teoria de errores

1

Introducción al tratamiento de datos

José Luis Contreras

2

Enfoque

Intuitivo(nos falta estadística y tiempo)

Práctico(queremos trabajar en el laboratorio)

3

Indice

Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados. Otras herramientas. Ejercicios

4

Medir

Comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el fin de averiguar cuantas veces la segunda está contenida en la primera.

5

Partes de una medida I

Si medimos el largo de una mesa ...

125,434

El resultado podría ser ?

125,434 cm

125,434 ± 17,287 cm

125 ± 17 cm

6

Partes de una medida II

Al medir una mesa podemos obtener

125 ± 17 cm

valor ±incertidumbre

Presentación unidades

7

Indice


8

Error e incertidumbre I

Muchas veces se cometen errores al medir.

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

Xmedido

X Xreal

X

9

Error e incertidumbre II

Xmedido

X Xreal

X

Error = Xreal –Xmedido

XrealXmedido X, Xmedido X)

10

Nivel de Confianza X depende de lo seguros que queramos estar Nivel de confianza = fracción de las veces que

quiero acertar. 99%, 95%...

Xmedido

X Xreal

X

11

Tipos de medidas

Medidas directas

Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1, L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

12

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

• Sistemáticos• Aleatorios

• Derivados de los anteriores

13

Errores sistemáticos

Errores sistemáticos

Limitaciones de los aparatos o métodos

• Precisión• Calibración

731072 Pesada inicialPesada en “vacio”RecalibraciónPesada corregida

14

Errores aleatorios I

Factores que perturban nuestra medida.• Suma de muchas causas • Tienden a ser simétricos.• Se compensan parcialmente.• Repetir las medidas.• Estadística

medidas

Xreal

15

Errores aleatorios II

Distribuciones Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios. Tienden a curvas típicas

Xreal

x xx

xx xx

xxx

x x

16

Indice

Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados. Otros tipos de medidas. Ejercicios

17



125 ± 17 cm



18

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas



19

Cómo estimar el resultado

Frente a errores sistemáticos.

Frente a errores aleatorios.

• Medir correctamente• Calibrar los aparatos

• Se compensan repetir varias veces la medida• La media es el valor más probable

n

i

i

n

XX

1

20

Ejemplo

Me peso varios días seguidos en iguales condiciones

Día L M X J V Masa

(kg)73 72 74 72 73

kgM 8,725

)7372747273(

21

Incertidumbre Incertidumbre: Estimación del error no corregible

1. Incertidumbre factores sistemáticos: S1S2Destaca la de precisión

2. Incertidumbre factores aleatorios:

1. Absoluta: X

2. Relativa:X r

XE

X

% 100X r

XE en

X

Se suele descomponer para medidas directas en:

Se suele expresar como:

22

1. Incertidumbre de precisión Es

En casos sencillos la estimaremos como:

La mitad de la (una) división menor de la escala

Ej: Balanza

No hay reglas sencillas para estimarla

Ej: Cronómetros

Incertidumbre en medidas directas

A veces depende del experimentador

No es fácil definir su intervalo de confianza

23

Para n medidas

nn

ntEA

11

s = Desviación

típica de las medidas

Desviación típica de la media

Factor de cobertura

t de Student

Incertidumbre en medidas directas2. Incertidumbre Aleatoria EA

24

1

2

2

13

454443

1

2221

2

21

2

n

xxs

n

ii

n 3

2

3

543

xxxs 0

3

)5()4()3(

xxxs

3

2

3

543222

2

xxx

s

Xreal

4X

¿edir la separación con respecto al valor real ?

No conocemos el valor real

¿edir la separación con respecto al valor medio ?

¿Cómo?


S: dispersión de los datos

2. Incertidumbre Aleatoria EA

25

Es la distancia del valor real a la que estará más probablemente un nuevo dato

ctesn

Tiene las mismas unidades que el resultado


S: Propiedades


26

SI hicieramos muchos grupos de n medidas... La media es más precisa que cualquier dato, los errores

aleatorios se compensan Pero despacio .... Los errores de precisión no se compensan

n

ssX


Dispersión de la media


27

Si es el nivel de confianza p=0.05.

Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeño

y conlleva un nivel de confianza variable multiplicamos por un

factor corrector.

X Xs

XsX

nt

1 1 1(1 ) ( )n n nt t t p


Factor de cobertura: t de Student


Para pocas medidas s=n-1 se estima mal y el factor es mayor para compensar.

¿Quien fue Student ?

28

M 1 2 3 4 5 10 20 40

tm

P=0.1 6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,81 1,72 1,68 1,64

tm

P=0.05 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,23 2,08 2,02 1,96

tm

P=0.01 63,6 9,92 5,84 4,60 4,03 3,16 2,85 2,70 2,58


Coeficientes tm (m grados de libertad)


30

Día L M X J V

Masa (kg) 73 72 74 72 73

kgM 8,72

15

8,72738,72728,72748,72728,7273 22222

1

n

kgn 837,01

78,241 ttn

1 14

0,8372,78 1,04

5 5n n

A nE t t kgn


Ejemplo: Me peso varios días seguidos en iguales condiciones


31

Combinaremos las incertidumbres en cuadratura:

22SA EEX

ASASA

SASASA

EEEEE

EEEEEE

22

22

,

,

Incertidumbre en medidas directas3. Incertidumbre Total

Propiedades

32

Resumen medidas directas

22SAfinal EEX

SMedia) división

mínimann

ntEA

11

XX final

33

Día L M X J V

Masa (kg) 73 72 74 72 73

kgM 8,72

1,04AE kg

kgES 50,

2 21,04 0,5 1,154M kg

72,8 1,154M kg Presentación incorrecta !

Resumen medidas directas Ejemplo: Me peso varios días seguidos en iguales condiciones

34

Indice


35



125 ± 17 cm



36

Tipos de medidas

Medidas directas

Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1, L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

37

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas



38

Dependen de otras mediantes expresiones matemáticas

Area de un cuadrado = (Lado)2

A = L2

L = 5 cm cm2 , ¿?

LdL

dAA

L

A

LdL

dA

0

lim

Incertidumbre en medidas indirectas1. Medidas indirectas

Recordando derivadas...

39

Significado L

Válido si L pequeño

LLALdL

dA 22

L

L

L

L

Incertidumbre en medidas indirectas2. Incertidumbres para 1 variable

Interpretación geométrica

40

Area de un rectángulo

A = L1 x L2

L1 conocido perfectamente

2112

LLALdL

dA

L2

L2

L1

L2

L1

Incertidumbre en medidas indirectas3. Incertidumbres para 2 variables

Y si L1, ,L2 inciertos ?

41

Errores independientes se compensan parcialmente

?1221 LLLLA

L1 x L2L1 x L2

L2 x L1

L2

L1

222

21 LLLLA

Incertidumbre en medidas indirectas3. Incertidumbres para 2 variables

42

,, 21 XXfY

2

22

2

11

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

Incertidumbre en medidas indirectas4. Incertidumbres para varias variables

43

1X

Y

Como varía Y si varía sólo X1

,, 21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32zxy

V

M

hrV 2

Incertidumbre en medidas indirectas5. Derivadas parciales

44

21 XXY 222

1 XXY

XcY XcY

21 XXY 2

2

2

2

1

1

X

X

X

XYY

2

1

X

XY

nXY X

XnYY

Incertidumbre en medidas indirectas5. Derivadas parciales: casos simples

49

Ejemplo (casi) completo I

n0 1 2 3 4 5

M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1

Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.

V

M

1

23

50

gEEM AS 282022 .gES 05.0

ggEA 27805

2240782 .

..

Ejemplo (casi) completo II

n0 1 2 3 4 5

M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1

Usando una balanza (con precisión de 50 mg) se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.

gM 400.14

gM 282040014 ..

51

Ejemplo (casi) completo III


3

3

4rV rrr

r

VV

22

4

33,12,4 cmV

0.3 3V

V r

V r

52

Ejemplo (casi) completo IV


?0335,14377,33cm

g

V

M

22

V

V

M

M

53

Indice

Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados.

Redondeos. Comparación de resultados.

