 (2) 已知梯形 AFED 的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED 的面积乘坝长即为所需的土石的体积．


热气球测楼高

教材母题

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　　热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30° ，看这栋高楼底部的俯角为 60° ，热气球与高楼的水平距离为 120 m ，这栋高楼有多高 ( 结果保留小数点后一位 )?

图 23 － 8



　　解　析　我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．因此，在图 23 － 8

中， α ＝ 30° ， β ＝ 60°.

　　在 Rt△ABD 中， α ＝ 30° ， AD ＝ 120 ，所以可以利用解直角三角形的知识求出 BD ；类似地可以求出 CD ，进而求出 BC.

解　　



　　 [ 点析 ] 通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规思路．


中考预测


　　如图 23 － 9 ，在数学活动课中，小敏为了测量旗杆 AB

的高度，站在教学楼上的 C 处测得旗杆底端 B 的俯角为 45° ，测得旗杆顶端 A 的仰角为 30°.若旗杆与教学楼的水平距离CD 为 9 m ，则旗杆的高度是多少？ ( 结果保留根号 )

图 23 － 9


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