Çebi Eğitim Yayınları

Dergisi

POLİNOMLAR

Mert Çebi

Dergimizin İçindekiler

Dergi Tanıtımı, yazar konuşması 1

Matematik Nedir ? 2-3

Polinom Nedir ? 4

Karikatür 5

Polinom Konu Anlatımı 6-14

Birkaç Karikatür 15-16

Sevgili Okurlar, Bu günkü eğitim dergimizde sizlere Matematiğin önemli konularından olan Polinomlar’ı tanıtıp, anlatıp sevdirmeye çalışacağım. Öncelikle bu dergiyi hazırlama nedenim Olan Matematik öğretmenimiz İnci Hocama teşekkür ederim. Bu dergiyi okurken Hem eğlenecek hemde zorlandığınız Polinom sorularını büyük ihtimalle yapabileceksiniz. İlerde başka dergi konularıyla görüşmek üzere…

MERT ÇEBİ

1

Evet arkadaşlar şimdi Polinomlara geçmeden önce konumuz mağlum Matematik. Bir çoğunuz Matematiği sevmiyor. Ben de bu yüzden ilk önce Matematik nedir diye bir açıklama yapmak istedim.

Matematik Nedir ?

Matematik aklımıza gelen ilk anlamı Aritmetik, cebir, geometri gibi müsbet ilimlerin ortak adı olmasıdır. Fakat Matematiği aklımıza ilk gelen bu anlamıyla tanımlamak oldukça yanlıştır. Matematiğin ne olduğunu, onun özelliklerini ve elemanlarını belirterek daha iyi açıklamak mümkündür. Matematiğin öğeleri ise, mantık, sezgi, çözümleme, yapı kurma, genellik, bireysellik ve estetikten oluşur. Bu özellik ve öğelere dayalı olarak şunu belirtebiliriz. Matematik, yeni bilgilerin elde edilmesi, elde edilen bilgilerin açıklanması, denetlenmesi ve sonraki kuşaklara aktarılmasında yer ve zamana bağlı olmayan güvenilir bir araçtır. Eski Yunancada matesis kelimesi matematik kelimesinin köküdür ve ben bilirim anlamına gelmektedir. Daha sonradan sırasıyla bilim, bilgi ve öğrenme gibi anlamlara gelen máthema sözcüğünden türemiştir. Mathematikós öğrenmekten hoşlanan anlamına gelir. Osmanlı Türkçesinde ise Riyaziye denilmiştir. Matematik sözcüğü Türkçeye Fransızca mathématique sözcüğünden gelmiştir.

2

Matematik insanlık tarihinin en eski bilimlerinden biridir. Çok eskiden matematik, sayıların ve şekillerin ilmi olarak tanımlanırdı. Matematik de diğer bilim dalları gibi geçen zaman içinde büyük bir gelişme gösterdi; artık onu birkaç cümleyle tanımlamak mümkün değil. Matematik bir yönüyle resim ve müzik gibi bir sanattır. Matematikçilerin büyük çoğunluğu onu bir sanat olarak icra ederler. Matematik, başka bir yönüyle bir dildir. Galileo Galilei tabiat matematik dilinde yazılmıştır der. Matematik başka bir yönüyle de satranç gibi bir oyundur. Kimi matematikçiler de ona bir oyun gözüyle bakarlar.

Kaynak: http://matematik.nedir.com/#ixzz3V70y0yVB

3

Evet şimdide konumuz olan Polinomlara geldik. İlk önce Polinom nedir bi onuda öğrenelim ondan sonra konu anlatımı ve soru çözümlerine geçebiliriz.

Polinom Nedir ? Matematikte, bir polinom belirli sayıda belirsiz değişken ve sabit sayıdan oluşan bir ifadedir. Polinom kendi içinde toplama, çıkarma, çarpma ve negatif olmayan sayının üssünü alma işlemlerini kullanır. Örnek olarak tek bilinmeyenli bir polinom olan x2 − 4x + 7, ikinci dereceden bir polinomdur. Diğer bir örnek olarak, x2 − 4/x + 7x3/2 bir polinom değildir, çünkü 2. terimi x′i ele alan bir bölme işlemi içermektedir ve 3. terimi tam sayı olmayan bir sayı içermektedir (3/2). Polinomlar, bilimde ve matematik alanında sıkça görülür. Ekonomiden kimyaya, kimyadan fiziğe, ve sosyal bilimlerde problemlerin çözülmesi için kullanılır. Polinomlar, toplama işlemlerinde ve sayısal analizlerde diğer fonksiyonları belirlemek için kullanılır. İleri seviye matematikte, polinomlar, polinom halkaları oluşturmak için kullanılır, ve bu halkalar temel matematikte ve cebirsel geometride kullanılan merkezi bir kavramdır. Bu ismin akılda kalması amacıyla, Türk Dil Kurumu'nun da belirttiği polinom sözlük anlamıyla "çok terimli" anlamına gelmektedir.

4

Evet arkadaşlar şimdi size tüm kapsamıyla Polinomları anlatacağım. Anlatıma geçmeden önce bir karikatür iyi gider.

