metode numerice de determinare a radacinilor unui polinom

8/19/2019 Metode numerice de determinare a radacinilor unui polinom

1/27

4/25/2015

Metode de aflare a polinomului caracteristic

Realizat de: Neague Ana-Maria

-0727413407

- [email protected] Matache Diana-Elena

-0763252366

[email protected]

Profesor coordonator:Veghes Ovidiu


2/27

2

Cuprins

Preliminarii (Notiuni generale)...........3 Calculul polinomului caracteristic cuajutorul minorilor diagonali................5

Metoda Leverrier................................6 Metoda Krylov...................................6 Metoda Fadeev...................................8 Metoda Danilevski.............................9 Aplicatii rezolvate..............................13 Bibliografie........................................26


3/27

3

Preliminarii (noţiuni generale).

Definiţia 1. Dacă matricea A∈R nxn, atunci polinomul definit prin:

pA( λ) = det( λI – A) (1)

se numeştepolinomul caracteristic al matricei A.

Precizări: 1. Polinomul pA este un polinom unitar, de grad n, cu coeficienţi

reali şi ecuaţia caracteristică de forma: pA(λ ) = 0⇔λ n + c1λ n-1 +c

2λ n-2 + ...+ c

n-1λ + c

n = 0 (1’)

are cel mult n rădăcini distincte (reale sau complexe).

2. Dacă λ este o rădăcină a lui pA, atunci, din det(λ I – A) = 0,înseamnă că sistemul liniar omogen definit prin(A – λI) · x =0 (vectorul nul din R n) (2)

are şi soluţii nebanale .

În continuarevom studia rădăcinile lui pA şi soluţiile nebanale alesistemului (2).

Definiţia 2. Dacă pA este polinomul caracteristic al matricei A,rădăcinile lui pA se numescvalori proprii (sau valori caracteristice) alematricei A. Dacă λ este o valoare proprie a lui A şi x≠ 0 verifică

Metode de aflare a polinomuluicaracteristic

−Vectori si valori proprii−


4/27

4

sistemul (2) atunci x se numeştevector propriu (sau vector caracteristic)al lui A corespunzător valorii proprii λ.

Observaţie. Egalitatea (2) conduce la:

Ax = λx (3)Definiţia 3. Mulţimeaσ(A) = { λ1, λ2, ..., λn} se numeştespectrul

lui A, iar numărulρ (A) =max 1≤i≤n |λi| se numeşteraza spectrală a luiA.Consecinţă. Orice matrice A∈ R nxn are cel puţin un vector propriu

x, mai precis, fiecărei valori proprii λ i∈σ(A) îi corespunde cel puţinunvector propriu xi∈ Ker( λIn – A).

Metodele numerice pentru calculul valorilor şi vectorilor proprii seîmpart în două clase astfel:

I. – Metode pentru calcularea polinomului caracteristic, încare determinarea coeficienţilor lui pA( λ) se face în mod direct. Deci ocale posibilă pentru a calcula valorile proprii este să obţinem întâicoeficienţii polinomului caracteristic:

pA( λ) = λn + c1 λn-1 + ... + cn

şi apoi să rezolvăm ecuaţia caracteristică pA( λ) = 0, folosind în acest scoporicemetodă aproximativă de rezolvare a ecuaţiilor algebrice neliniare.

Totuşi, nu trebuie să procedăm astfel decât în cazurile cândmatricea A este de ordin foarte mic şi soluţiile ecuaţiei caracteristice sun bine separate.

Motivul este că valorile proprii sunt foarte sensibile la perturbaţiilecoeficienţilor c1, c2, ..., cn, datorate erorilor de rotunjire inerente.

II. – Metode pentru determinarea valorilor şi vectorilor proprii ai matricei A, fără a dezvolta în prealabil polinomul caracteristicAceste metode sunt în esenţă proceduri iterative de aducere a matricei A

la anumite forme simple („canonice“) prin transformări de asemănare sau


5/27

5

prin transformări de asemănare ortogonală (forma diagonală, formatridiagonală, forma superior triunghiulară, forma superior Hessenberg).

