Tugas Kelompok

MAKALAH

INTERPOLASI LINEAR, KUADRAT, KUBIK & POLINOM LAGRANGE

OLEH: KELOMPOK X

FARIDAH BAHARUDDINIMAM IKHSAN

IMRAN HASANUDDIN

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDINMAKASSAR

2010

KATA PENGANTAR

BISMILLAHIRRAHMANIRRAHIM.

Puji syukur senantiasa penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena limpahan

rahmat dan hidayah-Nyalah sehingga makalah yang berjudul “INTERPOLASI

(Interpolasi lanjar,interpolasi kuadratik,interpolasi kubik, dan polinom lagrange)

dapat tersusun dan selesai tepat pada waktunya.

Penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada pihak-pihak yang terkait yang

telah membantu penyusunan makalah ini.

Akhirnya penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih jauh dari

sempurna. Juga kemungkinan kesalahan cetak tak dapat dihindarkan. Karena itu kritik dan

saran yang sifatnya membangun dari berbagai pihak sangat diharapkan penyusun.

Demikianlah, mudah-mudahan makalah ini dapat dimanfaatkan sebaik-baiknya.

Makassar, juni 2010

Penyusun

DAFTAR ISI

Kata pengantar

Daftar isi

BAB I : PENDAHULUAN

Latar Belakang

BAB II : PEMBAHASAN

Pengertian Interpolasi

Interpolasi Lanjar

Interpolasi Kuadratik

Interpolasi Kubik

Polinom Lagrange

Contoh Program

BAB III : P E N U T U P

Kesimpulan

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Permasalahan yang banyak berhubungan dengan pola suatu data adalah

fungsi yang melibatkan data.Sebagai contoh bila diketahui data-data penjualan

suatu produk, akan muncul pertanyaan adakah yang fungsi yang menyatakanbahwa

penjualan merupakan fungsi dari waktu.Contoh kenyatan yang menunjukkan

bahwa penjualan dipengaruhi oleh waktu ialah “penjualan es campur pada siang

hari akan lebih baik dari pada penjualan di malam hari.

Kenyataan tersebut dapat di katakana bahwa penjualan merupakan fungsi

dari waktu .Persoalannya adalah bagaiman menyajikan fungsi tersebut.I ni adalah

persoalan yang sangat tidak mudah untuk di pecahkan , karena betapa idealnya bila

di ketahui suatu fungsi yang bias menyatakan penjualan adalah fungsi waktu atau di

tuliskan dengan J = F (t ).

Untuk dapat menyajikan fungsi , yang dapat di lakukan adalah

menggunakan fungsi pendekatan , yaitu fungsi yang paling sesuai untuk

menyatakan suatu data berdasarkan model fungsi tertentu seperti model fungsi

linear , fungsi eksponensial , dan fungsi polinomeal .Cara pendekatan semacam ini

di namakan dengan regeresi.

Cara pendekatan yang lain bukan untuk menyatakan fungsi tetapi untuk

mencari nilai – nilai antara titik – titik yang di ketahui sehingga pola fungsinya

semakin jelas terlihat atau membentuk suatu kurva .Cara pendekatan ini di namakan

dengan interpolasi .Interpolasi di gunakan untuk menentukan titik – titik yang lain

berdasarkan fungsi pendekatan yang di tentukan sebelumnya.

Interpolasi linear adalah suatu bentuk interpolasi untuk menentukan titik –

titik antara dari titik –titik yang di ketahui menggunakan fungsi pendekatan yang

berupa fungsi linear dengan interpolasi linear akan di peroleh sejumlah titik antara

dua titik p1 ¿,y1) dan p2 (x2,y2) .Interpolasi lagrange adalah suatu bentuk interpolasi

dengan fungsi pendekatan berupa fungsi polinomal lagrange.Pada transformasi

lagrange, fungsi polynomial pangkt n memerlukan n+1 titik.Bila jumlh titiknya 2

buah ,maka interpolasi lagrange akan menjadi interpolasi linear.Untuk mencari titik

( x , y ) pada nilai x yang ditentukan dengan diketahui n buah titik (x1,y1), (x2,y2),

…..,(xn ,yn) menggunakan interpolasi lagrange.