5

olinomlar P(x), Q(x), R(x) ... biçiminde gösterilir.

Polinomlar cebirin önemli konularından biridir. Bir polinomun kök-

lerini bulma işlemi matematik biliminin en eski problemlerinden

biridir. M. Ö. 2000 yıllarında Babilliler kök kavramını kullanarak

ikinci dereceden polinom denklemlerini çözdüler. 13. yüzyıla ka-

dar polinomların köklerini bulma ile ilgilenen bir çok bilim insanı

çok çeşitli sonuçlar elde etmiştir. 13. yüzyılda İtalyan matematikçi

Fibonacci x3 + 2x2 + cx = d biçimindeki bir denklemin köklerini

yaklaşık olarak bulmuştur. Ayrıca İtalyan matematikçiler Tartaglia

Tanıma göre, p(x)’in polinom olabilmesi için, a0, a1, a2, ..., an sayı- larının verilen kümeden ve n ‘nin doğal sayılar kümesinden olması gerekir.

Gerçek katsayılı polinomların kümesi R[x], rasyonel katsayılı po- linomların kümesi Q[x], tam sayı katsayılı polinomların kümesi de Z[x] ile gösterilir.

Z ⊂ Q ⊂ R olduğundan Z[x] ⊂ Q[x] ⊂ R[x] dir.

R[x]’i elemanları ile yazalım.

R[x]= {p(x): p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + akxk + ... + a1x + a0 ve ve Cardano 3. dereceden denklemlerin köklerini sabitler türünden a , a , a , ... , a ∈ R, n ∈ N} biçimindedir.

ifade etmişlerdir.

1838'de Norveçli matematikçi Abel 4. ve daha yukarı dereceden

polinomların köklerinin katsayılar ve köklü ifadeler cinsinden ya-

zılmayacağını ispatladı. Benzer bir çalışma Fransız matematikçi

Galois tarafından yapıldı. Polinom denklemler bilimin çeşitli dalla-

rında, verilerin modellenmesinde, mimari ve mühendislikte yaygın

olarak kullanılmaktadır.

Temel Kavramlar

TANIM

a0, a1, a2, ..., an ∈ R ve n ∈ N ve x değişken olmak üzere,

p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 biçimindeki ifadelere

reel katsayılı bir değişkenli polinom denir.

P TANIM

p(x) = anxn + an-1xn-1+ ... + akxk + ... + a1x + a0 polinomunda

a0, a1x, a2x2, ..., akxk, ..., anxn ifadelerine, polinomun terimleri,

a0 ≠ 0 terimine sabit terim, a0, a1, a2, ..., ak, ..., an sayılarına

polinomun katsayıları, akxk terimindeki k doğal sayısına

terimin derecesi, en büyük dereceli terimin katsayısına baş

katsayı ve derecesine de polinomun derecesi denir.

p(x) polinomunun derecesi der[p(x)] biçiminde gösterilir.

0 1 2 n

Sabit Polinom

TANIM

p(x) = anxn + an–1 xn–1 + ... + a1x + a0 polinomunda

an = an–1 = ... = a2 = a1 = 0 ve a0 ≠ 0 ise p(x) = a0 polinomuna

sabit polinom denir.

p(x) = 1, P(x) = 2 , p(x) = π , p(x) = –3 3

p(x) = 2 + 1 birer sabit polinomdur.

p(x) = anxn + an -1 xn-1 + .... + a1x+a0 polinomunda

sabit terim p(0) = a0 dır.

Sıfır Polinomu

TANIM

p(x) = anxn + an–1 xn–1 + ... +a1 x+a0 polinomunda,

an = an–1 = ... = a2 = a1 = a0 = 0 ise P(x) polinomuna sıfır

polinomu denir.

Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

Örnek 1. p(x) = 0 sıfır polinomudur.

2. q(x) = (m – 1)x3 + (2n – m)x2 + p – n ifadesinin sıfır polinomu

olması için m, n, p’nin değerlerini bulalım.

6

POLİNOM KAVRAMI VE POLİNOMLARLA İŞLEMLER BÖLÜM 1

ÜNİTE – 7

POLİN

OMLA

R

Bölüm

– 1 PO

LİNOM

KA

VRA

MI VE PO

LİNOMLA

RLA

İŞLEMLER

Çözüm

q(x) ifadesinin sıfır polinomu olması için m, n ve p’nin alacağı de- ğerler şöyle olacaktır:

m – 1 = 0 2n – m = 0 p – n = 0

m = 1 2n = m p = n n = 1 p = 1 bulunur.

Örnek

p(x) = (m – 3) x3 – 4x2 + (n + 2) x + p – 1

q(x) = –2x3 – 4x2 + 5x – 1 polinomlarının eşit olması için m + n + p’nin alacağı değeri bulalım.

2 2 Çözüm

TANIM

Her fonksiyon bir polinom olmayabilir. Ancak her polinom

bir fonksiyondur.

x ∈ R ise p(x) = anxn + an–1xn–1 + ...+ a1 x + a0 polinomu

R’den R’ye fonksiyondur.

Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

1. x ∈ R olmak üzere,

p(x) = x2 – 5x + 6 bir fonksiyon ve bir polinomdur. Burada,

∀ x ∈ R için p(x) ∈ R’dir.

Örneğin,

x = –1 için p(–1) = (–1)2 – 5(–1) + 6 = 12 x = 2 için p(2) = 22 – 5 · 2 + 6 = 0

x = – 3 için p(–3) = (–3)2 – 5 · (–3) + 6 = 30 elde edilir.

2. f : R+ → R

f(x) = x + x - 2 fonksiyonu bir polinom değildir. 1 1

p(x) = q(x) ⇔ m – 3 = –2 ∧ n + 2 = 5 ∧ p – 1 = –1 ⇔ m = 1 ∧ n = 3 ∧ p = 0

m + n + p = 1 + 3 + 0 = 4 bulunur.

Örnek

2. p(x) = (2a –1)x2 + (b – 3) x – c – 2 ve q(x) = 3x2 – 9b polinomla- rının eşit olması için a, b ve c’nin alacağı değerleri bulalım.

Çözüm

Bu iki polinomun eşit olabilmesi için, aynı dereceli terimlerin katsa- yılarının eşit olması gerekir. Buna göre,

p(x) = q(x) ⇔ 2a –1 = 3 ∧ b – 3 = 0 ∧ – c – 2 = –9b dir.

2a – 1 = 3 b – 3 = 0, c + 2 = 9b

a = 2 b = 3 c = 9b – 2 (b = 3)

c = 9.3 – 2 = 27 – 2

c = 25 bulunur. Çünkü x = x 2 olup 2 doğal sayı değildir.

3. h : R \ {– 1} → R 3

h(x) = 1– x

(1 + x)2 fonksiyonu bir polinom değildir. Örnek

p(x) = 5x4 – 3x2 – 4x + 7 ifadesi bir polinomdur. Bu polinomun baş

İki Polinomun Eşitliği katsayısı 5, derecesi der [p(x)] = 4, sabit terimi 7 ve terim sayısı 4’ tür.

TANIM

p(x) = anxn + an–1 xn–1 + ........... +a1 x + a0 ve

q(x) = bkxk + bk–1 xk–1 + ........... +b1 x + b0 olsun.

Örnek

q(x) = 3x3/2

– 4x2

+ 2x – 1 ifadesi bir polinom değildir. Çünkü 3x3/2

p(x) = q(x) olması için gerek ve yeter koşul, n = k ve 0 ≤ i ≤ n

için ai = bi olmasıdır.

Bunu kısaca,

teriminde x’in kuvveti olan

Örnek

3 sayısı doğal sayı değildir. 2

p(x) = q(x) ⇔ n = k ve ai = bi; i = 0, 1, 2, . . . , n biçiminde

ifade edebiliriz. p(x) = (2m – 3)x2 + (n +2) x – 5 polinomu sabit polinom olduğuna göre, m + n yi bulalım.

7

POLİN

OMLA

R

Bölüm

– 1 PO

LİNOM

KA

VRA

MI VE PO

LİNOMLA

RLA

İŞLEMLER

ÜNİTE – 7

Çözüm

p(x) in sabit polinom olması için

2m – 3 = 0 ve n + 2 = 0 olmalıdır.

2m – 3 = 0 ⇒ 2m = 3 ⇒ m = 3 2

n + 2 = 0 ⇒ n= –2 ve

m + n = 3

+ (– 2) 2

Çözüm

p(x) = (1 – 3x + 3x2)2009 · (1 + 3x – 3x2)2010 polinomunda

x = 1 yazılırsa polinomun katsayılar toplamı

p(1) = (1 – 3 · 1 + 3 · 12)2009 · (1 + 3 ·1 – 3 · 12)2010

p(1) = 12009 · 12010 = 1 bulunur.

Örnek

m + n = – 1 2

bulunur.

Örnek

p(x) = (3x2 + 4x – 5)2 polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayı- larının toplamını bulalım.

q(x) = x4 – ax3 + bx2 – 3x+2 ve q(1) + q(–1)= 4 ise, b yi bulalım.

Çözüm q(x) = x4 – ax3 + bx2 – 3x + 2 polinomunda x = 1 için,

q(1) = 14 – a · 13 + b · 12 – 3 · 1 + 2 ⇒ q(1) = b – a ve x = –1 için

q(–1) = (–1)4 – a(–1)3 + b(–1)2 – 3 · (–1) + 2 ⇒ q(–1) = a + b + 6

Çözüm

p(x) polinomunda tek dereceli terimlerin katsayılarının toplamı p(1) – p(– 1)

dir. 2

p(x) = (3x2 + 4x – 5)2 polinomunda

q(1) + q(–1) = 4 ⇒ (b – a) + (a + b + 6) = 4 x = 1 için p(1) = (3 · 12 + 4 · 1 – 5)2 = 22 = 4

2b + 6 = 4

2b = – 2

x = –1 için p(–1) = (3 · (–1)2 + 4 · (–1) – 5)2 = (–6)2 = 36

olduğundan tek dereceli terimlerin katsayılarının toplamı b = –1 bulunur. p(1) – p(– 1) 4 – 36 – 32

= = = – 16 bulunur. 2 2 2

Örnek

p(x) = ax4 – (a + 1)x3 + (a – 2)x2 + (a + 2) x + a – 1 polinomunun katsayıları toplamı 1 ise, a yı bulalım.