Calculul polinomului caracteristic cu ajutorul minorilordiagonali

Dacă A∈ R nxn este de forma A = (aij), 1 ≤ i, j ≤ n, atunci polinomul eicaracteristic se poate scrie:

pA( λ) = det( λδ ij – aij)

Elementele fiecărei coloane a determinantului de mai sus suntsume algebrice de câte două elemente. Deci pA( λ) se descompune într-osumă de 2n determinanţi. FieΔ unul dintre aceşti determinanţi şi sănotăm cu j1, j2, ..., jm coloanele luiΔ care conţin numai elemente alematricei A. Toate celelalte coloane conţin λ la intersecţia cu diagonala principală şi în rest 0.

Dezvoltând succesivΔ după coloanele care conţin λ şi scoţând – 1factor comun pe celelalte coloane, se obţine:Δ =(−1) ·λ−· 1, 2…

unde 1, 2…este minorul diagonal al matricei A format cu elementelecare se află la intersecţia liniilor şi coloanelor de indici j1, j2, ..., jm.Dacă în dezvoltarea lui pA( λ) se grupează termenii după puterilelui λ, se obţine:

pA( λ) = λn – σ1 λn-1 + σ2 λn-2 – ... + ( – 1)nσn,

unde:

σ1= =1

(σ1 este suma minorilor diagonali de ordinul unu);


6/27

6

σ2 = ∑ (σ2 este suma minorilor diagonali de1≤ i


7/27


8/27

8

Metoda Fadeev

Este o metodă, care pornind de la relaţia (17), cu un efort minim, permite obţinerea atât a coeficienţilor polinomului caracteristic almatricei date A

∈

R nxn, cât şi a inversei acesteia A-1.


9/27

9

Metoda Danilevski

Fie A∈ R nxn

. Ne propunem să obţinem pA.Definiţia 7 . Spunem că matricea F∈ R nxn are forma normală

Frobenius, dacă:

F= 11…0

20…0

…−1 …0 0… … ……

1 0

(19)

Proprietatea 2.

pF(λ ) = λ n – f 1λ n-1 – f 2λ n-2 – f n-1λ – f n (20)

(deci o matrice cu formă normală Frobenius are în prima linie opuşii

coeficienţilor polinomului său caracteristic).


10/27

10

Observaţie. Demonstrarea relaţiei (20) se face dezvoltânddeterminantul matricei ( λI – F) după prima linie.

Metoda lui Danilevski, pentru aflarea polinomului caracteristic almatricei date, A, constă în aducerea matricei A, la forma normalăFrobenius prin procedeede asemănare. Acest lucru se realizează în n-1etape, la fiecare etapă, obţinând câte o linie din matricea F, dată de (19)de la ultima linie până la prima.

Astfel:

Etapa 1. Presupunem an,n-1 ≠ 0 pentru a realiza ultima linie dinmatricea F.

Observaţie . Cazul an,n-1 = 0 (posibil practic) va fi tratat la cazuri particulare.

Cu presupunerea an,n-1≠ 0, vom prelucra matricea A astfel:

- împărţim elementele coloanei n-1 prin an,n-1

- apoi, din fiecare coloană j, 1≤ j ≤ n, j≠ n –1 vom scădea coloana

n – 1(obţinutăanterior)înmulţită

cu anj. Adică:

Observaţie. Linia n a matricei A se înlocuieşte cu ultima

linie din F, adică 0 0 ... 1 0 (vezi formulele (21) pentru i = n).


11/27

11

Observaţie. Transformările (21) sunt echivalente cu înmulţireala dreapta a matricei A cu matricea:

Deci, matricea Mn-1 diferă de matricea unitate de ordinul n, doar înlinia „n–1“, cu componenţa din (22).

Observaţie. Dacă notăm cu Bn-1 = A · Mn-1, atunci ultima linie amatricei Bn-1 este 0 0 ... 10 şi elementele celorlalte linii i, 1≤ i ≤ n – 1se calculează cu ajutorul relaţiilor (21).