BAB II

PEMBAHASAN

Interpolasi

f(x)

L(x)

x0x1x

1. INTERPOLASI LINEAR.

Bentuk interpolasi yang paling sederhana adalah menghubungkan dua titik data

dengan garis lurus.tekhnik ini dinamakan interpolasi linear,dilukiskan secara grafis pada

gambar diatas dengan memakai segitiga-segitiga sebangun sehingga diperoleh:

f 1 ( x )−f ¿¿=f ¿¿ , yang dapat disusun ulang menjadi:

f 1 ( x )=f¿)+f (x¿¿1)− f ¿¿¿¿(x-x0)

Cara penulisan f 1(x) menunjukkan bahwa ini adalah polinom interpolasi orde pertama

(interpolasi lanjar).Perhatikan bahwa disamping menyatakan kemiringan garis yang

menghubugkan titik-titik, bentuk [f(x1)-f(x0)]/(x1−x0) adalah hampiran (aproksimasi)

beda hingga terbagi dari turunan pertama.Umumnya semakin kecil selag diantara titik-titik

data, semakin baik hampirannya.

Algoritma Interpolasi

1) Tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x0,y0)

dan (x1,y1)

x0

x1

x

f(x)

x2

h h

L(x)

2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari

3) Hitung nilai y dengan :f 1 ( x ) = f¿) + f (x¿¿1)−f ¿¿¿¿(x-x0)

4) Tampilkan nilai titik yang baru Q(x,y)

Contoh:

Taksirlah 2 (ln 2) dengan memakai interpolasi linear.yaitu dengan menginterpolasi antara

ln 1=0 dan ln 2,5=0,91629

Penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan di atas ,interpolasi interpolasi dari x0 =1

sampai x1=2,5

maka; f 1(2) = ln(1) + ln (2,5 )− ln(1)

2,5−1(2-1)

= 0 +0,91629−0

1,5 (1)

0,91629

1,5 = 0,61086

2. Interpolasi Kuadrat

Interpolasi Kuadratik (polinom orde kedua) digunakan untuk mencari titik-titik antara dari

3 buah)

P1 (x0 . y0), P2(x1 , y1)dan P3(x2 , y2) ,polinom kuadrat yang digunakan untuk persamaan

ini ialah:

f 2(x)=b0+b1 ( x−x0 )+b2(x−x0)(x−x1)……………………(P.12.3).

Suatu prosedur yang sederhana dapat dipaki untuk menentukan nilai koefisien-

koefisiennya.Untuk b0

(P.12.3) dengan x=0 dapat dipakai menghitung ;

b0=f (x0)…………………………………………….(P.12.4)

(P.12.4) dapat disubstitusikan ke (P.12.3) yang dapat dohitung pada x =x1 untuk

b1=f (x1 )−f (x0)x2−x0

………………………………………………(P.12.5)

Akhirnya, (P.12.4) dan (p.12.5) dapat disubstitusikan ke (P.12.3) yang dapat dihitung pada

x=x2 dan dipecahakn(setelah melakukan manipulasi aljabar:

b2=

f (x2 )−f (x1)x2−x0

–f (x1 )−f (x0)x1−x0

x 2−x 0………………………………………………(P.12.)

Contoh:

Cocokkan polinom orde kedua terhadap tiga titik yang dipakai dalam contoh persamaan

interpolasi linear:

x0=1 f(x0)=0

x1=4 f(x1)=1,3862944

x2=6 f(x2) =1,7917595

Pakailah polinom tersebut untuk menghitung ln 2

Penyelesaian: Dengan menerapkan persamaan (12.4) maka;

b0 =0

x0

x1

x

f(x)

x2

h h

L(x)

x3

h

Persamaan (12.5) menghasilkan:b1=1,3862944−0

4−1 =0,46209813

Dan persamaan (12.6) menghasilkan:

b2 = 1,7917595−1,3862944

6−4– 0,46209813

6−1

= -0,051873116

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke (P,12.3) dihasilkan rumus kuadrat

f 2(x) =0+0,46209813(x-1)-0,051873116(x-1)(x-4) yang dapat dihitung pada x=2 untuk

f 2(x) =0,56584436

Algoritma Interpolasi Kuadratik:

1) Tentukan 3 titik input P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3)

2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari

3) Hitung nilai y dari titik yang dicari menggunakan rumus dari interpolasi

kuadratik:

4) Tampilkan nilai x dan y

3. Interpolasi Kubik

Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.

Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.

Misal diberikan empat buah titik data ,¿)(,x1,y1),¿,y2), dan (x3,y3).Polinom yang

mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk :

p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x

3 (P.5.9)

Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut:

1.Sulihkan ( x i,y i) kedalam persamaan (p.5.9), i=0,1,2,3. Sehingga diperoleh empat buah

persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 ,a1 , a2dana3:

a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0

3= y0

a0+a1x1a2 x12+a3 x1

3= y1

a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2

3=y2

a0+a1x3+a2 x32+a3 x3

3= y3

Contoh :

maka untuk mencari nilai x=45 maka,

4. POLINOM INTERPOLASI LAGRANGE

Polinom interpolasi lagrange hanyalah perumusan ulang darri polinom newton

yang menghindari komputasi beda-beda terbagi.secara singkat dapat dinyatakan dengan:

f n ( x ) = ∑i=0

n

Li ( x ) f ¿)…………………………………….(12.20)

Dengan

Li(x) = ∏j=0j ≠ i

n x−(x j)x i−x j …………………………………………(12.21)

Dimana menunjukkan “hasilkali dari”.Misalnya versi linear (n-1) adalah

f i ( x ) =x−x1

x0−x1f(x0)+

x−x0

x1− x0f (x1)………………………………………(12.22)

Dan versi orde kedua adalah :

f 2(x) = (x−x1 ) (x−x2 )

x0−x1f(x¿¿0)+

(x−x0 ) (x−x2)

(x1−x0 )¿¿¿f(x1) +

( x−x0 )(x−x1)

(x2−x0 )(x2−x1)f(x2)

………………(12.23)

Persamaan (12.20) dapat diturunkan secara langsung dari polinom newton (kotak

12.1).Namun, penalaran yang mendasari rumus lagrange dpat langsung ditangkap dengan

menyadari bahwa tiap suku Li(x) akan 1 pada x =x i dan 0 pada titik-titik contoh lainnya.

Jadi, tiap hasilkali Li(x)f(x i) menerima nilai f¿¿) pada titik contoh x i.akibatnya ,penjumlahan semua hasilkali yangdinyatakn oleh persamaan (12.20)

merupakan polinom orde ke-n unik yang secara eksak melalui seluruh n+1 titik data.

Polinom interplasi lagrange daoat diturunkan kangsung dari rumus newton.ini akan

dilakukan untuk kasus orde pertama ,

f 1(x) = f(x0) + (x-x0¿f[xx , x0 ¿………………………………(B.12.1.1)

Supaya menurunkan bentuk lagrange ,bedaa-beda terbagi dirumuskan ulang.misalnya.

beda terbagi pertama ,f[x1, x0 ¿=f (x1 )−f (x0)x1−x0

dapat dirumuskan sebagai :

f[x1 , x0 ¿= f (x1)x1− x0

+f ( x0)x0−x1

. ……………………………..(B.12.1.2)

yang diacu sebagai bentuk simetri,dengan mensubstitusikan persamaan (12.1.2) ke

persamaan (B.12.1.1) akan dihasilkan:

f 1(x)=f(x0)+( x−x0)(x0−x1)

f (x1)+(x−x0)(x 0−x1)

f (x0)

Akhirnya dengan mengelompokkan suku-suku yang serupa dan penyederhanaan akan

dihasilkan bentuk lagrange :

f 1(x)= x−x1

x0−x1f (x0)+

x−x0

x1− x0f (x1)

Contoh:

Gunakan polinom interpolasi lagrange orde pertama dan kedua untuk menghitung ln 2

berdasarka data yang diberikan dalam contoh interpolasi kuadrat.

x0=1 f(x0¿=0

x1=4 f(x1)=1,3862944

x2=6 f(x2)=1,7917595

Penyelasaian: polinom ord pertama (p.12.22) adalah:

f i ( x ) =x−x1

x0−x1f(x0) +

x−x0

x1− x0f ¿)

Karena itu taksiran pada x=2adalah

f 1(2) = 2−41−4

(0)+ 2−14−1

(1,3862944 ) = 0,4620981

Dengan cara yang serupa ,polinom orde kedua dikembagkan sebagai (persamaan 12.23)

f 2(2) = (2−4 ) (2−6 )

(1−4 )(0 )+

(2−1 )(2−6)(4−1 )(4−6)

