M103 Linearna algebra 1

Tema: Baza i dimenzija.

13. 3. 2018.

predavac: Darija Markovic asistent: Darija Markovic

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Baza i dimenzija

1 Baza i dimenzija

M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 2/6

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Baza i dimenzija

Propozicija 1.16.

Neka je S = {a1, a2, . . . , am}, m ∈ N, sustav izvodnica za vektorskiprostor V 6= {0}. Tada postoji baza prostora V koja je podskup skupa S.

Napomena 1.17.Postupak koji smo primijenili u proslom dokazu naziva se redukcija sustavaizvodnica do baze.

Teorem 1.18.

Svaki konacnodimenzionalni vektorski prostor V 6= {0} ima bazu.

M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 3/6

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Baza i dimenzija

Propozicija 1.16.

Neka je S = {a1, a2, . . . , am}, m ∈ N, sustav izvodnica za vektorskiprostor V 6= {0}. Tada postoji baza prostora V koja je podskup skupa S.

Napomena 1.17.Postupak koji smo primijenili u proslom dokazu naziva se redukcija sustavaizvodnica do baze.

Teorem 1.18.

Svaki konacnodimenzionalni vektorski prostor V 6= {0} ima bazu.

M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 3/6

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Baza i dimenzija

Propozicija 1.16.

Neka je S = {a1, a2, . . . , am}, m ∈ N, sustav izvodnica za vektorskiprostor V 6= {0}. Tada postoji baza prostora V koja je podskup skupa S.

Napomena 1.17.Postupak koji smo primijenili u proslom dokazu naziva se redukcija sustavaizvodnica do baze.

Teorem 1.18.

Svaki konacnodimenzionalni vektorski prostor V 6= {0} ima bazu.

M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 3/6

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Baza i dimenzija

Lema 1.19.

Neka je B = {b1, b2, . . . , bn} sustav izvodnica za vektorski prostor V , teneka je A = {a1, a2, . . . , ak} ⊂ V linearno nezavisan. Tada je k ≤ n.

Teorem 1.20.

Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Sve bazeprostora V su jednakobrojne.

Definicija 1.21.

Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Dimenzijaprostora V definira se kao broj elemenata bilo koje njegove baze.Dodatno, uzima se da je dimenzija nulprostora 0.

M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 4/6

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Baza i dimenzija

Lema 1.19.

Neka je B = {b1, b2, . . . , bn} sustav izvodnica za vektorski prostor V , teneka je A = {a1, a2, . . . , ak} ⊂ V linearno nezavisan. Tada je k ≤ n.

Teorem 1.20.

Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Sve bazeprostora V su jednakobrojne.

Definicija 1.21.

Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Dimenzijaprostora V definira se kao broj elemenata bilo koje njegove baze.Dodatno, uzima se da je dimenzija nulprostora 0.

M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 4/6

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Baza i dimenzija

Lema 1.19.

Neka je B = {b1, b2, . . . , bn} sustav izvodnica za vektorski prostor V , teneka je A = {a1, a2, . . . , ak} ⊂ V linearno nezavisan. Tada je k ≤ n.

Teorem 1.20.

Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Sve bazeprostora V su jednakobrojne.

Definicija 1.21.

Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Dimenzijaprostora V definira se kao broj elemenata bilo koje njegove baze.Dodatno, uzima se da je dimenzija nulprostora 0.

M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 4/6

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Baza i dimenzija

Propozicija 1.22.

Neka je A = {a1, a2, . . . , ak}, k ∈ N, linearno nezavisan skup ukonacnodimenzionalnom prostoru V . Tada se A moze nadopuniti do baze.

Primjer 1.23.Nadopunimo skup

A = {a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 1,−1,−1)}

do baze prostora R4.

Napomena 1.24.Postupak prosirenja nezavisnog skupa do baze prostora nikako nijejedinstven.

M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 5/6

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Baza i dimenzija

Propozicija 1.22.

Neka je A = {a1, a2, . . . , ak}, k ∈ N, linearno nezavisan skup ukonacnodimenzionalnom prostoru V . Tada se A moze nadopuniti do baze.

Primjer 1.23.Nadopunimo skup

A = {a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 1,−1,−1)}

do baze prostora R4.

Napomena 1.24.Postupak prosirenja nezavisnog skupa do baze prostora nikako nijejedinstven.

M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 5/6

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Baza i dimenzija

Propozicija 1.22.

Neka je A = {a1, a2, . . . , ak}, k ∈ N, linearno nezavisan skup ukonacnodimenzionalnom prostoru V . Tada se A moze nadopuniti do baze.

Primjer 1.23.Nadopunimo skup

A = {a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, 1,−1,−1)}

do baze prostora R4.

Napomena 1.24.Postupak prosirenja nezavisnog skupa do baze prostora nikako nijejedinstven.

M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 5/6

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Baza i dimenzija

Korolar 1.25.Neka je V vektorski prostor, te neka je dimV = n <∞.

(a) Svaki linearno nezavisan skup u V ima n ili manje elemenata. Svakilinearno nezavisan skup u V koji ima tocno n elemenata je baza zaV .

(b) Svaki sustav izvodnica za V ima n ili vise elemenata. Svaki sustavizvodnica za V koji ima tocno n elemenata je baza za V .

Napomena 1.26.Prethodni korolar pokazuje da svaki linearno nezavisan skup u prostorudimenzije n ima najvise n elemenata. U tom smislu je definicija linearnenezavisnosti, kako smo je naveli, sasvim zadovoljavajuca zakonacnodimenzionalne prostore.

M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 6/6

http://www.fizika.unios.hr/la1/

P 1Baza i dimenzija

Korolar 1.25.Neka je V vektorski prostor, te neka je dimV = n <∞.

(a) Svaki linearno nezavisan skup u V ima n ili manje elemenata. Svakilinearno nezavisan skup u V koji ima tocno n elemenata je baza zaV .

(b) Svaki sustav izvodnica za V ima n ili vise elemenata. Svaki sustavizvodnica za V koji ima tocno n elemenata je baza za V .

Napomena 1.26.Prethodni korolar pokazuje da svaki linearno nezavisan skup u prostorudimenzije n ima najvise n elemenata. U tom smislu je definicija linearnenezavisnosti, kako smo je naveli, sasvim zadovoljavajuca zakonacnodimenzionalne prostore.

M103 Linearna algebra 1 Baza i dimenzija. 6/6