Observaţie. Matricea Mn-1 este inversabilă şi

−1

−1

=

1 0 …0 00 1…

0 0

… … … … …1 2 …, −10 0 …0 1 linia „n-1” Deci, matricea −1−1 diferă de matricea unitate de ordinul n doarîn linia n-1 care este ultima linie din matricea A.Cu toate aceste precizări făcute, în prima etapă se obţine matricea

Cn-1 = M−

n1

− 1 · Bn-1, adică Cn-1 = M−

n1

− 1 · A · Mn-1, care este asemenea cumatricea

A(A ~ Cn-1).

Ob

servaţie.

Cu


12/27

12

excepţia liniei „n–1“, matricele Cn-1 şi Bn-1 au aceleaşi elemente.Elementele liniei „n–1“ din matricea Cn-1 se obţin înmulţind elementeleliniei „n–1“ din matricea M− n1− 1 , (23), cu elementele fiecărei coloane dinBn-1.

Obţinem, astfel, relaţiile:

−1, ′ = · ′=1 , 1≤j≤n Relaţiile (24) se referă la linia „n–1“ din matricea Cn-1, restul

liniilor matricei Cn-1 fiind preluate din Bn-1, fără nici-o modificare.

Etapa 2. În etapa a doua se reiau calculele bazate pe relaţiile

(21) + (24), presupunând −1, −2′ ≠0 ( −1, −2′ este elementul din −1 ).Cu alte cuvinte se construieşte matricea:−2 = −2−1 · −1 · −2 , asemenea cu matricea Cn-1, deciasemenea cu A (relaţia de asemănare fiind relaţie de echivalenţă). În plus

ultimele două linii din −2sunt identice cu ultimele două linii din F.Observaţie. Putem scrie

−2 =

−2

−1 (

−1

−1 · A ·

−1 ) ·

−2 =( −2−1 · · −1−

1 ) · A · ( −1 · −2 ) – folosindasociativitatea produsului matricelor. Deci A ~ −2 .Observaţie. Matricele −2 , −2−1 se calculează asemănător

matricelor −1 , −1−1 din (22) respectiv (23), folosind linia „n–1“ dinC n-1 pentru aobtine linia „n–2“ din

−2 ,respectiv

−1−1 este:

Analog,linia „n–2“ din −2−1 este:−1,1′ −1,2′ ... −1, −2′ −1, −1′ −1,′ ş.a.m.d. Etapa n-1 . În etapa n-1 se obţine matricea C1 = 1−

1 · 2 · 1


13/27

13

(în ipoteza c21 ≠ 0, c21 fiind element din C2), A ~ C1, C1 având forma (19)deoarece se obţin ultimele n-1 linii din (19). Relaţia dintre C1 şi A estedată de:

1 =( 1

−1

2

−1 ...

−1

−1 ) · A · (

−1 ·

−2 · ... · 1 )

Notând S = Mn-1 Mn-2 ... M1⇒ C1 = S-1 · A · S.

Aplicatii rezolvate1. Sa se determine cu metoda caracteristcilor valorile si vectorii proprii

pentru matricea:

=4

−3

−3

6 −5 −60 0 1 Ecuatia caracteristica este:4−ԓ −3 −36 −5−ԓ −60 0 1

−ԓ=0 sau (1-ԓ)(ԓ2 +ԓ-2)=0

Cu solutiile

ԓ1 =-2,

ԓ2 =

ԓ3 = 1

Pentru ԓ1 =-2 rezolvand ecuatia matriceala (A-ԓ1 I)* 1 = O, rezulta decisistemul :

6 11 −3 21 −3 31 = 06 11 −3 21 −3 31 = 03 31 = 0


14/27

14

Se obtine vectorul propriu: 1 = 11

21

31

=120

Pentru

ԓ

2=

ԓ

3= 1, matricea (A-ԓI) are rangul unu si ecuatia (A-ԓI)

* X= O conduce la vectorii proprii:

2 = 11

21

31

=101

, 3 = 11

21

31

=110

care impreuna cu 1 formeaza un sistem de vectori liniar independent.2. Sa se calculeze cu metoda Danilevski valorile si vectorii proprii aimatricei:

8

−1

−5

−3 2 14 −1 −1 Deoarecemax 3 = 4 se vor permuta coloanele 1 si 2,pentru a obtineo matrice 1 asemenea cu matricea A,permutarea mentionata mai sus vafi urmata de permutarea liniilor 1 si 2,obtinandu-se:

1

∗

1=3

−2 1

−1 8

−5

−1 4 −1*

1 0 0

−1/4 1/4

−1/4

0 0 1=

5/2 −1/2 1/21 2 −30 1 0 B1=M1-1*A1*M1=

1 0 0-1 4 -10 0 1

*52 -

12

12

1 2 -30 1 0

=5/2 -1/2 1/23/2 15/2 -25/20 1 0

2= 2−1∗1∗2 =

3/2 15/2 −25/20 1 00 0 1

* 1 *2/3 −5 25/30 1 0

0 0 1=

10 −32 321 0 00 1 0


15/27

15

Ecuatia caracteristica asociata matricei Frobenius2 este:

Det( 2 -λI)=10 − −32 321 − 00 1

−=0

3-10 2+32λ-32=0Si are solutiile:

1 =2

2 = 3 =4

Vectorii proprii ai matricei2 sunt: ( ) =

2

1,i=1,2,3 iar vectorul

propriu ( ) ,corespunzator matricei A si valorii proprii este:( ) = 1∗2∗( )

3. Se da urmatoareamatrice. Sa se determine un vector propriucorespunzatoruneivaloripropriiutilizandMetodaDanilevsky.

Fie A=0101

0 0 20 1 −22 1 11 3 −1

=> A=0100

6 −7 60 0 01 0 00 1 0

=> (λ)= 4 - 6 2 + 7λ – 6

Din (λ)=0 => (λ+3) (λ-2)(2 - λ+1)=0, deci 1 =-3, 2 =2, 3,4

∈(1/2 ,

√3/2).

Pentru 1 =-3 => (1) =λ13λ12λ1 = −

279−31


16/27

16

Pentru 2 =2 => (2) =λ13λ12λ1 =

8421

De asemenea: M=

13

0

−2

114

314 −114−13 −13 13

73−131413

Obtinem:(1)

−23

9

−31−237

6

−31−237

6

−56

1

=−0. (6)1.1(6)−

0.8(3)1

,

respectiv: (2)1421

1−17−211−17−571 =

1−0. (142857)0. (714285)1

4.Sedă matriceaA.Să se rezolve prin Metoda lui Krylov.

A=10

10

1 3 −12 1 10 1

−2

0 0 2

Coeficientii polinomului caracteristic al matricei date, sunt: -6,10,-1,-6.

Precizari:

1) Se obtine:

(λ)= 4- 6 3+10 2 -λ – 6, pentru alegerea (0) =

0001

.


17/27

17

2) Dacaalegem (0) =1111

, atunci sistemul liniar

1224

−286 4 1

10 4 10 0 14 2 1

.

−22

.

−54

. 6 . −16

nu are solutie unica (este compatibil

nedeterminat).

5.Să se calculeze cumetodaLeverriervalorilepropriişivectoriipropriipentrumatricea

A=1 1 31 5 13 1 1

1) 1=1

2) 1 = A=1 1 31 5 13 1 1

2= - (1+5+1)= -7

3) Pasul k=22 = A * ( 1+ 2I)2 = A

*1 1 31 5 13 1 1

+

−7 0 00 −7 00 0 −7 =1 1 31 5 13 1 1

* −6 1 31 −2 13 1 −6 =4 2 −142−

8 2

−14 2 4


18/27

18

3= -1

2 (4-8+4)= 0

Pasul k=3

3 = A * ( 2+ 3I)=1 1 31 5 13 1 1

*4 2

−14

2

−8 2

−14 2 4=

−36 0 00 −36 00 0 −36 4= -

1

3 (-36-36-36)= 36

S-aobtinutecuatiacaracteristica:

3(λ)=3 - 7 2 + 36=0 , cu solutiile:

1 =-2,

2 =3,

3 =6.

