newtonov fortran polinom kod

16
Tuzla, Decembar 2015. RUDARSKO-GEOLOŠKO-GRAĐEVINSKI FAKULTET GRAĐEVINSKI ODSJEK ODABRANA POGLAVLJA MATEMATIKE 1. Newtonov interpolacijski polinom 2. Metod najmanjih kvadrata 3. Trapezna-Simpsonova formula Profesor: Dr.sc. Mevludin Avdić, redovni prof. Student: Semra Softić

Upload: armin-bajric

Post on 26-Jan-2016

282 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

asdga gdagewr dgs weg asdfgdg adgfd gafdg rfgydfhg thydf hsdh t

TRANSCRIPT

Tu

zla

, D

ec

em

ba

r 2

01

5.

RUDARSKO-GEOLOŠKO-GRAĐEVINSKI FAKULTET

GRAĐEVINSKI ODSJEK

ODABRANA POGLAVLJA MATEMATIKE

1. Newtonov interpolacijski polinom2. Metod najmanjih kvadrata

3. Trapezna-Simpsonova formula

Profesor: Dr.sc. Mevludin Avdić, redovni prof. Student: Semra Softić

Decembar,2015

Ovdje treba biti sadržaj!

2

Decembar,2015

UVOD

Newtonova metoda (naziva se i Newton-Raphsonova metoda) je jedna od najpoznatijih i najefikasnijih procedura u cijeloj numeričkoj analizi. Ova metoda je naziv dobila po engleskom fizičaru, matematičaru i astronomu Isaac Newton-u.

Ovom metodom pokušavamo pronaći najbolji način za pronalaženje interpolacijskog polinoma koji je jednostavan za programsku upotrebu, a pri tome omogućava brzu i brojčano stabilnu procjenu.Da bi u potpunosti shvatili ovu metodu, potrebno nam je određeno znanje o polinomima.Metoda uvijek konvergira ako je početna aproksimacija dovoljno blizu rješenju.

3

Decembar,2015

Prvi korak metode je lokalna aproksimacija funkcije f (x) pomoću linearne funkcije g(x) koja predstavlja tangentu funkcije f (x) u tački M0. Rješenje jednačine g(x) = 0, x1, predstavlja sljedeću aproksimaciju rješenja jednačine f (x) = 0

Kako bismo izveli algoritam za Newtonovu metodu, postavimo sljedeću relaciju:

Rješenje ove jednačine za , pri čemu je da je:

4

Rekurzivna formula za Newtonovu interpolaciju … (1.1)

Decembar,2015

Jednačina (1.1) se ponavlja dok se ne zadovolji jedan od ili oba kriterija konvergencije:

Newtonova metoda ima i nedostataka jer je za neke funkcije vrlo teško analitički izračunati prvi izvod, a za neke funkcije to uopšte nije moguće. Osim toga, može se desiti da u toku iterativnog procesa prvi izvod bude jednak nuli, čime ne bi bilo moguće nastaviti postupak rješavanja. U takvim slučajevima koriste se neke druge metode, kao što je modifikovana Newtonova metoda ili metoda sječice.

Slika 2.9 Prikaz Newtonov interpolacijskog polinoma u Excelu

5

Decembar,2015

function [f, a, d] = newtoninter(x, y, p)

% Newton interpolation

%

% [f a d] = newtoninter(x, y, p)

%

% Input arguments ([]s are optional):

% x (vector) of size 1xN which contains the interpolation nodes.

% y (vector) of size 1xN which contains the function values at x

% p (vector) of size 1xP which contains points to be interpolated.

%

% Output arguments ([]s are optional):

% f (vector) of size 1xP. The result of interpolation respect to p.

% [a] (vector) of size 1xN which is leading coefficients genereated by

% divided difference method.

% [d] (matrix) of size NxN (triangular) which is the result of the

% divided difference method

%

% Example

% >> x=[1,2,4,7,8]

% >> y=exp(x);

% >> [f a d]= newtoninter(x, y, 5)

%

% Author: Semra Softic <sonots(at)umd.edu

% Date : Dec 2015

6

Newtonov interpolacijski polinom

Decembar,2015

n = length(x);

d(:,1)=y';

for j=2:n

for i=j:n

d(i,j)= ( d(i-1,j-1)-d(i,j-1)) / (x(i-j+1)-x(i));

end

end

a = diag(d)';

Df(1,:) = repmat(1, size(p));

c(1,:) = repmat(a(1), size(p));

for j = 2 : n

Df(j,:)=(p - x(j-1)) .* Df(j-1,:);

c(j,:) = a(j) .* Df(j,:);

end

f=sum(c);

Code

7

Decembar,2015

function run_newtoninter_equallyspaced

% Date: Dec 2015

% Author: Semra Softic <sonots(at)umd.edu>

% sampling points: eqaully spaced

a = -1; b = 1;

n = 10;

h = (b-a)/(n-1);

x = a + (0:n-1)*h;

% interpolation points: eqaully spaced

n = 50;

h = (b-a)/(n-1);

p = a + (0:n-1)*h;

% (1) f(x) = exp(x)

y = exp(x);

truth = exp(p);

f = newtoninter(x,y,p);

hold on;

plot(x,y,'ob');

plot(p,truth,'-b');

plot(p,f,'-r');

title('Newton Interpolation: Uniform spaced nodes');

legend('samples', 'truth', 'interpolation');

% (2) f(x) = 1 / (1 + 25 * x^2)

figure;

y = 1 ./ (1 + 25 .* x.^2);

truth = 1 ./ (1 + 25 .* p.^2);

f= newtoninter(x,y,p);

hold on;

plot(x,y,'ob');

8

Decembar,2015

plot(p,truth,'-b');

plot(p,f,'-r');

title('Newton Interpolation: Uniform spaced nodes');

legend('samples', 'truth', 'interpolation');

Rezultat:

9

Decembar,2015

10

Decembar,2015

11

Decembar,2015

1.0 Metodanajmanjihkvadrata

12

Decembar,2015

13

Decembar,2015

2.0 Trapezna-Simpsonova formula

14