bab vi - · pdf fileinterpolasi berbeda dengan ekstrapolasi, di mana yang kedua digunakan...

BAB VIBAB VI

INTERPOLASI

FTI-Universitas Yarsi

Pendahuluan

Bila diketahui tabulasi titik-titik (x,y) sebagai berikut (yang dalam hal ini

Pendahuluan

( y) g (y grumus fungsi y = f(x) tidak diketahui secara eksplisit):

Hitung taksiran nilai y untuk x = 3.8!


• Persoalan semacam ini acapkali muncul pada pengamatan fenomena alam, baik berupa eksperimen di laboratorium maupun penelitian di lapanganyang melibatkan beberapa parameter (misalnya suhu, tekanan, waktu, dansebagainya). P t tid k t h i l i h b k t• Pengamat tidak mengetahui relasi yang menghubungkan parameter-parameter itu. Pengamat hanya dapat mengukur nilai-nilai parameter tersebut dengan menggunakan alat ukur seperti sensor, termometer, barometer dan sebagainya Tidak satupun metode analitik yang yangbarometer, dan sebagainya. Tidak satupun metode analitik yang yangtersedia untuk menyelesaikan persoalan jenis ini.

• Disinilah perlunya sebuah metode Numerik untuk mencari solusi dariDisinilah perlunya sebuah metode Numerik untuk mencari solusi daripermasalahan tersebut


InterpolasiInterpolasi

• Andaikan kita memiliki tabulasi data dan ingin menaksir harga yangAndaikan kita memiliki tabulasi data dan ingin menaksir harga yang terletak di antara titik-titik data dalam tabel. Metode yang digunakan untuk maksud tersebut adalah interpolasi.

• Untuk (n+1) titik data, ada 1 dan hanya 1 polinom (fungsi) yang melewati semua titik data (derajat polinom n atau kurang dari n).


Dua titik data : GarisTi titik d t K d tikTiga titik data : KuadratikEmpat titik data : Polinomial

tingkat-3…

titik d t P li i l

Interpolasi berbeda dengan ekstrapolasi, di mana yang kedua digunakan untuk menaksir harga(-harga) di luar interval titik-titik data dalam tabel.

n titik data : Polinomial tingkat-n

g ( g )

Diketahui : n titik data (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn)

Ditanya : a0, a1, …, an sehingga

( ) nn xaxaxaaxf ++++= L2

21002222212

01122111

ayaxaxax

ayaxaxax

nn

nn

−=+++

−=+++

...

...

FTI-Universitas Yarsi022

1 ayaxaxax nnnnnn −=+++ ...

L

Meskip n ada 1 dan han a 1 polinom derajat n (ata k rang• Meskipun ada 1 dan hanya 1 polinom derajat n (atau kurang dari n) yang mencocokkan (n + 1) data, format polinom/fungsi dapat dinyatakan dalam berbagai cara.

• Dua alternatif yang format yang akan dipelajari adalah polinom Newton dan polinom Lagrange.


Interpolasi Linear/Garis/derajat 1

Diketahui : Dua titik (x1, y1), (x2, y2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 xxxfxfxfxf −−

+=

( 1 y1) ( 2 y2)

Ditanya :Garis yang melewati 2 titik tersebut

( ) ( ) ( )001

0 xxxx

xfxfI −+=

Contoh: f(x) = ln x

x1 = 1 dan x2 = 6:

f1(2) = 0.3583519

ln 2 = 0.6931472

1( )

x1 = 1 dan x2 = 4

f1(2) = 0.4620981


f1(2) 0.4620981

Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!

Interpolasi Kuadratis

Diketahui : Tiga titik (x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)

( ) ( ) ( )( )102010 xxxxbxxbbxfII −−+−+=

g ( 1 y1) ( 2 y2) ( 3 y3)Ditanya : kuadratis f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik diatas

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

02

01

01

12

12

201

01100 xx

xxxfxf

xxxfxf

bxx

xfxfbxfb

−−−

−−−

=−−

==

Contoh: f(x) = ln x

Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759)ln 2 = 0.6931472

b0 = 0

b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981

b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) –0 4620981]/(6 1) 0 0518731


0.4620981]/(6-1) = -0.0518731

f2(2) = 0.5658444

Interpolasi PolynomialNNewton

Dik t h i titik ( ) ( ) ( ) ( i f( ) i 1 2 )• Diketahui: n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) (yi = f(xi), i=1,2,…,n)• Ditanya: fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn yang melewati n titik

tersebut.( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )110102010 −−−−++−−+−+= nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf L...

