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Movimientodel papel

v

VIBRACIONES Y ONDAS

FÍSICA 2º BACHILLERATO

GRUPO ALBORADA

ÁNGELA GARCÍA SERRANO MªANTONIETA GONZÁLEZ CANTOS

ALBERTO LÓPEZ BALLESTEROS ISABEL VIDOSA RODRIGO

FÍSICA 2º B.C.N. UNIDAD DIDÁCTICA: VIBRACIONES Y ONDA -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ángela García Serrano; Mª Antonieta González Cantos; Alberto López Ballesteros; Isabel Vidosa Rodrigo

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ÍNDICE INTRODUCCIÓN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

- Fuerzas elásticas - Ecuación del Movimiento Armónico Simple - Péndulo simple - Relación entre las ecuaciones del M.A.S. y las del M.C.U. - Energía del oscilador armónico - Oscilaciones amortiguadas - Autoevaluación - Actividades de consolidación - Anexo l: Cuestiones Matemáticas

MOVIMIENTO ONDULATORIO

- ¿Qué es una onda? - Tipos de ondas - Magnitudes para describir el movimiento ondulatorio - Descripción matemática del movimiento ondulatorio - Energía asociada a las ondas unidimensionales - Ondas en tres dimensiones: Intensidad. Densidad de Energía - Atenuación - Absorción - Sensación sonora

- Autoevaluación - Anexo ll: Velocidad de propagación de las ondas

PROPIEDADES DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

- Principio de superposición. Interferencias - Reflexión y Refracción - Ondas estacionarias - Efecto Doppler - Principio de Huygens. Difracción - Polarización - Autoevaluación - Actividades de consolidación

BIBLIOGRAFÍA



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INTRODUCCIÓN Iniciaremos la unidad, haciendo un estudio del movimiento armónico simple ( M.A.S.), como primera medida nos plantearemos los siguientes interrogantes: ¿ Qué características tiene el M.A.S.? ¿ Por qué es importante el M.A.S.? Si el M.A.S. no es un movimiento ondulatorio. ¿Por qué los estudiamos juntos?

A lo largo de tu vida habrás observado que existen muchos movimientos que se repiten en intervalos de tiempos iguales; tal es el caso de un tiovivo dando vueltas, de los latidos del corazón ó el batido uniforme de las alas de una mosca etc. este tipo de movimientos se denominan periódicos.

En muchos de los movimientos periódicos que existen en el Universo se producen oscilaciones respecto de una posición de equilibrio, oscilando el sistema a un lado y a otro de esta posición, como puede ser el péndulo de un reloj, un balancín, una cuerda de violín ó una masa sujeta a un muelle. Cuando los limites de oscilación están igualmente espaciados a uno y otro lado de una posición de equilibrio estable, nos encontramos frente al caso de un movimiento armónico simple. El término de armónico se aplica a las expresiones que contienen las funciones seno ó coseno.

El movimiento armónico simple es un movimient o periódico y oscilatorio alrededor de una posición de equilibrio estable, do nde las oscilaciones estarán igualmente espaciadas a ambos lados de la posición de equilibrio y que podremos expresar matemáticamente mediante funciones seno ó coseno.

El M.A.S. debe de ser estudiado como cualquier otro movimiento: como el movimiento

rectilíneo uniforme, el rectilíneo uniformemente acelerado, el circular uniforme etc.. En todos los casos se trata del movimiento de una partícula ( aunque a veces la partícula pueda ser un cuerpo extenso que se considera como tal ) que tiene una posición, velocidad y aceleración determinada. La importancia del M.A.S. se debe, fundamentalmente, a que la mayoría de los problemas que implican vibraciones se reducen al del oscilador armónico simple, para pequeñas amplitudes de vibración, o a una combinación de dichas vibraciones. Las oscilaciones pueden ser de tipo mecánico o electromagnético, y ambos estarán descritos por las mismas ecuaciones matemáticas básicas. El hecho de estudiar el M.A.S. junto al movimiento ondulatorio se debe a que éste último, en muchas ocasiones, tiene su origen en un M.A.S.(Es el caso de las denominadas ondas armónicas), de forma que conviene conocer como es el movimiento del foco de la onda para poder estudiar el movimiento de los otros puntos que constituyen la onda.

Después de realizar el estudio cinemático y dinámico del M.A.S., analizaremos este movimiento en términos de energía, y podremos decir que una partícula que realiza un M.A.S. pasa por un estado en el cual su energía potencial es mínima ( posición de equilibrio).