(1,3862944) + (2−1 )(2−4 )(6−1 )(6−4)

(1,7917595)

Contoh program

a. Interpolasi linear

% x adalah nilai yang akan dicari f(x)

%x0 adalah titik data awal

%x1 adalah titik data akhir

%f(x)=ln(x)

%program interpolasi lanjar

%by FARIDAH BAHARUDDIN

clc;

clear;

x=input('masukkan x= ');

x0=input('masukkan x0= ');

x1=input ('masukkan x1= ');

fx0=log(x0);

fx1=log(x1);

fx=fx0+((fx1-fx0)*(x-x0))/x1-x0;

fprintf('jadi y= %3.7f\n',fx)

b. Interpolasi kuadrat

%program interpolasi kuadrat

%by Faridah Baharuddin

%x0 x1 x2 adalah titik data

clc;

clear;

x=input('masukkan x= ');

x0=input('masukkan x0= ');

x1=input ('masukkan x1= ');

x2=input ('masukkan x2= ');

%f(x)=ln(x)

fx0=log (x0);

fx1=log (x1);

fx2=log (x2);

b0=fx0;

b1=(fx1-fx0)/(x1-x0);

c=(fx2-fx1)/(x2-x1);

d=(fx1-fx0)/(x1-x0);

b2=(c-d)/(x2-x0);

fx=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)*(x-x1);

fprintf('jadi y= %3.7f\n',fx)

c. Polinom lagrange%interpolasi lagrange

%MATEMATIKA 08 UIN ALAUDDIN MAKASSAR

clc;

clear;

fprintf('Interpolasi Lagrange\n')

n=input('banyak pasangan titik(n) yang diketahui= ');

for i=1:n

x(i)=input(['x',num2str(i),'=']);

y(i)=input(['y',num2str(i),'=']);

end;

xb=input('masukkan nilai x yang akan dicari= ');

int_lag=0;

for i=1:n

Li=1;

for j=1:n

if (j~=i)

a=(xb-x(j))/(x(i)-x(j));

Li=Li*a;

end;

end;

int_lag=in_lag+Li*y(i);

end;

fprintf('nilai interpolasi lagrange dari x adalah %8.5f\

n',int_lag)

BAB III

P E NU TU P

A. KESIMPULAN

Adapun kesimpulan dari makalah ini ialah:

1. Interpolasi didefinisikn sebagai cara untuk mengestimasi nilai dari fungsi yan

diberikan oleh

Kelompok data.

2. Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis

lurus.Misal diberikan dua

buah titik (x0 , y0) dan (x1 , y1), polinom yang menginterpolasikan dua buah titik ini

ialah:

f 1 ( x )=f¿)+f (x¿¿1)− f ¿¿¿¿(x-x0)

3. Interpolasi kuadrat ialah digunakan untuk mencari titik-tiik antara dari 3 buah

titik yaitu

P1(x0 , y0),p2(x1 , y1), dan p3(x2 , y2) .polinom yang digunakan untuk persamaan ini

ialah:

f 2(x)=b0+b1 ( x−x0 )+b2(x−x0)(x−x1)

4. Interpolasi kubik ialah digunakan untuk mencari empat buah titik data.misalnya

diberikan titik-

titik (x0 , y0),(x1 , y1),(x2 , x2),dan (x3 , y3).polinom yang mengintrpolasikan titik-

titik tersebut ialah:

p3 ( x )=a0+a1x+a2x2+a3 x

3

5. Polinom lagrange ialah perumusan ulang darri polinom newton yang menghindari

komputasi beda-beda terbagi.secara singkat dapat dinyatakan dengan:

f n ( x ) =∑i=0

n

Li ( x ) f (x i)

Dengan :

Li(x) =∏j=0j ≠ i

n x−(x j)x i−x j

Dimana menunjukkan “hasilkali dari”.Misalnya versi linear (n-1) adalah

f i ( x ) =x−x1

x0−x1f(x0)+

x−x0

x1− x0f (x1)………………………………………(12.22)

Dan versi orde kedua adalah :

f 2(x) = (x−x1 )(x−x2)

x0−x1f(x¿¿0)+

(x−x0 ) (x−x2)

(x1−x0 )¿¿¿f(x1) +

( x−x0 )(x−x1)

(x2−x0 )(x2−x1)f(x2)………(12.23)