Otras herramientas. Ejercicios

54

1. NO tengo tanta precisión en como pretendo

2. ¿ Si tengo una incertidumbre de unidades...Por qué doy diezmilésimas en

Presentación de resultados

Los resultados se presentan redondeados

?0335,14377,33cm

g

3)0,14,3(cm

g

?0,14377,33cm

g

55

Cifras significativas

Cifras significativas Todas salvo los ceros a la izquierda Sobreviven a un cambio de notación

Ejemplos:

c.s. 3 0,670 c.s 2 0,67

c.s. 3 670 c.s. 2 67

s. c. 3 10 123 c.s. 3 0,123

c.s. 3 10 123 c.s. 3 1233-

3

56

Reglas (arbitrarias) de Redondeo

La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas.

El valor se expresa con tantos decimales como la incertidumbre.

Valor e incertidumbre se expresan con las mismas unidades y potencia de 10.

Redondeamos al número más cercano

Intentamos que el valor sea un número sencillo, normalmente entre 1 y 10

57

Ejemplos de Redondeo I

( 1,2564 ± 0,1 ) m ( 1,3 ± 0,1 ) m

( 1,2438 ± 0,168 ) m ( 1,24 ± 0,17) m

( 1,52 108 ± 21,68 106 ) km (1,52 ± 0,22) 108 km

(1,52 ± 0,22) 1011 m

( 60506079 ± 89451 ) m ( 605,06 ± 0,89) 105 m

( 6,0506 ± 0,0089) 107 m

58

Indice

Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados.

Redondeos. Comparación de resultados.

Otros tipos de medidas. Ejercicios

59

Comparación de resultados

Compatibilidad de medidas

Precisión de medidas:

X1

X2

X

X

Xreal

60


Compatibilidad de medidas

Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan

( 100 ± 5 ) cm

( 90 ± 10 ) cm

Son compatibles ?

61

Error relativo Muy útil en comentarios Muy útil para estimar si los resultados son coherentes Definición:

Adimensional 2 cifras significativas Ejemplo:

100 ± 25 → δ = 0.25 → incertidumbre del 25%

X

X

62


Resultados compatibles

Resultado más preciso.

Review of particle properties (PDG). Phys. Rev. D 45 Part II (1992) I.11

63

Indice

Medidas. Unidades. Cálculo de incertidumbres. Presentación de resultados / comparación. Otras herramientas.

Media ponderada. Interpolación. Herramientas de cálculo Regresión lineal.

Ejercicios

64

Media ponderada I

Varias medidas Diferentes instrumentos y/o diferentes métodos Errores aleatorios

22

11

XX

XX

222

1

22

22

1

1

11

XX

X

X

X

X

Y

65

Media ponderada II

222

1

22

22

1

1

11

XX

X

X

X

X

Y

222

1

111

XX

Y


( 100 ± 5 ) cm

( 90 ± 10 ) cm ¿ Cuanto mide ?

66

Media ponderada III


( 100 ± 5 ) cm

( 90 ± 10 ) cm L = (98,0 ± 4,5) cm

Es un valor intermedio Más cerca del más preciso Incertidumbre reducida

67

Otras herramientas

Media ponderada

Interpolación lineal

Herramientas de cálculo

Regresión lineal

68

Interpolación lineal I Objetivo: obtener la

dependencia lineal entre dos puntos de valores conocidos.

Método: Ecuación de la recta que

pasa por dos puntos Incertidumbre asociada

69

bxay

bxay

bxay

nn

nn

11 nn

nn

nn

xmyb

xx

yya

1

1

nn xxayy intint int inty a x

Si despreciamos el error en los datos de la tabla ...

Interpolación lineal II

70

Interpolación lineal III

4 3 015 10

15 10

1.2·10 /a g cm CT T

3

12 10 12 10 0.99946 /a T T g cm

4 312 12 1.2·10 /a T g cm

Calcular la densidad del agua a (12 ± 1 ) °C

Densidad del agua destilada en función de la temperatura

T(º C) (g/cm3 ) 0 0,9998 5 1,0000 10 0,9997 15 0,9991 20 0,9982

312 0.99946 0.00012 /g cm

71

Otras herramientas

Media ponderada


Herramientas de cálculo: Calculadora Hojas de calculo: Excel, OpenOffice, etc.