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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE - Fuerzas elásticas. - Ecuación del Movimiento Armónico Simple. - Péndulo simple - Relación entre las ecuaciones del M.A.S. y las ecuaciones del M.C.U. - Energía del oscilador armónico. - Oscilaciones amortiguadas. FUERZAS ELÁSTICAS A 1. - Es sabido que un muelle se alarga cuando se aplica una fuerza sobre el. - Diseña y realiza una experiencia para tratar de encontrar una relación entre la fuerza aplicada y el alargamiento del muelle. - * Recoge los datos en una tabla, y representa gráficamente el alargamiento y las fuerzas. A pesar de que la variable independiente, en esta experiencia, ha sido la fuerza resulta más práctico representar las fuerzas en función del alargamiento. - Escribe la ecuación que relaciona la fuerza que se ejerce sobre el muelle con el alargamiento. Escribe la ecuación que relaciona la fuerza que ejerce el muelle con el alargamiento - Traduce las expresiones matemáticas anteriores al lenguaje científico verbal. * Si esta práctica ya la has realizado en cursos anteriores no es necesario que repitas la parte experimental. Te adjuntamos una tabla de valores para que realices el resto de la actividad. Fuerza aplicada (N) 0,981 1,962 2,943 3,924 4,905 5,886

Alargamiento (m) 0.044 0,089 0,133 0,175 0,220 0,264 La regularidad que acabas de encontrar y formular es LA LEY DE HOOKE. F= KX Donde “X” es la deformación o alargamiento del muelle. - A.1 bis Calcula el valor de la “constante elástica” del muelle de la experiencia anterior utilizando los datos de la tabla. Expresa su valor con las unidades correspondientes en el S.I.

Hemos visto que cuando se obliga a un cuerpo a cambiar de forma la deformación es proporcional a La Fuerza Deformadora , siempre que no se sobrepase el límite de elasticidad. La fuerza ejercida en sentido contrario por el cuerpo deformado se denomina Fuerza recuperadora. F= -KX La deformación puede consistir en un aumento de la longitud, como en el caso del muelle o de una banda de goma, una disminución de la longitud, o una flexión si se trata de un muelle plano, etc.

La fuerza recuperadora es siempre de signo contra rio a la deformación.

A 2. - Realiza la siguiente experiencia: Sujeta una masa a un muelle, estira y deja en libertad.



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Movimientodel papel

v

- Observa el movimiento y descríbelo detalladamente: tipo de movimiento, forma de la trayectoria, ¿cómo es la velocidad? , ¿cómo es la aceleración? ¿cuando crecen, cuando disminuyen?, ¿cuando son nulas?. - ¿Cómo es la fuerza que origina la aceleración?. - ¿Qué magnitudes son necesarias para estudiar este movimiento? - Elongación: Es el desplazamiento respecto a la posición de equilibrio. Su símbolo es x ó y. Su unidad en el S.I. es el m. - Amplitud: Es la máxima elongación. Su símbolo es A. - Periodo: Es el tiempo que tarda el cuerpo en realizar una oscilación completa. Su símbolo es T. Su unidad en el S.I. es el segundo. - Frecuencia: Es el número de oscilaciones que describe el cuerpo en la unidad de tiempo. Su símbolo es f ó υ. Su unidad en el S.I. es el s-1 se le llama hertzios (Hz).

- Al argumento ( ωωωω t + δδδδ) se le denomina fase del M.A.S. δ es una constante que depende de las condiciones iniciales, de cuando empezamos a contar el tiempo, δδδδ recibe el nombre de fase inicial . El oscilador armónico es un ejemplo de excepcional importancia del movimiento periódico porque sirve de modelo exacto o aproximado para muchos problemas en física clásica y cuántica. Los sistemas clásicos que son casos reales de un oscilador armónico incluyen cualquier sistema estable que se desplaza ligeramente del equilibrio, como por ejemplo: - Un péndulo simple, en el límite correspondiente de ángulos de oscilación pequeños.

- Una masa sujeta a un muelle, en el límite de amplitud de oscilaciones pequeñas.