( )[ ]011

00xxfb

xfb,

M

=

=

[ ]011 xxxxfb nnn ,,, L

M

−=

[ ] ( ) ( )jiji

xfxfxxf

−=

dengan[ ]

jiji xx

xxf−

=,

[ ] [ ] [ ]ki

kjjikji xx

xxfxxfxxxf

−−

=,,

,,


ki

[ ] [ ] [ ]0

02111011

,...,,,...,,,,...,,xx

xxxfxxxfxxxxfn

nnnnnn −

−= −−−

−

Contoh Interpolasi Polynomial NewtonNewton

Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi ln x)

Ditanya: Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )2103102102010 xxxxxxbxxxxbxxxxbxxbbxf n −−−+−−+−−+−+=

y g p

[ ] [ ] [ ] 182.065

791759.1609438.1,203.046

386294.1791759.1,462.014

0386294.1, 231201 =−−

==−−

==−

−= xxfxxfxxf

2030182046202030[ ] [ ] 020045

20301820052016

46202030123012 ...,,...,, −=

−−

=−=−−

= xxxfxxxf

[ ] 008015

)0520(02000123 ...,,, =

−−−−

=xxxxf

FTI-Universitas Yarsif3(2) = 0.629

Contoh Interpolasi Polynomial NewtonContoh Interpolasi Polynomial Newton

x0x1

x3

x2


Perkiraan Error Polynomial Newton Newton

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )110102010 −−−−++−−+−+= nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf L...

( ) ( )1+nf ξ

Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-n adalah: ( ) ( )( ) ( ) 1

1

1

1+

+

+−

+= n

ii

n

n xxn

fR!ξ

Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n Hubungan untuk error scr analogi:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )n

n

n xxxxxxxxn

fR −−−−+

=+

L210

1

1 !ξ

Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi:

Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita gunakan

[ ]( )( )( ) ( )fR


[ ]( )( )( ) ( )nnnnn xxxxxxxxxxxxfR −−−−≅ −+ LL 210011 ,,,,

(Ingat: fn+1(x) = fn(x) + Rn)

Perkiraan Error, Orde, dan Titik data data

x f(x) = ln x1 04 1.3866 1 7926 1.7925 1.6093 1.0991.5 0.4052.5 0.9163.5 1.253

x f(x) = ln x3 5 1 2533.5 1.2532.5 0.9161.5 0.4053 1.0995 1.6096 1.7924 1.3861 0

FTI-Universitas YarsiPerkiraan Error polynomial Newton fk(x) pada ln 2: k = 1,2,…,7

Interpolasi LagrangeInterpolasi Lagrange

I t l i L dit k t k d tk f i li i l P( )• Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P(x) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalnya, kita ingin mendapatkan fungsi polinomial berderajat satu yang melewati dua buah titik yaitu (x0, y0) dan (x1, y1). y ( 0, y0) ( 1, y1)

• Langkah pertama yang kita lakukan adalah mendefinisikan fungsi linier berikut ( ) ( )1 0 0 1 1( )P x y l x y l x= +( ) ( )1 0 0 1 1( )P x y l x y l x+

( )10

10 xx

xxxl−−

= ( )01

01 xx

xxxl−−

=10 xx 01


i lk dib ik 1 i ik d ( ) d ( )• Misalkan diberikan n + 1 titik data (x0 , y0) dan (x1 , y1) , . . . , (xn , yn) , dengan semua titik berbeda. Interpolasi polinom lagrange dari data di atas diberikan oleh :g g

0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )... ( )n j j j j n n jP x y l x y l x y l x y l x= + + +

di mana

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )niiiiii

niii xxxxxxxx

xxxxxxxxxl−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−

=+−

+−

111

110

di mana


• Misalkan diberikan titik-titik data sebagai berikut

1 2 4 8

• Carilah f (7) dengan polinom interpolasi lagrange.

x 1 2 4 8f(x) 1 3 7 11

f ( ) g p p g g• Jawab :

Karena tersedia 4 titik data maka polinom yang bersesuaian adalah polinom orde 3.P3(x) = y0 l0(x) + y1 ll(x) + y2 l2(x) + y3 l3(x)3( ) y0 0( ) y1 l( ) y2 2( ) y3 3( )

( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )

1 2 30

0 1 0 2 0 3

x x x x x xl x

x x x x x x− − −

=− − −

( ) ( )( )( )( )( )( ) 71429,0

81412187472770 =

−−−−−−

=l

( ) ( )( )( )( )( )( )

0 2 31

1 0 1 2 1 3

x x x x x xl x

x x x x x x− − −

=− − −

( ) ( )( )( )( )( )( ) 5,1

82421287471771 −=

−−−−−−

=l


( ) ( ) ( )( )( )( )( )

0 1 32

x x x x x xl x

− − −= ( ) ( )( )( )

( )( )( ) 25,181241487271772 =

−−−=l( ) ( )( )( )2

2 0 2 1 2 3x x x x x x− − −( ) ( )( )( )8124142 −−−

( ) ( )( )( )0 1 2x x x x x xl

− − − ( ) ( )( )( ) 5357108727177 −−−l( ) ( )( )( )( ) ( )( )

0 1 23

3 0 3 1 3 2

l xx x x x x x

=− − −

( ) ( )( )( )( )( )( ) 53571,0

48281873 =

−−−=l


bab vi - · pdf fileinterpolasi berbeda dengan ekstrapolasi, di mana yang kedua digunakan...

Documents