Çözüm

p(x) = ax4 – (a + 1)x3 + (a – 2)x2 + (a + 2) x + a – 1 polinomunda

x =1 için p(1) = 1 ise,

a · 14 – (a + 1) · 13 + (a –2) · 12 + (a + 2) · 1 + a – 1 = 1

a – a – 1 + a – 2 + a + 2 + a – 1 = 1

3a – 2 = 1 ⇒ 3a = 3

a = 1 bulunur.

Örnek

p(x) = (x2 – 2x – 3)n polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı –512 olduğuna göre, n yi bulalım.

Çözüm p(x) in çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı

p(1) + p(– 1) = – 512 veriliyor.

2

p(1) = (12 – 2 · 1 – 3)n = (–4)n

p(–1) = ((–1)2 – 2 · (–1) –3)n = 0

Örnek p(1) + p(– 1)

2

= – 512 ⇒

(– 4) n + 0 2

= –512

p(x) = (1 – 3x + 3x2)2009 · (1 + 3x – 3x2)2010 biçiminde verilen p(x) polinomunun katsayılar toplamını bulalım.

⇒ (–4)n = –1024 = –210 = (–4)5

n = 5 bulunur.

8

ÜNİTE – 7

POLİN

OMLA

R

Bölüm

– 1 PO

LİNOM

KA

VRA

MI VE PO

LİNOMLA

RLA

İŞLEMLER

p(x) Verildiğinde p(q(x)) i Bulmak

p(x) verildiğinde, p(q(x))≠ i bulmak için p(x)

polinomunda x yerine q(x) yazılır.

Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

1. p(x) = x7 – 5x6 + 4x4 – 3x2 – 5x – 1 ise, p(–1) i bulalım.

p(x) de x = –1 yazalım.

p(–1) = (–1)7 – 5(–1)6 + 4(–1)4 – 3 (–1)2 – 5 (–1) – 1

p(–1) = –1 –5 · 1 + 4 · 1 – 3 · 1 + 5 – 1

p(–1) = –1 – 5 + 4 – 3 + 5 – 1 = –1 bulunur.

2. p(x) = x2 – 5x – 6 ise, p(x+1) i bulalım.

p(x) polinomunda x yerine x+1 yazmalıyız.

p(q (x)) Verildiğinde p(x) i Bulmak

(q o q–1)(x) = I(x) = x olduğundan, p(x) i bulmak için, q(x) in tersini

p(q(x)) polinomunda x yerine yazarız.

Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

1. p(x – 1) = 2x2 – x+3 ise, p(x) polinomunu bulalım.

Burada q(x) = x – 1 olup q–1(x) = x+1’dir.

p(x – 1) = 2x2 – x + 3 polinomunda x yerine x + 1 yazalım.

p(x – 1) = p(x + 1 –1) = p(x) = 2(x+1)2 – (x+1) + 3

p(x) = 2(x2 + 2x+1) – x – 1 + 3

p(x) = 2x2 + 4x + 2 – x+2 ⇒ p(x) = 2x2 + 3x + 4 olarak bulunur.

2. p( 2 – 3y) = y2 – 4y – 9 ise, p(y) polinomunu bulalım. p(x+1) = (x+1)2 – 5 (x+1) – 6 2 – y

q(y) = 2 – 3y olup q-1 (y) = 3

olur.

= x2 + 2x + 1 – 5x – 5 – 6

= x2 – 3x – 10 bulunur.

p(2 – 3y) = y2 – 4y – 9 polinomunda y yerine 2 – y

yazalım. 3

2 – y p(2 – 3y) = pd2 – 3 $ ( )n = d

3

2 – y 2 n

3 – 4 $ d

2 – y 3

n – 9

3. p(x + 1) = x2 + 6x + 8 olduğuna göre, p(x - 1)≠ i

bulalım.

p(x + 1) ifadesinde x + 1 in olduğu yerde x – 1 olmalı.

4 – 4y + y2 p(y) =

9

8 – 4y – – 9

3

Yani x + 1 → x – 1 olmalı.

p(y) =

4 – 4y + y2 – 24 + 12y – 81 9

x + 1 → x – 1 olması için x → x – 1 – 1

yani x yerine x – 2 yazmalıyız. O halde,

p(x – 2 + 1) = (x – 2)2 + 6 (x – 2) + 8

y2 p(y) =

+ 8y – 101 9

olarak bulunur.

= x2 – 4x + 4 + 6x – 12 + 8

= x2 + 2x bulunur.

Örnek

p(2x + 1) = x2 – 3x + 2 olduğuna göre, p(x) polinomunu bulalım.

9

POLİN

OMLA

R

Bölüm

– 1 PO

LİNOM

KA

VRA

MI VE PO

LİNOMLA

RLA

İŞLEMLER

ÜNİTE – 7

n

m $ ̀ m

Çözüm

q(x) = 2x + 1 ⇒ q– 1(x) =

x – 1 dir.