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A 3. - a) Diseña una experiencia para medir el periodo de una masa sujeta a un muelle. ¿ De que factores depende el periodo? ¿ De la amplitud? ¿ De la masa? ¿ De la constante elástica del muelle? b) Diseña una experiencia para medir el periodo de un péndulo. ¿ De que factores depende el periodo? ¿ De la amplitud? ¿ De la masa? ¿ De la longitud del hilo? Presta atención a la clasificación de variables. Realiza las experiencias anota los datos, elabora un informe (Sugerencia: Unos equipos pueden hacer una experiencia y otros la otra). La información obtenida del péndulo la reservamos para cuando estudiemos específicamente este oscilador. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Vamos a describir matemáticamente el movimiento de una masa unida a un muelle. Suponemos, para simplificar, que la masa del muelle es despreciable, toda la masa es la del cuerpo unido al extremo del muelle. Suponemos también que el movimiento no se amortigua por lo que la amplitud permanece constante.

Posición de equilibrio Podemos observar que si estiramos un muelle unido a una masa y los dejamos en libertad el movimiento que se origina no tiene ni velocidad, ni aceleración constante, por lo tanto para describir este movimiento no nos sirven ni las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme ni las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Las ecuaciones que describen este movimiento, para la posición, x = f (t), se pueden obtener a partir de la segunda ecuación de la dinámica.

F= - Kx = ma Si despejamos la aceleración obtenemos la ecuación (1)

y como la aceleración es la derivada segunda de la posición

xm

k

td

xdxa ⋅−===

2

2" obtenemos una ecuación diferencial de segundo grado, cuya resolución

se escapa del nivel de segundo de bachillerato , pero si podemos observar que la solución ha de ser una función, cuya derivada segunda sea equivalente a ella misma pero cambiada de signo,

tal es el caso de las funciones seno y coseno X = Asen ( ωωωω t + δδδδ0 )

X= A cos ( ωωωω t + δδδδ´

0 )

Entre δδδδ0 y δδδδ´0 existe un desfase de π/2

Recuerda que: cos δ = sen (δ + π/2) ; sen δ = cos (δ - π/2)

ak

mx= − ⋅



7

Para obtener la ecuación de la velocidad, v = f (t), tendríamos que derivar la función x(t) Si x = Asen ( ωωωω t + δδδδ0 ) v= x´= Aco s ( ωωωω t + δδδδ0 ) Y para obtener la ecuación de la aceleración: a= v´ =x´´ =

a = - Aωωωω2sen ( ωωωω t + δδδδ0 ) = ωωωω2x =a

Si igualamos F= -Kx= ma=m (- ω2x) podemos obtener

ω 2 =k

m y m

k=ω T

πω 2=

e) ¿Cuándo empezamos a contar el tiempo? Por ejemplo: Empezamos a contar el tiempo cuando el oscilador se encuentra en + A; x = A Si la ecuación de la posición es: x = A sen ω t ; para t = 0 ; sen ω t = 0 ; La ecuación no concuerda con la realidad física. Si probamos la ecuación x = A sen ( ωωωω t + δδδδ )

x = A ; t = 0 ; sen (ω t + δ ) = 1; sen δ = 1; δ =π2

; Esta ecuación Si describe la

realidad física. Ahora empezamos a contar el tiempo cuando el oscilador esta en – A.

x = - A ; t = 0 ; sen (ωt+δ ) = - 1; senδ = - 1; δ =3

2

π .

Si empezamos a contar el tiempo cuando el oscilador esta en el punto de equilibrio

x = 0 ; t = 0 ; sen ( ω t + δ ) = 0 ; sen δ = 0 ; δ = 0 ; δ es una constante que depende de las condiciones iniciales, de cuando empezamos a contar el tiempo, δδδδ recibe el nombre de fase inicial .

X = Asen ( ωωωω t + δδδδ )

+ A- A 0

x- x



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La constante ωωωω se denomina frecuencia angular o pulsación. ω es una constante que

como vimos antes su valor m

k=ω depende de las características elásticas del muelle y de la

masa que oscila. Podemos expresar el periodo en función de la frecuencia angular y en función de las características elásticas del muelle y de la masa que oscila

k

m

m

kT ππ

ωπ

222 ===

Ecuación del movimiento armónico simple (M.A.S.) : x = Asen ( ωωωω· t + δδδδ )

- La elongación es una función sinusoidal del tiempo.