Regresión lineal

72

Herramientas de cálculo I: Calculadora

73

Calculadoras

http://www.casio-europe.com/es/support/manuals/

• Usar las memorias.

• Modo estadístico.• Media.• Dispersión.• Regresión

74

Otras herramientas

Media ponderada

Regresión lineal


Herramientas de cálculo

75

Unidades en los ejes Puntos CON incertidumbres NO se unen los puntos Representación de la recta ajustada

Gráficas I

76I(A)

V(10-4 V)

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

1 2 3 4 5

0.00

Gráficas II

77

Objetivo: Suponiendo que dos variables siguen una relación lineal: obtener parámetros de la recta m y c que mejor la representan, y sus incertidumbres Δm y Δc

Hipótesis: Fijamos una variable y medimos otra “x” sin

incertidumbre, las incertidumbres de las “y” todas iguales.

¿ Cuál es la mejor recta ? Mínimos cuadrados

Regresión Lineal III

78I(A)

V(10-4 V)

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

1 2 3 4 5

m

0.00c

y = m·x + c

Regresión Lineal II: gráficas

79

Hipótesis: Existe una variable independiente (podemos darle los

valores que queramos), X y otra dependiente Y cuyo valor nos da el experimento.

X sin incertidumbre, las incertidumbres de Y son iguales en todas las medidas.

La relación entre X e Y es lineal o se puede hacer lineal manipulando las fórmulas.

¿ Cuál es la mejor recta ? Mínimos cuadrados

Regresión Lineal II

80

Mínimos cuadrados: Para cada punto calculamos la distancia del punto a la recta en la

dirección del eje y di

Sumamos las distancias al cuadrado

La mejor recta es la que minimiza la suma S

Regresión Lineal III

)( cxmyd iii

n

iii

n

ii cxmydS

1

2

1

2 )(

81I(A)

V(10-4 V)

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

1 2 3 4 5

m

0.00c

y = m·x + c

Regresión Lineal : IV

d5

d2

82

¿ Cómo minimizo la suma ?: S depende de la pendiente y c.

En el cálculo en varias variables se verá que para que S sea mínimo es necesario que:

Operando obtenemos las fórmulas del guión

Regresión Lineal V

cmSS ,

00

c

S

m

S

83

Pasos: Identificar la variable independiente y la dependiente. Linealizar la fórmula. Transformar los datos Aplicar las fórmulas y calcular m y c Calcular las incertidumbres Comprobar el coeficiente de correlación r

Regresión Lineal VI

84

Métodos: Fórmulas de apuntes Calculadora (incertidumbres?) Programas de ordenador: Excel…

Regresión Lineal IV

85

EjemploUn coche viaja de Madrid a Barcelona, cada cierto tiempo el piloto mira el cuentakilómetros y apunta la lectura, obteniendo la siguiente tabla. Calcúlese la velocidad media.

Tiempo (min) Posición

00 514

20 550

40 590

60 627

80 670

86

Resolución

YXnYXE i

n

ii

1

2

1

2 XnXDi

n

ii

77802.590405125820 E

40004040512000 D

min945.1

4000

7780 km

D

Em

87

ResoluciónT (min) Pos T**2 T*Pos d d^2

0 514 0 514 1.6 2.56

20 550 400 550 -1.3 1.69

40 590 1600 590 -0.2 0.04

60 627 3600 627 -2.1 4.41

80 670 6400 670 2 4

200 2951 12000 125820 0 12.7

40 590.2 2400

88

Resolución

XmYc kmc 51240945.12.590

2

1

22 233.43

7.12

2

1kmcmXY

ns

n

iiires

222

min001058.0

4000

233.4

km

D

ss resm

22

22 54.24000

40*40

5

1233.4

1km

D

X

nss resc

89

Resolución

104.00325.01825.322 mn stm

07.5594.11825.322 cn stc

min10.095.1km

m kmc 1.52.512

90

Herramientas II: Hoja de cálculo Práctica: Dejamos caer un cuerpo desde una cierta altura y medimos la distancia recorrida y el tiempo empleado.

2

2

1gts

teoria de errores

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