2

Örnek

p(1 – ax) = a2x2 + ax – 2a+1 ve P(0) = –3 ise, a yı bulalım.

p(2x + 1) = x2 – 3x + 2 eşitliğinde x yerine x – 1 yazalım.

2

p 2 $ x – 1 + 1 = x – 1 2 – 3 $ x – 1 + 2

` 2 j ` 2 j ` 2 j Çözüm p(x) = x2 – 2x + 1 – 3x – 3 + 2 1

4 2 ^2h (4) 1 – a x = 0 ⇒ x = a ve p(0) = –3 olup,

p(x) = x2 – 2x + 1 – 6x + 6 + 8 p 1 – a $ 1 = a2 1 2

+ a $ 1 – 2a + 1 4

p(x) = x2 – 8x + 15 bulunur.

` a j ` a j ` a j

4 p(0) = 1 + 1 – 2a + 1

p(0) = 3 – 2a = – 3 tür.

Buradan –2a = –6 ⇒ a = 3 bulunur.

Örnek

p(4x – 3) = 3 + 4x ise, p(5) i bulalım.

Örnek

p(x+1) = mx + n ise, p(x – 1) polinomunu bulalım.

Çözüm 1. Yol:

Önce p(x) polinomunu bulup, sonra p(5) i buluruz.

q(x) = 4x – 3 ise q-1(x) = x + 3 ’tür. 4

p(4x –3) = 3 + 4x ifadesinde x yerine x + 3 yazalım. 4

x + 3

Çözüm

q(x) = x + 1 ⇒ q–1 (x) = x – 1 dir. O halde,

p(x – 2 + 1) = m(x – 2) + n ⇒ P(x – 1) = m(x – 2) + n dir.

= mx – 2m + n bulunur.

Örnek p(mx+2) = 3m2x2 + 10mx eşitliğini sağlayan p(x) polinomunu

pd4 $ 4 – 3 = 3 + 4 · x + 3 4

bulalım.

p(x) = 3 + x + 3

p(x) = x + 6 ve p(5) = 5 + 6

p(5) = 11 dir.

2. Yol:

Verilen ifade p(q(x)) biçiminde ve q(x) = 4x – 3 olduğundan q(x) = 5 eşitliğini sağlayan x değerini bulup, verilen ifadede yerine yazalım. Yani,

Çözüm

q(x) = mx + 2 denilirse q-1(x) = 2 2

x – 2 dir.

m

x – 2 q(x) = 5 ⇒ 4x – 3 = 5

4x = 8

p(mx+2) = 3m x + 10mx eşitliğinde x yerine yazalım. m

x = 2’dir. p(4x – 3) = 3 + 4x ifadesinde x = 2 yazalım.

p`m` x – 2 j + 2j = 3m2

2

x – 2 2

m j (x – 2) 2

+ 10m $ ̀ x – 2 j (x – 2)

p(4 · 2 – 3) = 3 + 4 · 2 p(x) = 3m $ + 10m $

m2 m

p(5) = 11 olarak bulunur. p(x) = 3 (x – 2) 2 + 10 (x – 2) bulunur.

10

ÜNİTE – 7

POLİN

OMLA

R

Bölüm

– 1 PO

LİNOM

KA

VRA

MI VE PO

LİNOMLA

RLA

İŞLEMLER

POLİNOMLARDA İŞLEMLER A) TOPLAMA İŞLEMİ

TANIM

Reel katsayılı p(x) ve q(x) polinomları için der(p(x)) = m, der(q(x)) = n olsun.

p(x) = bm xm + bm–1xm–1+ ...+ b1x + b0 ve q(x) = anxn + an–1xn–1+ ...+ a1x + a0 olsun. Bu durumda

a) m = n ise,

Örnek

p(x) = 3x4 – 4x3 – 5x + 6

q(x) = –2x4 + 6x – 7 polinomları veriliyor.

p(x) + q(x) = q(x) + p(x) olduğunu gösterelim.

Çözüm p(x) + q(x) = 3x4 – 4x3 – 5x + 6 – 2x4 + 6x – 7

p(x) + q(x) = (an + bn) xn + (an–1 + bn–1)xn–1 + ...+ (a1 + b1)x p(x) + q(x) = x4 – 4x3 4

+ x – 1 dir. 4 3

+ a0 + b0’dır. q(x) +p(x) = –2x + 6x – 7 + 3x – 4x – 5x + 6

O halde der (p(x) + q(x)) ≤ n dir.

b) m > n ise,

p(x) + q(x) = bmxm + bm–1 xm–1 + ... + (an + bn) xn + ...+ (a1 + b1)x + a0 + b0 olup

der(p(x) + q(x)) = m dir.

c) m < n ise, p(x) + q(x) = anxn + an–1 xn–1 + ... + (am + bm)xm + ...+ (a1 + b1)x

+ a0 + b0 olup der(p(x) + q(x)) = n dir. Farklı derecelerdeki iki polinomun toplamının derecesi, dereceleri arasında en büyük olanına eşittir. der[p(x) + q(x)} der p(x) + derq(x) olduğuna dikkat ediniz.

der[p(x) + q(x)] derp(x) + derq(x) ise p(x) ve q(x) sabit polinomdur.