- A y δ son dos constantes que dependen de las condiciones iniciales. - ω queda determinada por la ecuación diferencial. Esta ecuación que hemos deducido para el caso parti cular de una masa unida a un muelle es valida para aquellos movimientos, no amortiguados, en los que la aceleración tiene sentido contrario y es función li neal de la posición: a = - Cte. Si recuerdas el apéndice matemático comprenderás que además de la ecuación

x = A · sen ( ωωωω·t + δδδδ ) también describe el M.A.S. la ecuación x = A · cos ( ωωωω· t + δδδδ ). A 4. - Representa gráficamente: a) La elongación frente al tiempo. b) La velocidad frente al tiempo. c) La aceleración frente al tiempo. A partir de la ecuación de la velocidad del m.a.s. podríamos demostrar La velocidad es nula ,cuando la elongación es máxim a y la aceleración también es máxima pero cambiada de signo respecto a la elongac ión. La velocidad es máxima cuando la elongación y la ac eleración son nulas. A 5. - Para que te familiarices con distintas formas de expresar las ecuaciones del m.a.s. expresa la elongación, la velocidad, y la aceleración en función, de la frecuencia angular, del periodo, de la frecuencia, y de la constante elástica del muelle. EN FUNCIÓN DE ELONGACIÓN VELOCIDAD ACELERACIÓN



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La frecuencia angular ω

El periodo T

La frecuencia υ

La constante elástica del

muelle k

A 6. - Para medir el valor de la constante elástica del resorte de un oscilador armónico, un

alumno realiza la siguiente experiencia: cuelga una pesa del resorte y mide el tiempo de 10 oscilaciones. Repite la experiencia con cuatro pesas diferentes. De esta manera se obtiene la siguiente tabla de datos:

masa de la pesa (g)

100

150

200

250

tiempo de 10 oscilaciones (s)

14,0

17,2

19,2

22,2

Contesta: a) Explica detalladamente el método operativo y haz un dibujo del montaje. b) Calcula el valor de la constante elástica. c) ¿Cuánto valdrá el período de oscilación cuando se cuelgue una pesa de 225 g? Diferentes métodos para medir el valor de l a constante elástica de un muelle

En la A 1 hallaste la constante elástica de un muelle suspendiendo de él diferentes masas y midiendo su alargamiento. Ese es el método estático para medir k. En la A 6 has suspendido una masa de un muelle, los has separado de la posición de equilibrio y has medido el periodo de oscilación del movimiento armónico simple originado. Este es el modo dinámico para medir k. Como los resultados experimentales siempre están sujetos a error tomaremos como constante elástica del muelle la media aritmética de los valores hallados por el método estático y por el método dinámico. Si conocemos la constante elástica de un resorte y medimos T, podemos calcular la suma de las masas del resorte y del cuerpo unido a él. Este es el método empleado, por los astronautas, en los viajes espaciales para medir su masa.

A. 7. - A un resorte de masa despreciable se le une por un extremo una masa de 300 g. y por otro se cuelga de un soporte. Al realizar una experiencia para determinar el valor de su constante elástica, se observa que al ponerle a oscilar a partir de una amplitud de 6 cm. los tiempos que invierte en distintas oscilaciones son los siguientes:



10

número de

oscilaciones 10

15

20

25

30

tiempo (s)

12,4

18,9

24,6

31,5

37,8

Se pide: a) Valor de la constante elástica, teniendo en cuenta las cifras significativas al dar el resultado. b) Ecuación del movimiento del oscilador. c) Velocidad máxima que tendrá el oscilador. d) Cuándo es máxima la velocidad?

A 8. - Un objeto describe un m.a.s. que esta descrito por la siguiente ecuación:

x t= +0 2 22

, sen ( )ππ

( cm )

Determina: a) Amplitud, periodo y frecuencia de dicho movimiento. b) Posición inicial del objeto c) Puntos en que la aceleración es máxima. d) Escribe la ecuación de la posición utilizando la función coseno.

A 9. - Un cuerpo de 200g se cuelga de un muelle y le produce un alargamiento de 7 cm. A continuación se separa al cuerpo 12 cm de su posición de equilibrio y se suelta comenzando a contar el tiempo en ese momento. Calcula la posición del cuerpo 2,5 s después de haberlo soltado. Estudio del movimiento de un muelle en posición ve rtical Un muelle, que consideramos de masa despreciable, esta en posición vertical sin deformar, posición 0. Si le colgamos una masa se estira hasta una nueva posición de

equilibrio (posición 1). Sobre la masa actúa: la fuerza peso, gmP ⋅=�

, y la fuerza

recuperadora 0ykFR ⋅−=�

.