Sistemul are expresia:1−1 + 2 + 3 3 = 01 + 5−2 + 3 = 03 1 + 2 + 1−3 = 0

Se calculeaza vectorul propriu1 corespunzator valorii proprii1 =-2. Sefieaza 1 =1 , se renunta la prima ecuatie si se fac inlocuirile in celelalte:

72

+3

=

−1

2 + 3 3 = −3 Se rezolvasistemul ==>2 = 1; 3 =0 ==> primul vector propriu :1 =

10−1


19/27

19

Urmeaza 2 . Se fixeaza 1 =1, se renunte la a doua ecuatie si se facinlocuirile in celelalte:

2 + 3 3 = 22

−2 3 =

−3

Se rezolva sistemul ==>2 = −1; 3 =1 ==>2 =

1−11 In final se calculeaza vectorul propriu 3 corespunzator valorii proprii

3 =6. Se fixeaza 1 =1, se renunta la a treia ecuatie si se fac inlocuirile inprimele doua ==>

2 + 3 3 = 5−2 + 3 3 = − 1 Se rezolva sistemul ==>2 = 3 ; 3 =1 ==> al treilea vector propriu este:

3 =121

6. Sa se afle,utilizand metoda Leverrier,polinomul caracteristiccorespunzator matricii de mai jos:

A=1 2 1

−11 0 2 1

2 1 −1 34 −5 0 4


20/27

20

2 =1 8 4 09 −1 −1 913 −12 5 813−

12

−6 7

3 =17 6 13 1942

−28 8 23

43 −9 −16 2219 −11 −3 −17 4 =

125

−48 16 104

122

−23

−22 46

90 −40 41 −12−66 120 0 −107

sk = Tr(Ak )

1=Tr( 1 )=1+0+(-1)+4=42=Tr(

2 )=1+(-1)+5+7=12

3=Tr( 3 )=17+(-28)+(-16)+(-17)=-44

4 =Tr( 4 )=125+(-23)+41+(-107)=36Deci 1=4, 2=12, 3=-44 si 4 =36. Prin urmare,vom avea:

1 = −1 = −42 =

−12 2

+ 1 1 =

−12

12 +

−4 4 = 2

3 = −13 3

+ 1 2 + 2 1 = −13 −44 + −4 1 2 + 2 4 = 284 = −14 4 + 1 3 + 2 2 + 3 1 = −14 36 + −4 −44 + 2 12 + 28

Asadar polinomul caracteristic este:

( )= 4

−4 3 + 2 2 + 28

−87

7. Gasiti polinomul caracteristic prin metoda lui Fadeev.

A=1 2 1 −11 0 2 12 1 −1 34 −5 0 4

Pentru k=1,2,3,4,calculam:


21/27

21

= −1 = −1 ( )

1 =

1 2 1 −11 0 2 12 1

−1 34 −5 0 4

1=-4

2 = −3 0 0 4

5 −1 −9 55 −16 9 −4−1 8 −6 −9 2=2

3 =

15

−22

−1 17

8

−24 16

−11

−5 41 −38 −4−33 27 21 −373 =28

4 =87 0 0 00 87 0 00 0 87 00 0 0 87

4 =-87

Asadar,polinomul caracteristic corespunzator matricii A,va fi:

= 4-4 3+2 2+28 -878. Reduceti matricea A la forma sa Frobenius:

A=0210

1 3 40 2 10 1 20 −1 −1

Matricea B= 3 = 3 · ·3−1 va fi:


22/27

22

B=1000

0 0 01 0 00 −1 −10 0 1

0210

1 3 40 2 10 1 20 −1 −1

1000

0 0 01 0 00 −1 −10 0 1 =

12

−101

−3 1

0

−3

−1

0 0 −10 1 0 Deoarece 32 =0 , vom avea nevoie de matricea de permutare

J=100

0

0 0 01 0 00

−1

−1

0 0 1

.

