Bir Polinomun Kökleri:

Bir polinomun kökleri polinomun yatay ekseni kestiği (fonksiyonun sıfır değerini aldığı) yerdeki bağımsız değişkenin değeridir. 2. dereceden bir polinomun kökleri için formül aşağıda verilmiştir.

0cxbxa 2 a2ca4bb

x2

1

a2ca4bb

x2

2

3. dereceden bir polinomun kökleri için formül aşağıda verilmiştir.

0dxcxbxa 23 Birinci kök

İkinci kök

Üçüncü kök

Matlab programı n dereceli bir polinomun köklerini hesaplamak için kullanılabilir.

Bir Polinomun Kökleri:

Örnek: Verilen polinomun köklerini bulunuz.

06685 23 xxx

>>p=[5 8 6 -6]; roots(p)

ans =

-1.0604 + 1.0863i -1.0604 - 1.0863i 0.5207

Örnek: Verilen polinomun köklerini bulunuz.

020x16x4x 235 ans =

1.0043 + 2.7517i 1.0043 - 2.7517i -1.4940 + 0.3852i -1.4940 - 0.3852i 0.9793

>>p=[1 0 4 16 0 -20]; roots(p)

Tüm katsayılar sıfır olanlarla birlikte mutlaka belirtilmelidir. Aksi halde polinomun derecesi azaltılmış olur.

NEWTON-RAPHSON İTERASYON YÖNTEMİ

1ii

ii xx

0)x(f)x(f

)x(f)x(fxx ii1ii

)x(f)x(fxxi

ii1i

)x(f)x(fxxi

ii1i

ε (hata)

)x(f)x(f ii

Newton-Raphson yöntemi veya Newton yöntemi denklemlerin sayısal çözümleri için güçlü bir tekniktir. Diferansiyel hesaba çok benzer olarak basit doğrusal yaklaşımın fikrini temel almaktadır. Bu yöntem gerçek değerli fonksiyonların gerçek köklerini oldukça iyi yaklaşımla bulmak için bir yöntemdir.

f(x)

xxi (Başlangıç değeri)

f(xi)-0

Xi+1

Bu noktadaki eğim f'(xi)f(xi)

0

1ii xx

Teğet çizgi

Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü :

Newton-Raphson Örnek 1:

Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü:

142 Verilen denklemi sağlayan θ değerlerinden birini bulunuz.

0)(f 14f 2

11

212f

n1n xx,ff

θ f f ' ε1 -1.5858 2.3536 0.6738

1.6738 0.4368 3.6534 -0.1196

1.5542 0.0139 3.4213 -0.0041

1.5501 -0.00013 3.4134 3.95e-5

-1 0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

tet

(tet + 1)1/2 + tet2 - 4

f(tet

)

1.55

Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü:

Newton-Raphson Örnek 2:

6.1)u3cos(u5 Verilen denklemi sağlayan u değerlerinden birini bulunuz.

-6 -4 -2 0 2 4 6

-30

-20

-10

0

10

20

30

u

5 u - cos(3 u) - 8/5

f(u)

0)u(f 6.1)u3cos(u5f

)u3sin(35f

n1n xx,

ff

u f f ' ε1 4.3899 5.4233 -0.8094

0.1905 -1.4883 6.6229 0.2247

0.4152 0.1569 7.8429 -0.0200

0.3952 0.00025 7.7801 -3.32e-5

Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü:

clc, clearx=1;xe=0.001*x;niter=20;%----------------------------------------------for n=1:niter%---------------------------------------------- f=x^2-4+sqrt(x+1); df=2*x+0.5/(sqrt(x+1));%---------------------------------------------- x1=x x=x1-f/df if abs(x-x1)<xe kerr=0;break endendkerr,x

clc, clearx=1;xe=0.001*x;niter=20;%----------------------------------------------for n=1:niter%---------------------------------------------- f=5*x-cos(3*x)-1.6; df=5+3*sin(3*x);%---------------------------------------------- x1=x x=x1-f/df if abs(x-x1)<xe kerr=0;break endendkerr,x

Newton-Raphson Örnek 1: Newton-Raphson Örnek 2:

MATLAB KODLARI

x = fzero(@(x)5*x-cos(3*x)-1.6,1)x = fzero(@(x)x^2-4+sqrt(x+1),1)

Problemleri çözmek için programdaki (nr1.m) şu değişiklikler yapılır.

Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü:

NEWTON RAPHSON YÖNTEMİNİN TUZAKLARI

Kök civarında dönüm noktası olması durumu

Yerel maksimum ve minimumlar etrafında bu yöntem salınma eğilimi göstermektedir

Sıfır eğime yaklaştıkça ilgilenilen kökten çok uzaklaşılmaktadır. Sıfır eğim bu yöntem için tam bir felakettir. Çünkü formülde sıfıra bölmeye neden olur.

Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü:

Newton-Raphson iterasyon yöntemi doğrusal olmayan denklem takımların çözümü için de kullanılır. Birden fazla denklem ve bilinmeyen değişken olduğu için çözüm işlemlerinde denklemlerin her bir bilinmeyen değişkene göre kısmi türevleri kullanılır.

f1(x1,x2)=0

f2(x1,x2)=0ff

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

ff

xf

xf

xf

xf

X1 ve x2 için gelişigüzel başlangıç değerleri atanır ve iterasyon işlemi bilgisayar programındaki (nr.m) gerekli değişikliklerin yapılması ile başlatılır. Değişkenler program içinde x() olarak ifade edilirler.

Newton-Raphson Örnek 3:

252y3x 22

Merkez koordinatı (3,2) ve yarıçapı 5 olan dairenin denklemi sol taafta verilmiştir. Bu daire ile y=x2 parabolünün kesişim noktalarını nasıl bulursunuz?

2

2

221

xyf

252y3xf

1yf,x2

xf

2y2yf,3x2

xf

22

11

Doğrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü:

Problemleri çözmek için programdaki (nr.m) şu değişiklikler yapılır.

1 2 312

4

9

x

y

(-1.82, 3.321)

(2.643, 6.987)

Çizimde görüldüğü gibi iki geçerli çözüm seti vardır. Çözüm setinin değeri bilinmeyen değişkenlerin başlangıç değerleri tarafından belirlenir.

clc, clearx=[1 4] ;xe=0.001*x;niter1=5;niter2=50;%----------------------------------------------xe=transpose(abs(xe));kerr=1;for n=1:niter2%---------------------------------------------- a(1,1)=2*(x(1)-3);a(1,2)=2*(x(2)-2); a(2,1)=-2*x(1);a(2,2)=1; b(1)=-((x(1)-3)^2+(x(2)-2)^2-25); b(2)=-(x(2)-x(1)^2);%---------------------------------------------- bb=transpose(b);eps=inv(a)*bb;x=x+transpose(eps) if n>niter1 if abs(eps)<xe kerr=0;break end endendx