11

Posición 0

Posición 1 y

y0

P=mg

FR

m

m

P=mg

FR

y0+y

En el equilibrio: 0=∑ yF�

; PFR

��

−= ; PFR

��

= ; 0ykgm ⋅=⋅ ; k

gmy

⋅=0 ;

Si desplazamos la masa, desde esta posición de equilibrio, el sistema oscila respecto a esta nueva posición:

( )yykPFF Ry +⋅−=−=∑ 0

�

ykykPFR ⋅−⋅−=− 0 ; como 0ykP ⋅= ; ykykykFR ⋅−⋅−=⋅− 00 ;

amykFnetaR ⋅=⋅−= ;

Ecuación idéntica a la de un muelle en posición horizontal. La fuerza recuperadora neta, o fuerza recuperadora sin equilibrar ( yk ⋅− ) es proporcional a la elongación respecto a la nueva posición de equilibrio y el sistema muelle - masa oscila

respecto a esta nueva posición de equilibrio con una frecuencia angular m

k=ω , la misma

que en el caso de un sistema muelle – masa en posición horizontal. El efecto que produce la fuerza gravitatoria es sol o desplazar la posición de equilibrio .

A 10. - Un cuerpo de masa 100 g pende de un resorte elástico. Cuando se tira de él hasta colocarlo 10 cm. por debajo de su posición de equilibrio y se suelta, oscila con un periodo de 2 s. a) Escribe la ecuación del movimiento.



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b) ¿Cuál es su aceleración cuando se encuentra 5 cm por encima de su posición de equilibrio?. c) ¿Cuál es su velocidad al pasar por la posición de equilibrio?.

A 11 - Un objeto cuelga de un muelle y se encuentra inicialmente a 20 cm. por encima de su posición de equilibrio. Se deja oscilar libremente, con una frecuencia de 2s-1. Determina: a) La ecuación del movimiento. b) La ecuación de la velocidad y aceleración. c) El valor máximo de la velocidad y de la aceleración. A 12. - Una partícula de masa m empieza estando en reposo en x = + 20 cm y oscila alrededor de su posición de equilibrio en x = 0 con un periodo de 2 s. a) Escribir la ecuación de la posición x en función del tiempo t. b) Contestar las preguntas anteriores para el caso en que la partícula está inicialmente en x = + 15 cm y se está moviendo con velocidad v0 = + 45 cm/s. A 13. - Mediante unos órganos sensibles en las extremidades de sus patas, las arañas pueden detectar las vibraciones de los animales que quedan atrapados en su tela. Supongamos que un insecto con masa 1,3 g atrapado en la tela de una araña produce una vibración en la misma de 12Hz. a) ¿Cuál es la constante elástica promedio de la tela? b) ¿Cuál seria la vibración que produciría un insecto de 3,7 g? A 14. - Un bloque de masa m descansa sobre una plataforma horizontal. La plataforma se mueve verticalmente con movimiento armónico simple con una amplitud de 0, 098 metros. Al llegar a la parte alta de su trayectoria, el bloque abandona la superficie de la plataforma. ( Esto significa que en este punto su aceleración es de 9,8 m s-2 hacia abajo. ) a) ¿ Cuánto vale el periodo del movimiento armónico simple?. b) ¿ Cuál será la aceleración del bloque en la parte más baja de su trayectoria?. c) ¿ Cuál es la fuerza ejercida por la plataforma sobre el bloque en ese punto ?. A 15. - Un m.a.s. tiene por ecuación a = - 16. x . Si para t = 0 s la velocidad es de v = - 12 m/s y para t = π /4 s es de v = 4. A m /s. Halla la ecuación de su velocidad.



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PÉNDULO SIMPLE A 16. - Vamos a analizar las fuerzas que actúan sobre un péndulo simple: Dibujamos un diagrama, elegimos un sistema de coordenadas cuyos ejes sean tangencial y normal a la trayectoria. ¿ Cuál es la fuerza neta que actúa sobre la masa puntual?. - La componente tangencial del peso ¿será una fuerza recuperadora? ¿ por que?. Calcula su valor, considera solo oscilaciones pequeñas para las que el senoα sea prácticamente igual al ángulo α medido en radianes, y expresa el ángulo en función de la longitud del hilo. - Aplica la segunda ley de Newton. - Cuando la aceleración es función lineal de la elongación y tiene sentido contrario de esta ¿Qué tipo de movimiento se produce? ¿Qué valor toma ω?. -¿De qué magnitudes depende el periodo? compara con los datos experimentales de la A. 3. ¿Podrías, ahora, explicar por qué para el caso de la masa unida al muelle el periodo si es función de la masa y para el péndulo no?