Toplama İşleminin Özellikleri a. Kapalılık Özelliği: p(x), q(x), ∈ R[x] olsun. p(x) + q(x) ∈ R[x] dir.

Yani, R[x] kümesindeki iki elemanın toplamı yine R[x] kümesinin bir elemanıdır.

R[x] kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

b. Değişme Özelliği: p(x), q(x), ∈ R[x] ise p(x) + q(x) = q(x) + p(x) tir.

R[x] kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

c. Birleşme Özelliği: p(x), q(x), r(x) ∈ R[x] olsun.

[(p(x) + q(x)] + r(x) = p(x) + [q(x) + r(x)]’ tir.

R[x] kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

d. Birim Eleman: R[x] reel katsayılı polinomlar kümesinde sıfır polinomu toplama işlemine göre, birim elemandır.

e. Ters Eleman: Her p(x) polinomunun toplama işlemine göre tersi olan polinom –p(x) tir. p(x) ve –p(x) polinomları toplama işlemine göre birbirinin tersidir.

= x4 – 4x3 + x – 1 olup

p(x) + q(x) = q(x) + p(x) tir.

Örnek p(x) = 1 + x + x2 – x3

q(x) = 1 – x + 2x2 + 3x3

r(x) = 1 + 2x –3x2 + 5x3

polinomları için toplama işleminin birleşme özelliğinin sağlandığını görelim.

Çözüm [p(x) + q(x)] + r(x)

= [(1+x+x2 – x3) + (1– x + 2x2 + 3x3)] + (1+2x – 3x2 + 5x3)

= (2 + 3x2 + 2x3) + (1 + 2x – 3x2 + 5x3)

= 3 + 2x + 7x3 tür.

p(x) + [q(x) + r(x)]

= (1+ x + x2 – x3) + [(1 – x + 2x2 + 3x3) + ( 1 + 2x – 3x2 + 5x3)]

= (1 + x + x2 – x3) + (2 + x – x2 + 8x3)

= 3 + 2x + 7x3 olup

[p(x) + q(x)] + r(x) = p(x) + [q(x) + r(x)] tir.

Örnek p(x) = –2x3 – 5x2 + 4x – 3 ve q(x) = x3 – 5x + 7

polinomları veriliyor.

a) p(x) + q(x)

b) 5p(x) + 3q(x) polinomlarını bulalım.

11

POLİN

OMLA

R

Bölüm

– 1 PO

LİNOM

KA

VRA

MI VE PO

LİNOMLA

RLA

İŞLEMLER

ÜNİTE – 7

Çözüm a) p(x) + q(x) = (–2x3 – 5x2 + 4x – 3) + (x3 – 5x + 7 )

= –x3 – 5x2 – x + 4’ tür.

b) 5p(x) + 3q(x) = 5(–2x3 – 5x2 + 4x – 3) + 3 (x3 – 5x + 7)

= –10 x3 – 25x2 + 20x – 15 + 3x3 – 15x + 21

= – 7 x3 – 25x2 + 5x + 6

Örnek p(x) = ax2 + bx + c ve p(x + 1) = 6x2 + 4x + 9 olduğuna göre,

a + b + c toplamını bulalım.

bulunur.

Örnek p(x) = 2x4 – 3x2 + (a – 1) x – (b + 1) ve

q(x) = (c + 1) x4 + (d – 3)x2 – 5x – 6 polinomları veriliyor.

p(x) + q(x) = 4x4 – 2x2 – 3x – 4 ise,

a + b + c + d toplamını bulalım.

Çözüm p(x) + q(x) = (2 + c + 1)x4 + (d–3–3)x2 + (a–1–5)x – (b+1+6) ve

p(x) + q(x) = 4x4 – 2x2 – 3x–4 olduğundan

(c + 3)x4 + (d – 6)x2 + (a – 6) x – (b + 7) = 4x4 – 2x2 – 3x –4 tür.

Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olacağından

c + 3 = 4d – 6 = –2 a – 6 = –3 b + 7 = 4

c = 1 d = 4 a = 3 b = –3 tür. a + b + c + d = 3 +(–3) + 1 + 4 = 5 bulunur.

Örnek p(x) = ax + b polinomu için, p(x) + p(1 – x) = a + 4 eşitliği

sağlanıyor. p(2) = 4 ise, a + b yi bulalım.

Çözüm

Çözüm p(x) = ax2 + bx + c polinomunda x = 1 için p(1) = a + b + c dir.

p(x + 1) polinomundan p(1) i elde etmek için x = 0 yazmalıyız.

x = 0 için p(0 + 1) = p(1) = 0 + 0 + 9 olduğundan, p(1) = a + b + c = 9 bulunur.

B) ÇIKARMA İŞLEMİ

p(x), q(x) ∈ R[x] olsun. p(x) – q(x) polinomunu bulmak için toplama

işleminden yararlanılır.

p(x) – q(x) = p(x) + (–q(x)) tir. Çıkarma işleminde aynı dereceli

terimlerin katsayıları çıkarılır. R[x] kümesinde çıkarma işleminin

kapalılık özelliği vardır.