C= JBJ

=> C=1000

0 0 01 0 00 −1 −10 0 1

12−10

1 −3 10 −3 −10 0 −10 1 01000

0 0 01 0 00 −1 −10 0 1

In continuare,vom obtine matricea D=

2 = 2 2

−1 :

D=1 0 0 00 −1 0 −10 0 1 00 0 0 1

0 2 −2 −11 1 −3 10 −1 0 −10 0 1 01 0 0 00 −1 0 −10 0 1 00 0 0 1

=

0 −2 −2 −3−1 1 2 00 1 0 00 0 1 0

In final,forma Frobenius F = 1 = 1 1−1 va fi:


23/27

23

F = −1 1 2 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

0 −2 −2 −3−1 1 2 00 1 0 00 0 1 0

−1 1 2 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

1 4 2 31 0 0 00 1 0 00 0 1 0

Asadar polinomul caracteristic al matricei A este:

= 4 −3 −4 2 −2 −3 9. Utilizand metoda Faddeev,aflati polinomul caracteristic al matricei :

A=2 −1 1−1 2 11 −1 2

1 =2 −1 1−

1 2 11

−1 2

1 =Tr [ 1 ] = 6

2 =2 −1 1−1 2 11 −1 2 *

2 −1 1−1 2 11 −1 2 −61 0 00 1 00 0 1

=

−6 1 −33 8

−3

−1 1

−8

2 =1

2Tr [ 2 ] =

1

2 *(-22)= -11


24/27

24

3 =2 −1 1−1 2 11 −1 2 * −

6 1 −33 8 −3−1 1 −8 −−11∗1 0 00 1 00 0 1

=

6 0 0

0 6 00 0 6

3 =1

3Tr [ 3 ] =

1

3 * 18= 6

P(λ)= -6 +11λ-6 2 + 3

10. Folositi metoda Fadeev pentru a gasi polinomul caracteristic pentru urmatoarea matrice:

A=8 −1 3 −1−1 6 2 03 2 9 1−

1 0 1 7

1 =8

−1 3

−1

−1 6 2 03 2 9 1−1 0 1 7

1 =Tr[ 1 ]= 30

2 =

8

−1 3

−1

−1 6 2 0

3 2 9 1

−1 0 1 7 · (8

−1 3

−1

−1 6 2 0

3 2 9 1

−1 0 1 7 -(30)

·

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

)= −165 22 −42 1822 −139 −33 3−42 −33 −175 −1718 3 −17 −159

2 =1

2Tr[ 2]=

1

2(-638)=-319


25/27

25

3 =8 −1 3 −1−1 6 2 03 2 9 1−

1 0 1 7

· ( −165 22 −42 1822 −139 −33 3−42 −33 −175 −1718 3−

17

−159

-

(-319) ·1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

)=1066

−106 146

−70

−106 992 132 −34146 132 1087 67−70 −34 67 1085

3 =1

3Tr[ 3]=

1

3(4230)=1410

4 =

8

−1 3

−1

−1 6 2 03 2 9 1−1 0 1 7 · (

1066

−106 146

−70

−106 992 132

−34146 132 1087 67−70 −34 67 1085 -

(1410) ·1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

)

= −2138 0 0 0

0

−2138 0 0

0 0 −2138 00 0 0 −2138

4 =1

4Tr[ 4]=

1

4(-8552)=-2138

P[λ]= 4 - 4=1 −1 P[λ]=2138-1410λ+319

2

-303

+4


26/27

26

Bibliografie Catalina Lucia Cocianu,Cristian Razvan Uscatu – Capitole speciale

de calcul numeric cu aplicatii,Editura ASE, Bucuresti 2013 Radu Despa,Cristina Coculescu - Metode

numerice,EdituraUniversitara, Bucuresti, 2006 Massoud Malek – Linear algebra J.H. Caltenco, J. L´opez-Bonilla, R. Peńa-Rivero - Characteristic

polynomial of A and Faddeev’s method for

−1

Marilena Popa,Romulus Militaru – Metode numerice (Note de curs)


27/27

27

Corneliu Berbenete -Metode numerice, Editura Tehnica, Bucuresti,1998

metode numerice de determinare a radacinilor unui polinom

Documents