El péndulo simple es una masa puntual suspendida de un punto mediante un hilo, inextensible y sin masa, de longitud l. Si desplazamos la masa un ángulo α0 respecto a la posición de equilibrio y la soltamos la partícula realiza un movimiento periódico en torno a su posición de equilibrio.

La elongación x es la distancia, medida sobre la trayectoria, al punto de referencia, que es el punto de equilibrio.

Las fuerzas que actúan sobre el péndulo son: el peso y la tensión de la cuerda cuya resultante es una fuerza recuperadora, por que siempre tiene sentido contrario a la elongación. F m gR = − ⋅ ⋅ senα

Para oscilaciones pequeñas en las que el senα toma valores aproximados a α, medido en radianes.

F m g m g m gx

lm aR = − ⋅ ⋅ ≅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = ⋅senα α ; a

g

lx= − ⋅

el péndulo puede considerarse un oscilador armónico simple, porque la aceleración tiene sentido opuesto a la elongación y es función lineal de esta. Su movimiento puede ser descrito por la ecuación general del m.a.s: x = A sen ( ωωωω t + δδδδ ).

αº α

T

Fn

P = m g

Ft

α



14

Siendo ω =g

l y el periodo: T

g

l

l

g= = =

2 22

πω

ππ

Como la fuerza recuperadora es proporcional a la masa, la aceleración es independiente de la masa. Por lo mismo también ω y T son independientes de la masa.

A 17. - Un péndulo cuya lenteja es de 200 g y la longitud del hilo de 1 m. se separa de la posición de equilibrio soltándolo a continuación. Calcula la velocidad de la lenteja 2 s. después de dejarlo en libertad. A 18. - a) En un lugar geográfico en el que g = 9,81 m/ s2. Calcula la longitud de un péndulo simple, cuyo período es exactamente 1 s. b) Si este péndulo forma parte del mecanismo de un reloj y lo trasladamos a la Luna atrasaría o adelantaría?. c) ¿Cuál debería ser su longitud para que batiera segundos en la Luna? gL=1,62 m/s2 A 19. - Un péndulo tiene una longitud de 80,0 cm y la masa de la lenteja es de 50 g.

Se separa 10º de la posición de equilibrio y se deja libre, comenzando a contar el tiempo en ese momento. Calcula la posición, la velocidad y la aceleración de la lenteja a los dos segundos de haber comenzado el movimiento. La gravedad en ese lugar es 9,8 m/s2.

RELACIÓN ENTRE LAS ECUACIONES DEL M.A.S. Y LAS ECUA CIONES DEL M.C.U. A 20. - Observa el movimiento conjunto del émbolo, biela, volante.

a) ¿ Qué clase de movimiento realiza el émbolo? b) Fíjate en punto de enganche del volante con la biela ¿ Qué clase de movimiento realiza este punto? c) ¿ Qué relación existe entre estos dos movimientos ? Descríbela.



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d) ¿Qué relación encuentras entre las ecuaciones que describen estos dos movimientos ?. A 21. - Si analizamos la experiencia que aparece en la figura:

Un disco que tiene incrustada una varilla gira, mientras un sistema masa - muelle oscila. Se proyecta, sobre una pantalla, la sombra de ambos objetos. Si el radio del disco es igual a la amplitud de oscilación del muelle, y el periodo de oscilación del muelle es igual al periodo de giro del disco, podemos comprobar que las sombras se mueven a la vez. La proyección sobre una recta de las posiciones de una partícula que se mueve con movimiento circular y uniforme es un movimiento arm ónico simple.

x

y

θ

v

x =Asenθ

Ay =Acosθ

¡¡¡¡¡CUIDADO ERRATA ( en el eje X cambiar seno por coseno y en el y cos por seno)¡¡¡¡

Vamos a comprobar que entre estos dos movimientos existe una relación matemática sencilla: Recuerda las características de un m.c.u. velocidad angular ω = cte. velocidad lineal v su modulo es cte. Relación entre rapidez y velocidad angular v = ω . A El desplazamiento angular de la partícula que se mueve con m.c.u. si tomando como referencia el eje x será: θθθθ = ωωωω t + δδδδ



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Donde δ es el desplazamiento angular en el instante t = 0.

