m103 linearna algebra 1 - fizika.unios.hr · .ﬁzika.unios.hr/la1/ p 1 spektarminimalni polinom 1...

M103 Linearna algebra 1

Tema: Linearni operatori

21. 5. 2018.

predavac: Darija Markovic asistent: Darija Markovic

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Spektar Minimalni polinom

1 Spektar

2 Minimalni polinom

M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori 2/14

Definicija 2.66.

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor te neka je A ∈ L(V ) iλ0 ∈ σ(A). Neka je

kA(λ) = (λ− λ0)lp(λ), p(λ0) 6= 0, l ∈ N.

Broj l zovemo algebarskom kratnoscu svojstvene vrijednosti λ0 ioznacavamo ga s l(λ0).

Teorem 2.67.

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, te neka je A ∈ L(V )i λ0 ∈ σ(A). Tada je

d(λ0) ≤ l(λ0).

Definicija 2.66.

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor te neka je A ∈ L(V ) iλ0 ∈ σ(A). Neka je

kA(λ) = (λ− λ0)lp(λ), p(λ0) 6= 0, l ∈ N.

Broj l zovemo algebarskom kratnoscu svojstvene vrijednosti λ0 ioznacavamo ga s l(λ0).

Teorem 2.67.

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, te neka je A ∈ L(V )i λ0 ∈ σ(A). Tada je

d(λ0) ≤ l(λ0).

Napomena 2.68.Vec znamo da za proizvoljan linearan operator opcenito nije moguce nacibazu u kojoj bi njegova matrica bila dijagonalna. Osnovna smetnja jenedostatak svojstvenih vrijednosti (jer smo vidjeli da su dijagonalnikoeficijenti u dijagonalnom matricnom zapisu zapravo svojstvenevrijednosti operatora).Prethodni teorem (i primjer 2.65.) pokazuje jos jednu mogucu zapreku zaegzistenciju dijagonalnoga matricnog zapisa danog operatora. Ukoliko jeza neku svojstvenu vrijednost λ0 njezina geometrijska kratnost d(λ0)strogo manja od algebarske kratnosti l(λ0), onda je evidentno nemogucenaci bazu u kojoj bi taj operator imao dijagonalnu matricu.

Propozicija 2.69.

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, neka je A ∈ L(V ),neka su λ1, . . . , λk medusobno razlicite svojstvene vrijednosti operatoraA te neka su x1, . . . , xk svojstveni vektori pridruzeni, redom, svojstvenimvrijednostima λ1, . . . , λk. Tada je skup {x1, . . . , xk} linearno nezavisan.

Teorem 2.70.

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, A ∈ L(V ), te neka je

e(i) = {e(i)1 , e(i)2 , . . . , e

(i)di} baza za svojstveni potprostor VA(λi),

i = 1, . . . , k. Tada je unija⋃ki=1 e

(i) linearno nezavisan skup u V .

Propozicija 2.69.

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, neka je A ∈ L(V ),neka su λ1, . . . , λk medusobno razlicite svojstvene vrijednosti operatoraA te neka su x1, . . . , xk svojstveni vektori pridruzeni, redom, svojstvenimvrijednostima λ1, . . . , λk. Tada je skup {x1, . . . , xk} linearno nezavisan.

Teorem 2.70.

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, A ∈ L(V ), te neka je

e(i) = {e(i)1 , e(i)2 , . . . , e

(i)di} baza za svojstveni potprostor VA(λi),

i = 1, . . . , k. Tada je unija⋃ki=1 e

(i) linearno nezavisan skup u V .

Korolar 2.71.Neka je V kompleksan konacnodimenzionalan vektorski prostor, neka jeA ∈ L(V ) te neka je

σ(A) = {λ1, . . . , λk}.OperatorA se moze dijagonalizirati (tj. postoji baza od V u kojoj je matricniprikaz operatora A dijagonalna matrica) ako i samo ako su geometrijska ialgebarska kratnost svih svojstvenih vrijednosti od A jednake.

Napomena 2.72.Sva prethodna razmatranja o spektru, svojstvenim vrijednostima,svojstvenim potprostorima, dijagonalizaciji . . . proveli smo za linearneoperatore na konacnodimenzionalnim prostorima. Cesto se, medutim,govori o istim pojmovima vezanim za neku matricu bez referiranja na nekiodredeni operator. Tako se onda govori o spektru matrice ili odijagonalizaciji kvadratne matrice.

Korolar 2.71.Neka je V kompleksan konacnodimenzionalan vektorski prostor, neka jeA ∈ L(V ) te neka je

σ(A) = {λ1, . . . , λk}.OperatorA se moze dijagonalizirati (tj. postoji baza od V u kojoj je matricniprikaz operatora A dijagonalna matrica) ako i samo ako su geometrijska ialgebarska kratnost svih svojstvenih vrijednosti od A jednake.