TANIM

p(x), q(x) ∈ R[x] olsun.

1. der[p(x)] = der [q(x)] = m ise a, b ∈ R olmak üzere, ap(x) "bq(x) polinomunun derecesi en çok m olabilir.

2. der[p(x)] = n, der[q(x)] = m ise a $ p(x) " b $ q(x) polinomu- nun derecesi m ve n den büyük olanıdır.

C) ÇARPMA İŞLEMİ

p(x), q(x) ∈ R[X] , der [p(x)] = n, der[q(x)] = m ve

p(x) = anxn + an–1xn–1 + . . . + a1x + a0

p(x) + p(1 – x) = (ax + b) + a(1 – x) + b q(x) = b

xm + b

xm–1 + . . . + b x + b

ise

= ax + b + a – ax + b = 2b + a dır.

p(x) + p(1 – x) = a + 4 olduğundan 2b + a = a + 4 ve 2b = 4 ⇒ b = 2 dir. p(2) = 2a + b = 4 olup b = 2 olduğundan 2a + 2 = 4 ⇒ 2a = 2

⇒ a = 1

O halde a + b = 1 + 2 = 3 bulunur.

m m–1 1 0

p(x) ⋅ q(x) = anxn ⋅ q(x) + an–1xn–1 q(x) + . . . + a1xq(x) + a0q(x)

= anbmxn+m + anbm–1xn+m–1 + . . . + a0bmxm + . . .+ a1b1x2 + a1b0x

+ a0b0 dır.

der[p(x) · q(x)] = der [(p(x)] + der [q(x)] = n + m dir.

Polinomların kümesinde iki polinomun çarpımı yapılırken çarpma

işleminin, toplama işlemi üzerine dağılma özelliğinden yararlanılır.

12

ÜN

İTE – 7 PO

LİNO

MLA

R

Bölüm

– 1 PO

LİNO

M K

AVR

AM

I VE POLİN

OM

LAR

LA İŞLEM

LER

TANIM

p(x) ≠ 0 , q(x) ≠ 0 olmak üzere,

der [p(q(x)] = der [q(p(x))] dir.

Çarpma İşleminin Özellikleri 1. Kapalılık Özelliği: p(x), q(x) ∈ R[x] ise p(x) · q(x) ∈ R[x] tir.

R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

2. Değişme Özelliği:p(x) · q(x) = q(x) · p(x) tir. Bu R de çarpma

işleminin değişme özelliğinin bir sonucudur.

3. Birleşme Özelliği: p(x), q(x) ve r(x) ∈ R[x] olsun.

[p(x) · q(x)] · r(x) = p(x) · [q(x) · r(x)] dir. Bu R de çarpma

işleminin birleşme özelliğinin bir sonucudur.

4. Birim Eleman Özelliği: R[x] polinomlar kümesinin çarpma

işlemine göre birim elemanı 1 ∈ R[x] sabit polinomudur.

5. Dağılma Özelliği: R[x] de p(x), q(x) ve R(x) polinomları için

p(x) · [q(x) + r(x)] = p(x) · q(x) + p(x) . r(x) olup dağılma özelliği vardır.

Örnek

p(x) = x2 + 5x – 3 ve q(x) = 3x2 – 4x + 1 polinomları için

p(x) – q(x) ve 3 · p(x) – 2 · q(x) polinomlarını bulalım.

Çözüm p(x) – q(x) = p(x) + (–q(x)) olduğundan

–q(x) = –3x2 + 4x –1 ve

p(x) – q(x) = (x2 + 5x – 3) + (–3x2 + 4x –1)

p(x) – q(x) = –2x2 + 9x – 4 olarak bulunur.

3p(x) = 3(x2 + 5x – 3) = 3x2 + 15x – 9 ve

2q(x) = 2(3x2 – 4x + 1) = 6x2 – 8 x + 2 olup

–2q(x) = –6x2 + 8x – 2

3p(x) – 2q(x) = (3x2 + 15x – 9) + (–6x2 + 8x – 2)

= –3x2 + 23x – 11 bulunur.

Örnek p(x) = x3 – (a + 1)x2 – 2x – 1 ve

q(x) = (b + 1)x3 – 3x2 – (c – 1) x + d + 2 polinomları için

p(x) – q(x) = 5x3 – 2x2 ise a, b, c, d sayılarını bulalım.

Çözüm q(x) = (b + 1)x3 – 3x2 – (c – 1) x + d + 2 ise

–q(x) = –(b + 1)x3 + 3x2 + (c – 1) x – (d +2) dir.

p(x) – q(x) = p(x) + (–q(x))

= x3 – (a + 1)x2 – 2x–1 + (–(b + 1)x3 + 3x2 + (c – 1) x – (d + 2))

= (1 – b – 1)x3 + (–a – 1 + 3)x2 + (c – 1 – 2) x + (–d – 2 – 1)

= –bx3 + (–a + 2)x2 + (c – 3) x + (–d – 3) tür.

p(x) – q(x) = 5x3 – 2x2 olduğundan

–bx3 + (–a + 2 )x2 + (c – 3) x + (–d – 3) = 5x3 – 2x2

İki polinomun eşitliğinden,

–b = 5, –a + 2 = –2, c – 3 = 0, –d – 3 = 0

b = –5 a = 4 c = 3 d = –3

olarak bulunur.