Si nos fijamos en la figura vemos que la componente “x” de la posición de la partícula viene dada por X = A . cos ( ωωωω t + δδδδ ) La componente “y” viene dada por y = A . sen ( ωωωω t + δδδδ ) En ambos casos coincide con la ecuación de un M.A.S. por lo tanto: Podemos considerar el M.A.S. como uno de los componentes del movimient o circular, o puede considerarse el movimiento circular de una partícula como la com binación de dos movimientos armónicos simples perpendiculares, que tienen la mi sma amplitud y frecuencia pero con una diferencia de fase relativa de ππππ / 2.



17

x

y

θA

0

T/4

T/2

3T/4

T

t

y

T/4 3T/4 t

x

PROYECCIÓN SOBRE EL EJE Y

T/2 T0

A 22. - Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 30 cm, dando una revolución cada 2 s

a) ¿Cuál es la velocidad de la partícula?. b) ¿Cuál es su velocidad angular ω?. c) Escribir una ecuación para la componente x de la posición de la misma en función de

t, suponiendo que está sobre el eje x en el instante t = 0.

ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO A 23.- Una masa m colisiona con un muelle sujeto a una pared tan sólida que no se mueve apreciablemente. El choque es elástico. El rozamiento entre la masa y el suelo es despreciable. No se disipa energía .



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a) La masa m se aproxima a un muelle con velocidad v0. ¿Qué clase de energía posee la masa?. ¿Posee energía el muelle?

b) La masa choca contra el muelle y se inicia la comprensión. c) El muelle es comprimido la distancia x. ¿ Qué le pasa a la velocidad de la masa ? Analiza la situación desde el punto de vista de la energía. d) En el estado de máxima compresión, la masa queda en reposo. ¿Qué pasa con su energía?. e) Cuando el muelle se dilata la masa gana velocidad. Analiza la situación desde el punto de vista de la energía. f) La masa ha vuelto al lugar donde inicio la interacción. Analiza las condiciones del proceso para que la masa salga despedida con v0. g) La masa continua desplazándose con velocidad v0 y con su energía cinética original. h) Recuerda la definición de energía potencial. ¿Qué condición deben cumplir las fuerzas internas para que se pueda definir esta función?.

i) Mediante la gráfica adjunta, halla una expresión para la función energía potencial elástica de un sistema masa – muelle. j) Halla la expresión anterior analíticamente. k) ¿Cuánto vale la energía potencial máxima del sistema?. A 24. - a) Analiza la figura siguiente que te muestra conjuntamente las posiciones de un péndulo simple, de un sistema masa - muelle, y la gráfica, de barras, de la energía potencial elástica y de la energía cinética.

v = 0

x = 0

m

v

x

m

v

x

x = 0

m

v

v0

m

x = 0

m

v

A

m

m

x = 0

v0

a )

b )

c )

d )

e )

f )

g )

x = compresión (m)

F(N)



19

α = 0

t =

t =

t =

t =

α = − α 0

α = α 0

t = 0

α0

t =

t =

α = 0

t =

Energíacinética

Energíapotencial

Péndulo simple Muelle-masa

- A A0

T8

T

4

3T

8

T

2

5T8

4

3T

7T8

- A A0

- A A0

- A A0

- A A0

- A A0

- A A0

- A A0

b) Representa la gráfica de la curva energía potencial elástica de un muelle en función de la compresión y de la tracción y la gráfica de la curva energía cinética de la masa sujeta al extremo del mismo muelle.

A 25. - Suponiendo que el sistema masa - muelle esta en posición horizontal, expresa la energía mecánica del sistema en función de las siguientes variables: k, vmáxima, ω, f.



20

Variable

k

vmáxima

ωωωω

f

Emecanica

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA

Una fuerza es conservativa si el trabajo total que realiza cuando el cuerpo sobre el que actúa describe una trayectoria cerrada, volviendo a su posición inicial, es nulo. Si una fuerza es conservativa el trabajo que realiza cuando el cuerpo sobre el que actúa se desplaza entre dos puntos es independiente del camino seguido, solo depende los puntos inicial y final. Esto nos permite definir una función que depende de la posición: ENERGÍA POTENCIAL

Ep= f ( x, y, z ); ∆∆∆∆ Ep= f ( x2, y2, z2 ) - f ( x1, y1, z1 );

La energía potencial es igual al trabajo de las fuerzas interiores cambiado de signo. En este caso se trata de energía potencial elástica ya que la fuerza interior es una fuerza elástica:

∆E W F dx k x dx k xk

xp F i

x xx

E erioresrecuperadoras= − = − ⋅ = − − ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅∫ ∫

int

�

�

0 0

2

0

21

2 2

La energía potencial es máxima cuando la elongaci ón es máxima : Ek

AP = ⋅2

2

A 26. - Un cuerpo de masa 1,4 kg se conecta a un muelle de constante elástica 15 N/m y el sistema oscila tal como indica la figura. La amplitud del movimiento es de 2,0 cm.