Napomena 2.72.Sva prethodna razmatranja o spektru, svojstvenim vrijednostima,svojstvenim potprostorima, dijagonalizaciji . . . proveli smo za linearneoperatore na konacnodimenzionalnim prostorima. Cesto se, medutim,govori o istim pojmovima vezanim za neku matricu bez referiranja na nekiodredeni operator. Tako se onda govori o spektru matrice ili odijagonalizaciji kvadratne matrice.

Definicija 2.73.

Neka je V vektorski prostor i A ∈ L(V ). Kaze se da je potprostorM ≤ V invarijantan za A ako vrijedi

A(M) ⊆M,

tj. Ax ∈M , ∀x ∈M.

Teorem 2.74. (Hamilton-Cayley)

Neka je A ∈Mn(F). Tada je

kA(A) = 0.

Korolar 2.75.

Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor i A ∈ L(V ). Tada je

kA(A) = 0.

Propozicija 2.76.

Matrica A ∈Mn je regularna ako i samo ako je

kA(0) 6= 0.

kA(A) = 0.

Korolar 2.75.

kA(A) = 0.

Propozicija 2.76.

kA(0) 6= 0.

kA(A) = 0.

Korolar 2.75.

kA(A) = 0.

Propozicija 2.76.

kA(0) 6= 0.

1 Spektar

2 Minimalni polinom

{I}{I, A}{I, A,A2}− −−−−−−{I, A, . . . , An}

nezavisan skupxyzavisan skup

• postoji m, 1 ≤ m ≤ n, takav da je

{I, A, . . . , Am−1} linearno nezavisan{I, A, . . . , Am−1, Am} linearno zavisan

{I}{I, A}{I, A,A2}− −−−−−−{I, A, . . . , An}

nezavisan skupxyzavisan skup

• postoji m, 1 ≤ m ≤ n, takav da je

{I, A, . . . , Am−1} linearno nezavisan{I, A, . . . , Am−1, Am} linearno zavisan

Am = µ1Am−1 + µ2A

m−2 + · · ·+ µmI

µA(λ) = λm − µ1λm−1 − · · · − µm

• vrijediµA(A) = 0

• polinom µA zovemo minimalni polinom

m−2 + · · ·+ µmI

µA(λ) = λm − µ1λm−1 − · · · − µm

m−2 + · · ·+ µmI

µA(λ) = λm − µ1λm−1 − · · · − µm

m−2 + · · ·+ µmI

µA(λ) = λm − µ1λm−1 − · · · − µm

Propozicija 2.77.

Ne postoji polinom kojeg matrica A ponisti, a ciji bi stupanj bio nizi odstupnja minimalnog polinoma.

Propozicija 2.78.

Ne postoji normiran polinom kojeg matrica A ponisti koji bi imao stupanjjednak stupnju minimalnog polinoma, a koji bi bio od njega razlicit.

Propozicija 2.77.

Ne postoji polinom kojeg matrica A ponisti, a ciji bi stupanj bio nizi odstupnja minimalnog polinoma.

Propozicija 2.78.

Ne postoji normiran polinom kojeg matrica A ponisti koji bi imao stupanjjednak stupnju minimalnog polinoma, a koji bi bio od njega razlicit.

Propozicija 2.79.

Minimalni polinom realne matrice ima realne koeficijente i kad se Apromatra uMn(C), tj. kao specijalni slucaj kompleksne matrice.

Propozicija 2.80.

Svaki polinom P stupnja p > m kojeg A ponisti dijeljiv je s µA.

Propozicija 2.81.Nultocke svojstvenog polinoma su i nultocke minimalnog polinoma.

Propozicija 2.79.

Propozicija 2.80.

Propozicija 2.79.

Propozicija 2.80.

Primjer 2.82.Zadane su matrice

λ0λ0

, A2 =

λ0 1λ0

, A3 =

λ0 1λ0 1

.Odredite minimalne polinome!

Propozicija 2.83.Slicne matrice imaju isti minimalni polinom sto znaci da imaju isti skupnultocaka, te da su im visestrukosti pojedine nultocke iste.

Primjer 2.82.Zadane su matrice

λ0λ0

, A2 =

λ0 1λ0

, A3 =

λ0 1λ0 1

.Odredite minimalne polinome!

Propozicija 2.83.Slicne matrice imaju isti minimalni polinom sto znaci da imaju isti skupnultocaka, te da su im visestrukosti pojedine nultocke iste.

m103 linearna algebra 1 - fizika.unios.hr · .ﬁzika.unios.hr/la1/ p 1 spektarminimalni polinom 1...

Documents