Örnek p(x) = x7 – 7x6 + 6x5 + 3x2 – 2 ve

q(x) = 2x8 + x7 + 5x3 – 4 polinomları için

der[p(x)– q(x)]’i bulalım.

Çözüm

p(x) – q(x) = (x7 – 7x6 + 6x5 + 3x2 –2) – (2x8 + x7 + 5x3 –4)

= x7 – 7x6 + 6x5 + 3x2 – 2 – 2x8 – x7 – 5x3 + 4

p(x) – q(x) = –2x8 – 7x6 + 6x5 – 5x3 + 3x2 + 2 olup

der [p(x) – q(x)] = 8 dir.

13

POLİN

OM

LAR

B

ölüm – 1

POLİN

OM

KA

VRA

MI VE PO

LİNO

MLA

RLA

İŞLEMLER

Ü

NİTE – 7

Örnek

p(x) = 3x+2 ve q(x) = x2 – 5x – 6 polinomları için p(x) · Q(x) çarpımını bulalım.

Çözüm p(x) · q(x) = (3x + 2) (x2 – 5x – 6)

= 3x(x2 – 5x – 6) + 2 (x2 – 5x – 6)

= 3x3 – 15x2 – 18x + 2x2 – 10x – 12

p(x). q(x) = 3x3 – 13x2 – 28x – 12 dir.

D) POLİNOMLARDA BÖLME

p(x), q(x) iki polinom ve q(x) ≠ 0 olsun. p(x) polinomu q(x) polino-

muna bölündüğünde, bölüm b(x) ve kalan k(x) ise,

p(x) = b(x) . q(x) + K(x) eşitliği yazılır.

Bu yazılışta, p(x) : bölünen, b(x) : bölüm, q(x): bölen, K(x): kalandır.

Eğer K(x) = 0 ise p(x) = b(x) · q(x) olur ve bu durumda p(x), q(x) e

tam (kalansız) bölünüyor denir.

k(x) ≠ 0 ise p(x), q(x)’e kalanlı bölünüyor denir.

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzerdir. Bir

p(x) polinomunun q(x) polinomuna bölümü,

der[q(x)] ≤ der [p(x)] olmak üzere,

Bölünen ← p(x) q(x) → Bölen

Örnek b(x) q(x) b(x) → Bölüm

p(x) = x + a ve q(x) = x2 – 3x iki polinom ve

t(x) = p(x) · q(x) biçiminde tanımlansın.

t(x)’in katsayılar toplamı 2 ise, a yı bulalım.

Çözüm

I. yol : t(x) i bularak sonuca ulaşalım.

t(x) = p(x) · q(x)

= (x + a) · (x2 – 3x)

= x(x2 – 3x) + a(x2 – 3x)

= x3 – 3x2 + ax2 – 3ax

= x3 + (a – 3)x2 – 3ax

t(x) in katsayılar toplamını bulmak için x = 1 yazalım.

t(x) = 1 + (a – 3) – 3a = 2

–2a – 2 = 2

–2a = 4

a = –2 bulunur.

II. yol: t(1) = p(1) · q(1) = 2

= (1 + a) · (1 – 3) = 2

(1 + a) · (–2) = 2

1 + a = –1

a = –2 bulunur.

k(x) → Kalan

p(x) – b(x) . q(x) = k(x) ya da p(x) = b(x) . q(x) + k(x) biçiminde ifade edilir.

TANIM

p(x) ve q(x) iki polinom olsun. (q(x) ≠ 0)

1. p(x)’in q(x)’e bölünebilmesi için der [p(x)] ≥ der[q(x)] olmalıdır.

2. p(x)’in q(x) e bölümünde bölüm B(x) ise,

der[P(x)] = der[q(x)] + der[B(x)] dir.

3. p(x) = B(x) · q(x) + K(x) bölme işleminde K(x) in derecesi q(x) in derecesinden küçüktür.

4. Reel katsayılı polinomlar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir.

5. p(x), q(x) iki polinom (q(x) ≠ 0) der [p(x)] = m

der[q(x)] = n ve m > n ise

p(x) der>

q(x)H = der6p(x)@ – der6q(x)@ = m –n dir.

Bir Polinomun x ± a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan

p(x) bir polinom, a ∈ R ve der [p(x)] ≥ 1 olsun. p(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden bölüm q(x) ise p(x) = (x – a) · q(x) + kx) yazılır. Diğer yandan x – a = 0 ise x = a dır. x = a değeri p(x) polinomunda yerine yazılırsa,

p(a) = (a – a) q(a) + k(a) olur. Buradan p(a) = k(a) bulunur.

14

ÜN

İTE – 7 PO

LİNO

MLA

R

Bölüm

– 1 PO

LİNO

M K

AVR

AM

I VE POLİN

OM

LAR

LA İŞLEM

LER

15

16