Calcula: a) La energía total del sistema. b) Las energías cinética y potencial cuando el desplazamiento del cuerpo es de 1,3 cm c) La velocidad máxima del cuerpo. A 27. - Si se duplica la frecuencia de un movimiento armónico simple ¿Qué le pasa a la energía?. ¿ Y si se duplica la amplitud ?. ¿ Si se duplica la masa del cuerpo colocada en el extremo del muelle sin que cambie la amplitud, qué le ocurrirá a la energía ?.



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Vamos a analizar ahora el problema de la energía po tencial para el caso de una masa colgada de un muelle en posición vertical. ¿C ómo afectaran las variaciones de la energía potencial gravitatoria?.

Energía Potencial de un sistema: “ masa colgada de muelle en posición vertical”

Supongamos un muelle, de constante “k” , sin estirar, posición de equilibrio, ( Posición = 0), del que colgamos un objeto de masa “m” . El muelle se estira hasta alcanzar la nueva posición de equilibrio “y 0” (Posición = 1).

En el equilibrio: m. g = k.y 0

La energía potencial en la Posición 1 es energía potencial elástica y gravitatoria. Si tomamos como nivel de referencia la posición del muelle sin estirar

En la posición 1: Ep = ½ k.y 02 – m. g. y 0

Si posteriormente estiramos el muelle una cantidad adicional A y soltamos el sistema masa - muelle vibrara en torno a la nueva posición de equilibrio ( posición 1 ) con una amplitud A. Analicemos la energía potencial en un punto cualquiera, “y” , de su trayectoria (posición 2). La energía potencial en la Posición 2 respecto a la posición inicial de equilibrio (Posición = 0 ), es:

En la posición = 2 : Ep = ½ k ( y + y 0 )2 – m. g ( y + y 0)

m

y0

Posición 0

m

y

Posición 1

Posición 2

Si restamos las energías potenciales de la posición 2 menos las de la posición 1, establecemos la posición 1 como nuevo sistema de referencia .

Ep = ½ . k ( y + y 0 )

2 - m.g ( y + y 0) - ( ½ k.y 02- m g.y 0 ) =



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= ½ k.y 2 + ½ k.y 02 + k.y.y 0 – m.g.y – m. g.y 0 - ½ k.y 0

2 + m.g.y 0 =

= ½ k.y 2 + k.y.y 0 - m.g.y

Como m.g = k.y 0 , el tercer término queda: - k.y0..y, anulándose con el segundo, quedando finalmente la energía potencial:

Ep = ½ k.y 2 Así pues, si medimos el desplazamiento desde l a posición 1 ( posición de equilibrio muelle + objeto de masa m ) , podemos olvidarnos de la influencia de la graved ad, ya que en la expresión anterior esta ya incluida la energí a potencial gravitatoria.

A 28. - Un cuerpo de 200 g se cuelga de un muelle y le produce un alargamiento de 7 cm. A continuación se separa al cuerpo 12 cm de su posición de equilibrio y se suelta.

Calcula: a) La energía potencial del sistema cuando el alargamiento del muelle sea 5 cm

respecto a la segunda posición de equilibrio. b) La energía cinética en la misma posición. c) La energía mecánica del sistema.

A29. - Un cuerpo de 0, 5kg describe un m.a.s. de 10 cm de amplitud realizando dos oscilaciones completas cada segundo. Calcular: a) La elongación 1/12 segundos después de pasar por el punto de máxima separación respecto a la posición de equilibrio. b) La energía total del cuerpo cuando pasa por la posición de equilibrio.

d) ¿ Cuál será la energía total cuando pasa por un punto que dista 5 cm de la posición de equilibrio?.

OSCILACIONES AMORTIGUADAS A 30. - Hemos estudiado el movimiento armónico simple partiendo de observaciones a osciladores reales, pero haciendo la hipótesis simplificadora de que su amplitud era constante. Sin embargo como observaste en la A 2 los osciladores reales están siempre amortiguados, por fuerzas de rozamiento.



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Movimientodel papel

v

t=0

La figura muestra un sistema muelle - masa con un amortiguamiento débil. El papel se mueve con velocidad constante.

ud ondas 1 m.a.s angela versionreducida

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